Cote n° 64 · pages 1–156 · Lecture modernisée · Modules courbes elliptiques en caractéristiques ≠2 : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1980- 1982]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier se compose de parties que Grothendieck a lui-même séparées par des feuillets de titre, chacune avec sa pagination propre.

1. I.Fourbis combinatoires (pages 1 à 42). Les ensembles à quatre éléments et le groupe \(\mathfrak{S}_4\) (pages 2 à 6) ; le carré combinatoire et son groupe diédral d'ordre \(8\) (pages 7 à 19) ; les sous-groupes de \(\mathfrak{S}_4\) (pages 19 à 21) ; le cube et l'octaèdre attachés à un ensemble à quatre éléments (pages 22 à 24) ; les \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\)-modules libres de rang \(2\) (pages 25 à 31) ; l'octaèdre d'un tel module et une récapitulation (pages 32 à 39) ; une proposition sur \(\mathrm{End}(V)\), \(V\) plan sur \(\mathbb{F}_2\) (pages 41 et 42).
2. II.Structures octaédrales dans \(\mathbb{P}^1\) (pages 43 à 68) : les actions du groupe de Klein sur un fibré en droites projectives et la configuration octaédrale ; les courbes de type \((0,4)\) ; la relation avec les courbes elliptiques, et l'application \(f_2^t\) induite par la multiplication par \(2\) ; un début de « détermination de \(M_{1,1}(4)\) ».
3. III.Épinglages de Legendre (pages 69 à 99) : une digression sur les revêtements de Kummer épinglés par les espaces tangents ; l'épinglage de Legendre sur un corps, puis sur une base ; le schéma de modules fin \(U_{0,3} \times \mu_4^{*}\) et son groupe d'automorphismes ; une explicitation en coordonnées.
4. IV.Descriptions explicites par fonctions \(\wp\) de Weierstrass (pages 100 à 125) : l'algèbre graduée des fonctions à pôle à l'origine, l'équation de Weierstrass, la loi d'addition, les points d'ordre \(4\), et un début de traduction en épinglage de Legendre.
5. V.Approche transcendante (pages 127 à 151), en deux moutures qui ne se recouvrent pas tout à fait : une première (pages 130 à 140), qui passe par les structures complexes sur un plan réel, et une seconde (pages 142 à 151), plus directe. On les garde distinctes.
6. VI.Un appendice arithmétique (pages 153 à 156) : normalité des extensions quadratiques, revêtements quadratiques de \(\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}\).

Le fil. Tout tourne autour d'un seul objet, le module \(M = {}_4E\) des points de \(4\)-torsion d'une courbe elliptique en caractéristique résiduelle \(\neq 2\), qui est localement un \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\)-module libre de rang \(2\). La partie I le décrit combinatoirement : un tel module équivaut à un ensemble à quatre éléments, un carré et une identification entre deux ensembles à deux éléments (page 28), et il porte un octaèdre, \(\Delta_M = \mathbb{P}(M)(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})\) (page 32). La partie II montre que cet octaèdre est réalisé sur la courbe : les points d'ordre \(4\) au signe près forment, dans \(E/\{\pm 1\} \simeq \mathbb{P}^1\), une configuration octaédrale (page 60). La partie III s'en sert pour épingler \(E\) ; la partie IV et l'approche transcendante rendent les choses explicites.

Deux homonymies, fixées ici. (1) Le « cube combinatoire » de la partie I, §2, a quatre sommets, quatre arêtes et un groupe d'automorphismes d'ordre \(8\) : c'est le cube de dimension \(2\), un carré. On l'appelle ainsi ; c'est d'ailleurs le mot de Grothendieck dans la partie III (« un carré combinatoire », page 75).¹ Le mot « cube » est réservé au cube de dimension \(3\) que construit le §4. (2) La lettre \(\mathbb{D}_4\) désigne le groupe diédral d'ordre \(8\), groupe du carré. Le groupe de Klein, que la partie II note tantôt \(\mathbb{D}_2\), tantôt \(\mathbb{D}_4\), est noté ici \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2\).

Conventions. Pour un ensemble ou un groupe abélien \(X\), \(X^{*}\) désigne, comme sur les pages, l'ensemble des éléments non nuls (ou \(\neq 1\)) ; le dual est noté \(X^{\vee}\). Pour un ensemble fini \(X\) de cardinal \(\geq 2\), \(\underline{\omega}(X)\) est l'ensemble à deux éléments de ses orientations, torseur sous \(\{\pm 1\} = \mathfrak{S}_{X,\mathrm{ab}}\). Un ensemble à deux éléments est un torseur sous \(\mathbb{F}_2\) ; le produit contracté de deux tels torseurs est noté \(P \wedge P'\), et \(\mathbb{1}\) est le torseur trivial. Pour un groupe abélien \(A\) et un ensemble fini \(J\), \(V_J(A) = \operatorname{Ker}(A^J \xrightarrow{\text{somme}} A)\). \(\mathfrak{S}_I^{+}\) est le groupe alterné. Toute la géométrie se fait sur des bases où \(2\) est inversible.

1–6

I. Fourbis combinatoires — 1. Ensembles à quatre éléments (pages 1 à 6)

Soit \(I\) un ensemble à quatre éléments. Il porte canoniquement une structure de plan affine sur \(\mathbb{F}_2\) : le sous-groupe \(V \subset \mathfrak{S}_I\) formé de l'identité et des trois doubles transpositions est isomorphe — non canoniquement — à \(\mathbb{F}_2^2\) et opère sur \(I\) de façon simplement transitive. C'est le seul sous-groupe distingué abélien non trivial de \(\mathfrak{S}_I\), il est son propre centralisateur, et l'action par conjugaison donne \[ \mathfrak{S}_I / V \xrightarrow{\;\sim\;} \operatorname{Aut}_{\mathbb{F}_2}(V) \xrightarrow{\;\sim\;} \mathfrak{S}_J, \qquad J = V^{*}, \] de sorte que \(1 \to V \to \mathfrak{S}_I \to \mathfrak{S}_J \to 1\) s'identifie à la suite \(1 \to V \to \operatorname{Aut}_{\mathrm{aff}}(I) \to \operatorname{GL}(V) \to 1\) du groupe affine. Les trois éléments de \(J\) correspondent aux trois partitions de \(I\) en deux paires ; l'application \(A \mapsto \{A, I \setminus A\}\), des six parties à deux éléments vers ces trois partitions, associe à une droite affine de \(I\) sa direction.

Le foncteur d'oubli des plans affines sur \(\mathbb{F}_2\) vers les ensembles à quatre éléments est une équivalence. Plus intéressant : le foncteur \(I \mapsto \mathfrak{S}_I\), du groupoïde des ensembles à quatre éléments vers le groupoïde des groupes isomorphes à \(\mathfrak{S}_4\) et de leurs isomorphismes, est une équivalence.² Un quasi-inverse associe à \(G\) l'ensemble \(I_G\) de ses quatre \(3\)-sous-groupes de Sylow. En effet, ceux-ci correspondent aux scindages de l'extension \(1 \to V \to G^{+} \to \mathfrak{S}_J^{+} \to 1\) du groupe cyclique d'ordre \(3\) par \(V\) ; \(V\) opère transitivement sur ces scindages par conjugaison, et librement puisque \(V^{\mathfrak{S}_J^{+}} = 0\) ; donc \(I_G\) est un torseur sous \(V\). Pour \(G = \mathfrak{S}_I\), la bijection \(I \to I_G\) envoie \(i\) sur le \(3\)-Sylow qui fixe \(i\) ; dans l'autre sens, l'action de \(G\) sur \(I_G\) par conjugaison donne un isomorphisme \(G \simeq \mathfrak{S}_{I_G}\).

Les éléments de \(\mathfrak{S}_I\), et le cube. Grothendieck range les \(24\) éléments en cinq classes et note en marge, pour chacune, son nom dans le groupe des rotations du cube :

1. a)l'identité ;
2. b)les trois éléments de \(J = V^{*}\), indexés par les partitions de type \((2,2)\) — les demi-tours autour des axes des faces ;
3. c)les huit éléments d'ordre \(3\), qui s'identifient à \(I \times \underline{\omega}\), \(\underline{\omega} = \underline{\omega}(J)\), par leur point fixe et leur image dans \(\mathfrak{S}_J^{+}\) ; ils forment deux classes à droite et à gauche sous \(V\) — les rotations autour des grandes diagonales ;
4. d)les six transpositions, indexées par les parties à deux éléments ; elles se groupent en trois paires \(\{\tau_A, \tau_{I \setminus A}\}\), de produit dans \(V^{*}\) — les demi-tours autour des axes joignant les milieux d'arêtes opposées ;
5. e)les six éléments d'ordre \(4\), qui correspondent aux six ordres circulaires sur \(I\) — les quarts de tour autour des axes des faces.

Pour \(u\) d'ordre \(4\), \(u^2 \in V^{*}\) : l'application \(\mathrm{Circ}(I) \to V^{*}\), \(u \mapsto u^2\), est de degré \(2\) et définit un cube dont \(\mathrm{Circ}(I)\) est l'ensemble des six faces et \(V^{*}\) celui des trois directions de faces ; \(I\) est alors l'ensemble de ses quatre grandes diagonales. C'est la réalisation classique de \(\mathfrak{S}_4\) comme groupe des rotations du cube ; le §4 la reprend en détail.

Trois ensembles se correspondent bijectivement : \(V^{*}\), les sous-groupes cycliques d'ordre \(4\) et les \(2\)-sous-groupes de Sylow. À \(x \in V^{*}\) correspondent le sous-groupe cyclique d'ordre \(4\) dont \(x\) est le carré du générateur, et le \(2\)-Sylow \(\operatorname{Cent}_G(x) = \operatorname{Norm}_G(x)\) ; inversement, \(x\) est l'élément non trivial du centre du Sylow, ou l'unique élément d'ordre \(2\) du groupe cyclique.³

Orientations. Les signatures identifient \(\mathfrak{S}_{I,\mathrm{ab}}\) et \(\mathfrak{S}_{J,\mathrm{ab}}\) à \(\{\pm 1\}\) ; d'où une bijection fonctorielle \(\underline{\omega}(I) \simeq \underline{\omega}(J)\), à ceci près que les bijections compatibles aux actions de \(\mathfrak{S}_I\) forment elles-mêmes un torseur sous \(\{\pm 1\}\) : il faut une convention, et il y en a deux. Pour \(i \in I\) fixé, \(\underline{\omega}(I) \simeq \underline{\omega}(I \setminus \{i\})\) en complétant un ordre total de \(I \setminus \{i\}\) par \(i\) placé en premier — le placer en dernier serait l'autre convention.

7–19

2. Le carré combinatoire et son groupe (pages 7 à 19)

Cinq présentations. Un carré combinatoire \(Q\) peut se donner :

1. (1)par un triple \((S, A, R)\) — quatre sommets, quatre arêtes, une relation d'incidence ;
2. (2)par un ensemble \(S\) à quatre éléments muni d'une involution sans point fixe \(\underline{a}\), l'antipodie, d'où le revêtement de degré \(2\) \(S \to D = S/\underline{a}\) sur l'ensemble des deux diagonales ;
3. (3)dualement, par \(A \to C = A/\underline{a}\), où \(C\) est l'ensemble des deux codiagonales, c'est-à-dire des paires de côtés opposés ;
4. (2 bis), (3 bis)par une structure de torseur sur \(S\) (resp. sur \(A\)) sous un groupe cyclique d'ordre \(4\) donné comme sous-groupe de \(\mathfrak{S}_S\) (resp. \(\mathfrak{S}_A\)).

On passe de (2 bis) à (2) en prenant pour \(\underline{a}\) l'élément d'ordre \(2\) du groupe cyclique ; de (2) à (1) en prenant pour arêtes les quatre parties à deux éléments de \(S\) qui ne sont pas des diagonales, avec l'incidence tautologique ; de (3) à (1) symétriquement ; et de (1) aux autres par le groupe \(\mathfrak{D} = \mathfrak{D}_Q = \operatorname{Aut} Q\), d'ordre \(8\), isomorphe au groupe diédral \(\mathbb{D}_4\).⁴

La structure de \(\mathfrak{D}\). Les images inverses dans \(\mathfrak{D}\) des groupes de Klein \(V_S \subset \mathfrak{S}_S\) et \(V_A \subset \mathfrak{S}_A\) sont deux sous-groupes d'ordre \(4\), encore notés \(V_S\) et \(V_A\). Le centre de \(\mathfrak{D}\) est \(\{1, \underline{a}\}\). On a \[ V_S \simeq \mathbb{F}_2^{C}, \qquad V_A \simeq \mathbb{F}_2^{D}, \] l'antipodie étant dans les deux cas l'élément diagonal : les deux éléments de \(V_S \setminus \{1, \underline{a}\}\) sont les symétries par rapport aux deux axes transverses aux paires de côtés opposés, indexées par \(C\) ; ceux de \(V_A \setminus \{1, \underline{a}\}\) sont les symétries par rapport aux diagonales, indexées par \(D\). Le troisième sous-groupe d'indice \(2\) est le groupe cyclique \(\mathfrak{D}^{+}\) des rotations ; ses deux générateurs forment l'ensemble \(\underline{\omega}_Q\) des orientations de \(Q\), et \(\mathfrak{D}^{+} \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) \wedge_{\{\pm 1\}} \underline{\omega}_Q\). \(S\) et \(A\) sont des torseurs sous \(\mathfrak{D}^{+}\).

L'abélianisé \(\mathfrak{D}_{\mathrm{ab}} = \mathfrak{D}/\{1, \underline{a}\}\) est un plan sur \(\mathbb{F}_2\), dont les trois droites sont les images de \(V_S\), \(V_A\) et \(\mathfrak{D}^{+}\) ; d'où un isomorphisme canonique \(\mathfrak{D}_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2\), envoyant les images de \(V_S\), \(V_A\), \(\mathfrak{D}^{+}\) sur la première, la seconde droite et la diagonale.⁵ Les images inverses des trois éléments non nuls sont \[ (1,0) \leadsto C, \qquad (0,1) \leadsto D, \qquad (1,1) \leadsto \underline{\omega}_Q, \] d'où la décomposition de \(\mathfrak{D}\) en classes de conjugaison \(\{1\} \amalg \{\underline{a}\} \amalg C \amalg D \amalg \underline{\omega}_Q\). Les sous-groupes propres non triviaux sont les trois sous-groupes d'indice \(2\) et les cinq sous-groupes d'ordre \(2\) : le centre, et deux paires contenues respectivement dans \(V_S\) et dans \(V_A\). Un carré porte ainsi trois ensembles à deux éléments remarquables, \(D\), \(C\) et \(\underline{\omega}_Q\).⁶

Les relations entre ces trois ensembles. D'abord \(\underline{\omega}_S \simeq C\) et \(\underline{\omega}_A \simeq D\) : orienter l'ensemble à quatre éléments \(S\) revient, par la bijection \(\underline{\omega}(S) \simeq \underline{\omega}(V_S^{*})\) du §1, à orienter l'ensemble à trois éléments \(V_S^{*} = \{\underline{a}\} \amalg C\), et, l'élément \(\underline{a}\) étant distingué, à ordonner \(C\), c'est-à-dire à choisir un élément de \(C\) — moyennant, chaque fois, une convention. Ensuite, la relation remarquable \[ (*) \qquad \underline{\omega}_Q \wedge C \wedge D \simeq \mathbb{1}, \] qui vient de ce que \(\underline{\omega}_Q\), \(C\), \(D\) sont les images inverses, dans l'extension centrale \(\mathfrak{D}\) de \(\mathfrak{D}_{\mathrm{ab}}\) par \(\{1, \underline{a}\}\), de trois éléments de somme nulle : le produit de trois éléments \(\varpi \in \underline{\omega}_Q\), \(c \in C\), \(d \in D\) tombe dans le centre, et l'isomorphisme \((*)\) est \(\varpi \wedge c \wedge d \mapsto \varpi c d \in \{1, \underline{a}\} = \mathbb{F}_2\). En termes de groupe structural : \((*)\) réduit à \(\{x + y + z = 0\}\) le groupe \(\mathbb{F}_2^3\) du torseur \(\underline{\omega}_Q \times C \times D\). Comme \(c\) et \(d\) ne commutent pas (\([c, d] = \underline{a}\)), l'isomorphisme dépend de l'ordre des facteurs : c'est une convention, et elle s'inverse quand on passe au carré dual (sommets et arêtes échangés).

