Cote n° 63 · pages 1–100 · Lecture modernisée · Formulaire courbes elliptiques : notes et copies de notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.), copies d'articles (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964-vers 1970]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–100

Le fil du dossier, et ses conventions

Aucune page n'est numérotée par lui ; l'ordre est celui des feuillets, et il n'est pas celui d'une argumentation. Le dossier se lit comme une pile.

1. Pages 2 à 13 — copie de la lettre de J. Tate à Cassels (l'« algorithme de Tate »). Texte d'un autre, décrit.
2. Pages 15 à 33 — le tapuscrit de P. Deligne, « Courbes elliptiques : formulaire, d'après J. Tate », avec des marques au crayon dont quelques-unes sont des questions rédigées. Décrit ; les questions sont lues.
3. Pages 35 à 39 — cinq feuillets manuscrits de Tate, dans une notation plus ancienne. Décrits.
4. Pages 40 à 63 — deux tapuscrits d'A. O. L. Atkin. Décrits.
5. Pages 65 à 76 — ses notes : périodes, quasi-périodes, et comparaison des deux décompositions de \(H^1_{\mathrm{dR}}\). Sur le verso de la page 74, un feuillet de l'avant-propos de SGA 4 corrigé de sa main (page 75).
6. Pages 79 et 80 — liste dactylographiée des courbes à multiplication complexe d'invariant rationnel, annotée au crayon.
7. Pages 82 à 93 — bibliographie et « traduction libre d'un manuscrit inédit de Tate ». Décrites.
8. Pages 95 à 99 — ses notes : le site modulaire au voisinage de \(j=0\) et \(j=12^3\), puis en niveau \(3\).

Les pages 1, 14, 34, 55, 64, 78, 81, 85, 94 sont blanches ; 67, 69, 71, 73, 77 et 100 sont des versos dactylographiés sans rapport (tirages Bourbaki, avant-propos de SGA 4 barré, une page sur la spécialisation des cycles) ; 96 est une lettre qui lui est adressée.

Les deux ensembles de notes ne se citent pas l'un l'autre, et ce n'est pas cette lecture qui les reliera. Le premier est analytique (un seul tore complexe, ses périodes) ; le second est arithmétique (toutes les courbes à la fois, au-dessus de \(\mathbf{Z}\)). Leur point commun est le fibré \(\omega\) des différentielles invariantes, dont les puissances portent les formes modulaires : \(c_4\), \(c_6\), \(\Delta\) sont des sections de \(\omega^{\otimes 4}\), \(\omega^{\otimes 6}\), \(\omega^{\otimes 12}\) à la page 95, et l'invariant de la page 66 est une section — non holomorphe — de \(\omega^{\otimes 2}\).

Conventions, valables pour tout le dossier. \(E\) est une courbe elliptique, \(L = \underline{\omega}\) la droite de ses différentielles invariantes (son \(\underline{\omega}\)), \(\omega\) une base de \(L\). Les poids suivent la convention aujourd'hui usuelle (Katz) : une quantité de poids \(k\) attachée au couple \((E,\omega)\) est multipliée par \(\lambda^{-k}\) quand on remplace \(\omega\) par \(\lambda\omega\), et devient ainsi une section \(f\,\omega^{\otimes k}\) indépendante du choix. Sur \(\mathbf{C}\), \(E = \mathbf{C}/\Lambda\) avec \(\Lambda = \mathbf{Z}\omega_1 + \mathbf{Z}\omega_2\), \(\tau = \omega_2/\omega_1\), \(\mathrm{Im}\,\tau > 0\), et \(\omega = dz\) ; \(V = H^1_{\mathrm{dR}}(E/\mathbf{C})\), extension de \(L^{-1}\) par \(L\). L'invariant \(j\) est partout l'invariant usuel \(c_4^3/\Delta\), qui vaut \(12^3\) pour la courbe à quatre automorphismes — non le \(j = 1 - J\) du dossier 62, pages 18 à 53. Le « site modulaire » \(M\) est lu comme le champ des courbes de Weierstrass sans fibre additive (le champ \(\overline{\mathcal{M}}_{1,1}\) compactifié), puisque la page 95 lui donne un diviseur à l'infini \(M^{\infty} = \operatorname{div} \Delta\).

Deux homonymies sont levées ici une fois pour toutes. Aux pages 72 à 76 il réutilise les lettres \(\alpha\), \(\beta\) de la page 66 pour des objets voisins mais distincts ; on les note ici \(A\) et \(B\). À la page 66 il note \(\pi\) une section canonique de \(\underline{\omega}^{\otimes 2}\) ; on la note \(\varpi\), \(\pi\) étant à la fois la différentielle invariante de Deligne et le nombre.

