Fonds Grothendieck, cote n° 64, pages 61–80

(au dessus duquel X^* est étale ~~galoi~~ principal de groupe \underline{V}\}, tel comme E sur E_0) mais non ramifiés aux pts de D_J \subset \Sigma_J (vu que E_0/\Sigma_J y est ramifié, mais non E/X au-dessus des points de \Delta = X|D_J, or si c'était contraire il en résulterait que E_0/\Sigma_J est étale ~~sur~~ sur les pts de D_J aussi, par descente plate…). (Quand = il doit être facile de vérifier que le diagramme total se reconstitue : partir de E_0 (\longmapsto \Sigma = \Sigma_{\underline{J}}, et \underline{J}, et partant de \Sigma^*), et E_0 \to \Sigma,) et des revêtements ~~principal~~ X de \Sigma étales avec groupe \underline{V} : la donnée de (E_0, I) ~~doit être~~ est équivalente (E, \sigma) i.e. de couples : E_0 et des revêtements X (d'où un faisceau \underline{K} et \underline{I} \simeq \underline{K}_1(X|t)…)

Cela montre que localement (E, \sigma) i.e. le I est un de la , on se ramène par le cas E = E_0, \sigma = \sigma_0, donc I = \underline{V} = {}_2E_0 = M_0, torseur trivial. On a donc X = \Sigma_J et on trouve donc

p. 10 de l'auteur, chiffrée en tête de page. une application canonique (30) \qquad \Sigma_{\underline{J}} \xrightarrow{\;f_2^t\;} \Sigma_{\underline{J}} c'est l'application déduite par passage au quotient de 2\,\mathrm{id}_{E_0} : E_0 \to E_0 qui doit pouvoir se définir en termes de \underline{J}, et de la seule section t de \Sigma_{\underline{J}} (ce qui me semble déterminer E_0, à isomorphismes (non uniques) près loc. pour la top. étale…) On a ici ~~\underline{I} = \underline{J} \amalg~~ (31) \qquad \underline{I}_t = \underline{J} \amalg t(S) NB comme S-schéma, \underline{I}_t ne dépend pas de t, modulo iso. can. il faudrait revenir aux descriptions intrinsèques des intervenant courbes elliptiques la seconde note marginale est écrite en diagonale dans la marge gauche, à hauteur de (30), et reliée par un trait double au « qui doit pouvoir se définir » ; elle n'est lue qu'en partie. comme V_{\underline{I}} \simeq V_{\underline{J}}, et ~~E_0~~ \underline{V} peut se décrire comme opérant sur \underline{I} de la façon canonique, ~~cette~~ opération se prolongeant en une opération sur \Sigma_{\underline{J}} (dépendant de la section t de \Sigma_{\underline{J}}^*). L'~~application~~ morphisme f_t est défini sans ambiguïté par les conditions suivantes (où on a supposé pour simplifier que \underline{J} = J_S, J un : trois éléments) : (32) \quad \begin{cases} \forall\, i \in J, \text{ si } \sigma_i^t \in \operatorname{Aut}_S(\Sigma_J) \text{ est l'automorphisme qui échange } t \text{ et } i, \\ \qquad \text{et } j \text{ et } k \ (\text{où } \{i,j,k\} = J), \text{ et } \Delta_i^t = (\Sigma_J)^{\sigma_i^t}, \\ f(\Delta_i^t) = \text{section } \xi_i \text{ de } D_{\underline{J}} \simeq J_S \end{cases} avant la seconde ligne de (32), un « alors f(\Sigma_J^{\sigma_i}) » biffé. et cela doit impliquer automatiquement (33) \qquad f_t\bigl(I_S = J_S \cup t(S)\bigr) \subset t(S) devant t(S), le mot « section » est biffé.