Les repères du carré — couples formés d'un sommet et d'une arête incidente — forment un ensemble \(R\) à huit éléments, le même pour \(Q\) et son dual ; on a \(R/\underline{a} \simeq C \times D\), et les deux classes d'orientation de repères, stables chacune par \(\underline{a}\), s'identifient à \(\underline{\omega}_Q\). Pour vérifier que \((*)\) coïncide avec la relation \(C \wedge D \simeq \underline{\omega}_Q\) ainsi obtenue, il faut expliciter « de bout en bout » les conventions : à une codiagonale \(c\) on associe la symétrie qui fixe chacun de ses deux côtés, à une diagonale \(d\) la symétrie qui la fixe, à un repère \((s, a)\) la rotation qui envoie \(s\) sur l'autre extrémité de \(a\). Avec ces conventions, la relation \(\varpi c d = 1\) dit que la classe d'orientation \(R_\varpi\) contient l'image inverse de \((c, d)\), pourvu que les produits se lisent de gauche à droite, comme des actions à droite.⁷ Que le passage au carré dual semble inverser la relation vient, explique-t-il, de ce que les repères de \(Q\) et de son dual sont les mêmes, mais qu'une même classe de repères définit sur \(Q\) et sur le dual deux orientations opposées : envoyer \(s\) sur \(s'\), ou \(a\) sur \(a'\), se font par deux rotations de sens contraires.

Le groupe abstrait. Comme groupe abstrait, \(\mathfrak{D}\) est extension de \(W = \mathfrak{D}_{\mathrm{ab}}\) par \(\mathbb{F}_2\), avec un élément non nul distingué \(\varpi \in W\) (l'image des éléments d'ordre \(4\)), les deux autres éléments non nuls étant échangés par \(\operatorname{Aut} \mathfrak{D}\). D'où \[ 1 \to \check{W} \to \operatorname{Aut} \mathfrak{D} \to \{\pm 1\} \to 1, \] où \(\check{W} = \operatorname{Hom}(W, \mathbb{F}_2)\) est le groupe des automorphismes de l'extension qui induisent l'identité sur \(W\) et sur \(\mathbb{F}_2\) ; ce sont exactement les automorphismes intérieurs, et \(\check{W} \simeq W\) canoniquement (comme pour tout plan sur \(\mathbb{F}_2\), par la forme alternée \(x \wedge y\)). \(\operatorname{Aut} \mathfrak{D}\) est produit semi-direct de \(\{\pm 1\}\) par \(\check{W}\) et se trouve isomorphe à \(\mathbb{D}_4\). Le groupe \(\mathfrak{D}\) seul ne permet donc de reconstruire \(Q\) qu'« à l'antipodie près » : pour le carré épinglé \(Q_0\), \(1 \to \mathbb{F}_2 \to \mathbb{D}_4 = \operatorname{Aut}(Q_0) \to \mathbb{F}_2^2 \to 1\), la donnée de \(\operatorname{Aut} Q\) avec ses deux classes de symétries marquées revient à celle d'un torseur sous le quotient \(\mathbb{F}_2^2\), c'est-à-dire du couple \((D, C)\), tandis qu'un carré est un torseur sous \(\mathbb{D}_4\) lui-même. On retrouve \(Q\) à partir de \(\mathfrak{D}\) en relevant en une action transitive sur un ensemble \(S\) à quatre éléments, avec \(S/\underline{a} \simeq D\), l'action de \(\mathfrak{D}\) sur \(D \subset \mathfrak{D}\) ; dualement avec \(C\).⁸

Remarque (page 15) : \(\operatorname{Aut}(\mathbb{D}_4) \simeq \mathbb{D}_4\), non par les automorphismes intérieurs, ce qui « indique » une équivalence de groupoïdes entre carrés et groupes isomorphes à \(\mathbb{D}_4\), qui n'est pas \(Q \mapsto \operatorname{Aut} Q\) et « mériterait d'être comprise ». La page 16 en donne une : à un groupe \(\mathfrak{D} \simeq \mathbb{D}_4\) on associe le carré \(Q_{\mathfrak{D}}\) dont les sommets sont les quatre éléments d'ordre \(2\) non centraux, l'antipodie étant \(x \mapsto x\underline{a}\). Ce foncteur est bien une équivalence de groupoïdes⁹ , et la page en donne le quasi-inverse : \(\mathfrak{D}\) est engendré par \(\underline{a}\) et les sommets \(x\), avec les relations \([x, y] = \underline{a}\) pour \(y \neq x, x'\). Appliqué à \(\mathfrak{D} = \operatorname{Aut} Q\), ce foncteur rend un carré dont les sommets sont \(C \amalg D\) — un autre carré que \(Q\), comme le note la marge.

Le carré par ses sommets. Un carré équivaut à un ensemble \(S\) à quatre éléments — un torseur sous un plan \(V_S\) sur \(\mathbb{F}_2\) — et un élément \(\underline{a} \in V_S^{*}\). Pour un plan \(V\), la donnée de \(\underline{a} \in V^{*}\) revient à celle de la base \(V^{*} \setminus \{\underline{a}\}\), donc d'un ensemble \(C\) à deux éléments avec \(V \simeq \mathbb{F}_2^{C}\) et \(\underline{a}\) diagonal. Un carré équivaut donc à un couple \((C, S)\), \(S\) torseur sous \(\mathbb{F}_2^{C}\), ou encore à une famille de \(\mathbb{F}_2\)-torseurs indexée par \(C\), c'est-à-dire à un revêtement de degré \(2\), \(A \to C\) : les sommets sont les sections, \(S \simeq \prod_{c \in C} A_c \subset \mathfrak{P}_2(A)\), d'où l'incidence. Dualement \(A \simeq \prod_{d \in D} S_d\).

Formulaire (pages 18 et 19). Pour un carré \(Q\), avec ses codiagonales \(C\), ses diagonales \(D\), ses orientations \(\underline{\omega}\), et les revêtements \(S \to D\), \(A \to C\) : \[ \begin{array}{ll} (1) & \underline{\omega}_S \simeq C, \quad \underline{\omega}_A \simeq D \\ (2) & \underline{\omega} \wedge C \wedge D \simeq \mathbb{1}, \ \text{i.e.}\ \underline{\omega} \simeq C \wedge D,\ C \simeq D \wedge \underline{\omega},\ D \simeq \underline{\omega} \wedge C \\ (3) & D \simeq S/\underline{a}_S, \quad C \simeq A/\underline{a}_A \\ (4) & S \simeq \prod_{c \in C} A_c, \quad A \simeq \prod_{d \in D} S_d \\ (5) & D \simeq \bigwedge_{c \in C} A_c, \quad C \simeq \bigwedge_{d \in D} S_d \end{array} \] La relation (5) suit de (3) et (4) : le produit contracté des deux \(\mathbb{F}_2\)-torseurs \(A_c\) est le quotient de \(\prod A_c = S\) par l'élément diagonal, qui est \(\underline{a}\).

19–21

3. Les sous-groupes de \(\mathfrak{S}_4\) (pages 19 à 21)

Soit \(G = \mathfrak{S}_I\), \(V\) son sous-groupe de Klein distingué, de sorte que \(V^{*}\) s'identifie aux partitions de type \((2,2)\). Le triangle de la page 19 identifie entre eux \(V^{*}\), les sous-groupes cycliques d'ordre \(4\), les \(2\)-sous-groupes de Sylow — et les structures de carré sur \(I\), dont \(\mathfrak{D}\) est alors le groupe d'automorphismes : tout groupe cyclique d'ordre \(4\) a un unique élément d'ordre \(2\), qui est dans \(V^{*}\) et dont il est le centralisateur ; tout Sylow a un unique élément central non trivial, dans \(V^{*}\), dont il est le centralisateur et le normalisateur ; tout Sylow a un unique sous-groupe cyclique d'ordre \(4\), dont il est le normalisateur.

Le recensement des sous-groupes \(\neq \{e\}, G\) :

1. a)les \(3\) sous-groupes engendrés par un élément de \(V^{*}\) ;
2. b)les \(6\) engendrés par une transposition, groupés en trois paires indexées par \(V^{*}\) (\(\tau\tau' \in V^{*}\), ou : contenus dans un même Sylow) ;
3. c)les \(3\) sous-groupes cycliques d'ordre \(4\) ;
4. d)\(V\) lui-même ;¹⁰
5. e)les \(3\) groupes de Klein non distingués, chacun contenu dans un seul Sylow, formant une classe de conjugaison ;
6. f)les \(3\) sous-groupes de Sylow ;
7. g)les \(4\) sous-groupes d'ordre \(3\), indexés par \(I\) ;
8. h)les \(4\) sous-groupes d'ordre \(6\), isomorphes à \(\mathfrak{S}_3\) : stabilisateurs des points de \(I\), normalisateurs des \(3\)-Sylow ;
9. i)le groupe alterné, seul sous-groupe d'indice \(2\), puisque \(G_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{F}_2\).

Il y a donc \(19\) sous-groupes d'ordre une puissance de \(2\) distincts de \(\{e\}\), en six classes de conjugaison, et \(9\) d'ordre multiple de \(3\) distincts de \(G\), en trois classes : \(28\) en tout, \(30\) avec \(\{e\}\) et \(G\), répartis en \(11\) classes de conjugaison, qui correspondent aux classes d'isomorphie d'espaces homogènes sous \(G\).¹¹ « Pour bien faire, il faudrait les relations dans un diagramme d'inclusions » : ce diagramme n'est pas fait.¹²

22–24

4. Le cube et l'octaèdre attachés à un ensemble à quatre éléments (pages 22 à 24)

L'application de degré \(2\), \(\mathrm{Circ}(I) \to J\), \(u \mapsto u^2\), définit un cube — de dimension \(3\) cette fois — dont les faces sont les six éléments de \(\mathrm{Circ}(I)\), les sommets les huit sections de \(\mathrm{Circ}(I) \to J\), les arêtes les douze sections partielles au-dessus des parties à deux éléments de \(J\), l'incidence étant le prolongement des sections ; \(G\) opère sur ce cube par rotations, \(G \simeq \operatorname{Aut}^{+}(\text{cube})\).¹³ L'autre application de degré \(2\) vers \(J\), celle des transpositions, ne définit pas de cube : les espaces homogènes \(\mathrm{Circ}(I)\) et \(\mathfrak{P}_2(I)\) ne sont pas isomorphes, leurs stabilisateurs étant \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) et \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2\).

Il y aurait lieu d'expliciter : les huit sommets et les huit éléments d'ordre \(3\) ; les six paires d'arêtes antipodiques et les six transpositions ; les six faces et les six permutations circulaires ; et une orientation canonique du cube, c'est-à-dire un isomorphisme \(\underline{\omega}_{\text{cube}} \simeq \underline{\omega}_J\). Pour \(i \in J\), soit \(Q_i\) la structure de carré sur \(I\) définie par \(i\) et \(D_i = I/a_i\) l'ensemble de ses deux diagonales. L'injection \(I \hookrightarrow \prod_{i \in J} D_i\) fait de \(I\) un torseur sous \(V_J(\mathbb{F}_2) \subset \mathbb{F}_2^{J}\), ce qui trivialise canoniquement \(\bigwedge_{i \in J} D_i\) ; c'est l'ingrédient qui permet d'écrire \(\underline{\omega}_{\text{cube}} \simeq \bigwedge_{i} \underline{\omega}(Q_i)\).¹⁴

Le compte des espaces homogènes. Les dix classes de sous-groupes \(\neq G\) du §3 doivent correspondre à des éléments de structure du cube ; la page donne les cardinaux \(8, 12, 6, 4, 6, 3, 24\), puis un ensemble à deux éléments, les diagonales de faces, et les couples d'éléments distincts de \(J\), et conclut « le compte y est ». En clair, avec les stabilisateurs :¹⁵

1. –sommets (\(8\)), \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) ; arêtes (\(12\)), une transposition ; faces (\(6\)), \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) ;
2. –grandes diagonales (\(4\)), \(\mathfrak{S}_3\) ; paires d'arêtes opposées (\(6\)), un groupe de Klein non distingué ; paires de faces opposées (\(3\)), un \(2\)-Sylow ;
3. –repères (\(24\)), \(\{e\}\) ; les deux tétraèdres inscrits (\(2\)), le groupe alterné ; diagonales de faces (\(12\)), un élément de \(V^{*}\) ; couples de directions de faces distinctes (\(6\)), \(V\).

25–31

5. Les \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\)-modules libres de rang \(2\) (pages 25 à 31)

Soit \(\Lambda = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\), \(M\) un \(\Lambda\)-module libre de rang \(2\), \(M_0 = M/2M\), plan sur \(\mathbb{F}_2\), et \(J = M_0^{*}\) l'ensemble de ses trois éléments non nuls, notés \(x_i\), \(i \in J\). La multiplication par \(2\) induit \(M_0 \simeq 2M\), d'où l'extension de \(\Lambda\)-modules \(0 \to M_0 \to M \to M_0 \to 0\). Pour \(x \in M_0\), la fibre \(M_x\) est un torseur sous \(M_0\). Posons \(M_i = M_{x_i}\). Comme \(\sum_i x_i = 0\), la somme des relèvements tombe dans \(2M \simeq M_0\), et \[ P_M = \Bigl\{ (\xi_i)_{i \in J} \in \textstyle\prod_i M_i \Bigm| \sum_i \xi_i = 0 \Bigr\} \] est un torseur sous \(V_J(M_0)\) ; la donnée des \(M_i\) et de la trivialisation canonique de leur somme contractée revient à celle de \(P_M\).

L'algèbre \(\operatorname{End}(M_0)\). Pour tout \(\mathbb{F}_2\)-vectoriel \(W\), \(\operatorname{Hom}(M_0, W) \simeq V_J(W)\), car \(M_0 \simeq \mathbb{F}_2^{J}/\mathrm{diag}\) ; en particulier \(\operatorname{End}(M_0) \simeq V_J(M_0)\), \(u \mapsto (u(x_i))_i\), de sorte que \(P_M\) est un torseur sous \(\operatorname{End}(M_0)\). Soit \(\sigma_i\) la transvection qui fixe \(x_i\) et échange les deux autres ; comme \(\sum \sigma_i = 0\), \(x_i \mapsto \sigma_i\) définit \(M_0 \hookrightarrow \operatorname{End}(M_0)\). Soit \(\underline{\omega} = \underline{\omega}_J = \{\rho, \rho^{-1}\}\), les deux éléments d'ordre \(3\) de \(\operatorname{GL}(M_0) \simeq \mathfrak{S}_J\) ; comme \(\rho + \rho^{-1} = \mathrm{id}\), \(\mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \hookrightarrow \operatorname{End}(M_0)\) envoie l'élément diagonal sur l'identité. Pour \(i \neq j\), \(\sigma_i, \sigma_j, \rho, \rho^{-1}\) forment une base, d'où une décomposition en \(\mathfrak{S}_J\)-modules \[ \operatorname{End}(M_0) = M_0 \oplus \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}, \] les deux facteurs étant orthogonaux pour la forme \(\operatorname{Tr}(uv)\) ; et \(\mathfrak{sl}(M_0) = \operatorname{Ker} \operatorname{Tr} = M_0 \oplus \mathbb{F}_2 \cdot \mathrm{id}\), \(\mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \cap \mathfrak{sl}(M_0) = \mathbb{F}_2 \cdot \mathrm{id}\). Le torseur \(P_M\) se scinde donc en un couple : \(I_M = P_M / \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}\), torseur sous \(M_0\), et \(S_M = P_M / M_0\), torseur sous \(\mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}\).

