Fonds Grothendieck, cote n° 64, pages 41–60

Prop. V vectoriel de dim 2 sur \mathbb{F}_2, donc V \simeq V_J(\mathbb{F}_2), où J = V^* ens. à trois éléments, \operatorname{Aut}(V) \xrightarrow{\;\sim\;} \mathfrak{S}_J. Posons \operatorname{Aut}^{\pm}(V) \simeq \mathfrak{S}_J^{\pm}. Considérons \operatorname{Aut}(V) \subset \operatorname{End}(V) = M (alg. d'Azumaya). les exposants de \operatorname{Aut}(V) et de \mathfrak{S}_J dans « Posons … » sont de petits traits superposés, lus \pm d'après la suite (\operatorname{Aut}^-, \operatorname{Aut}^+). Sous « \operatorname{Aut}(V) » de la ligne précédente, une accolade renvoie au mot « Considérons », lui-même surchargé. La lettre M après \operatorname{End}(V) = est suivie de lettres biffées ; c'est la notation reprise p. 42.

Alors :

1) \operatorname{Aut}^-(V) = V'^{*} , i.e. V' \subset \operatorname{End}(V), \qquad V' = \operatorname{Aut}^-(V) \cup \{0\} est un sous-espace vectoriel de rg 2 commutatif, canoniquement isomorphe à V, en associant à x \in V^* la transposition \tau_x \in \operatorname{Aut}^-(V). le V' de « V'^{*} » est écrit par-dessus un W ; l'égalité V' = \operatorname{Aut}^-(V) \cup \{0\} est écrite sous V', reliée par un signe = vertical. Devant « x \in V^* », un signe \forall biffé.

2) \operatorname{Aut}^+(V) = W^*, i.e. W \subset \operatorname{End}(V), \qquad W = \operatorname{Aut}^+(V) \cup \{0\} est un sous-espace vectoriel de rang 2 commutatif,

3) V' et W sont orthogonaux l'un à l'autre pour la forme trace, qui sur V' se réduit à la forme bil. sym. unique qui est alternée et non dégénérée \Bigl(\mathrm{Tr}\, xy = \begin{cases} 0 & \text{si } x = y, \text{ ou } x \text{ ou } y = 0\\ 1 & \text{sinon i.e.\ } x, y \in V'^{*},\ x \neq y \end{cases}\Bigr), et sur W est non alternée (\mathrm{Tr}\,\rho^2 = \mathrm{Tr}\,\rho^{-2} = 1, \mathrm{Tr}\,1^2 = 0) et bien sûr non dégénérée. dans la marge gauche, en regard de ces deux formules, les matrices \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} : les matrices de Gram de la forme trace sur V' et sur W.

4) V' que \mathbb{F}_2(\Gamma)-module est isom. à V et irréductible, tandis que W est une extension non scindée 0 \to \underset{\lambda \mapsto \lambda \cdot 1}{\mathbb{F}_2} \longrightarrow W \xrightarrow{\;\mathrm{Tr}\;} \mathbb{F}_2 \to 0 . NB \mathbb{F}_2 \cdot 1 est son propre orthogonal la lettre lue \Gamma dans « \mathbb{F}_2(\Gamma) » est une grande potence et reste douteuse. En regard du 4), dans la marge gauche, un griffonnage au crayon, non lu. En bas à droite : « TSVP ».

5) On a \mathfrak{sl}(V) \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{Ker}\bigl(M \xrightarrow{\;\mathrm{Tr}\;} \mathbb{F}_2\bigr) = V' + \mathbb{F}_2 \cdot 1_V . le reste de la page est blanc. Le symbole lu \mathfrak{sl}(V) est écrit comme « \int\!\ell(V) ».

II. Structures octaédrales dans \mathbb{P}^1

titre porté seul, de la main de l'auteur, sur la page 43, qui ne porte rien d'autre que, en tête à gauche, l'indication « (25 p.) ».