Faisons les calculs pour J = \{0, 1, \infty\} \subset \mathbb{P}^1_S, on trouve facilement : (34) \quad \begin{cases} \sigma_0^t(z) = \dfrac{z - t}{z - 1} & (\text{éch.\ } 0 \text{ et } t,\ 1 \text{ et } \infty) \\[1ex] \sigma_1^t(z) = t/z & (\text{éch.\ } 1 \text{ et } t,\ 0 \text{ et } \infty) \\[1ex] \sigma_\infty^t(z) = t\,\dfrac{z - 1}{z - t} & (\text{éch.\ } \infty \text{ et } t,\ 0 \text{ et } 1) \end{cases} \qquad \text{NB } \sigma_\infty^t = \sigma_0^t \sigma_1^t On trouve donc (35) \quad \begin{cases} \Delta_0^t : \text{solutions de } z^2 - 2z + t = 0, & \Delta_0^t = \{1 \pm \sqrt{1-t}\} \\ \Delta_1^t : \text{\phantom{solutions de }} z^2 - t = 0 & \Delta_1^t = \{\pm \sqrt{t}\} \\ \Delta_\infty^t : \text{\phantom{solutions de }} z^2 - 2tz + t = 0 & \Delta_\infty^t = \{t \pm \sqrt{t(1-t)}\} \end{cases} les deuxième et troisième lignes répètent « solutions de » par un trait. et on doit avoir (36) \qquad f_2^t : \quad \begin{aligned} \Delta_0^t &\longrightarrow 0 \\ \Delta_1^t &\longrightarrow 1 \\ \Delta_\infty^t &\longrightarrow \infty \end{aligned} \qquad \underline{\text{avec multiplicité } 2} ce qui nous donne (puisque les zéros et pôles de f_2^t de degré quatre sont connus) f_2^t(z) = c_t \left( \frac{z^2 - 2z + t}{z^2 - 2tz + t} \right)^2 \qquad c_t \text{ section de } \underline{\mathcal{O}}_S^*, dont la valeur s'obtient en écrivant que \Delta_1^t \to 1. Mais si \zeta est une solution de \Delta_1^t i.e. \zeta^2 = t, on a \begin{aligned} \zeta^2 - 2\zeta + t &= 2(t - \zeta) \\ \zeta^2 - 2t\zeta + t &= 2t(1 - \zeta) \end{aligned} f_2^t(\zeta) = c_t \left( \frac{2(t - \zeta)}{2t(1 - \zeta)} \right)^2 = c_t/t^2 \left( \frac{t - \zeta}{1 - \zeta} \right)^2 entre c_t/t^2 et le dernier facteur, une fraction biffée, ~~\frac{\zeta^2 - 2t\zeta + t^2}{\zeta^2 - 2\zeta + 1}~~, remplacée par \left(\frac{t-\zeta}{1-\zeta}\right)^2. Or ~~\frac{t^2 + t - 2t\zeta}{1 + t - 2\zeta}~~ \frac{t - \zeta}{1 - \zeta} = \frac{(t - \zeta)(1 + \zeta)}{(1 - \zeta)(1 + \zeta)} = \frac{-\zeta^2 + (t-1)\zeta + t}{1 - \zeta^2} = \frac{(t-1)\zeta}{1 - t} = -\zeta donc f_2^t(\zeta) = \frac{c_t}{t^2}\, \zeta^2 = \frac{c_t\, t}{t^2} = \frac{c_t}{t} \qquad \text{d'où} \qquad c_t = t les deux calculs biffés sont barrés de traits obliques ; la première ligne de l'identité en \zeta est surchargée (un « t » corrigé devant -2\zeta).

p. 11 de l'auteur, chiffrée en tête de page. et par suite (37) \qquad f_2^t(z) = t \left( \frac{z^2 - 2z + t}{z^2 - 2tz + t} \right)^2 Il reste : vérifier que les valeurs de cette fonction pour z = 0, 1, \infty et t, sont égales à t, i.e. que celle de \dfrac{z^2 - 2z + t}{z^2 - 2tz + t} est égale à \pm 1. Pour 0, \infty, 1 on trouve 1, pour z = t on trouve \dfrac{t^2 - t}{t - t^2} = -1, OK.

NB En prenant la n-ième itérée de f_2^t, on trouve le morphisme f_{2^n}^t, qui correspond par passage au quotient à 2^n \mathrm{id}_{E_0}. L'image inverse de la section t par f_{2^n}^t = (f_2^t)^{\circ n} est l'image par p : E_0 \to \Sigma_J \simeq E_0/\{1, \sigma_{E_0}\} du ~~l'ensemble~~ sous-schéma en groupes {}_{2^n}E_0 des points annulés par 2^n.

4. Détermination de M_{11}(4).

Soit E une courbe elliptique sur S (où car. résiduelles \neq 2), considérons (38) \qquad M = {}_4E schéma en groupes sur S loc. isom. à (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^2, i.e. ~~syst. local~~ faisceau abélien ~~pour~~ sur S_{\text{ét}} qui est un (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})_S-module loc. libre de rg 2.

