Cote n° 62 · pages 1–96 · Lecture modernisée · Courbes elliptiques (généralités - vieille rédaction) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1963]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–96

Le fil du dossier, et ses conventions

Le dossier a deux moitiés, séparées par une chemise (page 58), et la seconde se subdivise en trois couches. Aucune page n'est numérotée par lui ; l'ordre est celui des feuillets.

1. Pages 1 à 16 (chemise : « Courbes elliptiques » ; titre : « Modules des courbes elliptiques ») — les faisceaux \(\mathcal{E}_n\) des fonctions à pôles bornés le long de la section unité, le plongement dans le plan, l'équation de Weierstrass sur une base, le schéma des équations et le groupe triangulaire, les normalisations successives ; hors de la caractéristique \(2\), la courbe comme revêtement double d'une conique.
2. Pages 18 à 24 — des feuilles de calcul : l'invariant \(j\) d'une cubique en fonction de ses coefficients et de ses racines, le discriminant, le birapport. Les pages 19, 21 et 23 sont des versos dactylographiés sans rapport (un tapuscrit numéroté « n° 276 », d'algèbre commutative), dont deux portent une note au crayon.
3. Pages 27 à 39 — la droite projective munie des trois points \(0, 1, \infty\) : son groupe d'automorphismes \(\mathfrak{S}_3\), une involution supplémentaire, les quotients successifs, et la formule explicite de \(j\) en fonction du paramètre de Legendre \(t\).
4. Pages 41 à 53 — la même chose « tordue » au-dessus d'une base : une conique munie d'une trisection étale, sa classification par \(H^1(S, \mathfrak{S}_3)\), l'invariant \(j\), la description par un \(\mathfrak{S}_3\)-torseur ; puis « Autre façon de procéder ».
5. Pages 56 et 57 — deux feuilles de brouillon : les poids des coefficients de Weierstrass, un argument de descente.
6. Pages 58 à 96 (chemise : « Théorie transcendante (Généralités classiques) ») — la théorie analytique sur \(\mathbf{C}\), en trois couches qui se recouvrent et qu'on garde distinctes — pages 59–60, d'une écriture posée et d'aspect plus ancien : définition des fonctions elliptiques et théorèmes de Liouville I à V ; pages 61–73, une première rédaction : \(\wp\), \(\zeta\), \(\sigma\), décomposition d'Hermite, formule de Jacobi, formules d'addition, puis la fonction \(\mathrm{sn}\) de Legendre et ses compagnes, reprises une seconde fois sous les noms \(\mathrm{sn}_1\), \(\mathrm{cn}_1\), \(\mathrm{dn}_1\) ; pages 74–96, une seconde rédaction, numérotée 1) à 5) : le corps des fonctions elliptiques, \(\wp\) et ses relations, \(\zeta\), \(\sigma\), les formules d'addition, les fonctions \(\sqrt{\wp - e_i}\), puis les fonctions thêta, la fonction modulaire, et les fonctions de Legendre.

Les deux moitiés se répondent sans se citer. L'équation \(y^2 = 4x^3 - g_2 x - g_3\) que la seconde moitié obtient pour \(x = \wp\), \(y = \wp'\) est celle que les pages 8 à 16 extraient, sur une base quelconque, des faisceaux \(\mathcal{E}_2\) et \(\mathcal{E}_3\) : \(\wp\) est la fonction à pôle double en l'origine, \(\wp'\) la fonction à pôle triple. Les trois valeurs \(e_1, e_2, e_3\) de \(\wp\) aux demi-périodes sont les trois points de ramification autres que l'origine du revêtement double des pages 15 et 51 — les points de \(2\)-torsion —, et la fonction \(\mathrm{sn}^2 = 1/(\wp - e_1)\) de la page 66 est une coordonnée sur la droite quotient qui envoie l'origine et deux d'entre eux en \(0, \infty, 1\), et le troisième en \(1/k^2\) : à l'action de \(\mathfrak{S}_3\) près, le module \(k^2\) de Legendre est le paramètre \(t\) des pages 24 à 49. Enfin la fonction modulaire \(J\) de la page 91 et l'invariant \(j\) des pages 39 à 47 sont liés par \(j = 1 - J\).

Conventions, valables pour tout le dossier. \(S\) est un schéma localement noethérien, \(\pi\colon C \to S\) une courbe elliptique, \(e\) sa section unité et \(D = e(S)\) le diviseur qu'elle définit.¹ \(\mathcal{L} = \operatorname{Lie}(C/S) = e^*T_{C/S}\) est le faisceau de Lie (sa notation), et \(\omega = \mathcal{L}^\vee = e^*\Omega^1_{C/S}\) le fibré de Hodge. \(\mathcal{E}_n = \pi_*\mathcal{O}_C(nD)\), et \(\operatorname{gr}_n\mathcal{E} = \mathcal{E}_n/\mathcal{E}_{n-1}\).² \(x\) désigne une fonction à pôle d'ordre \(2\) et \(y\) une fonction à pôle d'ordre \(3\), selon l'usage moderne.³ Pour un faisceau localement libre \(\mathcal{F}\), \(\mathbb{V}(\mathcal{F}) = \operatorname{Spec}\operatorname{Sym}\mathcal{F}\) et \(\mathbf{P}(\mathcal{F}) = \operatorname{Proj}\operatorname{Sym}\mathcal{F}\), comme dans EGA — c'est sa convention.