1. Opération de groupes \simeq \mathbb{D}_2 sur la droite projective, et configuration octaédrale.

p. 1 de l'auteur, chiffrée en tête de page. Soit V un groupe qui est un espace vectoriel de rang 2 sur \mathbb{F}_2, et considérons un ~~e droite pro~~ fibré en droites projectives X sur un schéma de base S. On s'intéresse aux opérations, fidèles sur chaque fibre, de V sur X, i.e. aux monomorphismes (1) \qquad V_S \hookrightarrow \underline{\operatorname{Aut}}_S(X) = G Choisissons une base e_1, e_2 de V sur \mathbb{F}_2, alors la donnée d'un homom. V_S \longrightarrow \underline{\operatorname{Aut}}_S(X) \quad \text{i.e.}\quad V \longrightarrow \operatorname{Aut}_S(X) qui soit mono sur \mathbb{F}_2 e_1 et sur \mathbb{F}_2 e_2, équivaut à celle de deux automorphismes d'ordre deux de X, ou encore, de « deux » « axes » (i.e. diviseurs étales de degré 2) \Delta_1, \Delta_2 sur X, la condition de commutation étant que \Delta_2 est stable par \sigma_1, ou encore \Delta_1 stable par \sigma_2. ~~La condition \sigma_1 donné i.e. \Delta_1 donné, que ; \Delta_2 la donnée mono signifie \sigma_2 que la donnée X/\{1, \sigma_1\} \to d'une section de~~ (2) \qquad \Delta_1 \cap \Delta_2 = \emptyset \quad \text{i.e.}\quad \Delta_2 \subset X \setminus \Delta_1 et stable par \sigma_1 (i.e. \Delta_1 donné), la donnée de \sigma_2 i.e. de \Delta_2 équivaut à : celle d'une section de ~~X \setminus \Delta_1~~ (X \setminus \Delta_1)/\{1, \sigma_1\} sur S (\Delta_2 étant alors l'image inverse de cette section dans X \setminus \Delta_1). Considérons le troisième élément (3) \qquad e_3 = e_1 + e_2 il lui correspond un axe \Delta_3, et \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3 sont mutuellement disjoints. on est en car. \neq 2 ; \Delta_1 = X^{\sigma_1}, \Delta_2 = X^{\sigma_2} le passage biffé, sur quatre lignes, n'est lu qu'en partie. La note marginale, écrite de biais dans la marge gauche en regard de « deux axes », définit les axes comme lieux des points fixes.

La donnée de \Delta_1 est unique localement près — si on prend une trivialisation de \Delta_1, ~~on peut prendre~~ la situation (X, \Delta_1) i.e. est isom. localement à (\mathbb{P}^1_S, \{0, \infty\}), \sigma_1 étant donné par z \mapsto -z, donc X \setminus \Delta_1 étant \mathbb{P}^1_S \setminus \{0, \infty\} = \mathbb{G}_{m\,S}, et le quotient (X \setminus \Delta_1)/\{1, \sigma_1\} s'identifiera à \mathbb{G}_{m\,S}, l'homom. de passage au quotient étant

\begin{tikzcd} X \setminus \Delta_1 \arrow[r] \arrow[d, "\wr"'] & (X \setminus \Delta_1)/\{1, \sigma_1\} \arrow[d, "\wr"] \\ \mathbb{G}_{m\,S} \arrow[r, "\lambda \mapsto \lambda^2"] & \mathbb{G}_{m\,S} \end{tikzcd}

La donnée d'une section de (X \setminus \Delta_1)/\{1, \sigma_1\} équivaut donc à : celle d'une section \lambda de \mathbb{G}_{m\,S} — et loc. pour la top. étale, on peut poser \lambda = \xi^2, ~~et quitte à : la section remplacer~~ i.e. à la donnée d'une section \xi de X \setminus \Delta_1 sur S. On peut (quitte à remplacer l'iso. X \simeq \mathbb{P}^1_S par un autre, savoir en multipliant par 1/\xi) supposer que \xi est la section 1, de sorte que la situation standard est (4) \qquad \begin{cases} \Delta_1 = \{0, \infty\}, & \Delta_2 = \{1, -1\} \\ \sigma_1(z) = -z & \sigma_2(z) = \dfrac{1}{z} \end{cases} (NB \sigma_2 est l'unique homographie qui échange 0 et \infty, et fixe 1 et -1). On trouve donc la première ligne de la page n'est lue qu'en partie : le mot entre « unique » et « localement près » est illisible, de même que le mot biffé qui suit.

p. 2 de l'auteur. (5) \qquad \sigma_3(z) = -\frac{1}{z} \qquad \Delta_3 = \mathbb{V}(z^2 + 1) (= \{i, -i\} si \exists racine primitive sur S) On trouve donc

Proposition. Loc. pour la top. étale, une représentation monomorphique de \mathbb{D}_4 = \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2 dans \operatorname{Aut}(\mathbb{P}^1_S) (sur une base S à car. résid. \neq 2) est donnée par (4) (où \sigma_1, \sigma_2 sont les automorphismes correspondant aux éléments de la base canonique (e_1, e_2) de \mathbb{D}_4 sur \mathbb{F}_2) — qui donne bien une représentation monomorphique. l'indice de \mathbb{D}_4 est bien un 4 dans les deux occurrences de cette page, alors que le titre du § 1 (p. 44) écrit \mathbb{D}_2 ; nous transcrivons tel quel.

Posons (6) \qquad \Delta = \Delta_1 \amalg \Delta_2 \amalg \Delta_3 \qquad \bigl(= \{0, \infty, 1, -1, i, -i\} \text{ dans le cas normalisé}\bigr) on appelle \Delta la configuration octaédrale associée à l'opération de V sur X — par descente comme diviseur étale plat, elle est définie (comme diviseur étale de degré 6 de X/S) dès qu'on a une opération monomorphique (sur chaque fibre) d'un groupe V \simeq \mathbb{D}_{2} sur X, ou plus généralement d'un schéma en groupes \underline{V} sur S loc. isom. au schéma en groupes constant. De façon générale, on appelle configuration octaédrale dans X/S un diviseur étale de degré 6 de X/S, qui soit l'indice du \mathbb{D} dans « V \simeq \mathbb{D}_{2} », ajouté au-dessus de la ligne, est peu net.

loc. isomorphe à \{0, \infty, 1, -1, i, -i\} dans \mathbb{P}^1_S, ou ce qui revient au même, qui soit loc. isom. à la configuration octaédrale associée à une op. monom. d'un \underline{V} sur X. Nous allons voir maintenant que cette donnée est essentiellement unique.