~~(39)~~ On sait qu'on a

\begin{tikzcd} 0 \arrow[r] & M_0 \arrow[r] & M \arrow[r, "\mathrm{can}"] & M_0 \arrow[r] & 0 \\ & M \arrow[u] \arrow[ur, "2\,\mathrm{id}_M"'] & & & \end{tikzcd}

(39), où M_0 = M \otimes_{\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}} \mathbb{F}_2 \simeq {}_2E . le numéro (39) est écrit en marge gauche de la suite exacte, un premier « (39) » biffé au-dessus ; la flèche verticale M \to M_0 est tracée vers le haut, sans étiquette lisible.

La donnée d'un M équivaut à celle d'un M_0 (i.e. d'un \underline{J} ~~rev.~~ rev. étale de degré 3 sur S (40) \qquad \underline{J} \simeq M_0^*, \quad M_0 = V_{\underline{J}}(\mathbb{F}_2) \simeq \mathbb{F}_2^{\underline{J}} / \underset{\text{diag}}{\mathbb{F}_2}\ ), et d'un torseur P sous (41) \qquad \text{« } V_{\underline{J}}(M_0) \text{ »} \simeq \underline{\mathrm{End}}_{\mathbb{F}_2, S}(M_0) \simeq M_0 \oplus \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \underline{\omega} est le rev. étale de degré 2 « des orientations » associé au rev. \underline{J} de degré 3 de S Un épinglage de M = {}_4E (i.e. ~~d'un~~ la donnée d'un iso (42) \qquad (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^2_S \simeq M \ (= {}_4E) \ ) équivaut à : celle d'une trivialisation de \underline{J}, plus d'une section (trivialis. la note marginale est écrite de biais dans la marge gauche, à hauteur de (41) ; « des orientations » y est lu d'après le contexte. La dernière ligne se poursuit page 66.

p. 12 de l'auteur, chiffrée « (12) » en tête de page. ~~plus celle d'une~~ du torseur, de ce torseur, ~~qui~~ (peut aussi s'interpréter ainsi : la structure d'extension (39) ~~comme le torseur des sections~~ définit la structure d'extension (43) \qquad 0 \to \overset{\underline{\mathrm{End}}(M_0)}{\overset{\wr}{V_{\underline{J}}(M_0)}} \longrightarrow V_{\underline{J}}(M) \longrightarrow \overset{\underline{\mathrm{End}}(M_0)}{\overset{\wr}{V_{\underline{J}}(M_0)}} \longrightarrow 1 où pour A schéma (ou faisceau) en groupes commut. A sur S, on pose (44) \qquad V_{\underline{J}}(A) \simeq \operatorname{Ker}\bigl( A^{\underline{J}} \xrightarrow{\ \text{somme}\ } A \bigr) (faisceau loc. isom. à A^2), et V_{\underline{J}} est un foncteur exact en A, commutant bien sûr aux chgt. de base. Pour A annulé par 2, on a un isom (45) \qquad V_{\underline{J}}(A) \simeq \operatorname{Hom}(M_0, A) \qquad \text{si } 2\,\mathrm{id}_A = 0 dû au fait que l'on a (46) \qquad M_0 \simeq \mathbb{F}_2^{\underline{J}} / \underset{\text{diag}}{\mathbb{F}_2} dans (43), l'auteur écrit « \underline{\mathrm{End}}(M_0) » au-dessus des deux termes extrêmes, reliés à eux par un signe \wr (isomorphisme vertical).

Donc à une section de canonique partout non nulle de V_{\underline{J}}(M_0), correspondant à l'application d'inclusion \underline{J} \simeq M_0^* \hookrightarrow M_0, ou encore : la section évidente \mathrm{id}_{M_0} de \underline{\mathrm{End}}(M_0), dont l'image inverse dans (43) est le torseur cherché.

~~Un épinglage de M s'identifie donc à un~~

On peut considérer, indépendamment de la question d'épingler J, ~~celle~~ l'épinglage « relatif » ~~consistant en sections~~ consistant en un la donnée d'une section du torseur P_M sur sous \underline{\mathrm{End}}(M_0), ce qui équivaut aussi à la donnée d'un morphisme (47) \qquad \underline{J} \longrightarrow M \,\} devant M, un symbole noirci (sans doute V_{\underline{J}}() ; l'accolade fermante est de l'auteur. qui relève le morphisme d'inclusion \underline{J} \hookrightarrow M_0 et qui soit une section de V_{\underline{J}}(M) i.e. qui soit à trace nulle ( : S). Ceci en fait automatiquement un morphisme \underline{J} \longrightarrow M \setminus M_0 donc en composant avec ~~l'inclusion~~ (\underline{J} \dashrightarrow)\; M \hookrightarrow E \longrightarrow \Sigma_{\underline{J}} \simeq E/(1, \sigma_E) on trouve un morphisme (48) \qquad \underline{J} \longrightarrow \Delta_t et la condition de relèvement pour (47) signifie aussi que le composé de (48)

