Fonds Grothendieck, cote n° 62, pages 21–40

page 9 d'un tapuscrit dactylographié « n° 276 » (modules filtrés complets : Proposition 4, un module filtré est complet ssi toute série dont le terme général tend vers 0 converge ; Corollaires 1 et 2), sans rapport direct avec les courbes elliptiques. Il porte au crayon, dans la marge gauche, en face du Corollaire 1, une remarque d'une main qui paraît être la sienne, sans certitude ; un trait ondulé souligne « résulte » fait général métrisables !

feuille de calcul, à l'encre, sans rédaction : le j d'une cubique en fonction de ses racines x_1,x_2,x_3. Les calculs sont donnés dans l'ordre de la page \frac{(t+1)(2t-1)(t-2)}{t(t-1)} = \frac{(2x_1-x_2-x_3)(2x_2-x_3-x_1)(2x_3-x_1-x_2)}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)} . entre 2x_1 et x_2, au numérateur, un signe surchargé ~~x_1+x_2+x_3~~ \boxed{\ j = -\frac{1}{27\Delta}\bigl[(2x_1-x_2-x_3)(2x_2-x_3-x_1)(2x_3-x_1-x_2)\bigr]^2\ } la formule biffée, à gauche du cadre, est lue sous réserve \sum x_i = -a, \qquad \sum x_ix_j = b, \qquad x_1x_2x_3 = -c \qquad\qquad \Delta = \bigl((x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)\bigr)^2 le signe devant c est écrit sur une tache j = \frac{\bigl[(3x_1+a)(3x_2+a)(3x_3+a)\bigr]^2}{-27\,\Delta} ~~\dfrac{27}{-\Delta}\Bigl[\bigl(\tfrac{a}{3}+x_1\bigr)\bigl(\tfrac{a}{3}+x_2\bigr)\bigl(\tfrac{a}{3}+x_3\bigr)\Bigr]^2~~ sous cette ligne biffée, un \tfrac{a}{3} entouré et surchargé \begin{aligned} \sqrt{-27\Delta j} &= a^3 + 3a^2(x_1+x_2+x_3) + 9a(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1) + 27\,x_1x_2x_3\\ &= a^3 - 3a^3 + 9ab - 27c\\ &= -2a^3 + 9ab - 27c \end{aligned} dans la première ligne, le signe après a^3, l'exposant de 3a^2 et le coefficient 9 sont écrits sur d'autres signes ; une tache avant x_1x_2x_3 \boxed{\ j = \frac{(27c + 2a^3 - 9ab)^2}{-27\,\Delta}\ } ~~\prod(x_1^2+x_2^2-2x_1x_2) =~~

page 10 du même tapuscrit « n° 276 » (fin de la preuve du Corollaire 2 ; Proposition 5 : si A est séparé, resp. complet, pour la topologie \mathfrak{m}-adique, l'anneau A[[X]] filtré par les puissances de l'idéal engendré par \mathfrak{m} et X est séparé, resp. complet). Au crayon, de la même main qu'à la page 21 : le mot « engendré » est écrit au-dessus de « par \mathfrak{m} et X » dans l'énoncé, et une note court en biais dans la marge gauche Dire topologie celle des coefficients

feuille de calcul, à l'encre : forme normale, birapport et racines de la cubique y^2 = 4x^3 - h(x+1) \qquad\qquad h = 27j\,(j - 2^6 3^3)^{-1} ~~y^2 = ax^3 + bx^2 + cx + d~~ y^2 = x^3 + ax^2 + bx + c sous a, b, c sont écrits les chiffres 1, 2, 3 ; le a est écrit sur une autre lettre \begin{array}{cccc} x_1 & x_2 & x_3 & x_4\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow\\ \infty & 0 & 1 & t \end{array} le x_4 est surchargé ; à droite, un petit croquis des quatre points \infty, 0, 1, t sur une droite, reliés deux à deux par des crochets ((0,1,\infty,t)) = ((x_1,x_2,x_3,x_4)) une accolade sous « 0,1 » \frac{x_1-x_3}{x_1-x_4} : \frac{x_2-x_3}{x_2-x_4} = \frac{0-\infty}{0-t} : \frac{1-\infty}{1-t} = \frac{1-t}{-t} = -\frac{1}{t} + 1 \frac{t-1}{t} \qquad\qquad \frac{t-\infty}{t-0} : \frac{1-\infty}{1-0} t = \frac{1-\infty}{1-0} : \frac{t-\infty}{t-0} = \frac{x_3-x_1}{x_3-x_2} : \frac{x_4-x_1}{x_4-x_2} Si x_4=\infty, … \boxed{\ t = \frac{x_3-x_1}{x_3-x_2}\ } \qquad t-1 = \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} \qquad \frac{c-a}{c-b} \;\Big|\; \frac{c-b}{c-a} \frac{a-b}{a-c} \qquad \frac{a-b}{c-b} \cdot \frac{b-a}{b-c} ces fractions en a,b,c sont griffonnées au bord droit, la dernière coupée par le bord ; le signe entre les deux dernières est une tache t+1 = \frac{2x_3-x_1-x_2}{x_3-x_2} \qquad 2t-1 = \frac{x_3-2x_1+x_2}{x_3-x_2} \qquad t-2 = \frac{-x_3-x_1+2x_2}{x_3-x_2} dans la dernière fraction, le signe devant x_1 est surchargé

