Cote n° 64, pages 61–80

Cote n° 64 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Modules courbes elliptiques en caractéristiques ≠2 : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1980- 1982]
Édition de démonstration

61(au dessus duquel $X^*$ est étale galoi principal de groupe $\underline{V}\}$, tel comme $E$ sur $E_0$) mais non […] ramifiés aux pts de $D_J \subset \Sigma_J$ (vu que $E_0/\Sigma_J$ y est ramifié, mais non $E/X$ au-dessus des points de $\Delta = X|D_J$, or si c'était contraire il en résulterait que $E_0/\Sigma_J$ est étale sur sur les pts de $D_J$ aussi, par descente plate…). (Quand […] $=$ il doit être facile de vérifier que le diagramme total se reconstitue : partir de $E_0$ ($\longmapsto \Sigma = \Sigma_{\underline{J}}$, ⌜et $\underline{J}$, et partant de $\Sigma^*$⌝), et $E_0 \to \Sigma$,) et des revêtements principal $X$ de $\Sigma$ ⌜étales⌝ avec groupe $\underline{V}$ : la donnée de $(E_0, I)$ doit être ⌜est⌝ équivalente […] $(E, \sigma)$ i.e. de couples : $E_0$ et des revêtements $X$ (d'où un faisceau $\underline{K}$ et $\underline{I} \simeq \underline{K}_1(X|t)$…)

Cela montre que localement $(E, \sigma)$ i.e. le $I$ est un […] de la […] […], on se ramène par le cas $E = E_0$, $\sigma = \sigma_0$, donc $I = \underline{V} = {}_2E_0 = M_0$, torseur trivial. On a donc […] $X = \Sigma_J$ et on trouve donc

62p. 10 de l'auteur, chiffrée en tête de page. une application canonique \[ (30) \qquad \Sigma_{\underline{J}} \xrightarrow{\;f_2^t\;} \Sigma_{\underline{J}} \] c'est l'application déduite par passage au quotient de $2\,\mathrm{id}_{E_0} : E_0 \to E_0$ qui doit pouvoir se définir en termes de $\underline{J}$, et de la seule section $t$ de $\Sigma_{\underline{J}}$ (ce qui me semble déterminer $E_0$, à isom[orphismes] (non uniques) près loc. pour la top. étale…) On a ici $\underline{I} = \underline{J} \amalg$ \[ (31) \qquad \underline{I}_t = \underline{J} \amalg t(S) \] NB comme $S$-schéma, $\underline{I}_t$ ne dépend pas de $t$, mod[ulo] iso. can. il faudrait revenir aux […] descriptions intrinsèques […] des […] intervenant […] courbes elliptiques la seconde note marginale est écrite en diagonale dans la marge gauche, à hauteur de (30), et reliée par un trait double au « qui doit pouvoir se définir » ; elle n'est lue qu'en partie. comme $V_{\underline{I}} \simeq V_{\underline{J}}$, et $E_0$ $\underline{V}$ peut se décrire comme opérant sur $\underline{I}$ de la façon canonique, cette opération se prolongeant en une opération sur $\Sigma_{\underline{J}}$ (dépendant de la section $t$ de $\Sigma_{\underline{J}}^*$). L'application morphisme $f_t$ est défini sans ambiguïté par les conditions suivantes (où on a supposé pour simplifier que $\underline{J} = J_S$, $J$ un […] : trois éléments) : \[ (32) \quad \begin{cases} \forall\, i \in J, \text{ si } \sigma_i^t \in \operatorname{Aut}_S(\Sigma_J) \text{ est l'automorphisme qui échange } t \text{ et } i, \\ \qquad \text{et } j \text{ et } k \ (\text{où } \{i,j,k\} = J), \text{ et } \Delta_i^t = (\Sigma_J)^{\sigma_i^t}, \\ f(\Delta_i^t) = \text{section } \xi_i \text{ de } D_{\underline{J}} \simeq J_S \end{cases} \] avant la seconde ligne de (32), un « alors $f(\Sigma_J^{\sigma_i})$ » biffé. et cela doit impliquer automatiquement \[ (33) \qquad f_t\bigl(I_S = J_S \cup t(S)\bigr) \subset t(S) \] devant $t(S)$, le mot « section » est biffé.