p. 13 de l'auteur, chiffrée en tête de page. avec le morphisme canonique (étale de degré 2) f_t : \Delta_t \longrightarrow \underline{J} soit l'identité — i.e. (48) définit une face du fibré en octaèdres combinatoires \Delta_t sur S. Du coup l'octaèdre est \underline{J}-épinglé, en d'autres termes, il est can. isomorphe au octaèdre standard défini par \underline{J}, et une section de \mu_4^*, en prenant les revêtements biquadratiques \Sigma_{\underline{J},2} de \Sigma_{\underline{J}}… la page s'arrête ici ; le reste de la feuille est blanc.

III. Épinglages de Legendre des courbes elliptiques

titre porté seul, au crayon, sur la page 69 de l'archive, feuillet de couleur qui sert de page de garde à la partie ; le chiffre romain est de l'auteur.

Digression. Épinglages de revêtements par rev. Kummériens des espaces tangents (cas relatif)

titre souligné en tête de la page 70, lu d'après le manuscrit : « Épinglages de revêtements par ~~fibrés tangents~~ rev. Kummériens des ~~fibrés~~ espaces tangents (cas relatif) ».

Soient (1) \qquad f : X \longrightarrow S un morphisme lisse de dim relative 1, t une section de X sur S, X^* = X \setminus t(S). On considère des schémas X', finis sur X X, lisses sur S de dim relative 1, munis d'une section t' au-dessus de t, et « modérément ramifiés » en t' sur X, avec un degré de ramification n — ce qui signifie que loc. pour la top. étale sur X, X', X' est isomorphe au voisinage de tout point x' de t'(S) ~~t(S)~~ à un X-schéma Kummérien de X au voisinage de x = p(x'), de la forme X'_0 = \operatorname{Spec} \underline{\mathcal{O}}_X[z]/(z^n - \varphi) où \varphi est une équation locale du diviseur relatif t(S) \subset X au voisinage de x. NB n est premier aux car. résiduelles de S !!! p : X' \to X

Sous ces conditions, via l'hom. norme locale, on définit un isom. canonique (2) \qquad T_{X'/S, t'}^{\otimes n} \xrightarrow[\sim]{\ \kappa_{t'}\ } T_{X/S, t} dans (2), l'exposant \otimes n est écrit au-dessus de la flèche, près de T_{X'/S,t'} ; dans l'indice, un S corrige une première lettre.

Si d'autre part \underline{G} est un schéma en groupes fini étale sur S, et si X' est muni d'une structure de \underline{G}_X-torseur au-dessus de X^*, alors le stabilisateur dans ~~\underline{G}_X~~ \underline{G} de la section t' est un sous-schéma en groupes \underline{G}_{t'} de \underline{G}, ~~qui~~ qui opère fid. sur T_{X'/S, t'} et dont l'image dans ~~T_{X'/S,t'}~~ \mathbb{G}_{m,S} \simeq \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathcal{O}_S} T_{X'/S, t'} est \mu_{n,S}, d'où un monomorphisme canonique (3) \qquad \mu_{n,S} \hookrightarrow \underline{G} . NB Cela signifie que \underline{G} opère sur X'^* = X' | X^* au-dessus de X^*, de façon à faire de X'^* un \underline{G}_{X^*}-torseur sur X^* la note marginale est écrite de biais dans la marge gauche, à hauteur des premières lignes ; « au-dessus de X^* » et « torseur » y sont lus d'après le contexte. Le passage « opère fid. sur » remplace deux mots biffés soulignés, peu lisibles.

Par ailleurs, désignant par f^\circ : X^* \longrightarrow S le morphisme induit par f, le \underline{G}_{X^*}-torseur X'^* définit une section (4) \qquad \xi_{X'/S} \in H^0\bigl(S, R^1 f^\circ_* f^{\circ *}(\underline{G})\bigr) .

