Cote n° 64 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Modules courbes elliptiques en caractéristiques ≠2 : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1980- 1982]
Édition de démonstration

81p. 5 de l'auteur, chiffrée en tête de page ; la page s'ouvre au milieu d'un développement commencé dans le lot précédent (formules (27) et suivantes). \[ \text{(30)} \qquad T_{E/S,0}^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma_{\underline{J}},t} \] où \(t\) est la section de \(\Sigma_{\underline{J}}^* = \Sigma_{\underline{J}} \setminus D_{\underline{J}}\) image de la section nulle de \(E\). Ceci posé, on définit un épinglage de Legendre de \(E/S\) comme étant formé la donnée d'un iso \[ \text{(31)} \qquad \underbrace{\Delta_{E/S}}_{T_{E/S,0}} \xrightarrow[\;\sim\;]{k} \underline{O}(1)_t \simeq \] tel que il existe un l'isom \(k^{\otimes 2}\) déduit par passage au carré, lorsqu'on le fait suivre de l'identification, via (30) et (27), à l'isom \[ \text{(32)} \qquad T_{\Sigma_{\underline{J}},t} \xrightarrow{\;\sim\;} T_{\Sigma_{\underline{J}},t} \wedge^{\{\pm 1\}} \bigl(\mu_4^{*} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}}\bigr) \] déduit d'une section \[ \text{(33)} \qquad \begin{cases} \alpha \in \Gamma\bigl(S, \mu_4^{*} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}}\bigr) & \text{i.e.\ d'un iso} \\[2pt] \alpha : \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega}_{\underline{J}} \end{cases} \] (qui est déterminé de façon unique en termes dans (31), un symbole biffé précède \(\Delta_{E/S}\) et un autre le second membre ; l'exposant de \(\underline{O}(1)\) est surchargé (un \(\otimes\) biffé) et n'est pas lu, et la formule s'arrête sur « \(\simeq\) » sans second membre. Le symbole que nous rendons \(\mu_4^{*}\) est un \(\mu\) à hampe double, d'indice \(4\) (lu nettement page 82) et d'exposant \(*\) : l'ensemble des racines primitives quatrièmes de l'unité, torseur sous \(\{\pm 1\}\).

82de \(k\)). On peut dire aussi que la donnée de \(k\) équivaut à celle d'un paire ⌜couple⌝ \((\alpha, k)\), où \(\alpha\) est une section de \(\mu_4^{*} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}}\), et où \(k\) est un iso (31) compatible avec \(\alpha\) en un sens évident. Pour \(\alpha\) fixé, les \(k\) correspondants forment les sections d'un torseur sous \(\mu_2\) — le torseur des épinglages de Legendre de \(E/S\), […] de ⌜associé à⌝ « l'épinglage partiel » \(\alpha\).

La catégorie groupoïde ⌜fibrée⌝ (qui est un champ en groupoïdes) des courbes elliptiques relatives, munies d'un épinglage de Legendre, équivaut à celle des triplets \((\underline{J}, t, \alpha)\), où \[ \begin{cases} \text{a) } \underline{J} \text{ rev.\ étale cubique de } S \\ \text{b) } t \text{ section de } \Sigma_{\underline{J}}^* \\ \text{c) } \alpha \text{ section de } \mu_4^{*} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}} \text{, i.e.\ iso.\ } \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega}_{\underline{J}} \end{cases} \] NB Il faudrait expliciter la construction de \(E\), en fonction des données […] (via fonction \(\wp\) de Weierstrass) […] aucun numéro n'est écrit devant ces données ; la page 83 renvoie à « un objet (34) », qui semble être un tel triplet. La note marginale est écrite en oblique dans le coin inférieur gauche, et se rattache aux données a), b), c) par une accolade.

83p. 6 de l'auteur. On définit des Le catégorie ⌜champ⌝ en question n'est pas rigide — i.e. un objet peut avoir des automorphismes non triviaux. Les ⌜Les⌝ automorphismes ⌜d'un objet (34)⌝ sont ⌜[…]⌝ définis par des automorphismes de \(\underline{J}\), i.e. deux des sections des schémas en groupes étales \(\mathfrak{S}_{\underline{J}}\), qui sont compatibles avec les données b) et c). La compatibilité avec c) signifie que c'est une section de \[ \mathfrak{S}_{\underline{J}}^{+} \simeq \underbrace{S}_{\substack{\text{correspond}\\ \text{à la section}\\ \text{unité des}\\ \text{schémas en groupes}}} \amalg\ \underline{\omega}_{\underline{J}} \] une section qui est \(\neq \mathrm{id}\) sur tte fibre géom. revient donc : une section de \(\underline{\omega}_{\underline{J}}\), soit \(\rho\) — de sorte que \(\underline{J}\) devient un torseur sous \((\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})_S\). La compatibilité avec b) signifie que \(t = \rho(t)\) i.e. que \(t\) correspond à ⌜est une⌝ section du sous-schéma \[ \underline{P}_{\underline{J}} \subset \Sigma_{\underline{J}}^*, \qquad \underline{P}_{\underline{J}} = \bigl(\Sigma_{\underline{J}}\bigr)^{\mathfrak{S}_{\underline{J}}^{+}} \] […] dès que […] un symbole biffé devant \(S\) dans la première formule. Dans la deuxième phrase, l'ajout interligne « … d'un objet (34) … » remplace le début biffé ; sa lecture est incertaine. La formule \(\underline{P}_{\underline{J}} = (\Sigma_{\underline{J}})^{\mathfrak{S}_{\underline{J}}^{+}}\) est écrite sous la ligne et entourée.