2–63

I. Les textes de référence (pages 2 à 63)

2–13

La lettre de Tate (pages 2 à 13)

Copie d'un manuscrit anglais de Tate — table des matières et onze feuillets — qui est la lettre à Cassels publiée, légèrement retouchée, sous le titre « Algorithm for determining the type of a singular fiber in an elliptic pencil » (Modular Functions of One Variable IV, LNM 476, 1975). On y trouve l'équation de Weierstrass généralisée \[ y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6, \] les quantités \(b_2, b_4, b_6, b_8, c_4, c_6, \Delta\), \(j = c_4^3/\Delta\) et les relations \(4b_8 = b_2b_6 - b_4^2\), \(1728\,\Delta = c_4^3 - c_6^2\) ; les changements de coordonnées \(x = u^2x' + r\), \(y = u^3y' + su^2x' + t\) et l'invariance \(u^{12}\Delta' = \Delta\) ; les équations minimales sur un anneau de valuation discrète ; la filtration \(E(K) \supset E_0(K) \supset E_1(K) \supset \cdots\) et le groupe formel ; le facteur local \(L_v(s)\) et la formule \(\int_{E(K)}|\omega| = (E(K):E_0(K))/L_v(1)\) ; le modèle de Néron et les dix types de Kodaira ; enfin l'algorithme qui, en dix étapes, lit le type de la fibre spéciale, le conducteur et l'indice \((E(K):E_0(K))\) sur les valuations des coefficients.¹

15–33

Le formulaire de Deligne, et les questions dans ses marges (pages 15 à 33)

Le tapuscrit, dix-neuf pages, est celui que Deligne a publié dans le même volume sous le titre « Courbes elliptiques : formulaire d'après J. Tate ». Il reprend les formules de Tate au-dessus d'une base \(S\) : la courbe \(p\colon E \to S\) de section unité \(e\), le faisceau \(\omega = e^*\Omega^1_{E/S}\), les \(p_*\mathcal{O}(ne)\) localement libres de rang \(n\), l'équation obtenue par une base adaptée de \(p_*\mathcal{O}(3e)\) ; les formes réduites quand \(2\) et \(3\), ou \(2\) et \(c_4\), sont inversibles, quand \(2\) est nilpotent, en caractéristique \(2\) et \(3\), avec les schémas de modules des courbes munies d'une différentielle invariante, \(\operatorname{Spec}\mathbf{Z}[\tfrac16][g_2,g_3]\) quand \(2\) et \(3\) sont inversibles (Proposition 2.5) et son analogue quand seuls \(2\) et \(c_4\) le sont (3.5) ; puis les applications : la caractérisation des trois types de fibres (Proposition 6.1), le schéma \(\mathrm{Isom}_S(E,E')\) (6.3, 6.4), les groupes d'automorphismes (6.9) ; enfin l'anneau des formes modulaires entières, engendré par \(c_4\), \(c_6\), \(\Delta\) sous la seule relation \(c_4^3 - c_6^2 = 1728\,\Delta\) (7.1), et ses réductions \(\mathbf{F}_2[a_1,\Delta]\) et \(\mathbf{F}_3[b_2,\Delta]\) (7.2).

Les marques au crayon sont pour la plupart des corrections d'épreuve et des factorisations (\(2^3 3^3\) sur \(216\), \(12^3\) sous \(1728\)). Quelques-unes sont des phrases, d'une écriture rapide qui paraît être la sienne.² Lues dans l'ordre, elles disent ceci.

Le résumé des trois types (page 20). Sur un corps, la fibre est elliptique si \(\Delta \neq 0\), multiplicative si \(\Delta = 0\) et \(c_4 \neq 0\), additive si \(\Delta = c_4 = 0\) ; et sous \(\Delta = 0\), \(c_4 = 0\) équivaut à \(c_6 = 0\). Cette dernière équivalence est vraie en toute caractéristique,³ et le résumé est exact sur un corps quelconque, le type étant géométrique.

Les valeurs spéciales de \(j\) (page 26) : \(j = 0 \Leftrightarrow c_4 = 0\) et \(j = 12^3 \Leftrightarrow c_6 = 0\), là où \(\Delta\) est inversible, puisque \(j = c_4^3/\Delta\) et \(j - 12^3 = c_6^2/\Delta\). Au même endroit, « net » est écrit au-dessus de « non ramifié » : c'est le mot des EGA pour la même notion.

Les automorphismes (page 29). En face de l'énoncé selon lequel, \(c_4\) et \(c_6\) étant inversibles, \(E\) n'a que l'identité et la symétrie pour automorphismes, la marge porte — lecture incertaine — « faux si \(S\) non connexe ». C'est juste si l'énoncé porte sur le groupe des automorphismes au-dessus de \(S\) : ce groupe est alors \((\mathbf{Z}/2)^{\pi_0(S)}\), et seul le schéma en groupes \(\underline{\mathrm{Aut}}_S(E)\) est \(\mathbf{Z}/2\). En face du groupe d'ordre \(24\) de la caractéristique \(2\), « structure ? » : ce groupe est \(\mathrm{SL}(2,\mathbf{F}_3)\), produit semi-direct du groupe des quaternions \(Q_8\) par \(\mathbf{Z}/3\) ; celui d'ordre \(12\) de la caractéristique \(3\) est \(\mathbf{Z}/3 \rtimes \mathbf{Z}/4\), le facteur \(\mathbf{Z}/4\) agissant par inversion à travers son quotient d'ordre \(2\).⁴

Pourquoi ? (page 31). En face de « il reviendrait au même de se limiter aux courbes sans fibres additives ». La raison, que le tapuscrit ne donne pas à cet endroit, est de codimension : dans l'espace \(\operatorname{Spec} \mathbf{Z}[a_1,\ldots,a_6]\) des équations, qui est normal, le lieu additif \(c_4 = c_6 = 0\) est de codimension \(2\), et une fonction définie hors de lui s'étend (lemme de Hartogs algébrique).⁵

