Cote n° 62 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Courbes elliptiques (généralités - vieille rédaction) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1963]
Édition de démonstration

41Soit \(S\) un schéma de base, et soit \(X\) un schéma de Br.-Severi sur \(S\) muni d'une trisection non ramifiée \(X'\), i.e. un sous-schéma ⌜fini⌝ de \(X\) qui est un revêtement étale sur \(X\), de degré \(3\) sur \(X\). ainsi sur la page : « sur \(X\) » les deux fois ; on attendrait \(S\). Le mot en interligne, en haut à droite, se lit mal Un tel truc peut être considéré comme un […] objet : […] structure \(\mathfrak{S}_3\), puisque […] \(\mathbf{P}^1_S\) […] […] il a été dit. La classification des tels objets […] […] […] \(=\) […] la classification des […] de \(H^1(S,\mathfrak{S}_3)\) des […] ⌜gal.⌝ rev. non ramifiés […] groupe \(\mathfrak{S}_3\) de \(S\). De plus, on définit […] \(X\) une […] […]⌜involutive⌝, […] […] […] […] \(X'\) en un \(X''\), dit associé à \(X'\). le mot souligné est lu « associé » ; le mot écrit au-dessus de la ligne et appelé par un trait est douteux Évidemment, […] […] […] […] \((X,X'')\), […] […] […] […], et […] […] \(X'\) [[…] […] …]. De plus, on obtient [[…] descente …] une bisection, […] ramifiée [[…] […] […] […] […] […] \(S\) […] car. \(\neq 2,3\)] …. […] […] […] […] […], […] […] \(\mathfrak{S}_3\), […] […] […] […] : \[ \mathbf{P}^1_S \xrightarrow{\ p\ } \mathbf{P}^1_S \] ([…] […] \(\mathfrak{S}_3\) […]

42page 17 du même tapuscrit « n° 276 » (complété d'un groupe topologique abélien, Lemme 1 sur les suites exactes de groupes métrisables), sans rapport direct avec les courbes elliptiques. Il porte au crayon, dans la marge gauche, en face de « suite de groupes abéliens », un mot appelé par un trait dans le texte, d'une main qui paraît être la sienne, sans certitude topologiques

43[…] […] […] […] […] […] […]) […] isomorphisme unique [[…] \(x\) pt de car. \(\neq 2,3\)] \[ X \xrightarrow{\ f\ } \mathbf{P}^1_S \] qui est caractérisé […] les sections \(0\), \(\infty\), \(1\) ⌜[…] de \(\infty\) dans \(X'\)⌝ […] exclusivement : l'image […] […] […] […] […], celle de \(\infty\) est \(X''\), celle de \(1\) est \(X_1\). l'ajout est écrit sous « \(0,\infty,1\) », entre deux traits ; le début de la phrase suivante, « l'image … », se lit mal. Après cette phrase, une croix isolée sépare les deux parties de la page

Supposons maintenant qu'on se donne, en plus, une donnée supplémentaire, une section \(s\) de \(X\) […] sur \(S\), […] […] par \(X'\) [i.e. une section de \(X-X'\) sur \(S\)]. Son image par \(f\) est une section de \(\mathbf{P}^1_S-(\infty)\), i.e. une section de \(\underline{O}_S\), appelée l'invariant de \((X,X',s)\), soit \(j\). dans \((X,X',s)\) une lettre est biffée devant le \(s\) Supposons par […] que l'invariant \(j\) ne prenne pas les valeurs \(0\), \(1\), i.e. soit inversible, ainsi que \(j-1\). Alors l'image inverse dans \(\mathbf{P}^1_S\) […] de \(j\colon S\to\mathbf{P}^1_S\) définit un […] ⌜revêtement⌝ galoisien de \(S\), non ramifié, de groupe \(\mathfrak{S}_3\), […] et c'est celui qui définit \(X\). [À l'inverse des faisceaux

45catégoriques généraux …].

Dans ce cas, l'invariant suffit à reconstituer […] la structure \((X,X',s)\).