84donc que \(E\) est la ⌜une⌝ courbe ⌜elliptique⌝ exceptionnelle hexagonale sur \(S\)…

Pour éliminer les automorphismes, il est naturel de combiner l'épinglage de Legendre avec un épinglage de Fonch ⌜Jacobi⌝ d'échelon 2, on trouve l'épinglage de Legendre–Jacobi d'échelon 2, défini par un couple \((k, u)\), où \(k\) est un ép. de Legendre (31), et où \(u\) est \[ \text{(35)} \qquad u : \underline{J} \xleftarrow{\;\sim\;} \{0, 1, \infty\}_S \] une trivialisation de \(\underline{J}\), i.e. un isom \[ \text{(36)} \qquad \Sigma_{\underline{J}} \xleftrightarrow{\;\sim\;} \mathbb{P}^1_S \] transformant le diviseur \(\{0\}_S + \{1\}_S + \{\infty\}_S\) en \(D_{\underline{J}}\). La catégorie ⌜fibrée⌝ des courbes elliptiques munies d'un tel épinglage est alors rigide, et équivalente à celle définie par les couples \((t, \alpha)\), où \(t\) est une section de \(U_{0,3}\), \(\alpha\) une section de \(\mu_4^{*}\) — donc la cat. champ en « hexagonale » est une lecture incertaine : le mot commence par un h et finit en -gonale ; c'est ce que le contexte appelle (les sections de \(\underline{P}_{\underline{J}}\), points fixes de \(\mathfrak{S}_{\underline{J}}^{+}\), correspondent à la courbe d'invariant \(j = 0\)). Dans (35), la flèche est tracée vers la gauche ; dans (36) elle a une pointe à chaque bout. Le numéro de (36) surcharge un autre chiffre.

85p. 7 de l'auteur. groupoïdes envisagé est représentable par le schéma \[ \text{(37)} \qquad U_{03} \times \mu_4^{*} \] Le fibré \(\Delta_E\) correspondant à la courbe elliptique épinglée (par Legendre–[…]) universelle sur la base \(U_{03} \times \mu_4^{*}\), est isomorphe canoniquement à […] \[ \text{(38)} \qquad \Pi_0 = \underline{O}_{U_{0,3} \times \mu_4^{*}}(1)^{\natural} \] or ici, puisqu'on est sur ⌜au-dessus de⌝ \(\mu_4^{*}\), le fibré en carrés \(Q_{0S}\) (\(S = U_{03} \times \mu_4^{*}\)) est trivial, d'où un iso. can. \[ \text{(39)} \qquad \Pi_0 \simeq \underline{O}_{U_{0,3}}(1) \] La question […] certaine pour les définitions ⌜Mais il faut expliciter le « […] »⌝ naturel pour ces définitions de et les groupes […] épinglées, et examinons ⌜son⌝ action sur \(U_{03} \times \mu_4^{*}\) ainsi que sur \(\Pi_0\). avant (38), une première écriture de la formule, où se lisent \(U_{0,3}\), \(\Pi_0 =\), \(\underline{O}_{U_{0,3}}(1)\) et \(\times \mu\), est biffée. L'exposant que nous rendons \(^{\natural}\) (ici et pages 86, 93 et 96) est un signe en zigzag, en forme d'éclair, que nous ne savons pas identifier. Le second nom propre de la parenthèse n'est pas lu ; c'est le même tracé qui, biffé, précède « Jacobi » page 84.

86Considérons une courbe elliptique relative \(E/S\), alors les données ⌜épinglages⌝ de Legendre \(k : \Delta_{E/S} \simeq \underline{O}_{\Sigma}(1)_t^{\natural}\) forment les sections d'un torseur ⌜\(\mathcal{L}_{E/S}\)⌝ sous \(\mu_{4S}\) — le torseur des épinglages de Legendre de \(E/S\). Construction de torseur par multiplication scalaire de \(\mu_4 \subset (\mathbb{G}_m \ldots)\). On peut le ⌜peut⌝ décrire ce torseur aussi de la façon suivante, sans faire intervenir explicitement \(\underline{O}_{\Sigma}(1)_t^{\natural}\), mais seulement \(\underline{O}_{\Sigma}(1)_t\). Considérons les isom \[ \text{(40)} \qquad k' : \Delta_{E/S} \simeq \underline{O}_{\Sigma}(1)_t \] tels que \(k'^{\otimes 2}\), interprété comme un \[ \text{(41)} \qquad T_{\Sigma,t} \simeq T_{\Sigma,t} \wedge^{\{\pm 1\}} \{\underline{\omega}_{\underline{J}}\} \quad \text{(évidemment unique)} \] ⌜un isom.⌝ provienne d'une section de \(\underline{\omega}_{\underline{J}}\). ⌜Les isom.⌝ forment un torseur ⌜les sections⌝ d'un torseur sous \(\mu_{4S}\), soit \(Q_{E/S}\) (qu'on peut interpréter comme le schéma des sommets d'un dans le premier isomorphisme, un indice biffé après \(\Sigma\). Dans (41), un \(k'^{\otimes 2}\) biffé précède \(T_{\Sigma,t}\), dont l'indice porte aussi une surcharge ; un symbole biffé devant \(\underline{\omega}_{\underline{J}}\). L'ordre des ajouts « un isom. » et « Les isom. » autour de (41) est incertain.