Le N.B. encadré (page 31) : « sur le site modulaire, les diviseurs de \(c_4\), \(c_6\), \(\Delta\) sont à multiplicité \(1\) ; celui de \(\Delta\) est lisse sur \(\mathbf{Z}\), ceux de \(c_4\), \(c_6\) le sont sauf au-dessus des points \(2\) et \(3\). » C'est le programme exact des pages 95 à 99, où il est démontré ; voir la section III. À la page 32, sous la Proposition 7.2 : le diviseur de \(a_1\) est lisse sur \(\mathbf{F}_2\), celui de \(b_2\) sur \(\mathbf{F}_3\).⁶

Le programme (page 33). Cinq lignes au bas de la dernière page :

• Interprétation de \(a_1\), \(b_2\) comme forme de Hasse-Witt ? — Oui : la réduction modulo \(2\) de \(a_1\) et la réduction modulo \(3\) de \(b_2\) sont l'invariant de Hasse, section de \(\omega^{\otimes(p-1)}\) en caractéristique \(p\). En caractéristique \(3\) c'est un calcul direct (le coefficient de \(x^2\) dans le second membre de \(y^2 = x^3 + \tfrac{b_2}{4}x^2 + \cdots\)) ; en caractéristique \(2\), \(a_1\) s'annule exactement sur le lieu supersingulier \(j=0\), à l'ordre \(1\).
• Formes modulaires sur un corps quelconque ? sur un anneau de valuation discrète…, et Hasse-Witt sur un corps de caractéristique \(p>0\) quelconque ? — c'est la théorie des formes modulaires de Katz (1973), où les formes modulaires sur un anneau \(R\) quelconque sont définies comme des règles \((E/R,\omega) \mapsto f(E,\omega) \in R\).
• Relèvement canonique de Serre par formules universelles — le relèvement canonique d'une courbe ordinaire (Serre–Tate).
• Loi de groupe formel sur (un symbole illisible) : formules explicites… — la loi que la lettre de Tate écrit au §4.⁷

35–39

Les feuillets de Tate en notation ancienne (pages 35 à 39)

Cinq feuillets en anglais, de la main de Tate, où les \(b_i\), \(c_i\) s'appellent encore \(\beta_i\), \(\gamma_i\) et le facteur d'échelle \(\rho\) : l'équation générale et ses transformations, puis les « formes canoniques spéciales » pour \(p \neq 2,3\), \(p = 3\) et \(p = 2\), avec les extensions qui rendent isomorphes deux courbes de même \(j\) et les groupes d'automorphismes, sous-groupes d'un groupe d'ordre \(24\). C'est le texte dont les pages 86 à 93 donnent une traduction (section II).

40–63

Les deux textes d'Atkin (pages 40 à 63)

Deux tapuscrits d'A. O. L. Atkin, en copie, avec les corrections d'un correcteur d'épreuves et les instructions à l'imprimeur, qui font partie de l'image photocopiée.⁸ Le premier, « Congruences for modular forms » (pages 40 à 54, daté 1968 à la main), raconte la recherche à l'ordinateur Atlas de congruences pour les coefficients \(c(n)\) de \(j\) et pour la fonction de partition \(p(n)\) modulo les puissances d'un premier \(q\) : congruences « de Ramanujan » et congruences « multiplicatives », qui font attendre une théorie de Hecke « \(\mathfrak{p}\)-adique ». Le second, « Congruence Hecke operators » (pages 56 à 63), formule cette attente en conjectures pour le groupe modulaire et pour \(\Gamma_0(q)\), calquées sur les théorèmes de Hecke–Petersson (son Théorème 1, base de formes propres) et sur leur extension à \(\Gamma_0(q)\) avec l'opérateur \(U_q\) (Théorème 2), et espère, dans son dernier paragraphe, une preuve par la géométrie algébrique.⁹

65–76

II. Périodes et les deux décompositions de \(H^1\) (pages 65 à 76)

Sept feuillets de sa main, à l'encre, écrits au dos de feuillets dactylographiés hors d'usage — dont un projet barré de l'avant-propos de SGA 4.¹⁰

65–65

Normalisation par une différentielle (page 65)

Soit \(E\) d'équation \(y^2 = x^3 + \gamma_4 x + \gamma_6\) sur \(\mathbf{C}\) et \(\omega = dx/2y\) sa différentielle invariante. Le couple \((E,\omega)\) détermine \(x\) et \(y\) ; si l'on remplace \(\omega\) par \(\lambda\omega\), on remplace \(x\), \(y\), \(\gamma_4\), \(\gamma_6\) par \(\lambda^{-2}x\), \(\lambda^{-3}y\), \(\lambda^{-4}\gamma_4\), \(\lambda^{-6}\gamma_6\). Les quantités \[ x_2 = x\,\omega^{\otimes 2},\quad y_3 = y\,\omega^{\otimes 3},\quad g_4 = \gamma_4\,\omega^{\otimes 4},\quad g_6 = \gamma_6\,\omega^{\otimes 6} \] ne dépendent donc pas de \(\omega\), et vérifient \(y_3^2 = x_2^3 + g_4x_2 + g_6\) : c'est l'équation écrite en sections des puissances de \(L\).¹¹ De \(2y\,dy = (3x^2+\gamma_4)\,dx\) on tire \(dy = (3x^2+\gamma_4)\,\omega\). On pose \[ \omega = \frac{dx}{2y}, \qquad \eta = x\,\omega = \frac{x\,dx}{2y}, \] une forme de seconde espèce (\(\eta\) a un pôle double sans résidu en l'origine), de sorte que \((\omega,\eta)\) est une base de \(V = H^1_{\mathrm{dR}}(E/\mathbf{C})\).