63Faisons les calculs pour $J = \{0, 1, \infty\} \subset \mathbb{P}^1_S$, on trouve facilement : \[ (34) \quad \begin{cases} \sigma_0^t(z) = \dfrac{z - t}{z - 1} & (\text{éch.\ } 0 \text{ et } t,\ 1 \text{ et } \infty) \\[1ex] \sigma_1^t(z) = t/z & (\text{éch.\ } 1 \text{ et } t,\ 0 \text{ et } \infty) \\[1ex] \sigma_\infty^t(z) = t\,\dfrac{z - 1}{z - t} & (\text{éch.\ } \infty \text{ et } t,\ 0 \text{ et } 1) \end{cases} \qquad \text{NB } \sigma_\infty^t = \sigma_0^t \sigma_1^t \] On trouve donc \[ (35) \quad \begin{cases} \Delta_0^t : \text{solutions de } z^2 - 2z + t = 0, & \Delta_0^t = \{1 \pm \sqrt{1-t}\} \\ \Delta_1^t : \text{\phantom{solutions de }} z^2 - t = 0 & \Delta_1^t = \{\pm \sqrt{t}\} \\ \Delta_\infty^t : \text{\phantom{solutions de }} z^2 - 2tz + t = 0 & \Delta_\infty^t = \{t \pm \sqrt{t(1-t)}\} \end{cases} \] les deuxième et troisième lignes répètent « solutions de » par un trait. et on doit avoir \[ (36) \qquad f_2^t : \quad \begin{aligned} \Delta_0^t &\longrightarrow 0 \\ \Delta_1^t &\longrightarrow 1 \\ \Delta_\infty^t &\longrightarrow \infty \end{aligned} \qquad \underline{\text{avec multiplicité } 2} \] ce qui nous donne (puisque les zéros et pôles de $f_2^t$ de degré quatre sont connus) \[ f_2^t(z) = c_t \left( \frac{z^2 - 2z + t}{z^2 - 2tz + t} \right)^2 \qquad c_t \text{ section de } \underline{\mathcal{O}}_S^*, \] dont la valeur s'obtient en écrivant que $\Delta_1^t \to 1$. Mais si $\zeta$ est une solution de $\Delta_1^t$ i.e. $\zeta^2 = t$, on a \[ \begin{aligned} \zeta^2 - 2\zeta + t &= 2(t - \zeta) \\ \zeta^2 - 2t\zeta + t &= 2t(1 - \zeta) \end{aligned} \] \[ f_2^t(\zeta) = c_t \left( \frac{2(t - \zeta)}{2t(1 - \zeta)} \right)^2 = c_t/t^2 \left( \frac{t - \zeta}{1 - \zeta} \right)^2 \] entre $c_t/t^2$ et le dernier facteur, une fraction biffée, $\frac{\zeta^2 - 2t\zeta + t^2}{\zeta^2 - 2\zeta + 1}$, remplacée par $\left(\frac{t-\zeta}{1-\zeta}\right)^2$. Or $\frac{t^2 + t - 2t\zeta}{1 + t - 2\zeta}$ \[ \frac{t - \zeta}{1 - \zeta} = \frac{(t - \zeta)(1 + \zeta)}{(1 - \zeta)(1 + \zeta)} = \frac{-\zeta^2 + (t-1)\zeta + t}{1 - \zeta^2} = \frac{(t-1)\zeta}{1 - t} = -\zeta \] donc \[ f_2^t(\zeta) = \frac{c_t}{t^2}\, \zeta^2 = \frac{c_t\, t}{t^2} = \frac{c_t}{t} \qquad \text{d'où} \qquad c_t = t \] les deux calculs biffés sont barrés de traits obliques ; la première ligne de l'identité en $\zeta$ est surchargée (un « $t$ » corrigé devant $-2\zeta$).

64p. 11 de l'auteur, chiffrée en tête de page. et par suite \[ (37) \qquad f_2^t(z) = t \left( \frac{z^2 - 2z + t}{z^2 - 2tz + t} \right)^2 \] Il reste : vérifier que les valeurs de cette fonction pour $z = 0, 1, \infty$ et $t$, sont égales à $t$, i.e. que celle de $\dfrac{z^2 - 2z + t}{z^2 - 2tz + t}$ est égale à $\pm 1$. Pour $0, \infty, 1$ on trouve $1$, pour $z = t$ on trouve $\dfrac{t^2 - t}{t - t^2} = -1$, OK.

NB En prenant la $n$-ième itérée de $f_2^t$, on trouve le morphisme $f_{2^n}^t$, qui correspond par passage au quotient à $2^n \mathrm{id}_{E_0}$. L'image inverse de la section $t$ par $f_{2^n}^t = (f_2^t)^{\circ n}$ est l'image par $p : E_0 \to \Sigma_J \simeq E_0/\{1, \sigma_{E_0}\}$ du l'ensemble ⌜sous-schéma en groupes⌝ ${}_{2^n}E_0$ des points annulés par $2^n$.

4. Détermination de $M_{11}(4)$.

65Soit $E$ une courbe elliptique sur $S$ (où car. résiduelles $\neq 2$), considérons \[ (38) \qquad M = {}_4E \] schéma en groupes sur $S$ loc. isom. à $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^2$, i.e. syst. local faisceau abélien pour sur $S_{\text{ét}}$ qui est un $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})_S$-module loc. libre de rg $2$.

