Fonds Grothendieck, cote n° 64, pages 21–40

B) Considérons ensuite les sous-groupes de G d'ordre multiple de 3, donc d'ordre 3, 6 ou 12.

g)Sous-groupes d'ordre 3, ce sont les 4 3-sous-groupes de Sylow, indexés par les éléments de I I 4 h)Les sous-groupes d'ordre 6 ne sont pas cycliques (il n'y a pas d'éléments d'ordre 6) donc sont isomorphes : \mathbb{D}_3, ou ce sont les quatre stabilisateurs des pts de I, i.e. les normalisateurs des 3-sous-groupes de Sylow I 4 i)Il y a un seul sous-groupe d'ordre 12 i.e. d'indice 2, du fait que ~~\mathfrak{S}~~ G_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{F}_2, et c'est G^+ \simeq \mathfrak{S}_I^+, ss-groupe alterné de \mathfrak{S}_I. 1

les chiffres de la marge gauche (« I 4 », « I 4 », « 1 ») sont le décompte que l'auteur tient en regard de chaque cas : l'ensemble qui indexe la classe de conjugaison et son cardinal. Dans i), la formule après « du fait que » est surchargée : un \mathfrak{S} biffé, puis G_{\mathrm{ab}}, et un dernier symbole barré qui se lit mal. La page 21 poursuit un inventaire commencé dans des pages que le premier lot n'a pas encore transcrites (pp. 14–20).

Il y a donc exactement 17 sous-groupes qui sont des deux-sous-groupes, \neq e, se répartissant en six classes de conjugaison (correspondant bien à 6 classes d'isomorphismes d'espaces homogènes sous G), et 9 sous-groupes \neq G qui sont d'ordre multiple de 3, se répartissant en trois autres classes de conjugaison. Cela fait en tout 28 sous-groupes, donc 30 en comptant \{e\} et G, se répartissant en 9 classes de conjugaison (resp. 11 en comptant \{e\} et G), qui correspondent aux classes d'isomorphie d'espaces homogènes sous G. le « 17 » est net ; or 17 + 9 = 26, non 28. Le \mathfrak{S}_4 a 19 sous-groupes d'ordre une puissance de 2 distincts de \{e\}, et c'est 19 + 9 = 28 qui donne le total écrit ensuite. Transcrit tel quel.

Pour bien faire, il faudrait les relations dans un diagramme d'inclusions, ou diagr. de morphismes d'espaces homogènes.

ces deux dernières lignes, d'une écriture plus petite, sont serrées au bas de la page, à droite.

4. Relations avec le cube orienté

p. 11 de l'auteur, chiffrée en tête de page. La section 3, dont la page 21 donne la fin, commence dans les pages du premier lot qui ne sont pas encore transcrites. Si I est un ens. à 4 éléments, J \simeq \mathfrak{P}_{2,2}(I) \simeq V_I^* l'ens. à trois éléments associé, on considère l'application de degré 2 (*) \qquad \underset{\substack{\text{ens. des}\\ \text{permutations}\\ \text{circulaires}\\ \text{sur } I}}{\mathrm{Circ}(I)} \longrightarrow J, \qquad u \longmapsto u^2 . le J d'arrivée est écrit sur un autre symbole.

[NB On a aussi l'application de degré 2 \underset{\substack{\simeq\ \text{ens. des}\\ \text{« transpositions »}\\ \text{de } I\\ \text{(ou « réflexions »)}}}{\mathfrak{P}_2(I)} \longrightarrow J, \qquad A \longmapsto \{A, I \setminus A\} \text{ou}\quad \forall\, \tau \text{ réflexion}, \ \exists!\, \tau' \text{ réflexion telle que } \tau\tau' \in V^* ce sont maintenant des revêtements de nature distincte, les espaces homogènes sous G \mathrm{Circ}(I) et \mathfrak{P}_2(I) n'étant pas isomorphes (le stabilisateur d'un élément de \mathrm{Circ} est \simeq \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, celui d'un élément de \mathfrak{P}_2(I) est \simeq \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2) — c'est le premier ~~\mathfrak{P}~~ \mathrm{Circ}(I), qui peut s'interpréter comme ~~l'application~~ l'ensemble d'un cube…]. le « pour » écrit sous « \tau\tau' \in V^* » renvoie, par un trait, à la ligne suivante. Devant « d'un cube », deux mots (« des … ») ne sont pas lus.

L'application de degré 2 (*) définit bien sûr un cube comb., dont l'ens. des faces est \mathrm{Circ}(I), ~~sommets~~ (compl. des sommets) l'un des ~~arêtes~~ ( l'un des 12 …) sections partielles sur des parties de card. 2 de J (resp. en 8 sections de \mathrm{Circ}(I) sur J), l'incidence entre faces étant le prolongement des sections partielles. À Il y aurait Bien sûr, G opère sur le cube par automorphismes, avec l' u \mapsto u^{-1} ce paragraphe est surchargé d'ajouts interlinéaires et de biffures, et son ordre de lecture n'est pas sûr. Le sens mathématique est clair : le cube combinatoire défini par (*) a pour faces les six éléments de \mathrm{Circ}(I), pour sommets les huit sections de \mathrm{Circ}(I) \to J, pour arêtes les douze sections partielles au-dessus des parties à deux éléments de J, l'incidence étant le prolongement des sections partielles. La note marginale, écrite de biais dans la marge gauche et reliée par une accolade à « un cube comb. », n'est lue qu'en partie.

lieu d'expliciter

a)La correspondance entre les 8 sommets du cube, et les 8 éléments d'ordre 3 de G (« rotations-sommets ») b)La corr. entre les 6 paires d'arêtes antipodiques du cube, et les 6 ~~réfl~~ réflexions dans G \simeq \mathfrak{S}_I c)La corr. entre les 6 ~~orientations de \mathrm{Circ}(I), et~~ faces du cube, et les ~~éléments de G~~ permutations circulaires (i.e. d'ordre 4 de G \simeq \operatorname{Aut}^+(\text{Cube})) correspondants,

et de décrire également une orientation canonique du cube, ou ce qui revient au même, ~~une trivialisation~~ iso. \underset{\underset{\textstyle \underline{\omega}_J\,(\simeq \underline{\omega}_I)}{\| \mathrm{def}}}{\underline{\omega}_Q} \ \simeq\ \bigwedge_{i \in J} \underset{\substack{\text{ens. des}\\ \text{deux rotations, d'ordre 4}\\ \text{de la structure carrée}\\ Q_i \text{ définie par } i \in J\\ \text{i.e. ens. des deux orientations}\\ \text{de } Q_i}}{\underline{\omega}_i} l'indice de \underline{\omega} à gauche est surchargé ; la lecture Q est celle du lot précédent (\underline{\omega}_Q). Sous \underline{\omega}_i, « rotations » est ajouté au-dessus d'un mot biffé illisible, et n'est pas sûr ; de même « carrée ».

Comme on a \underline{\omega}_i \simeq \underset{\substack{\text{ens.}\\ \text{des deux}\\ \text{codiagonales}\\ \text{de } Q_i}}{\underline{\omega}} \wedge \underset{\substack{\text{ens. des diag.}\\ \text{pour le carré } Q_i}}{D_i}, \quad \text{i.e. } D_i = I/\underset{\substack{\text{translation}\\ \text{indexée par } i}}{a_i} la formule s'écrit aussi \underset{\text{torseur sous } \mathbb{F}_2^J}{\bigwedge_{i \in J} D_i} \simeq \mathbb{1} Or on a ~~la suite exacte~~ l'inclusion \underset{\text{torseur sous } V_J(\mathbb{F}_2)}{I} \hookrightarrow \underset{\text{torseur sous } \mathbb{F}_2^J}{\prod_{i \in J} D_i} les légendes sous \underline{\omega} et D_i sont écrites en petit, en partie l'une sur l'autre ; celle de gauche (« ens. des deux codiagonales de Q_i ») est d'une lecture incertaine. Le symbole après I/ est surchargé ; il est lu a_i d'après la légende « translation indexée par i ». Sous \bigwedge D_i, la légende commence par un mot biffé. Sous les deux termes de l'inclusion, une flèche d'inclusion relie aussi les deux légendes.

p. 12 de l'auteur. qui fait une restriction du groupe structural à V_J(\mathbb{F}_2), d'où \bigwedge_{i \in J} D_i \simeq \mathbb{1}, OK.

