Fonds Grothendieck, cote n° 64, pages 1–20

I. Fourbis combinatoires (ens. à 4 éléments, cubes, octaèdres, modules libres de rang 2 sur \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}).

titre pris sur la page 1, feuillet par ailleurs blanc qui sert de couverture à la suite : il est de la main de l'auteur, en haut à droite, sous un grand chiffre romain « I ». À gauche, un « (40) » entre parenthèses, d'une écriture plus petite, sans doute un compte de pages ; il n'est pas sûr qu'il soit de l'auteur.

1. Ens. à quatre éléments.

Un ens. à quatre éléments I est muni canoniquement d'une structure d~~e torseur sous un~~ d'espace affine de dimension 2 sur \mathbb{F}_2, i.e. d'un sous-groupe V \subset \mathfrak{S}_I, isomorphe (non canoniquement!) à \mathbb{F}_2^2, tel que l'action de V sur I en fasse un torseur. Le sous-groupe V \subset \mathfrak{S}_I est le seul sous-groupe distingué abélien \neq \{0\}, il est son propre ~~normalisateur~~ centralisateur i.e. \mathfrak{S}_I/V opère fidèlement sur V, en fait on a \mathfrak{S}_I/V \xrightarrow{\;\sim\;} \operatorname{Aut}_{\mathrm{gr}}(V) = \operatorname{Aut}_{\mathbb{F}_2\text{-vect}}(V) \xrightarrow{\;\sim\;} \mathfrak{S}_J i.e. J = V^*, la suite exacte 1 \to V \to \mathfrak{S}_I \to \mathfrak{S}_J \to 1 étant ~~identique~~ identifiée à la suite 1 \to \underset{\text{translations}}{V} \to \operatorname{Aut}_{\mathrm{aff}}(I) \to \operatorname{Aut}_{\mathbb{F}_2}(V) \to 1 . la parenthèse fermante après « \operatorname{Aut}_{\mathrm{gr}}(V) » et « \operatorname{Aut}_{\mathbb{F}_2\text{-vect}}(V) » est écrite comme un « W) » ; la lecture V est celle qu'impose le contexte. Le dernier terme est surchargé : un mot biffé, encerclé, puis \mathfrak{S}_J.

Les trois éléments de J = V^* correspondent aux trois partitions de type (2,2) de I (on peut ainsi dire que les élts de J correspondent aux droites vectorielles dans V^*, qui définissent ~~les~~ donc des rrelations d'équivalence dans I, vers les espaces affines quotients de dim 1) — les classes inversement des l'ensemble de ces 3 relations d'équivalence correspondent aux 6 ~~paires~~ parties à deux éléments de I) ou encore ~~aux~~ aux 6 droites affines dans l'espace affine I, l'application \begin{aligned} \mathfrak{P}_2(I) &\longrightarrow \mathfrak{P}_{2,2}(I) \\ A &\longmapsto \{A, I \setminus A\} \end{aligned} ou aussi aux trois translations sans pts fixes la note marginale, écrite de biais dans la marge gauche, se rattache à « les éléments de J correspondent aux trois partitions de type (2,2) ». La phrase du corps, depuis « — les classes », est d'une lecture peu sûre ; le sens mathématique en est clair (les six parties à deux éléments de I, ou ses six droites affines, s'envoient deux à deux sur les trois partitions de type (2,2)).

s'identifiant à l'application qui associe à une droite affine de I sa direction, qui est une droite de l'espace des translations V. La fibre d'un i \in \mathfrak{P}_{2,2}(I), i.e. l'un des deux classes de cette partition, est dans l'espace quotient I/(D_i = \{0, \ldots\}).le second élément de D_i est surchargé et n'est pas lu.

Le foncteur « oubli de la structure » qui va de la catégorie des espaces affines de dim 2 sur \mathbb{F}_2, vers la cat. des ensembles à quatre éléments \mathrm{Aff}_2(\mathbb{F}_2) \xrightarrow{\;\approx\;} (\mathrm{Ens}_4) est une équivalence de catégories — et i.e., si on définit la notion d'espace affine sur \mathbb{F}_2 par la donnée d'une structure sur un I ~~tel~~ seul (donnée d'un sous-groupe de \mathfrak{S}_I par ex.) Je dis que le foncteur \begin{aligned} (\mathrm{Ens}_4) &\longrightarrow (\mathrm{Gr}) \\ I &\longmapsto \mathfrak{S}_I \end{aligned} est pleinement fidèle, on en conclut que pour \forall\, I, \mathfrak{S}_I est un centre trivial et tout automorphisme de \mathfrak{S}_I est intérieur. ~~Pourrais~~ (il suffirait bien sûr de l'énoncer pour \mathfrak{S}_4 ?). On va définir pour ceci un foncteur (\mathrm{Gr})' \longrightarrow (\mathrm{Ens}_4) sur l'image essentielle (\mathrm{Gr})' des groupes isomorphes à \mathfrak{S}_4. Si … est un tel groupe G, on considère l'ens. des 3-sous-groupes de Sylow, il y en a exactement quatre ! Pour préciser ce point et récapituler fidèles le mot qui précède le foncteur (\mathrm{Gr})' \to (\mathrm{Ens}_4) commence par un V majuscule (« V…-à-… ») et n'est pas lu ; le sens est celui d'un foncteur en sens inverse du précédent. La note marginale gauche, écrite de biais et soulignée, se rattache au foncteur « oubli de la structure » ; seul « fidèles » s'y lit. Le « … » après « Si » est de l'auteur. Devant (\mathrm{Gr})', un « (\mathrm{Ens}) » biffé.

p. 2 de l'auteur, chiffrée en tête de page ; il ne numérote que les pages paires de l'archive (ici 4, 6, …, 20 portent ses numéros 2 à 10), la page 2 étant sa première. la structure de torseur sur cet ens., on considère le sous-groupe abélien distingué unique V de G, on sait que V est un vectoriel de rang 2 sur \mathbb{F}_2 et G/V \xrightarrow{\;\sim\;} \operatorname{Aut}_{\mathbb{F}_2}(V), et on sait que les 3-sous-groupes de Sylow de G correspondent aux « relèvements » de l'unique 3-sous-groupe de Sylow de G/V \simeq \mathfrak{S}_J (J = V^*), savoir \mathfrak{S}_J^+ = [\mathfrak{S}_J, \mathfrak{S}_J], d'indice 2 dans \mathfrak{S}_J. L'ens. I_G des 3-sous-groupes de Sylow de G s'identifie donc à l'ens. des scindages de l'extension 1 \to V \to G^+ \to \mathfrak{S}_J^+ \to 1 du 3-groupe \mathfrak{S}_J^+ par le 2-groupe V. Sur l'ens. de ses scindages, V opère donc transitivement par automorphismes intérieurs, d'ailleurs V^{\mathfrak{S}_J^+} = \{0\} (\mathfrak{S}_J^+ est le groupe des permutations circulaires sur V^* = J), donc I_G est bien un torseur sous V.