87p. 8 de l'auteur. schéma en carrés combinatoires sur \(S\)) dont le schéma des diagonales s'identifie à \(\underline{\omega}_{\underline{J}}\) : \[ \text{(42)} \qquad \underline{Q}_{E/S}/\mu_2 \simeq \underline{\omega}_{\underline{J}} \] Ceci posé, on voit que l'on a un isom ⌜can.⌝ de \((\mu_4)_S\)-torseurs \[ \text{(43)} \qquad Q_{E/S} \wedge^{\mu_4} Q_{0S} \simeq \mathcal{L}_{E/S} \] i.e. \[ \mathcal{L}_{E/S} \simeq \underline{\mathrm{Isom}}_{\mu_{4S}\text{-tors.}} \bigl(Q_{0S}^{-1}, Q_{E/S}\bigr) \] On aurait pu définir les épinglages de Legendre de \(E/S\) comme les trivialisations de \(Q_{E/S}\), au lieu de celles de \(\mathcal{L}_{E/S}\) — mais on aurait alors une relation moins […] avec les épinglages de Jacobi d'échelon 4.

On voit ⌜donc⌝ que les épinglages ⌜de \(E/S\)⌝ de Legendre forment ⌜les sections d'⌝ un torseur sous \(\mu_4\), telles que le \(\mu_2\)-torseur associé soit can. iso. ⌜à \(\underline{\omega}_{\underline{J}} \wedge \mu_4^{*}\)⌝ ; \[ \text{(44)} \qquad \mathcal{L}_{E/S}/\mu_2 = \mathcal{L}_{E/S} \wedge^{\mu_{4S}} \mu_{2S} \simeq \bigl(\mu_{4S}^{*} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}}\bigr) \] tandis que les épinglages de Jacobi d'échelon dans l'isomorphisme qui suit (43), un exposant biffé sur \(Q_{0S}^{-1}\). Dans (44), un \(\underline{\omega}_{\underline{J}}\) biffé précède la parenthèse.

882 forment les sections d'un torseur sous \((\mathfrak{S}_3)_S\). Donc les bi-épinglages forment les sections d'un torseur sous le groupe constant \[ \text{(45)} \qquad (\mu_4 \times \mathfrak{S}_3)_S \] donc on trouve une action ⌜à droite⌝ du groupe absolu \((\mu_4 \times \mathfrak{S}_3)_{S_0}\) sur […] le schéma modulaire (37) \(U_{0,3} \times_{S_0} \mu_4^{*}\), qu'il faudrait expliciter, en même temps que l'action sur \[ \text{(46)} \qquad \Pi_0 = \underline{O}_{U_{0,3} \times \mu_4^{*}}(1) \] à l'aide de l'action « tautologique » de \(\mathfrak{S}_3\) sur \(U_{03} = \Sigma_{\{0,1,\infty\}} \setminus \{0,1,\infty\}_{S_0}\) via l'action de \(\mathfrak{S}_3\) sur \(V_{\{0,1,\infty\}}(\underline{O}_{S_0})\). \[ \text{(47)} \qquad \begin{cases} \mathfrak{S}_3 \text{ opère sur } U_{03} \times \mu_4^{*} \text{ via } \begin{cases} \text{action tautol.\ sur } U_{03} \\ \text{la \ldots\ } \mathrm{sg}(g) \text{ sur } \mu_4^{*} \end{cases} \\[10pt] \mu_4 \text{ opère sur } U_{03} \times \mu_4^{*} \text{ via } \begin{cases} \text{action triviale sur } U_{03} \\ \text{l'h.\ can.\ } \mu_4 \to \mu_2 = \{\pm 1\}_{S_0} \text{ sur } \mu_4^{*} \end{cases} \end{cases} \] donc \(\mathfrak{S}_3 \times \mu_4\) opère sur le fibré \(U_{03}\) via l' devant \(U_{03} = \Sigma_{\ldots}\), un \(\mathbb{P}\) biffé ; dans \(V_{\{0,1,\infty\}}\), un indice biffé. Le « l'h. can. » se lit sans doute « l'hom. can. ». Le mot qui précède \(\mathrm{sg}(g)\) commence par co- et n'est pas lu ; nous le rendons « … » dans la formule.

89p. 9 de l'auteur. action tautologique de \(\mathfrak{S}_3\), et sur \(\mu_4^{*}\) via la […] mixte \(\mathrm{sg}(g) \cdot \lambda^2\) (\(g \in \mathfrak{S}_3\), \(\lambda \in \mu_4\)). Donc le sous-groupe de \(\mathfrak{S}_3 \times \mu_4\) qui opère trivialement sur \(\mu_4^{*}\) est \[ \text{(48)} \qquad \mathbb{D}'_{3S_0} = (\mathfrak{S}_3)_{S_0} \times_{\mu_{2S_0}} (\mu_4)_{S_0} \] Si on prend comme base absolue non \(S_0\), mais \(\widetilde{S}_0 = (\mu_4^{*})_{S_0}\), de sorte que l'on trouve, sur ces schémas ⌜\(/\widetilde{S}_0\)⌝ envisagés \[ \begin{cases} \mu_{4S}^{*} \text{ muni d'une section canonique } i_S \\ \mu_{4S} \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})_S \end{cases} \] alors le groupe (48) s'identifie au groupe constant sur \(S\) de […] ⌜défini par le groupe ordinaire⌝ \[ \text{(49)} \qquad \mathbb{D}'_3 = \mathfrak{S}_3 \times_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) \] qui est une extension de \(\mathbb{D}_3 \simeq \mathfrak{S}_3\) par \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \simeq \{\pm 1\}\) \[ \text{(50)} \qquad 1 \to \{\pm 1\} \to \mathbb{D}'_3 \to \mathbb{D}_3 \to 1 . \] […] action envisagée de \(\mathfrak{S}_3 \times \mu_4\) Dans le cadre envisagé […] i.e. […] travaillant sur \(\widetilde{S}\) i.e. […] un choix fixé de \(i = \sqrt{-1}\), on peut distinguer dans (50), le premier terme surcharge un \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\). Le début de l'avant-dernière phrase (« […] action … de \(\mathfrak{S}_3 \times \mu_4\) ») est biffé et remplacé par l'interligne « Dans le cadre … ». Nous rendons par \(\mathbb{D}\) la lettre D à double barre de l'auteur.