Il y aurait lieu aussi d'interpréter les 10 classes d'isomorphie d'espaces homogènes \to(1) sous G \simeq \operatorname{Aut}(\text{Cube}) (correspondant aux ~~classes~~ sous-groupes d'isotropie \neq G, définis à conjugaison près) en termes d'~~objets~~ éléments de structure invariants du cube (tels sommets, arêtes, faces, ou ~~tels~~ objets tant antipodiques — i.e. que le cube garde — ou n-paires à iso près, déjà explicités), de cardinaux 8,\ 12,\ 6,\ 4,\ 6,\ 3,\ 24 . Il y en a un de cardinal 2, quotient de l'un des sommets (correspondant à l'ens. \underline{\omega}_I), un d'ordre (ou codiagonales, ) correspondant aux 3 diagonales de faces (les ~~d'ordre~~ d'ordre 2 dans V), enfin un G qui des paires d'éléments distincts de J (i.e. de J), J étant interprété comme l'ens. des « directions de faces » () (ens. des faces/antipodisme) — ou directions d'arêtes. Le compte y est ! partition relation sommets : dist. 1, encore arêtes : dist. 2 … dist. 3 le renvoi « \to(1) » n'a pas de note correspondante sur la page. La liste des cardinaux correspond vraisemblablement aux sommets, arêtes, faces, diagonales, paires d'arêtes antipodiques, paires de faces opposées et repères. Les lignes qui suivent sont d'une lecture très incertaine ; le sens est d'achever l'inventaire des espaces homogènes (cardinaux 2, 3, …) et de constater que le compte des dix classes est juste. La note marginale, écrite obliquement dans la marge gauche et en partie barrée d'un trait, n'est lue que par fragments. Au bas de la page, un signe isolé, non lu.

5. Modules libres de rang 2 sur \Lambda = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}.

Soit M un tel module, et soit (1) \qquad M_0 = M/2M = M \otimes_\Lambda \mathbb{F}_2 qui est un vectoriel de rang 2 sur \mathbb{F}_2. Soit J = M_0^*, on utilisera la notation indicielle pour les éléments de M_0^*, notés x_i (i \in J). ~~Pour tout i \in J, soit~~ On a une suite exacte de ~~groupes commutatifs~~ \Lambda-modules (2)

\begin{tikzcd} 0 \arrow[r] & M_0 \arrow[r] & M \arrow[r, "\mathrm{can}"] & M_0 \arrow[r] & 0 \\ & & M \arrow[ul, dashed, "\mathrm{can}"] \arrow[u, dashed, "2\cdot"'] & & \end{tikzcd}

donc M apparaît comme extension de M_0 par M_0 (extension par \Lambda-modules). Pour tout x \in M_0, soit M_x son image inverse dans M, qui est un torseur sous M_0 (i.e. un ens. à quatre éléments, M_x, muni d'un iso. M_0 \simeq V_{M_x}). dans le diagramme (2), les deux flèches pointillées partent d'un M écrit sous la suite : « can » monte vers le premier M_0, « 2\cdot » vers le M du milieu ; le diagramme est redessiné.

On posera, pour i \in J (3) \qquad \left\{ \begin{aligned} M_i &= M_{x_i} = \ldots \\ M_J &= \prod_{i \in J} M_i, \quad \text{un torseur sous } M_0^J . \end{aligned} \right. après M_i = M_{x_i} =, l'auteur a biffé « image inverse de \{x_i\} » et écrit au-dessus « fibre de M au-dessus de x_i \in M_0, M_0-torseur » ; devant M_0^J, un \mathbb{F} biffé.

Comme on a (4) \qquad \sum_{i \in J} x_i = 0 la structure de groupe sur M donne un iso. can. (6) \qquad \bigwedge_{i \in J} M_i = 0 en d'autres termes, introduisant (7) \qquad V_J(M_0) = \Bigl\{ (\xi_i)_{i \in J} \in M_0^J \Bigm| \sum \xi_i = 0 \Bigr\} s'insérant dans la suite exacte (8) \qquad 0 \to V_J(M_0) \to M_0^J \to M_0 \to 0 , le torseur M_J sous M_0^J provient canoniquement d'un torseur sous V_J(M_0), que je noterai P_M : il n'y a pas de formule (5) ; le « (6) » est net.

p. 13 de l'auteur, chiffrée « (13) » en tête de page. De façon précise, la donnée des M_0-torseurs M_i et de l'isom. can. (6) revient à la donnée du torseur P_M sous V_J(M_0), avec (9) \qquad M_i \simeq P_M \wedge^{M_0^J} (M_0, \mathrm{pr}_i) \qquad \text{pour } i \in J où \mathrm{pr}_i : M_0^J \to M_0 \qquad \text{la projection d'indice } i \in J . [Notons qu'on a des iso. canoniques (valables pour tout vectoriel de rang 2 sur \mathbb{F}_2)] (10) \qquad \operatorname{End}(M_0) \simeq V_J(M_0) \xrightarrow{\;\sim\;} M_0 \otimes M_0 \simeq M_0 \oplus \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}_{M_0}} \underline{\omega}_{M_0} \simeq \underline{\omega}(\underset{J}{\underbrace{M_0^*}}) \quad \text{ens. des orientations de } J . (12) \qquad \left\{ \begin{aligned} \operatorname{End}(M_0) &\xrightarrow{\;\sim\;} V_J(M_0) \\ u &\longmapsto (u(x_i))_{i \in J} \end{aligned} \right. \operatorname{End}(M_0) \simeq M_0^\vee \otimes M_0 \simeq M_0 \otimes M_0 \quad \text{car } M_0^\vee \simeq M_0 (valable pour tout vect. de rang 2 sur \mathbb{F}_2) NB Pour tout vectoriel W sur \mathbb{F}_2, on a (11) \operatorname{Hom}_{\mathbb{F}_2}(M_0, W) \simeq V_J(W), car M_0 \simeq \mathbb{F}_2^J/\mathrm{diag}, d'où (12). la note marginale est écrite obliquement dans la marge gauche, en face de (10)–(12), et une flèche la relie à (12). Le numéro « (10) » est surchargé à l'encre plus noire. La lettre W est lue pour un symbole qui ressemble à un \omega ; le quotient « /\mathrm{diag} » n'est pas sûr.

(13) \qquad \begin{array}{ccc} M_0 & \hookrightarrow & \operatorname{End}(M_0) \\ \cup & & \cup \\ M_0^* & \longleftrightarrow & \operatorname{Aut}(M_0) \simeq \mathfrak{S}_J \\ x_i & \longmapsto & \sigma_i \end{array} où x_i \mapsto ~~transposition~~ \sigma_i réflexion de M_0 qui fixe x_i (ou ~~transposition~~ de x_j et x_k) [NB Comme \sum_{i \in J} \sigma_i = 0, cela correspond à un hom. M_0 \to \operatorname{End}(M_0)] le M_0^* de la deuxième ligne de (13) est écrit sur un autre symbole ; les signes « \cup » sont ceux de l'auteur (inclusions dressées verticalement).