(39) On sait qu'on a

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\begin{tikzcd}
  0 \arrow[r] & M_0 \arrow[r] & M \arrow[r, "\mathrm{can}"] & M_0 \arrow[r] & 0 \\
  & M \arrow[u] \arrow[ur, "2\,\mathrm{id}_M"'] & & &
\end{tikzcd}

(39), où \[ M_0 = M \otimes_{\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}} \mathbb{F}_2 \simeq {}_2E . \] le numéro (39) est écrit en marge gauche de la suite exacte, un premier « (39) » biffé au-dessus ; la flèche verticale $M \to M_0$ est tracée vers le haut, sans étiquette lisible.

La donnée d'un $M$ équivaut à celle d'un $M_0$ (i.e. d'un $\underline{J}$ rev. rev. étale de degré $3$ sur $S$ […] \[ (40) \qquad \underline{J} \simeq M_0^*, \quad M_0 = V_{\underline{J}}(\mathbb{F}_2) \simeq \mathbb{F}_2^{\underline{J}} / \underset{\text{diag}}{\mathbb{F}_2}\ ), \] et d'un torseur ⌜$P$⌝ sous \[ (41) \qquad \text{« } V_{\underline{J}}(M_0) \text{ »} \simeq \underline{\mathrm{End}}_{\mathbb{F}_2, S}(M_0) \simeq M_0 \oplus \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \] $\underline{\omega}$ est le rev. étale de degré $2$ « des orientations » associé au rev. $\underline{J}$ de degré $3$ de $S$ Un épinglage de $M = {}_4E$ (i.e. d'un la donnée d'un iso \[ (42) \qquad (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^2_S \simeq M \ (= {}_4E) \ ) \] équivaut à : celle d'une ⌜trivialisation de $\underline{J}$, plus d'une⌝ section (trivialis. […] la note marginale est écrite de biais dans la marge gauche, à hauteur de (41) ; « des orientations » y est lu d'après le contexte. La dernière ligne se poursuit page 66.

66p. 12 de l'auteur, chiffrée « (12) » en tête de page. plus celle d'une ⌜du torseur⌝, de ce torseur, qui (peut aussi s'interpréter ainsi : la structure d'extension (39) comme le torseur des sections définit la structure d'extension \[ (43) \qquad 0 \to \overset{\underline{\mathrm{End}}(M_0)}{\overset{\wr}{V_{\underline{J}}(M_0)}} \longrightarrow V_{\underline{J}}(M) \longrightarrow \overset{\underline{\mathrm{End}}(M_0)}{\overset{\wr}{V_{\underline{J}}(M_0)}} \longrightarrow 1 \] où pour $A$ schéma ⌜(ou faisceau)⌝ en groupes commut. $A$ sur $S$, on pose \[ (44) \qquad V_{\underline{J}}(A) \simeq \operatorname{Ker}\bigl( A^{\underline{J}} \xrightarrow{\ \text{somme}\ } A \bigr) \] (faisceau loc. isom. à $A^2$), et $V_{\underline{J}}$ est un foncteur exact en $A$, commutant […] bien sûr aux chgt. de base. Pour $A$ annulé par $2$, on a un isom \[ (45) \qquad V_{\underline{J}}(A) \simeq \operatorname{Hom}(M_0, A) \qquad \text{si } 2\,\mathrm{id}_A = 0 \] dû au fait que l'on a \[ (46) \qquad M_0 \simeq \mathbb{F}_2^{\underline{J}} / \underset{\text{diag}}{\mathbb{F}_2} \] dans (43), l'auteur écrit « $\underline{\mathrm{End}}(M_0)$ » au-dessus des deux termes extrêmes, reliés à eux par un signe $\wr$ (isomorphisme vertical).

Donc à une section de canonique partout non nulle de $V_{\underline{J}}(M_0)$, correspondant à l'application d'inclusion $\underline{J} \simeq M_0^* \hookrightarrow M_0$, ou encore : la section évidente $\mathrm{id}_{M_0}$ de $\underline{\mathrm{End}}(M_0)$, dont l'image inverse dans (43) est le torseur cherché.

67Un épinglage de $M$ s'identifie donc à un

On peut considérer, indépendamment de la question d'épingler $J$, celle ⌜l'épinglage⌝ […] « relatif » consistant en sections ⌜consistant⌝ en un la donnée d'une section du torseur $P_M$ ⌜sur⌝ sous $\underline{\mathrm{End}}(M_0)$, ce qui équivaut aussi à la donnée d'un morphisme \[ (47) \qquad \underline{J} \longrightarrow M \,\} \] devant $M$, un symbole noirci (sans doute $V_{\underline{J}}($) ; l'accolade fermante est de l'auteur. qui relève le morphisme d'inclusion \[ \underline{J} \hookrightarrow M_0 \] et qui soit une section de $V_{\underline{J}}(M)$ i.e. qui soit à trace nulle ([…] : $S$). Ceci en fait automatiquement un morphisme \[ \underline{J} \longrightarrow M \setminus M_0 \] donc en composant avec l'inclusion \[ (\underline{J} \dashrightarrow)\; M \hookrightarrow E \longrightarrow \Sigma_{\underline{J}} \simeq E/(1, \sigma_E) \] on trouve un morphisme \[ (48) \qquad \underline{J} \longrightarrow \Delta_t \] et la condition de relèvement pour (47) signifie aussi que le composé de (48)