Ceci posé, on a :

Proposition (X', t') au-dessus de (X, t), avec l'opération de \underline{G} dessus, est défini à isom. unique près par la connaissance de (3) (4) et de (2). ~~Ce dernier~~ De façon précise,

~~pour une section~~ considérons (pour S, X, t fixés) la catégorie des (X', t', \underline{G}), ~~où X' est un X-schéma~~ tels que dessus , comme morphismes (X', t', G) \longrightarrow (X'_1, t'_1, G_1) des morphismes X' \to X'_1, et morphismes G \to G_1, compatibles avec les sections marquées et les opérations. NB On vérifie que pour X', t', G fixés, et (X'_1, t'_1, G_1) aussi, et pour , il y a au plus un G \to G_1 la note marginale, écrite de biais dans la marge gauche, n'est lue qu'en partie. Considérons d'autre part les ~~triples~~ systèmes (\underline{G}, n, i, \xi, T, k) dans le sextuple, deux lettres (sans doute \xi et un symbole noirci) sont biffées et réécrites. où \underline{G} un schéma en groupes fini étale sur S, n \in \mathbb{N}^*, \xi \in H^0(S, R^1 f^\circ_* f^{\circ *}(\underline{G})) tels que les rev. correspondants (étales sur S) de X qu'elle définit soient modérément ramifiés d'ordre n en le long de t, i : \mu_{n,S} \hookrightarrow \underline{G} est un monomorphisme de groupes, T un Module inversible sur S, et k un isom T^{\otimes n} \xrightarrow{\ \sim\ } T_{X/S, t} avec la définition ad hoc des morphismes (NB bien sûr \underline{G} \to \underline{G}_1 doit induire un morphisme \mu_{n,S} \to \mu_{n_1,S}, qui soit l'homom. \lambda \mapsto \lambda^{n/n_1}…). On a un foncteur canonique de la première catégorie dans la

seconde, et je dis que ce foncteur est une équivalence de catégories.

Le cas qui m'intéresse est celui où \underline{G} = \mu_2 \underset{\text{can}}{\simeq} \{\pm 1\}_S , \quad \text{et où } n = 2 — donc où on s'intéresse aux rev. quadratiques X' de X/S, étales au-dessus de X^* et « totalement ramifiés le long de la section t », où S a car. rés. \neq 2. ~~Ici~~ Pour une section \xi \in H^0(S, R^1 f^\circ_* (\mu_{2,X^*})) fixée, satisfaisant à la condition de ramification totale, la catégorie des ~~revêtements~~ correspondants (i.e. ) équivaut à celle des couples (T, k) d'un Module inv. T sur S, et d'un isom T^{\otimes 2} \simeq T_{X, t} .

Le cas qui nous intéresse pour les courbes elliptiques est celui où X est de la forme \Sigma_{\underline{J}}^* (fibré en droites projectives marqué étale cubique \underline{J} de S), associé à un rev. déduit d'une courbe elliptique X' comme X'/\{\pm 1\}, et où t est la section de \Sigma_{\underline{J}}^*/S image de la section nulle de X' = E … les deux dernières lignes sont écrites serrées, l'une au-dessus de l'autre, et ne sont lues qu'en partie ; « \Sigma_{\underline{J}}^* » après « de la forme » est bien marqué d'un astérisque.

p. 1 de l'auteur, chiffrée en tête de page : une nouvelle suite commence ici, dont la numérotation des formules repart de (1). Soit E une courbe elliptique — on travaille sur un corps alg. clos k pour simplifier le propos, mais la seule hypothèse essentielle est que le base soit : car. résiduelles \neq 2. On désigne par (1) \qquad J = {}_2E(k)^* l'ens. des pts de E d'ordre 2, on sait que l'on a (2) \qquad E/(\pm \mathrm{id}_E) \simeq \Sigma_J droite projective J-marquée. (3) \qquad \Sigma_J \simeq \mathbb{P}(V_J(k)) \qquad 0 \to V_J(k) \to k^J \xrightarrow{\ \text{somme}\ } k \to 0 La donnée de E est équivalente à celle de J i.e. de \Sigma_J muni du diviseur étale D_J de degré 3, plus le les point (4) \qquad t \in \Sigma_J^* = \Sigma_J \setminus D_J image de l'élément 0_E, plus une droite T sur k (savoir T_{E,0}), munie d'un isomorphisme (5) \qquad T^{\otimes 2} \xrightarrow{\ \sim\ } T_{\Sigma, t} (~~isomorphismes~~ équivalence de catégories-groupoïdes … valable en fait sur une base S quelconque ; car. rés. \neq 2, et compatible aux changements de base…).