90les […] épinglages de Legendre–Jacobi « directs », i.e. tels que la section de \(\mu_4^{*}\) qu'ils définissent soit justement \(i\). […] Les ⌜champs des⌝ courbes elliptiques relatives ⌜(sur des \(S/\widetilde{S}_0\))⌝ munies d'épinglages de Legendre–Jacobi directs est représentable par \(U_{03\widetilde{S}_0}\), sur lequel on fait opérer le groupe modulaire \(\mathbb{D}'_3\), qui est aussi le ⌜justement⌝ sous-groupe de \(\mathbb{D}_3 \times \mu_{4\widetilde{S}_0}\) qui fait passer d'un épinglage direct à un épinglage direct.

Revenant au cas de la base absolue \(S_0\), on doit encore expliciter les opérations de \(\mu_4 \times \mathfrak{S}_3\) sur \(\underline{O}_{U_{0,3} \times \mu_4^{*}}(1)\), via l'action tautologique résultant de l'action de \(\mathfrak{S}_3\) sur \(V_{\{0,1,\infty\}}(\underline{O}_{S_0})\) et ⌜de \(\mathfrak{S}_3\) et⌝ de \(\mu_4\) sur le facteur \(\mu_4^{*}\) d'autre part. On désigne l'action tautologique d'un \((g, \lambda)\) par \(\zeta \in \Gamma\underline{O}_{U_{03}}(1)(A)\) dans \(\underline{O}_{U_{0,3} \times \mu_4^{*}}(1)\), un symbole biffé entre \(\underline{O}\) et \((1)\) ; dans la dernière formule, l'indice \(U_{03}\) surcharge un autre. La phrase se poursuit page 91.

91p. 10 de l'auteur. ⌜(où \(t : S \to U_{03}\))⌝, par la substitution ordinaire \((g, \lambda) \cdot \zeta\), et on trouve que l'on a, pour l'action modulaire \(T_{g,\lambda}\) sur \(\zeta\) : \[ \begin{aligned} &\text{(51)} \qquad T_{g,\lambda}\, \zeta = \lambda\, (g,\lambda) \cdot \zeta && \zeta \in \Gamma\underline{O}_{U_{03}}(1)(t) \\ &\text{(52)} \qquad T_{g,\lambda}\, \eta = \lambda^2\, (g,\lambda) \cdot \eta && \eta \in \Gamma\underline{O}_{U_{0,3}}(2)(t) \\ &\text{(53)} \qquad T_{g,\lambda}(\tau) = \lambda^2\, \mathrm{sg}(g)\, (g,\lambda) \cdot \tau && \tau \in \Gamma\,\underline{O}_{U_{03}}(2)(t) \end{aligned} \] Quand on se restreint au sous-groupe \(\mathbb{D}'_{3S_0}\), pour lequel on a \(\lambda^2 = \mathrm{sg}(g)\), on trouve donc par (51), (52), (53) \[ \begin{aligned} &\text{(51 bis)} \qquad T_g\, \zeta = \chi_4(g)\, (g \cdot \zeta) \\ &\text{(52 bis)} \qquad T_g\, \eta = \mathrm{sg}(g^{0})\, (g \cdot \eta) \\ &\text{(53 bis)} \qquad T_g(\tau) = g \cdot \tau \end{aligned} \] où \(g \in \Gamma(\mathbb{D}'_{3S})\) pour \(S\) sur \(S_0\), \[ \text{(54)} \qquad \chi_4 : \mathbb{D}'_{3S_0} \to \mu_4 \] le caractère canonique (de sorte que \(\mathbb{D}'_{3\,\mathrm{ab}} \simeq \mu_4\)). la parenthèse initiale « (où \(t : S \to U_{03}\)) » est écrite au-dessus de la première ligne et reliée à \(\zeta\) par un trait. Dans (51), un mot biffé suit \(\lambda\) ; dans (52), le premier \(\eta\) surcharge un \(\zeta\) ; dans (53), le fibré dont \(\tau\) est section est surchargé et récrit en dessous, d'une lecture incertaine (on lit \(\underline{O}_{U_{03}}(2)\) et un exposant biffé). Dans (51 bis), un \(\lambda\) biffé suit \(T_g\) et un \(\mathrm{sg}(g)\) biffé précède \(\chi_4(g)\) ; dans (53 bis), un symbole biffé précède \(g \cdot \tau\). L'exposant \(^{0}\) de (52 bis) est lu tel qu'il est écrit.

