Les pages 82 à 84 et 86 à 93 sont un tapuscrit anonyme en deux suites
paginées à la machine, « B-1 » à « B-3 » (bibliographie) et « T-1 » à
« T-8 » (texte), dont la page de titre (page 86) porte « COURBES
ELLIPTIQUES – FORMULAIRE (Traduction libre d'un manuscrit inédit de
TATE) ». C'est donc le texte d'un autre auteur, J. Tate, traduit par une
main qui n'est pas nommée : son contenu suit celui des feuillets manuscrits
de Tate copiés pages 35 à 39 (formes canoniques pour p\neq 2,3, p=3,
p=2, « courbe type », groupe d'automorphismes d'ordre 24). Il n'est pas
recomposé ; chaque page reçoit une note, avec les marques manuscrites en
entier. Aucune n'est un mot : ce sont des traits et des chiffres au crayon
ou à l'encre, qu'on ne peut attribuer à une main.
Page B-1, « COURBES ELLIPTIQUES : BIBLIOGRAPHIE » : 1) Fonctions
elliptiques et modulaires (Jordan, Hurwitz–Courant 4e
éd. 1964, Fricke) ; 2) Multiplication complexe (méthodes analytiques)
(Weber, Fueter, Hasse, Séminaire de l'IAS 1957-58, Deuring) ; 3) Corps de
fonctions algébriques d'une variable (Chevalley, Eichler). Aucune marque
manuscrite.
Page B-2 : 4) Courbes algébriques (Weil 1948, Serre 1959) ; 5) Courbes
elliptiques (théorie algébrique) (Hasse 1936, Deuring 1949) ; 6) Schémas
modulaires (théorie algébrique) (trois articles d'Igusa, 1959) ; 7) Variétés
abéliennes – Schémas abéliens (Weil 1948, Lang 1959, Grothendieck,
« Fondements de la Géométrie algébrique », exp. 232 et 236, Néron 1964,
Mumford 1965). Au crayon, dans la marge gauche, trois traits obliques : en
regard de Weil, Sur les courbes algébriques, de Weil, Variétés
abéliennes, et de Lang et Grothendieck.
Page B-3 : 8) Multiplication complexe (théorie algébrique) (Deuring,
Shimura–Taniyama, Weil, Deuring) ; 9) Autres questions arithmétiques
relatives aux courbes elliptiques (Lang 1962, Cassels 1962, Serre, Clermont
1964, Tate, Haverford 1961) ; 10) Multiplication complexe « formelle »
(Lubin 1965, Lubin–Tate 1965). Au crayon, dans la marge gauche, deux traits
obliques : en regard de Shimura–Taniyama et de Lang–Cassels.
Page T-1, page de titre du formulaire (voir la note de la page 82) :
§1 « Formules générales » : coordonnées x, y à pôles double et triple
en O, équation (*) y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6, poids,
définition de b_2, b_4, b_6, b_8 et 4b_8=b_2b_6-b_4^2. Au crayon,
un petit trait sous le sous-titre.
Page T-2 : c_4, c_6, leur lien avec g_2, g_3, \Delta,
1728\,\Delta=c_4^3-c_6^2, j, F_x, F_y et la forme \pi. À la main,
des factorisations sous les nombres : « 2^2.3 » sous le 12 de
c_4=12\,g_2, « 2^3.3^3 » sous le 216 de c_6=216\,g_3, « 2^6 3^3 »
sous le 1728 de 1728\,\Delta=c_4^3-c_6^2.
Page T-3 : §2 « Changements de coordonnées » : x\circ f=u^2x'+r,
y\circ f=u^3y'+su^2x'+t, \pi\circ f=u^{-1}\pi', transformation des
a_i, des b_i (« équation de discr. c_4 », « équ. de discr.
16\,\Delta »), des c_i, u^{12}\Delta'=\Delta, j'=j. Aucune marque
manuscrite.
Page T-4 : §3 « Forme canonique (p\neq 2,3) » : y^2=x^3+a_4x+a_6,
\pi=dx/2y, c_4, c_6, \Delta, retour à la forme de Weierstrass
Y^2=4X^3-g_2X-g_3, isomorphismes x f=u^2x', y f=u^3y' ; cas général
j\neq 0,1728, cas j=1728 (courbe type y^2=x^3-x). Aucune marque
manuscrite.
Page T-5 : cas j=0 (courbe type y^2=x^3-1) ; §4 « Forme canonique
(p=3) » : y^2=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6, b_i, c_i, \Delta,
j=a_2^6/\Delta ; cas général j\neq 0, forme réduite
y^2=x^3+a_2x^2+a_6, isomorphismes et automorphismes u=\pm1. Aucune
marque manuscrite.
