Cote n° 63 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Formulaire courbes elliptiques : notes et copies de notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.), copies d'articles (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964-vers 1970]
Édition de démonstration

21Les pages 21 à 33 sont la suite (pages dactylographiées 7 à 19) du tapuscrit de P. Deligne « Courbes elliptiques : formulaire, d'après J. Tate », commencé page 15, publié dans Modular Functions of One Variable IV, Lecture Notes in Math. 476 (1975), p. 53-73. Texte de Deligne et publié : il n'est pas recomposé ; chaque page reçoit une note donnant en entier les marques manuscrites, toutes au crayon. Les quelques notes rédigées sont d'une écriture rapide qui paraît être la sienne ; l'attribution n'est pas certaine. Page 7 du tapuscrit : fin de la Proposition 2.5 (courbe universelle \(Y^2=4X^3-g_2X-g_3\), différentielle invariante \(\pi=dX/Y\)) ; lorsque 2 et 3 sont inversibles, une forme différentielle invariante rigidifie la courbe ; (2.6) \(c_4^3-c_6^2=1728\,\Delta\) en toute caractéristique ; §3 « Cas où 2 et \(c_4\) sont inversibles » : (3.1) \(y^2=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6\), les \(b_i\), \(d_6\), (3.2) \(c_4\), \(c_6\) et \(\Delta=2^4\delta\). Au crayon : \(12^3\) sous le \(1728\) de (2.6) ; en haut à droite, en face de « avec pour courbe universelle (en coordonnées non homogènes) », une note soulignée : section unité ?

22Page 8 du tapuscrit : \(\delta\) discriminant du second membre de (3.1) ; lorsque \(c_4\) est inversible, un seul choix de \(x\), \(y\) donne \(d_6=0\) ; (3.3) \(c_6\) et \(\Delta\), (3.4) \(a_2c_4\), \(a_4c_4^2\), \(a_6c_4^3\) ; Proposition 3.5 : au-dessus de \(\mathrm{Spec}(\mathbf{Z}[2^{-1}])\), schéma de modules des courbes de genre un munies d'une forme différentielle invariante inversible avec \(c_4\) inversible, \(\mathrm{Spec}(\mathbf{Z}[2^{-1}][a_2,a_4,a_6, (a_2^2-3a_4)^{-1}]/(a_2a_4-9a_6))\), et sa courbe universelle. Au crayon : marques de correction (le « s » de « modules » et la fin de « homogènes » entourés) ; un trait dans la marge gauche en face de « est ».

23Page 9 du tapuscrit : \(\pi=dx/2y\) ; §4 « Cas où 2 est nilpotent et \(c_4\) inversible » : (4.1) \(y^2+xy=x^3+a_2x^2+a_6\), \(\pi=dx/(x+2y)\) ; (4.2) \(r=t=0\), \(u=1+2s\) ; (4.3) ; (4.4) modulo 2, \(c_4=1\), \(c_6=1\), \(\Delta=a_6\) ; §5 « Cas où \(c_4=0\), \(p=2\) ou \(p=3\) », a) \(p=3\). Au crayon : deux marques de correction entourées (la ponctuation après « \(p=3\) » du titre du §5, et le « s » final de « sous »).

24Page 10 du tapuscrit : en caractéristique 3, \(c_4=0\) si et seulement si \(a_2^2=0\) ; (5.1) \(y^2=x^3+a_4x+a_6\), \(c_4=c_6=0\), \(\Delta=-a_4^3\) ; (5.2) ; b) \(p=2\) : \(c_4=a_1^4\) ; (5.3) \(y^2+a_3y=x^3+a_4x+a_6\), \(\pi=dx/a_3=dy/(x^2+a_4)\), \(\Delta=a_3^4\) ; (5.4). Au crayon : un trait entoure le dénominateur \(x^2+a_4\) de (5.3) et le rattache, par une flèche, à la barre de fraction, pour le mettre entre parenthèses ; la ponctuation après « b) \(p=2\) » et la virgule après \(\pi\) dans « \((\pi, x, y)\) » sont entourées.