Quand on part de I et G = \mathfrak{S}_I, on trouve une bijection \begin{aligned} I &\longrightarrow I_G \\ i &\longmapsto \mathfrak{S}^+_{I \setminus \{i\}} = 3\text{-ss-gr.\ de Sylow de } \mathfrak{S}_I \text{ qui fixe } i \,; \end{aligned} Ainsi ~~les deux foncteurs~~ foncteurs I \mapsto \mathfrak{S}_I, G \mapsto I_G, et le composé I \to I(\mathfrak{S}_I), on a un isomorphisme ~~l'identité~~ le foncteur identique, dans la dernière formule, « unique » est biffé à l'intérieur de la formule ; la dernière ligne de la page, qui se poursuit page 5, n'est lue qu'en partie.

Pour le composé dans l'autre sens, on trouve que G opère sur l'ens. I_G de ses ss-groupes de Sylow par automorphismes intérieurs, d'où G \xrightarrow{\;\sim\;} \mathfrak{S}_{I_G} qui est un iso.

Éléments de \mathfrak{S}_I.

a)1 b)Les trois éléments de V^*, qui forment une orbite J sous \mathfrak{S}_I, et correspondant aux élém. de \mathfrak{P}_{2,2}(I), « translations » () trois axes [sym. p.r. des cubes] c)Les 8 éléments d'ordre 3, se répartissant en ~~quatre~~ deux ~~torseurs~~ de 4 qui sont des torseurs (à droite, à gauche) sous V, savoir les deux élts \pm 1 de \mathfrak{S}_J^+. L'ens. de ces éléments s'identifie ainsi : I \times \underline{\omega}, \quad \text{où } \underline{\omega} = \omega(J)\ \bigl(\simeq \omega(I)\bigr) par l'application qui associe à tout \rho \in \mathfrak{S}_I d'ordre 3 son unique pt fixe dans I (ou encore, le ss-groupe de Sylow qu'il engendre), et l'orientation qu'il détermine ou encore son image dans \mathfrak{S}_J^+ : « rotations » (ayant un pt fixe et un seul, lequel I V) [« rotations-sommets » des cubes] d)Les 6 éléments d'ordre 2 de \mathfrak{S}_I qui s'envoient dans \mathfrak{S}_J^-, en correspondance 1-1 avec l'ens. des transpositions dans I \mathfrak{P}_2(I) — on sait que les qui se groupent 3 ~~paires~~, par la transposition \tau_A, \tau_{A'} (A' = I \setminus A) est l'unique autre élément d'ordre 2 tel que \tau_A \tau_{A'} \in V^*. « réflexions » (ayant deux pts fixes ) [« rotations-arêtes » des cubes] e)Les 6 éléments d'ordre 4 de \mathfrak{S}_I, correspondant aux 6 ordres circulaires sur I. Pour [« rotations-faces » des cubes]

les quatre notes marginales de cette page, écrites de biais dans la marge gauche, donnent pour chaque classe d'éléments de \mathfrak{S}_I son nom dans le groupe des rotations du cube ; elles sont d'une autre encre, plus fine. Au point c), le mot souligné devant « 8 » n'est pas sûr. Au point d), la phrase après « on sait que » est d'une lecture incertaine ; le sens est que les six transpositions se groupent en trois paires \tau_A, \tau_{A'} avec \tau_A\tau_{A'} \in V^*.

p. 3 de l'auteur. on a u^2 \in V^*, donc on a une application \mathrm{Circ}(I) \longrightarrow V^* de degré 2 sur (qui définit donc une structure de cube, V^* comme ens. des directions des faces, \mathrm{Circ}(I) comme l'ens. des six faces — en fait ce cube est canoniquement orienté ; cf. plus bas. \circledast On peut dire aussi que les éléments d'ordre 4 se répartissent en trois paires \{u, u^{-1}\} sous-groupes de \mathfrak{S}_I = G d'ordre 4 V^*. — I est l'ens. des quatre diagonales des cubes,

L'isom. canonique (**) \qquad \underline{\omega}(I) \simeq \underline{\omega}(J) On a \mathfrak{S}_{I,\mathrm{ab}} \xrightarrow{\;\sim\;} \mathfrak{S}_{J,\mathrm{ab}} \simeq \{\pm 1\} les isom. étant donnés par la signature, d'où la possibilité de définir un iso. ~~canonique~~ fonctoriel (**), moyennant cependant le choix d'une convention (deux choix possibles). Quand on fixe un élément i \in I, alors on a \underline{\omega}_i(I) \xrightarrow{\;\sim\;} \underbrace{\underline{\omega}(I \setminus \{i\})}_{\simeq\, \mathfrak{T}_{\mathrm{tot}}} \ni l'ordre total de I en associant à un ordre total sur I \setminus \{i\} l'ordre donné, et qui admet i comme premier élément (c'est là la convention opposée aurait été de prendre i comme dernier élément). sous l'accolade, « \simeq \mathfrak{T}_{\mathrm{tot}} » est une lecture incertaine : un \mathfrak{T} (ou \mathfrak{I}) indicé « total », pour l'ensemble des ordres totaux ; après \underline{\omega}(I\setminus\{i\}), une formule biffée (\{i\} \amalg \ldots) n'est pas lue. La note marginale \circledast, écrite de biais sur une dizaine de lignes courtes dans le coin supérieur gauche, est d'une lecture très incertaine ; elle renvoie aux deux schémas du bas de la page.