Page T-6 : cas j=0 en caractéristique 3 : forme réduite
y^2=x^3+a_4x+a_6, isomorphismes, condition d'isomorphie, extension
séparable de degré \leq 12, automorphismes, groupe d'ordre 12, anneau
d'endomorphismes ordre maximal d'un corps de quaternions ramifié en 3 et
\infty, courbe type y^2=x^3-x. À la main : dans les deux équations des
automorphismes (u=\pm 1 et u=\pm i), la fin du membre de gauche est
biffée d'un gribouillis, et le « 2 » de « +\,2a_6 » dans la seconde
paraît ajouté à la main, de sorte qu'elles se lisent r^3+a_4r=0 et
r^3+a_4r+2a_6=0.
Page T-7 : §5 « Forme canonique (p=2) » : cas général a_1\neq 0,
forme y^2+xy=x^3+a_2x^2+a_6, j=1/a_6, isomorphismes, courbe type
y^2+xy=x^3+a_6 ; cas a_1=0, forme y^2+a_3y=x^3+a_4x+a_6,
\Delta=a_3^4, j=0. Aucune marque manuscrite.
Page T-8, dernière du tapuscrit : isomorphismes dans le cas a_1=0,
extension séparable de degré \leq 24, courbe type y^2-y=x^3, groupe
d'automorphismes d'ordre 24, anneau d'endomorphismes isomorphe aux
« quaternions entiers » de Hurwitz. Aucune marque manuscrite.
Pages 95 à 99 : notes manuscrites de sa main, à l'encre, sans pagination
propre ; les pages 95, 97, 98 et 99 sont de la même encre bleu-noir et
portent sur le « site modulaire » M (le champ des courbes elliptiques sur
\mathbf{Z}) et ses sous-sites fermés M' = V(c_4) et M'' = V(c_6).
En haut de la page, un dessin : une droite horizontale marquée
\Delta = 0 ; plus bas une droite marquée « j=0 i.e. c_4=0 » et une
courbe marquée « j=12^3 i.e. c_6=0 », qui la coupe en deux points,
au-dessus de p=2 (à gauche) et de p=3 (à droite), reliés par des traits
pointillés à une droite de base où ces deux points sont marqués. Légendes :
(groupe d'autom. d'ordre 24)
flèche vers le point au-dessus de p=2 ;
(groupe d'autom. d'ordre 12)
flèche vers le point au-dessus de p=3 ;
diviseur de multiplicité 2 (groupe d'autom. d'ordre 4 en car.
\neq 2,3)
sous la courbe j=12^3 ;
diviseur de multiplicité 3 (groupe d'autom. d'ordre 6 en car.
\neq 2,3)
sous la droite j=0.
À droite du dessin :
\begin{cases}
\operatorname{div}(j)^{+} = 3\operatorname{div}(c_4) & \tfrac13\operatorname{div}(j)^{+} = \operatorname{div} c_4\\
\operatorname{div}(j)^{-} = M^{(\infty)} & \\
\operatorname{div}(j-12^3)^{+} = 2\operatorname{div}(c_6) & \tfrac12\operatorname{div}(j-12^3)^{+} = \operatorname{div} c_6\\
\operatorname{div}(j-12^3)^{-} = M^{(\infty)} & \\
M^{(\infty)} = \operatorname{div}\Delta &
\end{cases}
un symbole biffé devant la dernière ligne, à gauche de
l'accolade.
\begin{cases}
\mathrm{cl}\bigl(\tfrac13\operatorname{div}(j)^{+}\bigr) = \omega^{4}\\
\mathrm{cl}\bigl(\tfrac12\operatorname{div}(j-12^3)^{+}\bigr) = \omega^{6}\\
\mathrm{cl}(M^{\infty}) = \omega^{12}
\end{cases}
dans la première ligne, un symbole biffé avant \tfrac13.
a) Dans l'complémentaire ouvert \bigl(M'_6 = M' \mid (\operatorname{Spec}
\mathbf{Z} - \lbrace 2\rbrace - \lbrace 3\rbrace)\bigr), \operatorname{Spec}
\mathbf{Z} - \lbrace 2\rbrace - \lbrace 3\rbrace = \operatorname{Spec}\mathbf{Z}[\tfrac16],
c'est isomorphe à \operatorname{Spec}\mathbf{Z}[\tfrac16]
B_{\mu_6} \mid \operatorname{Spec}\mathbf{Z}[\tfrac16] ; on peut le décrire
de genre 1 elliptiques sur
S, avec c_4=0 (où 6 inv. sur S) comme les torseurs sous \mu_6 : à
E correspond le torseur de ses isom. avec la courbe d'équation
b) La fibre de M' en p=2 est de régulier ?? Non,
pas en p=2
Sous-site fermé V(c_6) = M'' du site modulaire.
a) Dans l'ouvert \bigl(M''_6 = M'' \mid \operatorname{Spec}\mathbf{Z}[\tfrac16]
= M'' - M''_{(2)} - M''_{(3)}\bigr), c'est \simeq B_{\mu_4} \mid
\operatorname{Spec}\mathbf{Z}[\tfrac16]. (Il y a 32 courbes elliptiques avec
c_6=0 sur \mathbf{Z}[\tfrac16], choisir comme
origine…)
b) M''_{(2)} est de multiplicité 6, M''_{(3)} est de multiplicité 3.