Analytiquement, \(E \simeq \mathbf{C}/\Lambda\) avec \(\omega = dz\), \(x = \wp(z)\), \(y = \tfrac12\wp'(z)\) :¹² \[ x = \frac{1}{z^2} + \sum_{a\in\Lambda\smallsetminus\{0\}} \Bigl[\frac{1}{(z-a)^2} - \frac{1}{a^2}\Bigr], \qquad y = -\sum_{a\in\Lambda}\frac{1}{(z-a)^3}, \] et les périodes et quasi-périodes sont \[ \omega_i = \int_{\gamma_i}\omega, \qquad \eta_i = \int_{\gamma_i}\eta = \int_u^{u+\omega_i}\wp(z)\,dz = -\bigl(\zeta(u+\omega_i) - \zeta(u)\bigr), \] indépendantes de \(u\). Les \(\eta_i\) de la page sont donc les opposées des quasi-périodes de Weierstrass.¹³

66–66

Le passage du scindage algébrique au scindage de Hodge (page 66)

\(V\) contient la droite \(L = \mathbf{C}\omega\) (la filtration de Hodge) et possède deux supplémentaires naturels de \(L\) : la droite \(\mathbf{C}\eta\), qui vient de l'équation, et la droite \(\mathbf{C}\bar\omega = H^{0,1}\), qui vient de la conjugaison complexe. On écrit donc \[ \eta + \alpha\,\omega = \beta\,\bar\omega . \] En intégrant sur \(\gamma_1\) et \(\gamma_2\) et en éliminant \(\beta\) : \[ \alpha = -\frac{\bar\omega_1\eta_2 - \bar\omega_2\eta_1} {\bar\omega_1\omega_2 - \bar\omega_2\omega_1}, \qquad \bar\omega_1\omega_2 - \bar\omega_2\omega_1 = 2i\,|\omega_1|^2\,\mathrm{Im}\,\tau \neq 0 . \] Remplacer \(\omega\) par \(\lambda\omega\) remplace \(\eta\) par \(\lambda^{-1}\eta\) et \(\alpha\) par \(\lambda^{-2}\alpha\) : la section \[ \varpi = \alpha\,\omega^{\otimes 2} \in \Gamma(\underline{\omega}^{\otimes 2}) = \Gamma\,\mathrm{Hom}(\underline{\omega}^{-1},\underline{\omega}) \] est canonique.¹⁴ C'est la différence des deux supplémentaires : les supplémentaires de \(L\) dans \(V\) forment un espace affine sous \(\mathrm{Hom}(V/L, L) = \mathrm{Hom}(L^{-1},L) = L^{\otimes 2}\), et \(\varpi\) est le vecteur qui va du premier au second.¹⁵

Deux questions suivent : a) Quand \(\alpha = 0\), i.e. \(\bar\omega\) proportionnel à \(\eta\) ? b) Quand \(\alpha\) est-il algébrique sur \(\mathbf{Q}\) ?

Ce qu'est \(\alpha\). La relation de Legendre donne la forme close qu'aucune des pages n'atteint. Si \(\eta'_i = \zeta(z+\omega_i) - \zeta(z)\), on a \(\eta'_1 = \omega_1^{-1}G_2(\tau)\) avec \(G_2(\tau) = \sum_n \sum_{m}{}' (m+n\tau)^{-2}\), et \(\eta'_1\omega_2 - \eta'_2\omega_1 = 2\pi i\) ; en reportant dans la formule de \(\alpha\), \[ \alpha = \frac{1}{\omega_1^2}\Bigl(G_2(\tau) - \frac{\pi}{\mathrm{Im}\,\tau}\Bigr) = \frac{G_2^*(\tau)}{\omega_1^2}, \qquad \beta = -\frac{\pi}{|\omega_1|^2\,\mathrm{Im}\,\tau}. \] La section canonique \(\varpi\) est donc la série d'Eisenstein non holomorphe de poids \(2\), \(G_2^* = \tfrac{\pi^2}{3}E_2^*\) : la seule correction de \(G_2\) qui soit modulaire, au prix de l'holomorphie.¹⁶ Les deux questions reçoivent alors une réponse partielle. a) \(\alpha\) s'annule aux points \(\tau = i\) et \(\tau = e^{2\pi i/3}\) et à leurs transformés par \(\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})\), car \(G_2^*\) est modulaire de poids \(2\) et ces points sont fixes par des éléments d'ordre \(4\) et \(6\) ;¹⁷ en ces points \(\bar\omega\) est bien proportionnel à \(\eta\). b) Si \(E\) est définie sur \(\overline{\mathbf{Q}}\) et a multiplication complexe, et si \(\omega\) est algébrique, \(\alpha\) est algébrique : les endomorphismes décomposent \(V\) en deux droites propres définies sur \(\overline{\mathbf{Q}}\), dont l'une est \(L\) et l'autre est nécessairement \(H^{0,1}\).¹⁸

68–70

Les quasi-périodes en séries (pages 68 et 70)

La page 68 calcule \(\eta_1\) en primitivant terme à terme, \(\int x\,dz = -1/z + \sum'\bigl[-1/(z-a) - z/a^2\bigr]\), entre \(u\) et \(u+\omega_1\). Le terme général devient \(\omega_1\bigl[\tfrac{1}{(u-a)(u+\omega_1-a)} - \tfrac{1}{a^2}\bigr]\), qui est \(O(|a|^{-3})\) : la série converge absolument, et l'on peut faire \(u \to 0\) après avoir isolé les termes \(a = 0\) et \(a = \omega_1\), qui donnent ensemble \(-3/\omega_1\). On obtient \[ \eta_1 = -\frac{3}{\omega_1} + \omega_1^2 \sum_{a\neq 0,\ \omega_1}\frac{1}{a^2(a-\omega_1)}, \qquad \eta_2 = -\frac{3}{\omega_2} + \omega_2^2 \sum_{a\neq 0,\ \omega_2}\frac{1}{a^2(a-\omega_2)}, \] avec \(a = m\omega_1 + n\omega_2\).¹⁹ Ces séries, contrairement à celle qui définit \(G_2\), convergent absolument ; c'est l'avantage du chemin pris.