92Ces dernières formules sont surtout intéressantes dans le contexte où on travaille […] sur les la base absolue \(\widetilde{S}_0\) et avec les structures de Legendre⌜–Jacobi⌝ directes, et où le schéma modulaire \(U_{03} \times_{S_0} \mu_4^{*}\) sur \(S_0\) est remplacé par \(U_{03\widetilde{S}_0}\) (\(= U_{03} \times_{S_0} \mu_4^{*}\) !) sur \(\widetilde{S}_0\), et le groupe modulaire \(\mathbb{D}_{3S_0} \times_{S_0} \mu_{4S_0}\) est remplacé par le ⌜sous-⌝groupe \(\mathbb{D}'_{3\widetilde{S}_0}\) de […] son image inverse sur \(\widetilde{S}_0\).

ici un trait horizontal de l'auteur sépare deux développements.

Il faut maintenant définir les épinglages de Jacobi d'échelon 4 relatifs à ceux d'échelon 2, i.e. des sections ⌜qui sont des sections (variables)⌝ de \({}_4E \to {}_2E\) au-dessus de \(\underline{J}_E = ({}_2E)^{*}\), satisfaisant la condition exprimée […] sur chaque fibre géométrique par \(\xi_i + \xi_j + \xi_k = 0\), et montrer comment un tel épinglage définit canoniquement un épinglage de Legendre. Dans le passage « relatifs à ceux d'échelon 2 », le mot que nous lisons « ceux » est très abrégé. Les indices de la relation \(\xi_i + \xi_j + \xi_k = 0\) sont d'une lecture incertaine.

93p. 11 de l'auteur. Mais avant, un commentaire. Quand on donne \(\underline{J}\), rev. cubique étale de \(S\), et une section \(t\) de \(\Sigma_{\underline{J}}^{*}\), dans la donnée d'une courbe elliptique relative sur \(S\), correspondant ainsi aux données \(\underline{J}, t\), équivaut à celle d'un module inv. \(T\) sur \(S\), et d'un isom (5) \[ \text{(*)} \qquad T^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma,t} \] Quand on a disposé déjà d'un tel \(T\), soit \(T_0\), dans la catégorie des \(T\) ⌜sur \(S\)⌝ munis de (*) équivaut à celle des \(\mu_{2S}\)-torseurs \(\underline{\varepsilon}\) sur \(S\), moyennant l'équivalence \[ \text{(55)} \qquad \underline{\varepsilon} \longmapsto T = T_0 \wedge^{\mu_{2S}} \underline{\varepsilon} \] Ici, on a envie de prendre \[ \text{(56)} \qquad T_0 = \underline{O}_{\Sigma}(1)(t)^{\natural} = \underline{O}_{\Sigma}(1)(t) \wedge^{\mu_4} Q_{0S} \] mais on a un iso. can. \[ T_0^{\otimes 2} \simeq \underline{O}_{\Sigma}(2)(t) \wedge^{\mu_2} \mu_4^{*} \simeq T_{\Sigma,t} \wedge^{\mu_2} \bigl(\mu_4^{*} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}}\bigr) \] et pour avoir un iso. « raisonnable » \(T_0^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma,t}\), il faut se donner un section iso \[ \alpha : \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega}_{\underline{J}} \quad \text{i.e.\ une section de } \mu_4^{*} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}} \] (ce qui est une des données indiquées par un épinglage de Legendre d'une courbe elliptique \(E/S\) correspondant à \(\underline{J}\)…). Une fois \(\alpha\) fixé, on le premier « dans » de la deuxième phrase est tel qu'écrit. La référence « (5) » renvoie à une formule d'un lot antérieur ; le repère « (*) » est un signe de l'auteur. Devant \(\alpha\), dans la dernière formule, un signe biffé.

94trouve l'isom \[ k_\alpha : T_0^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma,t} \] ⌜corr. à \(\underline{J}, t\)⌝ une courbe elliptique \(E_\alpha\), munie d'un […] ⌜épinglage⌝ de Legendre standard associé à \(\alpha\) (puisque \(T_{E_\alpha,0} \simeq T_0\)…). Ceci posé, pour une courbe elliptique quelconque \(E\) sur \(S\), corr. à \(\underline{J}, t\), les épinglages de Legendre sur \(E\) subordonnés à \(\alpha\) forment (on l'a vu) les sections d'un \(\mu_2\)-torseur \(\mathcal{L}_\alpha(E)\) sur \(S\), et on voit de suite qu'on a un isom de \(\mu_2\)-torseurs \[ \text{(57)} \qquad \underbrace{\underline{\mathrm{Isom}}_{S,\underline{J}}(E_\alpha, E)}_{% \substack{\text{l'indice } \underline{J} \text{ signifie qu'on prend les iso.}\\ \text{compatibles aux } \underline{J} \simeq {}_2E \simeq {}_2E_\alpha}} \xrightarrow{\;\sim\;} \mathcal{L}_\alpha(E), \qquad u \longmapsto u(k_\alpha) \] Si, au lieu d'une section \(\alpha\) de \(\mu_4^{*} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}}\), on disposait d'une section \(\omega\) de \(\underline{\omega}_{\underline{J}}\) lui-même, on pourrait encore définir une courbe elliptique \(E_\omega\) canonique corr. à \(\underline{J}, t\), et munie d'un « ép. de Legendre naïf » ⌜i.e. d'un iso. \(T_{E,0} \simeq \underline{O}_{\Sigma}(1)(t)\) tel que…⌝), et i.e. la courbe elliptique universelle, corr. à \(\underline{J}, t\) et munie d'un épinglage de Legendre subordonné à \(\alpha\)… la note marginale est écrite en oblique dans le coin supérieur gauche et reliée par un trait à « une courbe elliptique \(E_\alpha\) » ; sa lecture est en partie incertaine. Au-dessus de « épinglage », un mot biffé. Avant (57), une première écriture « \(\mathcal{L}_\alpha(E) \leftarrow\) » est biffée. Le « \(\alpha\) » ajouté au-dessus de « section » de l'avant-dernière phrase est de l'auteur.