Donc M'' est ramifié sur \mathbf{Z} exactement en l'unique pt sur p=2
et l'unique point sur p=3. M'' est-il régulier ?? Non, pas en
p=2,3 !
La page 96, qui n'est pas transcrite, est une lettre à lui adressée,
datée « Wattignies 9/III/68 » ; si les notes des pages 97 et suivantes sont
écrites au dos de cette feuille, elles sont postérieures à mars 1968. La
page 97 est un brouillon rapide et très raturé : les formules se lisent, une
bonne part des phrases qui les relient ne se lit pas. M_3 désigne
vraisemblablement le site modulaire muni d'une 3-rigidification (structure
de niveau 3), au-dessus de \mu_3^{*}.
Donc il s'ensuit que M_3 degré ; on
1. Cela provient du fait que ()
. avec c_4=0,
\mathrm{SL}(2,\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}), l'une des
orbites qui agit transitivement
bases bases de {}_3E deux.
Il y a sans exclure 2 (ni 3 ?). Comme
identiques
elliptiques : \mu_3^{*}[\tfrac13]. Donc chacune des
de la courbe elliptique
au fait que les fibres de E (de façon
unique) isomorphes comme courbes elliptiques, via d'échelon 3 ; mais
le second énoncé trop lâche…
note de marge à gauche, dans une accolade, en regard des lignes
précédentes.
À examiner si les le groupe qui laisse
l'application opère via \mathbf{F}_4^{*}.
\mathbf{F}_4^{*} \cdot \mathbf{F}_4. Notons que B' deux distincts, il opérerait
Zariski, s'il y a B' Zariski de
M_3 en a mais aussi trivialement sur l'espace tangent B' et G')
Donc les quatre…
\mapsto \mathbf{F}_4 \qquad \begin{pmatrix} * & * \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
cette matrice et le symbole à sa gauche sont écrits dans la marge
gauche, en regard de « opère via \mathbf{F}_4^{*} » ; la phrase finale
s'interrompt au bas de la page.
À gauche, en haut de la page, un dessin : sous une accolade marquée
M_3, un faisceau de droites se coupant en un point a, dont des flèches
désignent les branches M'_3 ; en dessous, une droite épaisse marquée
\mu_3^{*} avec un point b = \operatorname{Spec}\mathbf{F}_4, et une droite
marquée \operatorname{Spec}\mathbf{Z} avec le point
\operatorname{Spec}\mathbf{F}_2, reliés par un pointillé vertical. Une
courbe sépare ce dessin du texte.
Paramètres locaux du site modulaire :
titre souligné, de sa main, en tête de la page.
a') Dans le complémentaire de M' \cup M'' \cup M^{\infty} (j=0,
j=12^3, j=\infty, avec sous chacun, respectivement, c_4=0, c_6=0,
\Delta=0) et on peut prendre la fonction j.
a) Dans le complémentaire de M' \cup M'', on peut prendre 1/j ou
\dfrac{1}{j-12^3}.
la lettre a) est surchargée d'une tache d'encre.
b) Dans le
b) Au voisinage de (M')_6, on peut prendre c_4.
c) — (M'')_6, — c_6.
les traits tiennent lieu de « Au voisinage de » et de « on peut
prendre ».
d) Au voisinage du point p=2, c_4=0, c_6=0 on peut prendre a_1.
e) Au voisinage du point p=3, c_4=0, c_6=0 — b_2.
Question Donner la structure de l'anneau local complété de M en un
point géom. où c_4=0, c_6=0 [il y en a
Un trait horizontal traverse la page.
G d'ordre 48 ; B d'ordre 12 ; G/B d'ordre 4 ;
B/\mu_6 d'ordre 2 \simeq \mu_2; \mu_6 = \mu_2 \times \mu_3 (\mu_2 =
centre, \mu_3 = B_u); G' = \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}), B' =
G' \cap B ; G'/B' d'ordre 4… ; G' d'ordre 24 ; B' d'ordre 6
colonne dans la marge gauche, entourée d'un trait, en regard du second
alinéa.
Suite de la page 98 (« TSVP »). Comme la page 97, brouillon rapide et
très raturé.
(de M'_3 en a) aux composantes irréductibles
sont G' opère L'opération
stable précisément le
2-Sylow P' de G', qui est d'indice 8,
Dans la marge gauche, trois dessins : un croquis de courbes biffé par
un gribouillis ; sous une accolade marquée M'_3, un faisceau de droites
passant par le point a, le tout sous une accolade marquée M_3 ; puis,
reliées par deux flèches vers le bas, une droite épaisse marquée
\mu_3^{*} avec le point b, et une droite marquée \mathbf{Z} avec le
point 2.
Attention, \mu_3
au-dessus de M'_3[\tfrac12]. n'est pas central ! // Ceci
des La des
M'_3 qui aussi
\mathrm{SL}(2,\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}) = G' sur M'_3.
\mathrm{SL}(2,\mathbf{Z}/3\mathbf{Z})/\mu_2 l'opération des
…