Pour ceci, pour un diviseur octaédral \Delta \subset X considérons le schéma en groupes (7) \qquad \Gamma = \underline{\operatorname{Aut}}_S(X, \Delta), il est immédiat (du fait que \Gamma \subset \underline{\mathfrak{S}}_\Delta = \underline{\operatorname{Aut}}_S(\Delta), \Delta ayant ses fibres de degré \geq 3) que \Gamma est net sur S, je dis que \Gamma est étale sur S, et loc. isom. au schéma en groupes (\mathfrak{S}_4)_S. Plus précisément, je vais définir sur \Delta (comme schéma des sommets) une structure d'octaèdre de schéma en octaèdres combinatoires, de telle façon qu'on ait (8) \qquad \Gamma = \underline{\operatorname{Aut}}^{+}_{\mathrm{oct.}}(\Delta) \qquad \text{(en tant que sous-schémas de } \underline{\operatorname{Aut}}_S(\Delta)\text{)} Pour ceci, on note qu'une structure octaédrale sur un ens. à six éléments \Delta est bien déterminée quand on connaît le groupe de ses automorphismes directs (en tant que sous-groupe de \mathfrak{S}_\Delta), car les deux insertions au-dessus de « une structure d'oct… » et de « on … structure octaédrale » ne sont lues qu'en partie ; le début de la ligne « … schéma en octaèdres combinatoires » est peu sûr.

p. 3 de l'auteur. les « diagonales » \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3 de \Delta sont déterminées (en tant que parties à deux éléments de \Delta), comme les ~~par la condition que leurs stabilisateurs soit~~ classes pour la relation d'équivalence R définie par l'application s \mapsto \Gamma_s (s et s' sont dans une même classe ssi ils ont le même groupe d'isotropie, qui est cyclique d'ordre 4), et la structure polyédrale est déterminée en termes de cette décomposition, les arêtes étant les 12 parties à deux éléments distinctes des \Delta_i, et les 8 faces étant les parties à trois éléments sections de \Delta \to \Delta/R. Donc la structure octaédrale sur \Delta revient à la structure de définie par R, relation d'équivalence de degré 2, ou encore par celle du groupe \Gamma (\simeq \mathfrak{S}_4) opérant sur \Delta.

Cette parenthèse combinatoire montre que la structure octaédrale canonique sur \Delta \subset X est nécessairement unique (puisqu'on connaît son schéma en groupes d'autom.), ce qui montre que la question d'existence est locale (p.t.), donc OPS X = \mathbb{P}^1_S, \Delta = \{0, \infty, 1, -1, i, -i\}. Le ~~stabilisateur~~ sous-groupe de ~~0, \infty~~ ~~\Gamma~~ qui fixe 0 et \infty est isomorphe visiblement à : \mu_4 \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})_S (générateur i), ~~et par~~ et de même ( d'homographies) pour (1, -1), (i, -i). Par contre, la « OPS » : on peut supposer. Le mot « » après « et de même » commence par « générat… » et se lit peut-être « générateurs » ; celui qui précède « d'homographies » n'est pas lu.

groupe des autom. de (X, \Delta) qui fixe \infty et -1 donc (des autom.) de la forme z \mapsto az + b avec -a + b = -1 i.e. ~~z \mapsto a(z+1) - 1 = az + (a-1)~~ z \longmapsto az + (a-1) est plus petit, en fait si l'autom. envisagé n'est pas l'identité, il doit induire une permutation sans pts fixes de (0, 1, i, -i), qui est donc d'ordre 2 ou quatre, donc on a^4 = 1 ~~ou a^4 = 1~~. mais faisant z = 0 on doit avoir ~~i.e. a \in \{0, 1, i, \ldots~~ a - 1 \in \{1, i, -i\} \quad \text{i.e.}\quad a \in (2, 1+i, 1-i) donc a^4 = \pm 4 qui n'est pas égal à 1 si car. \neq 3 et 5 faisant z = 1 on trouve 2a - 1 \in \{0, i, -i\} \quad \text{i.e.}\quad a \in \Bigl\{\tfrac12, \tfrac12 (i+1), \tfrac12 (1-i)\Bigr\} donc a^4 = \frac14 ou faisant a^4 = -1 qui n'est pas égal à 1 (car on est en car. \neq 2) faisant z = i, on trouve a\underbrace{(i+1)}_{1 : (\frac{1-i}{2})} - 1 \in \{0, 1, -i\} \quad \text{i.e.}\quad a \in \Bigl\{\tfrac{1-i}{2}, 1-i, -i\Bigr\} et de même, faisant z = -i, on trouve a \in \bigl\{\frac{1+i}{2}, 1+i, i\bigr\}. Donc l'intersection des stabilisateurs de \infty, -1 est \{1\}, et par raison d'homogénéité il en est de même pour toute partie à deux élts de \Delta, distincte des \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3. Donc on voit que la structure octaédrale \Delta = \Delta_1 \amalg \Delta_2 \amalg \Delta_3 est connue par \Gamma, et uniquement déterminée par le diviseur \Delta. Donc \Gamma \hookrightarrow \underline{\operatorname{Aut}}_{\mathrm{oct}}(\Delta), et même \Gamma \subset \underline{\operatorname{Aut}}^{+}_{\mathrm{oct}}(\Delta) Pour montrer qu' isomorphisme, il suffit de noter que le groupe des autom. directs de la structure octaédrale est engendré par les trois sous-groupes cycliques d'ordre 4 qu'il contient, correspondants aux diagonales : \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3 — or ceux-ci sont contenus dans \Gamma. les deux notes marginales sur a^4, écrites de biais dans la marge gauche en regard des cas z = 1 et z = i, ne sont lues qu'en partie ; chacune se rattache au cas qu'elle borde. Dans le cas z = i, le premier élément de l'ensemble final est surchargé ; les trois valeurs se déduisent de a(i+1) \in \{1, 2, 1-i\}. La note « et même \Gamma \subset \ldots », marquée d'un trait vertical, renvoie à « Donc \Gamma \hookrightarrow \underline{\operatorname{Aut}}_{\mathrm{oct}}(\Delta) ».