68p. 13 de l'auteur, chiffrée en tête de page. avec le morphisme canonique (étale de degré $2$) \[ f_t : \Delta_t \longrightarrow \underline{J} \] soit l'identité — i.e. (48) définit une face du fibré en octaèdres combinatoires $\Delta_t$ sur $S$. Du coup l'octaèdre est $\underline{J}$-épinglé, en d'autres termes, il est can. isomorphe au […] octaèdre standard défini par $\underline{J}$, ⌜et une section de $\mu_4^*$,⌝ en prenant les revêtements biquadratiques $\Sigma_{\underline{J},2}$ de $\Sigma_{\underline{J}}$… la page s'arrête ici ; le reste de la feuille est blanc.

III. Épinglages de Legendre des courbes elliptiques

titre porté seul, au crayon, sur la page 69 de l'archive, feuillet de couleur qui sert de page de garde à la partie ; le chiffre romain est de l'auteur.

Digression. Épinglages de revêtements par rev. Kummériens des espaces tangents (cas relatif)

titre souligné en tête de la page 70, lu d'après le manuscrit : « Épinglages de revêtements par […] fibrés tangents rev. Kummériens des fibrés espaces tangents (cas relatif) ».

70Soient \[ (1) \qquad f : X \longrightarrow S \] un morphisme lisse de dim relative $1$, $t$ une section de $X$ sur $S$, $X^* = X \setminus t(S)$. On considère des schémas ⌜$X'$,⌝ finis sur $X$ $X$, lisses sur $S$ de dim relative $1$, munis d'une section $t'$ au-dessus de $t$, et « modérément ramifiés » en $t'$ sur $X$, avec un degré de ramification $n$ — ce qui signifie que loc. pour la top. étale sur $X$, $X'$, $X'$ est isomorphe au voisinage de tout point $x'$ de $t'(S)$ $t(S)$ à un $X$-schéma Kummérien de $X$ au voisinage de $x = p(x')$, de la forme \[ X'_0 = \operatorname{Spec} \underline{\mathcal{O}}_X[z]/(z^n - \varphi) \] où $\varphi$ est une équation locale du diviseur relatif $t(S) \subset X$ au voisinage de $x$. NB $n$ est premier aux car. résiduelles de $S$ !!! $p : X' \to X$

Sous ces conditions, via l'hom. norme locale, on définit un isom. canonique \[ (2) \qquad T_{X'/S, t'}^{\otimes n} \xrightarrow[\sim]{\ \kappa_{t'}\ } T_{X/S, t} \] dans (2), l'exposant $\otimes n$ est écrit au-dessus de la flèche, près de $T_{X'/S,t'}$ ; dans l'indice, un $S$ corrige une première lettre.

71Si d'autre part $\underline{G}$ est un schéma en groupes fini étale sur $S$, et si $X'$ est muni d'une structure de $\underline{G}_X$-torseur au-dessus de $X^*$, alors le stabilisateur dans $\underline{G}_X$ $\underline{G}$ de la section $t'$ est un sous-schéma en groupes $\underline{G}_{t'}$ de $\underline{G}$, qui […] ⌜qui⌝ ⌜opère fid. sur⌝ […] $T_{X'/S, t'}$ et dont l'image dans $T_{X'/S,t'}$ $\mathbb{G}_{m,S} \simeq \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathcal{O}_S} T_{X'/S, t'}$ est $\mu_{n,S}$, d'où un monomorphisme canonique \[ (3) \qquad \mu_{n,S} \hookrightarrow \underline{G} . \] NB Cela signifie que $\underline{G}$ opère sur $X'^* = X' | X^*$ au-dessus de $X^*$, de façon à faire de $X'^*$ un $\underline{G}_{X^*}$-torseur sur $X^*$ la note marginale est écrite de biais dans la marge gauche, à hauteur des premières lignes ; « au-dessus de $X^*$ » et « torseur » y sont lus d'après le contexte. Le passage « opère fid. sur » remplace deux mots biffés soulignés, peu lisibles.