Théorème (page 27). Le foncteur \(M \mapsto (M_0, I_M, S_M)\) est une équivalence du groupoïde des \(\Lambda\)-modules libres de rang \(2\) vers celui des triplets \((M_0, I, S)\) : \(M_0\) plan sur \(\mathbb{F}_2\), \(I\) torseur sous \(M_0\), \(S\) torseur sous \(\mathbb{F}_2^{\underline{\omega}(M_0)}\).

Corollaire. Les automorphismes s'en déduisent : la suite \(1 \to \operatorname{End}(M_0) \to \operatorname{GL}_\Lambda(M) \to \operatorname{GL}(M_0) \to 1\), où \(u \in \operatorname{End}(M_0)\) s'envoie sur \(\mathrm{id}_M + 2\tilde u\) pour un relèvement quelconque \(\tilde u\) de \(u\),¹⁶ s'identifie à \(1 \to M_0 \times \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \to \operatorname{Aut}(M_0, I_M, S_M) \to \operatorname{GL}(M_0) \to 1\) : \(\mathrm{id} + 2\tilde u\) agit sur \(P_M\) par translation par \((u(x_i))_i\). Les deux groupes sont d'ordre \(96\). La marge traduit : \(\operatorname{GL}(2, \mathbb{Z}/4\mathbb{Z})\) est produit semi-direct de \(\operatorname{GL}(2, \mathbb{F}_2) \simeq \mathfrak{S}_3\) par \(M_2(\mathbb{F}_2) \simeq \mathbb{F}_2^2 \times \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}\), et \(\operatorname{SL}(2, \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) = \{ g \cdot u \mid \mathrm{sg}(g)\, e(\operatorname{Tr} u) = 1 \}\), \(e : \mathbb{F}_2 \simeq \{\pm 1\}\), puisque \(\det(1 + 2u) = 1 + 2 \operatorname{Tr} u\).

Corollaire 2. Par le §1, un couple \((M_0, I)\) est un ensemble \(I\) à quatre éléments (\(M_0 \simeq V_I\)) ; par le §2, un torseur sous \(\mathbb{F}_2^C\) avec \(C\) à deux éléments est un carré dont \(C\) est l'ensemble des codiagonales. Comme \(\underline{\omega}(M_0) = \underline{\omega}(J) \simeq \underline{\omega}(I)\), on obtient une équivalence canonique \[ (\Lambda\text{-modules libres de rang } 2) \xrightarrow{\;\approx\;} \{(I, Q, k)\}, \qquad k : \underline{\omega}(I) \xrightarrow{\;\sim\;} C(Q), \] \(I\) ensemble à quatre éléments, \(Q\) carré combinatoire.

Corollaire 3. Si \(M\) correspond à \((I, Q, k)\), le carré

\begin{tikzcd}
\operatorname{GL}_\Lambda(M) \arrow[r] \arrow[d] & \mathfrak{D}_Q \arrow[d, "\chi_C"] \\
\mathfrak{S}_I \arrow[r, "\mathrm{sg}"'] & \{\pm 1\}
\end{tikzcd}

est cartésien, \(\chi_C\) étant l'action sur les codiagonales : \(\operatorname{GL}_\Lambda(M) \simeq \mathfrak{S}_I \times_{\{\pm 1\}} \mathfrak{D}_Q\), et \(24 \cdot 8 / 2 = 96\). Le noyau de \(\operatorname{GL}_\Lambda(M) \to \mathfrak{D}_Q\) est \(\mathfrak{S}_I^{+}\), celui de \(\operatorname{GL}_\Lambda(M) \to \mathfrak{S}_I\) est \(\operatorname{Ker} \chi_C = V_S \simeq \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}\), et celui du composé vers \(\{\pm 1\}\) est \(\mathfrak{S}_I^{+} \times \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}\).

Proposition (page 29). Le noyau \(\mathfrak{S}_I^{+}\) de \(\operatorname{GL}_\Lambda(M) \to \mathfrak{D}_Q\) est aussi le groupe dérivé du sous-groupe \(\operatorname{SL}_\Lambda(M)\), d'indice \(2\) (\(\Lambda^{*} = \{\pm 1\}\)), et il est d'indice \(4\) dans \(\operatorname{SL}_\Lambda(M)\), dont l'abélianisé est cyclique d'ordre \(4\) ; le déterminant est le composé de \(\operatorname{GL}_\Lambda(M) \to \mathfrak{D}_Q\) et du caractère de noyau \(\mathfrak{D}_Q^{+}\). Les trois caractères non triviaux de \(\mathfrak{D}_Q\) se lisent ainsi sur \(g \in \operatorname{GL}_\Lambda(M)\) d'image \(\dot g\) : \[ \det g = \chi_{\underline{\omega}}(\dot g), \qquad \mathrm{sg}\, g = \chi_C(\dot g), \qquad \det g \cdot \mathrm{sg}\, g = \chi_D(\dot g). \] D'où le corollaire (page 29) : un sous-diagramme de suites exactes pour \(\operatorname{SL}_\Lambda(M)\), de noyaux \(\mathfrak{S}_I^{+}\) et \(\{1, -\mathrm{id}_M\} \simeq \{1, \underline{a}_Q\}\), et d'image \(\mathfrak{D}_Q^{+}\) ; et le corollaire 2 (page 30) : \[ \operatorname{GL}_\Lambda(M)_{\mathrm{ab}} = \operatorname{GL}_\Lambda(M) / (\mathfrak{S}_I^{+} \times \mathfrak{z}) \xrightarrow{\;\sim\;} (\mathfrak{D}_Q)_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2, \] où \(\mathfrak{z} = \{1, -\mathrm{id}_M\}\) est le centre de \(\operatorname{GL}_\Lambda(M)\) et de \(\operatorname{SL}_\Lambda(M)\).

Le treillis. La page 31 réunit l'essentiel dans le diagramme des sous-groupes, chaque inclusion portant son indice ; les cinq carrés en sont cartésiens :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & & \operatorname{GL}_\Lambda(M) & & \\
 & & \mathfrak{S}_I^{+} \times \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \arrow[ur, "2"] & & \operatorname{SL}_\Lambda(M) \arrow[ul, "2"'] & \\
 & \mathfrak{gl}(M_0) = M_0 \times \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \arrow[ur, "3"] & & \mathfrak{S}_I^{+} \times \mathfrak{z} \arrow[ul, "2"'] \arrow[ur, "2"] & & \\
 \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \arrow[ur, "4"] & & \mathfrak{sl}(M_0) = M_0 \times \mathfrak{z} \arrow[ul, "2"'] \arrow[ur, "3"] & & \mathfrak{S}_I^{+} \arrow[ul, "2"'] & \\
 & \mathfrak{z} \arrow[ul, "2"'] \arrow[ur, "4"] & & M_0 \arrow[ul, "2"'] \arrow[ur, "3"] & & \\
 & & 1 \arrow[ul, "2"'] \arrow[ur, "4"] & & &
\end{tikzcd}

Les quotients que la page indique par des accolades : \(\operatorname{GL}_\Lambda(M) / \mathfrak{gl}(M_0) \simeq \mathfrak{S}_J\) ; \(\operatorname{SL}_\Lambda(M) / \mathfrak{S}_I^{+} \simeq \mathfrak{D}_Q^{+} \simeq \operatorname{SL}_\Lambda(M)_{\mathrm{ab}}\), que la page identifie aussi à \(\bigwedge^2_\Lambda M\).¹⁷ Et le dictionnaire des trois ensembles à deux éléments du carré : \[ C_Q \simeq \underline{\omega} \leftrightarrow \mathrm{sg}, \qquad D_Q \simeq \underline{\omega} \wedge \mu \leftrightarrow \mathrm{sg} \cdot \det, \qquad \underline{\omega}_Q \simeq \mu \leftrightarrow \det, \] où \(\mu = (\bigwedge^2_\Lambda M)^{*} = \operatorname{Or}(M)\) est l'ensemble des deux générateurs de \(\bigwedge^2 M\).

Les isomorphismes \(\operatorname{GL}_\Lambda(M) \simeq \mathfrak{S}_I \ltimes \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}\) (semi-direct) et \(\operatorname{Ker}(\mathrm{sg} \cdot \det) \simeq \mathfrak{S}_I \times \mathbb{F}_2\) (direct) ne valent que lorsque \(M\) est « semi-déployé », c'est-à-dire \(P_M\) trivialisé : le stabilisateur d'un point de \(P_M\) relève alors \(\operatorname{GL}(M_0)\), et \[ \operatorname{GL}_\Lambda(M) \simeq \operatorname{GL}(M_0) \ltimes (M_0 \times \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}) \simeq (\operatorname{GL}(M_0) \ltimes M_0) \ltimes \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} \simeq \mathfrak{S}_I \ltimes \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}, \] isomorphismes qui dépendent de la trivialisation.¹⁸

32–39

6. L'octaèdre d'un module, et récapitulation (pages 32 à 39)

Soit \(M^{\#} \subset M\) l'ensemble des éléments d'image non nulle dans \(M_0\) ; c'est un torseur relatif au-dessus de \(J\), de groupe constant \(M_0\). Le groupe \(\Lambda^{*} = \{\pm 1\}\) y opère, et \[ \Delta_M = M^{\#}/\{\pm 1\} = \mathbb{P}(M)(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) \] est l'ensemble des six points à valeurs dans \(\Lambda\) de la droite projective définie par \(M\).¹⁹ L'application de réduction \(\Delta_M \to J = \mathbb{P}(M)(\mathbb{F}_2)\) est de degré \(2\) et fait de \(\Delta_M\) les sommets d'un octaèdre dont \(J\) est l'ensemble des trois diagonales : les douze arêtes sont les parties à deux éléments qui ne sont pas des fibres, les huit faces les sections de \(\Delta_M \to J\). Le groupe \(\operatorname{GL}(M)\) opère par automorphismes d'octaèdre, avec pour noyau \(\mathfrak{z}\), d'où \[ \operatorname{GL}(M)' = \operatorname{GL}(M)/\mathfrak{z} = \operatorname{PGL}(M) \xrightarrow{\;\sim\;} \operatorname{Aut}_{\mathrm{oct}}(\Delta_M) \simeq \operatorname{Aut}^{+}(\Delta_M) \times \{1, \underline{a}_\Delta\}, \] isomorphisme puisque les deux groupes sont d'ordre \(48\). Le centre de \(\operatorname{GL}(M)'\) est \(\mathbb{F}_2^{\underline{\omega}} / \mathbb{F}_2 \cdot \mathrm{id}\) : il s'envoie sur le centre trivial de \(\mathfrak{S}_J\), donc vit dans \(\operatorname{End}(M_0)/\mathfrak{z} \simeq (M_0 \times \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}})/\mathbb{F}_2\), dont il est le sous-groupe des invariants sous \(\mathfrak{S}_J\). C'est l'antipodie \(\underline{a}_\Delta\).

Les faces. Un octaèdre de diagonales \(J\) équivaut à un torseur sous \(\mathbb{F}_2^J\), l'ensemble \(F(\Delta)\) de ses faces ; \(\mathbb{F}_2^J = V_J(\mathbb{F}_2) \oplus \mathbb{F}_2 \cdot \mathrm{diag}\) puisque \(|J|\) est impair, l'élément diagonal agissant par l'antipodie. On a un isomorphisme canonique \[ P_M / \mathfrak{z} \xrightarrow{\;\sim\;} F(\Delta_M), \qquad (\xi_i)_i \longmapsto \{\pm \xi_i\}_i , \] qui redonne \(\operatorname{Aut}(\Delta_M) \simeq \operatorname{GL}(M)'\) par un isomorphisme de suites exactes : à gauche \(\operatorname{End}(M_0)/\mathbb{F}_2 \cdot \mathrm{id} \simeq \mathbb{F}_2^J \simeq M_0 \times \mathbb{F}_2\), à droite \(\mathfrak{S}_J\).

Trois ensembles à deux éléments. À l'octaèdre sont attachés trois ensembles à deux éléments, qui correspondent aux trois caractères non triviaux de \(\operatorname{Aut}_{\mathrm{oct}}(\Delta)_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2\) :

1. –\(C_\Delta\), les deux « couleurs » des faces en damier, ou les deux tétraèdres inscrits dans le cube dual, échangés par l'antipodie ; c'est \(\bigwedge_{i \in J} \Delta_i\), quotient de \(F(\Delta)\) par \(V_J(\mathbb{F}_2)\), et, pour \(\Delta = \Delta_M\), \(C_\Delta = P_M / (M_0 \times \mathfrak{z})\), de caractère \(\mathrm{sg} \cdot \det\) ;
2. –\(\underline{\omega}_\Delta = \underline{\omega}_{I_\Delta} = \underline{\omega}_J\), où \(I_\Delta = F(\Delta)/\underline{a}_\Delta\) est l'ensemble des quatre directions de faces, de caractère \(\mathrm{sg}\) ;
3. –\(\operatorname{Or}(\Delta)\), les deux orientations de l'octaèdre, de caractère \(\det\), et \(\operatorname{Or}(\Delta_M) \simeq \mu = (\det M)^{*}\).

On a \(F(\Delta) \simeq C_\Delta \times I_\Delta\) et \(\operatorname{Or}(\Delta) \wedge \underline{\omega}_\Delta \wedge C_\Delta \simeq \mathbb{1}\). L'octaèdre orienté associé est \(\Delta^{+} = \operatorname{Or}(\Delta) \wedge^{\{1, \underline{a}_\Delta\}} \Delta\) ; il a \(\operatorname{Or}(\Delta^{+})\) trivial, \(\underline{\omega}_{\Delta^{+}} \simeq \underline{\omega}\) et \(C_{\Delta^{+}} \simeq C_\Delta \wedge \mu \simeq \underline{\omega}\), et l'ensemble de ses « bifaces » est \(I_M = P_M / \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}\). ²⁰

Ce que l'octaèdre perd. Il importe, écrit Grothendieck, de comprendre l'extension \(1 \to \mathfrak{z} \to \operatorname{GL}(M) \to \operatorname{GL}(M)' \to 1\), et en particulier \(1 \to \{\pm 1\} \to \operatorname{GL}(2, \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) \to \operatorname{Aut}_{\mathrm{oct}}(\text{octaèdre standard}) \to 1\) : c'est par sa cohomologie qu'on saura quelle donnée supplémentaire il faut, sur un octaèdre non orienté, pour en faire l'octaèdre d'un module \(M\) — relever un torseur sous \(\operatorname{GL}(2, \mathbb{Z}/4\mathbb{Z})'\) en un torseur sous \(\operatorname{GL}(2, \mathbb{Z}/4\mathbb{Z})\). En termes du triplet \((I, Q, k)\) : \(C_\Delta \simeq D_Q\), de sorte que l'octaèdre retient \(I\) et les deux ensembles \(C \simeq \underline{\omega}_I\) et \(D\), soit un torseur sous \(\mathbb{D}_4 / \{1, \underline{a}\} \simeq \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2\), qu'il faut relever en un torseur sous \(\mathbb{D}_4\) — un carré dont on connaît déjà les diagonales et les codiagonales.²¹

Récapitulation partielle (page 38). À \(M\) on associe : a) l'octaèdre \(\Delta_M = M^{\#}/\pm 1\), de diagonales \(M_0^{*} = J\) ; b) l'ensemble à quatre éléments \(I_M \simeq F(\Delta)/\text{antipodie}\), avec \(J \simeq \mathfrak{P}_{2,2}(I_M)\) ; c) le carré \(Q_M\) de sommets \(S_M = P_M / M_0\), dont \(\underline{\omega}\) est l'ensemble des codiagonales. Les données a) et b) ne dépendent que de la droite projective \(X_M = \mathbb{P}(M)\) sur \(\Lambda\) ; \(Q_M\) en dépend davantage. Et \[ C_Q \simeq \underline{\omega}_\Delta \simeq \underline{\omega}_I \simeq \underline{\omega}_J =: \underline{\omega}, \qquad D_Q \simeq C_\Delta \simeq \underline{\omega} \wedge \mu, \qquad \underline{\omega}_Q \simeq \operatorname{Or}(\Delta) \simeq (\det M)^{*} =: \mu . \]

La page 39, d'une autre encre et prise en largeur, esquisse la version relative au-dessus d'une base \(S\), que la partie II reprendra : un revêtement \(\underline{I}\) de degré \(4\) équivaut à \(\underline{J}\), une section \(t\) de \(\Sigma_{\underline{J}}^{*}\) et un torseur \(\underline{K}\) ; \(X\) et \(t\), \(\underline{K}\) et \(t\), sont « indépendants » ; et quand \(\underline{I} \simeq \underline{J} \amalg S\) a une section, \(X \simeq \Sigma_J\), d'où un morphisme \(f : \Sigma_J \to \Sigma_J\) — celui de la page 62.²²

41–42

Une proposition sur \(\operatorname{End}(V)\) (pages 41 et 42)

Proposition (page 41). Soit \(V\) un plan sur \(\mathbb{F}_2\), \(J = V^{*}\), \(\operatorname{Aut}(V) \simeq \mathfrak{S}_J\), \(\operatorname{Aut}^{\pm}(V)\) les éléments pairs et impairs, et \(\operatorname{End}(V) \simeq M_2(\mathbb{F}_2)\).