25Page 11 du tapuscrit : §6 « Applications ». Proposition 6.1 : sur un corps algébriquement clos, \(E\) est de type elliptique (resp. multiplicatif, resp. additif) si et seulement si \(\Delta\neq 0\) (resp. \(\Delta=0\) et \(c_4\neq 0\), resp. \(\Delta=c_4=0\)), démonstration a)-d) ; pour \(E\) sans fibre de type additif, définition de la section \(j\) de \(\mathbf{P}_1/S\). Au crayon : le « et » entre \(\omega^{\otimes 12}\) et \(\omega^{\otimes 4}\) est entouré ; « \(P_1\) » est entouré, avec en dessous, entouré, « \(P^1\) ».

26Page 12 du tapuscrit : (6.2) \(j=c_4^3/\Delta=1728+c_6^2/\Delta\) ; Proposition 6.3 : pour \(E\), \(E'\) sans fibre additive, (I) \(\mathrm{Isom}(E,E')\) représentable, fini et non ramifié sur \(S\), (II) surjectif sur \(S\) si \(j_E=j_{E'}\), (III) revêtement étale de rang 2 si de plus \(j\) ne prend pas les valeurs 0 et 1728 ; démonstration ; début de la Proposition 6.4. Au crayon : sous chacun des trois « Isom » un petit \(S\) (lire \(\mathrm{Isom}_S\)) ; « non ramifié » entouré, deux fois, avec au-dessus « net » ; les virgules finales de (I) et (II) entourées et remplacées par « ; » ; \(12^3\) sous le \(1728\) de (III). En haut à droite : \(j=0 \Longleftrightarrow c_4=0\) \(j=12^3 \Longleftrightarrow c_6=0\)

27Page 13 du tapuscrit : Proposition 6.4 : si 2, \(c_4\) et \(c_6\) sont inversibles, \(\mathrm{Isom}(E,F)\) s'identifie au schéma défini par \(\lambda^2=c_4c_6'/c_6c_4'\) ; démonstration par (6.4.1), (6.4.2) ; début de la preuve de (III) en général. Au crayon : des parenthèses ajoutées autour de \(j-1728\) dans « \(1/j-1728\) » ; le « \(S\) » de « sections de \(S\) » entouré, et dans la marge, entouré, \(\underline{O}_S\).

28Page 14 du tapuscrit : fin de la preuve de (III) quand 2 est nilpotent (\(1/j=a_6+2R(a_2,a_6)\)) ; preuve de (II) sur un corps algébriquement clos quand \(j=0\) ou \(j=1728\) : a) \(p\neq 2,3\), courbes types (6.5) \(y^2=x^3+1\) et (6.6) \(y^2=x^3-x\) ; b) \(p=3\). Aucune marque manuscrite.

29Page 15 du tapuscrit : (6.7) \(y^2=x^3-x\) ; c) \(p=2\), (6.8) \(y^2+y=x^3\) ; Proposition 6.9 sur les automorphismes : (I) seuls l'identité et la symétrie si \(c_4\) et \(c_6\) sont inversibles ; (II) \(\mathrm{Aut}(E)\to\mathbf{G}_m\) immersion fermée si 2 et 3 sont inversibles ; (III) image \(\mu_6\) (resp. \(\mu_4\)) ; sur un corps, (IV) si \(3=c_4=c_6=0\), produit semi-direct de \(\mathbf{Z}/(4)\) par \(\mathbf{Z}/(3)\), (V) si \(2=c_4=c_6=0\), groupe d'ordre 24. Au crayon : un trait après « automorphismes » dans (I) renvoie à une note entourée dans la marge droite ; le point après « corps » est entouré ; une accolade embrasse (V) dans la marge, suivie d'une note : faux si \(S\) non connexe structure ? la première note est portée en face de (I), la seconde en face de (V).