L'invariant \(j\) des pages 18 à 53 est le sien, et il n'est pas l'invariant usuel : avec \(j_{\mathrm{cl}} = 1728\,\dfrac{4a^3}{4a^3 + 27b^2}\) pour \(y^2 = x^3 + ax + b\), et \(J = j_{\mathrm{cl}}/1728\) l'invariant de Klein de la page 91, on a \[ j = 1 - J = 1 - \frac{j_{\mathrm{cl}}}{1728} = \frac{27b^2}{4a^3+27b^2}. \] Ainsi \(j = 0\) est la courbe à automorphismes d'ordre \(4\) (\(j_{\mathrm{cl}} = 1728\)), \(j = 1\) celle à automorphismes d'ordre \(6\) (\(j_{\mathrm{cl}} = 0\)), et \(j = \infty\) la dégénérescence.⁴

Dans la seconde moitié, \(\mathfrak{P}\) est le réseau des périodes (sa lettre gothique), engendré par \(2\omega_1\) et \(2\omega_2\) ; les demi-périodes sont normalisées par \(\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0\) (pages 62 et 90), \(e_i = \wp(\omega_i)\) et \(\eta_i = \zeta(\omega_i)\). L'involution \(t \mapsto (t-2)/(2t-1)\) de la page 27 est notée \(\kappa\), pour laisser \(\sigma\) à la fonction de Weierstrass.⁵

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : la démonstration de la Proposition 3 (pages 6–7, bloc annulé) ; la forme explicite du discriminant (page 10) ; la normalisation que demande la dernière ligne de la page 16 ; le calcul du normalisateur de \(\mathfrak{S}_3\) (page 29, « Prouver ») ; les données supplémentaires qu'il faut quand \(j\) n'est pas inversible (page 45) ; la fin de la page 53 ; les quotients par \(\kappa\) (page 39). On les retrouve à leur place. Ce que la transcription ne donne pas : la page 72, qu'annonce l'en-tête de sa transcription (une troisième récapitulation de \(\mathrm{sn}\), formules (1) à (6)) mais que son texte ne contient pas ; la présente lecture ne la couvre donc pas.

1–16

I. Modules des courbes elliptiques (pages 1 à 16)

Le feuillet de garde porte « Courbes elliptiques », et la première page écrite le titre « Modules des courbes elliptiques ».⁶

3–7

Les faisceaux \(\mathcal{E}_n\) (pages 3 à 7)

La section unité \(e\) définit un diviseur de Cartier relatif \(D\), transversal aux fibres, d'où le faisceau inversible \(\mathcal{O}_C(D)\), dont les sections sont les fonctions sur \(C\) à pôle au plus simple le long de \(D\). Sa restriction à \(D\) est le fibré normal, et celui-ci s'identifie à l'espace tangent le long de la section unité : \[ e^*\mathcal{O}_C(D) \simeq e^*\mathcal{N}_{D/C} \simeq e^*T_{C/S} = \mathcal{L}, \qquad e^*\mathcal{O}_C(nD) \simeq \mathcal{L}^{\otimes n}. \] Comme \(C\) est un schéma en groupes, \(T_{C/S} \simeq \pi^*\mathcal{L}\) : le fibré tangent est trivialisé par translation.⁷ La section \(1\) de \(\mathcal{O}_C\) donne des injections \(\mathcal{O}_C(nD) \hookrightarrow \mathcal{O}_C((n+1)D)\) — toutes contenues dans le faisceau des fonctions méromorphes —, d'où une suite croissante \[ \cdots \subset \mathcal{E}_n \subset \mathcal{E}_{n+1} \subset \cdots, \qquad \mathcal{E}_n = \pi_*\mathcal{O}_C(nD). \]

Proposition 1. Les faisceaux \(\mathcal{O}_C(nD)\) sont cohomologiquement plats sur \(S\) en toute dimension, et \(\mathcal{E}_n\) est localement libre de rang \(0\) si \(n < 0\), de rang \(1\) si \(n = 0\), de rang \(n\) si \(n \geqslant 1\). Le faisceau \(\mathcal{O}_C(nD)\) est ample si et seulement si \(n \geqslant 1\), très ample si et seulement si \(n \geqslant 3\).