Par ailleurs, désignant par \[ f^\circ : X^* \longrightarrow S \] le morphisme induit par $f$, le $\underline{G}_{X^*}$-torseur $X'^*$ définit une section \[ (4) \qquad \xi_{X'/S} \in H^0\bigl(S, R^1 f^\circ_* f^{\circ *}(\underline{G})\bigr) . \]

Ceci posé, on a :

Proposition $(X', t')$ au-dessus de $(X, t)$, avec l'opération de $\underline{G}$ dessus, est défini à isom. unique près par la connaissance de (3) (4) et de (2). Ce dernier De façon précise,

72pour une section considérons (pour $S, X, t$ fixés) la catégorie des $(X', t', \underline{G})$, où $X'$ est un $X$-schéma ⌜tels que dessus […]⌝, comme morphismes \[ (X', t', G) \longrightarrow (X'_1, t'_1, G_1) \] […] ⌜[…]⌝ des morphismes $X' \to X'_1$, et morphismes $G \to G_1$, compatibles avec les sections marquées et les opérations. NB On vérifie que pour $X', t', G$ fixés, et $(X'_1, t'_1, G_1)$ aussi, et pour […] […] […], il y a au plus un $G \to G_1$ […] la note marginale, écrite de biais dans la marge gauche, n'est lue qu'en partie. Considérons d'autre part les triples systèmes \[ (\underline{G}, n, i, \xi, T, k) \] dans le sextuple, deux lettres (sans doute $\xi$ et un symbole noirci) sont biffées et réécrites. où $\underline{G}$ un schéma en groupes fini étale sur $S$, $n \in \mathbb{N}^*$, $\xi \in H^0(S, R^1 f^\circ_* f^{\circ *}(\underline{G}))$ tels que les rev. correspondants (étales sur $S$) de $X$ qu'elle définit soient modérément ramifiés d'ordre $n$ en le long de $t$, $i : \mu_{n,S} \hookrightarrow \underline{G}$ est un monomorphisme de groupes, $T$ un Module inversible sur $S$, et $k$ un isom \[ T^{\otimes n} \xrightarrow{\ \sim\ } T_{X/S, t} \] avec la définition ad hoc des morphismes (NB bien sûr $\underline{G} \to \underline{G}_1$ doit induire un […] morphisme $\mu_{n,S} \to \mu_{n_1,S}$, qui soit l'homom. $\lambda \mapsto \lambda^{n/n_1}$…). On a un foncteur canonique de la première catégorie dans la

73seconde, et je dis que ce foncteur est une équivalence de catégories.

Le cas qui m'intéresse est celui où \[ \underline{G} = \mu_2 \underset{\text{can}}{\simeq} \{\pm 1\}_S , \quad \text{et où } n = 2 \] — donc où on s'intéresse aux rev. quadratiques $X'$ de $X/S$, étales au-dessus de $X^*$ et « totalement ramifiés le long de la section $t$ », où $S$ a car. rés. $\neq 2$. Ici Pour une section $\xi \in H^0(S, R^1 f^\circ_* (\mu_{2,X^*}))$ fixée, satisfaisant à la condition de ramification totale, la catégorie des revêtements ⌜correspondants (i.e. […])⌝ ⌜[…]⌝ équivaut à celle des […] couples $(T, k)$ d'un Module inv. $T$ sur $S$, et d'un isom \[ T^{\otimes 2} \simeq T_{X, t} . \]

Le cas qui nous intéresse pour les courbes elliptiques est celui où $X$ est de la forme $\Sigma_{\underline{J}}^*$ (fibré en droites projectives marqué […] étale cubique $\underline{J}$ de $S$), associé à un rev. […] déduit d'une courbe elliptique $X'$ comme $X'/\{\pm 1\}$, et où $t$ est la section de $\Sigma_{\underline{J}}^*/S$ […] image de la section nulle de $X' = E$ … les deux dernières lignes sont écrites serrées, l'une au-dessus de l'autre, et ne sont lues qu'en partie ; « $\Sigma_{\underline{J}}^*$ » après « de la forme » est bien marqué d'un astérisque.

74p. 1 de l'auteur, chiffrée en tête de page : une nouvelle suite commence ici, dont la numérotation des formules repart de (1). Soit $E$ une courbe elliptique — on travaille sur un corps alg. clos $k$ pour simplifier le propos, mais la seule hypothèse essentielle est que le base soit : car. résiduelles $\neq 2$. On désigne par […] \[ (1) \qquad J = {}_2E(k)^* \] l'ens. des pts de $E$ d'ordre $2$, on sait que l'on a \[ (2) \qquad E/(\pm \mathrm{id}_E) \simeq \Sigma_J \] […] droite projective $J$-marquée. \[ (3) \qquad \Sigma_J \simeq \mathbb{P}(V_J(k)) \qquad 0 \to V_J(k) \to k^J \xrightarrow{\ \text{somme}\ } k \to 0 \] La donnée de $E$ est équivalente à celle de $J$ i.e. de $\Sigma_J$ muni du diviseur étale $D_J$ de degré $3$, plus le les point \[ (4) \qquad t \in \Sigma_J^* = \Sigma_J \setminus D_J \] image de l'élément $0_E$, plus une droite $T$ ⌜sur $k$⌝ (savoir $T_{E,0}$), munie d'un isomorphisme \[ (5) \qquad T^{\otimes 2} \xrightarrow{\ \sim\ } T_{\Sigma, t} \] (isomorphismes ⌜équivalence⌝ de catégories-groupoïdes … valable en fait sur une base $S$ quelconque ; car. rés. $\neq 2$, et compatible aux changements de base…).