(14) \qquad \begin{array}{ccc} \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}_{M_0}} & \hookrightarrow & \operatorname{End}(M_0) \\ \cup & & \cup \\ \underline{\omega}_{M_0} & \xhookrightarrow{\ \mathrm{can}\ } & \operatorname{Aut}(M_0) \simeq \mathfrak{S}_J \\ \| & & \\ \underline{\omega}_J \simeq \mathfrak{S}_J^+ \setminus \{\mathrm{id}_J\} & & \end{array} NB ~~On a~~ si \rho \in \underline{\omega}, \rho' \overset{\mathrm{def}}{=} \rho^{-1}, \rho + \rho' + +\,\mathrm{id} = 0 i.e. \rho + \rho' = \mathrm{id}_{M_0}, i.e. l'hom. \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \hookrightarrow \operatorname{End}(M_0) applique \mathbb{1} sur 1.

Si i, j \in J, i \neq j, alors \sigma_i, \sigma_j, \rho, \rho' \in \operatorname{End}(M_0) sont lin. indépendants sur \mathbb{F}_2 donc forment une base, et que ~~x_i, x_j~~ en forment une de M_0, [et \rho, \rho'] de \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}… les quatre dernières lignes, d'une écriture plus serrée, sont au bas à droite de la page ; la fin en est d'une lecture incertaine.

On a (15) \qquad \left\{ \begin{array}{l} M_0 \text{ et } \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \text{ sont orthogonaux l'un de l'autre} \\ \text{dans } \underline{\operatorname{End}}(M_0) \text{ pour la forme } \operatorname{Tr}(uv) \end{array} \right. (16) \qquad \mathfrak{sl}(M_0) = M_0 \oplus \mathbb{F}_2\, \mathrm{id}_{M_0} (17) \qquad \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \cap \mathfrak{sl}(M_0) \simeq \mathbb{F}_2 \cdot \mathrm{id}_{M_0} \qquad \ldots \qquad ] sous le symbole de (16), un trait le relie à « \operatorname{Ker}(\operatorname{End}(M_0) \xrightarrow{\mathrm{tr}} \mathbb{F}_2) », qui en est la définition ; le symbole, écrit sur un autre noirci, a la forme d'un « \gamma\ell » cursif. Il est rendu \mathfrak{sl} d'après cette définition, et parce que la page 31 l'oppose à un « \mathfrak{gl}(M_0) » tracé autrement. Le crochet fermant clôt la parenthèse ouverte page 26 par « [Notons… ».

Ainsi, la donnée d'un torseur P_M sous V_J(M_0) \simeq \operatorname{End}(M_0), équivaut à celle d'un couple de torseurs, l'un sous M_0, l'autre sous \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}, soient I_M et S_M.

Théorème Le foncteur M \mapsto (M_0, I_M, S_M) \bigl(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\text{-modules libres de rang } 2\bigr) \longrightarrow \text{triplets } (M_0, I, S) \ \text{avec}\ \left\{ \begin{array}{l} M_0 \text{ vect. de rg } 2 \text{ sur } \mathbb{F}_2 \\ I \ \ M_0\text{-torseur} \\ S \ \ \text{torseur sous } \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}(M_0)} \end{array} \right. est une équivalence de groupoïdes. (18) le numéro (18), encerclé et surchargé, est dans la marge, en face de la flèche ; sous « triplets », un premier libellé « où M_0 un vect. de rg 2 » est biffé et remplacé par « avec » et l'accolade ; dans le triplet, les indices de I et S sont noircis.

Cor. On a un isom. de suites exactes canoniques (\forall M libre de rg 2 sur \Lambda = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z})

\begin{tikzcd}[column sep=small] 1 \arrow[r] & \operatorname{End}_{\mathbb{F}_2}(M_0) \arrow[r] & \operatorname{GL}_\Lambda(M) \arrow[r] & \operatorname{GL}(M_0) \simeq \mathfrak{S}_J \arrow[r] & 1 \\ 1 \arrow[r] & M_0 \times \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \arrow[r] \arrow[u, "\wr"'] & \operatorname{Aut}(M_0, I_M, S_M) \arrow[r] \arrow[u, "\wr"'] & \operatorname{GL}(M_0) \arrow[r] \arrow[u, no head, "\|" description] & 1 \end{tikzcd}

Ici l'hom. \operatorname{End}(M_0) \to \operatorname{GL}(M) est donné par la condition que le composé avec l'hom. \operatorname{End}_\Lambda(M) \to \operatorname{End}_{\mathbb{F}_2}(M_0) soit donné par u \mapsto \mathrm{id}_M + 2u. la phrase finale est transcrite telle quelle ; le sens attendu est que u \in \operatorname{End}(M_0) s'envoie sur \mathrm{id}_M + 2\tilde u, \tilde u un relèvement de u à \operatorname{End}_\Lambda(M).

Équivaut en outre à l'isom. \operatorname{GL}(2, \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) \simeq \operatorname{GL}(2, \mathbb{F}_2) \cdot M_2(\mathbb{F}_2) (produit semi-direct), plus l'isomorphisme de \mathfrak{S}_3-modules M_2(\mathbb{F}_2) \simeq \mathbb{F}_2^2 \times \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}_0} (\mathfrak{S}_3 \simeq \operatorname{GL}(2, \mathbb{F}_2)), où … On a \operatorname{SL}(2, \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) \simeq \{ g \cdot u \in \mathfrak{S}_3 \cdot M_2(\mathbb{F}_2) \mid \operatorname{sg}(g)\, e(\operatorname{Tr} u) = 1 \} (19) où e : \mathbb{F}_2 \xrightarrow{\;\sim\;} \{\pm 1\}. la note marginale est écrite obliquement dans la marge gauche, du milieu au bas de la page, et une partie (autour de \operatorname{SL}(2, \mathbb{Z}/4\mathbb{Z})) est chargée de ratures ; les formules sont plus sûres que les mots. Le numéro (19) est de l'auteur.

p. 14 de l'auteur. La donnée de (M_0, I) équivaut, par le § 1, à la donnée d'un ens. à quatre éléments I, on aura M_0 \simeq V_I, M_0^* \simeq \mathfrak{P}_{2,2}(I). ~~Par ailleurs~~ D'autre part, ~~la donnée d'un~~ … un ens. à deux éléments C, et d'un torseur S sous \mathbb{F}_2^C, équivaut à la donnée d'un cube Q, S étant l'ens. des sommets de Q, C l'ens. de ses codiagonales. Donc le ~~catégorie~~ groupoïde du deuxième membre de (18), est équivalent à celui des triples (I, Q; k), où I est un ens. à quatre éléments, Q un cube, et k un isom. (20) \qquad k : \underset{\substack{\text{ens. des}\\ \text{orientations}\\ \text{de } I}}{\underline{\omega}(I)} \simeq \underset{\substack{\text{ens. des}\\ \text{codiagonales}\\ \text{de } Q}}{C(Q)} . le passage biffé à la quatrième ligne (« la donnée d'un… ») est souligné puis barré ; le « … » marque le raccord.

On trouve donc

Corollaire 2 On a une équivalence canonique de groupoïdes (21) \qquad \Bigl( \underset{\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}}{\underline{\Lambda}}\text{-modules libres de rg } 2 \Bigr) \xrightarrow{\;\approx\;} \text{triplets } (I, Q, k), \ \text{où}\ \left\{ \begin{array}{l} I \ \text{ens. à 4 éléments} \\ Q \ \text{cube combinatoire} \\ k : \underline{\omega}(I) \simeq C(Q) \end{array} \right.