* sous un trait tiré en travers du bas de la page, deux schémas de correspondances, rattachés par l'astérisque à la note marginale.

\begin{array}{ccc} V^* & \xrightarrow[\;\sim\;]{\;x \,\mapsto\, \mathrm{Cent}_G(x)\;} & \text{sous-groupes cycliques d'ordre 4 de } G = \mathfrak{S}_I \\[4pt] \text{l'unique élément} \neq 1 \text{ de } \Gamma \cap V & \longleftarrow\!\!\!\longrightarrow & \Gamma \end{array}

\begin{array}{c} V^* \longleftrightarrow \text{ss-groupes cycliques d'ordre 4 de } G = \mathfrak{S}_I \\[4pt] x \longmapsto \mathrm{Norm}, \qquad D \longmapsto \text{élément non nul du centre de } D \\[4pt] \text{ss-groupes de Sylow de } G = \mathfrak{S}_I \ (D) \end{array} les deux schémas sont redessinés : dans le second, trois flèches relient en triangle V^*, les sous-groupes cycliques d'ordre 4 et les 2-sous-groupes de Sylow D (flèche double entre ces deux derniers) ; x \mapsto \mathrm{Norm} va de V^* vers les Sylow, et D \mapsto « élément non nul du centre de D » en revient, sur un mot surchargé illisible. Dans le premier, la page écrit x \mapsto \mathrm{Cent}_G(x) vers les sous-groupes cycliques d'ordre 4 ; le centralisateur dans \mathfrak{S}_4 d'un élément de V^* est d'ordre 8 (un 2-Sylow), ce que le second schéma, qui passe par les Sylow, semble corriger. Transcrit tel quel.

2. Structures de cube combinatoire.

Le cube peut se définir, soit comme le cas des polygones réguliers) par un système (1) \qquad (S, A, R) sommets, arêtes, incidence, satisfaisant les axiomes connus, soit comme utilisant l'antipodisme \underline{a} de (1) en termes de (2) \qquad \begin{array}{c} S \\ \big\downarrow {\scriptstyle \text{degré } 2} \\ D \\ (\simeq S/\underline{a}) \end{array} \quad \text{un des diagonales (de card.\ 2)} (2) de card. 2, D V^* diagonales) soit en une famille de deux ensembles (les de card. 2) soit dualement par de (3) \qquad \begin{array}{c} A \\ \big\downarrow {\scriptstyle \text{degré } 2} \\ C \\ (\simeq A/\underline{a}) \end{array} \quad \text{un des codiagonales} ou ? comme une famille ( paires d' ) des codiagonales de card. 2. Chacune des descriptions (1) (2) (3) est valable pour décrire le cube — là on décrite plus loin, les ~~dimensions~~ entrant l'espace, l'ens. possible point de vue « sommets » ; l'autre le point de vue « arêtes », comme bien connus dans l'un et l'autre cas, c'est une à quelle élément l'orientation explicite page d'une lecture très incertaine, surtout dans ses dernières lignes, où la graphie est rapide et où une tache couvre le bas de la page. Les trois présentations (1), (2), (3) et les deux flèches « degré 2 » sont sûres ; le « D » de (2) et le « C » de (3) sont respectivement les diagonales et les « codiagonales », quotients de S et A par l'antipodie \underline{a}. La note marginale (2), écrite de biais dans la marge gauche, n'est lue qu'à l'état de fragments.

p. 4 de l'auteur. fixes qui porte la structure…). On peut aussi décrire ces structures en termes de S et de A par la donnée d'un groupe R (« forme » de \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) opérant sur S resp. sur A, qui devient un torseur sous \Gamma \begin{aligned} &(2\ \text{bis}) \qquad S \text{ torseur sous } \Gamma \\ &(3\ \text{bis}) \qquad A \text{ torseur sous } \Gamma \end{aligned} ce qui fait finalement cinq descriptions des structures de « cube ». Je vais expliciter les passages de l'une de ces descriptions à l'autre.

2\,\text{bis}) \Rightarrow 2), 3\,\text{bis}) \Rightarrow 3) : on prend l'unique élément \underline{a} d'ordre 2 de \Gamma, qui est une involution sans pts fixes de S (resp. A), et on pose D = S/\underline{a}, \quad \text{resp.} \quad C = A/\underline{a}. 2) ~~bis~~ \Rightarrow 1) : Soit A \subset \mathfrak{P}_2(S) \subset \mathfrak{P}(S) défini par A = \mathfrak{P}_2(S) \setminus \operatorname{Im} D, c'est un ens. à 4 éléments, ~~qui~~ et on a une relation tautologique R \subset S \times A. 3) \Rightarrow 1) : Soit S \subset \mathfrak{P}_2(A) défini par S = \mathfrak{P}_2(A) \setminus \operatorname{Im} C, ens. à 4 éléments et on a une relation tautologique R' \subset A \times S d'où {}^{s}R' \overset{\mathrm{def}}{=} R \subset S \times A. 1 \Rightarrow 2\,\text{bis}, 1 \Rightarrow 3\,\text{bis} : On considère \mathfrak{D} = \operatorname{Aut} \underline{Q}, \qquad \underline{Q} = \{S, A, R\}, d'ordre 8, ~~\mathfrak{D}_A\, V_Q 2-sous-gr. de Sylow de \mathfrak{S}_S ou \mathfrak{S}_A~~ l'image inverse des V_S \subset \mathfrak{S}_S et celle de V_A \subset \mathfrak{S}_A sont deux sous-groupes de \mathfrak{D}, notés \mathbb{F}_2^C \simeq V_S et \mathbb{F}_2^D \simeq V_A, d'ordre 4, :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \mathfrak{S}_S \\ \mathfrak{D} \arrow[ur] \arrow[dr] & \\ & \mathfrak{S}_A \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \mathbb{F}_2^C \simeq V_S \arrow[r, hook] \arrow[d, hook] & \mathfrak{S}_S \\ \mathfrak{D} \arrow[ur, no head] \arrow[dr, hook] & \\ \mathbb{F}_2^D \simeq V_A \arrow[u, hook] \arrow[r, hook] & \mathfrak{S}_A \end{tikzcd}

les quatre dernières lignes de la page sont biffées d'autant de traits ; on y lit, sans certitude, « V_A, … S, A … \mathbb{F}_2^D — … V_Q … il y a deux éléments d'ordre 4 … engendrent … ». Le premier diagramme est à droite dans le texte ; le symbole à sa source, surchargé plusieurs fois, se lit \mathfrak{D}. Le second est dans la marge gauche, en face des lignes 1 \Rightarrow 2\,\text{bis} ; le trait de \mathfrak{D} vers \mathfrak{S}_S y porte un crochet d'inclusion mais pas de pointe. « cinq » (descriptions) est ajouté au-dessus d'un mot biffé et n'est pas sûr.