1. 1)\(V' = \operatorname{Aut}^{-}(V) \cup \{0\}\) est un sous-espace de rang \(2\), canoniquement isomorphe à \(V\) par \(x \mapsto \tau_x\) (la transvection qui fixe \(x\)).
2. 2)\(W = \operatorname{Aut}^{+}(V) \cup \{0\} = \{0, 1, \rho, \rho^{-1}\}\) est une sous-algèbre commutative de rang \(2\) : c'est un corps à quatre éléments.
3. 3)\(V'\) et \(W\) sont orthogonaux pour la forme trace ; sur \(V'\) elle est l'unique forme alternée non dégénérée (\(\operatorname{Tr} xy = 1\) pour \(x \neq y\) non nuls), sur \(W\) elle est non alternée (\(\operatorname{Tr} \rho^2 = 1\)) et non dégénérée.
4. 4)Comme \(\mathbb{F}_2[\mathfrak{S}_J]\)-module, \(V'\) est isomorphe à \(V\) et irréductible ; \(W\) est une extension non scindée \(0 \to \mathbb{F}_2 \cdot 1 \to W \xrightarrow{\operatorname{Tr}} \mathbb{F}_2 \to 0\), et \(\mathbb{F}_2 \cdot 1\) est son propre orthogonal dans \(W\).
5. 5)\(\mathfrak{sl}(V) = \operatorname{Ker} \operatorname{Tr} = V' + \mathbb{F}_2 \cdot 1_V\).

C'est la proposition qui sous-tend la décomposition \(\operatorname{End}(M_0) = M_0 \oplus \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}\) du §5.²³

43–52

II. Structures octaédrales dans \(\mathbb{P}^1\) — 1. Actions du groupe de Klein, configuration octaédrale (pages 43 à 52)

Soit \(X\) un fibré en droites projectives sur un schéma \(S\) de caractéristiques résiduelles \(\neq 2\), et \(V\) un groupe isomorphe à \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2\). On étudie les monomorphismes \(V_S \hookrightarrow \underline{\operatorname{Aut}}_S(X)\), fidèles sur chaque fibre.²⁴ Une involution de \(X\) est déterminée par son lieu fixe, un « axe » : diviseur étale de degré \(2\). Une base \((e_1, e_2)\) de \(V\) donne deux involutions \(\sigma_1, \sigma_2\) d'axes \(\Delta_1, \Delta_2\) ; elles commutent si et seulement si \(\Delta_1 \cap \Delta_2 = \emptyset\) et \(\Delta_2\) est stable par \(\sigma_1\), et, \(\Delta_1\) étant donné, \(\Delta_2\) revient à une section de \((X \setminus \Delta_1) / \{1, \sigma_1\}\). Localement, \((X, \Delta_1) \simeq (\mathbb{P}^1_S, \{0, \infty\})\), \(\sigma_1(z) = -z\), le quotient de \(\mathbb{G}_m\) par \(\sigma_1\) est \(\mathbb{G}_m\) via \(\lambda \mapsto \lambda^2\), et on se ramène, localement pour la topologie étale, à la forme normale \[ \sigma_1(z) = -z, \quad \sigma_2(z) = 1/z, \quad \sigma_3(z) = -1/z ; \qquad \Delta_1 = \{0, \infty\}, \ \Delta_2 = \{\pm 1\}, \ \Delta_3 = \mathbb{V}(z^2 + 1). \] Proposition (page 46) : localement pour la topologie étale, toute représentation fidèle de \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2\) dans \(\operatorname{Aut}(\mathbb{P}^1_S)\) est celle-ci.

On appelle configuration octaédrale le diviseur étale de degré \(6\) \[ \Delta = \Delta_1 \amalg \Delta_2 \amalg \Delta_3 \quad \bigl( = \{0, \infty, \pm 1, \pm i\} \text{ dans le cas normalisé} \bigr), \] et plus généralement tout diviseur étale de degré \(6\) localement isomorphe à celui-ci. Sur la sphère de Riemann, ce sont les six sommets d'un octaèdre régulier. Soit \(\Gamma = \underline{\operatorname{Aut}}_S(X, \Delta)\) ; il est net sur \(S\), puisqu'il se plonge dans \(\underline{\mathfrak{S}}_\Delta\). Une structure d'octaèdre sur un ensemble à six éléments est déterminée par son groupe d'automorphismes directs : les diagonales sont les classes de la relation « même stabilisateur », ce stabilisateur étant cyclique d'ordre \(4\) ; les arêtes et les faces s'en déduisent. Dans le cas normalisé, le stabilisateur de \(\{0, \infty\}\) dans \(\Gamma\) est \(\mu_4\), et de même pour \(\{\pm 1\}\), \(\{\pm i\}\) ; ces trois groupes cycliques engendrent le groupe des rotations de l'octaèdre, d'où \(\operatorname{Aut}^{+}_{\mathrm{oct}}(\Delta) \subset \Gamma\).

Pour l'inclusion inverse, la page calcule le fixateur de deux sommets non opposés, \(\infty\) et \(-1\) : un tel automorphisme est \(z \mapsto az + (a - 1)\), et s'il n'est pas l'identité il permute sans point fixe \(\{0, 1, i, -i\}\). En faisant \(z = 0, 1, i, -i\), on trouve que \(a\) doit appartenir à chacun des ensembles \(\{2, 1 \pm i\}\), \(\{\tfrac12, \tfrac{1 \pm i}{2}\}\), \(\{\tfrac{1-i}{2}, 1 - i, -i\}\), \(\{\tfrac{1+i}{2}, 1 + i, i\}\), dont l'intersection est vide si la caractéristique est \(\neq 2, 5\). Alors le fixateur est trivial, \(\Gamma \hookrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathrm{oct}}(\Delta)\), et même \(\Gamma = \operatorname{Aut}^{+}_{\mathrm{oct}}(\Delta)\) : \(\Gamma\) est étale, localement isomorphe à \((\mathfrak{S}_4)_S\).²⁵

Une structure octaédrale sur un diviseur étale \(\Delta\) de degré \(6\) est la donnée d'une antipodie \(\underline{a}_\Delta\), involution sans point fixe sur chaque fibre géométrique ; elle est régulière si \(\underline{\operatorname{Aut}}^{+}_{\mathrm{oct}}(\Delta)\) opère sur \(X\) de façon compatible à son action sur \(\Delta\) (l'action est alors unique). Les structures octaédrales régulières sont exactement celles des configurations octaédrales, et, \(\Delta\) régulière, le sous-groupe de Klein distingué de \(\operatorname{Aut}^{+}_{\mathrm{oct}}(\Delta)\) opère fidèlement sur \(X\) et redonne \(\Delta\). Ces structures sont « directes » : localement, les automorphismes qui fixent \(\{0, \infty\}\) sont les rotations par \(\mu_4\). Et le revêtement des orientations d'une configuration régulière est canoniquement \(\mu_4^{*} = \operatorname{Spec} \mathcal{O}_S[i]/(i^2 + 1)\), le schéma des racines primitives quatrièmes de l'unité.

Théorème (page 51). Soit \(X\) un fibré en droites projectives sur un schéma \(S\) de caractéristiques résiduelles \(\neq 2\), et \(G = \underline{\operatorname{Aut}}_S(X)\), forme de \(\operatorname{PGL}(2)_S\). Soient a) l'ensemble des sous-schémas en groupes de \(G\) localement isomorphes à \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2_S\) ; b) celui des sous-schémas en groupes localement isomorphes à \((\mathfrak{S}_4)_S\) ; c) celui des configurations octaédrales régulières \((\Delta, \underline{a}_\Delta)\) dans \(X\). On a des bijections canoniques compatibles : a) \(\to\) b), \(\Gamma = \underline{\operatorname{Norm}}_G \underline{V}\) ; b) \(\to\) a), \(\underline{V}\) l'unique sous-groupe distingué fini étale de degré \(4\) de \(\Gamma\) ; a) \(\to\) c), \(\Delta\) la somme des axes des sections de \(\underline{V}^{*}\) ; c) \(\to\) b), \(\Gamma = \underline{\operatorname{Aut}}^{+}_{\mathrm{oct}}(\Delta)\). Si de plus \(5\) est inversible sur \(S\), \(\underline{\operatorname{Aut}}^{+}_{\mathrm{oct}}(\Delta) \xrightarrow{\;\sim\;} \underline{\operatorname{Aut}}_S(X, \Delta)\). ²⁶

En marge : \(\Gamma / \underline{V} \simeq \underline{\operatorname{Aut}}_{\text{gr}}(\underline{V}) \simeq \underline{\operatorname{Aut}}_S(\underline{V}^{*})\).

Corollaire 1. Si \(5\) est inversible sur \(S\), un diviseur étale de degré \(6\) porte au plus une structure octaédrale régulière, et le schéma en groupes de ses automorphismes directs est alors \(\underline{\operatorname{Aut}}_S(X, \Delta)\).²⁷

Corollaire 2. La catégorie des couples \((X, \Delta)\) sur \(S\), \(\Delta\) configuration octaédrale régulière — ou, ce qui revient au même, des couples \((X, \underline{V})\), \((X, \Gamma)\) — est équivalente à celle des octaèdres sur \(S\) munis d'un isomorphisme \(\underline{\operatorname{Or}}_{\Delta/S} \simeq \mu^{*}_{4,S}\) (une « \(\mu_4^{*}\)-orientation »), ou encore à celle des revêtements finis étales de degré \(4\) de \(S\) : on associe à \((X, \Delta)\) le revêtement des faces modulo antipodie, ou celui des \(3\)-Sylow de \(\underline{\operatorname{Aut}}^{+}_{\mathrm{oct}}(\Delta)\). La structure type est la conique \(x^2 + y^2 + z^2 = 0\) de \(\mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}[1/2]}\), avec l'action de \(\{\pm 1\}^3 / \mathrm{diag}\) par changements de signe ; elle n'a pas de point réel, et sa biface distinguée est formée des faces \(\{(0,1,i), (i,0,1), (1,i,0)\}\) et de leurs conjuguées.

53–56

2. Courbes relatives de type \((0,4)\) (pages 53 à 56)

Soit \(\underline{I} \subset X\) un diviseur relatif étale de degré \(4\) : une droite projective à quatre points marqués non ordonnés. Le schéma en groupes \(\underline{\mathfrak{S}}_{\underline{I}}\) est localement isomorphe à \((\mathfrak{S}_4)_S\) ; son sous-groupe de Klein distingué \(\underline{V}_{\underline{I}}\) fait de \(\underline{I}\) un torseur.

Proposition (page 53). L'action de \(\underline{V}_{\underline{I}}\) sur \(\underline{I}\) se prolonge, de façon unique, en une action sur \(X\).

La donnée de \(\underline{I}\) équivaut à celle de \(\underline{V}\) — ou du revêtement étale cubique \(\underline{J} = \underline{V}^{*}\) — et d'un torseur sous \(\underline{V}\) ; plonger \(\underline{I}\) dans \(X\) revient à faire opérer fidèlement \(\underline{V}\) sur \(X\) (le §1), puis à donner une section de \((X \setminus \Delta)/\underline{V}\), dont \(\underline{I}\) est l'image inverse. Or une structure octaédrale équivaut à :

1. a)\(\underline{V}\), ou \(\underline{J}\), ou encore un fibré en droites projectives \(\Sigma_{\underline{J}} = \mathbb{P}(V_{\underline{J}})\) muni du diviseur étale \(D_{\underline{J}} \simeq \underline{J}\) de degré \(3\) ;
2. b)un torseur \(\underline{K}\) sous \(\underline{V}\) — un autre revêtement de degré \(4\) que \(\underline{I}\) —, ou encore un revêtement principal \(X^{*}\) de \(\Sigma_{\underline{J}}^{*} = \Sigma_{\underline{J}} \setminus D_{\underline{J}}\) de groupe \(\underline{V}\), « admissible », c'est-à-dire dont la classe dans \(H^0(S, \mathcal{H}^1(\Sigma^{*}_{\underline{J}} / S, \underline{V})) \simeq \operatorname{Hom}(\underline{V}_{\underline{J}}, \underline{V})\) est l'identité, par la formule \(X^{*} = \underline{K} \wedge_{\underline{V}} \Sigma^{*}_{\underline{J}, a}\).

Ici \(\Sigma_{\underline{J}, a}\) est la conique \(\sum_{i \in \underline{J}} x_i^2 = 0\), sur laquelle \(V_{\underline{J}} = \mathbb{F}_2^{\underline{J}} / \mathbb{F}_2\) opère par changements de signe, et dont le quotient est la droite \(\sum y_i = 0\) par \(y_i = x_i^2\) : un revêtement galoisien de groupe \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2\) de \(\mathbb{P}^1\) par \(\mathbb{P}^1\), ramifié au-dessus des trois points de \(D_{\underline{J}}\) — le revêtement de Klein de la droite projective. Ainsi \[ (X, \underline{I}) \longleftrightarrow \bigl(\underline{J},\ \underline{K},\ x \in \Gamma(\Sigma^{*}_{\underline{J}} / S)\bigr), \qquad \underline{I} \simeq \underline{K} \wedge_{\underline{V}} (\Sigma^{*}_{\underline{J}, a} / x), \] et quand \(\underline{I} = I_S\) est constant et numéroté, \(\underline{J} = J_S\), et la donnée de \((X, I_S \hookrightarrow X)\) se réduit à la section \(x\) de \(\Sigma^{*}_J\) — le point de \(\mathbb{P}^1\) privé de trois points qui classe quatre points numérotés de la droite —, \(\underline{K}\) étant alors déterminé par \(X/x \simeq I_S\), c'est-à-dire \(\underline{K} \simeq I_S \wedge_{\underline{V}} (\Sigma^{*}_{J,a}/x)\).²⁸

57–64

3. Relation avec les courbes elliptiques ; l'application \(f^t_2\) (pages 57 à 64)

Soit \(E_0\) une courbe elliptique sur \(S\) (caractéristiques résiduelles \(\neq 2\)), \(E\) un torseur sous \(E_0\), et \(\sigma\) un automorphisme de \(E\) induisant \(-\mathrm{id}\) sur \(E_0 \simeq \underline{\operatorname{Pic}}^0_{E/S}\). Localement, \(\sigma x = a - x\), où \(a\) est intrinsèquement une section de \(E \wedge_{E_0} E \simeq \underline{\operatorname{Pic}}^2_{E/S}\), et \(\sigma^2 = \mathrm{id}\). Le lieu fixe \(\underline{I} = E^{\sigma} = \{x \mid 2x = a\}\) est un torseur sous \(\underline{V} = {}_2E_0\), localement isomorphe à \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2_S\). Le couple \((E, \sigma)\) équivaut à \((E, a)\) et à \((E_0, \underline{I})\), avec \(E = \underline{I} \wedge_{\underline{V}} E_0\) ; l'action de \(\underline{V}\) sur \(E\) commute à \(\sigma\), et \(x \mapsto 2x - a\) identifie \(E/\underline{V}\) à \(E_0\) en transformant \(\sigma\) en \(x \mapsto -x\).