Corollaire 3 Si M est associé à I, Q, on a un diagramme cartésien canonique (22)

\begin{tikzcd}[column sep=small] & \operatorname{GL}_\Lambda(M) \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ \mathfrak{S}_I \arrow[dr, "\mathrm{sg}"'] & & \mathfrak{D}_Q \arrow[dl, "\chi_C"] \\ & \{\pm 1\} & \end{tikzcd}

à côté de \chi_C, l'auteur précise : « (opération sur l'ens. des codiagonales) ».

s'inscrivant dans le diagramme de suites exactes (auquel il donne naissance) (23)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & & 1 \arrow[d] & & & \\ & 1 \arrow[dr] & & \mathfrak{S}_I^+ \times \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \arrow[dl, "\mathrm{pr}_1"'] \arrow[dr, "\mathrm{pr}_2"] \arrow[dd] & & 1 \arrow[dl] & \\ & & \mathfrak{S}_I^+ \arrow[dl, Rightarrow] \arrow[dr] & & \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \arrow[dl] \arrow[dr, Rightarrow] & & 1 \arrow[dl] \\ 1 \arrow[r] & \mathfrak{S}_I^+ \arrow[dr] & & \operatorname{GL}_\Lambda(M) \arrow[dl] \arrow[dr] \arrow[dd, "\text{cf.\ (24)}"] & & \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \simeq V_{S_Q} \arrow[dl] & \\ & & \mathfrak{S}_I \arrow[dl] \arrow[dr, "\mathrm{sg}"'] & & \mathfrak{D}_Q \arrow[dl, "\chi_C"] \arrow[dr] & & \\ & 1 & & \{\pm 1\} \arrow[dl] \arrow[d] \arrow[dr] & & 1 & \\ & & 1 & 1 & 1 & & \end{tikzcd}

diagramme redessiné. Les deux flèches doubles (de \mathfrak{S}_I^+ vers la seconde copie de \mathfrak{S}_I^+, et de \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} vers \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \simeq V_{S_Q}) sont tracées comme telles sur la page et marquent des identifications. L'étiquette de la flèche verticale de \operatorname{GL}_\Lambda(M) vers \{\pm 1\} est peu lisible ; la lecture « cf. (24) » (renvoi à la formule qui suit) s'appuie sur le diagramme (25) de la page 30, où elle est plus nette.

Proposition Le noyau (\simeq \mathfrak{S}_I^+) de l' hom. canonique \operatorname{GL}_\Lambda(M) \to \mathfrak{D}_Q ~~induit un iso~~ est aussi égal au groupe des commutateurs du sous-groupe distingué \operatorname{SL}_\Lambda(M) d'indice 2 de \operatorname{GL}_\Lambda(M) (NB \Lambda^* = (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^* = \{\pm 1\}), qui est dans d'indice 4 dans \operatorname{SL}_\Lambda(M) — le quotient (\operatorname{SL}_\Lambda(M))_{\mathrm{ab}} est cyclique d'ordre 4 ~~isomorphe à \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}~~, et l'hom. \operatorname{GL}_\Lambda(M) \xrightarrow{\;\det\;} \{\pm 1\} est le composé (24) \qquad \operatorname{GL}_\Lambda(M) \longrightarrow \mathfrak{D}_Q \underset{\substack{\text{noyau } \mathfrak{D}_Q^+,\\ \text{cyclique d'ordre 4}}}{\underbrace{\xrightarrow{\;\det\;}}} \{\pm 1\} . l'étiquette « det » de la seconde flèche de (24) est écrite sur un mot noirci.

Corollaire On a un sous-diagramme de suites exactes de (23), obtenu ainsi :

p. 15 de l'auteur, chiffrée « (15) » en tête de page. (25)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & & 1 \arrow[d] & & & \\ & 1 \arrow[dr] & & \mathfrak{S}_I^+ \times \{1, -\mathrm{id}_M\} \arrow[dl, "\mathrm{pr}_1"'] \arrow[dr, "\mathrm{pr}_2"] \arrow[dd] & & 1 \arrow[dl] & \\ & & \mathfrak{S}_I^+ \arrow[dl, Rightarrow] \arrow[dr] & & \{1, -\mathrm{id}_M\} \arrow[dl] \arrow[dr, "\wr"] & & 1 \arrow[dl] \\ 1 \arrow[r] & \mathfrak{S}_I^+ \arrow[dr] & & \operatorname{SL}_\Lambda(M) \arrow[dl] \arrow[dr] \arrow[dd, "\text{cf.\ (24)}"] & & \{1, \underline{a}_Q\} \simeq \mathbb{F}_2 \arrow[dl] & \\ & & \mathfrak{S}_I \arrow[dl] \arrow[dr, "\mathrm{sg}"'] & & \mathfrak{D}_Q^+ \arrow[dl] \arrow[dr] & & \\ & 1 & & \{\pm 1\} \arrow[dl] \arrow[d] \arrow[dr] & & 1 & \\ & & 1 & 1 & 1 & & \end{tikzcd}

diagramme redessiné, de même forme que (23). En haut, deux flèches qui aboutissaient à \mathfrak{S}_I^+ \times \{1, -\mathrm{id}_M\} de part et d'autre de la flèche verticale sont biffées de traits serrés et ne sont pas reprises. L'exposant de \mathfrak{S}_I dans le terme du haut est surchargé ; il est lu +. Le « 1 » qui aboutit à \{1, \underline{a}_Q\} est écrit sur un autre signe, et le premier élément de cet ensemble sur un symbole noirci.

Corollaire 2 L'hom. can. \operatorname{GL}(M) \to \mathfrak{D}_Q induit un isomorphisme (26) \qquad \operatorname{GL}_\Lambda(M)_{\mathrm{ab}} = \operatorname{GL}_\Lambda(M) / \mathfrak{S}_I^+ \times \underset{\text{centre de } \operatorname{GL}_\Lambda(M)}{\underbrace{\{1, -\mathrm{id}_M\}}} \xrightarrow{\;\sim\;} \underset{\substack{\text{vectoriel de rang 2 sur } \mathbb{F}_2\\ \text{et même \underline{canon.} isom. à}\\ \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2}}{(\mathfrak{D}_Q)_{\mathrm{ab}}} NB. \left\{ \begin{array}{l} \det g = \chi_{\underline{\omega}}(\dot g) \\ \mathrm{sg}\, g = \chi_C(\dot g) \\ \det g \cdot \mathrm{sg}\, g = \chi_D(\dot g) \end{array} \right. pour g \in \operatorname{GL}(M), \dot g im. can. \in \mathfrak{D}_Q le numéro (26) est à demi effacé. Dans la note marginale, l'indice du premier \chi est écrit sur un signe noirci ; la lecture \chi_{\underline{\omega}} est incertaine.

On peut réunir l'essentiel de l'information des (23) (25) dans un diagramme de sous-groupes de \operatorname{GL}_\Lambda(M), où on a posé pour abréger (27) \qquad \mathfrak{z} = \{1, -\mathrm{id}_M\} \ \bigl(= \operatorname{Cent}(\operatorname{GL}_\Lambda(M)) = \operatorname{Cent}(\operatorname{SL}_\Lambda(M))\bigr) la lettre qui désigne le centre est un \mathfrak{z} cursif (« ʒ »).