Dans le cas où \(X\) est […], […], et où \(j\) n'est pas identiquement égal à \(0\) ou \(1\), […] […] […] […] […] […] […] […] […] \(X\) […] […] \(U\) […] c'est […] […] [\(\mathbf{P}^1_S\) […]], […] […] […] […], d'où reconstitution de \((X,X')\) ; […] […] […], on […] \(s\) […] \(U\), donc (\(X\) […]) partout. le passage souligné sous « \(j\) n'est pas identiquement égal à \(0\) ou \(1\) » est souligné en deux traits séparés Dans […] […], il faut des \(H\) supplémentaires. […] en particulier, […] […] […] […] : quelle […] convenablement ?? Il faut exprimer (i) qu'une certaine extension de corps […] de degré \(3\) […] du corps des fonctions de \(X\) est non ramifiée sur \(X\) (ii) qu'une certaine application rationnelle de \(X\) qui se déduit […] définie …

46feuillet du tapuscrit sans rapport (n° 276, p. 15 : corollaires sur les anneaux noethériens) ; seules sont données les notations qu'il y a jetées à l'encre dans la marge droite, écrites de biais \((2,\ \tfrac12(2-1))\) \((x',\ x'')\) \((0,1,\infty)\) chacune est entourée d'une accolade ; sur le tapuscrit, \(X_1\) est barré d'une croix à l'encre dans « \(K[[X_1,\ldots,X_r]]\) »

47Supposons […] […] […] […] […]

En tous cas, si \(j=0\), la situation est décrite par le fait que l'on a fait une réduction de […] structural de \(\mathfrak{S}_3\) à \(\mathbf{Z}/2\) ⌜[\(X''\) […] \(X'\) […] une section […] !]⌝, et […] […] est déterminée par la donnée d'un élément de \(H^1(S,\mathbf{Z}/2)\). […] […] ⌜Et, si \(j=1\)⌝, […] la situation est décrite […] […] […] […] une réduction du groupe structural : \(\mathbf{Z}/3\subset\mathfrak{S}_3\) [[…] : une section […] ⌜la bisection⌝ \(X_1\)] et la situation est décrite par la donnée d'un élément de \(H^1(S,\mathbf{Z}/3)\). « Et, si \(j=1\) » est écrit au-dessus d'un mot biffé ; « la bisection » est en interligne au-dessus de \(X_1\)

[…] En tous les cas, si \(j\) est inversible, alors faisant opérer \(\mathfrak{S}_3\) dans \(\mathbf{P}^1_S/(\mathbf{Z}/3)\) […] […] […] critique, […] […] dans […] ⌜[…] […]⌝ ⌜([…] de \(X'\), \(X''\) et \(s\))⌝ trois sections distinctes, […] […] […] […] […] \(\infty\), \(0\), \(1\), d'où une identification de ce dernier à \(\mathbf{P}^1_S\) ; et \(X\to\mathbf{P}^1_S\) se factorise par \[ \begin{array}{ccccc} X & \longrightarrow & \mathbf{P}^1_S & \longrightarrow & \mathbf{P}^1_S \\ & & \infty,0,1 & \longmapsto & \infty,0,j \end{array} \qquad t\mapsto jt^2 ; \] la bisection naturelle […] […] s'identifie donc […] : \(\sqrt{j}\), le \(S\) du premier \(\mathbf{P}^1_S\) est surchargé ; « \(t\mapsto jt^2\) » est écrit au-dessous de la flèche, la lettre lue \(j\) sous réserve

49[…] façon

Ceci nous a permis de donner de façon très explicite […] […] la « courbe ⌜[…]⌝ » de genre \(0\) sur \(S\), munie d'une section et d'une trisection non ramifiée, disjointes. [[…] \(=\) revêtement ⌜\(\mathfrak{S}_3\)⌝ […] galoisien ⌜\(S'\)⌝ de groupe \(\mathfrak{S}_3\) de \(S\) […] pour une section \(t\) […] disjointe de \(0,1,\infty\), invariante […] \[ S'\times_{(S,\mathfrak{S}_3)}\mathbf{P}^1_S \] par le groupe \(\mathfrak{S}_3\), i.e. une section \[ t\in\Gamma(S',\underline{O}_{S'}), \] inversible et telle que \(t-1\) soit inversible, et satisfaisant à \[ \sigma.t = \varphi_\sigma(t) \qquad \sigma\in\mathfrak{S}_3 \] i.e. \[ \begin{cases} \lambda t = \dfrac{1}{t} \\[1ex] \mu t = 1-t \end{cases} \] « invariante » est écrit sous une accolade qui embrasse « une section \(t\) disjointe de \(0,1,\infty\) » ; devant \(S'\times_{(S,\mathfrak{S}_3)}\mathbf{P}^1_S\), deux essais sont biffés. Le \(\varphi_\sigma\) est écrit sur une autre lettre

\begin{tikzcd}
X & \mathbf{P}^1_{S'} \arrow[l] \arrow[d] \\
S & S' \arrow[l, "\mathfrak{S}_3"]
\end{tikzcd}

carré en marge gauche ; \(X\to S\) est tracé d'une flèche fine, et un long trait vertical, portant en biais « fonctoriel », borde le passage depuis le crochet ouvrant fonctoriel