p. 4 de l'auteur. Soit \Delta un diviseur étale de degré 6 dans X/S, muni d'une structure octaédrale i.e. d'une opération involutive ~~de degré 2~~ \underline{a}_\Delta : \Delta \to \Delta ~~\Delta \to \Delta'~~ ~~i.e. \Delta' est fini étale de degré 3 sur S.~~ correspondant : une opération libre de \{1, \underline{a}_\Delta\} sur \Delta/S. On dit que cette structure octaédrale est régulière dans X, si le groupe \Gamma = \underline{\operatorname{Aut}}^{+}_{\mathrm{oct}}(\Delta) opère sur X, de façon compatible avec les op. sur \Delta (cette op. de \Gamma sur X est alors unique). Si le diviseur \Delta est fixé, on voit qu'il y a au plus une structure octaédrale sur \Delta qui soit régulière, et il y en a une ssi \Delta est une « configuration octaédrale ». Si \Delta est une telle configuration, on vient de voir qu'elle est dirigée, munie d'une ~~unique~~ structure octaédrale, régulière (et tout autom. de X qui ~~fixe~~ respecte \Delta ~~fixe~~ respecte cette structure octaédrale). Inversement, si \Delta est muni d'une str. oct. rég., alors le sous-groupe \underline{V} de \Gamma = \underline{\operatorname{Aut}}_{\mathrm{oct}}(\Delta) invariant abélien non trivial est un groupe loc. isom. à \mathbb{D}_{2\,S}, opérant fidèlement sur X, et on voit aussitôt que la Il faut un petit argument pour montrer que toute structure oct. \Delta induite par une op. de est droite : OPS que l'automorphisme fixe les points de \{0, \infty\} = \Delta_1, et on trouve dans les autom. de « rotation » par \mu_4, qui sont bien directs… Si on a une configuration octaédrale régulière ~~\Delta~~ dans un fibré en droites X, alors le revêtement des orientations de ~~\Delta~~ \Delta est canoniquement isomorphe au revêtement \mu_4^{*} = \operatorname{Spec} \mathcal{O}_S[i]/(i^2+1) de S… les deux notes marginales sont écrites en diagonale dans la marge gauche, la première en haut de la page (en regard de la définition de la structure octaédrale), la seconde plus bas, d'une encre plus noire ; leur lecture est incomplète. Près de « Soit », en exposant, « (X, \Delta) ». Une insertion au-dessus de « cette op. de \Gamma sur X » porte encore « définie par des projections », d'une lecture peu sûre. L'indice de \mathbb{D}_{2\,S} est surchargé (un 4 corrigé en 2, ou l'inverse). Le mot souligné et biffé en fin de la ligne « … alors unique). » n'est pas lu.

configuration ~~icosaédrale~~ octaédrale associée est bien celle de départ…

Théorème Soit X un fibré en droites projectives sur un schéma S, de car. résiduelles \neq 2. Considérons le schéma en groupes G = \underline{\operatorname{Aut}}_S(X) (NB la donnée de X/S équivaut à celle de la « forme » G de \mathrm{PGL}(2)_S sur S), et les ensembles suivants :

a) L'ens. \mathcal{A}(X) des sous-schémas en groupes V de G, loc. isom. à (\mathbb{D}_4)_S

b) L'ens. \mathcal{B}(X) des sous-schémas en groupes \Gamma de G, loc. isom. à (\mathfrak{S}_4)_S.

c) L'ens. des configurations icosaédrales régulières dans X, i.e. des diviseurs étales \Delta dans X/S, de degré 6, munis d'un antipodisme \underline{a}_\Delta : \Delta \to \Delta qui soit sans pt fixe sur chaque fibre géom., et tel que \underline{\operatorname{Aut}}^{+}_{\mathrm{oct}}(\Delta) opère sur X de façon compatible avec son opération sur \Delta.