\mathbf{P}^1_S sections 0,1,\infty. Le groupe des automorphismes s'identifie au groupe \mathfrak{S}_3 des permutations des trois points 0,1,\infty, groupe qui a 6 éléments 1,\varphi,\psi,\lambda,\mu,\nu la dernière lettre, écrite comme un \vartheta, est lue \nu ici et dans toute la suite ; un long trait vertical double et une boucle, à l'encre brune, dans la marge gauche en haut de la page (1)\quad \begin{cases} \varphi(t) = 1 - \dfrac{1}{t}\\[2ex] \psi(t) = \dfrac{1}{1-t} \end{cases} 2 permutations circulaires non triviales sur 0,1,\infty (2)\quad \begin{cases} \lambda t = \dfrac{1}{t}\\[1ex] \mu t = 1-t\\[1ex] \nu t = 1 + \dfrac{1}{t-1} = \dfrac{t}{t-1} \end{cases} \qquad\qquad \begin{array}{c} 1\\ \infty\\ 0 \end{array} transposition de 0,\infty ; transposition de 0,1 ; transposition de 1,\infty (dans l'ordre des trois lignes). à droite des trois formules, séparés par un double trait vertical, les points 1, \infty, 0, chacun en face de sa ligne : le point fixé par la transposition renommer : \lambda t = 1-t, \mu t = t/(t-1), \nu t = 1/t ?? note en biais au bord droit, délimitée par une accolade, en partie coupée par le bord 3)\ \text{a)}\ \boxed{\begin{array}{ll} \varphi^2 = \psi & \psi^2 = \varphi\\ & \varphi\psi = \psi\varphi = 1 \end{array}} \quad \text{b)}\ \boxed{\lambda^2 = \mu^2 = \nu^2 = 1} \quad \text{c)}\ \boxed{\begin{array}{l} \lambda\mu = \mu\nu = \nu\lambda = \varphi\\ \mu\lambda = \nu\mu = \lambda\nu = \psi \end{array}} \text{d)}\ \boxed{\begin{array}{l|l} \varphi\lambda = \mu\varphi = \nu & \psi\nu = \mu\psi = \lambda\\ \varphi\mu = \nu\varphi = \lambda & \psi\mu = \lambda\psi = \nu\\ \varphi\nu = \lambda\varphi = \mu & \psi\lambda = \nu\psi = \mu \end{array}} dans le cadre a), sous \varphi^2=\psi, un mot biffé et illisible ; le cadre d) est au bord droit de la page

1,\varphi,\psi cyclique d'ordre 3, engendré par \varphi et \psi, invariant dans \mathfrak{S}_3. Le quotient est \mathbf{Z}/2 et \mathfrak{S}_3 est produit semi-direct ; il y a trois sous-groupes , engendrés resp. par \lambda,\mu,\nu (les seuls éléments d'ordre 2) 4)\quad \begin{cases} {}^{\varphi}\lambda = \mu \quad {}^{\varphi}\mu = \nu \quad {}^{\varphi}\nu = \lambda\\ {}^{\psi}\nu = \mu \quad {}^{\psi}\mu = \lambda \quad {}^{\psi}\lambda = \nu \end{cases} \qquad 5)\quad \begin{cases} {}^{\lambda}\varphi = {}^{\mu}\varphi = {}^{\nu}\varphi = \psi\\ {}^{\lambda}\psi = {}^{\mu}\psi = {}^{\nu}\psi = \varphi \end{cases} 4) et 5) sont écrits à droite du paragraphe qui précède ; l'exposant à gauche note la conjugaison