Les quotients \(X = E/\{1, \sigma\}\) et \(\Sigma = E_0 / \{\pm 1\}\) sont des fibrés en droites projectives, et \(X/\underline{V} \simeq \Sigma\).²⁹ Le revêtement quadratique \(E \to X\) est ramifié exactement en \(\underline{I}\), qui se plonge dans \(X\) de façon compatible à \(\underline{V}\) et tombe dans l'ouvert \(X^{*}\) où \(\underline{V}\) opère librement. On est donc dans la situation du §2 : \(\Sigma \simeq \Sigma_{\underline{J}}\), \(\underline{J} = \underline{V}^{*}\), \(\underline{I}\) est l'image inverse d'une section de \(\Sigma^{*}_{\underline{J}}\), et l'image inverse \(\Delta\) de \(D_{\underline{J}}\) dans \(X\) est la configuration octaédrale de l'action de \(\underline{V}\) sur \(X\).

Ensemblistement, \(\Delta\) est formé des images des points \(x\) pour lesquels il existe \(\xi \in {}_2E_0\), \(\xi \neq 0\), avec \(x + \xi = a - x\) ; donc \(4x = 2a\) mais \(2x \neq a\) : \[ \Delta = \Bigl( \underline{I} \wedge_{\underline{M}_0} \underline{M} \setminus \underline{I} \Bigr) \Big/ \{1, \sigma\}, \qquad \underline{M} = {}_4E_0, \quad \underline{M}_0 = 2\underline{M} = {}_2E_0 = \underline{V}, \] de degrés \(16 - 4 = 12\), puis \(6\). Pour \(E = E_0\) : les douze points d'ordre exactement \(4\) de \(E_0\), groupés en six paires \(\pm x\), forment la configuration octaédrale de \(E_0/\{\pm 1\}\). C'est la réalisation géométrique de l'octaèdre \(\Delta_M = M^{\#}/\{\pm 1\}\) de la partie I, §6. On a le diagramme, cartésien au-dessus de \(\Sigma^{*}_{\underline{J}}\) :³⁰

\begin{tikzcd}
E \arrow[r, "\text{étale}"] \arrow[d] & E_0 \simeq E/\underline{V} \arrow[d] \\
X \arrow[r] & \Sigma_{\underline{J}}
\end{tikzcd}

L'application \(f^t_2\). Dans le cas \(E = E_0\), \(\sigma = -1\), \(\underline{I} = {}_2E_0 = \underline{J} \amalg t(S)\), où \(t\) est l'image de l'origine, on a \(X = \Sigma_{\underline{J}}\), et le passage au quotient de \(2\,\mathrm{id}_{E_0}\) donne \[ f^t_2 : \Sigma_{\underline{J}} \longrightarrow \Sigma_{\underline{J}}, \] qui ne doit dépendre que de \(\underline{J}\) et de \(t\) — lesquels déterminent \(E_0\) à isomorphisme non unique près, localement pour la topologie étale.³¹ Elle est caractérisée, pour \(\underline{J} = J_S\), par : si \(\sigma_i^t\) est l'involution qui échange \(t\) et \(i\), et les deux autres points de \(J\), et \(\Delta^t_i\) son lieu fixe, alors \(f^t_2(\Delta^t_i) = \xi_i\), le point \(i\) de \(D_J\) ; et \(f^t_2(J \cup t) = t\). (\(\sigma^t_i\) est induite par la translation par le point d'ordre \(2\) d'indice \(i\), et \(\Delta^t_i\) est l'image des \(x\) tels que \(2x\) soit ce point.)

Pour \(J = \{0, 1, \infty\} \subset \mathbb{P}^1\) — la normalisation de Legendre — on trouve \[ \sigma^t_0(z) = \frac{z - t}{z - 1}, \qquad \sigma^t_1(z) = \frac{t}{z}, \qquad \sigma^t_\infty(z) = t\, \frac{z - 1}{z - t} = \sigma^t_0 \sigma^t_1, \] de lieux fixes \[ \Delta^t_0 : z^2 - 2z + t = 0, \ z = 1 \pm \sqrt{1 - t} ; \qquad \Delta^t_1 : z^2 = t ; \qquad \Delta^t_\infty : z^2 - 2tz + t = 0, \ z = t \pm \sqrt{t(t - 1)}. \] ³² Comme \(f^t_2\) est de degré \(4\) et envoie \(\Delta^t_0, \Delta^t_1, \Delta^t_\infty\) sur \(0, 1, \infty\) avec multiplicité \(2\), \(f^t_2 = c_t \bigl(\frac{z^2 - 2z + t}{z^2 - 2tz + t}\bigr)^2\) ; en un point \(\zeta\) de \(\Delta^t_1\), \(\zeta^2 = t\), le quotient vaut \(\frac{t - \zeta}{t(1 - \zeta)} = -\zeta/t\), d'où \(c_t = t\) et \[ f^t_2(z) = t \left( \frac{z^2 - 2z + t}{z^2 - 2tz + t} \right)^2 . \] On vérifie que \(0, 1, \infty, t\) vont sur \(t\). Les itérées \(f^t_{2^n} = (f^t_2)^{\circ n}\) correspondent à \(2^n\,\mathrm{id}_{E_0}\), et l'image inverse de \(t\) par \(f^t_{2^n}\) est l'image de \({}_{2^n}E_0\).

65–68

4. « Détermination de \(M_{1,1}(4)\) » (pages 65 à 68)

Soit \(E\) une courbe elliptique sur \(S\) (caractéristiques résiduelles \(\neq 2\)) et \(M = {}_4E\), faisceau étale de \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\)-modules localement libres de rang \(2\), \(M_0 = M \otimes \mathbb{F}_2 \simeq {}_2E\). Par la partie I, §5, devenue relative, \(M\) équivaut à \(M_0\) — c'est-à-dire au revêtement cubique \(\underline{J} \simeq M_0^{*}\), \(M_0 = \mathbb{F}_2^{\underline{J}} / \mathbb{F}_2\) — et à un torseur \(P\) sous \(V_{\underline{J}}(M_0) \simeq \underline{\operatorname{End}}(M_0) \simeq M_0 \oplus \mathbb{F}_2^{\underline{\omega}}\), où \(\underline{\omega}\) est le revêtement quadratique des orientations de \(\underline{J}\). Intrinsèquement : \(V_{\underline{J}}\) est exact, d'où \(0 \to V_{\underline{J}}(M_0) \to V_{\underline{J}}(M) \to V_{\underline{J}}(M_0) \to 0\), et \(P\) est l'image inverse de la section \(\mathrm{id}_{M_0}\), qui correspond à l'inclusion \(\underline{J} \hookrightarrow M_0\). Une structure de niveau \(4\), \((\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^2_S \simeq {}_4E\), équivaut à une trivialisation de \(\underline{J}\) et une section de \(P\).

Indépendamment de \(\underline{J}\), un épinglage « relatif » est une section de \(P_M\), c'est-à-dire un morphisme \(\underline{J} \to M\) relevant l'inclusion \(\underline{J} \hookrightarrow M_0\) et de somme nulle : sur chaque fibre géométrique, des points \(\xi_i\) avec \(2\xi_i = \varepsilon_i\) et \(\sum \xi_i = 0\). Il tombe dans \(M \setminus M_0\) ; composé avec \(M \subset E \to \Sigma_{\underline{J}} = E/\{\pm 1\}\), il donne \(\underline{J} \to \Delta_t\), dont le composé avec \(f_t : \Delta_t \to \underline{J}\) (étale de degré \(2\), induit par la multiplication par \(2\)) est l'identité : c'est une face de l'octaèdre \(\Delta_t\). L'octaèdre devient ainsi \(\underline{J}\)-épinglé, canoniquement isomorphe à l'octaèdre standard défini par \(\underline{J}\) et une section de \(\mu_4^{*}\), « en prenant les revêtements biquadratiques » — et la page s'arrête là.³³

69–73

III. Épinglages de Legendre — Digression : revêtements de Kummer épinglés par les espaces tangents (pages 69 à 73)

Soit \(f : X \to S\) lisse de dimension relative \(1\), \(t\) une section, \(X^{*} = X \setminus t(S)\). On considère des \(X' \to X\) finis, lisses sur \(S\), munis d'une section \(t'\) au-dessus de \(t\), et modérément ramifiés en \(t'\) d'indice \(n\) (avec \(n\) premier aux caractéristiques résiduelles) : localement pour la topologie étale, \(X'\) est le revêtement de Kummer \(z^n = \varphi\), \(\varphi\) équation locale de \(t(S)\). La norme locale donne alors un isomorphisme canonique \[ \kappa_{t'} : T_{X'/S, t'}^{\otimes n} \xrightarrow{\;\sim\;} T_{X/S, t} . \] Si de plus un schéma en groupes fini étale \(\underline{G}\) fait de \(X'|_{X^{*}}\) un torseur sous \(\underline{G}_{X^{*}}\), le stabilisateur de \(t'\) opère sur \(T_{X'/S, t'}\) par \(\mu_{n,S}\), d'où un monomorphisme canonique \(i : \mu_{n,S} \hookrightarrow \underline{G}\), et le torseur définit une classe \(\xi \in H^0(S, R^1 f^{\circ}_{*} \underline{G})\), \(f^{\circ} = f|_{X^{*}}\).

Proposition (page 71) : \((X', t')\), avec l'action de \(\underline{G}\), est déterminé à isomorphisme unique près par \(i\), \(\xi\) et \(\kappa_{t'}\). Précisément, Grothendieck énonce — « je dis que ce foncteur est une équivalence », sans démonstration — que la catégorie des \((X', t', \underline{G})\) est équivalente à celle des systèmes \((\underline{G}, n, i, \xi, T, k)\), \(T\) module inversible sur \(S\) et \(k : T^{\otimes n} \simeq T_{X/S,t}\). Le cas utile est \(\underline{G} = \mu_2 = \{\pm 1\}_S\), \(n = 2\) : pour \(\xi\) fixé, les revêtements quadratiques de \(X\), étales sur \(X^{*}\) et totalement ramifiés le long de \(t\), équivalent aux couples \((T, k : T^{\otimes 2} \simeq T_{X,t})\).³⁴

Pour les courbes elliptiques, \(X = \Sigma^{*}_{\underline{J}}\), \(X' = E\) privée de ses points d'ordre \(2\), et \(t\) l'image de l'origine.³⁵

74–79

L'épinglage de Legendre sur un corps (pages 74 à 79)

Soit \(E\) une courbe elliptique sur un corps algébriquement clos \(k\) de caractéristique \(\neq 2\) — seule cette dernière hypothèse compte, et tout vaut sur une base. Soit \(J = {}_2E(k)^{*}\), \(\Sigma_J = E/\{\pm 1\} = \mathbb{P}(V_J)\), \(V_J = V_J(k)\), la droite projective où les trois points d'ordre \(2\) marquent le diviseur \(D_J\). Par la digression, la donnée de \(E\) équivaut à celle de \(J\), du point \(t \in \Sigma^{*}_J\) image de l'origine, d'une droite \(T\) (c'est \(T_{E,0}\)) et d'un isomorphisme \(T^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma, t}\) — comme équivalence de groupoïdes, sur toute base de caractéristiques résiduelles \(\neq 2\).

On a canoniquement \(T_\Sigma \simeq \mathcal{O}_\Sigma(2)(\underline{\omega})\), \(\underline{\omega} = \underline{\omega}(J)\) l'ensemble des deux ordres circulaires de \(J\), et \(L(\underline{\omega}) = L \wedge_{\{\pm 1\}} \underline{\omega}\) : c'est que \(\bigwedge^2 V_J\) est la droite tordue par la signature, engendrée, pour un ordre circulaire \((i, j, k)\), par \((e_i - e_j) \wedge (e_j - e_k)\).³⁶

Le candidat naturel pour \(T\) est \(T_0 = \mathcal{O}_t(1)\) ; mais il y a deux isomorphismes naturels \(T_0^{\otimes 2} = \mathcal{O}_t(2) \simeq \mathcal{O}_t(2)(\underline{\omega})\), un pour chaque élément de \(\underline{\omega}\). Tordre \(T_0\) par un torseur sous \(\mu_2\) n'y change rien, puisque son carré est inchangé. On le tord donc par un torseur \(Q_0\) sous \(\mu_4\) — les quatre sommets d'un carré, dont \(\mu_4\) est le groupe des rotations : \[ T_0 = \mathcal{O}_t(1) \wedge_{\mu_4} Q_0, \qquad T_0^{\otimes 2} \simeq \mathcal{O}_t(2) \wedge_{\mu_2} D_{Q_0}, \qquad D_{Q_0} = Q_0 / \{\pm 1\}, \] \(D_{Q_0}\) étant l'ensemble des deux diagonales du carré.³⁷ Si l'on se donne \(\underline{\omega}_{Q_0} \simeq \mu_4^{*} = \{i, -i\}\) et \(D_{Q_0} \simeq \underline{\omega}\), on obtient un isomorphisme canonique \(T_0^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma,t}\).

Définition. Un épinglage de Legendre de \(E\), subordonné au carré \(Q_0\), est un isomorphisme \(\kappa : T_0 \xrightarrow{\;\sim\;} T_{E,0}\) tel que \(\kappa^{\otimes 2}\) soit compatible aux deux isomorphismes vers \(T_{\Sigma,t}\) :

\begin{tikzcd}
T_0^{\otimes 2} \arrow[rr, "\kappa^{\otimes 2}"] \arrow[dr] & & T_{E,0}^{\otimes 2} \arrow[dl] \\
 & T_{\Sigma,t} &
\end{tikzcd}

Il y en a exactement deux, opposés. Pour \(E\) variable, \(\underline{\omega} = \underline{\omega}_J\) n'est pas fixé, et un épinglage de Legendre est un couple \((\alpha, \kappa)\), \(\alpha : \underline{\omega}_J \simeq D_{Q_0}\), \(\kappa\) comme ci-dessus.

Le carré \(Q_0\) est choisi une fois pour toutes, avec pour seule donnée \(\underline{\omega}_{Q_0} \simeq \mu_4^{*}\), c'est-à-dire \(\mu_4^{*} \simeq \operatorname{Aut}^{+}(Q_0)\) ; le choix le plus commode est un carré dont un côté a ses deux extrémités indexées par \(\mu_4^{*} = \{\iota, \iota'\}\), avec \(s_{\iota'} = \iota\, s_\iota\) (d'où \(s_\iota = \iota' s_{\iota'}\), puisque \(\iota' = \iota^{-1} = -\iota\)). Alors \(D_{Q_0} \simeq \mu_4^{*}\), et la donnée \(\alpha\) devient un isomorphisme \(\underline{\omega}_J \simeq \mu_4^{*}\). ³⁸

La catégorie (un groupoïde) des courbes elliptiques sur \(k\) munies d'un épinglage de Legendre est équivalente à celle des triplets \((J, t, \alpha)\) : \(J\) à trois éléments, \(t \in \Sigma^{*}_J(k)\), \(\alpha : \underline{\omega}_J \simeq \mu_4^{*}\).

Un épinglage de Legendre–Jacobi d'échelon \(2\) ajoute un épinglage de Jacobi d'échelon \(2\) — une bijection \(J \simeq \{0, 1, \infty\}\), qui identifie \(\Sigma_J\) à \(\mathbb{P}^1_k\). Alors \(\underline{\omega}_J\) a un élément privilégié, et \(\alpha\) revient au choix d'une racine carrée \(i\) de \(-1\) : c'est « la donnée arithmétique ». La catégorie des courbes munies d'un tel épinglage est rigide, et équivalente à celle des couples \((t, i)\), \(t \in U_{0,3}(k) = \mathbb{P}^1(k) \setminus \{0, 1, \infty\}\), \(i \in \mu_4^{*}\). C'est la famille de Legendre, \(\lambda = t\), dont le retournement est tué au prix d'un choix de \(i\).