La page 70 forme \(\bar\omega_1\eta_2 - \bar\omega_2\eta_1\) sur l'ensemble d'indices commun \((m,n) \neq (0,0), (1,0), (0,1)\), en mettant à part les deux termes que les deux sommes ne partagent pas, puis passe en \(\tau\). La partie constante est \(-3(\bar\omega_1/\omega_2 - \bar\omega_2/\omega_1) = -3\,(|\omega_1|^2 - |\omega_2|^2)/\omega_1\omega_2\), et les termes isolés valent \((\bar\omega_1\omega_2^4 + \bar\omega_2\omega_1^4)/\omega_1^2\omega_2^2 (\omega_1-\omega_2)\). La page conduit le calcul jusqu'à une expression de \(\alpha\) sous la forme \(-\bigl(2i\,\omega_1^2\,\mathrm{Im}\,\tau\bigr)^{-1}\) fois une fonction de \(\tau\) seule — ce qui exhibe le poids \(2\) —, sans sommer la série.²⁰

72–74

L'algèbre linéaire des deux scindages (pages 72 à 74)

Les pages 72 et 74 reprennent la situation sans coordonnées. \(V\) est un espace de dimension \(2\) muni d'une forme alternée, extension \(0 \to L \to V \to L^{-1} \to 0\), et la conjugaison complexe est une involution antilinéaire, c'est-à-dire un isomorphisme \(\varphi\colon \bar V \to V\) avec \(\varphi\bar\varphi = 1\). Une fois choisi un scindage algébrique \(V = L \oplus L^{-1}\), la restriction de \(\varphi\) à \(\bar L\) a deux composantes, \[ A\colon \bar L \to L, \quad A \in \bar L^{-1}\otimes L ; \qquad B\colon \bar L \to L^{-1}, \quad B \in (\bar L L)^{-1}. \] ²¹ L'hypothèse \(B \neq 0\) (le scindage algébrique n'est pas celui de Hodge, ce qui est toujours le cas puisque \(\bar L \cap L = 0\)) permet d'exprimer \(\varphi\) sur \(L^{-1}\) : si \(y \in L^{-1}\), \(y = -AB^{-1}(y) + \varphi\bigl(\overline{B^{-1}(y)}\bigr)\). La page demande alors quand la conjugaison respecte la forme alternée, \(\langle \bar x, \bar y\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}\), et trouve, en l'écrivant pour \(x \in L\), \(y \in L^{-1}\), la condition \(B + \bar B = 0\) : \(B\) est purement imaginaire.²²

Dans le cas d'une courbe elliptique (page 74), \(B\) est la forme \(\omega \mapsto \int_E \omega\wedge\bar\omega\), et pour \(\omega = dz = ds + i\,dt\) (\(s\), \(t\) réels), \[ \int_E \omega\wedge\bar\omega = -2i\int_E ds\wedge dt = -2i\,|\omega_1|^2\,\mathrm{Im}\,\tau, \] donc \[ B = -2i\rho,\qquad \rho = \int_E ds\wedge dt = \mathrm{Vol}(E) > 0 . \] ²³ Quant à \(A\), c'est a priori un élément quelconque de \(\bar L^{-1}\otimes L\), défini indépendamment du choix de \(\omega\) ; la page demande ce qu'il est. Elle note que \(\gamma = -AB^{-1} \in L^{\otimes 2}\) est l'objet qui fait passer du scindage algébrique au scindage transcendant, et que la donnée de \((A,B)\) équivaut à celle de \(B\) et \(\gamma\). C'est la section \(\varpi\) de la page 66, au signe près.²⁴

74–76

Module et argument de \(A\) (pages 74 et 76)

La page pose, pour \(\omega\) et \(\eta\) choisis, \[ \rho = -\frac{1}{2i}\int_E \omega\wedge\bar\omega = \mathrm{Vol}(E), \qquad \sigma = -\frac{1}{2i}\int_E \eta_0\wedge\bar\eta_0, \] où \(\eta_0\) est une forme fermée de la classe de \(\eta\) (\(\sigma\) ne dépend pas de ce choix). Lorsque \(\eta\) est normalisée par \(\int_E \omega\wedge\eta = 1\), les deux conditions \(\varphi\bar\varphi = 1\) et \(B + \bar B = 0\) donnent \[ 4\rho\sigma = A\bar A - 1 . \] ²⁵ Ainsi \(B\) et \(A\bar A\) sont donnés par des volumes ; il reste l'argument de \(A\) (pour \(A \neq 0\)), qui dépend du choix de \(\omega\).

