Cote n° 63 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Formulaire courbes elliptiques : notes et copies de notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.), copies d'articles (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964-vers 1970]
Édition de démonstration

82Les pages 82 à 84 et 86 à 93 sont un tapuscrit anonyme en deux suites paginées à la machine, « B-1 » à « B-3 » (bibliographie) et « T-1 » à « T-8 » (texte), dont la page de titre (page 86) porte « COURBES ELLIPTIQUES – FORMULAIRE (Traduction libre d'un manuscrit inédit de TATE) ». C'est donc le texte d'un autre auteur, J. Tate, traduit par une main qui n'est pas nommée : son contenu suit celui des feuillets manuscrits de Tate copiés pages 35 à 39 (formes canoniques pour \(p\neq 2,3\), \(p=3\), \(p=2\), « courbe type », groupe d'automorphismes d'ordre 24). Il n'est pas recomposé ; chaque page reçoit une note, avec les marques manuscrites en entier. Aucune n'est un mot : ce sont des traits et des chiffres au crayon ou à l'encre, qu'on ne peut attribuer à une main. Page B-1, « COURBES ELLIPTIQUES : BIBLIOGRAPHIE » : 1) Fonctions elliptiques et modulaires (Jordan, Hurwitz–Courant 4^e éd. 1964, Fricke) ; 2) Multiplication complexe (méthodes analytiques) (Weber, Fueter, Hasse, Séminaire de l'IAS 1957-58, Deuring) ; 3) Corps de fonctions algébriques d'une variable (Chevalley, Eichler). Aucune marque manuscrite.

83Page B-2 : 4) Courbes algébriques (Weil 1948, Serre 1959) ; 5) Courbes elliptiques (théorie algébrique) (Hasse 1936, Deuring 1949) ; 6) Schémas modulaires (théorie algébrique) (trois articles d'Igusa, 1959) ; 7) Variétés abéliennes – Schémas abéliens (Weil 1948, Lang 1959, Grothendieck, « Fondements de la Géométrie algébrique », exp. 232 et 236, Néron 1964, Mumford 1965). Au crayon, dans la marge gauche, trois traits obliques : en regard de Weil, Sur les courbes algébriques, de Weil, Variétés abéliennes, et de Lang et Grothendieck.

84Page B-3 : 8) Multiplication complexe (théorie algébrique) (Deuring, Shimura–Taniyama, Weil, Deuring) ; 9) Autres questions arithmétiques relatives aux courbes elliptiques (Lang 1962, Cassels 1962, Serre, Clermont 1964, Tate, Haverford 1961) ; 10) Multiplication complexe « formelle » (Lubin 1965, Lubin–Tate 1965). Au crayon, dans la marge gauche, deux traits obliques : en regard de Shimura–Taniyama et de Lang–Cassels.

86Page T-1, page de titre du formulaire (voir la note de la page 82) : §1 « Formules générales » : coordonnées \(x\), \(y\) à pôles double et triple en \(O\), équation (*) \(y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6\), poids, définition de \(b_2\), \(b_4\), \(b_6\), \(b_8\) et \(4b_8=b_2b_6-b_4^2\). Au crayon, un petit trait sous le sous-titre.

87Page T-2 : \(c_4\), \(c_6\), leur lien avec \(g_2\), \(g_3\), \(\Delta\), \(1728\,\Delta=c_4^3-c_6^2\), \(j\), \(F_x\), \(F_y\) et la forme \(\pi\). À la main, des factorisations sous les nombres : « \(2^2.3\) » sous le 12 de \(c_4=12\,g_2\), « \(2^3.3^3\) » sous le 216 de \(c_6=216\,g_3\), « \(2^6 3^3\) » sous le 1728 de \(1728\,\Delta=c_4^3-c_6^2\).

88Page T-3 : §2 « Changements de coordonnées » : \(x\circ f=u^2x'+r\), \(y\circ f=u^3y'+su^2x'+t\), \(\pi\circ f=u^{-1}\pi'\), transformation des \(a_i\), des \(b_i\) (« équation de discr. \(c_4\) », « équ. de discr. \(16\,\Delta\) »), des \(c_i\), \(u^{12}\Delta'=\Delta\), \(j'=j\). Aucune marque manuscrite.