De plus, on a de \mathbf{P}^1 un automorphisme de carré 1, donné par 6)\quad \sigma t = \frac{t-2}{2t-1} \qquad [\sigma^2 = \mathrm{id}] un « 5 » appuyé termine la ligne « De plus, on a … automorphisme » ; son rôle n'est pas clair. La lettre \sigma est écrite sur une autre, les deux fois Normalisateur : \mathfrak{S}_6 (c'est d'ailleurs le seul, l'indice de \mathfrak{S}, lu 6, est peu net ; la phrase se poursuit à la page 29

l'identité). Il 0,1,\infty en 7)\quad \begin{cases} \sigma 0 = 2\\ \sigma 1 = -1\\ \sigma\infty = \tfrac12 \end{cases} Prouver : le normalisateur de \mathfrak{S}_3 dans \operatorname{Aut}\mathbf{P}^1_S est \mathfrak{S}_3\times(\mathbf{Z}/2) note en biais dans la marge gauche ; le \mathbf{Z} de \mathbf{Z}/2 est surchargé et entouré La différente de \mathfrak{S}_3 pts de ramification — formée de l'ens. des pts fixes de l'un des cinq \lambda\mu\nu\varphi\psi distincts de l'identité. Pour \lambda,\mu,\nu, on trouve les sections (1,-1) (\infty,\tfrac12) (0,2), [stables par \sigma]. Pour \varphi (et \psi, c'est pareil), on trouve le couple (1,-1) est écrit sur un autre, en surcharge appuyée 1 - \frac1t = t \quad \ldots 8)\qquad t^2 - t + 1 = 0 i.e. l'équation cyclotomique \boxed{\Phi_6(t) = 0}. 6

C'est aussi \overline{S} l'un des pts fixes sous \sigma. le \overline{S}, surligné, est écrit au-dessus de « l'un » ; sa place dans la phrase n'est pas sûre [Il est non ramifié sur S aux pts s\in S tels que k(s) soit de car. \neq 2,3]. \mathbf{Z}_2 = \mathfrak{S}_3/(\mathbf{Z}/3) y opère, de façon non triviale aux pts non ramifié sur S.

D'autre part, le schéma G des automorphismes de \mathbf{P}^1 qui laissent \overline{S} invariant est une extension de \mathbf{Z}_2 [automorphismes de \overline{S}] par (\mathbf{G}_m)_S tordu —- [par le rev. cyclotomique] les pts (car. 2 ou 3) de S note dans la marge gauche, séparée du texte par un trait vertical, en face de ce paragraphe

\begin{tikzcd} e \arrow[r] & \mathbf{G}_m^{\mathrm{tordu}} \arrow[r] & G \arrow[r] & \mathbf{Z}/2 \arrow[r] & e \\ e \arrow[r] & \mathbf{Z}/3 \arrow[r] \arrow[u] & \mathfrak{S}_3 \arrow[r] & \mathbf{Z}/2 \arrow[r] \arrow[u, no head, "\Vert" description] & e \end{tikzcd}

sur la page, une seule flèche verticale, \mathbf{Z}/3\to\mathbf{G}_m, et un signe \| entre les deux \mathbf{Z}/2 ; aucune flèche n'est tracée de \mathfrak{S}_3 vers G. « tordu » est écrit en exposant de \mathbf{G}_m

On supposera désormais qu'il n'y a pas de pts s de car. 2 ou 3 dans S. Alors ~~opère~~ \mathfrak{S}_3\times \mathbf{Z}_2 opère « tamely » sur \mathbf{P}^1_S [en effet, il est compatible avec la fibration \mathbf{P}^1_S\to S, et opère « tamely » sur les fibres …] le quotient s'identifie par le groupe ou un ss-groupe pour à \mathbf{P}^1_S [car il est lisse sur S, et rationnel sur S d'après Lüroth]. Les sections de pts fixes (0,1,\infty) (2,-1,\tfrac12) (\overline{S}=x',x'') — qui sont disjointes, et chacune stable sous \mathfrak{S}_3, chacun de ces ensembles sur lequel il opère de façon transitive sans chaque fibre ; donnent de \mathbf{P}^1_S/\mathfrak{S}_3 trois sections distinctes [à expliciter…] qu'on peut utiliser pour identifier \mathbf{P}^1_S/\mathfrak{S}_3 à \mathbf{P}^1_S muni des sections \infty,0,1. De même, ~~de se donner des~~ \mathbf{P}^1_S/(\mathbf{Z}/3) est muni d'abord de deux sections, qui correspondent à (0,1,\infty) et (2,-1,\tfrac12), et qui « s'identifie » est traversé par le trait qui appelle l'ajout en interligne ; le premier des deux 2 de (2,-1,\tfrac12) est surchargé