95trouvant une sol. universelle pour […] ⌜de telles⌝ données (\(\underline{J}\) torseur sous \((\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})_S\), \(t \in \Gamma(\Sigma_{\underline{J}}^{*}/S)\), \(\omega \in \Gamma(S, \underline{\omega}_{\underline{J}})\) correspondant à la structure de torseur sur \(\underline{J}\), et donnant lieu à une trivialisation de \(\underline{\omega}_{\underline{J}}\) sur \(S\)…). Les deux points de vue sont équivalents, quand on se fixe une section \(i\) de \(\mu_4^{*}\), i.e. quand on travaille au-dessus de la base \(\widetilde{S}_0 = \mu_{4S_0}^{*}\) (\(S_0 = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[\tfrac{1}{2}]\)).

ici un trait horizontal de l'auteur sépare deux développements.

Explicitons entièrement la notion d'épinglage de Legendre, du point de vue calculatoire, sur une base réduite à un corps alg. clos \(k\) pour simplifier, en décrivant la courbe elliptique \(E\) sur \(k\) en termes \[ \begin{aligned} &\text{de } \underline{J} \ (= {}_2E(k)^{*}) \text{ (ens.\ à trois éléments)}, \text{ de la}\\ &\text{(58)} \quad k\text{-vectoriel } V_{\underline{J}} = \operatorname{Ker}\bigl(k^{\underline{J}} \xrightarrow{\text{somme}} k\bigr) \text{ (d'où} \\ &\text{(59)} \quad \Sigma_{\underline{J}} = \mathbb{P}^1(V_{\underline{J}}), \text{ avec des } \xi_i \in \Sigma_{\underline{J}}(k) \ (i \in \underline{J}) \text{ distincts,}\\ &\qquad \Sigma_{\underline{J}}^{*} = \Sigma_{\underline{J}} - \{\xi_i\}_{i \in \underline{J}}\text{)}, \text{ et un } t \in \Sigma_{\underline{J}}^{*} \text{ i.e.\ une droite}\\ &\text{(60)} \quad F_t \subset V_{\underline{J}}, \end{aligned} \] enfin un \(k\)-module inv. \(\underline{t}_E\) ⌜(\(= \underline{t}_E\))⌝ et un isom \[ \text{(61)} \qquad \nu \ (= \nu_E) : \underline{t}_E^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma_{\underline{J}},t} . \] Il faut d'abord expliciter calculatoirement \(T_{\Sigma_{\underline{J}},t}\) \(\xi_i = k \cdot (e_j - e_k)\) ou \((e_i)\) est la base canonique de \(V_{\underline{J}}\) les données « de \(\underline{J}\)… » et « \(k\)-vectoriel \(V_{\underline{J}}\)… » sont encadrées sur la page ; nous les disposons en tableau. Dans (58) un symbole biffé suit le signe \(=\) ; dans (59) l'exposant de \(\mathbb{P}^1\) surcharge un indice. Dans (61) l'indice \(E\) de \(\nu_E\) et celui de \(\underline{t}_E\) sont surchargés. La note marginale, écrite de biais à gauche de (59), est d'une lecture incertaine ; « ou » y est tel qu'écrit, pour « où ». L'ajout « (\(= \underline{t}_E\)) » est lu tel quel.

96comme \[ \text{(62)} \qquad \begin{cases} T_{\Sigma_{\underline{J}},t} \simeq \underline{O}_t(2)(\underline{\omega}) \\ \text{avec } \underline{O}_t(2) \overset{\mathrm{def}}{\simeq} \underline{O}_t(1)^{\otimes 2}, \quad \underline{O}_t(1) \simeq V_{\underline{J}}/F_t \simeq \check{F}_t(\underline{\omega}) \end{cases} \] de sorte que \(\nu_E\) s'interprète comme un isom \[ \text{(63)} \qquad \nu : \underline{t}_E^{\otimes 2} \simeq F_t^{\otimes(-2)}(\underline{\omega}) \qquad \text{ou aussi comme} \qquad \check{\nu} : \underline{t}^{\otimes -2} \simeq F_t^{\otimes 2}(\underline{\omega}) \] (NB \(\underline{\omega} = \underline{\omega}_{\underline{J}}\), un des deux ordres circulaires sur \(\underline{J}\)). Les données de base sont donc, pour nous, \(\bigl[\underline{J}\) (\(\mapsto \underline{\omega} = \underline{\omega}_{\underline{J}}\), […] et \(V_{\underline{J}} = V_{\underline{J}}(k)\)), \(F_t \hookrightarrow V_{\underline{J}}\), \(\underline{t}\), \(\nu : \underline{t}^{\otimes 2} \simeq F_t^{\otimes(-2)}(\underline{\omega})\bigr]\).