89Page T-4 : §3 « Forme canonique (\(p\neq 2,3\)) » : \(y^2=x^3+a_4x+a_6\), \(\pi=dx/2y\), \(c_4\), \(c_6\), \(\Delta\), retour à la forme de Weierstrass \(Y^2=4X^3-g_2X-g_3\), isomorphismes \(x f=u^2x'\), \(y f=u^3y'\) ; cas général \(j\neq 0,1728\), cas \(j=1728\) (courbe type \(y^2=x^3-x\)). Aucune marque manuscrite.

90Page T-5 : cas \(j=0\) (courbe type \(y^2=x^3-1\)) ; §4 « Forme canonique (\(p=3\)) » : \(y^2=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6\), \(b_i\), \(c_i\), \(\Delta\), \(j=a_2^6/\Delta\) ; cas général \(j\neq 0\), forme réduite \(y^2=x^3+a_2x^2+a_6\), isomorphismes et automorphismes \(u=\pm1\). Aucune marque manuscrite.

91Page T-6 : cas \(j=0\) en caractéristique 3 : forme réduite \(y^2=x^3+a_4x+a_6\), isomorphismes, condition d'isomorphie, extension séparable de degré \(\leq 12\), automorphismes, groupe d'ordre 12, anneau d'endomorphismes ordre maximal d'un corps de quaternions ramifié en 3 et \(\infty\), courbe type \(y^2=x^3-x\). À la main : dans les deux équations des automorphismes (\(u=\pm 1\) et \(u=\pm i\)), la fin du membre de gauche est biffée d'un gribouillis, et le « 2 » de « \(+\,2a_6\) » dans la seconde paraît ajouté à la main, de sorte qu'elles se lisent \(r^3+a_4r=0\) et \(r^3+a_4r+2a_6=0\).

92Page T-7 : §5 « Forme canonique (\(p=2\)) » : cas général \(a_1\neq 0\), forme \(y^2+xy=x^3+a_2x^2+a_6\), \(j=1/a_6\), isomorphismes, courbe type \(y^2+xy=x^3+a_6\) ; cas \(a_1=0\), forme \(y^2+a_3y=x^3+a_4x+a_6\), \(\Delta=a_3^4\), \(j=0\). Aucune marque manuscrite.

93Page T-8, dernière du tapuscrit : isomorphismes dans le cas \(a_1=0\), extension séparable de degré \(\leq 24\), courbe type \(y^2-y=x^3\), groupe d'automorphismes d'ordre 24, anneau d'endomorphismes isomorphe aux « quaternions entiers » de Hurwitz. Aucune marque manuscrite.

95Pages 95 à 99 : notes manuscrites de sa main, à l'encre, sans pagination propre ; les pages 95, 97, 98 et 99 sont de la même encre bleu-noir et portent sur le « site modulaire » \(M\) (le champ des courbes elliptiques sur \(\mathbf{Z}\)) et ses sous-sites fermés \(M' = V(c_4)\) et \(M'' = V(c_6)\).

En haut de la page, un dessin : une droite horizontale marquée \(\Delta = 0\) ; plus bas une droite marquée « \(j=0\) i.e. \(c_4=0\) » et une courbe marquée « \(j=12^3\) i.e. \(c_6=0\) », qui la coupe en deux points, au-dessus de \(p=2\) (à gauche) et de \(p=3\) (à droite), reliés par des traits pointillés à une droite de base où ces deux points sont marqués. Légendes :

(groupe d'autom. d'ordre 24) flèche vers le point au-dessus de \(p=2\) ; (groupe d'autom. d'ordre 12) flèche vers le point au-dessus de \(p=3\) ; diviseur de multiplicité 2 (groupe d'autom. d'ordre 4 en car. \(\neq 2,3\)) sous la courbe \(j=12^3\) ; diviseur de multiplicité 3 (groupe d'autom. d'ordre 6 en car. \(\neq 2,3\)) sous la droite \(j=0\).