30Page 16 du tapuscrit : preuve de la Proposition 6.9 : (I) par 6.3 ; (II) et (III) par l'action sur \(\pi\), \(c_4=\lambda^4c_4\), \(c_6=\lambda^6c_6\) ; (IV) automorphismes de la forme (6.1) avec \(u^4=1\), \(r^3+ra_4+a_6(1-u^2)=0\) et leur loi de composition, \(u\in\mu_4\), \(r\in\mathbf{F}_3\) pour (6.7) ; (V) automorphismes de la forme (6.3) avec \(u^3=1\) et deux équations en \(s\), \(t\). Aucune marque manuscrite.

31Page 17 du tapuscrit : loi de composition des \((u,s,t)\), réduction à \(u\in\mu_3\), \(s\in\mathbf{F}_4\), \(t^2+t=s^3\) pour (6.8) ; §7 « Anneau des formes modulaires entières » : définition d'une forme modulaire entière de poids \(n\) ; Proposition 7.1 : l'anneau est engendré sur \(\mathbf{Z}\) par \(c_4\), \(c_6\), \(\Delta\) soumis à la seule relation (7.2) \(c_4^3-c_6^2=1728\,\Delta\) ; début de la démonstration. Au crayon : les accents circonflexes de « polynôme » ajoutés et entourés (trois fois), le « d » de « des polynômes » entouré ; dans la marge droite, en face de « Il reviendrait au même de se limiter aux courbes sans fibres additives », soulignée deux fois : pourquoi ? et, dans un cadre à droite de (7.2) : N.B. Sur le site modulaire, les diviseurs de \(c_4\), \(c_6\), \(\Delta\) sont à multiplicité 1, celui de \(\Delta\) est lisse sur \(\mathbf{Z}\) ; ceux de \(c_4\), \(c_6\) le sont sauf au-dessus des points 2 et 3.

32Page 18 du tapuscrit : Proposition 7.2 : l'anneau des formes modulaires de caractéristique 2 est \(\mathbf{Z}/(2)[a_1,\Delta]\), avec \(c_4=a_1^4\), \(c_6=a_1^6\) ; celui de caractéristique 3 est \(\mathbf{Z}/(3)[b_2,\Delta]\), avec \(c_4=b_2^2\), \(c_6=-b_2^3\) ; démonstration (formes \(a_1^{-n}P(a_1,a_6)\), \(a_1^{-m}Q(a_1,\Delta)\)). Au crayon : le « 1 » de « (4.1) » et l'accent de « polynôme » entourés ; sous chacun des deux énoncés, une flèche partant de \(a_1\) (resp. \(b_2\)) et une ligne : le diviseur de \(a_1\) est lisse sur \(\mathbf{F}_2\) le diviseur de \(b_2\) est lisse sur \(\mathbf{F}_2\) sic : « \(\mathbf{F}_2\) » aussi dans la seconde ligne, qui porte sur la caractéristique 3.

33Page 19 du tapuscrit, dernière du texte dactylographié ici : fin de la démonstration de 7.2 (une forme de caractéristique 3 s'écrit \(b_2^{-n}P(b_2,\Delta)\) et est définie pour \(j=0\) si et seulement si c'est un polynôme en \(b_2\) et \(\Delta\)). L'accent de « polynôme » est entouré. Le bas de la page porte, au crayon, cinq lignes de sa main vraisemblablement, les deux dernières séparées des trois premières par un trait et réunies par une accolade : Interprétation de \(a_1\), \(b_2\) comme forme de Hasse-Witt ? Formes modulaires sur un corps quelconque ? Sur un ann. de val. discrète… Hasse-Witt sur un corps de car. \(p>0\) quelconque ? Relèvement canonique de Serre par formules universelles Loi de groupe formel sur […] : formules explicites… après « sur », un symbole que nous ne lisons pas, portant un indice qui ressemble à \(M/S\) et une surcharge au-dessus.

