Les pages 21 à 33 sont la suite (pages dactylographiées 7 à 19) du
tapuscrit de P. Deligne « Courbes elliptiques : formulaire, d'après J. Tate »,
commencé page 15, publié dans Modular Functions of One Variable IV,
Lecture Notes in Math. 476 (1975), p. 53-73. Texte de Deligne et publié : il
n'est pas recomposé ; chaque page reçoit une note donnant en entier les
marques manuscrites, toutes au crayon. Les quelques notes rédigées sont d'une
écriture rapide qui paraît être la sienne ; l'attribution n'est pas certaine.
Page 7 du tapuscrit : fin de la Proposition 2.5 (courbe universelle
Y^2=4X^3-g_2X-g_3, différentielle invariante \pi=dX/Y) ; lorsque 2 et 3
sont inversibles, une forme différentielle invariante rigidifie la courbe ;
(2.6) c_4^3-c_6^2=1728\,\Delta en toute caractéristique ; §3 « Cas où 2 et
c_4 sont inversibles » : (3.1) y^2=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6, les b_i, d_6,
(3.2) c_4, c_6 et \Delta=2^4\delta. Au crayon : 12^3 sous le
1728 de (2.6) ; en haut à droite, en face de « avec pour courbe universelle
(en coordonnées non homogènes) », une note soulignée :
section unité ?
Page 8 du tapuscrit : \delta discriminant du second membre de (3.1) ;
lorsque c_4 est inversible, un seul choix de x, y donne d_6=0 ; (3.3)
c_6 et \Delta, (3.4) a_2c_4, a_4c_4^2, a_6c_4^3 ; Proposition 3.5 :
au-dessus de \mathrm{Spec}(\mathbf{Z}[2^{-1}]), schéma de modules des
courbes de genre un munies d'une forme différentielle invariante inversible
avec c_4 inversible, \mathrm{Spec}(\mathbf{Z}[2^{-1}][a_2,a_4,a_6,
(a_2^2-3a_4)^{-1}]/(a_2a_4-9a_6)), et sa courbe universelle. Au crayon :
marques de correction (le « s » de « modules » et la fin de « homogènes »
entourés) ; un trait dans la marge gauche en face de « est ».
Page 9 du tapuscrit : \pi=dx/2y ; §4 « Cas où 2 est nilpotent et
c_4 inversible » : (4.1) y^2+xy=x^3+a_2x^2+a_6, \pi=dx/(x+2y) ;
(4.2) r=t=0, u=1+2s ; (4.3) ; (4.4) modulo 2, c_4=1, c_6=1,
\Delta=a_6 ; §5 « Cas où c_4=0, p=2 ou p=3 », a) p=3. Au crayon :
deux marques de correction entourées (la ponctuation après « p=3 » du
titre du §5, et le « s » final de « sous »).
Page 10 du tapuscrit : en caractéristique 3, c_4=0 si et seulement si
a_2^2=0 ; (5.1) y^2=x^3+a_4x+a_6, c_4=c_6=0, \Delta=-a_4^3 ; (5.2) ;
b) p=2 : c_4=a_1^4 ; (5.3) y^2+a_3y=x^3+a_4x+a_6,
\pi=dx/a_3=dy/(x^2+a_4), \Delta=a_3^4 ; (5.4). Au crayon : un trait
entoure le dénominateur x^2+a_4 de (5.3) et le rattache, par une flèche, à
la barre de fraction, pour le mettre entre parenthèses ; la ponctuation après
« b) p=2 » et la virgule après \pi dans « (\pi, x, y) » sont entourées.
Page 11 du tapuscrit : §6 « Applications ». Proposition 6.1 : sur un
corps algébriquement clos, E est de type elliptique (resp. multiplicatif,
resp. additif) si et seulement si \Delta\neq 0 (resp. \Delta=0 et
c_4\neq 0, resp. \Delta=c_4=0), démonstration a)-d) ; pour E sans fibre
de type additif, définition de la section j de \mathbf{P}_1/S. Au
crayon : le « et » entre \omega^{\otimes 12} et \omega^{\otimes 4} est
entouré ; « P_1 » est entouré, avec en dessous, entouré, « P^1 ».