On a alors un système transitif de bijections canoniques entre ces trois ensembles, obtenues ainsi ! en c), l'auteur écrit « icosaédrales » là où il vient de corriger « icosaédrale » en « octaédrale » en tête de page ; nous transcrivons tel quel. Dans \underline{\operatorname{Aut}}^{+}_{\mathrm{oct}}(\Delta), le \Delta est surchargé. Le passage biffé après « qui » (deux mots, dont « définit ») n'est pas lu.

p. 5 de l'auteur.

a) \to b)\Gamma = \underline{\operatorname{Norm}}_G \underline{V} b) \to a)\underline{V} est l'unique sous-schéma en groupes (distingué) fini étale de \Gamma, de de degré 4, ~~distingué~~ c) \to b)\Gamma = \underline{\operatorname{Aut}}_S(X, \Delta) \xleftarrow{\;\sim\;} \underline{\operatorname{Aut}}^{+}_{S\text{-oct}}(\Delta) a) \to c)\underline{V}^* Toute section \sigma de V^* = V \setminus (\text{section unité}) définit une action fidèle de (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S sur X, donc un « axe » \Delta_\sigma de X, et \Delta est ~~la réunion~~ (loc. ét.) le diviseur somme de ses axes…

NB \Gamma/V \simeq \underline{\operatorname{Aut}}_{S\text{-gr}}(V) \simeq \underline{\operatorname{Aut}}_S(V^*)

Corollaire 1 Pour un diviseur étale de degré 6 \Delta dans X, il existe au plus une structure icosaédrale régulière ; s'il en existe une, le ~~groupe des autom.~~ schéma en groupes de ses automorphismes directs est isom. à \underline{\operatorname{Aut}}_S(X, \Delta).

Corollaire 2 La catégorie des couples (X, \Delta) sur S (i.e. (X, \underline{V}), (X, \underline{\Gamma})…) est équivalente : à celle des octaèdres ~~combinatoires~~ \widetilde{F} sur S, ou encore : à celle des revêtements finis étales de degré 4 de S, en associant à (X, \Delta) le revêt. des « faces modulo antipodisme » de la structure octaédrale \Delta, ou ce qui revient au même, celui des sous-3-groupes de Sylow de \underline{\mathfrak{S}}_\Delta …, celui des … \underline{\operatorname{Aut}}^{+}_{\mathrm{oct}}(\Delta) \simeq \underline{\operatorname{Aut}}_S(X, \Delta). La structure-type{}^{*} correspond à ~~revêt.~~ X \subset \mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}[\frac12]}, X = \mathbb{V}(x^2 + y^2 + z^2 = 0), avec l'op. de \{\pm\}^3/\mathrm{diag} \simeq \mathbb{V}_{\{0,1,\infty\}}(\mathbb{F}_2) donnée par les chgts de signe de x, y, z.{}^{*} munis d'un isom. \underline{\mathrm{Or}}_{\Delta/S} \simeq \mu^{*}_{4S} (on dit qu'on s'est donné une \mu_4^{*}-orientation sur S) NB Ici X est totalement anisotrope sur \mathbb{R} i.e. n'a pas de pts réels sur \mathbb{R} — le revêtement du groupe \mathbb{V}_{\{0,1,\infty\}}(\mathbb{F}_2) de \mathbb{P}^1 avec une structure , … {}^{*} Le biface distingué est formé des deux faces \{(0,1,i), (i,0,1), (1,i,0)\} et \{(0,1,-i), (-i,0,1), (1,-i,0)\}. la page est très chargée. Les flèches a) \to b), etc., renvoient aux trois ensembles du Théorème p. 51. La note « munis d'un isom. … » est écrite de biais à droite, au-dessus de « couples (X, \Delta) », auxquels un trait la rattache ; le symbole lu \underline{\mathrm{Or}} est surchargé. La note NB finale est écrite verticalement dans la marge gauche, de bas en haut ; seules les formules et quelques mots s'y lisent. Dans « celui des sous-3-groupes de Sylow de \underline{\mathfrak{S}}_\Delta », le \mathfrak{S} est surchargé ; les deux « … » qui suivent recouvrent chacun un groupe de mots non lu. Devant \{\pm\}^3 un symbole biffé (\mathbb{F} ?).

2. Courbes relatives de type (0,4).

Soit X un fibré en droites projectives sur S, et (9) \qquad \underline{I} \subset X un diviseur relatif, étale de degré 4. Considérons (10) \qquad \underline{\mathfrak{S}}_{\underline{I}} = \underline{\operatorname{Aut}}_S(\underline{I}) qui est un schéma en groupes fini étale sur S, loc. isom. à (\mathfrak{S}_4)_S. Il lui correspond un unique sous-groupe distingué \underline{V}_{\underline{I}}, loc. isom. à (\mathbb{D}_2)_S, ~~de telle façon~~ Alors \underline{I} est un torseur sous \underline{V}_{\underline{I}}.

Proposition L'opération de \underline{V}_{\underline{I}} sur \underline{I} se prolonge (de façon évidemment unique) en une opération de \underline{V}_{\underline{I}} sur X.