79–92

L'épinglage de Legendre sur une base ; le schéma de modules (pages 79 à 92)

On travaille au-dessus de \(S_0 = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[1/2]\), où \(Q_0\) est un \(\mu_4\)-torseur. Pour un \(\mathcal{O}_S\)-module \(L\) on pose \[ L^{\natural} = L \wedge_{\mu_{4,S}} Q_{0,S}, \qquad L^{\natural} \otimes L^{\natural} \simeq L^{\flat} = L \wedge_{\{\pm 1\}} \mu_4^{*}, \] \(\mu_4^{*} = \mu_4 \setminus \mu_2\) étant vu comme revêtement étale quadratique de \(S_0\).³⁹ Pour un revêtement étale cubique \(\underline{J}\) de \(S\), \(\Sigma_{\underline{J}} = \mathbb{P}(V_{\underline{J}}(\mathcal{O}_S))\), \(V_{\underline{J}}(\mathcal{O}_S) = \operatorname{Ker}(p_* \mathcal{O}_{\underline{J}} \xrightarrow{\operatorname{tr}} \mathcal{O}_S)\), on pose \(T_{0} = \mathcal{O}_{\Sigma_{\underline{J}}}(1)^{\natural}\), de sorte que \[ T_0^{\otimes 2} \simeq \mathcal{O}(2) \wedge_{\{\pm 1\}} \mu_4^{*} \simeq T_{\Sigma_{\underline{J}}} \wedge_{\{\pm 1\}} (\mu_4^{*} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}}). \] Pour une courbe elliptique \(E/S\), \(\underline{J} = ({}_2E)^{*}\), \(E/\{\pm 1\} \simeq \Sigma_{\underline{J}}\), \(t\) l'image de l'origine, et \(T_{E/S,0}^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma_{\underline{J}}, t}\).

Définition. Un épinglage de Legendre de \(E/S\) est un isomorphisme \(k : T_{E/S,0} \simeq \mathcal{O}(1)^{\natural}_t\) dont le carré, lu à travers les isomorphismes précédents, provient d'une section \(\alpha\) de \(\mu_4^{*} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}}\), c'est-à-dire d'un isomorphisme \(\alpha : \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega}_{\underline{J}}\) — qui est déterminé par \(k\). Pour \(\alpha\) fixé, les \(k\) forment un torseur sous \(\mu_2\) ; sans fixer \(\alpha\), ils forment un torseur \(\mathcal{L}_{E/S}\) sous \(\mu_4\), le torseur des épinglages de Legendre, avec \[ \mathcal{L}_{E/S} / \mu_2 \simeq \mu^{*}_{4,S} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}} . \] On peut aussi le décrire sans \(\natural\) : les isomorphismes \(k' : T_{E/S,0} \simeq \mathcal{O}(1)_t\) dont le carré provient d'une section de \(\underline{\omega}_{\underline{J}}\) forment un \(\mu_4\)-torseur \(Q_{E/S}\) — un schéma en carrés combinatoires, de schéma des diagonales \(\underline{\omega}_{\underline{J}}\) —, et \(\mathcal{L}_{E/S} \simeq Q_{E/S} \wedge^{\mu_4} Q_{0,S}\). On aurait pu définir les épinglages de Legendre comme les trivialisations de \(Q_{E/S}\) ; on a préféré \(\mathcal{L}_{E/S}\), mieux relié aux épinglages de Jacobi d'échelon \(4\).

Automorphismes. Le champ des courbes munies d'un épinglage de Legendre équivaut à celui des triplets \((\underline{J}, t, \alpha)\), et n'est pas rigide : un automorphisme est un automorphisme de \(\underline{J}\) compatible à \(\alpha\), donc une section de \(\mathfrak{S}^{+}_{\underline{J}}\), et, s'il est non trivial sur chaque fibre, une section \(\rho\) de \(\underline{\omega}_{\underline{J}}\) faisant de \(\underline{J}\) un torseur sous \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) ; la compatibilité à \(t\) dit que \(t\) est un point fixe de \(\rho\). Ce sont les courbes d'invariant \(j = 0\), la courbe « hexagonale ».⁴⁰

L'épinglage de Legendre–Jacobi d'échelon \(2\), couple \((k, u)\) avec \(u : \{0, 1, \infty\}_S \simeq \underline{J}\), tue ces automorphismes : le champ correspondant est représentable par \[ U_{0,3} \times_{S_0} \mu_4^{*}, \qquad U_{0,3} = \mathbb{P}^1_{S_0} \setminus \{0, 1, \infty\}, \] et la courbe universelle y a un fibré tangent à l'origine isomorphe à \(\mathcal{O}(1)^{\natural}\), qui devient \(\mathcal{O}_{U_{0,3}}(1)\) puisque \(Q_{0}\) est trivial au-dessus de \(\mu_4^{*}\).⁴¹

Le groupe modulaire. Les épinglages de Legendre forment un torseur sous \(\mu_4\), ceux de Jacobi d'échelon \(2\) un torseur sous \(\mathfrak{S}_3\) ; les bi-épinglages, un torseur sous \(\mu_4 \times \mathfrak{S}_3\), qui opère donc à droite sur \(U_{0,3} \times \mu_4^{*}\) : \(\mathfrak{S}_3\) par l'action tautologique sur \(U_{0,3}\) et par la signature sur \(\mu_4^{*}\), \(\mu_4\) trivialement sur \(U_{0,3}\) et par \(\lambda \mapsto \lambda^2 \in \{\pm 1\}\) sur \(\mu_4^{*}\). Le sous-groupe qui opère trivialement sur \(\mu_4^{*}\) est \[ \mathbb{D}'_3 = \mathfrak{S}_3 \times_{\mu_2} \mu_4 = \{(g, \lambda) \mid \mathrm{sg}(g) = \lambda^2\}, \] extension \(1 \to \{\pm 1\} \to \mathbb{D}'_3 \to \mathfrak{S}_3 \to 1\), d'ordre \(12\), d'abélianisé \(\mu_4\) par le caractère \(\chi_4\).⁴² Au-dessus de \(\widetilde{S}_0 = \mu^{*}_{4,S_0}\), où une racine \(i\) est choisie et \(\mu_4 \simeq \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\), on distingue les épinglages « directs », ceux dont la section de \(\mu_4^{*}\) est \(i\) ; leur champ est représentable par \(U_{0,3,\widetilde{S}_0}\), sur lequel opère \(\mathbb{D}'_3\).

Sur les fibrés, l'action modulaire \(T_{g,\lambda}\) tord l'action tautologique : par \(\lambda\) sur \(\mathcal{O}_{U_{0,3}}(1)\), par \(\lambda^2\) sur \(\mathcal{O}(2)\), par \(\lambda^2 \mathrm{sg}(g)\) sur le fibré tangent. Sur \(\mathbb{D}'_3\), où \(\lambda^2 = \mathrm{sg}(g)\), il reste \[ T_g \zeta = \chi_4(g)\,(g \cdot \zeta), \qquad T_g \eta = \mathrm{sg}(g)\,(g \cdot \eta), \qquad T_g \tau = g \cdot \tau, \] pour \(\zeta\), \(\eta\), \(\tau\) sections respectives de \(\mathcal{O}(1)\), \(\mathcal{O}(2)\) et du fibré tangent : le fibré tangent porte son action naturelle.⁴³

Reste, écrit-il ensuite, à définir les épinglages de Jacobi d'échelon \(4\) relatifs à ceux d'échelon \(2\) — sections de \({}_4E \to {}_2E\) au-dessus de \(\underline{J}_E\), avec \(\xi_i + \xi_j + \xi_k = 0\) sur chaque fibre géométrique, ce que la partie II, §4 appelait épinglage relatif — et à montrer comment un tel épinglage définit canoniquement un épinglage de Legendre. C'est le programme de la fin de la partie IV ; il n'est pas mené à terme dans le dossier.

93–95

La courbe standard \(E_\alpha\) (pages 93 à 95)

Pour \(\underline{J}\) et \(t\) donnés, les courbes correspondantes équivalent aux couples \((T, T^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma,t})\), et, un tel \(T_0\) étant fixé, aux \(\mu_2\)-torseurs \(\underline{\varepsilon}\), par \(T = T_0 \wedge^{\mu_2} \underline{\varepsilon}\). Avec \(T_0 = \mathcal{O}_\Sigma(1)(t)^{\natural}\), pour avoir un isomorphisme « raisonnable » \(T_0^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma,t}\) il faut un \(\alpha : \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega}_{\underline{J}}\). Il définit une courbe \(E_\alpha\) munie d'un épinglage de Legendre standard subordonné à \(\alpha\) — la courbe universelle pour ces données —, et pour toute courbe \(E\) de mêmes \(\underline{J}\), \(t\), on a un isomorphisme de \(\mu_2\)-torseurs \[ \underline{\operatorname{Isom}}_{S, \underline{J}}(E_\alpha, E) \xrightarrow{\;\sim\;} \mathcal{L}_\alpha(E), \qquad u \longmapsto u(k_\alpha), \] l'indice \(\underline{J}\) signifiant qu'on prend les isomorphismes compatibles à \(\underline{J} \simeq {}_2E_\alpha \simeq {}_2E\). Avec une section \(\omega\) de \(\underline{\omega}_{\underline{J}}\) au lieu de \(\alpha\), on définirait de même une courbe \(E_\omega\) munie d'un épinglage de Legendre « naïf ». Les deux points de vue coïncident au-dessus de \(\widetilde{S}_0 = \mu^{*}_{4,S_0}\).

95–99

Explicitation calculatoire (pages 95 à 99)

Sur un corps algébriquement clos \(k\), on décrit \(E\) par \(J\), le plan \(V_J = \operatorname{Ker}(k^J \to k)\), \(\Sigma_J = \mathbb{P}(V_J)\) avec ses trois points \(\xi_i = k\,(e_j - e_k)\), une droite \(F_t \subset V_J\) (le point \(t\)), la droite \(\underline{t}_E = T_{E,0}\) et un isomorphisme \[ \nu : \underline{t}_E^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma,t} \simeq \mathcal{O}_t(2)(\underline{\omega}) \simeq F_t^{\otimes(-2)}(\underline{\omega}), \qquad \text{ou} \qquad \check\nu : \underline{t}_E^{\otimes(-2)} \simeq F_t^{\otimes 2}(\underline{\omega}), \] puisque \(\mathcal{O}_t(1) = V_J / F_t \simeq \check F_t(\underline{\omega})\). Un épinglage de Legendre \(k : \underline{t} \simeq \mathcal{O}_t(1)^{\natural}\) est une famille \((k_\iota)_{\iota \in \mu_4^{*}}\) d'isomorphismes \(k_\iota : \underline{t} \simeq \check F_t(\underline{\omega})\) avec \(k_{\iota'} = \iota\, k_\iota\), ou, dualement, \(\check k_\iota : \check{\underline{t}} \simeq F_t(\underline{\omega})\) avec \(\check k_{\iota'} = \iota^{-1} \check k_\iota\), telle que \(k_\iota^{\otimes 2}(\delta^{\otimes 2}) = \nu(\delta^{\otimes 2}) \wedge \omega_\iota\) pour un \(\omega_\iota \in \underline{\omega}\) déterminé par \(k_\iota\). On a \(\omega_{\iota'} = \) l'autre élément de \(\underline{\omega}\), donc \(\iota \mapsto \omega_\iota\) est la bijection \(\alpha = \alpha_k : \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega}\).

Écrivons \(\check k_\iota(\check\delta) = \psi^{\omega_\iota}(\delta) \wedge \omega_\iota\), \(\psi^{\omega}(\delta) \in F_t\), pour \(\delta \in \underline{t}^{*}\). Les conditions deviennent \[ \psi^{\omega'}(\delta) = \iota_\omega\, \psi^{\omega}(\delta), \quad \iota_\omega = \alpha^{-1}(\omega) ; \qquad \psi^{\omega}(\lambda\delta) = \lambda^{-1} \psi^{\omega}(\delta) ; \qquad \psi^{\omega}(\delta)^{\otimes 2} = \check\nu(\check\delta^{\otimes 2}) \wedge \omega, \] la première venant de \(-1/\iota = \iota\) dans \(\mu_4^{*}\).

Lemme (page 98). Les épinglages de Legendre de données \((J, F_t \subset V_J, \underline{t}, \check\nu)\) s'identifient aux systèmes \(\bigl(\alpha, (\psi^{\omega}(\delta))_{\omega \in \underline{\omega}, \delta \in \underline{t}^{*}}\bigr)\), \(\alpha : \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega}\), \(\psi^{\omega}(\delta) \in F_t\), satisfaisant ces trois conditions.

En coordonnées, \(\psi^{\omega}(\delta) = \sum_i \psi^{\omega}_i(\delta)\, e_i\) avec \(\sum_i \psi^{\omega}_i(\delta) = 0\), \(\psi_i^{\omega'}(\delta) = \iota_\omega \psi_i^{\omega}(\delta)\), \(\psi_i^{\omega}(\lambda\delta) = \lambda^{-1} \psi_i^{\omega}(\delta)\) ; si \(F_t = \{\sum \lambda_i e_i \mid \sum \lambda_i = 0, \sum c_i \lambda_i = 0\}\), avec \((c_i)\) déterminé à un scalaire et à un vecteur diagonal près, l'appartenance à \(F_t\) s'écrit \(\sum_i c_i \psi^{\omega}_i(\delta) = 0\), et il suffit de l'écrire pour un seul couple \((\omega, \delta)\). « Il reste ensuite à exprimer » la dernière condition : la page s'arrête là.⁴⁴

100–108

IV. Descriptions explicites par fonctions \(\wp\) de Weierstrass — L'algèbre des fonctions à pôle à l'origine (pages 100 à 108)

Soit \(E\) une courbe elliptique sur un corps algébriquement clos \(k\) de caractéristique \(\neq 2\). Posons \(\mathcal{F}_n = \Gamma(E, \mathcal{O}(n \cdot 0_E))\) : par Riemann–Roch, \(\dim \mathcal{F}_n = n\) pour \(n \geq 1\), et \(\mathcal{F}_0 = \mathcal{F}_1 = k\). Les \(\mathcal{F}_n\) forment une algèbre graduée \(\mathcal{F}_{*}\) dont le Proj est \(E\), et \(\mathcal{F}_\infty = \varinjlim \mathcal{F}_n = \Gamma(E \setminus 0_E, \mathcal{O})\). Pour \(n \geq 2\), le coefficient dominant donne une suite exacte \(0 \to \mathcal{F}_{n-1} \to \mathcal{F}_n \xrightarrow{\varepsilon_n} \underline{t}_E^{\otimes n} \to 0\), \(\underline{t}_E = T_{E, 0_E}\) : si \(z\) est un paramètre local dual de \(\delta\), \(f = c\, z^{-n} + \cdots\) a pour image \(c\, \delta^{\otimes n}\).

Pour \(\delta \in \underline{t}_E\), la dérivation invariante \(\Theta_\delta\) est une dérivation de degré \(+1\) de \(\mathcal{F}_{*}\), et \(\varepsilon_{n+1}(\Theta_\delta f) = -n\, \delta \otimes \varepsilon_n(f)\).⁴⁵ Pour \(n\) inversible dans \(k\), cette flèche est injective, d'où \(\operatorname{Ker} \Theta_\delta \cap \mathcal{F}_n = k\) : en caractéristique nulle, \(\operatorname{Ker} \Theta_\delta = k\).⁴⁶ L'involution \(f \mapsto \check f\), \(\check f(x) = f(-x)\), anticommute à \(\Theta_\delta\) et scinde \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_n^{+} \oplus \mathcal{F}_n^{-}\), avec les règles de parité évidentes. On a \(\mathcal{F}^{+}_{2n} \simeq \mathcal{F}^{+}_{2n+1} = \Gamma(\Sigma_J, n\{t\})\), \(\Sigma_J = E/\{\pm 1\}\) ; \(\mathcal{F}_n^{-} = 0\) pour \(n \leq 2\) ; \(\mathcal{F}_3^{-} \simeq \underline{t}_E^{\otimes 3}\) ; et \(\mathcal{F}^{-}_{2n+1} = \mathcal{F}^{-}_{2n+2} = \mathcal{F}_3^{-} \cdot \mathcal{F}^{+}_{2n-2}\).