Exemple \(S=\operatorname{Spec}(\mathcal{O})\), \(\mathcal{O}\) anneau local complet ⌜(de car. \(\neq 2,3\))⌝ à corps résiduel alg. clos […]. Alors […] […] \(\pi_1(S)=0\), donc la situation équivaut, ⌜Dém. […] […]⌝ […] à la donnée d'un \(t\in\mathcal{O}^*\) tel que […] \(t(t-1)\in\mathcal{O}^*\), deux tels \(t\), \(t'\) donnant des objets isomorphes […] s.s.s. \(t'\) […] de \(t\) par […] \(\varphi_\sigma(t)\), \(\sigma\in\mathfrak{S}_3\). non fonctoriel « non fonctoriel », en biais dans la marge gauche, est souligné deux fois ; l'ajout « Dém. … » est entouré au-dessus de la ligne

Autre façon de procéder

titre de sa main, souligné, en tête de la page 51

51Prenons la section privilégiée comme section \(\infty\), donc \(X-s_\infty=\Lambda\) apparaît comme un \(S\)-fibré principal projectif homogène de groupe \(\mathcal{L}\), où \(\mathcal{L}\) est un […] […] […], associé à un fibré faisceau inversible \(\underline{L}\) [… […] explique de façon bien précise. un double trait vertical, dans la marge gauche, borde les lignes qui suivent […] schéma de Brauer–Severi et une section dans le dernier …]. Alors la trisection de \(\Lambda\) permet de construire, […] […] […] une section de \(\Lambda^3\), d'où [\(3\) étant inversible] une section de \(\Lambda\), i.e. la section barycentrique [[…] explique […] […] […], […] […] […] […] […] inversible […] un schéma […] ⌜défini⌝, […] \(\mathcal{L}\) […] […] […] une […]-section […] […] fibré principal \(\Lambda\) de groupe \(\mathcal{L}\)]. Cela définit un isomorphisme \[ \Lambda \simeq \mathcal{L} \] global, identifiant \(X'\) à une

53trisection de \(\mathcal{L}\), de « somme » nulle.

La classification ⌜donnée⌝ d'un système privilégié […] ⌜portés⌝ sur \(S\) […] […] équivalente […] à celle d'un faisceau […] inversible […] \(\underline{L}\) ⌜non ramifiée⌝ sur \(S\), et d'une trisection \(X'\) de \(\mathcal{L}=V(\underline{L})\), de […] « somme » nulle […] \(V(\underline{L})^{\otimes 3}\). la phrase est soulignée par morceaux ; « non ramifiée », entouré, est écrit sous « inversible \(\underline{L}\) » et relié par un trait à « \(X'\) » Mais on peut aussi éliminer les ⌜[…]⌝ […], symétriques […] […] […] trisection. […] […] […] […] […] […] […] […] note en biais dans la marge gauche, sur une dizaine de lignes courtes, en partie biffée d'un trait oblique ; on y distingue \(\mathfrak{S}_3\) et une croix, sans pouvoir la lire

56feuille de brouillon (papier bleuté) : formules isolées, données dans l'ordre de la page ; un petit rectangle griffonné en haut à gauche, portant \(\Delta^2\), \(\Delta^3\), \(y\), \(x\) aux coins, n'est pas repris