À droite du dessin : \[ \begin{cases} \operatorname{div}(j)^{+} = 3\operatorname{div}(c_4) & \tfrac13\operatorname{div}(j)^{+} = \operatorname{div} c_4\\ \operatorname{div}(j)^{-} = M^{(\infty)} & \\ \operatorname{div}(j-12^3)^{+} = 2\operatorname{div}(c_6) & \tfrac12\operatorname{div}(j-12^3)^{+} = \operatorname{div} c_6\\ \operatorname{div}(j-12^3)^{-} = M^{(\infty)} & \\ M^{(\infty)} = \operatorname{div}\Delta & \end{cases} \] un symbole biffé […] devant la dernière ligne, à gauche de l'accolade. \[ \begin{cases} \mathrm{cl}\bigl(\tfrac13\operatorname{div}(j)^{+}\bigr) = \omega^{4}\\ \mathrm{cl}\bigl(\tfrac12\operatorname{div}(j-12^3)^{+}\bigr) = \omega^{6}\\ \mathrm{cl}(M^{\infty}) = \omega^{12} \end{cases} \] dans la première ligne, un symbole biffé […] avant \(\tfrac13\).

[…] \(V(c_4) = M'\), sous-site fermé (du site modulaire […] \(M\)) défini par l'équation \(c_4=0\).

a) Dans l'complémentaire ouvert \(\bigl(M'_6 = M' \mid (\operatorname{Spec} \mathbf{Z} - \lbrace 2\rbrace - \lbrace 3\rbrace)\bigr)\), \(\operatorname{Spec} \mathbf{Z} - \lbrace 2\rbrace - \lbrace 3\rbrace = \operatorname{Spec}\mathbf{Z}[\tfrac16]\), c'est isomorphe à \(\operatorname{Spec}\mathbf{Z}[\tfrac16]\) \(B_{\mu_6} \mid \operatorname{Spec}\mathbf{Z}[\tfrac16]\) ; on peut le décrire […] en courbes de genre 1 ⌜elliptiques⌝ sur \(S\), avec \(c_4=0\) (où 6 inv. sur \(S\)) comme les torseurs sous \(\mu_6\) : à \(E\) correspond le torseur de ses isom. avec la courbe d'équation […] homogène \(y^2=x^3+1\). [NB Il y a en tout 72 courbes elliptiques sur \(\mathbf{Z}[\tfrac16]\) avec \(c_4=0\), car \[ H^1(\operatorname{Spec}\mathbf{Z}[\tfrac16], \mu_6) \simeq \bigl(\mathbf{Z}[\tfrac16]\bigr)^{*}_{6} \simeq \mathbf{Z}/6\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/6\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \] avant \(\bigl(\mathbf{Z}[\tfrac16]\bigr)^{*}_{6}\), une expression biffée […] ; le crochet ouvert après « NB » n'est pas refermé. L'indice 6 note sans doute le quotient par les puissances sixièmes.

b) La fibre de \(M'\) en \(p=2\) est de […] multiplicité 4 en un unique point, en \(p=3\) est de multiplicité 2. Donc \(M'\) est ramifié sur \(\mathbf{Z}\) ⌜exactement⌝ en l'unique point au-dessus de \(p=2\) et l'unique point au-dessus de \(p=3\). \(M'\) est-il régulier ?? Non, pas en \(p=2\) […], mais régulier en \(p=3\).

Sous-site fermé \(V(c_6) = M''\) du site modulaire.

a) Dans l'ouvert \(\bigl(M''_6 = M'' \mid \operatorname{Spec}\mathbf{Z}[\tfrac16] = M'' - M''_{(2)} - M''_{(3)}\bigr)\), c'est \(\simeq B_{\mu_4} \mid \operatorname{Spec}\mathbf{Z}[\tfrac16]\). (Il y a 32 courbes elliptiques avec \(c_6=0\) sur \(\mathbf{Z}[\tfrac16]\), […] […] choisir comme origine…)

b) \(M''_{(2)}\) est de multiplicité 6, \(M''_{(3)}\) est de multiplicité 3. Donc \(M''\) est ramifié sur \(\mathbf{Z}\) exactement en l'unique pt sur \(p=2\) et l'unique point sur \(p=3\). \(M''\) est-il régulier ?? Non, pas en \(p=2,3\) !

97La page 96, qui n'est pas transcrite, est une lettre à lui adressée, datée « Wattignies 9/III/68 » ; si les notes des pages 97 et suivantes sont écrites au dos de cette feuille, elles sont postérieures à mars 1968. La page 97 est un brouillon rapide et très raturé : les formules se lisent, une bonne part des phrases qui les relient ne se lit pas. \(M_3\) désigne vraisemblablement le site modulaire muni d'une 3-rigidification (structure de niveau 3), au-dessus de \(\mu_3^{*}\).