sont les sections de ramification de \mathbf{P}^1_S sur \mathbf{P}^1_S/(\mathbf{Z}/3). Prenons S' = S(\sqrt{-3}) de S, d'où dans \mathbf{P}^1_{S'} deux sections ~~un diviseur~~ par \overline{S}', soient x' et x'', qui donnent sur \mathbf{P}^1_{S'}/(\mathbf{Z}/3) deux sections ; prenant pour l'une comme la section unité (\infty et 0 étant déjà choisis ci-dessus) que l'autre est -1. Cela définit un isomorphisme (\mathbf{P}^1_S/(\mathbf{Z}/3))\times_S S' \simeq \mathbf{P}^1_{S'} . Ainsi, \mathbf{P}^1_S/(\mathbf{Z}/3) est can. isomorphe à un fibré principal de groupe \mathbf{G}_{m,S}, [associé à un faisceau inversible \Lambda_S], \Lambda_S étant muni d'une bi-section non ramifiée ~~symétrique~~ non ramifiée, ou (ce qui revient au même) d'une forme quadratique non dégénérée ; le fait de munir de cette bisection autre que celle du revêtement S' = S(\sqrt{-3}).

Posant S' = S(\sqrt{-3}), on obtient la forme suivante le reste de la page est blanc, sauf un mot isolé, « suivante » ou « suivants », en tête de la dernière ligne

\begin{array}{lllcccc} t & \mathbf{P}^1 & & \{0,1,\infty\} & \{2,-1,\tfrac12\} & x' = \tfrac12(1+\sqrt{-3}) & x'' = \tfrac12(1-\sqrt{-3})\\ \mathbf{Z}/3 & \big\downarrow & f & \big| & \big| & \big\| & \big\|\\ s & \mathbf{P}^1 & & \infty & 0 & 1 & -1\\ \mathbf{Z}/2 & \big\downarrow & g & \big\| & \big\| & \big\downarrow & \swarrow\\ r & \mathbf{P}^1 & & \infty & 0 & 1 & \end{array} schéma de la page, redessiné en tableau. Trois droites \mathbf{P}^1 de coordonnées t, s, r, reliées par f (groupe \mathbf{Z}/3) et g (groupe \mathbf{Z}/2). Sur la page : au-dessus de s=\infty et s=0, les fibres \{0,1,\infty\} et \{2,-1,\tfrac12\}, marquées « non ramifié » ; au-dessus de s=1 et s=-1, les points x' et x'', marqués « ramifié » (traits doubles) ; au-dessus de r=\infty et r=0, les points s=\infty et s=0, marqués « ramifié » ; s=1 et s=-1, réunis par une accolade, vont tous deux sur r=1, marqué « non ramifié ». Les deux fibres du haut sont écrites au-dessus de chiffres fortement surchargés ; l'étiquette de f est biffée ; un signe biffé après le 1 de la ligne s

Pour déterminer explicitement f et g, on procède ainsi. [On peut supposer que S = \operatorname{Spec}(A), A = \mathbf{Z}[2^{-1},3^{-1}] ~~S = \operatorname{Spec}(\mathbf{Z}[2^{-1},3^{-1}])~~] [ \operatorname{Spec}(A)]. restriction de g : \mathbf{P}^1_S-(\infty)-(0) est endomorphisme de \mathbf{G}_m dans lui-même, donc est de la forme t\mapsto\lambda t^n, où n\in\mathbf{Z}, et \lambda\in H^0(S,\underline{O}_S^*). Comme g(\infty)=\infty, on a n>0, et comme S non ram. (d'ordre 2, on a n=2. D'autre part g(1)=1, d'où \lambda=1 ~~\lambda 2^\alpha 3^\beta. A, donc de la forme~~ l'ajout « g(1)=1, d'où \lambda=1 » est écrit sur la fin de la ligne, qui est barrée d'un double trait, et coupé par le bord droit ; la ligne suivante est biffée en entier (9)\qquad r = g(s) = s^2 Cette formule est valable sur tout le \mathbf{P}^1 [ , et justifier cette notation —]

f, comme dessus f\colon \mathbf{P}^1_{S'}\to\mathbf{P}^1_{S'} ; et section (p. ex. 0) disjointe de la ramification — sections disjointes — . , ramification : en \infty et — paragraphe écrit vite, lu seulement par fragments ; la formule f\colon\mathbf{P}^1_{S'}\to\mathbf{P}^1_{S'} est soulignée et en partie barrée s = f(t) = \frac{1 + \Bigl(\dfrac{t-x'}{t-x''}\Bigr)^3}{1 - \Bigl(\dfrac{t-x'}{t-x''}\Bigr)^3} = \frac{(t-x'')^3 + (t-x')^3}{(t-x'')^3 - (t-x')^3} = \frac{2t^3 - 3t^2(x''+x') + 3t(x'^2+x''^2) - (x'^3+x''^3)} {3t^2(x'-x'') + 3t(x''^2-x'^2) - (x''^3-x'^3)} dans les deux fractions intérieures, un signe biffé devant chaque t ; les signes « - » des deux dernières lignes sont écrits sur des taches. Un long trait sinueux sépare la page en deux colonnes : à gauche le diagramme et le calcul de f comme composé, à droite le calcul de x', x''