C'est Riemann–Roch en genre \(1\), où \(2g - 2 = 0\) : sur chaque fibre, un faisceau inversible de degré \(d \neq 0\) a \(h^0 = d\), \(h^1 = 0\) si \(d > 0\), et \(h^0 = 0\), \(h^1 = -d\) si \(d < 0\) ; ces dimensions ne sautent pas, d'où la platitude cohomologique, et pour \(n = 0\) on a \(\pi_*\mathcal{O}_C = \mathcal{O}_S\), \(R^1\pi_*\mathcal{O}_C \simeq \omega^\vee\), localement libres. Le degré de \(\mathcal{O}_C(nD)\) est \(n\), d'où l'amplitude exactement pour \(n \geqslant 1\). Pour \(n = 1, 2\), \(\mathbf{P}(\mathcal{E}_n)\) est de dimension relative \(0\) ou \(1\), et \(C\) ne peut s'y plonger (il lui serait isomorphe) ; pour \(n \geqslant 3 = 2g + 1\), le critère usuel issu de Riemann–Roch donne la très ample.⁸

Proposition 2. \(\mathcal{E}_0 = \mathcal{E}_1 = \mathcal{O}_S\), et pour \(i \leqslant j\) l'inclusion \(\mathcal{E}_i \subset \mathcal{E}_j\) est universellement injective — localement facteur direct. Les quotients \(\operatorname{gr}_n\mathcal{E}\) sont nuls pour \(n = 1\), égaux à \(\mathcal{O}_S\) pour \(n = 0\), et \[ \operatorname{gr}_n\mathcal{E} \simeq \mathcal{L}^{\otimes n} \qquad (n \geqslant 2). \] En effet, la suite exacte \(0 \to \mathcal{O}_C(nD) \to \mathcal{O}_C((n+1)D) \to e_*\mathcal{L}^{\otimes(n+1)} \to 0\) donne \[ 0 \to \mathcal{E}_n \to \mathcal{E}_{n+1} \to \mathcal{L}^{\otimes(n+1)} \to R^1\pi_*\mathcal{O}_C(nD), \] et le dernier terme est nul pour \(n \geqslant 1\).⁹ Par suite la multiplication induit des isomorphismes \(\operatorname{gr}_n \otimes \operatorname{gr}_m \simeq \operatorname{gr}_{n+m}\) pour \(n, m \geqslant 0\), \(n, m \neq 1\), et l'algèbre graduée associée à la filtration est \[ \operatorname{gr}\mathcal{E} = \mathcal{O}_S \oplus \bigoplus_{n \geqslant 2} \mathcal{L}^{\otimes n}. \] Elle est engendrée par ses composantes de degrés \(2\) et \(3\) : pour \(n \geqslant 2\), \(\operatorname{gr}_n\) est isomorphe à \(\operatorname{gr}_2^{\otimes n'}\) ou à \(\operatorname{gr}_2^{\otimes n'} \otimes \operatorname{gr}_3\) selon la parité de \(n\) (Corollaire). Il en résulte que l'algèbre \(\mathcal{E}_\infty = \varinjlim \mathcal{E}_n = \pi_*\mathcal{O}_C(*D)\) des fonctions à pôles le long de \(D\) est engendrée par \(\mathcal{E}_3\), et de même l'anneau gradué \(\bigoplus_k \mathcal{E}_{3k}\) de \(\mathcal{O}_C(3D)\).¹⁰

L'action de l'algèbre de Lie (pages 6 et 7, en partie annulées). Un champ de vecteurs invariant \(\partial\), section de \(\mathcal{L}\), agit sur les fonctions ; il élève l'ordre du pôle le long de \(D\) d'une unité, et sur les termes dominants, il multiplie par \(-n\) une fonction à pôle d'ordre \(n\) (car \(\partial(z^{-n}) = -nz^{-n-1}\) pour un paramètre local \(z\) adapté). D'où des applications \[ \mathcal{L} \otimes \operatorname{gr}_n\mathcal{E} \to \operatorname{gr}_{n+1}\mathcal{E}, \qquad n \geqslant 2, \] qui, au travers de \(\operatorname{gr}_n \simeq \mathcal{L}^{\otimes n}\), sont la multiplication par \(-n\).

Proposition 3. En un point de \(S\) de caractéristique résiduelle d'exposant \(p\), cette application est un isomorphisme si et seulement si \(p\) est premier à \(n\) ; si \(p\mathcal{O}_S = 0\) et \(p \mid n\), elle est nulle (Corollaire).¹¹

8–10

Le plongement cubique et l'équation de Weierstrass (pages 8 à 10)

Par la Proposition 1, \(\mathcal{O}_C(3D)\) définit une immersion fermée \[ C \hookrightarrow \mathbf{P}(\mathcal{E}_3), \] dans un fibré en plans projectifs. L'image est un diviseur relatif de degré \(3\), défini par une forme cubique déterminée à une unité près : c'est le noyau, localement libre de rang \(1\), de \(\operatorname{Sym}^3\mathcal{E}_3 \to \mathcal{E}_9\) (rangs \(10\) et \(9\)) — un point de \(\mathbf{P}\bigl((\operatorname{Sym}^3\mathcal{E}_3)^\vee\bigr)\), que la page écrit \(\mathbf{P}(\operatorname{Symm}_3(\check{\mathcal{E}}_3))\).¹² Le drapeau \(\mathcal{E}_1 \subset \mathcal{E}_2 \subset \mathcal{E}_3\) a un sens géométrique : \(\mathbf{P}(\mathcal{E}_3/\mathcal{E}_2)\) est la section unité, et \(T = \mathbf{P}(\mathcal{E}_3/\mathcal{E}_1)\) est une droite relative, la tangente en l'origine, qui est une tangente d'inflexion — elle coupe \(C\) en l'origine avec multiplicité \(3\).¹³