Page 12 du tapuscrit : (6.2) j=c_4^3/\Delta=1728+c_6^2/\Delta ;
Proposition 6.3 : pour E, E' sans fibre additive, (I) \mathrm{Isom}(E,E')
représentable, fini et non ramifié sur S, (II) surjectif sur S si
j_E=j_{E'}, (III) revêtement étale de rang 2 si de plus j ne prend pas
les valeurs 0 et 1728 ; démonstration ; début de la Proposition 6.4. Au
crayon : sous chacun des trois « Isom » un petit S (lire
\mathrm{Isom}_S) ; « non ramifié » entouré, deux fois, avec au-dessus
« net » ; les virgules finales de (I) et (II) entourées et remplacées par
« ; » ; 12^3 sous le 1728 de (III). En haut à droite :
j=0 \Longleftrightarrow c_4=0
j=12^3 \Longleftrightarrow c_6=0
Page 13 du tapuscrit : Proposition 6.4 : si 2, c_4 et c_6 sont
inversibles, \mathrm{Isom}(E,F) s'identifie au schéma défini par
\lambda^2=c_4c_6'/c_6c_4' ; démonstration par (6.4.1), (6.4.2) ; début de
la preuve de (III) en général. Au crayon : des parenthèses ajoutées autour de
j-1728 dans « 1/j-1728 » ; le « S » de « sections de S » entouré, et
dans la marge, entouré, \underline{O}_S.
Page 14 du tapuscrit : fin de la preuve de (III) quand 2 est nilpotent
(1/j=a_6+2R(a_2,a_6)) ; preuve de (II) sur un corps algébriquement clos
quand j=0 ou j=1728 : a) p\neq 2,3, courbes types (6.5)
y^2=x^3+1 et (6.6) y^2=x^3-x ; b) p=3. Aucune marque manuscrite.
Page 15 du tapuscrit : (6.7) y^2=x^3-x ; c) p=2, (6.8)
y^2+y=x^3 ; Proposition 6.9 sur les automorphismes : (I) seuls
l'identité et la symétrie si c_4 et c_6 sont inversibles ; (II)
\mathrm{Aut}(E)\to\mathbf{G}_m immersion fermée si 2 et 3 sont inversibles ;
(III) image \mu_6 (resp. \mu_4) ; sur un corps, (IV) si 3=c_4=c_6=0,
produit semi-direct de \mathbf{Z}/(4) par \mathbf{Z}/(3), (V) si
2=c_4=c_6=0, groupe d'ordre 24. Au crayon : un trait après
« automorphismes » dans (I) renvoie à une note entourée dans la marge
droite ; le point après « corps » est entouré ; une accolade embrasse (V)
dans la marge, suivie d'une note :
faux si S non connexe
structure ?
la première note est portée en face de (I), la seconde en face de (V).
Page 16 du tapuscrit : preuve de la Proposition 6.9 : (I) par 6.3 ;
(II) et (III) par l'action sur \pi, c_4=\lambda^4c_4, c_6=\lambda^6c_6 ;
(IV) automorphismes de la forme (6.1) avec u^4=1,
r^3+ra_4+a_6(1-u^2)=0 et leur loi de composition, u\in\mu_4,
r\in\mathbf{F}_3 pour (6.7) ; (V) automorphismes de la forme (6.3) avec
u^3=1 et deux équations en s, t. Aucune marque manuscrite.
Page 17 du tapuscrit : loi de composition des (u,s,t), réduction à
u\in\mu_3, s\in\mathbf{F}_4, t^2+t=s^3 pour (6.8) ; §7 « Anneau des
formes modulaires entières » : définition d'une forme modulaire entière de
poids n ; Proposition 7.1 : l'anneau est engendré sur \mathbf{Z} par
c_4, c_6, \Delta soumis à la seule relation (7.2)
c_4^3-c_6^2=1728\,\Delta ; début de la démonstration. Au crayon : les
accents circonflexes de « polynôme » ajoutés et entourés (trois fois), le
« d » de « des polynômes » entouré ; dans la marge droite, en face de « Il
reviendrait au même de se limiter aux courbes sans fibres additives »,
soulignée deux fois :
pourquoi ?
et, dans un cadre à droite de (7.2) :
N.B. Sur le site modulaire, les diviseurs de c_4,
c_6, \Delta sont à multiplicité 1, celui de \Delta est lisse sur
\mathbf{Z} ; ceux de c_4, c_6 le sont sauf au-dessus des points 2 et
3.
Page 18 du tapuscrit : Proposition 7.2 : l'anneau des formes
modulaires de caractéristique 2 est \mathbf{Z}/(2)[a_1,\Delta], avec
c_4=a_1^4, c_6=a_1^6 ; celui de caractéristique 3 est
\mathbf{Z}/(3)[b_2,\Delta], avec c_4=b_2^2, c_6=-b_2^3 ;
démonstration (formes a_1^{-n}P(a_1,a_6), a_1^{-m}Q(a_1,\Delta)). Au
crayon : le « 1 » de « (4.1) » et l'accent de « polynôme » entourés ; sous
chacun des deux énoncés, une flèche partant de a_1 (resp. b_2) et une
ligne :
le diviseur de a_1 est lisse sur \mathbf{F}_2
le diviseur de b_2 est lisse sur \mathbf{F}_2
sic : « \mathbf{F}_2 » aussi dans la seconde ligne, qui porte sur la
caractéristique 3.