Notons qu'on a un isomorphisme canonique \[ (6) \qquad T_\Sigma \simeq \underline{\mathcal{O}}_\Sigma(2)(\underline{\omega}) \] où $\underline{\omega} = \underline{\omega}(J)$ est l'ens. des deux ordres circulaires sur $J$, et où $L(\underline{\omega})$ (pour un objet tel que faisceau inversible etc.) désigne $L \wedge_{\{\pm 1\}} \underline{\omega}$. le « 1 » en marge gauche devant « Notons » est de l'auteur ; son rôle n'est pas clair.

75p. 2 de l'auteur. On a un candidat naturel (pour $\Sigma = \Sigma_J$, $D = D_J$, $t \in \Sigma^*$ donnés) comme droite $T$ munie de (5), savoir \[ T_0 \simeq \mathcal{O}_t(1) \] à cela près qu'il y a deux isom. naturels \[ T_0^{\otimes 2} = \mathcal{O}_t(2) \xrightarrow{\ \sim\ } T_{\Sigma, t} \simeq \mathcal{O}_t(2)(\underline{\omega}) , \] correspondant aux deux éléments $\omega$ de $\underline{\omega}$, savoir \[ (7) \qquad \xi \longmapsto \xi \wedge \omega \qquad T_0^{\otimes 2} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{O}_t(2) \simeq T_{\Sigma, t} = \underline{\mathcal{O}}_t(2)(\underline{\omega}) \] les numéros (7) et (8) des deux premières formules, (7) et (8), sont biffés ; la troisième reçoit le numéro (7). Devant $\xi \mapsto \xi \wedge \omega$, un signe biffé. En tête de page, $\Sigma_{\underline{J}}$, $D_{\underline{J}}$ sont d'abord écrits puis surchargés, les égalités $= \Sigma_J$, $D = D_J$ étant ajoutées au-dessus.

On va lever cette ambiguïté, en remplaçant $T_0 = \mathcal{O}_t(1)$ par une variante tordue. Le tordre par un torseur sous $\mu_2$ ⌜$= \mu_2(k)$⌝ […] ne […] pas, car $T_0^{\otimes 2}$ n'[…] […] pas changé (à isom. can. près) — on le tordra par un torseur (qui ne précise) $Q_0$ sous $\mu_4 = \mu_4(k)$ (qui peut être interprété comme l'ens. des 4 sommets d'un carré, dont $\mu_4$ est le groupe des rotations, […] $\{i, -i\} = \mu_4^*$ […] […] […] ⌜[…]⌝ n'y jouent pas de rôle privilégié…). On pose donc \[ (8) \qquad T_0 = \underline{\mathcal{O}}_t(1) \wedge_{\mu_4} Q_0 \] d'où \[ (9) \qquad T_0^{\otimes 2} \simeq \underline{\mathcal{O}}_t(2) \wedge_{\mu_2} D_{Q_0} \] où \[ (10) \qquad D_{Q_0} = Q_0/\{\pm 1\} \] est l'un des deux diagonales du carré $Q_0$. Supposons donc qu'on se donne un carré ⌜combinatoire (« 4 sommets »),⌝ $Q_0$, avec plus isomorphisme. […] $Q_0$ […] […] le groupe des \[ (11) \quad \begin{cases} \underline{\omega}_{Q_0} \ (\text{ens.\ des orientations de } Q_0) \simeq \mu_4^* = \{i, -i\} \\ D_{Q_0} \ (\text{ens.\ des diagonales de } Q_0) \simeq \underline{\omega} \end{cases} \] dans (10), « l'un des deux diagonales » est la lecture de la page ; le sens attendu est « l'ens. des deux diagonales ».

76Alors, définissant $T_0$ par (8) (pour $t \in \Sigma_J^*$ donné) on a un isom. canonique \[ (12) \qquad T_0^{\otimes 2} \xrightarrow{\ \sim\ } T_{\Sigma, t} \] Ceci posé, on appellera […] épinglage de Legendre de $E$, subordonné au carré $Q_0$ (muni des données (11)) […] ⌜un⌝ isomorphisme \[ (13) \qquad T = T_{E, 0} \xleftarrow[\ \sim\ ]{\ \kappa\ } T_0 \] compatible avec les isom. normes, i.e. rendant commutatif le diagramme avant « de $E$ », deux lignes biffées, illisibles ; « épinglage » y remplace un mot biffé.

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\begin{tikzcd}
  T_0^{\otimes 2} \arrow[rr, "\kappa^{\otimes 2}", "\sim"'] \arrow[dr, "(12)"'] & & T^{\otimes 2} \arrow[dl, "(5)"] \\
  & T_{\Sigma, t} &
\end{tikzcd}

(14).

Il y en a exactement deux, différant par le signe, i.e. formant un torseur sous $\mu_2$.