Choisissons une base de \(\mathcal{E}_3\) adaptée au drapeau et commençant par \(1\) : \(1, x, y\), avec \(x \in \mathcal{E}_2\), \(y \in \mathcal{E}_3\). Deux telles bases diffèrent par une matrice triangulaire \[ \begin{pmatrix} 1 & \alpha & \gamma \\ 0 & \lambda & \beta \\ 0 & 0 & \mu \end{pmatrix}, \qquad \lambda, \mu \in \mathcal{O}_S^*, \] qui dépend de cinq paramètres. Alors \(1, x, y, x^2, xy, x^3\) est une base de \(\mathcal{E}_6\) adaptée à sa filtration, et \(y^2 \in \mathcal{E}_6\) s'y écrit : on obtient une équation \[ \boxed{\;y^2 + a x^3 + b xy + c x^2 + d y + e x + f = 0\;} \qquad (a \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*)), \] où \(a\) est inversible parce que \(y^2\) et \(x^3\) ont tous deux un terme dominant non nul dans \(\operatorname{gr}_6 \simeq \mathcal{L}^{\otimes 6}\).¹⁴ Homogénéisée par une troisième coordonnée \(z\), c'est la forme cubique \[ \Phi(x, y, z) = y^2z + ax^3 + bxyz + cx^2z + dyz^2 + exz^2 + fz^3, \] et \(\Phi\) est l'équation de \(C\) dans \(\mathbf{P}(\mathcal{E}_3) \simeq \mathbf{P}^2_S\) : si \(\Phi'\) définit \(C\), \(\Phi\) est un multiple de \(\Phi'\), et le facteur est une unité puisque le coefficient de \(y^2z\) vaut \(1\) en tout point de \(S\).¹⁵

Réciproquement, des coefficients \(a, \ldots, f \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\) définissent un diviseur relatif positif de \(\mathbf{P}^2_S\), qui passe par \((0 : 1 : 0)\) avec la tangente d'inflexion \(z = 0\) ; il est lisse sur \(S\) si et seulement si un certain polynôme à coefficients entiers \(\delta(a, \ldots, f)\), le discriminant, est inversible en tout point.¹⁶ D'où :

Proposition (page 10). Se donner une courbe elliptique sur \(S\) munie d'une « base spéciale » de \(\mathcal{E}_3(C/S)\) — adaptée au drapeau et commençant par \(1\) — équivaut à se donner des sections \(a, \ldots, f\) de \(\mathcal{O}_S\) avec \(\delta(a, \ldots, f)\) inversible ; la correspondance est compatible au changement de base.¹⁷

10–12

Le schéma des équations et le groupe triangulaire (pages 10 à 12)

Soit \[ \mathfrak{M} = \operatorname{Spec}\bigl(\mathbf{Z}[A, B, C, D, E, F][\delta^{-1}]\bigr), \] ouvert affine de l'espace affine \(\mathbf{E}^6_{\mathbf{Z}}\). Le groupe \(G \subset \mathrm{GL}(3)_{\mathbf{Z}}\) des matrices triangulaires ci-dessus opère sur \(\mathfrak{M}\) par substitution affine \[ x' = \lambda x + \alpha, \qquad y' = \mu y + \beta x + \gamma \] dans la forme \(y^2 + Ax^3 + Bxy + Cx^2 + Dy + Ex + F\).¹⁸ La Proposition de la page 10 dit que le foncteur « courbes elliptiques munies d'une base spéciale » est représentable par \(\mathfrak{M}\). Deux points de \(\mathfrak{M}(S)\) définissent des courbes isomorphes si et seulement si ils se déduisent l'un de l'autre, localement sur \(S\), par un élément de \(G\) ; et toute courbe elliptique \(C/S\) provient d'un point de \(\mathfrak{M}(S')\) après le changement de base \(S' \to S\) par le \(G\)-torseur des bases spéciales de \(\mathcal{E}_3\). Ce torseur est lisse, surjectif, de type fini — il n'est pas fini.¹⁹

D'où la conclusion de la page 12 : le foncteur « classes d'isomorphisme de courbes elliptiques sur \(S\) » est « représentable » par le quotient de \(\mathfrak{M}\) par \(G\), relativement à la catégorie des morphismes simples surjectifs — c'est-à-dire après localisation pour la topologie engendrée par les morphismes lisses surjectifs. En termes d'aujourd'hui : le champ des modules des courbes elliptiques est le champ quotient²⁰ \[ \mathcal{M}_{1,1} \simeq [\mathfrak{M}/G]. \]

13–14

Normalisation par une trivialisation de l'algèbre de Lie (pages 13 et 14)