~~\mathfrak{D}^+ sous-groupe cyclique d'ordre 4, et S et A sont torseurs sous \mathfrak{D}^+.~~ les trois premières lignes, dans un cadre ouvert à gauche, sont barrées d'un grand trait en zigzag. groupe d'ordre 2 ~~central~~ qui est le centre, et donc l'élément \neq 1 est l'antipodisme \underline{a}.

Il y a dans \mathfrak{D} exactement deux éléments u, u' d'ordre 4, inverses l'un de l'autre, engendrant l'unique sous-groupe cyclique d'ordre 4, noté \mathfrak{D}^+ — et S et A sont des torseurs sous ce même groupe. L'antipodisme est l'unique élément d'ordre 2 de \mathfrak{D}^+. ~~Le quotient \mathfrak{D}/\mathfrak{D}^+ opère~~ ~~\mathfrak{D}^+ \simeq \mathfrak{D}/\{1, \underline{a}\}~~

Le quotient \mathfrak{D}/V_S \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} opère sur V_S par l'identité sur \{1, \underline{a}\} \simeq \mathbb{F}_2 \subset V_S \simeq \mathbb{F}_2^C, et permute les deux points sur V_S \setminus \mathbb{F}_2 \simeq C, et symétriquement \mathfrak{D}/V_A \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} opère sur V_A \simeq \mathbb{F}_2^D, l'opération par transposition sur D.

Le quotient \mathfrak{D}/\mathfrak{D}^+ \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} opère sur \mathfrak{D}^+ par l'automorphisme x \mapsto x^{-1}, en particulier u \mapsto u' = u^{-1} i.e. l'opération induit la transposition sur l'ens. \simeq \underline{\omega}_Q des deux générateurs de \mathfrak{D}^+. \mathfrak{D}^+ \simeq \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \wedge_{\{\pm 1\}} \underline{\omega}_Q

On a finalement \mathfrak{D}_{\mathrm{ab}} \simeq \mathfrak{D}/\{1, \underline{a}\}, espace vect. de rg 2 sur \mathbb{F}_2, avec trois V_S, \mathfrak{D}^+, V_A \longmapsto les images dans les trois sous-groupes d'ordre 2 de \mathfrak{D}^+_{\mathrm{ab}} sont les trois seuls sous-groupes d'indice 2 de \mathfrak{D}^+_{\mathrm{ab}}. On a une bonne de \mathfrak{D}^+_{\mathrm{ab}} \mathfrak{D}^+_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2 définie par la condition que \mathfrak{D} opère sur C comme D par , C \amalg D =3, D opère sur C, D opère sur C i.e. c \in C, d \in D \Rightarrow [c, d] = \underline{a}) d'où \mathfrak{D} \to \mathfrak{S}_C \times \mathfrak{S}_D \simeq \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2 \mathfrak{D}/\{1, \underline{a}\} \simeq V_S/\mathbb{F}_2 \times V_A/\mathbb{F}_2 NB \mathfrak{D}_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{F}_2^C \times \mathbb{F}_2^D la note marginale, écrite en travers du coin inférieur gauche sur une dizaine de lignes obliques et en partie surchargée de grands traits, est d'une lecture très incertaine ; ses formules sont plus sûres que ses mots. Le texte parle tantôt de \mathfrak{D}^+_{\mathrm{ab}}, tantôt de \mathfrak{D}_{\mathrm{ab}} ; le « + » en exposant est net aux deux dernières occurrences, bien que le sens (quotient de \mathfrak{D} par son centre, de rang 2) soit celui de \mathfrak{D}_{\mathrm{ab}}. Transcrit tel quel.

p. 5 de l'auteur. \left\{ \begin{array}{lll} \text{image inverse de} & \mathbb{F}_2 \times \{0\} & \leadsto V_S \\ \text{---\,---} & \{0\} \times \mathbb{F}_2 & \leadsto V_A \\ \text{---\,---} & \text{diagonale de } \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2 & \leadsto \mathfrak{D}^+ \end{array} \right. on en conclut \left\{ \begin{array}{lll} \text{image inverse de} & (1, 0) & \leadsto C \subset \mathfrak{D}^* \\ \text{---\,---} & (0, 1) & \leadsto D \subset \mathfrak{D}^* \\ \text{---\,---} & (1, 1) & \leadsto \underline{\omega}_Q \subset \mathfrak{D}^* \end{array} \right. les V_S, V_A du premier tableau sont écrits sur un \mathfrak{D} surchargé ; les tirets sont les traits de répétition de l'auteur (« idem »). Dans le second tableau, \mathfrak{D}^* est lu pour un \mathfrak{D} muni d'un exposant peu net, sans doute \mathfrak{D}^* au sens des éléments \neq 1, \underline{a}.

Les sous-groupes d'ordre deux de \mathfrak{D} correspondent aux éléments d'ordre 2, il y a cinq :

les éléments

a)l'antipodisme \underline{a}, engendrant le centre \{1, \underline{a}\} b)Les deux éléments de C = V_S \setminus \{1, \underline{a}\}, engendrant resp. les deux droites-coordonnées de V_S \simeq \mathbb{F}_2^C c)Les deux éléments de D = V_A \setminus \{1, \underline{a}\}, engendrant resp. les deux droites coordonnées de V_A \simeq \mathbb{F}_2^D.