(28)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & & \operatorname{GL}_\Lambda(M) \simeq [\mathfrak{S}_I \cdot \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}] & & \\ & & \mathfrak{S}_I^+ \times \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \ [\mathfrak{S}_I \times \mathfrak{z}] \arrow[ur, "2"] & & \operatorname{SL}_\Lambda(M) \arrow[ul, "2"'] & \\ & M_0 \times \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \simeq \mathfrak{gl}(M_0) \arrow[ur, "3"] & & \mathfrak{S}_I^+ \times \mathfrak{z} \arrow[ul, "2"'] \arrow[ur, "2"] \arrow[uu, dashed] & & \\ \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \arrow[ur, "4"] & & M_0 \times \mathfrak{z} \simeq \mathfrak{sl}(M_0) \arrow[ul, "2"'] \arrow[ur, "3"] & & \mathfrak{S}_I^+ \arrow[ul, "2"'] & \\ & \mathfrak{z} \arrow[ul, "2"'] \arrow[ur, "4"] & & M_0 \arrow[ul, "2"'] \arrow[ur, "3"] & & \\ & & 1 \arrow[ul, "2"'] \arrow[ur, "4"] & & & \end{tikzcd}

diagramme redessiné : le treillis des sous-groupes de \operatorname{GL}_\Lambda(M), chaque flèche (une inclusion) portant l'indice. La flèche pointillée monte de \mathfrak{S}_I^+ \times \mathfrak{z} à \operatorname{GL}_\Lambda(M) en passant par le crochet [\mathfrak{S}_I \times \mathfrak{z}] ; les crochets semblent indiquer une autre description du même groupe. Des accolades, qui ne sont pas reproduites, désignent des quotients : l'une, à gauche, embrasse la bande supérieure du treillis et porte \mathfrak{S}_J \simeq \operatorname{GL}_{\mathbb{F}_2}(M_0) (avec un second \mathfrak{S}_J au-dessus) ; à droite, une accolade entre \operatorname{SL}_\Lambda(M) et \mathfrak{S}_I^+ porte \mathfrak{D}_Q^+ \simeq (\operatorname{SL}_\Lambda(M))_{\mathrm{ab}} \simeq \bigwedge^2_\Lambda M (suivi d'un mot noirci), une grande accolade \mathfrak{D}_Q embrasse tout le côté droit, et une accolade sous \mathfrak{S}_I^+ porte \mathfrak{S}_J^+. \mathfrak{gl}(M_0) et \mathfrak{sl}(M_0) rendent deux symboles cursifs que la page distingue (cf. la note de la page 27).

NB \begin{array}{l} \underline{\omega} \subset \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} = \mathbb{F}_2^C = V_S \subset \mathfrak{D}_Q \quad (C_Q \simeq \underline{\omega}) \\ D_Q \simeq \underline{\omega} \wedge \mu \subset \mathbb{F}_2^D = V_A \subset \mathfrak{D}_Q \\ \underline{\omega}_Q \simeq \mu \subset \mathfrak{D}_Q^+ \subset \mathfrak{D}_Q \end{array} \qquad \begin{array}{l} \underline{\omega} \simeq V_S \setminus \mathfrak{z}_Q \longleftrightarrow \mathrm{sg}(g) \\ \underline{\omega} \wedge \mu \simeq V_A \setminus \mathfrak{z}_Q \longleftrightarrow \mathrm{sg}(g)\det(g) \\ \mu \simeq \mathfrak{D}_Q^+ \setminus \mathfrak{z}_Q \longleftrightarrow \det(g) \end{array} où \mu \simeq \bigl(\textstyle\bigwedge^2 M\bigr)^* = \operatorname{Or}(M), \qquad \mathfrak{z}_Q = \{1, \underline{a}_Q\} = \operatorname{Cent} \mathfrak{D}_Q \operatorname{GL}_\Lambda(M)' \simeq \mathfrak{S}_I \times \mathbb{F}_2 \simeq \operatorname{Aut}(\Delta), où \Delta est l'octaèdre non orienté ; ensemble de sommets \Delta = M^{\#}/\{\pm 1\}… ces formules, avec la note en haut à droite, sont écrites au-dessus du diagramme et en sont séparées par un trait. Le « C_Q » est écrit au-dessus de \underline{\omega} avec un signe \simeq vertical. Dans la note de droite, « octaèdre non orienté » est d'une lecture incertaine, et le symbole de M^{\#} (les éléments de M hors de 2M, cf. (29) page 32) n'est pas sûr. Dans \mathrm{sg}(g)\det(g), un premier « sg » est surchargé.

NB Dans ce diagramme, toutes les flèches sont injectives et les cinq carrés qui y apparaissent, donc aussi les composés, sont cartésiens. On a marqué sur chaque flèche l'indice de l'inclusion des sous-groupes qu'elles représentent.

Les iso. \begin{aligned} \operatorname{GL}_\Lambda(M) &\simeq \mathfrak{S}_I \cdot \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} && (\tfrac12\text{ direct}) \ \text{et} \\ \operatorname{Ker}(\mathrm{sg} \cdot \det) &\simeq \mathfrak{S}_I \times \mathbb{F}_2 && (\text{prod. direct}) \end{aligned} sont valables quand M est « \tfrac12déployé » i.e. le torseur P_M est trivialisé, dans ce cas \begin{aligned} \operatorname{GL}_\Lambda(M) &\simeq \underset{\mathfrak{S}_J}{\underbrace{\operatorname{GL}_{\mathbb{F}_2}(M_0)}} \cdot (M_0 \times \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}) \\ &\simeq \bigl(\underset{\mathfrak{S}_I}{\underbrace{\operatorname{GL}_{\mathbb{F}_2}(M_0) \cdot M_0}}\bigr) \times \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \end{aligned} mais ces isom. dépendent du choix d'une trivialisation de P_M… « \tfrac12 direct » et « \tfrac12déployé » : le signe \tfrac12 vaut « semi- » (produit semi-direct, semi-déployé). Au-dessus de la dernière formule, un « = » isolé.

6. Relations avec l'octaèdre non orienté \Delta_M.

p. 16 de l'auteur. Soit \begin{aligned} (29) \qquad M^{\#} &= \{ x \in M \mid x^0 \ (\text{image dans } M_0) \neq 0 \} \\ &= \text{image inverse de } J = M_0^{\#} \subset M_0 \text{ par } M \to M_0 \end{aligned} ~~donc on~~ donc M^{\#} est un torseur relatif sur M_0^{\#} = J, de groupe (M_0)_J (i.e. famille constante de groupes isom. à M_0, indexée par J). Le groupe (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^* = \{\pm 1\} opère sur M^{\#}, de façon compatible avec la projection M^{\#} \to J, on pose (30) \qquad \Delta_M = M^{\#}/(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^* = M^{\#}/\{\pm 1\} = \mathbb{P}(M)(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) ce sont les points à valeurs dans \Lambda = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} de la droite projective sur \Lambda définie par M, et l'application can. (31) \qquad \Delta_M \longrightarrow J s'identifie à l'application de restriction, ou réduction mod 2 \mathbb{P}(M)(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) \longrightarrow \mathbb{P}(M)(\mathbb{F}_2) . C'est une application de degré 2, qui définit donc sur \Delta la structure de (l'ens. des sommets) d'un octaèdre, dont J est l'ens. des diagonales. Les 12 arêtes de l'octaèdre sont les éléments de ~~le groupe \operatorname{GL}(M) opère sur~~ \mathfrak{P}_2(\Delta) (qui a \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 éléments) qui ne sont pas ~~des diagonales~~ l'une des trois diagonales, i.e. des trois fibres de (31). Les 8 faces f de l'octaèdre sont les parties à trois éléments de \Delta telles que l'application induite par (31) soit une bijection (32) \qquad f \xrightarrow{\;\sim\;} J \ ; elles s'identifient aux sections de (31), tandis que les arêtes s'identifient aux sections partielles sur des parties de J à deux éléments, et Ce… le signe de M^{\#} est un astérisque ou un dièse ; il est rendu M^{\#} pour le distinguer du groupe des unités (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^* de la même page. « à valeurs » est une lecture incertaine. Au-dessus de « faces », un « f » et un signe noirci sont ajoutés ; au-dessus de « trois éléments », un « 6 » (?). La phrase se poursuit page 33.

ment) les sommets s'identifient aux sections partielles sur des parties de J réduites à un élément — la relation d'incidence est celle de prolongement des sections, ou encore l'inclusion des parties de \Delta.