La page normalise alors \(\omega\) par \(\omega^{\otimes 12} = \Delta\), ce qui le détermine à une racine douzième de l'unité \(\zeta\) près. Comme \(A \in \bar L^{-1}\otimes L\), son écriture numérique dans la base \(\omega\otimes\bar \omega^{-1}\) est multipliée par \(\zeta/\bar\zeta = \zeta^2\) : elle est déterminée à une racine sixième de l'unité près, et \[ \Bigl(\frac{A}{|A|}\Bigr)^{6} \in \mathcal{U} = \{z \in \mathbf{C},\ |z| = 1\} \] est un invariant canonique de la courbe. La normalisation fixe aussi \(\rho\) et \(\sigma\). La page demande comment l'exprimer en fonction de \(j\), sans répondre. Avec la forme close de la page 66, la réponse est \[ \Bigl(\frac{A}{|A|}\Bigr)^{6} = \frac{G_2^*(\tau)^6/\Delta(\tau)} {\bigl|G_2^*(\tau)^6/\Delta(\tau)\bigr|}, \] fonction de \(\tau\) invariante par \(\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})\), donc fonction sur la droite des \(j\) — mais analytique réelle, non holomorphe : c'est une fonction de \(j\) et de \(\bar j\), non de \(j\) seul.²⁶

75–75

Un feuillet de l'avant-propos de SGA 4 (page 75)

Au dos de la page 74, un feuillet dactylographié barré du projet d'avant-propos de SGA 4 (travaux d'Igusa, d'Ogg et Chafarevitch ; plan des exposés I à XIX), qui porte ses corrections à l'encre : ponctuation, numéros d'exposés repassés, « théorème des dualités globales » ramené à « théorème de dualité globale », et, après « Théorèmes de changement de base », l'ajout « qui techniquement constituent le résultat central de ce séminaire ». Rien de mathématique ne s'y rapporte aux courbes elliptiques ; la transcription donne le détail.

79–80

III. Les courbes à multiplication complexe d'invariant rationnel (pages 79 et 80)

Un tapuscrit anonyme de deux feuillets, paginés « X-1 » et « X-2 », dresse la liste des courbes à multiplication complexe dont \(j\) est rationnel : elles correspondent aux ordres de nombre de classes \(1\) des corps quadratiques imaginaires, \(\mathbf{Q}(\sqrt{-d})\) pour \(d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163\) et les conducteurs \(f = 2\) (\(d = 1, 3, 7\)) et \(f = 3\) (\(d = 3\)) — treize ordres, et treize valeurs de \(j\), de \(j(i) = 12^3\) à \(j\bigl(\tfrac{-1+\sqrt{-163}}{2}\bigr) = -(2^6\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29)^3\), tirées du traité de Weber. Le texte réserve « peut-être une autre valeur \(d_?\) ».²⁷

Au crayon, deux remarques. Sur \(d = 1, 2, 3, 7, 11\), « euclidiens » : ce sont en effet exactement les corps quadratiques imaginaires euclidiens pour la norme. En marge : « NB les \(d\) sont premiers ! » — vrai pour \(d > 1\) ; la raison est la théorie des genres, selon laquelle le \(2\)-rang du groupe des classes est le nombre de premiers divisant le discriminant, moins un, de sorte qu'un nombre de classes \(1\) force un discriminant divisible par un seul premier.²⁸

82–93

IV. Bibliographie et formulaire traduit (pages 82 à 93)

Un tapuscrit anonyme en deux suites. La première (pages 82 à 84) est une bibliographie en dix rubriques, des fonctions elliptiques classiques (Jordan, Hurwitz–Courant, Fricke) à la multiplication complexe « formelle » de Lubin et Tate (1965), en passant par les schémas modulaires d'Igusa et, parmi les variétés abéliennes, deux exposés de ses Fondements de la géométrie algébrique (232 et 236) ; quelques traits au crayon en marge, sans mots. La seconde (pages 86 à 93) se donne pour « Courbes elliptiques – Formulaire (traduction libre d'un manuscrit inédit de Tate) », et suit en effet, en français, les feuillets de Tate des pages 35 à 39 : formules générales, changements de coordonnées, formes canoniques pour \(p \neq 2,3\), \(p=3\), \(p=2\), « courbes types », groupes d'automorphismes d'ordre \(12\) et \(24\), anneaux d'endomorphismes (un ordre maximal du corps de quaternions ramifié en \(3\) et \(\infty\) ; les quaternions entiers de Hurwitz en caractéristique \(2\)).²⁹

95–99

V. Le site modulaire près de \(j = 0\) et \(j = 12^3\) (pages 95 à 99)

Cinq pages de sa main, de la même encre. Elles réalisent le N.B. de la page 31 (section I). La page 96 est une lettre datée du 9 mars 1968 ; si les pages 97 et suivantes sont écrites au dos de cette feuille, elles lui sont postérieures.³⁰

\(M\) désigne ici le champ des courbes de Weierstrass sans fibre additive au-dessus de \(\mathbf{Z}\) — le champ des modules compactifié \(\overline{\mathcal{M}}_{1,1}\) —, qu'il appelle « site modulaire ».³¹

95–95

Les trois diviseurs et leurs classes (page 95)