Choisissons \(\delta \neq 0\) et \(\wp \in \mathcal{F}_2\) avec \(\varepsilon_2(\wp) = \delta^{\otimes 2}\), et posons \[ y = -\tfrac12\, \Theta_\delta \wp, \qquad \text{de sorte que } \varepsilon_3(y) = \delta^{\otimes 3} . \] ⁴⁷ Alors \(1, \wp\) est une base de \(\mathcal{F}_2 = \mathcal{F}_3^{+}\), \(y\) une base de \(\mathcal{F}_3^{-}\), et plus généralement \(1, \wp, \ldots, \wp^n\) et \(y, y\wp, \ldots, y\wp^{n-1}\) sont des bases de \(\mathcal{F}^{+}_{2n}\) et de \(\mathcal{F}^{-}_{2n+1}\).

Proposition 1. Le noyau de la restriction \(\mathcal{F}_3 \to k^J\) aux trois points d'ordre \(2\) est \(\mathcal{F}_3^{-} = k\, y\) : une fonction impaire s'annule aux points d'ordre \(2\), et la restriction est injective sur \(\mathcal{F}_2\). Corollaire : la matrice de Vandermonde \((\wp(\varepsilon_i)^\alpha)_{i \in J, 0 \leq \alpha \leq 2}\) est inversible, c'est-à-dire que les trois valeurs \(\wp(\varepsilon_i)\) sont distinctes ; on le voit en normalisant \(J = \{0, 1, \infty\}\), \(\wp = 1/(z - t)\), \(t \in U_{0,3}(k)\).⁴⁸

Comme \(\varepsilon_6(y^2) = \varepsilon_6(\wp^3) = \delta^{\otimes 6}\) et que \(y^2 - \wp^3\) est pair, il vient \[ y^2 = \wp^3 + a_1 \wp^2 + a_2 \wp + a_3, \qquad a_1, a_2, a_3 \in k, \] uniquement déterminés pour \(\delta\) choisi. Proposition 2 : les \(a_\alpha\) sont caractérisés par l'annulation de \(\wp^3 + a_1 \wp^2 + a_2 \wp + a_3\) sur \(J\), puisque \(y|_J = 0\) et que \(1, \wp, \wp^2\) sont indépendants sur \(J\). Corollaire 1 : \(\wp^3 + a_1\wp^2 + a_2\wp + a_3 = \prod_{i \in J} (\wp - \wp(\varepsilon_i))\). Corollaire 2 : \(a_1 = 0\) si et seulement si \(\sum_i \wp(\varepsilon_i) = 0\) ; si la caractéristique est \(\neq 3\), ces \(\wp\) forment un supplémentaire \(W_E \simeq \underline{t}_E^{\otimes 2}\) de \(\mathcal{F}_1\) dans \(\mathcal{F}_2\), dont les éléments non nuls sont les fonctions de Weierstrass. Corollaire 3 : \[ \mathcal{F}_\infty \simeq k[P, Y] / \bigl(Y^2 - (P^3 + a_1 P^2 + a_2 P + a_3)\bigr), \qquad P \mapsto \wp, \ Y \mapsto y, \] l'involution étant \(Y \mapsto -Y\), et \(\Theta_\delta\) étant induite par la dérivation \(\Theta_\delta P = -2Y\), \(\Theta_\delta Y = -(3P^2 + 2a_1 P + a_2)\), qui respecte l'idéal — on l'obtient en dérivant l'équation.⁴⁹ Remarque : dans les bases ci-dessus, on explicite la multiplication et la dérivation en termes de \(a_1, a_2, a_3\). Inversement, si le discriminant de \(Z^3 + a_1Z^2 + a_2Z + a_3\) est non nul, ces formules définissent une courbe elliptique, revêtement double \(\wp : E \to \mathbb{P}^1_k \simeq E/\{\pm 1\}\) ramifié à l'origine (au-dessus de \(\infty\)) et en ses trois racines, et l'inclusion \(J \subset \mathbb{P}^1_k\) identifie \(\Sigma_J\) à \(\mathbb{P}^1_k\), \(t \mapsto \infty\).

109–112

La loi d'addition (pages 109 à 112)

Un point \(x \neq 0\) est la donnée de \(x_0 = \wp(x)\) et d'une racine \(x' = y(x)\) de \(X'^2 = x_0^3 + a_1x_0^2 + a_2x_0 + a_3\) (deux racines distinctes si \(x_0 \notin D_J\)).

Proposition 3. Pour \(x, y, z \in E(k) \setminus \{0\}\) deux à deux distincts, \(x + y + z = 0\) si et seulement si \[ \det \begin{pmatrix} 1 & \wp(x) & y(x) \\ 1 & \wp(y) & y(y) \\ 1 & \wp(z) & y(z) \end{pmatrix} = 0 . \]

En effet \(x + y + z = 0\) équivaut à \(\{x\} + \{y\} + \{z\} \sim 3\{0\}\), donc à l'existence d'une \(f = y + \alpha \wp + \beta \in \mathcal{F}_3\) de diviseur \(\{x\} + \{y\} + \{z\} - 3\{0\}\) ; cela donne la dépendance des trois colonnes. Inversement, trois points distincts n'ont pas la même image par \(\wp\) (les fibres ont deux points), donc les colonnes \((1)\) et \((\wp)\) sont indépendantes et la relation fournit un tel \(f\), qui s'annule aux trois points distincts et n'a pas d'autre zéro.⁵⁰

Pour calculer \(z = -(x + y)\), avec \(x_0 \neq y_0\) : la droite \(y = \lambda \wp + \mu\), \(\lambda = \frac{x' - y'}{x_0 - y_0}\), \(\mu = \frac{y'x_0 - x'y_0}{x_0 - y_0}\), coupe la cubique en trois points dont \(x_0\) et \(y_0\), d'où par la somme des racines \[ z_0 = -x_0 - y_0 + \Bigl( \frac{x' - y'}{x_0 - y_0} \Bigr)^2 - a_1, \qquad z' = \lambda z_0 + \mu . \] Établie d'abord sous les conditions \(x \neq y\), \(y \neq -2x\), \(x \neq -2y\), la formule vaut par prolongement dès que \(\wp(x) \neq \wp(y)\), c'est-à-dire \(y \notin \{\pm x\}\). C'est la loi d'addition par la corde.

113–117

Les involutions \(\sigma_i\) et les points d'ordre \(4\) (pages 113 à 117)

\(\wp\) induit \(E/\{\pm 1\} \simeq \mathbb{P}^1_k\) avec \(\wp(0_E) = \infty\), ce qui la détermine à une transformation affine près ; la normalisation de Weierstrass \(\sum \zeta_i = 0\), \(\zeta_i = \wp(\varepsilon_i)\), possible en caractéristique \(\neq 3\), la détermine à un facteur près. En général \(a_1 = -\sum \zeta_i\), \(a_2 = \sum \zeta_i \zeta_j\), \(a_3 = -\prod \zeta_i\). L'involution \(\sigma_i\) de \(\mathbb{P}^1_k\) induite par la translation par \(\varepsilon_i\) échange \(\zeta_i \leftrightarrow \infty\) et \(\zeta_j \leftrightarrow \zeta_k\) : \[ \sigma_i Z = \frac{\zeta_i Z + b_i}{Z - \zeta_i}, \qquad b_i = \zeta_j\zeta_k - \zeta_i(\zeta_j + \zeta_k) = 2\zeta_j\zeta_k - a_2 . \] Ses points fixes sont les racines \(Z_i\) de \(Z^2 - 2\zeta_i Z - b_i = 0\), et \[ (Z_i - \zeta_i)^2 = \zeta_i^2 - a_2 + 2\zeta_j\zeta_k = (\zeta_i - \zeta_j)(\zeta_i - \zeta_k) . \] ⁵¹ Les douze points d'ordre \(4\) sont au-dessus des six points \(Z_i\) : choisir \(x_i\) avec \(2x_i = \varepsilon_i\) revient à choisir \(\wp(x_i) = Z_i\) (deux choix), puis \(y(x_i) = Z'_i\) avec \[ Z_i'^2 = (Z_i - \zeta_i)(Z_i - \zeta_j)(Z_i - \zeta_k) \] (deux choix) : quatre choix, comme il se doit. Les points \(x_i\) étant deux à deux distincts et non nuls, la proposition 3 traduit la condition de Jacobi relative d'échelon \(4\), \(\sum_{i \in J} x_i = 0\), en \[ \det \begin{pmatrix} 1 & Z_1 & Z'_1 \\ 1 & Z_2 & Z'_2 \\ 1 & Z_3 & Z'_3 \end{pmatrix} = 0, \qquad \text{i.e.} \qquad \varphi_1 + \varphi_2 + \varphi_3 = 0, \quad \varphi_i = Z_j Z'_k - Z_k Z'_j, \] où \((i, j, k)\) parcourt les permutations circulaires, ou, pour un ordre circulaire \(\omega\), \(j = \omega i\), \(k = \omega^2 i\).

117–125

Vers l'épinglage de Legendre (pages 117 à 125)

Grothendieck voudrait associer canoniquement à une telle donnée \((x_i)_{i \in J}\) un épinglage de Legendre de \(E\), fonctoriel en \(E\) et compatible aux changements de base. Fixons \(\iota \in \mu_4^{*}(k)\) ; la donnée \(\alpha\) devient un ordre circulaire \(\omega\) sur \(J\) (\(\alpha = \iota \wedge \omega\)), et la donnée \(k\) un isomorphisme \(K : \underline{t}_E \simeq \mathcal{O}_t(1)\) dont le carré, lu à travers \(\underline{t}_E^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma_J,t}\) et \(\mathcal{O}_t(2) \simeq \mathcal{O}_t(2)(\underline{\omega}) \simeq T_{\Sigma_J,t}\) (via \(\alpha\)), soit l'identité : \(K\) est déterminé au signe près pour \(\alpha\) fixé, à \(\mu_4\) près sinon.

La suite exacte \(0 \to F_t \to V_J \to \mathcal{O}_t(1) \to 0\), avec \(F_t \simeq \mathcal{O}_t(-1)(\underline{\omega})\) et \(V_J \simeq \Gamma(\Sigma_J, \mathcal{O}(1))\), tensorisée par \(\check F_t \simeq \mathcal{O}_t(1)(\underline{\omega})\), devient canoniquement \[ 0 \to k \cdot 1 \to \Gamma(\Sigma_J, \mathcal{O}(\{t\})) \to T_{\Sigma_J,t} \to 0, \] où le terme médian, les fonctions sur \(\Sigma_J\) à pôle simple en \(t\), est \(\mathcal{F}_2\). Se donner \(K\) équivaut à se donner \(\check K : \check{\underline{t}}_E \simeq \mathcal{O}_t(-1) \simeq \mathcal{O}_t(-1)(\underline{\omega}) \simeq F_t\) (via \(\omega\)), donc un monomorphisme \(\check{\underline{t}}_E \hookrightarrow V_J \subset k^J\) d'image \(F_t\), donc une famille \((\delta_i)_{i \in J} \in \underline{t}_E^J\) avec a) \(\sum \delta_i = 0\), b) une relation de proportionnalité exprimant que l'image est \(F_t\), c) la relation de l'épinglage de Legendre. Écrivant \(\delta_i = \varphi_i^{\omega}(\delta)\, \delta\) pour \(\delta \in \underline{t}_E^{*}\) : \[ \varphi_i^{\omega}(\lambda\delta) = \lambda^{-1} \varphi_i^{\omega}(\delta), \qquad \sum_i \varphi_i^{\omega}(\delta) = 0, \qquad k \cdot (\varphi_i^{\omega}(\delta))_i = F_t, \qquad \varphi_i^{\omega'}(\delta) = \iota_\omega \varphi_i^{\omega}(\delta), \] et la condition b) les détermine à un scalaire près, c) au signe près. « Et la condition c) s'écrit… Dieu sait comment — il faudra y revenir » ; la page 120 s'arrête sur « Posons ».⁵²

La droite \(F_t\) (pages 122 à 125). Trois feuillets pris en largeur, sans titre, font le calcul qui donne la condition b) explicitement. Pour \(\xi_1, \xi_2, \xi_3 \in k\) distincts, le système \(\sum \lambda_i = 0\), \(\sum \lambda_i \xi_i = 0\) a pour solution \(\lambda = (\xi_2 - \xi_3, \xi_3 - \xi_1, \xi_1 - \xi_2)\), et la base \((f_1, f_2)\) de \(V_J\) définie par \(\xi_i f_1 + f_2 = (e_j - e_k)/(\xi_j - \xi_k)\) est \[ \Delta_0 f_1 = \sum_{i} (\xi_j - \xi_k)\, e_i, \qquad -\Delta_0 f_2 = \sum_i \xi_i (\xi_j - \xi_k)\, e_i, \qquad \Delta_0 = (\xi_1 - \xi_2)(\xi_2 - \xi_3)(\xi_3 - \xi_1), \] sommes sur les permutations circulaires \((i, j, k)\). L'isomorphisme \(k^2 \simeq V_J\), \((u, v) \mapsto u f_1 + v f_2\), envoie le point \(\xi_i\) de la droite sur la droite \(k\,(e_j - e_k)\) de \(V_J\), c'est-à-dire sur le point \(i\) de \(\Sigma_J\), et le point \(\infty\) sur \(k f_1\). Avec \(\xi_i = \wp(\varepsilon_i)\), le point \(t = \wp(0_E) = \infty\) correspond donc à \[ F_t = k \cdot \sum_i \bigl(\wp(\varepsilon_j) - \wp(\varepsilon_k)\bigr)\, e_i , \] de sorte que la condition b) s'écrit \(\varphi_i^{\omega}(\delta) = c\,(\zeta_j - \zeta_k)\), \((i, j, k)\) circulaire.⁵³

126–140

V. Approche transcendante — première mouture (pages 126 à 140)

Deux feuillets de titre précèdent cette partie : « Relations entre \(M_{11}\) et \(M_{04}\) » (page 127), sous lequel le dossier ne contient rien, et « Approche transcendante (21 p) » (page 128).⁵⁴ La page 130 est titrée « Modules des courbes elliptiques : théorie transcendante ».

Une courbe elliptique sur \(\mathbb{C}\) est la donnée de la droite complexe \(V = \underline{t}_E\) et d'un réseau \(\Pi \subset V\) ; \(\Pi\) redonne \(V = \Pi \otimes \mathbb{R}\) comme espace réel et \(E = V/\Pi\) comme groupe de Lie réel, la structure complexe venant de celle de \(V\). Une structure complexe sur un espace réel \(V\) équivaut à un sous-espace complexe \(L \subset V_{\mathbb{C}}\) tel que \(\Re : L \to V\) soit un isomorphisme réel ; on munit \(V\) de la structure conjuguée de celle transportée de \(L\), \(u x = \varphi(-i\, \varphi^{-1}(x))\) — choix justifié par la réciproque : pour \(V\) complexe, le noyau \(L'\) de \(V_{\mathbb{C}} \to V\), \(x + iy \mapsto x + uy\), est \(\{x + iux\}\), et \(\Re : L' \to V\) est antilinéaire.⁵⁵ Variante : une structure complexe équivaut à un sous-groupe compact \(\mathbb{U} \subset \operatorname{Aut}_{\mathbb{R}}(V)\) isomorphe au cercle, avec ses deux sous-espaces propres dans \(V_{\mathbb{C}}\), plus le choix d'un de ses deux éléments d'ordre \(4\), c'est-à-dire d'une orientation.