NB La donnée de \underline{I}, fini étale de degré 4 sur S, équivaut à : celle de \underline{V} = \underline{V}_{\underline{I}} sur S (ou encore de \underline{V}^{*}_{\underline{I}} = \underline{J}_{\underline{I}}, fini étale de degré 3 sur S), plus la donnée d'un torseur \underline{I} sous \underline{V}. Plonger ce torseur \underline{I} dans un fibré en droites projectives X revient à : faire opérer fidèlement \underline{V} sur X (chose étudiée en § 1), et de plus, de se l'indice de (\mathbb{D}_2)_S est surchargé. Le symbole \underline{J}_{\underline{I}} est écrit comme un grand \amalg ; la lecture J suit la notation J = V^* du début du dossier.

p. 6 de l'auteur. donner une section de (X \setminus \Delta)/\underline{V}, prenant pour \underline{I} l'image inverse de cette section dans X \setminus \Delta.

Mais la donnée d'une structure octaédrale équivaut à : celle d'un rev. étale de degré 4 de S (à ne pas confondre avec le \underline{I} du début, mais bien le \underline{K}), ou encore, à celle de

a) un schéma en groupes V sur S, loc. isom. à (\mathbb{D}_2)_S — ou encore un revêtement fini étale \underline{J} (= \underline{V}^*) de degré 3 de S, ou encore, à celle d'un fibré en droites projectives \Sigma = \Sigma_{\underline{J}} sur S, muni d'un diviseur relatif étale D_{\underline{J}} de degré 3 ( isom. à \underline{J})

b) d'un torseur \underline{K} sous \underline{V}, ou ce qui revient au même, d'un revêtement principal X^* de \Sigma^*_{\underline{J}} = \Sigma_{\underline{J}} \setminus D_{\underline{J}} de groupe \underline{V} ~~H^0(S, R^1 f_*(V)~~ ~~fibre géométrique~~ correspondant : H^0\bigl(S, \mathcal{H}^1(\Sigma^*_{\underline{J}}/S, \underline{V})\bigr) \simeq \operatorname{Hom}(\underline{V}_{\underline{J}}, \underline{V}) — la correspondance entre \underline{K} et X étant obtenue par la formule (11) \qquad X^* = \underline{K} \wedge_V \Sigma^*_{\underline{J},a}, (après « X^* = », ~~\Sigma_{\underline{J},0} \ldots~~) où \Sigma^*_{\underline{J},a} est le revêtement principal dit NB le rev. univ. local des (\pi_1) (V_{\underline{J}})_{\Sigma^*_{\underline{J}}} \Sigma^*_{\underline{J}} sur S l'identité \underline{V}_{\underline{J}} \to \underline{V} = \underline{V}_{\underline{J}} canoniquement isom. la note marginale est écrite en diagonale dans la marge gauche, en regard de la formule en H^0 ; elle n'est lue qu'en partie. La ligne de « fibre géométrique » est biffée d'un long trait. Dans le « » de la première ligne, un mot court (« ein » ?) ; avant « isom. à \underline{J} », un mot non lu.

\Sigma^*_{\underline{J}} défini ~~par~~ à partir ~~des~~ ~~fibrés~~ de la conique d'équation homogène (12) \qquad \sum_{i \in \underline{J}} x_i^2 = 0 sur laquelle le groupe V_{\underline{J}} \simeq \mathbb{F}_2^{\underline{J}}/\mathbb{F}_2 opère diagonalement par changement de signe sur les x_i, comme quotient de \Sigma_{\underline{J}}, défini par l'équation homogène \sum x_i = 0 . Donc la donnée de (X, \underline{I}) équivaut : celle de \underline{J} i.e. de \Sigma_{\underline{J}}, du torseur \underline{K} sous V_{\underline{J}} i.e. du revêtement X de \Sigma_{\underline{J}} de groupe V_{\underline{J}} (« admissible » sur qu'il définit l'identité V_{\underline{J}} \to V_{\underline{J}} ), et d'une section de \Sigma^*_{\underline{J}} [l'hypothèse que \underline{I} soit contenu dans un fermé fibres] … Quand \underline{I} est fixé et de la forme I_S, avec … éléments fixés (i.e. fixé d'), on a \underline{J} \simeq J_S, et \Sigma^*_{\underline{J}} = \Sigma_J … aussi fixé. La donnée de (X, I_S \hookrightarrow X) équivaut donc : celle de la section x de \Sigma^*_J, section de « pt uniforme », le revêtement X de \Sigma^*_J de groupe (V_J)_S = (V)(J_S) = \underline{V} étant description loc. ?) : il dans \check{\mathbb{P}}(p_*(\mathcal{O}_{\underline{J}})) la conique d'équation Q = 0, où Q(u \otimes) = \mathrm{Tr}\, u^2 (NB deux p : \underline{J} \to S morphisme structural) — description de l', loc. ét. — la description l'hyperplan (13) de \check{\mathbb{P}}(p_*(\mathcal{O}_{\underline{J}})), d'équation L(u) = \mathrm{Tr}\, u, L(\ldots) = 0 … Relations entre \underline{I}, \underline{K}, x : (14) \underline{I} \simeq \underline{K} \wedge_{\underline{V}} (\Sigma^*_{\underline{J},a}/x). Ainsi, pour \underline{J} et x \in \Gamma(\Sigma^*_{\underline{J}}/S) fixés, \underline{I} et \underline{K} (ou encore, \underline{I} et X) de degré 4 de S, \underline{K} … la page est chargée ; le corps, surtout vers le bas (« Quand \underline{I} est fixé … »), n'est lu qu'en partie. Les deux notes marginales sont écrites en diagonale dans la marge gauche, la première en regard de (12)–(13), la seconde (qui porte le numéro (14)) en bas ; elles sont d'une lecture très incomplète. La note entre crochets à droite est reliée par une flèche à la section de \Sigma^*_{\underline{J}}. Le numéro (13) n'apparaît que dans la marge.