Une normalisation plus précise : on se donne une trivialisation \(\partial\) de \(\mathcal{L}\) — une dérivation invariante partout non nulle — et l'on exige que les images de \(x\) et \(y\) dans \(\operatorname{gr}_2 \simeq \mathcal{L}^{\otimes 2}\) et \(\operatorname{gr}_3 \simeq \mathcal{L}^{\otimes 3}\) soient \(\partial^{\otimes 2}\) et \(\partial^{\otimes 3}\).²¹ C'est-à-dire qu'on prend pour structure auxiliaire un faisceau inversible \(\mathcal{L}\) trivialisé et une base de \(\mathcal{E}_3\) dont les termes dominants sont \(1, \partial^2, \partial^3\). Le groupe d'automorphismes de cette structure est formé des couples \[ \left(u,\ \begin{pmatrix} 1 & r & t \\ 0 & u^2 & s \\ 0 & 0 & u^3 \end{pmatrix}\right), \qquad u \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*),\ r, s, t \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S), \] isomorphe au sous-groupe des matrices triangulaires de diagonale \((1, \lambda, \mu)\) avec \(\mu^2 = \lambda^3\) — on retrouve \(u = \mu/\lambda\).²² Pour une telle base, \(y^2 - x^3 \in \mathcal{E}_5\), et l'équation prend la forme de Weierstrass \[ y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6, \] c'est-à-dire \(a = -1\) dans la forme précédente.²³ Changer \(\partial\) en \(u\partial\) multiplie \(a_i\) par \(u^i\) : les coefficients sont de poids \(i\), et le discriminant \(\Delta\), qui ne dépend pas de la base une fois \(\partial\) fixé, est une section canonique de \(\omega^{\otimes 12}\) — une forme modulaire de poids \(12\).²⁴

La page 14 observe qu'on ne peut, localement, normaliser davantage sans restreindre les courbes ; mais après une extension finie et plate on peut exiger \(\Delta = 1\), en choisissant la trivialisation \(\partial\) parmi les racines douzièmes de \(\Delta^{-1}\), et pousser plus loin hors de la caractéristique \(2\), puis hors de la caractéristique \(3\).²⁵

15–16

Hors de la caractéristique 2 : le revêtement double (pages 15 et 16)

L'inversion \(-1\) de la courbe, qui est un schéma abélien sur \(S\), est d'ordre \(2\) ; elle opère sur les \(\mathcal{E}_i\) de façon compatible à la multiplication, et induit sur \(\mathcal{L}\) le changement de signe, donc \((-1)^n\) sur \(\operatorname{gr}_n \simeq \mathcal{L}^{\otimes n}\). Supposons les caractéristiques résiduelles de \(S\) différentes de \(2\). Alors \(\mathcal{E}_3\) se décompose en parties paire et impaire : la partie paire est \(\mathcal{E}_2\), et la partie impaire est un supplémentaire canonique de \(\mathcal{E}_2\) dans \(\mathcal{E}_3\), isomorphe à \(\operatorname{gr}_3\).²⁶ Les bases « admissibles » sont celles où \(y\) est impaire ; deux d'entre elles diffèrent par une matrice \[ \begin{pmatrix} 1 & r & 0 \\ 0 & u^2 & 0 \\ 0 & 0 & u^3 \end{pmatrix}, \] et l'équation, comparée à sa transformée par \(y \mapsto -y\), perd ses termes impairs en \(y\) : \[ \boxed{\;y^2 = x^3 + ax^2 + bx + c\;} \] avec pour condition que le polynôme \(P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\) ait des racines distinctes en tout point de \(S\).²⁷

Géométriquement : le quotient \(X = C/\{\pm 1\}\) est un schéma de Brauer–Severi de dimension relative \(1\) sur \(S\), muni d'une section (l'image de l'origine), donc une conique triviale ; privé de cette section, c'est un torseur sous le groupe vectoriel \(\mathbb{V}(\mathcal{L}^{\otimes 2})\) — la coordonnée \(x\), définie à \(x \mapsto x + r\) près et de terme dominant dans \(\operatorname{gr}_2 = \mathcal{L}^{\otimes 2}\), en est une fonction affine. Et \(C \to X\) est un revêtement double ramifié le long de la section à l'infini et d'un diviseur étale de degré \(3\) de \(X\), contenu dans la partie affine : le lieu \(P(x) = 0\), image des points d'ordre \(2\) non nuls.²⁸

18–24

II. Feuilles de calcul : l'invariant d'une cubique (pages 18 à 24)

Quatre feuilles de calcul, sans rédaction, et trois versos dactylographiés.²⁹

20–20

Le discriminant (page 20)

Pour une cubique unitaire \(P\) de racines \(x_1, x_2, x_3\), \[ \prod_{i \neq j}(x_i - x_j) = \prod_i P'(x_i), \] et le discriminant usuel \(\operatorname{disc}(P) = \prod_{i<j}(x_i - x_j)^2\) en est l'opposé. Pour \(P = x^3 + bx + c\) (la page suppose \(a = 0\)), le calcul de \(\prod(3x_i^2 + b)\) par les fonctions symétriques donne \[ \prod_i P'(x_i) = 4b^3 + 27c^2, \qquad \operatorname{disc}(P) = -4b^3 - 27c^2, \] et son invariant est \(j = -27c^2/\operatorname{disc}(P)\).³⁰