\[ (D_\xi u_\xi)^2 = 4u_\xi^3 + b_\xi u_\xi + c_\xi \] \((D_\xi x_\xi)^2 = 4\ldots\) \(u_\xi\in\Delta^?\) \[ (D_{\lambda\xi}u_{\lambda\xi})^2 = 4u_{\lambda\xi}^3 + b_{\lambda\xi}u_{\lambda\xi} + c_{\lambda\xi} \] \[ u_\xi = 6x_{\xi^2} \qquad\qquad u_{\lambda\xi} = \rho\, u_\xi \] une lettre biffée devant \(u_{\lambda\xi}=\rho u_\xi\) \[ C \,\big|\, \underline{O}\to\underline{O}(1) \qquad f_*(\underline{O}(n)) = E_n \qquad\Big|\qquad \lambda^2\rho^2(D_\xi u_\xi)^2 = 4\rho^3u_\xi^3 + \rho b_{\lambda\xi}u_\xi + c_{\lambda\xi} \] \(C\) au-dessus d'une flèche verticale vers \(S\) ; sous le dernier membre, un signe d'égalité vertical \[ \underline{O} = E_1 \subset E_2 \subset E_3 \subset E_4 \subset E_5 \subset E_6 \subset \cdots \subset E_n \] \[ \underline{O} = \Delta^0 \qquad L_2 \qquad L_3 \qquad\Big|\qquad L_2^2 \qquad L_2L_3 \qquad L_2^3 \] sous chaque inclusion une petite accolade, qui en désigne le quotient ; sous \(L_3\), « \(\simeq \Delta L_2\) » ; sous \(L_2^2\), \(L_2L_3\), \(L_2^3\), des termes en \(\Delta\) (\(\Delta L_3\), \(\Delta^3 L_2\), …) couverts de hachures ; sous \(L_2\) trois lignes illisibles, où l'on lit \(\omega_1,\omega_2,\omega_3\), et sous le tout une accolade marquée « pairs » \[ y^2 = 4x^3 + bx + c \qquad\qquad \frac{y}{x} = D \] une lettre biffée devant \(y^2\), et sous « \(\frac{y}{x}\) » le \(x\) est barré \[ (D_\xi u_\xi)^2 = 4\,\frac{\rho}{\lambda^2}\,u_\xi^3 + \frac{1}{\rho\lambda^2}\,b_{\lambda\xi}u_\xi + \frac{c_{\lambda\xi}}{\lambda^2\rho^2} \] \[ \rho = \lambda^2 \qquad \begin{cases} u_{\lambda\xi} = \lambda^2 u_\xi\\ b_{\lambda\xi} = \lambda^4 b_\xi\\ c_{\lambda\xi} = \lambda^6 c_\xi \end{cases} \qquad \begin{array}{l} u_\xi \in L_2 \simeq \Delta^2\\ b_\xi \in \Delta^0\\ c_\xi \in \Delta^0 \end{array} \] ainsi sur la page : \(\Delta^0\) pour \(b_\xi\) et \(c_\xi\) ; l'exposant de \(b_\xi\) est surchargé \[ \Delta^4\longrightarrow\underline{O}_S \qquad \Delta^6\longrightarrow\underline{O}_S \qquad \Delta^2\longrightarrow\Delta^2 \qquad\qquad \begin{array}{l} \Delta^{?}\simeq\mathcal{L}^{18}\\ \Delta^2\simeq\mathcal{L}^3 \end{array} \] les deux relations de droite, plus petites, se lisent mal ; l'exposant de \(\mathcal{L}\) est lu \(18\) sous réserve \[ \begin{cases} b\in\Delta^{-4}\\ c\in\Delta^{-6}\\ u \ \text{scalaire} \end{cases} \qquad\qquad u_\xi = \xi^2 \] sous « \(u_\xi=\xi^2\) », un trait horizontal prolongé d'une oblique, et \(\xi^2\) au-dessous

57feuille de brouillon (papier bleuté), dans l'ordre de la page

\[ \begin{array}{c} X\\[1ex] \\ S \end{array} \qquad X\times_S X \supset R \qquad\qquad \begin{array}{ccc} \mathcal{B} & & A\\ X & \longrightarrow & Y\\ \nearrow & & \nearrow\\ X\times_Y X & \longrightarrow & X \end{array} \qquad x_i : \] \[ B\otimes_A B \] \[ \begin{array}{c} B\\ | \\ A \end{array} \qquad A \longrightarrow B\otimes_A B \qquad B \] \(x_i\otimes 1\) base de \(B\otimes B\) sur \(B\otimes B\) / […] […] \(\mathfrak{m}\subset A\) les \(\otimes\) de cette ligne sont surchargés ; « \(\mathfrak{m}\subset A\) » est lu sous réserve

\(x_i\otimes 1\) — \(L\otimes_K L\) sur \(1\otimes L\)

\(x_i\) base de \(L\) sur \(k\)

\(x_i\) générateurs de \(B\) sur \(A\) par Nakayama. \[ \sum\lambda_i x_i = 0 \qquad \lambda_i\in A \] \(\sum\lambda_i x_i\) \[ \Bigl(\sum\lambda_i x_i\Bigr)\otimes_A 1 = \sum(x_i\otimes 1)(1\otimes\lambda_i) = 0 \] \(1\otimes\lambda_i=0\) pour tout \(i\) ;

Utilisant \(B\otimes_A B\to B\), on trouve \(\lambda_i\otimes 1 = 0\) \(1\otimes\lambda_i = \lambda_i\otimes 1\) \[ \lambda_i = 0 \ \text{dans}\ B \]