Un dessin montre, au-dessus de \(\operatorname{Spec}\mathbf{Z}\), le diviseur \(\Delta = 0\) (la pointe), le diviseur \(j = 0\), c'est-à-dire \(c_4 = 0\), et le diviseur \(j = 12^3\), c'est-à-dire \(c_6 = 0\), qui se coupent au-dessus de \(p = 2\) et de \(p = 3\) — puisque \(12^3 = 2^6 3^3\) —, en des points où le groupe d'automorphismes est d'ordre \(24\) et \(12\). En caractéristique \(\neq 2,3\), les points de \(j = 0\) ont \(6\) automorphismes et ceux de \(j = 12^3\) en ont \(4\). Les diviseurs se lisent : \[ \operatorname{div}(j)^{+} = 3\operatorname{div}(c_4), \quad \operatorname{div}(j-12^3)^{+} = 2\operatorname{div}(c_6), \quad \operatorname{div}(j)^{-} = \operatorname{div}(j-12^3)^{-} = M^{\infty} = \operatorname{div}\Delta, \] puisque \(j = c_4^3/\Delta\) et \(j - 12^3 = c_6^2/\Delta\) ; et leurs classes dans le groupe de Picard du champ sont \[ \mathrm{cl}\bigl(\operatorname{div} c_4\bigr) = \omega^{4}, \qquad \mathrm{cl}\bigl(\operatorname{div} c_6\bigr) = \omega^{6}, \qquad \mathrm{cl}\bigl(M^{\infty}\bigr) = \omega^{12}, \] \(c_4\), \(c_6\), \(\Delta\) étant des sections de \(\omega^{\otimes 4}\), \(\omega^{\otimes 6}\), \(\omega^{\otimes 12}\).³²

Le lieu \(M' = V(c_4)\), sous-champ fermé défini par \(c_4 = 0\).

a) Au-dessus de \(\mathbf{Z}[\tfrac16]\), \(M'\) est isomorphe au champ classifiant \(B\mu_6\) : une courbe elliptique \(E\) sur une base \(S\) où \(6\) est inversible, avec \(c_4(E) = 0\), est une forme tordue de \(y^2 = x^3 + 1\), et lui correspond le \(\mu_6\)-torseur de ses isomorphismes avec cette courbe, dont le groupe d'automorphismes est \(\mu_6\) agissant par \((x,y) \mapsto (\zeta^2x,\zeta^3y)\). Il y a donc, sur \(\mathbf{Z}[\tfrac16]\), autant de telles courbes que d'éléments de \[ H^1\bigl(\operatorname{Spec}\mathbf{Z}[\tfrac16], \mu_6\bigr) \simeq \mathbf{Z}[\tfrac16]^{*}/\mathbf{Z}[\tfrac16]^{*6} \simeq \mathbf{Z}/2 \times \mathbf{Z}/6 \times \mathbf{Z}/6, \] soit \(72\) : les courbes \(y^2 = x^3 + u\), \(u\) parcourant les unités \(\pm 2^a3^b\) modulo les puissances sixièmes.³³

b) La fibre de \(M'\) en \(p = 2\) est de multiplicité \(4\) en un point unique, celle en \(p = 3\) de multiplicité \(2\) : \(M'\) est ramifié sur \(\mathbf{Z}\) exactement en ces deux points. Il n'est pas régulier en \(p = 2\), il l'est en \(p = 3\).³⁴

Le lieu \(M'' = V(c_6)\). a) Au-dessus de \(\mathbf{Z}[\tfrac16]\), \(M'' \simeq B\mu_4\), par la courbe \(y^2 = x^3 - x\) ; il y a \(32\) courbes elliptiques sur \(\mathbf{Z}[\tfrac16]\) avec \(c_6 = 0\), les \(y^2 = x^3 + ux\), \(u\) modulo les puissances quatrièmes (\(|\mathbf{Z}/2\times\mathbf{Z}/4\times\mathbf{Z}/4| = 32\)).³⁵ b) \(M''\) est de multiplicité \(6\) en \(p = 2\) et \(3\) en \(p = 3\), ramifié exactement en ces deux points, et régulier en aucun des deux — ce que donnent \(c_6 \equiv a_1^6 \pmod 2\) et \(c_6 \equiv -b_2^3 \pmod 3\), tous les autres termes de \(c_6 = -b_2^3 + 36b_2b_4 - 216b_6\) étant dans le carré de l'idéal maximal.

98–98

Paramètres locaux (page 98)

Au-dessus de \(\mathbf{Z}\), \(M\) est de dimension relative \(1\), et la page donne un paramètre local relatif en chaque région :

• hors de \(M' \cup M'' \cup M^{\infty}\) : \(j\) ;
• hors de \(M' \cup M''\), au voisinage de la pointe : \(1/j\) ou \(1/(j - 12^3)\) ;
• au voisinage de \(M'\) en caractéristique \(\neq 2,3\) : \(c_4\) ; de \(M''\) : \(c_6\) ;
• au point \(p = 2\), \(c_4 = c_6 = 0\) : \(a_1\) ; au point \(p = 3\) : \(b_2\).