22–22

L'invariant en fonction des racines (page 22)

Pour \(P = x^3 + ax^2 + bx + c\), de racines \(x_i\) et de discriminant \(\Delta\), on a \(3x_i + a = 2x_i - x_j - x_k\), et \[ j = \frac{(27c + 2a^3 - 9ab)^2}{-27\,\Delta} = -\frac{1}{27\Delta}\bigl[(2x_1 - x_2 - x_3)(2x_2 - x_3 - x_1)(2x_3 - x_1 - x_2)\bigr]^2. \] En tête de page, l'identité qui relie ces expressions au paramètre \(t\) des pages 24 et suivantes, \(t = (x_3 - x_1)/(x_3 - x_2)\) :³¹ \[ \frac{(t+1)(2t-1)(t-2)}{t(t-1)} = -\,\frac{(2x_1 - x_2 - x_3)(2x_2 - x_3 - x_1)(2x_3 - x_1 - x_2)}{(x_1 - x_2)(x_2 - x_3)(x_3 - x_1)} . \] Elle donne directement la formule (11) de la page 39, \(j = -\frac{1}{27}\bigl[(t+1)(2t-1)(t-2)/t(t-1)\bigr]^2\).

24–24

Forme normale et birapport (page 24)

En tête, la forme normale classique d'invariant donné, \[ y^2 = 4x^3 - h(x+1), \qquad h = \frac{27\,j_{\mathrm{cl}}}{j_{\mathrm{cl}} - 2^6 3^3} = 27\,\frac{j-1}{j}, \] la seconde expression étant celle de son invariant \(j\) ; puis le birapport : envoyant les racines \(x_1, x_2, x_3\) et le point à l'infini sur \(\infty, 0, 1, t\), on trouve \[ t = \frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2}, \qquad t - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_3 - x_2}, \qquad t + 1 = \frac{2x_3 - x_1 - x_2}{x_3 - x_2}, \ \ldots \] — c'est le paramètre de Legendre, la quatrième valeur quand trois des quatre points de ramification du revêtement double de la page 15 sont envoyés en \(\infty, 0, 1\).³²

18–18

Quand \(j\) ou \(j - 1\) n'est pas inversible (page 18)

La feuille note, sur un anneau local \(A\), ce qui se passe quand l'invariant réduit vaut \(1\) ou \(0\). Pour \(y^2 = 4x^3 - bx - c\) (\(b, c\) de poids \(2\) et \(3\) en \(\mathcal{L}\), selon le petit tableau de la page), on a \[ \boxed{\;\frac{b^3}{c^2} = 27\,\frac{j-1}{j}\;} \] et si \(j \equiv 1\), \(b\) est nilpotent et \(c\) inversible, la courbe n'étant déterminée qu'à \(c \in A^*/A^{*3}\) près ; si \(j \equiv 0\), c'est \(c\) qui est nilpotent et \(b\) inversible, à \(b \in A^*/A^{*2}\) près. En marge : « Ext. Kummer de gr \(\mathbf{Z}/3\) », « Ext. Kummer de gr \(\mathbf{Z}/2\) ». Ce sont les deux réductions du groupe structural de la page 47, et l'ambiguïté qui reste — un élément de \(H^1(\operatorname{Spec}A, \mathbf{Z}/3)\) ou de \(H^1(\operatorname{Spec}A, \mathbf{Z}/2)\) — est une extension de Kummer.³³ La page encadre aussi la cubique \(x^3 + 27\frac{j-1}{j}(x+1) = 0\) ; elle n'a pas l'invariant \(j\), et la forme normale juste est celle de la page 24, \(4x^3 - 27\frac{j-1}{j}(x+1)\).³⁴

27–39

III. Le groupe anharmonique et la fonction \(j\) (pages 27 à 39)

27–29

Le groupe des automorphismes de \((\mathbf{P}^1, \{0, 1, \infty\})\) (pages 27 et 29)