Donc il s'ensuit que \(M_3\) […] \(\cap V(c_4)\) a exactement 4 composantes irréductibles, […] qui ne peuvent se rencontrer qu'au-dessus du point \(p=2\). Il y a exactement 1 composante connexe, […] la fibre de \(M_3[\tfrac13]\) au-dessus de l'unique point de \(\mu_3^{*}\) sur \(p=2\) [qui correspond au […] corps résiduel \(\mathbf{F}_4 = \mathbf{F}_2(\sqrt[3]{1})\)] est de degré […] ; on […] […] 1. Cela provient du fait que ⌜([…])⌝ […] […] […] […]. […] […] […] […] avec \(c_4=0\), […] \(\mathrm{SL}(2,\mathbf{Z}/3\mathbf{Z})\), […] […] […] l'une des orbites […] […] qui agit transitivement […] […] […] […] […] bases […] bases de \({}_3E\) […] deux.

[…] La courbe \(E\) […] ⌜a⌝ bonne réduction sur l'anneau des […] entiers […] de \(\mu_3^{*}\) […] \(\mathbf{Q}(\sqrt[3]{1})\), Il y a sans exclure 2 (ni 3 ?). Comme […] \(M_3^{*}\) […] est injectif […] de \(\mu_3^{*}[\tfrac13]\), il s'ensuit que les […] de \(M_3 \cap V(c_4)\) […] au-dessus de \(\mu_3^{*}[\tfrac13]\) et […] irréductibles (qui sont entières sur \(\mu_3^{*}[\tfrac13]\)) […] […] identiques ⌜elliptiques⌝ : \(\mu_3^{*}[\tfrac13]\). Donc chacune des […] de la courbe ⌜elliptique⌝ […] sur \(M_3\) aux composantes irréductibles de \(\mu_3^{*}[\tfrac13]\) […] isomorphes : \(E\) […] plus […] […] extensions canoniques : \(\mu_3^{*}[\tfrac13]\) […] [\(p=2\)], mais un des […] […] […] 3-rigidifications différentes. Le second […] […] […] […] composantes […] […] […] de \(M_3^{*}\) en le point \(a\).

[…] au fait que les fibres […] de \(E\) […] (de façon unique) isomorphes comme courbes elliptiques, via […] d'échelon 3 ; mais le second énoncé […] trop lâche… note de marge à gauche, dans une accolade, en regard des lignes précédentes.

À examiner si les […] 4 composantes de \((M'_3)_2\) […] ont « tangentes distinctes » ; comme le corps résiduel est \(\mathbf{F}_4\), et que \(\operatorname{card}\mathbf{P}^1_{\mathbf{F}_4} = 5\), […] il faut […] […] […] […] […] les […] […] […] les droites […] […] Zariski en \(a\). Or on […] […] […] […] ⌜de l'autre⌝ […] opérations de \(G' = \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z}/3\mathbf{Z})\). [[…] […] […] […] \(\mu_3\) […] […]] […] […] […] […] l'espace […] de Zariski […] en \(a\), […] \(T_a \to T_b\), […] ([…] trivial sur \(T_b\)) le groupe qui laisse […] […] l'application […] […] […] opère via \(\mathbf{F}_4^{*}\). \(\mathbf{F}_4^{*} \cdot \mathbf{F}_4\). Notons que \(B'\) […] ⌜[…]⌝ […], donc opère […] […] […] […] […] […] deux distincts, il opérerait […] […] Zariski, […] s'il y a \(B'\) […] […] Zariski de \(M_3\) en \(a\) mais aussi trivialement sur l'espace tangent […] \(B'\) et \(G'\)) […] alors (comme le […] de \(G'\) engendré […] […] est transitif) sur l'ens. des tangentes des composantes de \(M'_3\) en \(a\), on aurait une contradiction. Donc les quatre… \[ \mapsto \mathbf{F}_4 \qquad \begin{pmatrix} * & * \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] cette matrice et le symbole à sa gauche sont écrits dans la marge gauche, en regard de « opère via \(\mathbf{F}_4^{*}\) » ; la phrase finale s'interrompt au bas de la page.