Le groupe G = \operatorname{GL}(M) opère sur \Delta par automorphismes d'octaèdre, on voit que \mathfrak{z} = \{\pm 1\} opère trivialement, et ce que c'est là le noyau de l'opération, on a donc un hom. injectif \underset{\substack{\wr\\ \operatorname{GL}(M)/\{\pm 1\}}}{\operatorname{GL}(M)'} \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathrm{oct}}(\Delta) NB \operatorname{GL}(M)' \xrightarrow{\;\sim\;} \operatorname{GP}(M) (groupe projectif de rang 1) qui est un isomorphisme, car les deux groupes sont de même ordre 24 \times 2 = 48, donc on trouve (33) \qquad \underset{\substack{\|\\ \operatorname{GL}(M)/(\mathfrak{z} = \{\pm 1\})\\ \wr\\ \operatorname{GP}(M)}}{\operatorname{GL}(M)'} \xrightarrow{\;\sim\;} \operatorname{Aut}_{\mathrm{oct}}(\Delta) \simeq \operatorname{Aut}^+(\Delta) \times \underset{\substack{\text{antipodisme}\\ \text{centre de } \operatorname{Aut}_{\mathrm{oct}}(\Delta)}}{\{1, \underline{a}_\Delta\}} le centre de \operatorname{GL}(M)' ~~correspondant~~ n'est autre d'ailleurs que le sous-groupe \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}/\mathbb{F}_2 \cdot \mathrm{id}_{M_0} de \operatorname{GL}(M)' (car le centre de \operatorname{GL}(M_0) \simeq \mathfrak{S}_J est nul, donc le centre de \operatorname{GL}(M)' est contenu dans \underline{\operatorname{End}}(M_0)/\mathfrak{z} = \{1_{M_0}, \ldots\} \simeq M_0 \times \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}/\mathbb{F}_2, et s'identifie au sous-groupe des invariants sous \mathfrak{S}_J \simeq \operatorname{GL}_{\mathbb{F}_2}(M_0) de ce groupe, c'est \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}/\mathbb{F}_2. le premier mot de la page achève le mot coupé en bas de la page 32. Dans « \underline{\operatorname{End}}(M_0)/\mathfrak{z} = \{\ldots\} », le second élément de l'ensemble est surchargé et n'est pas lu. La parenthèse ouverte par « (car » n'est pas refermée.

La donnée d'un octaèdre \Delta ayant J comme ens. des diagonales équivaut à celle d'un torseur

p. 17 de l'auteur. sous \mathbb{F}_2^J, que je vais désigner par P_{M,\Delta} (34) \qquad \underset{\text{ens. des faces de } \Delta}{\underbrace{F(\Delta_M)}} = P_{M,\Delta} \quad \text{torseur sous } \mathbb{F}_2^J \qquad (J = M_0^{\#}) Or on a (35) \qquad \mathbb{F}_2^J \simeq \underset{\substack{\wr\\ M_0}}{V_J(\mathbb{F}_2)} \times \underset{\text{diag}}{\mathbb{F}_2} et l'opération sur P_{M,\Delta} de l'élément non nul du facteur \mathbb{F}_2 n'est autre que l'antipodisme. Ceci posé on a un isom. canonique (36) \qquad P_{M,\Delta} = F(\Delta_M) \xleftarrow{\;\sim\;} P_M/\mathfrak{z} \qquad \underset{\text{centre de } \operatorname{GL}(M)}{\mathfrak{z} = \{\pm \mathrm{id}_M\}} provenant de l'homomorphisme évident (37) \qquad \begin{array}{l} P_M = \{ (\xi_i)_{i \in J} \in M^{\# J} \mid \xi_i^0 = i_* \ \forall i \in J,\ \sum \xi_i = 0 \} \\ \quad \big\downarrow \qquad (\xi_i) \longmapsto \{(\dot\xi_i)\} \quad \text{où } \dot\xi = \Lambda^* \xi = \pm \xi \in \Delta \text{ pour } \xi \in M^{\#} \\ F(\Delta_M) = \{ f \in \mathfrak{P}_3(\Delta_M) \mid \underset{\text{induit par } \Delta \to J}{\underbrace{f \to J}} \text{ bijectif} \} \end{array} Ceci nous montre à nouveau que \operatorname{Aut}(\Delta_M) \simeq \operatorname{GL}(M)', de façon précise on a l'iso. de suites exactes (38)

\begin{tikzcd}[column sep=small] 1 \arrow[r] & \operatorname{End}(M_0)/\mathbb{F}_2 \cdot \mathrm{id}_{M_0} \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & \operatorname{GL}(M)' \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & \operatorname{GL}_{\mathbb{F}_2}(M_0) \simeq \mathfrak{S}_J \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & 1 \\ 1 \arrow[r] & \mathbb{F}_2^J \simeq M_0 \times \mathbb{F}_2 \arrow[r] & \operatorname{Aut}_{\mathrm{oct}}(\Delta_M) \arrow[r] & \mathfrak{S}_J \arrow[r] & 1 \end{tikzcd}

au-dessus de \operatorname{End}(M_0)/\mathbb{F}_2 \cdot \mathrm{id}_{M_0}, une accolade porte « M_0 \times \mathbb{F}_2 » ; la flèche verticale de gauche porte en outre un astérisque, sans renvoi visible.

associés à (\Delta, \underline{a}_\Delta) ou (\Delta \to J) sont trois ens. à deux éléments remarquables, aux trois caractères non triviaux de \operatorname{Aut}_{\mathrm{oct}}(\Delta) trois hom. non nuls de ~~\operatorname{Aut}_{\mathrm{oct}}(\Delta)~~ \operatorname{Aut}_{\mathrm{oct}}(\Delta)_{\mathrm{ab}} \simeq \bigl(\operatorname{Aut}^+_{\mathrm{oct}}(\Delta) \times \{1, \underline{a}_\Delta\}\bigr)_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2 sont respectivement les ensembles NB La donnée d'un octaèdre (pas orienté) \Delta équivaut à celle d'un couple (I, \ldots), où I est un ens. à quatre éléments octaèdre de ses trois (l'un des , c'est l'oct. orienté ) = \underline{\omega}(\Delta) deux éléments i.e. I ( (39) ) que la note marginale, écrite obliquement dans le coin inférieur gauche, déborde sur le début des lignes du corps qu'elle recouvre en partie ; le début de la phrase du corps (« … associés à (\Delta, \underline{a}_\Delta) ») est ainsi perdu. La note n'est lue que par fragments ; on y distingue « \underline{\omega}_I » et un renvoi à (39). Au-dessus de « caractères », « non triviaux » est ajouté en interligne.