(NB les autres 3 éléments de \mathfrak{D}^* sont d'ordre 4 : \mathfrak{D} \simeq \underbrace{\{1\} \amalg \{a\} \amalg C \amalg D}_{\text{dic.\ de } \mathfrak{D} \text{ en classes de conjugaison}} \amalg \underline{\omega}_Q \qquad ) sous la formule, deux accolades se chevauchent ; la seconde porte « … orbites sous \mathrm{Int}(\mathfrak{D}) » ; leur étendue exacte n'est pas sûre. On a donc fait la liste complète des sous-groupes de \mathfrak{D} différents de \{1\} et de \mathfrak{D} lui-même, il y en a trois d'ordre 4 i.e. d'indice 2, savoir V_S, V_A et \mathfrak{D}^+, et cinq d'ordre 2 sauf le centre \{1, \underline{a}\}, et les 2 paquets de 2 4 sous-groupes d'ordre 2 distincts de ce dernier, contenus respectivement dans V_S et dans V_A. NB. On retrouve par ceci les éléments réunis d'un des leurs \mathfrak{D} V_A et V_S \mathfrak{D}, distingués et quotients \neq \{1\}, \mathfrak{D} \{1, \underline{a}\}) V_S, V_A, \mathfrak{D}^+,

On a associé à un cube Q = (S, A, R) trois ensembles bien-gardés de cardinal 2, savoir \{ D, C, \underline{\omega}_Q la dernière ligne de la page s'arrête sur cette énumération, que la page 11 poursuit (« en plus des deux diagonales et des deux codiagonales… »). Les deux premiers symboles ont l'air d'un \mathfrak{B} et d'un S ; la suite du texte (\underline{\omega}_S \simeq C, \underline{\omega}_A \simeq D) désigne D et C. Le mot qualifiant les trois ensembles n'est pas sûr. La note marginale, oblique dans la marge gauche, n'est lue que par fragments.

(en plus des deux diagonales et les deux codiagonales elles-mêmes, qui font aussi partie des ensemble : deux éléments, mais groupés par paires « indistinguables » …). On a des bijections canoniques \underline{\omega}_S \simeq C, \qquad \underline{\omega}_A \simeq D provenant du fait que… \underline{\omega}_S \simeq \underline{\omega}_{V_S^*} = \underline{\omega}_{\{\underline{a}\} \amalg C} \simeq \underline{\omega}_C \simeq C la convention pour orienter un ensemble : trois éléments (ici V_S^*) dont un élément x (ici \underline{a}) est fixé, en termes de choix d'un élément y des deux autres [ici V_S^* \setminus \{a\} = C] étant de prendre l'orientation (a, x, y) ~~(\ldots y \neq a, x \ldots = V_S^* \setminus \{a, \ldots)~~ i.e. \{y\} = J \setminus \{a, x\}. les lettres a, x, y de ce passage ne s'accordent pas tout à fait : « un élément (ici \underline{a}) est fixé » et un « x » écrit au-dessus ; transcrit tel quel. Le J de la dernière formule est de l'auteur.

On a une relation remarquable (*) \qquad \underline{\omega}_Q \wedge C \wedge D \simeq \mathbb{1}_{\mathbb{F}_2} i.e. une restriction du groupe structural \mathbb{F}_2^3 de \underline{\omega}_S \times C \times D au sous-groupe V_3(\mathbb{F}_2) des x, y, z tels que x + y + z = 0 qui provient du fait que \underline{\omega}_S, C, D sont les images inverses, dans l'extension \mathfrak{D} de \mathfrak{D}/\{1, \underline{a}\} = \mathfrak{D}_{\mathrm{ab}} par \{1, \underline{a}\}, des trois éléments non nuls de \mathfrak{D}_{\mathrm{ab}}, dont la ~~produit~~ somme est nulle. Pour des éléments \varpi, c, d de \underline{\omega}_Q \times C \times D … \varpi \wedge c \wedge d = 0 \iff \varpi c d = 1 \text{ dans } \mathfrak{D} [Attention, cette relation ~~serait~~ invariante si faisait une transposition sur l'ordre des facteurs — il y a donc des le choix de l'iso. ces une question de convention. les deux « \underline{\omega}_S » de ce passage (dans la note marginale et dans « qui provient du fait que ») sont écrits ainsi, là où la formule (*) porte \underline{\omega}_Q.

Si on passe du cube Q au cube dual Q', le choix de l'iso \underline{\omega}_{Q'} \wedge C' \wedge D' \simeq \mathbb{1} \ (\simeq \underline{\omega}_Q \wedge D \wedge C) \simeq \mathbb{1} est opposé de celui pour Q… dans la dernière formule, un mot biffé devant C' et un autre devant le premier \mathbb{1}.

p. 6 de l'auteur. NB L'ensemble produit : 4 éléments C \times D peut s'identifier : l'ensemble quotient R/\underline{a} des repères du cube Q, modulo antipodisme C \times D \simeq R/\underline{a} \qquad R = \operatorname{Rep}(Q) \simeq \operatorname{Rep}(Q^\circ) tandis que \underline{\omega}_Q s'identifie à ~~l'ensemble~~ un ensemble de deux parties de R (« R^+ » et « R^- ») complémentaires, l'une de l'autre, et stables chacune par l'antipodisme \underline{a} (qui conserve l'orientation), ce qui fait que le choix d'un élément de R/\underline{a} définit canoniquement une orientation de Q, i.e. un des deux ensembles de repères R', R''. Pour vérifier ~~que~~ si cette description C \wedge D \simeq \underline{\omega}_Q \quad \text{i.e.\ d'une relation} \quad \varpi c d = 1 d'une iso. \underline{\omega}_Q \wedge C \wedge D \simeq \mathbb{1} correspond : ~~\ldots \wedge \ldots~~, il faut expliciter de bout en bout la convention qui nous conduit aux plongements C \hookrightarrow V_S \setminus \{1, \underline{a}\} \subset \mathfrak{D}, \qquad D \hookrightarrow V_A \setminus \{1, \underline{a}\} \subset \mathfrak{D}, \qquad \underline{\omega}_Q \subset \mathfrak{D}^+ \subset \mathfrak{D} Si c est une codiagonale i.e. une paire de côtés opposés du cube, je vais lui associer l'automorphisme \sigma du cube qui fixe ces deux côtés et qui échange les deux autres i.e. la symétrie p.r. à l'axe transverse. De même, pour une diagonale, je lui associe la symétrie par rapport à cette diagonale. Pour une orientation définie par un repère

dans la marge gauche, trois petites figures : en haut, un carré de sommets s, s', d'arêtes a (en bas) et a' (en haut) épaissies, et de diagonale d tracée de s à s' — un repère du cube, vu sur une face ; en bas, un carré dont deux côtés opposés, épaissis, portent la marque c, avec en pointillé l'axe transverse qui les coupe en leur milieu ; à droite, un carré en pointillé dont la diagonale, prolongée en pointillé au-delà des sommets, porte la marque d à ses deux extrémités.