Sur \(\mathbf{P}^1_S\), muni des trois sections \(0, 1, \infty\), le groupe des automorphismes qui respectent l'ensemble \(\{0, 1, \infty\}\) s'identifie au groupe \(\mathfrak{S}_3\) de ses permutations — un automorphisme de la droite projective est déterminé par l'image de trois points distincts. Ses six éléments sont \[ 1,\qquad \varphi(t) = 1 - \frac1t,\qquad \psi(t) = \frac{1}{1-t},\qquad \lambda(t) = \frac1t,\qquad \mu(t) = 1 - t,\qquad \nu(t) = \frac{t}{t-1}: \] \(\varphi\) et \(\psi\) sont les deux permutations circulaires, \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\) les transpositions qui fixent respectivement \(1\), \(\infty\) et \(0\). On note \(gh\) la substitution obtenue en appliquant d'abord \(g\), puis \(h\) ; avec cette convention, la table de multiplication de la page est exacte³⁵ : \[ \varphi^2 = \psi,\quad \varphi\psi = 1,\quad \lambda^2 = \mu^2 = \nu^2 = 1, \quad \lambda\mu = \mu\nu = \nu\lambda = \varphi,\quad \mu\lambda = \nu\mu = \lambda\nu = \psi, \] \[ \varphi\lambda = \mu\varphi = \nu,\quad \varphi\mu = \nu\varphi = \lambda,\quad \varphi\nu = \lambda\varphi = \mu, \] \[ \psi\nu = \mu\psi = \lambda,\quad \psi\mu = \lambda\psi = \nu,\quad \psi\lambda = \nu\psi = \mu . \] Le sous-groupe \(\{1, \varphi, \psi\}\) est cyclique d'ordre \(3\), distingué, de quotient \(\mathbf{Z}/2\) ; \(\mathfrak{S}_3\) en est le produit semi-direct par l'un quelconque des trois sous-groupes d'ordre \(2\), engendrés par \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\). La conjugaison \({}^g h = g h g^{-1}\) (même convention) donne \[ {}^\varphi\lambda = \mu,\ {}^\varphi\mu = \nu,\ {}^\varphi\nu = \lambda,\qquad {}^\psi\nu = \mu,\ {}^\psi\mu = \lambda,\ {}^\psi\lambda = \nu,\qquad {}^\tau\varphi = \psi\ \ (\tau = \lambda, \mu, \nu). \]

De plus, l'involution \[ \kappa(t) = \frac{t-2}{2t-1}, \qquad \kappa^2 = 1, \qquad \kappa(0) = 2,\ \kappa(1) = -1,\ \kappa(\infty) = \tfrac12, \] commute à \(\mathfrak{S}_3\), si bien que le normalisateur de \(\mathfrak{S}_3\) dans \(\operatorname{Aut}(\mathbf{P}^1)\) contient \(\mathfrak{S}_3 \times \mathbf{Z}/2\) — un groupe diédral d'ordre \(12\) ; en caractéristique résiduelle \(\neq 2, 3\), sur un corps algébriquement clos, c'est tout le normalisateur.³⁶

Points fixes. Les transpositions fixent chacune deux points : \(\lambda\) fixe \(\{1, -1\}\), \(\mu\) fixe \(\{\infty, \frac12\}\), \(\nu\) fixe \(\{0, 2\}\) ; chaque paire est formée d'un point de \(\{0, 1, \infty\}\) et d'un point de \(\kappa\{0, 1, \infty\} = \{2, -1, \frac12\}\). Les permutations circulaires fixent les racines de \[ t^2 - t + 1 = 0, \] c'est-à-dire de \(\Phi_6\), les racines primitives sixièmes de l'unité \(x' = \frac12(1 + \sqrt{-3})\) et \(x'' = \frac12(1 - \sqrt{-3})\) ; ce sont aussi les points fixes de \(\kappa\). Notons \(\overline{S}\) ce sous-schéma de degré \(2\) ; il est étale sur \(S\) exactement là où \(3\) est inversible, et le quotient \(\mathbf{Z}/2 = \mathfrak{S}_3/(\mathbf{Z}/3)\) y échange les deux points.³⁷

29–33

Les quotients (pages 29 à 33)

Le schéma \(G\) des automorphismes de \(\mathbf{P}^1\) qui laissent \(\overline{S}\) invariant est une extension de \(\mathbf{Z}/2\) (les automorphismes de \(\overline{S}\)) par un \(\mathbf{G}_m\) tordu par le revêtement \(\overline{S} \to S\), et \(\mathfrak{S}_3\) s'y envoie :³⁸

\begin{tikzcd}
1 \arrow[r] & \mathbf{Z}/3 \arrow[r] \arrow[d, hook] & \mathfrak{S}_3 \arrow[r] \arrow[d, hook] & \mathbf{Z}/2 \arrow[r] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & 1 \\
1 \arrow[r] & \mathbf{G}_m^{\mathrm{tordu}} \arrow[r] & G \arrow[r] & \mathbf{Z}/2 \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

On suppose désormais que \(S\) n'a pas de point de caractéristique \(2\) ou \(3\). Alors \(\mathfrak{S}_3 \times \mathbf{Z}/2\) opère modérément sur \(\mathbf{P}^1_S\) (son ordre est inversible), le quotient est lisse sur \(S\) de genre \(0\) — c'est une forme de \(\mathbf{P}^1_S\) —, et il est trivial parce qu'il a des sections.³⁹ Les trois orbites \(\{0, 1, \infty\}\), \(\{2, -1, \frac12\}\) et \(\overline{S} = \{x', x''\}\) sont disjointes, chacune stable sous \(\mathfrak{S}_3\) qui y opère transitivement fibre à fibre ; elles donnent dans \(\mathbf{P}^1_S/\mathfrak{S}_3\) trois sections distinctes, qu'on utilise pour identifier ce quotient à \(\mathbf{P}^1_S\) muni de \(\infty, 0, 1\), dans cet ordre.