\begin{tikzcd} \mathbf{P}^1 \arrow[r, "u"] \arrow[d, "f"'] & \mathbf{P}^1 \arrow[d, "h"] \\ \mathbf{P}^1 \arrow[r, "v"'] & \mathbf{P}^1 \end{tikzcd}

autour du diagramme : en haut à gauche, « \infty » au-dessus de « (x',x'') », et u(t) = \dfrac{t-x'}{t-x''} ; en haut à droite, « 1 » au-dessus de « (0,\infty) » ; le long de la flèche de droite, h^*(t) = -t^3 ; en bas, (1,-1) et \infty sous le \mathbf{P}^1 de gauche, v(t) = \dfrac{1-t}{1+t}, et (0,\infty) et -1 sous celui de droite ; plus bas, une flèche vers la gauche marquée v^{-1}(t) = \dfrac{1-t}{1+t}. La flèche u a une pointe appuyée à son extrémité gauche aussi f = v^{-1}hu \begin{aligned} f^*(t) &= u^*h^*v^{-1*}(t) = u^*h^*\Bigl(\frac{1-t}{1+t}\Bigr)\\ &= u^*\,\frac{1-h^*t}{1+h^*t} = u^*\,\frac{1+t^3}{1-t^3}\\ &= \frac{1+u^*(t)^3}{1-u^*(t)^3} = \end{aligned}

Or (x' et x'' étant racines primitives 6ièmes de 1) x'^3 = x''^3 = -1, d'où x''^3 - x'^3 = 0 \begin{cases} x'+x'' = 1\\ x'x'' = 1 \end{cases} \begin{aligned} x'^2 + x''^2 &= (x'+x'')^2 - 2x'x'' = -1\\ (x'-x'')^2 &= (x'+x'')^2 - 4x'x'' = -3\\ x'-x'' &= \sqrt{-3}\\ x''^2 - x'^2 &= (x''-x')(x''+x') = -\sqrt{-3} \end{aligned} ~~x''^3 - x'^3 = (x''-x')(x''^2+x'x''+x'^2) = -\sqrt{-3}(~~ f(t) = \frac{1}{3\sqrt{-3}}\,\frac{2t^3 - 3t^2 - 3t + 2}{t(t-1)} = \frac{1}{3\sqrt{-3}}\,\frac{(t+1)(2t-1)(t-2)}{t(t-1)} le signe devant 3t est écrit sur une tache ; le quotient (t+1)(2t-1)(t-2)/t(t-1) est celui de la première ligne de la page 22

On obtient ainsi (10)\qquad f(t) = \frac{1}{3\sqrt{-3}}\,\frac{(t+1)(2t-1)(t-2)}{t(t-1)} et par suite \boxed{\ (g f)^*(t) = j = \frac{1}{-27}\Bigl(\frac{(t+1)(2t-1)(t-2)}{t(t-1)}\Bigr)^2\ } \qquad (11) devant (gf)^*, dans le cadre, un mot biffé illisible ; un trait vertical sépare (gf)^*(t) de j Cette formule, il doit définir sur J ! S lui-même, et . Elle définit un revêtement galoisien de groupe \mathfrak{S}_3 de (\mathbf{P}^1_S) : fonction de (\mathbf{G}_m)_S, non ramifié au-dessus de (\mathbf{G}_a)_S - (0) - (1) = (\mathbf{G}_m)_S - 1 . l'indice du premier \mathbf{G}, lu a, est peu net ; la formule est soulignée d'un double trait

Comment les quotients ? \begin{array}{ll} \sigma & \mathbf{P}^1\\ & \big\downarrow f\\ \sigma' & \mathbf{P}^1\\ & \big\downarrow g\\ \sigma'' & \mathbf{P}^1 \end{array} ce schéma est dans la marge gauche, en face du paragraphe qui suit On voit que \sigma'(\infty)=0, \sigma'(0)=\infty, \sigma'(1)=1, pour \sigma'', d'où ~~\sigma'(t)=1/t~~ ~~et d'où~~ (12)\qquad \sigma'(t) = \sigma''(t) = 1/t et il serait facile de quotients (p. ex.). la page s'arrête là, sur un double trait horizontal