p. 7 de l'auteur. déterminé par la structure supplémentaire (15) \qquad X/x \xrightarrow{\;\sim\;} I_S \qquad (V_S\text{-isomorphisme}) qui, en termes du \underline{V}_S-torseur \underline{K} qui a servi à définir X, s'écrit ~~(16) \underline{K} \simeq (I_S) \wedge \ldots (\Sigma^*_{J,a}/x)~~ (16) \qquad \underline{K} \simeq (I_S) \wedge_{\underline{V}} (\Sigma^*_{J,a}/x) \qquad \underline{V} = (V_J)_S . le premier mot de la page est lu « déterminé » sous réserve ; il commence par « d… isant ». La première formule (16) est biffée et réécrite ; son indice sous \wedge est surchargé. Le reste de la page est blanc.

3: Relations avec courbes elliptiques : le morphisme f_2^t : \Sigma_{\underline{J}} \to \Sigma_{\underline{J}}.

Supposons toujours les car. rés. de S \neq 2. Soient E_0 une courbe elliptique sur S, E un torseur sous E_0 (de sorte que E_0 \simeq \underline{\operatorname{Pic}}^0_{E/S}). Supposons donné dans E un S- automorphisme (17) \qquad \sigma : E \to E tel que (18) \qquad \sigma_{E_0} = -\mathrm{id}_{E_0} ce qui implique que loc. (ét.), identifiant E à E_0 via une section origine de E, on aura \sigma x = a - x \qquad a \text{ section convenable} ce qui est d'ailleurs intrinsèque si on interprète a comme une section de E \wedge_{E_0} E \simeq \underline{\operatorname{Pic}}^2_{E/S}. On aura donc \sigma^2 = \mathrm{id}_E Soit (19) \qquad \begin{cases} \underline{I} = E^\sigma \quad \text{sous-schéma des pts fixes de } \sigma \\ \underline{I} \subset E \\ \phantom{\underline{I}} = \{x \in E \mid 2x = a\} \end{cases} on voit que \underline{I} est un torseur sous le schéma en groupes (20) \qquad \underline{V} = {}_2E_0 = \operatorname{Ker}(2\,\mathrm{id}_{E_0} : E_0 \to E_0), qui est justement un groupe sur S loc. isom. à \mathbb{D}_{2\,S}. La donnée de (E, \sigma), où E est un schéma dans (18), l'exposant de \sigma (un 2 corrigé ?) est surchargé ; la lecture \sigma_{E_0} (l'automorphisme induit sur E_0) est celle que donne l'indice. Le mot lu « automorphisme » après « un S- » est écrit court et en partie biffé. Dans (19), l'égalité de la troisième ligne se rattache à \underline{I} par un signe = vertical.

p. 8 de l'auteur. propre et lisse sur S à fibres géom. connexes de dim 1, genre 1, et \sigma un autom. induisant -\mathrm{id} sur \underline{\operatorname{Pic}}^0_{E/S} équivaut à : celle de (E, a), où a section de \underline{\operatorname{Pic}}^2_{E/S} (\simeq E \wedge_{E_0} E), ou encore à celle de (E_0, \underline{I}), où E_0 est une courbe elliptique relative sur S, et où \underline{I} est un torseur sous ~~{}_2E_0 \overset{\text{déf}}{=}~~ \underline{V} \overset{\text{déf}}{=} {}_2(E_0). On aura (21) \qquad \begin{cases} E = \underline{I} \wedge_{\underline{V}} E_0 \\ \sigma \text{ déduit de la symétrie } x \mapsto -x \text{ de } E_0 \text{ via la formule précédente} \end{cases} On aura une opération de \underline{V} = {}_2E_0 \subset E_0 sur E, et un isom. canonique (22) \qquad \begin{array}{c} E/\underline{V} \xrightarrow{\;\sim\;} E_0 \\ \wr\!\wr \\ E \wedge_{E_0} E \simeq \underline{\operatorname{Pic}}^2_{E/S} \end{array} isom. qui transforme la symétrie \sigma sur E, en \sigma_0 : x \mapsto -x sur E_0. NB L'opération de \underline{V} sur E commute à l'action de \sigma