… je lui associe la rotation du cube qui transforme s en la deuxième extrémité de a. On vérifie que avec ces conventions, la formule \varpi c d = 1 est bien la formule qui exprime que R_\varpi \subset R contient l'image inverse par R \to R/\underline{a} de l'élément (c, d) de R/\underline{a}. Le fait que si on remplace la \varpi-relation par le cube dual, on semble obtenir la relation opposée, provient du fait que si on identifie le \varpi-ensemble R à l'ens. des repères de Q et de Q^\circ, et le groupe \mathfrak{D} à \operatorname{Aut} Q et à \operatorname{Aut}(Q^\circ) (ce qui était possible naturellement conséquence que d'une seule façon, i.e. ce n'est pas une question de choix de conventions…) alors une \varpi-~~partie~~ classe Q' dans R (pour la relation d'équivalence de l'orientation), considérée comme définissant une orientation de Q et une orientation de Q^\circ, définit deux orientations opposées, en ce sens que les orientations de rotations qu'il définit sur un repère (s, a), suivant qu'il est regardé comme un rep. de Q ou rep. de Q^\circ, sont opposées l'une de l'autre : transformer s en s' ou a en a' se font par deux rotations opposées.

dans la marge gauche, deux petites figures. En haut, un carré en pointillé dont un côté, plein, est marqué a, avec le sommet s à son extrémité inférieure et une flèche courbe tournant autour de l'autre extrémité : la rotation qui envoie s sur l'autre extrémité de a. En bas, un carré de sommets s' et s en haut, l'arête supérieure a (de s' à s) épaissie, l'arête droite marquée a', et une flèche courbe au-dessus de s : la rotation qui transforme s en s' et a en a'.

p. 7 de l'auteur. Considérons le groupe \mathfrak{D} en tant que groupe « abstrait », il est canoniquement extension de \mathfrak{D}_{\mathrm{ab}} = W (\simeq \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2 non canoniquement) par \mathbb{F}_2. Dans \mathfrak{D}_{\mathrm{ab}} il y a un élément non nul distingué \varpi, dont l'image inverse est l'ens. \underline{\omega}_Q des deux éléments d'ordre 4 de \mathfrak{D}. On voit aisément que les deux autres éléments non nuls de \mathfrak{D}_{\mathrm{ab}} sont interchangés par le groupe des autom. de \mathfrak{D}, on trouve donc 1 \to \underset{\substack{\text{autom.\ de l'ext.\ } \mathfrak{D} \text{ de}\\ W \text{ par } \mathbb{F}_2 \text{ qui}\\ \text{induisent l'identité}\\ \text{sur } W \text{ et } \mathbb{F}_2}}{\check{W}} \to \operatorname{Aut} \mathfrak{D} \to \underset{\substack{\text{interchange}\\ \text{les deux}\\ \text{éléments de}\\ W \setminus \{0, \varpi\}}}{\underbrace{\pm 1}} \to 1 NB on a un iso. can. \check{W} \simeq W (valable pour tt vectoriel de rg 2 sur \mathbb{F}_2) en fait \operatorname{Aut} \mathfrak{D} est produit \frac12 direct de \pm 1 par \check{W}, \pm 1 opérant par échange des 2 éléments non privilégiés de \check{W} \simeq W. Quand on tient compte que \mathfrak{D} provient d'un cube, donc il y a choix d'un élément \underline{c} de W \setminus \{0, \varpi\} (correspondant à C = V_S \setminus \{1, \underline{a}\}), l'autre élément étant \underline{d} (correspondant à D = V_A \setminus \{1, \underline{a}\}). Les autom. de \mathfrak{D} qui respectent cette structure forment le sous-groupe \check{W} \simeq W de \operatorname{Aut} \mathfrak{D}, formé des autom. qui induisent l'identité sur le quotient W. Ce sont aussi les autom. intérieurs, qui forment bien le groupe W \simeq \mathfrak{D}/\underbrace{\{1, \underline{a}\}}_{\text{centre}}. (l'homom. \mathfrak{D} \xrightarrow{\;\mathrm{int}\;} \operatorname{Aut} \mathfrak{D} n'est pas ~~homom~~ injectif), on voit que la donnée d'un groupe \mathfrak{D} \simeq \operatorname{Aut} Q (qui revient : la donnée de C et de D, et plus ~~\mathfrak{D} = \mathbb{F}_2^{C} \times_{\mathbb{F}_2} \mathbb{F}_2^{D}~~) la phrase de la fin de page est très abrégée. La parenthèse « (qui revient : …) » se referme à droite sur la dernière ligne, biffée d'un double trait, où on lit \mathfrak{D} = \mathbb{F}_2^{C} \times_{\mathbb{F}_2} \mathbb{F}_2^{D} (\mathbb{F}_2 écrit sous le signe \times) ; au-dessus, « et plus » est suivi d'un symbole muni d'un exposant (\underline{a}, s), non lu. Au début de la page, le mot qui qualifie l'image inverse de \varpi est inséré au-dessus d'un passage biffé.

ne peut suffire à reconstruire Q à isom. unique près — mais seulement à Q « modulo antipodisme ». Considérons le cube épinglé Q_0, et le groupe de ses automorphismes \mathbb{D}_4 = \operatorname{Aut}(Q_0) on a la suite exacte canonique 1 \to \mathbb{F}_2 \to \mathbb{D}_4 \to \mathbb{F}_2^{2} \to 1 et la donnée d'un tel \mathfrak{D} revient à celle d'un torseur sous \mathbb{F}_2^{2} le quotient de \mathbb{D}_4 (i.e. de deux ens. à deux éléments (ce sont en fait D et C, dans cet ordre…)), tandis que celle d'un cube revient à la donnée d'un torseur sous \mathbb{D}_4 lui-même.

On a une opération (par autom. int.) de \mathfrak{D}^+ sur D \hookrightarrow \mathfrak{D}^+, la donnée de Q (correspondant au groupe d'autom. \mathfrak{D}) revient à celle d'un relèvement de l'opération en ~~les~~ une opération (d'un ens. à 4 élts sous \mathfrak{D}) transitive sur un ens. S, avec S/\underline{a} \simeq D. Description duale via C \hookrightarrow \mathfrak{D}^+… « \hookrightarrow \mathfrak{D}^+ » est écrit au-dessus de D, et le « + » en exposant est net, bien que D \subset V_A ; de même dans « C \hookrightarrow \mathfrak{D}^+ ». Transcrit tel quel.