Il demande ensuite la structure de l'anneau local complété de \(M\) en un point géométrique où \(c_4 = c_6 = 0\), et propose \(W[[t]]\), \(W\) l'anneau des vecteurs de Witt du corps résiduel (\(\overline{\mathbf{F}}_2\) ou \(\overline{\mathbf{F}}_3\)), avec \(t = a_1\) ou \(t = b_2\), en laissant à écrire les équations de \(c_4 = 0\) et \(c_6 = 0\). C'est l'anneau de déformation universel de la courbe supersingulière, et la réponse est exacte ; les équations sont, à des unités et à des termes de \((p,t)^2\) près, \(c_4 \equiv t^4\), \(c_6 \equiv t^6\) en caractéristique \(2\) et \(c_4 \equiv t^2\), \(c_6 \equiv -t^3\) en caractéristique \(3\), ce qui redonne les multiplicités de la page 95.³⁶

98–99

Le niveau 3 au-dessus de \(j = 0\) (pages 98, 97 et 99)

Soit \(M_3\) le champ — ici un schéma — des courbes elliptiques munies d'une base \((e_1,e_2)\) de leurs points d'ordre \(3\), au-dessus de \(\mathbf{Z}[\tfrac13]\) ; l'accouplement de Weil \(\langle e_1, e_2\rangle\) le fait vivre au-dessus du schéma \(\mu_3^{*}\) des racines primitives cubiques de l'unité, et \(G = \mathrm{GL}(2,\mathbf{F}_3)\) y opère.³⁷

La structure de \(M_3 \cap V(c_4)\) hors de \(6\) (page 98). Si \(E\) est une courbe elliptique sur \(S\), \(6\) inversible, avec \(c_4(E) = 0\), son groupe d'automorphismes \(\mu_6 = \mu_2\times\mu_3\) agit sur \({}_3E\) par \(\pm 1\) (le facteur \(\mu_2\), central) et par un élément unipotent (le facteur \(\mu_3\), qui est \(B_u\)) ; il y a donc dans \({}_3E\) un unique drapeau invariant, ce qui réduit le groupe structural de \(G\) au Borel \(B\). Sur \(\mathbb{S} = \mu_3^{*}[\tfrac16]\) il existe une courbe \(\mathbb{E}\) avec \(c_4 = 0\) et une base adaptée au drapeau ; toute courbe avec \(c_4 = 0\) et structure de niveau \(3\) s'en déduit localement, et \[ M_3[\tfrac16] \cap V(c_4) \;\simeq\; \mu_3^{*}[\tfrac16] \overset{B}{\times} G, \] réunion disjointe de \(|G/B| = 4\) copies de \(\mu_3^{*}[\tfrac16]\).³⁸

En \(p = 2\) (pages 97 et 99). La courbe \(\mathbb{E}\) a bonne réduction en \(2\) sur l'anneau des entiers de \(\mathbf{Q}(\sqrt[3]{1})\) (par exemple \(y^2 + y = x^3\), de discriminant \(-27\)).³⁹ Les quatre composantes irréductibles de \(M'_3 = M_3 \cap V(c_4)\) ne se rencontrent qu'au-dessus de \(2\), et s'y rencontrent toutes en un seul point \(a\), au-dessus du point \(b = \operatorname{Spec}\mathbf{F}_4\) de \(\mu_3^{*}\) : la courbe supersingulière de caractéristique \(2\) a pour groupe d'automorphismes \(G' = \mathrm{SL}(2,\mathbf{F}_3)\) tout entier, qui identifie entre elles toutes ses structures de niveau d'accouplement donné. \(M'_3\) est connexe.

Reste à savoir si les quatre branches ont en \(a\) des tangentes distinctes. L'espace tangent de Zariski de \(M_3\) en \(a\) est de dimension \(2\) sur \(\mathbf{F}_4\) et se scinde en \(V_1 \times V_2\), \(V_1\) vertical (tangent à la fibre \((M_3)_b\)) et \(V_2\) horizontal. Une branche, qui est une section de \(M_3 \to \mu_3^*\), a une tangente non verticale, c'est-à-dire le graphe d'une application linéaire \(V_2 \to V_1\) : il y a exactement \(4\) telles droites, \(\operatorname{card}\mathbf{P}^1(\mathbf{F}_4) - 1 = 5 - 1\). Or \(G'\) opère trivialement sur \(V_2\) (il respecte l'accouplement, donc la base \(\mu_3^{*}\)) et sur \(V_1\) par un caractère \(G' \to \mathbf{F}_4^{*}\) ; le noyau en est le \(2\)-sous-groupe de Sylow \(P' \simeq Q_8\), d'indice \(3\), de sorte que \(G' \to \mathbf{F}_4^{*} \simeq \mathbf{Z}/3\) est surjectif.⁴⁰ \(G'\) agit donc sur les quatre tangentes possibles par homothéties de \(\mathbf{F}_4\), avec deux orbites, \(\{0\}\) et \(\mathbf{F}_4^{*}\). Comme \(G'\) permute transitivement les quatre branches, l'ensemble de leurs tangentes est une seule orbite, de cardinal divisant \(4\) ; ce ne peut être que \(\{0\}\). Les quatre branches ont en \(a\) la même tangente, la direction horizontale.⁴¹ C'est cohérent avec la page 95 : quatre branches transverses à la fibre, chacune de multiplicité \(1\), donnent la multiplicité \(4\) de \(M'\) en \(p = 2\), et quatre branches par un même point sont la non-régularité qu'elle y constatait.

Un dernier paragraphe de la page 99, très raturé, raisonne par l'absurde sur l'action de \(\mu_3\) sur la courbe universelle au-dessus de \(M'_3\) : elle forcerait \(\mu_3\) à être central dans \(G' \simeq \mathrm{Aut}(E_a)\), « or le \(3\)-sous-groupe de Sylow de \(G'\) n'est pas central ». Le fait invoqué est exact (le centre de \(\mathrm{SL}(2,\mathbf{F}_3)\) est \(\{\pm 1\}\)) ; l'hypothèse réfutée ne se lit pas, et nous ne la restituons pas.⁴²