Notons qu'on a un isomorphisme canonique (6) \qquad T_\Sigma \simeq \underline{\mathcal{O}}_\Sigma(2)(\underline{\omega}) où \underline{\omega} = \underline{\omega}(J) est l'ens. des deux ordres circulaires sur J, et où L(\underline{\omega}) (pour un objet tel que faisceau inversible etc.) désigne L \wedge_{\{\pm 1\}} \underline{\omega}. le « 1 » en marge gauche devant « Notons » est de l'auteur ; son rôle n'est pas clair.

p. 2 de l'auteur. On a un candidat naturel (pour \Sigma = \Sigma_J, D = D_J, t \in \Sigma^* donnés) comme droite T munie de (5), savoir T_0 \simeq \mathcal{O}_t(1) à cela près qu'il y a deux isom. naturels T_0^{\otimes 2} = \mathcal{O}_t(2) \xrightarrow{\ \sim\ } T_{\Sigma, t} \simeq \mathcal{O}_t(2)(\underline{\omega}) , correspondant aux deux éléments \omega de \underline{\omega}, savoir (7) \qquad \xi \longmapsto \xi \wedge \omega \qquad T_0^{\otimes 2} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{O}_t(2) \simeq T_{\Sigma, t} = \underline{\mathcal{O}}_t(2)(\underline{\omega}) les numéros (7) et (8) des deux premières formules, ~~(7)~~ et ~~(8)~~, sont biffés ; la troisième reçoit le numéro (7). Devant \xi \mapsto \xi \wedge \omega, un signe biffé. En tête de page, \Sigma_{\underline{J}}, D_{\underline{J}} sont d'abord écrits puis surchargés, les égalités = \Sigma_J, D = D_J étant ajoutées au-dessus.

On va lever cette ambiguïté, en remplaçant T_0 = \mathcal{O}_t(1) par une variante tordue. Le tordre par un torseur sous \mu_2 = \mu_2(k) ne pas, car T_0^{\otimes 2} n' pas changé (à isom. can. près) — on le tordra par un torseur (qui ne précise) Q_0 sous \mu_4 = \mu_4(k) (qui peut être interprété comme l'ens. des 4 sommets d'un carré, dont \mu_4 est le groupe des rotations, \{i, -i\} = \mu_4^* n'y jouent pas de rôle privilégié…). On pose donc (8) \qquad T_0 = \underline{\mathcal{O}}_t(1) \wedge_{\mu_4} Q_0 d'où (9) \qquad T_0^{\otimes 2} \simeq \underline{\mathcal{O}}_t(2) \wedge_{\mu_2} D_{Q_0} où (10) \qquad D_{Q_0} = Q_0/\{\pm 1\} est l'un des deux diagonales du carré Q_0. Supposons donc qu'on se donne un carré combinatoire (« 4 sommets »), Q_0, avec plus isomorphisme. ~~Q_0 le groupe des~~ (11) \quad \begin{cases} \underline{\omega}_{Q_0} \ (\text{ens.\ des orientations de } Q_0) \simeq \mu_4^* = \{i, -i\} \\ D_{Q_0} \ (\text{ens.\ des diagonales de } Q_0) \simeq \underline{\omega} \end{cases} dans (10), « l'un des deux diagonales » est la lecture de la page ; le sens attendu est « l'ens. des deux diagonales ».

Alors, définissant T_0 par (8) (pour t \in \Sigma_J^* donné) on a un isom. canonique (12) \qquad T_0^{\otimes 2} \xrightarrow{\ \sim\ } T_{\Sigma, t} Ceci posé, on appellera épinglage de Legendre de E, subordonné au carré Q_0 (muni des données (11)) un isomorphisme (13) \qquad T = T_{E, 0} \xleftarrow[\ \sim\ ]{\ \kappa\ } T_0 compatible avec les isom. normes, i.e. rendant commutatif le diagramme avant « de E », deux lignes biffées, illisibles ; « épinglage » y remplace un mot biffé.

\begin{tikzcd} T_0^{\otimes 2} \arrow[rr, "\kappa^{\otimes 2}", "\sim"'] \arrow[dr, "(12)"'] & & T^{\otimes 2} \arrow[dl, "(5)"] \\ & T_{\Sigma, t} & \end{tikzcd}

(14).

Il y en a exactement deux, différant par le signe, i.e. formant un torseur sous \mu_2.