Considérons les schémas quotients (23) \qquad X = E/\{1, \sigma\}, \qquad \Sigma = E_0/\{1, \sigma_0\} ce sont des fibrés en droites projectives, (canoniquement isomorphes), ~~et sur les~~ V opère sur X ~~et sur~~ \Sigma via son action sur E, et on aura (24) \qquad X/V \xrightarrow{\;\sim\;} \Sigma , d'ailleurs le diviseur de ramification pour (25) \qquad E \to X \qquad (\text{rev.\ quadratique}) le « \wr\!\wr » de (22) rend un signe d'égalité vertical entre E_0 et E \wedge_{E_0} E ; un « 21 » est écrit à côté, peut-être un renvoi à (21). L'insertion lue « canoniquement isomorphes », sous « fibrés en droites », est peu nette ; son rattachement à X et \Sigma est incertain.

est \underline{I}, et on a un monomorphisme (26) \qquad \underline{I} \hookrightarrow X ~~stable sous l'action~~ compatible avec l'action de \underline{V}, dont on déduit facilement que c'est un monomorphisme (car on vérifie que \underline{I} s'envoie dans l' X^* de X où l'action de \underline{V} est libre, cf. plus bas (27)). Ainsi on est dans la situation du § 2, qui implique que \Sigma \simeq \Sigma_{\underline{J}}, où \underline{J} = \underline{V}^*, que \underline{I} est l'image inverse d'une section bien déterminée de \Sigma^*_{\underline{J}} = \Sigma_{\underline{J}} \setminus D_{\underline{J}}, l'image inverse \Delta de \underline{J} dans X étant la configuration icosaédrale dans X, correspondant à l'action donnée de \underline{V} sur le fibré en droites projectives X.

En termes de l'action de V \underline{V} sur X, \underline{\Delta} se récupère comme le diviseur de ramification pour cette action — ensemblistement, il correspond donc aux pts (à val. dans des corps alg. clos) dont le stabilisateur dans V est \neq 0, i.e. il correspond : aux pts x \in E tels qu'il existe \xi \in V = {}_2E_0, \xi \neq 0, avec x + \xi \in \{x, \sigma x = a - x\} \quad \text{i.e.} \quad x + \xi = a - x \quad \text{i.e.} \quad 2x + \xi = a \quad \text{d'où} \quad 4x = 2a \quad \text{mais } 2x \neq a ~~i.e. …~~ l'auteur écrit « configuration icosaédrale » où la p. 46 parlait de configuration octaédrale. Le mot devant X^* (« l'o… ») n'est pas lu. Dans « V = {}_2E_0 », l'indice est surchargé (un 8 ?). La fin biffée de la dernière ligne porte un E et un indice 4.

p. 9 de l'auteur. x \text{ pt de } \underline{I} \wedge_{{}_2E_0} ({}_4E_0) \setminus \underline{I} On trouve ainsi (27) \qquad \Delta = \Bigl(\underbrace{\underbrace{\underline{I} \wedge_{\underline{M}_0} \underline{M}}_{\text{degré } 16} \setminus \underbrace{\underline{I}}_{\text{degré } 4}}_{\text{degré } 12}\Bigr) \Big/ \underbrace{\{1, \sigma\}}_{\text{degré } 2} où on a posé maintenant (28) \qquad \begin{cases} \underline{M} \simeq {}_4E_0 \quad \text{schéma en groupes loc.\ isom.\ à } (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^2_S \\ \underline{M}_0 \simeq \underline{M} \otimes_{\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \simeq 2\underline{M} = {}_2E_0 = \underline{V} \end{cases} Ainsi (dans le cas E = E_0, disons) les pts d'ordre 4 de E_0 se groupent par 6 paires d'éléments symétriques, qui forment la configuration octaédrale \Delta dans X.

On trouve ainsi le diagramme (presque cartésien)

\begin{tikzcd}[column sep=large] \underline{I} \subset E \arrow[r, "\text{étale}"] \arrow[d] & E_0 \ (\simeq E/\underline{M}_0) \arrow[d] \\ \underline{I} \hookrightarrow X \arrow[r] & \Sigma_{\underline{J}} \\ \Delta \arrow[u, hook] \arrow[r, dashed] & D_{\underline{J}} \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

(29) — qui est cartésien au-dessus de \Sigma^*_{\underline{J}} = \Sigma_{\underline{J}} \setminus D_{\underline{J}}. le diagramme (29) est redessiné : sur la page, les flèches verticales E \to X et E_0 \to \Sigma_{\underline{J}} portent respectivement « ramifié au-dessus des pts de \underline{I} » et « ramifié au-dessus des pts de D_{\underline{J}} \cup t(S) », la flèche horizontale X \to \Sigma_{\underline{J}} « ramifié au-dessus des pts de D_{\underline{J}} » ; les deux inclusions de la dernière ligne sont notées par un signe \cup sous X et sous \Sigma_{\underline{J}}. Dans (28), l'indice de \otimes et le \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} (écrit « \mathbb{Z}_{/2} ») sont peu nets ; le signe entre 2\underline{M} et {}_2E_0 est surchargé.