Bien entendu, on veut pouvoir définir la notion d'épinglage de $E$ (en termes d'un $Q_0$ donné une fois pour toutes) pour $E$ variable — mais dans ce cas $\underline{\omega} = \underline{\omega}_J$ n'est pas encore déterminé (puisque $J$ ne l'est pas). Donc la donnée d'un épinglage $(\alpha, \kappa)$ de Legendre sera définie comme le couple formé d'un isom. \[ (15) \qquad \alpha : \underline{\omega}_J \xrightarrow{\ \sim\ } D_{Q_0} = Q_0/\{\pm 1\} \] et d'un isom. $\kappa$ (13) satisfaisant la compatibilité (14), dans (14), un trait vertical est esquissé sous $T_0^{\otimes 2}$ à côté de la flèche marquée (12) ; il n'est pas repris.

77p. 3 de l'auteur. où $Q_0$ est un carré donné une fois pour toutes (la chose fixée, disons, quand même), avec comme seule donnée un iso \[ (16) \qquad \underline{\omega}_{Q_0} \simeq \mu_4^* \qquad \text{i.e.\ d'un élément de } \mu_4^* \wedge \underline{\omega}_{Q_0} \] i.e. un isom. \[ (17) \qquad \mu_4^* \simeq \operatorname{Aut}^+(Q_0) . \] dans (16), une lettre noircie en indice de $\underline{\omega}$ est réécrite $Q_0$ au-dessous ; le numéro (17) est surchargé.

Pour des raisons qui apparaîtront par la suite, le choix le plus commode est de prendre pour $Q_0$ le carré […] satisfaisant ⌜i.e. donné⌝ (17), avec un côté fixé, dont les […] ⌜l'un des sommets incidents⌝ $s, s'$ […] dans un sens convenable […] avec l'un $\mu_4^* = \{i, i'\}$ des racines carrées de $-1$, par la condition que \[ (18) \qquad s_{i'} = i\, s_i \qquad \text{d'où} \qquad s_i = i' s_{i'} \] puisque $i' = i^{-1} = -i$. Ainsi, $T_0$ peut s'interpréter comme munie de la structure […] ⌜suivante, qui la caractérise :⌝ $T_0 \otimes \underline{\mathcal{O}}_t(-1)$ est muni d'une paire de base, ⌜en corr. 1-1⌝ indexée […] avec $\mu_4^*$, satisfaisant les deux relations (18), i.e. maintenant le produit $i s_i$ est […] dans la structure vectorielle de $T_0 \otimes \underline{\mathcal{O}}_t(-1)$. […]

Ici on aura un iso. canonique \[ (19) \qquad D_{Q_0} \simeq \mu_4^* \] et par suite la donnée (16) équivaut à la donnée d'un iso en marge gauche, à hauteur de (18), un petit carré dont le sommet supérieur droit est marqué $s' = s_{i'}$ et le sommet inférieur droit $s = s_i$ ; le côté droit est le côté fixé. Dans la marge de (18), devant $s_{i'}$, une égalité biffée noircie ; une autre esquisse biffée ($s' = is$ ?) se trouve à la ligne au-dessus, et en tête de (18) une égalité biffée $s' = is$.

78\[ (20) \qquad \alpha : \underline{\omega}_J \simeq \mu_4^* \qquad \text{i.e.\ d'un élément de } \underline{\omega}_J \wedge \mu_4^* . \] Ces définitions posées, on voit donc que la catégorie⌜-groupoïde⌝ des courbes elliptiques ⌜$/k$⌝ épinglées de Legendre […] ⌜est⌝ équivalente à la catégorie-groupoïde des triplets couples ⌜triplets⌝ $(J, t, \alpha)$ de formés \[ (21) \quad \begin{cases} \text{a) d'un $J$ à trois éléments (d'où $\Sigma_J$, $D_J$, $\Sigma_J^*$),} \\ \text{b) d'un $t \in \Sigma_J^*(k)$} \\ \text{c) d'un isom $\alpha : \underline{\omega}_J \simeq \mu_4^*$ \ \ $(= \mu_4^*(k))$} \end{cases} \]

Un épinglage de Legendre–Jacobi d'échelon 2 ⌜d'une courbe elliptique $E$⌝ sera la donnée d'un couple d'épinglages, l'un de Legendre, l'autre de Jacobi d'échelon 2 i.e. d'une bijection $J \simeq \{0, 1, \infty\}$, permettant d'identifier $\Sigma_J$ à la droite projective type $\mathbb{P}^1_k$. On a alors dans $\underline{\omega}_J \simeq \underline{\omega}_{\{0,1,\infty\}}$ un élément […] privilégié $\omega^+$, et la donnée c) de l'épinglage de Legendre équivaut ⌜donc⌝ à celle d'une racine carrée […] de $-1$, soit $i$ — c'est la donnée « arithmétique ». Par ailleurs, la catég. La catégorie-groupoïde des courbes elliptiques sur $k$, munies d'un épinglage de Legendre–Jacobi, ⌜est rigide (pas d'auto. […])⌝ équivalente à celle des […] à isom. près ce et elle « Legendre » dans « d'un épinglage de Legendre » est d'abord écrit avec un « à » d'une autre forme ; dans c), un symbole biffé suit $\mu_4^*$. La dernière ligne, biffée, et l'ajout au-dessus (« est rigide … »), ne sont lus qu'en partie. Dans a), avant $J$, le mot ens. est biffé.