Ceci posé, la donnée d'un épinglage de Legendre s'explicite comme un isom \[ \text{(64)} \qquad k : \underline{t} \xrightarrow{\;\sim\;} \underline{O}_t(1)^{\natural} \] i.e. comme une famille d'isomorphismes \[ \text{(65)} \qquad \begin{cases} (k_i)_{i \in \mu_4^{*}}, \quad k_i : \underline{t} \xrightarrow{\;\sim\;} \underline{O}_t(1) \simeq \check{F}_t(\underline{\omega}) \\ k_{i'} = i\, k_i \qquad \text{si } i' = 1/i \text{ est l'autre élément de } \mu_4^{*} \end{cases} \] ou encore, dans familles \[ \text{(66)} \qquad \begin{cases} (\check{k}_i)_{i \in \mu_4^{*}}, \quad \check{k}_i : \check{\underline{t}} \simeq F_t(\underline{\omega}) \\ \check{k}_{i'} = \tfrac{1}{i}\, \check{k}_i , \end{cases} \] satisfaisant à une certaine condition : \[ \text{(67)} \qquad \begin{cases} k_i^{\otimes 2} : \underline{t}^{\otimes 2} \xrightarrow{\;\sim\;} \check{F}_t^{\otimes(-2)} \text{ est de la forme} \\ k_i^{\otimes 2}(\delta^{\otimes 2}) = \nu(\delta^{\otimes 2}) \wedge \omega_i \end{cases} \] où \(\omega_i \in \underline{\omega}\) est un élément convenable de \(\underline{\omega}\), bien déterminé non par \(k, i\), en fait par \(k_i\). \(\mu_4^{*} = \mu_4^{*}(k)\), racines d'ordre \(4\) de \(k^{*}\) dans (63), l'accent de \(\check{F}_t\) et l'exposant \(\otimes(-2)\) sont surchargés. Le mot illisible de la liste des données de base est un symbole barré suivi de « et ». Dans (67), l'accent sur \(F_t\) est un circonflexe surchargé ; la lettre que nous lisons \(\delta\) (comme page 97, où \(\delta \in \underline{t}^{*}\)) est tracée ici de façon peu nette, et n'est pas introduite sur la page. L'indice \(i\) de \(k_i\), \(\omega_i\) est écrit avec un point et désigne un élément de \(\mu_4^{*}\).

97On aura donc \[ \text{(68)} \qquad \begin{cases} \omega_{i'} = -\omega_i \\ \text{i.e.\ } i \mapsto \omega_i \text{ est une bijection} \\ \qquad \alpha = \alpha_k : \mu_4^{*} \xrightarrow{\;\sim\;} \underline{\omega} \end{cases} \] On va expliciter la donnée des \(k\), ⌜donnant un préalable⌝ \(\alpha : \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega}\) associé à un isom. \(\alpha = (i \mapsto \omega_i) : \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega}\), via les \(\check{k}_i\). On aura, pour \(\delta \in \underline{t}^{*}\) \[ \text{(69)} \qquad \check{k}_i(\check{\delta}) = \underbrace{\psi_i(\delta)}_{\in F_t} \wedge \omega_i = \underbrace{\psi^{\omega_i}(\delta)} \wedge \omega_i , \] où \[ \text{(70)} \qquad \bigl(\psi^{\omega}(\delta)\bigr)_{\omega \in \underline{\omega}} \in (F_t)^{\underline{\omega}} \] est une famille […] de deux éléments de \(F_t\), indexée par \(\underline{\omega}\). La condition ⌜(65) ou⌝ (66) s'explicite comme \[ \underbrace{\psi^{\omega_{i'}}(\delta) \wedge \omega_{i'}}_{\substack{\psi^{\omega'}(\delta) \wedge \omega' \\ = -\psi^{\omega'}(\delta) \wedge \omega}} = \frac{1}{i}\, \underbrace{\psi^{\omega_i}(\delta) \wedge \omega_i}_{\psi^{\omega}(\delta) \wedge \omega} \qquad \text{i.e.\ } \psi^{\omega'}(\delta) = -\frac{1}{i}\, \psi^{\omega}(\delta) \] […] si ⌜on pose⌝ \(\omega \overset{\mathrm{def}}{=} \omega_i\), \(\omega' = \) autre él. de \(\underline{\omega}\), i.e. \[ \text{(71)} \qquad \psi^{\omega'}(\delta) = i_\omega\, \psi^{\omega}(\delta) \qquad \text{où } i_\omega \overset{\mathrm{def}}{=} \alpha^{-1}(\omega) \] On doit avoir de plus \[ \text{(72)} \qquad \psi^{\omega}(\lambda\delta) = \frac{1}{\lambda}\, \psi^{\omega}(\delta) , \] qui ex et enfin il faut exprimer (67), NB Comme la donnée d'une … dans l'iso. \(\alpha : \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega}\), les deux relations (67) […] […]… sous « \(-\frac{1}{i}\) » de la condition, l'auteur écrit par une accolade « \(i\) » : \(-1/i = i\) dans \(\mu_4^{*}\), d'où (71). Dans (68), un mot biffé en tête, et un autre après « bijection » ; l'indice de \(\alpha_k\) surcharge une autre lettre. La note marginale, écrite de biais en haut à gauche, n'est lue qu'en partie. Le \(\check{\delta}\) de (69) porte un accent sur la lettre et un point devant \(\check{k}\).