Remarque : Le groupe \operatorname{Aut}(\mathbb{D}_4) est isom. à \mathbb{D}_4 (mais pas via autom. intérieurs, bien sûr) ce qui indique qu'il y a peut-être une équivalence de groupoïdes (\text{Cubes}) \xrightarrow{\;\approx\;} (\text{groupes isom.\ à } \mathbb{D}_4) (mais qui n'est pas donnée par Q \mapsto \operatorname{Aut}(Q) !), qui mériterait d'être comprise… \mathbb{D}_4 est écrit, à sa première occurrence, après un \mathfrak{D}_4 biffé ; c'est la notation de la page pour le groupe du cube épinglé.

p. 8 de l'auteur. Si \mathfrak{D} est un groupe isomorphe à \mathbb{D}_4, l'ens. \mathfrak{S} des éléments d'ordre 2 \neq \underline{a} (où \underline{a} = l'unique élément central \neq 1) est à quatre éléments, ~~déjà classés par translation~~ une involution sans points fixes par x \longmapsto x \cdot \underline{a} \overset{\mathrm{def}}{=} x' donc à \mathfrak{D} correspond un cube Q_{\mathfrak{D}}, dont l'ens. des sommets est \mathfrak{S}, et l' ~~des~~ l'antipodisme sur S est l'involution précédente. Mais le foncteur de groupoïdes \mathfrak{D} \mapsto Q_{\mathfrak{D}} (\text{groupes isom.\ à } \mathbb{D}_4) \longrightarrow (\text{cubes combinatoires}) une équivalence de groupoïdes, on reconstitue \mathfrak{D} à partir de (\mathfrak{S}, \underline{a}_{\mathfrak{S}} \colon x \mapsto x') par la formule \mathfrak{D} = \Bigl\{ \underbrace{x \in \mathfrak{S},\ \underline{a}}_{ \text{générateurs}} \Bigm| \underbrace{[x, y]}_{\substack{\text{commutateur}\\ xyx^{-1}y^{-1}}} = \underline{a} \text{ si } y \neq x, x' \Bigr\} NB Si Q est un cube, le groupe \mathfrak{D} = \operatorname{Aut}(Q), le carré associé à ce groupe, est le carré dont l'ens. des sommets est C \amalg D, l'antipodisme dessus C et D, i.e. les C et D. On trouve donc distinguées… la note marginale, écrite en oblique dans la marge gauche et reliée par un trait pointillé à l'accolade de la formule, n'est lue que par fragments ; on y lit « carré », non « cube ». L'ensemble des éléments d'ordre 2 est noté par une lettre ronde, lue \mathfrak{S}, et le S de « l'antipodisme sur S » est droit. Le début de la phrase « … une équivalence de groupoïdes » est surchargé d'ajouts entre les lignes et n'est pas lu : on ne peut dire s'il affirme ou nie l'équivalence.

Si on part, pour décrire la structure de cube, de l'ens. des sommets S, cette structure est définie par la donnée d'un ens. S à 4 élément — i.e. d'un torseur sous un vectoriel V_S de rang 2 sur \mathbb{F}_2 — et de une ~~involution~~ sans pts fixes de S, i.e. d'un \underline{a}_S \in V_S^{*} ~~Mais~~ (i.e. une ~~V_S = V_S^{*}~~ partition de type (2,2) de S). Mais pour

un vectoriel V de rg 2 sur \mathbb{F}_2, la donnée d'un \underline{a} \in V^{*} revient à la donnée d'une partie de V^{*} qui soit une base (à savoir V^{*} \setminus \{\underline{a}\}) ; donc la donnée d'un couple (V, \underline{a}) d'un vectoriel V de rg 2 sur \mathbb{F}_2, et d'un élément \underline{a} de V^{*}, revient à la donnée d'un ens. C à deux éléments, par V \simeq \mathbb{F}_2^{C}, \underline{a} l'élément diagonal de \mathbb{F}_2^{C}. Ainsi, la donnée d'un cube Q (via l'ens. des sommets) équivaut à celle d'un couple (C, S), où C est un ens. à deux éléments, et S est un torseur sous \mathbb{F}_2^{C}. Mais la donnée d'un tel torseur revient à celle d'une famille de \mathbb{F}_2-torseurs indexée par C, i.e. d'un revêtement de degré 2 A \longrightarrow C, ( de C) i.e. d'un ens. A à quatre éléments, et muni d'une involution sans pts fixes (qui donne le quotient vers C), par la formule S \simeq \prod_{c \in C} A_c = \text{Ens des sections de } A \text{ sur } C qui donne en même temps un plongement S \hookrightarrow \mathfrak{P}_2(A) d'où la relation d'incidence entre S et A… ici les ~~deux~~ — A_c (c \in C) comme quotients de S, par les relations qui distinguent l'élément c \in C de V^{*} considéré comme involution ss pts fixes de S… Mais je préfère ici prendre A la note marginale, oblique sur une dizaine de courtes lignes dans le coin inférieur gauche, n'est lue que par fragments. Au début de la page, l'\underline{a} de « \underline{a} \in V^{*} » est écrit devant un \mathbb{F}_2^{*} surchargé en V^{*}. Dans la formule S \simeq \prod_{c \in C} A_c, un premier symbole biffé précède A_c.

p. 9 de l'auteur. Dualement, A la donnée d'un cube-arêtes A s'interprète comme la donnée d'un torseur sous un groupe \mathbb{F}_2^{D}, ce qui équivaut à la donnée d'une famille de \mathbb{F}_2-torseurs (S_d)_{d \in D}, ~~i.e. ens. S~~ A \simeq \prod_{d \in D} S_d \qquad (\simeq \text{sections de } S \text{ sur } D) — la donnée de cette famille équivaut à la donnée d'un ensemble (à quatre éléments) S et d'un morphisme de degré 2 S \longrightarrow D qui la formule précédente donne A \hookrightarrow \mathfrak{P}_2(S) et la relation d'incidence entre S et A… le « Dualement » initial est écrit sur un premier mot surchargé ; le début de phrase biffé qui suit n'est pas lu.