À gauche, en haut de la page, un dessin : sous une accolade marquée \(M_3\), un faisceau de droites se coupant en un point \(a\), dont des flèches désignent les branches \(M'_3\) ; en dessous, une droite épaisse marquée \(\mu_3^{*}\) avec un point \(b = \operatorname{Spec}\mathbf{F}_4\), et une droite marquée \(\operatorname{Spec}\mathbf{Z}\) avec le point \(\operatorname{Spec}\mathbf{F}_2\), reliés par un pointillé vertical. Une courbe sépare ce dessin du texte.

98

Paramètres locaux du site modulaire :

titre souligné, de sa main, en tête de la page.

a') Dans le complémentaire de \(M' \cup M'' \cup M^{\infty}\) (\(j=0\), \(j=12^3\), \(j=\infty\), avec sous chacun, respectivement, \(c_4=0\), \(c_6=0\), \(\Delta=0\)) et on peut prendre la fonction \(j\).

a) Dans le complémentaire de \(M' \cup M''\), on peut prendre \(1/j\) ou \(\dfrac{1}{j-12^3}\). la lettre a) est surchargée d'une tache d'encre.

b) Dans le […] […]

b) Au voisinage de \((M')_6\), on peut prendre \(c_4\).

c) — \((M'')_6\), — \(c_6\). les traits tiennent lieu de « Au voisinage de » et de « on peut prendre ».

d) Au voisinage du point \(p=2\), \(c_4=0\), \(c_6=0\) on peut prendre \(a_1\).

e) Au voisinage du point \(p=3\), \(c_4=0\), \(c_6=0\) — \(b_2\).

Question Donner la structure de l'anneau local complété de \(M\) en un point géom. où \(c_4=0\), \(c_6=0\) [il y en a […]] deux […] […], l'un en car. 2, l'autre en car. 3] : \[ \struck{\ill{}}\ W[[t]] \qquad (t=a_1 \text{ en car.\ 2},\ t=b_2 \text{ en car.\ 3}) \] (⌜corps résiduel clôture algébrique⌝ de \(\mathbf{F}_2\) ou \(\mathbf{F}_3\)) et les équations des diviseurs \(c_4=0\), \(c_6=0\)…… la parenthèse sous \(W[[t]]\) est d'une encre plus pâle, ajoutée.

Un trait horizontal traverse la page.

[…] la structure de \(V(c_4)\) dans \((M_3)\). On trouve que si \(E\) est une courbe elliptique sur \(S\), avec 6 inv. sur \(S\) et \(c_4(E)=0\), dans \({}_3E\) il y a un unique drapeau invariant par \(\underline{\mathrm{Aut}}_S(E) \simeq \mu_6\). Ceci permet de « réduire le groupe structural » \(G = \mathrm{GL}(2,\mathbf{Z}/3\mathbf{Z})\) de \((M_3)[\tfrac16]\) de \(G\) à \(B\) (le Borel). On trouve que sur \(\mathbb{S} = \mu_3^{*}[\tfrac16]\) (schéma des racines primitives 3ièmes de 1), […] il y a une courbe elliptique \(\mathbb{E}\) avec \(c_4(\mathbb{E})=0\), et une base \(e_1^{\circ}, e_2^{\circ}\) adaptée au drapeau […], \(\langle e_1^{\circ}, e_2^{\circ}\rangle = \zeta^{\circ}\) (où \(\zeta^{\circ}\) est la racine 3ième de l'unité […] pris). Toute […] \(E\) […] […] : […] ⌜\(e_1, e_2\)⌝ […] […] 3, définit […] courbe elliptique \(E\) sur \(S\), avec rigidification […] \(S \to \mathbb{S}\) ([…] : \(\zeta = \langle e_1, e_2\rangle\)), […] \(E\) est isomorphe ⌜[…]⌝ […] […], […] […] ⌜[…] rigidification⌝ à \(\mathbb{E}\times_{\mathbb{S}} S\), avec ⌜(loc.)⌝ sous la rigidification […] […] […] de \(G\) mod \(B\). Donc […] […] par translation […] […] 4 copies de \(\mu_3^{*}[\tfrac16]\), \(M_3[\tfrac16] \cap V(c_4)\) est isomorphe : […] \[ \mu_3^{*}(\tfrac16) \overset{B}{\times} G \] comme […] où \(G\) opère (Bonne sur \(\mu_3^{*}\) […] déterminant). et est canon. isom ! TSVP. en bas à droite ; la page 99 fait suite.