Page 19 du tapuscrit, dernière du texte dactylographié ici : fin de la
démonstration de 7.2 (une forme de caractéristique 3 s'écrit
b_2^{-n}P(b_2,\Delta) et est définie pour j=0 si et seulement si c'est un
polynôme en b_2 et \Delta). L'accent de « polynôme » est entouré. Le bas
de la page porte, au crayon, cinq lignes de sa main vraisemblablement, les
deux dernières séparées des trois premières par un trait et réunies par une
accolade :
Interprétation de a_1, b_2 comme forme de Hasse-Witt ?
Formes modulaires sur un corps quelconque ? Sur un ann. de val.
discrète…
Hasse-Witt sur un corps de car. p>0 quelconque ?
Relèvement canonique de Serre par formules universelles
Loi de groupe formel sur : formules explicites…
après « sur », un symbole que nous ne lisons pas, portant un indice qui
ressemble à M/S et une surcharge au-dessus.
Les pages 35 à 39 sont la copie de cinq feuillets manuscrits en anglais
(le premier sans numéro, les suivants numérotés 2 à 5 en haut à droite), de
la même main que la lettre de J. Tate copiée pages 2 à 13, et non de la
sienne ; notation plus ancienne (\beta_2,\dots,\beta_8, \gamma_4,
\gamma_6, facteur \rho). Texte d'un autre auteur : il n'est pas
recomposé, chaque page reçoit une note. Aucune marque d'une seconde main
n'y est discernable.
Feuillet 1 : l'équation encadrée
y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6, les \beta_i, \gamma_4, \gamma_6,
\Delta, 1728\,\Delta=\gamma_4^3-\gamma_6^2 ; les transformations
birationnelles x=\rho^2x'+r, y=\rho^3y'+s\rho^2x'+t et la transformation
des coefficients, des \beta_i et des \gamma_i ; \rho^{12}\Delta'=\Delta,
\omega'=\rho\,\omega ; dans des cadres, j=\gamma_4^3/\Delta,
12g_2=\gamma_4, 216g_3=\gamma_6, (j-1728)\Delta=\gamma_6^2, et la
courbe « générique » de module j, y^2+xy=x^3-\frac{36}{j-1728}x
-\frac{1}{j-1728}.
Feuillet 2 : F, F_x, F_y, la différentielle de première espèce
\omega et sa transformation ; « Special rational canonical form » pour
p\neq 2,3, y^2=x^3+a_4x+a_6 : j comme invariant absolu, et trois cas
(j\neq 0,1728 ; j=1728 ; j=0), chacun avec le critère d'équivalence
de deux courbes de même j, l'extension k' qui les rend isomorphes, les
automorphismes et la courbe canonique (y^2=x^3-x, y^2=x^3-1).
Feuillet 3 : p=3, y^2=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6, \Delta, j=a_2^6/\Delta ;
cas 1, j\neq 0, forme y^2=x^3+a_2x^2+a_6 ; cas 2, j=0, forme
y^2=x^3+a_4x+a_6, k'/k séparable de degré \leq 12, groupe
d'automorphismes d'ordre 12, courbe canonique y^2=x^3-x ; une ligne
biffée.
Feuillet 4 : p=2 ; cas 1, a_1\neq 0, forme
y^2+xy=x^3+a_2x^2+a_6, j=1/a_6, courbe canonique y^2+xy=x^3+a_6 ;
cas 2, a_1=0, forme y^2+a_3y=x^3+a_4x+a_6, j=0, k'/k séparable de
degré \leq 24, courbe canonique y^2-y=x^3, automorphismes
\rho^3=1, s^4+s=0, t^2+t+s^3+s^2=0, « G of order 24 ».
Feuillet 5 : « Summarizing » : pour j\neq 0,1728, en toute
caractéristique, autant de courbes d'invariant j sur k que d'extensions
quadratiques séparables ; dans tous les cas, deux courbes de même j sont
birationnellement équivalentes sur une extension séparable de degré
divisant 24, et le groupe d'automorphismes est un sous-groupe du groupe
d'ordre 24.
Première page d'une copie dactylographiée de l'article de
A. O. L. Atkin, « Congruences for modular forms » (en-tête dactylographié
« atkin 1 » ; l'auteur y est « Research Fellow of the Atlas Computer
Laboratory ») : introduction sur l'usage de l'ordinateur Atlas pour les
congruences des formes modulaires. Texte d'un autre auteur, non recomposé.
À la main, à l'encre, « (1968) » entouré à droite du titre ; en haut à
droite, un paraphe . La copie se poursuit dans le lot suivant.