Formulaire. Rappelons, pour un cube Q, les trois ensembles à deux éléments \underset{\text{codiagonales}}{C}, \quad \underset{\text{diagonales}}{D}, \quad \underset{\text{orientations}}{\underline{\omega}} plus les deux paquets de deux ens. à deux éléments (dans autres ens. à deux éléments) S \xrightarrow{\;\deg.\,2\;} D, \qquad A \xrightarrow{\;\deg.\,2\;} C (D \simeq S/\underline{a}_S). \qquad (C \simeq A/\underline{a}_A) On a le formulaire d'iso. can. le symbole du troisième ensemble, souligné, n'est pas net et sa lecture \underline{\omega} est incertaine ; la légende « orientations » placée dessous désigne \underline{\omega}_Q.

\begin{array}{ll} (1) & \underline{\omega}_S \simeq C, \quad \underline{\omega}_A \simeq D \\[6pt] (2) & \underline{\omega} \wedge C \wedge D \simeq \mathbb{1}_{\mathbb{F}_2} \quad \text{i.e.} \quad \left\{ \begin{array}{l} \underline{\omega} \simeq C \wedge D \\ C \simeq D \wedge \underline{\omega} \\ D \simeq \underline{\omega} \wedge C \end{array} \right. \\[18pt] (3) & D \simeq S/\underline{a}_S, \quad C \simeq A/\underline{a}_A \\[6pt] (4) & S \simeq \prod_{c \in C} A_c, \quad A \simeq \prod_{d \in D} S_d \\[6pt] (5) & D \simeq \bigwedge_{c \in C} A_c, \quad C \simeq \bigwedge_{d \in D} S_d \end{array} ces deux dernières relations proviennent de \underline{\omega} \simeq \Bigl(\bigwedge_{c \in C} A_c\Bigr) \wedge C \quad \text{d'où} \quad \underbrace{\underline{\omega} \wedge C}_{D \text{ par } (2)} \simeq \bigwedge_{c \in C} A_c . le formulaire est encadré. Dans (3), le D est écrit sur un C.

3. Compléments sur les 2-sous-groupes d'un groupe G = \mathfrak{S}_I (card I = 4).

dans le titre, « 2-s-groupes » est écrit sur une première lettre, et « de Sylow » qui le suivait est biffé. En marge, en oblique : « À compléter par les 3-sous-groupes de Sylow ». Soit V le sous-groupe distingué \simeq \mathbb{F}_2^{2}, de sorte que V^{*} \simeq \mathfrak{P}_{2,2}(I). On a

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=huge] V^{*} \arrow[rr, leftrightarrow, "\sim"] \arrow[dr, leftrightarrow, "2"'] & & \text{ss-gr.\ cycliques } \mathfrak{D}^+ \text{ d'ordre 4 de } G \arrow[dl, leftrightarrow, "\sim"] \\ & \text{2-ss-gr.\ de Sylow de } G & \end{tikzcd}

à gauche de V^{*} : « Ens. des structures de cubes Q \simeq V^{*} (si Q correspond à x, \mathfrak{D}, \operatorname{Aut} Q = \mathfrak{D}) » ; sous la flèche horizontale : « pour tt ss gr. cyclique \mathfrak{D}^+ il y a un unique élt d'ordre 2, qui est dans V^{*}, et \mathfrak{D}^+ en est le centralisateur » ; le long de la flèche de gauche : « pour tt sous-groupe de Sylow \mathfrak{D}, il y a un unique élément x central \neq 1, qui est celui qui est dans V^{*}, et \mathfrak{D} est le normalisateur ou le centralisateur de x » ; le long de la flèche de droite : « tout sous-groupe de Sylow \mathfrak{D} a un unique sous-groupe cyclique d'ordre 4, \mathfrak{D}^+, et il en est le normalisateur ».

le diagramme est redessiné : un triangle à flèches doubles, dont les sommets et les légendes sont écrits en toutes lettres ; les légendes sont rendues ci-dessus dans l'ordre des flèches. L'étiquette de la flèche de gauche est lue « 2 » ; le chiffre initial du sommet du bas ressemble à un « 3 », mais les groupes d'ordre 8 visés sont les 2-sous-groupes de Sylow. La légende de gauche est séparée de celle de la flèche par un trait.

p. 10 de l'auteur. Quels sont les sous-groupes de G = \mathfrak{S}_I , \neq e et \mathfrak{S}_I ?

A) Sous-groupes d'ordre une puissance de 2, i.e. contenus dans un 2-sous-groupe de Sylow \mathfrak{D}.

~~Sous-groupes cycliques correspondant aux~~

1) Sous-groupes d'ordre 2, correspondant aux éléments d'ordre 2 :

a)les trois éléments de V^{*}, qui forment une orbite ~~sous~~ \operatorname{Int} G b)les six transpositions ou réflexions, qui forment une autre orbite sous \operatorname{Int} G, et qui se groupent en trois paquets (indexés par V^{*}) de deux, par la relation \tau\tau' \in V^{*}, ou par celle d'être contenus dans un même 2-sous-groupe de Sylow. ~~cycliq~~

i.e. \tau, \tau' \mathfrak{S}_I

2) Sous-groupes d'ordre 4

c)les trois ~~Sous~~-groupes cycliques d'ordre 4, qui ~~correspondent~~ 1-1 aux trois sous-groupes de Sylow i.e. les trois structures de cube sur I. d)Sous-groupes non cycliques d'ordre 4, donc isom. à \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2 — il y a d'abord V^{*} e)puis ~~deux~~ ceux qui ne sont pas distingués, chacun contenu dans un unique 2-Sylow un groupe de Sylow, dans lequel il y en a un (en plus de V, qui y est contenu) — il y en a en tout ~~six~~ trois sous-groupes ~~\mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2~~ (2,2) non distingués, qui forment une classe de conjugaison ~~distincte, formant deux de trois classes savoir les V_S \subset \mathfrak{D} et les V_A~~, correspondant

3) Sous-groupes d'ordre 8 — ce sont les

f)trois sous-groupes de Sylow de G

dans la marge gauche, en face des items, deux colonnes : les nombres d'éléments 3, 6, 3, 1, 3, 3 (a à f), et les ensembles qui les indexent : V^{*}, \widetilde{V}^{*}, V^{*}, —, V^{*}, V^{*}. En d), la page écrit V^{*}, là où le compte « 1 » et le sens désignent le sous-groupe V lui-même ; transcrit tel quel. En e), les ajouts entre les lignes et les passages biffés se chevauchent ; l'ordre de lecture retenu n'est pas sûr.