35Les pages 35 à 39 sont la copie de cinq feuillets manuscrits en anglais (le premier sans numéro, les suivants numérotés 2 à 5 en haut à droite), de la même main que la lettre de J. Tate copiée pages 2 à 13, et non de la sienne ; notation plus ancienne (\(\beta_2,\dots,\beta_8\), \(\gamma_4\), \(\gamma_6\), facteur \(\rho\)). Texte d'un autre auteur : il n'est pas recomposé, chaque page reçoit une note. Aucune marque d'une seconde main n'y est discernable. Feuillet 1 : l'équation encadrée \(y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6\), les \(\beta_i\), \(\gamma_4\), \(\gamma_6\), \(\Delta\), \(1728\,\Delta=\gamma_4^3-\gamma_6^2\) ; les transformations birationnelles \(x=\rho^2x'+r\), \(y=\rho^3y'+s\rho^2x'+t\) et la transformation des coefficients, des \(\beta_i\) et des \(\gamma_i\) ; \(\rho^{12}\Delta'=\Delta\), \(\omega'=\rho\,\omega\) ; dans des cadres, \(j=\gamma_4^3/\Delta\), \(12g_2=\gamma_4\), \(216g_3=\gamma_6\), \((j-1728)\Delta=\gamma_6^2\), et la courbe « générique » de module \(j\), \(y^2+xy=x^3-\frac{36}{j-1728}x -\frac{1}{j-1728}\).

36Feuillet 2 : \(F\), \(F_x\), \(F_y\), la différentielle de première espèce \(\omega\) et sa transformation ; « Special rational canonical form » pour \(p\neq 2,3\), \(y^2=x^3+a_4x+a_6\) : \(j\) comme invariant absolu, et trois cas (\(j\neq 0,1728\) ; \(j=1728\) ; \(j=0\)), chacun avec le critère d'équivalence de deux courbes de même \(j\), l'extension \(k'\) qui les rend isomorphes, les automorphismes et la courbe canonique (\(y^2=x^3-x\), \(y^2=x^3-1\)).

37Feuillet 3 : \(p=3\), \(y^2=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6\), \(\Delta\), \(j=a_2^6/\Delta\) ; cas 1, \(j\neq 0\), forme \(y^2=x^3+a_2x^2+a_6\) ; cas 2, \(j=0\), forme \(y^2=x^3+a_4x+a_6\), \(k'/k\) séparable de degré \(\leq 12\), groupe d'automorphismes d'ordre 12, courbe canonique \(y^2=x^3-x\) ; une ligne biffée.

38Feuillet 4 : \(p=2\) ; cas 1, \(a_1\neq 0\), forme \(y^2+xy=x^3+a_2x^2+a_6\), \(j=1/a_6\), courbe canonique \(y^2+xy=x^3+a_6\) ; cas 2, \(a_1=0\), forme \(y^2+a_3y=x^3+a_4x+a_6\), \(j=0\), \(k'/k\) séparable de degré \(\leq 24\), courbe canonique \(y^2-y=x^3\), automorphismes \(\rho^3=1\), \(s^4+s=0\), \(t^2+t+s^3+s^2=0\), « G of order 24 ».

39Feuillet 5 : « Summarizing » : pour \(j\neq 0,1728\), en toute caractéristique, autant de courbes d'invariant \(j\) sur \(k\) que d'extensions quadratiques séparables ; dans tous les cas, deux courbes de même \(j\) sont birationnellement équivalentes sur une extension séparable de degré divisant 24, et le groupe d'automorphismes est un sous-groupe du groupe d'ordre 24.

40Première page d'une copie dactylographiée de l'article de A. O. L. Atkin, « Congruences for modular forms » (en-tête dactylographié « atkin 1 » ; l'auteur y est « Research Fellow of the Atlas Computer Laboratory ») : introduction sur l'usage de l'ordinateur Atlas pour les congruences des formes modulaires. Texte d'un autre auteur, non recomposé. À la main, à l'encre, « (1968) » entouré à droite du titre ; en haut à droite, un paraphe […]. La copie se poursuit dans le lot suivant.