(40) \qquad \left\{ \begin{array}{l} C_\Delta \ (\text{« couleurs »}) : \text{ ens.\ des 2 tétraèdres (échangés par l'antipodisme)} \\ \quad \text{inscrits dans le cube qui correspond à } \Delta, \\ \quad \text{ou encore des deux couleurs (échiquier\ldots) des faces de l'octaèdre } \Delta \\ \quad \text{correspond au car.\ \ldots\ de } \operatorname{Aut}^+_{\mathrm{oct}}(\Delta) \times \{1, \underline{a}_\Delta\} \\[4pt] \operatorname{Or}(\Delta) : \text{ ens.\ des deux orientations de l'octaèdre } \Delta \\ \quad \simeq \text{ correspond au car.\ non trivial de } \{1, \underline{a}_\Delta\} \\[4pt] \underline{\omega}_\Delta = \underline{\omega}_{I_\Delta} : \text{ ens.\ des deux orientations de } I_\Delta, \text{ ou encore de } J_\Delta \\ \quad \text{correspond au caractère non trivial de } \operatorname{Aut}^+_{\mathrm{oct}}(\Delta) \end{array} \right. NB On a F(\Delta) \simeq C_\Delta \times I_\Delta, où I_\Delta = F(\Delta)/\underline{a}_\Delta est l'ens. des quatre directions de faces le tableau (40) est redessiné en colonnes. Dans la première colonne, deux figures : un cube dont les huit sommets sont marqués alternativement de points pleins et de cercles (les deux tétraèdres inscrits), et, dessous, un octaèdre dont les faces sont hachurées une sur deux (les deux couleurs, en damier). Le symbole C_\Delta est écrit sur un signe noirci ; en tête de la troisième colonne, un mot est biffé avant \underline{\omega}_\Delta. Dans la première colonne, le « … » devant « de \operatorname{Aut}^+_{\mathrm{oct}} » tient la place d'un mot biffé, illisible.

qui satisfont à un iso. canonique (41) \qquad \operatorname{Or}(\Delta) \wedge \underline{\omega}_\Delta \wedge C_\Delta \simeq \mathbb{1}_{\mathbb{F}_2} . On a un isom. (42) \qquad \left\{ \begin{array}{l} C_\Delta = \bigwedge_{i \in J} \Delta_i \quad \text{quotient de } \overbrace{\prod_{i \in J} \Delta_i}^{\text{torseur sous } \mathbb{F}_2^J} = F(\Delta) \quad \text{par } \underset{\substack{\wr\\ \underbrace{V_J(\mathbb{F}_2)}_{M_0} \times \mathbb{F}_2}}{\mathbb{F}_2^J} \xrightarrow{\text{(somme)}} \mathbb{F}_2 \\[4pt] \text{i.e. } C_\Delta = \underbrace{F(\Delta)/M_0}_{(P_M/(M_0 \times \mathfrak{z}) \text{ dans le cas qui nous occupe})} \end{array} \right. correspond au car. \mathrm{sg}(g) \cdot \det(g) dans le cas où \Delta est défini par un M) donc dans ce cas on a C_\Delta \simeq \mu \wedge \underline{\omega} après P_M/(M_0 \times \mathfrak{z}), un mot est noirci. La parenthèse qui se ferme après « un M » n'a pas d'ouvrante visible. (43) \qquad \underline{\omega}_\Delta = \underline{\omega}_{I_\Delta} = \underline{\omega}_J \qquad \text{l'ens. à deux éléments associé à } J (correspond au caractère \mathrm{sg}(g) dans le cas d'un M) (44) \qquad \operatorname{Or}(\Delta) \simeq \underset{\substack{\underline{\omega}_J\\ \Delta^+}}{\underbrace{\underline{\omega}_\Delta}} \wedge C_\Delta \qquad \left(\begin{array}{l}\text{correspond au caractère } \det(g) \text{ dans le cas d'un } M) \\ \text{d'où } \boxed{\operatorname{Or}(\Delta) \simeq \mu \overset{\mathrm{def}}{=} (\det M)^*}\end{array}\right. devant \operatorname{Or}(\Delta) en (44), un signe noirci ; un autre devant le numéro (43). Le \Delta^+ sous l'accolade est relié par un trait à « orienté » de la ligne suivante.

L'octaèdre orienté associé à M est défini par le torseur P_M/\mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} sous M_0 = V_J(\mathbb{F}_2), i.e. par

p. 18 de l'auteur. F(\Delta)/\{1, \underline{a}_\Delta\} (cf. (36)), qui est donc l'ens. des quatre bifaces de \Delta. Donc c'est l'octaèdre orienté canoniquement associé à l'octaèdre \Delta, savoir (45) \qquad \left\{ \begin{aligned} \Delta^+ &= \operatorname{Or}(\Delta) \wedge^{\{1, \underline{a}_\Delta\}} \Delta \\ \Delta &= \operatorname{Or}(\Delta) \wedge^{\{1, \underline{a}_\Delta\}} \Delta^+ \end{aligned} \right. dont on a bien, comme il se doit (45) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \operatorname{Or}(\Delta^+) \simeq \{\pm 1\} = \mathbb{1}_{\mathbb{F}_2} \\ \underline{\omega}_{\Delta^+} \simeq \underline{\omega}_\Delta \simeq \underline{\omega}_J = \underline{\omega} \quad [\text{car } \underline{a}_\Delta \text{ opère trivialement sur } \underline{\omega}_\Delta] \\ C_{\Delta^+} \simeq C_\Delta \wedge \mu \simeq \underline{\omega} \qquad \ldots \end{array} \right. dans la première ligne de (45), un symbole noirci précède \operatorname{Or}(\Delta), et l'indice \{1, \underline{a}_\Delta\} est écrit à côté d'un premier indice biffé. Le numéro (45) est porté deux fois sur la page, ici et à la formule précédente ; transcrit tel quel (la suite de la page cite (47) et (48)).

[\![ Il importe maintenant de bien comprendre la structure d'extension (47) \qquad 1 \to \underset{\substack{\wr\\ \{\pm 1\}}}{\mathfrak{z}} \longrightarrow \operatorname{GL}(M) \longrightarrow \underset{\substack{\wr\\ \operatorname{Aut}_{\mathrm{oct}}(\Delta_M)'\\ \simeq \operatorname{Aut}^+_{\mathrm{oct}}(\Delta_M) \times \{1, \underline{a}_\Delta\}}}{\operatorname{GL}(M)'} \longrightarrow 1 et en particulier (48) \qquad 1 \to \underset{\substack{\|\\ \{\pm 1\}}}{\mathfrak{z}_0} \longrightarrow \operatorname{GL}(2, \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) \longrightarrow \underset{\substack{\wr\\ \operatorname{Aut}_{\mathrm{oct}}(\Delta_{(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^2})\\ \text{« octaèdre standard »}}}{\operatorname{GL}(2, \mathbb{Z}/4\mathbb{Z})'} \longrightarrow 1 puisque c'est par la cohomologie de cette extension que l'on comprend quelle est la donnée supplémentaire qu'il faut pour décrire, d'un octaèdre non orienté \Delta, les (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})-modules libres de rang 2 M dont \Delta proviendrait — question qui revient à celle de « remonter » un torseur sous le groupe \operatorname{GL}(2, \mathbb{Z}/4\mathbb{Z})' en un torseur sous le groupe \operatorname{GL}(2, \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) lui-même. le crochet ouvrant double, en tête de paragraphe, n'est pas refermé sur la page. Le prime de \operatorname{Aut}_{\mathrm{oct}}(\Delta_M)' dans (47) est transcrit tel quel. La première partie de la dernière phrase (« puisque c'est par la cohomologie de cette extension que l'on comprend ») est d'une lecture incertaine.

J'en reviens au diagramme (23)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \arrow[dl] \arrow[dr, Rightarrow] & \\ \operatorname{GL}_\Lambda(M) \arrow[d] \arrow[dr] & & \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \simeq V(S_Q) \arrow[dl] \\ \mathfrak{S}_I \arrow[dr] & \mathfrak{D}_Q \arrow[d, "\chi_C"] & \\ & \{\pm 1\} & \end{tikzcd}

qui exprime \operatorname{GL}_\Lambda(M) comme produit fibré, la donnée de M équivalant à celle des triples (I, Q, K), où I est un ens. à quatre éléments, Q un cube combinatoire, et K un isom. K : \underset{\text{codiagonales}}{C_Q} \xrightarrow{\;\sim\;} \underline{\omega}_I diagramme redessiné : le carré \operatorname{GL}_\Lambda(M), \mathfrak{S}_I, \mathfrak{D}_Q, \{\pm 1\} porte au centre la mention « cart » (cartésien) ; la flèche de \mathfrak{S}_I vers \{\pm 1\} n'a pas d'étiquette. La double flèche du haut est tracée comme telle. Sous \{\pm 1\}, un « \mathfrak{z} » (?) est griffonné. La flèche de \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} au sommet vient d'un trait qui part du bord supérieur de la page.