Bien entendu, on veut pouvoir définir la notion d'épinglage de E (en termes d'un Q_0 donné une fois pour toutes) pour E variable — mais dans ce cas \underline{\omega} = \underline{\omega}_J n'est pas encore déterminé (puisque J ne l'est pas). Donc la donnée d'un épinglage (\alpha, \kappa) de Legendre sera définie comme le couple formé d'un isom. (15) \qquad \alpha : \underline{\omega}_J \xrightarrow{\ \sim\ } D_{Q_0} = Q_0/\{\pm 1\} et d'un isom. \kappa (13) satisfaisant la compatibilité (14), dans (14), un trait vertical est esquissé sous T_0^{\otimes 2} à côté de la flèche marquée (12) ; il n'est pas repris.

p. 3 de l'auteur. où Q_0 est un carré donné une fois pour toutes (la chose fixée, disons, quand même), avec comme seule donnée un iso (16) \qquad \underline{\omega}_{Q_0} \simeq \mu_4^* \qquad \text{i.e.\ d'un élément de } \mu_4^* \wedge \underline{\omega}_{Q_0} i.e. un isom. (17) \qquad \mu_4^* \simeq \operatorname{Aut}^+(Q_0) . dans (16), une lettre noircie en indice de \underline{\omega} est réécrite Q_0 au-dessous ; le numéro (17) est surchargé.

Pour des raisons qui apparaîtront par la suite, le choix le plus commode est de prendre pour Q_0 le carré ~~satisfaisant~~ i.e. donné (17), avec un côté fixé, dont ~~les~~ l'un des sommets incidents s, s' dans un sens convenable avec l'un \mu_4^* = \{i, i'\} des racines carrées de -1, par la condition que (18) \qquad s_{i'} = i\, s_i \qquad \text{d'où} \qquad s_i = i' s_{i'} puisque i' = i^{-1} = -i. Ainsi, T_0 peut s'interpréter comme munie de la structure suivante, qui la caractérise : T_0 \otimes \underline{\mathcal{O}}_t(-1) est muni d'une paire de base, en corr. 1-1 ~~indexée~~ avec \mu_4^*, satisfaisant les deux relations (18), i.e. maintenant le produit i s_i est dans la structure vectorielle de T_0 \otimes \underline{\mathcal{O}}_t(-1).

Ici on aura un iso. canonique (19) \qquad D_{Q_0} \simeq \mu_4^* et par suite la donnée (16) équivaut à la donnée d'un iso en marge gauche, à hauteur de (18), un petit carré dont le sommet supérieur droit est marqué s' = s_{i'} et le sommet inférieur droit s = s_i ; le côté droit est le côté fixé. Dans la marge de (18), devant s_{i'}, une égalité biffée noircie ; une autre esquisse biffée (s' = is ?) se trouve à la ligne au-dessus, et en tête de (18) une égalité biffée ~~s' = is~~.

(20) \qquad \alpha : \underline{\omega}_J \simeq \mu_4^* \qquad \text{i.e.\ d'un élément de } \underline{\omega}_J \wedge \mu_4^* . Ces définitions posées, on voit donc que la catégorie-groupoïde des courbes elliptiques /k épinglées de Legendre est équivalente à la catégorie-groupoïde des ~~triplets couples~~ triplets (J, t, \alpha) de formés (21) \quad \begin{cases} \text{a) d'un $J$ à trois éléments (d'où $\Sigma_J$, $D_J$, $\Sigma_J^*$),} \\ \text{b) d'un $t \in \Sigma_J^*(k)$} \\ \text{c) d'un isom $\alpha : \underline{\omega}_J \simeq \mu_4^*$ \ \ $(= \mu_4^*(k))$} \end{cases}

Un épinglage de Legendre–Jacobi d'échelon 2 d'une courbe elliptique E sera la donnée d'un couple d'épinglages, l'un de Legendre, l'autre de Jacobi d'échelon 2 i.e. d'une bijection J \simeq \{0, 1, \infty\}, permettant d'identifier \Sigma_J à la droite projective type \mathbb{P}^1_k. On a alors dans \underline{\omega}_J \simeq \underline{\omega}_{\{0,1,\infty\}} un élément privilégié \omega^+, et la donnée c) de l'épinglage de Legendre équivaut donc à celle d'une racine carrée de -1, soit i — c'est la donnée « arithmétique ». ~~Par ailleurs, la catég.~~ La catégorie-groupoïde des courbes elliptiques sur k, munies d'un épinglage de Legendre–Jacobi, est rigide (pas d'auto. ) ~~équivalente à~~ ~~celle des à isom. près ce~~ et elle « Legendre » dans « d'un épinglage de Legendre » est d'abord écrit avec un « à » d'une autre forme ; dans c), un symbole biffé suit \mu_4^*. La dernière ligne, biffée, et l'ajout au-dessus (« est rigide … »), ne sont lus qu'en partie. Dans a), avant J, le mot ~~ens.~~ est biffé.