98qui précisément sous forme contragrédiente \[ \check{k}_i^{\otimes 2}(\check{\delta}^{\otimes 2}) = \check{\nu}(\check{\delta}^{\otimes 2}) \wedge \omega_i , \] en termes des \(\psi^{\omega}(\delta)\), comme \[ \text{(73)} \qquad \psi^{\omega}(\delta)^{\otimes 2} = \check{\nu}(\check{\delta}^{\otimes 2}) \wedge \omega . \] On trouve ainsi le

Lemme Les épinglages de Legendre de données \(\bigl(\underline{J}, F_t \subset V_{\underline{J}}(k), \underline{t}, \check{\nu} : \check{\underline{t}}^{\otimes 2} \simeq F_t^{\otimes 2}(\underline{\omega})\bigr)\), s'identifiant aux systèmes \(\bigl(\alpha, (\psi^{\omega}(\delta))_{\omega \in \underline{\omega}}\bigr)\), où \(\alpha : \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega}\), et où \((\psi^{\omega}(\delta))_{\omega \in \underline{\omega},\, \delta \in \underline{t}^{*}} \in (F_t)^{\underline{\omega} \times \underline{t}^{*}}\) satisfaisant ⌜produit \(\underline{\omega} \times \underline{t}^{*}\)⌝ est une famille indexée par l'ens. […] (notons \(\underline{\omega} = \underline{\omega}_{\underline{J}}\)), satisfaisant les conditions (71) (72) (73).

[…] Nous allons maintenant expliciter la donnée d'une famille ⌜à deux indices⌝ \((\psi^{\omega}(\delta))_{\omega \in \underline{\omega},\, \delta \in \underline{t}^{*}}\), à val. dans \(F_t\), en termes des […]. Moyennant \[ F_t \subset V_{\underline{J}} = \operatorname{Ker}\bigl(k^{\underline{J}} \xrightarrow[\text{somme}]{} k\bigr) , \] on voit donc qu'elles s'expriment comme une famille à trois indices d'éléments de \(k\) : \[ \text{(74)} \qquad \bigl(\psi_i^{\omega}(\delta)\bigr)_{\substack{i \in \underline{J} \\ \omega \in \underline{\omega} \\ \delta \in \underline{t}^{*}}}, \qquad \psi_i^{\omega}(\delta) \in k \] Le fait que la famille d'éléments de \(k^{\underline{J}}\) NB Moyennant (71) (ou (72)), les deux relations (73), pour les deux él. \(\omega \in \underline{\omega}\), sont équivalentes, il suffit […]… « Lemme » est souligné. Dans l'énoncé, l'ajout interligne, sous un « satisfaisant » biffé, se lit « pr. […] \(\underline{\omega} \times \underline{t}^{*}\) » et est lui-même souligné d'un trait qui le barre peut-être. La note marginale, serrée en haut à droite, est surchargée dans ses deux dernières lignes. Le mot qui suit « en termes des » n'est pas lu ; « Moyennant » est une lecture du mot qui ouvre la ligne suivante.

99indexée par \(\underline{\omega} \times \underline{t}^{*}\) soit une famille d'éléments de \(V_{\underline{J}}(k)\) s'exprime par la formule \[ \text{(75)} \qquad \sum_{i \in \underline{J}} \psi_i^{\omega}(\delta) = 0 \] les […] conditions (71) et (72) s'expriment ensuite en termes des \(\psi_i^{\omega}(\delta)\), comme \[ \begin{aligned} &\text{(76)} \qquad \psi_i^{\omega'}(\delta) = i_\omega\, \psi_i^{\omega}(\delta) \\ &\text{(77)} \qquad \psi_i^{\omega}(\lambda\delta) = \lambda^{-1}\, \psi_i^{\omega}(\delta) . \end{aligned} \] Il reste à exprimer le fait que les éléments \(\psi^{\omega}(\delta) \in V_{\underline{J}}(k)\) définis par les \((\omega, \delta) \in \underline{\omega} \times \underline{t}^{*}\) sont dans \(F_t\) — moyennant (76), (77) il suffit de l'exprimer pour un seul couple \((\omega, \delta)\) —, et la condition (73). Si on définit \(F_t\) […] comme […] deux […] […] d'une forme linéaire sur \(V_{\underline{J}}\) […], on écrira (77) \(\sum_{i \in \underline{J}} \psi_i^{\omega}(\delta)\, e_i\) — \[ F_t = \Bigl\{ \sum \lambda_i e_i \Bigm| \sum \lambda_i = 0,\ \sum c_i \lambda_i = 0 \Bigr\} \] [NB L'élément \((c_i)_{i \in \underline{J}}\) de \(k^{\underline{J}}\) est déterminé modulo multiplication par \(k^{*}\) et addition d'un élément diagonal], cette la condition \(\psi^{\omega}(\delta) \in F_t\) s'exprime par la condition calculatoire \[ \text{(78)} \qquad \sum_{i \in \underline{J}} c_i\, \psi_i^{\omega}(\delta) = 0 . \] Il reste ⌜ensuite⌝ à exprimer (73) \((e_i)_{i \in \underline{J}}\) base canonique de \(k^{\underline{J}}\) le passage biffé entre « la condition (73) » et la formule donnant \(F_t\) occupe deux lignes et une formule numérotée (77), elle aussi biffée ; le numéro (77) est donc employé deux fois sur la page. Devant l'accolade de \(F_t\), et devant \(k^{\underline{J}}\) dans le NB, un symbole biffé ; dans la formule de \(F_t\), un facteur biffé après \(\sum c_i \lambda_i\).

IV Descriptions explicites par fonctions \(\wp\) de Weierstrass

titre écrit de la main de l'auteur en haut d'une feuille (page 100 de l'archive) par ailleurs blanche ; il annonce la suite, qui commence au lot suivant. Le « \(\wp\) » est surchargé sur le mot « fonctions ».