79p. 4 de l'auteur. est équivalente à celle des couples $\{t, i\}$, avec \[ t \in U_{0,3}(k) = \mathbb{P}^1_k(k) \setminus \{0, 1, \infty\}, \quad \text{et } i \in \mu_4^* . \]

On peut définir sur $\Sigma_J$ le fibré $\mathcal{O}(1)^{\natural}_{\Sigma_J} = \underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_J}(1) \wedge_{\mu_4}$ la phrase et la formule sont biffées d'un trait ; un trait ondulé relie la formule biffée à la ligne suivante. L'exposant écrit ici $\natural$ est un signe en zigzag, proche de « ϟ », propre à cette page et à la suivante ; on le rend partout par $\natural$. Il est distinct du $\flat$ de (23).

J'opère : sur une base quelconque, mais éventuellement en car. rés. $\neq 2$ i.e. sur la base absolue ⌜$S_0 =$⌝ $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[1/2])$. Sur $\Sigma_S$ $S_0$ je définis, l'opération de torsion $\natural$, sur les modules faisceaux en Modules, par sur un schéma de base $S$ \[ (22) \qquad M^{\natural} = M \wedge_{\mu_{4S}} Q_{0S} \qquad \underline{\text{NB}}\ \ M^{\natural} \simeq M \otimes_{\mathcal{O}_S} \underline{\mathcal{O}}_S^{\natural} \] où ici on considère $Q_0$ comme un $\mu_4$-torseur sur la base absolue $S_0$. On aura donc \[ (23) \qquad M^{\natural} \otimes M^{\natural} \simeq M^{\flat} \overset{\text{déf}}{=} M \wedge_{\mu_{2S} = \{\pm 1\}_S} \mu_{4S}^* \] où $\mu_4^* \simeq \ldots$ \[ (24) \qquad \mu_4^* = \mu_4 \setminus \mu_2 \] est considéré comme torseur sous $\mu_2$, i.e. rev. étale quadratique de la base absolue $S_0$.

On s'intéressera donc, […] pour un revêtement sous $Q_{0S}$ dans (22), un petit mot biffé ; la dernière ligne se poursuit page 80.

80étale $\underline{J}$ de degré $3$ de de $S$, permettant de définir un $\Sigma_{\underline{J}}$ \[ (25) \qquad \Sigma_{\underline{J}} = \mathbb{P}(V_{\underline{J}}(\underline{\mathcal{O}}_S)) \qquad 0 \to V_{\underline{J}}(\mathcal{O}_S) \to \underset{\substack{\parallel \\ p_*(\mathcal{O}_{\underline{J}}) \\ p : \underline{J} \to S}}{\underline{\mathcal{O}}_S^{\underline{J}}} \xrightarrow{\ \mathrm{tr}\ } \underline{\mathcal{O}}_S \] et au module inversible $\underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_{\underline{J}}}(1)$, au module \[ (26) \qquad T_{0, \Sigma_{\underline{J}}} = \underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_{\underline{J}}}(1)^{\natural} \] de sorte qu'on a un iso \[ (27) \qquad T_{0, \Sigma}^{\otimes 2} \simeq \underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_J}(2) \wedge_{\{\pm 1\}} \mu_4^* \simeq T_{\Sigma_J} \wedge_{\{\pm 1\}} (\mu_4^* \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}}) \] où $\underline{\omega}_J$ est le revêtement ⌜étale⌝ quadratique associé au revêtement ⌜étale⌝ cubique $\underline{J}$.

Si maintenant $E$ est une courbe elliptique sur la base $S$, on lui associe \[ (28) \qquad \underline{J} = ({}_2E)^* \qquad \text{rev.\ étale cubique de } S \] et on […] a un iso \[ (29) \qquad E/(\pm \mathrm{id}_E) \xrightarrow{\ \sim\ } \Sigma_{\underline{J}} \] et un iso dans (25), la trace $\mathrm{tr}$ est écrite au-dessus de la flèche, d'une lecture incertaine ; l'identification $\underline{\mathcal{O}}_S^{\underline{J}} = p_*(\mathcal{O}_{\underline{J}})$, $p : \underline{J} \to S$, est portée au-dessous. Le « au module inversible …, au module » est lu d'après le contexte. La page s'arrête sur « et un iso », la suite dans le lot suivant.

4. Détermination de \(M_{11}(4)\).

III. Épinglages de Legendre des courbes elliptiques

Digression. Épinglages de revêtements par rev. Kummériens des espaces tangents (cas relatif)