p. 4 de l'auteur. est équivalente à celle des couples \{t, i\}, avec t \in U_{0,3}(k) = \mathbb{P}^1_k(k) \setminus \{0, 1, \infty\}, \quad \text{et } i \in \mu_4^* .

~~On peut définir sur \Sigma_J le fibré \mathcal{O}(1)^{\natural}_{\Sigma_J} = \underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_J}(1) \wedge_{\mu_4}~~ la phrase et la formule sont biffées d'un trait ; un trait ondulé relie la formule biffée à la ligne suivante. L'exposant écrit ici \natural est un signe en zigzag, proche de « ϟ », propre à cette page et à la suivante ; on le rend partout par \natural. Il est distinct du \flat de (23).

J'opère : sur une base quelconque, mais éventuellement en car. rés. \neq 2 i.e. sur la base absolue S_0 = \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[1/2]). Sur ~~\Sigma_S~~ S_0 je définis, l'opération de torsion \natural, sur les ~~modules~~ faisceaux en Modules, ~~par~~ sur un schéma de base S (22) \qquad M^{\natural} = M \wedge_{\mu_{4S}} Q_{0S} \qquad \underline{\text{NB}}\ \ M^{\natural} \simeq M \otimes_{\mathcal{O}_S} \underline{\mathcal{O}}_S^{\natural} où ici on considère Q_0 comme un \mu_4-torseur sur la base absolue S_0. On aura donc (23) \qquad M^{\natural} \otimes M^{\natural} \simeq M^{\flat} \overset{\text{déf}}{=} M \wedge_{\mu_{2S} = \{\pm 1\}_S} \mu_{4S}^* où ~~\mu_4^* \simeq \ldots~~ (24) \qquad \mu_4^* = \mu_4 \setminus \mu_2 est considéré comme torseur sous \mu_2, i.e. rev. étale quadratique de la base absolue S_0.

On s'intéressera donc, pour un revêtement sous Q_{0S} dans (22), un petit mot biffé ; la dernière ligne se poursuit page 80.

étale \underline{J} de degré 3 de de S, permettant de définir un \Sigma_{\underline{J}} (25) \qquad \Sigma_{\underline{J}} = \mathbb{P}(V_{\underline{J}}(\underline{\mathcal{O}}_S)) \qquad 0 \to V_{\underline{J}}(\mathcal{O}_S) \to \underset{\substack{\parallel \\ p_*(\mathcal{O}_{\underline{J}}) \\ p : \underline{J} \to S}}{\underline{\mathcal{O}}_S^{\underline{J}}} \xrightarrow{\ \mathrm{tr}\ } \underline{\mathcal{O}}_S et au module inversible \underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_{\underline{J}}}(1), au module (26) \qquad T_{0, \Sigma_{\underline{J}}} = \underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_{\underline{J}}}(1)^{\natural} de sorte qu'on a un iso (27) \qquad T_{0, \Sigma}^{\otimes 2} \simeq \underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_J}(2) \wedge_{\{\pm 1\}} \mu_4^* \simeq T_{\Sigma_J} \wedge_{\{\pm 1\}} (\mu_4^* \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}}) où \underline{\omega}_J est le revêtement étale quadratique associé au revêtement étale cubique \underline{J}.

Si maintenant E est une courbe elliptique sur la base S, on lui associe (28) \qquad \underline{J} = ({}_2E)^* \qquad \text{rev.\ étale cubique de } S et on a un iso (29) \qquad E/(\pm \mathrm{id}_E) \xrightarrow{\ \sim\ } \Sigma_{\underline{J}} et un iso dans (25), la trace \mathrm{tr} est écrite au-dessus de la flèche, d'une lecture incertaine ; l'identification \underline{\mathcal{O}}_S^{\underline{J}} = p_*(\mathcal{O}_{\underline{J}}), p : \underline{J} \to S, est portée au-dessous. Le « au module inversible …, au module » est lu d'après le contexte. La page s'arrête sur « et un iso », la suite dans le lot suivant.