Théorie transcendante (Généralités classiques)

inscrit au crayon, de sa main, en haut à droite du feuillet de garde (page 58), qui ne porte rien d'autre ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page. Les pages 59–60, sur papier brun, sont d'une encre brune et d'une écriture posée, plus ancienne d'aspect

59Fonction elliptique. C'est une fonction méromorphe dans le plan à distance finie, et admettant deux périodes distinctes \(\omega_1\) et \(\omega_2\). […] En particulier, une constante est une fonction elliptique. Si \(f(z)\) n'est pas une constante, le rapport de \(\omega_1\) et \(\omega_2\) n'est pas réel imaginaire. ⌜Définition de la période (\(\omega_1\) et \(\omega_2\) donnent […] […] […] parallélogramme). Mais il faut remplacer « \(\omega_1\) et \(\omega_2\) » !⌝ ⌜le domaine d'une fonction elliptique n'est certain […] […] […]⌝ deux lignes serrées en interligne, au-dessus de « … correspondant du plan » ; lues par fragments […] correspondant du plan. On peut définir un réseau de parallélogrammes correspondants aux périodes \(\omega_1\) et \(\omega_2\) et à un sommet \(a\) arbitraire. Ils sont déterminés par leurs sommets de la forme \(a+n_2\omega_2+n_1\omega_1\) ; tout point qui n'est pas de la forme \(a+n\omega_2+\lambda\omega_1\), ou \(a+\lambda\omega_2+n\omega_1\) (\(\lambda\) et \(n\) réels, \(n\) entier) appartient : \(1\) et \(1\) seul de ces parallélogrammes ⌜il bien […]⌝ […], tout point qui est de la forme parallèle, mais non de la forme \(a+n_1\omega_2+n_1\omega_1\) (\(=a+\omega\)), […] appartient : deux et deux seulement de ces par., il appartient aux côtés, non au sommet ; enfin, un point de la forme \(a+n_1\omega_2+n_2\omega_1\) appartient : \(4\) et \(4\) seulement de tels par., il appartient : leurs sommets. ainsi sur la page : \(n_1\) deux fois dans la deuxième forme ; les indices varient d'une forme à l'autre

Si on se donne un parallélogramme de périodes, tout point est l'homologue soit d'un pt intérieur \(\xi\), soit de deux pts sur les côtés, et non les sommets, soit de \(4\) sommets. ⌜En particulier, deux pts intérieurs d'un même par. de périodes ne sont pas homologues⌝ Si on se donne la fonction

On peut trouver des par. des périodes, tels que sur leurs côtés ne se trouve aucun zéro, pôle etc. ; dans ce cas, la […] ⌜liste⌝ des zéros (pôles) avec leur ordre de multiplicité, est indépendante du par. considéré. Il en est ainsi en toute généralité, si on compte une seule fois […] les zéros de tout groupe de zéros homologues (situés ils ont situés sur les sommets — auquel cas on les divise par \(4\) — autrement où les divise par deux).

60L'ens. des val. prises par \(f(z)\) dans un par. des périodes est égal à l'ensemble des valeurs prises dans tout le plan.

\(\times\) Si une fonction elliptique n'a pas de pôles, elle est constante. la croix est dans la marge, devant la phrase

Remarque que la somme, le produit, le quotient, la dérivée, de fonctions elliptiques de m. périodes sont de m. périodes.

Théorème II La somme des résidus d'une fonction elliptique dans un par. de périodes est nulle.

Donc une fonction elliptique […] admet dans un par. de périodes au moins deux pôles (chacun compté avec son ordre de multiplicité).

Théorème III Le nombre des zéros et le nombre des pôles d'une fonction elliptique dans un parallélogramme des périodes est le même (en supposant toujours que sur les côtés …) ; il en est de même du nombre de fois qu'il prend la valeur ⌜une valeur⌝ donnée (sous les m. réserves).

Le nombre est appelé ordre de la fonction elliptique.

Théorème […] Deux fonctions elliptiques de m. périodes, qui ont mêmes zéros et mêmes pôles, avec le m. ordre de multiplicité, sont égales à un facteur constant près. Elles sont égales à une constante additive près, si elles ont m. périodes, et m. pôles, avec m. partie principale. le chiffre romain de ce théorème est recouvert d'une tache d'encre ; un long trait courbe, dans la marge gauche, le relie au théorème II

Théorème IV La somme des zéros d'une fonction toute elliptique dans un parallélogramme de périodes égale la somme de ses pôles, à une période près.

Théorème V. Entre deux fonctions elliptiques de m. périodes existe une relation algébrique.