\(G\) d'ordre 48 ; \(B\) d'ordre 12 ; \(G/B\) d'ordre 4 ; \(B/\mu_6\) d'ordre \(2 \simeq \mu_2\); \(\mu_6 = \mu_2 \times \mu_3\) (\(\mu_2\) = centre, \(\mu_3 = B_u\)); \(G' = \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z}/3\mathbf{Z})\), \(B' = G' \cap B\) ; \(G'/B'\) d'ordre 4… ; \(G'\) d'ordre 24 ; \(B'\) d'ordre 6 colonne dans la marge gauche, entourée d'un trait, en regard du second alinéa.

99Suite de la page 98 (« TSVP »). Comme la page 97, brouillon rapide et très raturé.

[…] […] (de \(M'_3\) en \(a\)) ⌜aux composantes irréductibles⌝ sont […] égales. \(G'\) opère […] ⌜L'opération⌝ […] […] en \(M_3\) en \(a\) splitte canoniquement en \(V_1 \times V_2\), avec \(V_1\) vertical (espace tangent à \((M_3)_b\)) et \(V_2\) horizontal, et \(G'\) opère trivialement sur \(V_2\), et laisse \(V_1\) stable. Donc \(G'\) opère via \(\mathbf{F}_4^{*}\) ⌜\(\simeq \mathbf{Z}/3\mathbf{Z}\)⌝ sur \(V_1\). Or, les théorèmes de la rigidification en car. 2 disent précisément [l'action de \(G'\) sur \((M_3)_2\) est […]⌜fidèle⌝) […] que le […] de […] […] stable […] […] ⌜[…]⌝ précisément le 2-Sylow ⌜\(P'\)⌝ […] de \(G'\), qui est d'indice 8, […] qu'il […] […] ⌜d'ordre⌝ \(\operatorname{card}[G':P'] = 3 = \operatorname{card}\mathbf{F}_4^{*} \simeq \mathbf{Z}/3\mathbf{Z}\). Par suite, on trouve que \(G' \to \mathbf{F}_4^{*}\) est surjectif, et détermine ⌜[…]⌝ à priori « au signe près » [i.e. […] autom. de \(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}\)] Il faudrait encore déterminer lequel […] c'est. « trivialement sur \(V_2\) » : l'indice se lit mal, \(V_1\) ou \(V_2\) ; nous lisons \(V_2\) d'après le sens (l'espace horizontal).

Dans la marge gauche, trois dessins : un croquis de courbes biffé par un gribouillis ; sous une accolade marquée \(M'_3\), un faisceau de droites passant par le point \(a\), le tout sous une accolade marquée \(M_3\) ; puis, reliées par deux flèches vers le bas, une droite épaisse marquée \(\mu_3^{*}\) avec le point \(b\), et une droite marquée \(\mathbf{Z}\) avec le point \(2\).

Attention, \(\mu_3\) […] […] sur la courbe […] \(\mathbb{E}\) sur \(M'_3\), […] […] […] au-dessus de \(M'_3[\tfrac12]\). […] […] […] la suite du paragraphe, une dizaine de lignes où figurent \(\mu_6 = \mu_2 \times \mu_3\) et « \(\mathbf{Z}/6\mathbf{Z} \simeq B\) opère […] », est biffée de traits obliques et de ratures horizontales et ne se lit pas. […] donc […] […] […] […] action de \(\mu_3\) et \(G'\) sur \(E_a\), et comme \(G' \simeq \mathrm{Aut}(E_a)\)), il s'ensuivrait que \(\mu_3 \subset G'\) et \(\mu_3\) dans le centre de \(G'\). Or le 3-sous-groupe de Sylow […] de \(G'\) n'est pas central ! // Ceci […] des […] […] ⌜[…]⌝ […] des composantes de \(M'_3\). […] des […] […] de \(E\) sur \(M'_3\) […] des \(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\), La […] ⌜[…] des⌝ ⌜[…]⌝ […] […] […] […] \(M'_3\) qui […] aussi […] \(\mathrm{SL}(2,\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}) = G'\) sur \(M'_3\). \(\mathrm{SL}(2,\mathbf{Z}/3\mathbf{Z})/\mu_2\) l'opération des […] […] […]…