Pour \(V\) de rang réel \(2\), les droites complexes de \(V_{\mathbb{C}}\) sont les points de \(\Sigma = \mathbb{P}(V)(\mathbb{C})\), et \(L\) définit une structure complexe si et seulement si \(L \cap V = 0\), c'est-à-dire si le point n'est pas réel. Les structures complexes sur \(V\) sont donc les points de \(\Sigma \setminus \Sigma_{\mathbb{R}}\), qui a deux composantes \(\Sigma^{*}_\omega\), une par orientation de \(V\). Une courbe elliptique est ainsi la donnée a) d'un \(\mathbb{Z}\)-module libre \(\Pi\) de rang \(2\) (\(= \pi_1(E, 0)\)) ; b) d'une orientation \(\omega\) de \(\Pi_{\mathbb{R}}\), c'est-à-dire d'une base de \(\bigwedge^2 \Pi\) ; c) d'un point de \(\Sigma^{*}_\omega(V)\).

Une rigidification de Torelli est un isomorphisme \(u : \mathbb{Z}^2 \simeq \Pi\) tel que \(z_1 \wedge z_2 = \omega\), \(z_i = u(e_i)\). Il identifie \(\Sigma^{*}_{V,\omega}\) au demi-plan \(\mathfrak{D} = \{z \mid \Im z > 0\}\), le point \(z\) correspondant à la droite \(L_z = \mathbb{C} \cdot (z e_1 + e_2)\). Les classes d'isomorphie de courbes avec rigidification de Torelli sont en bijection avec \(\mathfrak{D}\), et \(\operatorname{SL}(2, \mathbb{Z})\) opère à droite par \(u \mapsto u \circ g\). Le calcul : \(\Re(\lambda(z e_1 + e_2))\) donne \(\lambda_1 = -i/y\), \(\lambda_2 = 1 + ix/y\) comme antécédents de \(e_1, e_2\), de quotient \(-x + iy\) ; comme la structure de \(V\) est la conjuguée, \(z_2/z_1 = -x - iy = -z\), soit \[ z = -(z_2 / z_1) . \] Alors \(u \circ g\) correspond à \(z' = \frac{dz - b}{-cz + a}\), et l'action à gauche \(u \mapsto u \circ g^{-1}\) à \[ z' = \frac{az + b}{cz + d} \] — « victoire, c'est la formule habituelle ». Mais on prendra garde que le nombre attaché à la base \((z_1, z_2)\) n'est pas \(z_2/z_1\), comme il paraîtrait naturel : repérer par \(\tau = z_2/z_1\) donnerait une autre formule de transformation.⁵⁶

Théorème (page 138). Le demi-plan \(\mathfrak{D}\), muni de la famille analytique de courbes elliptiques \(E_z = \mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \mathbb{Z}z)\), est un revêtement universel du champ analytique \(M_{1,1}^{\mathrm{an}}\), correspondant à la classification des courbes à rigidification de Torelli ; son groupe d'automorphismes au-dessus de \(M_{1,1}^{\mathrm{an}}\) est \(\operatorname{SL}(2, \mathbb{Z})\), opérant par \(gz = \frac{az + b}{cz + d}\), ce qui correspond à l'action à gauche \(g \cdot u = u \circ g^{-1}\) sur les structures de Torelli. ⁵⁷

Corollaire 1. \(\mathcal{T}_{1,1} = \pi_1(M_{1,1}) \simeq \operatorname{SL}(2, \mathbb{Z})\), calculé relativement au revêtement universel \(\mathfrak{D}\), et \(M_{1,1} \simeq [\mathfrak{D} / \operatorname{SL}(2, \mathbb{Z})]\). « Utilisant les grands théorèmes orthodoxes » — la théorie de Teichmüller, l'espace de Teichmüller étant ici \(\mathfrak{D}\) : Corollaire 2 : pour une surface compacte orientée de genre \(1\) pointée \((E, a)\), le groupe \(\mathcal{T}\) des classes d'isotopie d'automorphismes directs de \((E, a)\) s'envoie isomorphiquement sur \(\operatorname{Aut}^{+}_{\mathbb{Z}}(\Pi)\), \(\Pi = \pi_1(E, a)_{\mathrm{ab}} = H_1(E, \mathbb{Z})\). Corollaire 3 : pour un groupe \(\pi\) de type \((1, 1)\), \(H = \pi_{\mathrm{ab}}\), libre de rang \(2\), le groupe \(\operatorname{Autext}^{+}(\pi)\) des automorphismes extérieurs compatibles à l'orientation s'envoie isomorphiquement sur \(\operatorname{Aut}^{+}_{\mathbb{Z}}(H) \simeq \operatorname{SL}(2, \mathbb{Z})\).⁵⁸

La page 140 commence le calcul du fibré tangent le long de la section unité de la courbe universelle rigidifiée : comme fibré réel, c'est le fibré sur \(\mathfrak{D}\) défini par l'action standard de \(\operatorname{SL}(2, \mathbb{Z})\) sur \(\mathbb{R}^2\) ; le fibré principal associé s'obtient en remplaçant \(\mathbb{R}^2\) par \((\mathbb{R}^2)^{*} \simeq \mathbb{C}^{*}\), dont un revêtement universel est \(z \mapsto \exp(2i\pi z)\). La page s'arrête là.

141–151

Approche transcendante — seconde mouture (pages 141 à 151)

La seconde rédaction évite la structure conjuguée en prenant directement \(\tau = z_2/z_1\). Une courbe elliptique sur \(\mathbb{C}\) est déterminée par le réseau \(H = \pi_1(E, 0) \simeq H_1(E, \mathbb{Z})\) et une structure complexe sur \(H \otimes \mathbb{R} \simeq \underline{t}_E\) ; sur une base analytique \(S\), par un système local \(\mathcal{H}\) de \(\mathbb{Z}\)-modules libres de rang \(2\) et une structure de fibré en droites complexes sur \(\mathcal{H} \otimes \mathbb{R}\) rendant holomorphes les sections locales de \(\mathcal{H}\). Si \(z_1, z_2\) sont deux sections de \(\mathcal{H}\) formant une base, la structure complexe équivaut à la fonction holomorphe \(\tau = z_2/z_1 : S \to \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}\).

Une structure de Torelli est un isomorphisme \(t : \mathbb{Z}^2_S \simeq \mathcal{H}\) ; la catégorie des courbes munies d'une telle structure est rigide, et ses classes d'isomorphie correspondent aux applications holomorphes \(\tau : S \to \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}\). La structure est stricte si la base \((z_1, z_2)\) est directe pour l'orientation définie par la structure complexe, c'est-à-dire si \(\tau\) est à valeurs dans \(\mathfrak{D}^{+} = \{\Im \tau > 0\}\). Ainsi \(\mathfrak{D}^{+}\) est l'espace analytique de modules fin des courbes munies d'une structure de Torelli stricte, avec la famille \[ \mathfrak{X}_{\mathfrak{D}^{+}} = (\mathfrak{D}^{+} \times \mathbb{C}) / \mathbb{Z}^2, \qquad T_{m,n}(\tau, z) = (\tau, z + m + n\tau), \] de fibres \(\mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\tau) \simeq \mathbb{C}^{*}/q^{\mathbb{Z}}\), \(q = \exp(2i\pi\tau)\), \(|q| < 1\).

\(\operatorname{SL}(2, \mathbb{Z})\) opère à droite par \(t \mapsto t \circ g\) : \(z'_1 = a z_1 + c z_2\), \(z'_2 = b z_1 + d z_2\), d'où \[ \tau \circ g = \frac{d\tau + b}{c\tau + a}, \qquad \tau \circ g^{-1} = \frac{a\tau - b}{-c\tau + d} . \] Aucune de ces deux formules n'est l'action usuelle. Soit \(\tau_\infty = \operatorname{diag}(-1, 1) \in \operatorname{GL}(2, \mathbb{Z})\) ; la conjugaison par \(\tau_\infty\) change \(\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\) en \(\begin{pmatrix} A & -B \\ -C & D \end{pmatrix}\), et \(g \mapsto \tau_\infty(g^{-1}) = \begin{pmatrix} d & b \\ c & a \end{pmatrix}\) — « échange de \(a\) et de \(d\) » — est un anti-automorphisme, qui change l'action à droite en une action à gauche : \[ g \cdot \tau = \tau \circ \tau_\infty(g^{-1}) = \frac{a\tau + b}{c\tau + d} . \] C'est celle qu'on emploiera, « consacrée par l'usage ».⁵⁹ Au niveau de la famille, la multiplication par \((c\tau + d)^{-1}\) envoie \(\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\tau\) sur \(\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\, g\tau\), d'où l'action \[ T_g(\tau, z) = \Bigl( g\tau, \frac{z}{c\tau + d} \Bigr), \qquad T_{g,m,n}(\tau, z) = \Bigl( g\tau, \frac{z}{c\tau + d} + m + n\, g\tau \Bigr) \] du produit semi-direct \(\mathbb{Z}^2 \rtimes \operatorname{SL}(2, \mathbb{Z})\) sur \(\mathfrak{D}^{+} \times \mathbb{C}\), dont on déduit celle de \(\operatorname{SL}(2, \mathbb{Z})\) sur \(\mathfrak{X}_{\mathfrak{D}^{+}}\).

Théorème (page 148). La famille \(\mathfrak{X}_{\mathfrak{D}^{+}} \to \mathfrak{D}^{+}\), modulaire pour la rigidification de Torelli stricte, est un revêtement universel de \(M_{1,1}\), de groupe \(\operatorname{SL}(2, \mathbb{Z})\) opérant par \(g\tau = \frac{a\tau + b}{c\tau + d}\), c'est-à-dire par \(\tau \circ \tau_\infty(g^{-1})\).

Les corollaires 1, 2, 3 (page 149) sont ceux de la première mouture : \(\mathcal{T}_{1,1} \simeq \operatorname{SL}(2, \mathbb{Z})\), et, par les théorèmes sur les \(\mathcal{T}_{g,\nu}\), le groupe des classes d'isotopie d'une surface de genre \(1\) pointée et celui des automorphismes extérieurs directs d'un groupe de type \((1,1)\) s'identifient à \(\operatorname{Aut}^{+}_{\mathbb{Z}}(H)\).

La rigidification différentielle (pages 150 et 151). Une base \(\varphi\) de \(\underline{t}_E\) identifie \(\underline{t}_E\) à \(\mathbb{C}\), et \(E\) à un réseau de \(\mathbb{C}\) ; avec en plus une structure de Torelli stricte, on a \((z_1, z_2) \in \mathbb{C}^{*2}\) avec \(z_2/z_1 \in \mathfrak{D}^{+}\), base directe de \(\mathbb{C}\). Sur \[ P\mathfrak{D}^{+} = \{ (z_1, z_2) \mid z_2/z_1 \in \mathfrak{D}^{+} \}, \qquad \mathfrak{X}_{P\mathfrak{D}^{+}} = (P\mathfrak{D}^{+} \times \mathbb{C})/\mathbb{Z}^2, \] \[ T_{m,n}(z_1, z_2, z) = (z_1, z_2, z + m z_1 + n z_2), \] opèrent \(\operatorname{SL}(2, \mathbb{Z})\), par \(T_g(z_1, z_2, z) = (dz_1 + cz_2, bz_1 + az_2, z)\), et \(\mathbb{C}^{*}\), par les dilatations \(T_\lambda(z_1, z_2, z) = \lambda^{-1}(z_1, z_2, z)\). Chacun opère librement, mais non leur produit : \((-1, -1)\) agit trivialement sur \(P\mathfrak{D}^{+}\), et par \(z \mapsto -z\) sur les fibres.⁶⁰

152–156

VI. Appendice : normalité des extensions quadratiques (pages 152 à 156)

La page 153 s'ouvre sur un calcul de produits dans une extension \(1 \to N \to G \to \mathfrak{S}_A \to 1\), \(N = \operatorname{Ker}(\mathbb{F}_2^A \to \mathbb{F}_2)\), scindée par un relèvement de \(\mathfrak{S}_A\) ; d'une autre plume, sans lien apparent avec la suite.⁶¹ Suit, sous un trait, l'étude de la normalité de \(B = \mathbb{Z}[t][S]/(S^2 - Q(t))\) sur \(A = \mathbb{Z}[t]\), en codimension \(1\).

Normalité de \(B = A[S]/(S^2 - a)\) (page 154), pour \(A\) local régulier de dimension \(1\) — un anneau de valuation discrète, cas des anneaux locaux de codimension \(1\) auquel on l'applique —, d'idéal maximal \(\mathfrak{m}\) et de caractéristique résiduelle \(p\). La condition \(a \notin \mathfrak{m}^2\) est toujours nécessaire, et suffit si \(p \neq 2\).⁶² Si \(p = 2\) :

1. a)\(a \in \mathfrak{m}\) : \(B\) est normal si et seulement si \(a \notin \mathfrak{m}^2\) ;
2. b)\(a\) inversible, d'image \(\dot a\) dans \(k = A/\mathfrak{m}\) : \(1^\circ\)) si \(\dot a \notin k^2\), \(B\) est normal, de corps résiduel \(k(\sqrt{\dot a})\) ; \(2^\circ\)) si \(\dot a = \dot\alpha^2\), écrivons \(a = \alpha^2 - b\), \(b \in \mathfrak{m}\) ; avec \(T = S - \alpha\), \(B \simeq A[T]/(T^2 + 2\alpha T + b)\), et comme \(T^2\) et \(2\alpha T\) sont dans le carré de l'idéal maximal (\(2 \in \mathfrak{m}\)), \(B\) est normal si et seulement si \(b \notin \mathfrak{m}^2\).

La classe de \(b\) dans \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\) ne dépend pas du choix de \(\alpha\).⁶³ Les cas normaux sont donc : \(a \in \mathfrak{m} \setminus \mathfrak{m}^2\) ; \(a = \alpha^2 - b\) avec \(\alpha\) inversible et \(b \in \mathfrak{m} \setminus \mathfrak{m}^2\) ; \(a\) inversible et \(\dot a \notin k^2\).

Application aux revêtements quadratiques de \(\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}\) (pages 154 et 155). La fibre générique est une extension quadratique de \(\mathbb{Q}(t)\), donnée par un élément de \(\mathbb{Q}(t)^{*}/\mathbb{Q}(t)^{*2}\), représenté de façon unique par \(\pm q\, Q\) : \(q\) entier positif sans facteur carré, \(Q \in \mathbb{Z}[t]\) primitif, sans facteur carré, de coefficient dominant positif. Pour \(p\) impair, l'extension n'est génériquement étale en \(p\) que si \(p \nmid q\) ; donc \(q \in \{1, 2\}\). En caractéristique \(2\), \(S^2 - P(T)\) n'est jamais génériquement étale : pour obtenir quelque chose de génériquement étale en \(2\) après normalisation, il faut que \(B(2)\) ne soit pas normal, d'où \(q = 1\) et \(\varepsilon Q\) carré modulo \(4\) — ce qui fixe le signe \(\varepsilon\), \(-1\) n'étant pas un carré modulo \(4\). « Cette condition est aussi suffisante… », affirme la page, sans le montrer.

Exemple (« Legendre modulaires des courbes elliptiques ») : \(Q(T) = T(T - \lambda)\), \(\lambda \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\), dans le cas qui intéresse Grothendieck \(\lambda = 2^\alpha 3^\beta\), « l'invariant modulaire exceptionnel ».⁶⁴ Si \(4 \mid \lambda\), \(Q \equiv T^2 \pmod 4\), et l'on trouve un revêtement étale de \(\mathbb{A}^1_{\mathbb{Z}} \setminus \{0, \lambda\}\) ; la page passe à la coordonnée \(T' = 1/T\) pour regarder ce qui se passe à l'infini, et s'arrête sur la formule. La page 156 reprend quelques calculs (\(T^2 + 2\alpha T + b\), \(4T - 1\)) dans les blancs d'une convocation tamponnée des 9 et 16 juin 1981.