En termes de Q, on a C_\Delta \simeq F(\Delta)/M_0 \simeq P_{M, \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}}/\mathbb{F}_2 = S_Q/\mathbb{F}_2 \simeq D_Q ens. des diagonales de Q — donc la donnée de l'octaèdre \Delta (en termes de M \leftrightarrow (I, Q, K)) équivaut à celle de I, et des deux ens. à deux éléments C (\simeq \underline{\omega}_I) et D correspondant aux diagonales et codiagonales du cube Q, alors que la donnée équivaut à celle d'un torseur sur \mathbb{D}_4 \mathfrak{Z}(\mathbb{D}_4) \simeq \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2, qu'il faut donc relever en un torseur sous \mathbb{D}_4. Ou encore, décrire la donnée d'un cube combinatoire, dont on a déjà les deux ensembles C, D des codiagonales et diagonales… ]\!] le double crochet fermant clôt celui ouvert page 36. Devant \mathbb{D}_4, un symbole biffé ; la lecture de « \mathfrak{Z}(\mathbb{D}_4) » (sans doute le quotient de \mathbb{D}_4 par son centre, ou son abélianisé) n'est pas sûre, et la phrase « alors que la donnée équivaut à celle d'un torseur sur… » ne se construit pas tout à fait ; transcrite telle quelle.

Récapitulation partielle

À un module M libre de rang 2 sur \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, on associe (49) \qquad \left| \begin{array}{l} \text{a) L'octaèdre (non orienté) } \Delta_M = M^{\#}/\pm 1 \ (\text{ens. des sommets}), \\ \quad \text{l'ens. des trois diagonales s'identifiant à } (M/2M)^* \simeq M_0^{\#} = J \\ \text{b) L'ensemble à quatre éléments } I, \text{ qu'on peut p.\ ex.\ déduire de } \Delta \\ \quad \text{comme } I_M \simeq \underset{\text{faces de } \Delta}{\underbrace{F(\Delta)}}/\text{antipodisme} \\ \text{c) Le cube } Q_M, \ S_M = P_M/M_0 \end{array} \right. où P_M est le \operatorname{End}(M_0)-torseur formé des sections de M^{\#} sur M_0^{\#} satisfaisant \xi_i + \xi_j + \xi_k = 0, et où on identifie \operatorname{End}(M_0) à M_0 \oplus \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}, de sorte que P_M/M_0 est un \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}-torseur, donc est l'ens. des sommets d'un cube Q = Q_M dont l'ens. des codiagonales est \underline{\omega} On a un iso. can. J \simeq \mathfrak{P}_{2,2}(I_M), V_J(\mathbb{F}_2) \simeq M_0 (\simeq \mathbb{F}_2^J/\mathbb{F}_2), I_M torseur sous, I_M \simeq P_M/\mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} où \underline{\omega} \simeq \underline{\omega}_I \simeq \underline{\omega}_J NB F(\Delta) \simeq I \times C_\Delta (« couleurs » des faces) les trois points a), b), c) sont réunis par une accolade sous le numéro (49). Sous b), entre « faces de \Delta » et c), une ligne interlinéaire en partie biffée (« ens. des sections de \Delta … ens. de sommets ») n'est pas reprise. En c), le symbole S_M est écrit sur un signe noirci. Les deux premières notes marginales sont dans la marge gauche ; la troisième, encadrée d'un trait, à droite de b). Dans la première, « I_M torseur sous » n'est pas suivi du groupe sur la page.

Les données a) et b) ne dépendent que de la droite projective X_M = \mathbb{P}(M) sur \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} (\Delta est l'ens. des pts de celle-ci, J l'ens. des pts de (X_M)_0, droite projective sur \mathbb{F}_2), mais non pas Q_M. On a des bijections canoniques (50) \qquad \left\{ \begin{array}{llll} \underset{\text{codiag.\ de } Q}{C_Q} \simeq \dot{\underline{\omega}}_\Delta & \overset{\mathrm{déf}}{\simeq} \underline{\omega}_I \simeq \underline{\omega}_J & & \text{soit } \underline{\omega} \\ \underset{\text{diag.\ de } Q}{D_Q} \simeq \underset{\text{« couleurs » des faces}}{C_\Delta} & \simeq \underline{\omega} \wedge \mu & & \text{où } \mu \text{ défini ci-dessous} \\ \underset{\text{or.\ de } Q}{\underline{\omega}_Q} \simeq \operatorname{Or}(\Delta) & \simeq \det(M)^* & & \text{soit } \mu \end{array} \right. le tableau (50) est redessiné. À la première ligne, sous \dot{\underline{\omega}}_\Delta, un passage de deux lignes est biffé de hachures et n'est pas lu. Le point sur \underline{\omega}_\Delta est de l'auteur. Au début de la phrase « Les données… », « fibré » (?) est biffé devant « droite projective ».

feuillet écrit dans l'autre sens (en largeur), d'une encre plus pâle et d'une écriture plus grosse que les pages qui précèdent ; les ensembles y sont soulignés (\underline{I}, \underline{J}, \underline{K}), comme des objets au-dessus d'une base S. Le lien avec la récapitulation de la page 38 n'est pas explicite.

\underline{I}

(X, \underline{I}) ? \begin{array}{c} \big\updownarrow \\ \bigl(\underline{I},\ \text{d'où } \underline{J},\ t \in \Gamma(\Sigma_J^*/S)\bigr) \longleftrightarrow \bigl(\underline{J}\ (\text{d'où } \underline{V}_J \text{ et } \Sigma_J),\ \text{section de } \Sigma_J^* \text{ sur } S,\ \text{torseur } I \text{ sous } \underline{V}_J\bigr) \\ \big\updownarrow \\ \bigl(\underline{J},\ t \in \Gamma(\Sigma_J^*/S),\ X \text{ rev.\ de } \Sigma_J^*,\ \text{étale sur } \Sigma_J^*,\ \ldots\bigr) \\ \big\updownarrow \\ \bigl(\underline{J},\ t \in \Gamma(\Sigma_J^*/S),\ \underline{K} \text{ torseur sous } \underline{J}\bigr) \end{array} NB t et \underline{I} indépendants…

NB X et t sont indépendants l'un de l'autre.

NB \underline{K} et t sont indépendants l'un de l'autre.

NB X \mid \underline{J} \simeq \Delta est la configuration octaédrale… entre la première flèche et la ligne (\underline{I}, \ldots), une ligne entière est biffée : ~~(\underline{J}(\Sigma_J), t \in \Gamma(\Sigma_J^*/S), \underline{I} torseur sous~~. La troisième ligne se poursuit, sous « X rev. de \Sigma_J^*, étale sur \Sigma_J^* », par « galoisien sur … fibré … rev. abélien » et un passage biffé, d'une lecture très incertaine. Dans la marge droite, écrite verticalement, une suite d'inclusions (\ldots \subset \ldots, \mathfrak{S}(M_0), \operatorname{End}(M_0), « 1 \in ») reliée par une flèche au texte, et une petite figure en croix portant les lettres x, X ; elle n'est pas lue. Le symbole biffé devant \underline{K} n'est pas lu.

Quand \underline{I} est muni d'une section, de sorte que \underline{I} \simeq \underline{J} \amalg S, alors on a un iso. can. X \simeq \Sigma_J, d'où f : \Sigma_J \to \Sigma_J la page s'arrête sur cette formule ; l'indice de f est noirci.