De même, \(\mathbf{P}^1_S/(\mathbf{Z}/3)\) a deux sections, images de \(\{0, 1, \infty\}\) et de \(\{2, -1, \frac12\}\), qui sont ses deux sections de ramification, et qu'on envoie en \(\infty\) et \(0\) ; l'image de \(\overline{S}\) est une bisection étale. Sur \(S' = S[\sqrt{-3}]\) elle se scinde en deux sections, images de \(x'\) et \(x''\) ; en envoyant la première en \(1\), la seconde va en \(-1\), et l'on obtient un isomorphisme \((\mathbf{P}^1_S/(\mathbf{Z}/3)) \times_S S' \simeq \mathbf{P}^1_{S'}\). Sur \(S\) lui-même, \(\mathbf{P}^1_S/(\mathbf{Z}/3)\) est donc le fibré projectif \(\mathbf{P}(\mathcal{O}_S \oplus \mathcal{N})\) d'un faisceau inversible \(\mathcal{N}\) — privé de \(0\) et \(\infty\), un fibré principal de groupe \(\mathbf{G}_{m,S}\) — muni d'une bisection étale, ce qui revient à munir \(\mathcal{N}\) d'une forme quadratique non dégénérée \(\mathcal{N}^{\otimes 2} \simeq \mathcal{O}_S\) ; et la classe de cette donnée est celle du revêtement \(S' \to S\).⁴⁰

35–39

Formules explicites (pages 35 à 39)

Notons \(t\) la coordonnée de la première droite, \(w\) celle de \(\mathbf{P}^1/(\mathbf{Z}/3)\) et \(r\) celle de \(\mathbf{P}^1/\mathfrak{S}_3\) :⁴¹ \[ \mathbf{P}^1_t \xrightarrow{\ f\ (\text{groupe } \mathbf{Z}/3)\ } \mathbf{P}^1_w \xrightarrow{\ g\ (\text{groupe } \mathbf{Z}/2)\ } \mathbf{P}^1_r . \] Les fibres remarquables sont :

• au-dessus de \(w = \infty\) et \(w = 0\), les orbites \(\{0, 1, \infty\}\) et \(\{2, -1, \frac12\}\), non ramifiées pour \(f\) ; au-dessus de \(w = 1\) et \(w = -1\), les points \(x'\) et \(x''\), ramifiés (indice \(3\)) ;
• au-dessus de \(r = \infty\) et \(r = 0\), les points \(w = \infty\) et \(w = 0\), ramifiés pour \(g\) ; au-dessus de \(r = 1\), la paire \(w = \pm 1\), non ramifiée.

Calcul de \(g\). Sur \(S = \operatorname{Spec}\mathbf{Z}[\frac12, \frac13]\), la restriction de \(g\) à \(\mathbf{P}^1 \smallsetminus \{0, \infty\} = \mathbf{G}_m\) est un endomorphisme de schémas \(\mathbf{G}_m \to \mathbf{G}_m\) envoyant \(1\) sur \(1\), donc de la forme \(w \mapsto cw^n\) ; \(g(\infty) = \infty\) donne \(n > 0\), le degré \(2\) donne \(n = 2\), et \(g(1) = 1\) donne \(c = 1\) :⁴² \[ r = g(w) = w^2 . \tag{9} \]

Calcul de \(f\) (page 37). Sur \(S'\), soit \(u(t) = (t - x')/(t - x'')\), qui envoie \(x', x''\) sur \(0, \infty\) ; dans cette coordonnée, \(\mathbf{Z}/3\) opère par multiplication par les racines cubiques de l'unité, et le quotient est \(h(u) = -u^3\). Composant avec l'involution \(v(w) = (1-w)/(1+w)\), qui envoie \(0, \infty, -1\) sur \(1, -1, \infty\), on a \(f = v^{-1} \circ h \circ u\) :

\begin{tikzcd}
\mathbf{P}^1_t \arrow[r, "u"] \arrow[d, "f"'] & \mathbf{P}^1 \arrow[d, "h"] \\
\mathbf{P}^1_w \arrow[r, "v"'] & \mathbf{P}^1
\end{tikzcd}

\[ f(t) = \frac{1 + u(t)^3}{1 - u(t)^3} = \frac{(t - x'')^3 + (t - x')^3}{(t - x'')^3 - (t - x')^3}. \] Avec \(x' + x'' = 1\), \(x'x'' = 1\), \(x'^3 = x''^3 = -1\), d'où \(x'^2 + x''^2 = -1\), \(x'^2 + x'x'' + x''^2 = 0\) et \(x' - x'' = \sqrt{-3}\), le numérateur vaut \(2t^3 - 3t^2 - 3t + 2 = (t+1)(2t-1)(t-2)\) et le dénominateur \(3\sqrt{-3}\,t(t-1)\) :⁴³ \[ f(t) = \frac{1}{3\sqrt{-3}}\,\frac{(t+1)(2t-1)(t-2)}{t(t-1)} . \tag{10} \] On vérifie \(f(0) = f(1) = f(\infty) = \infty\), \(f(-1) = f(2) = f(\frac12) = 0\), \(f(x') = 1\). Par suite \[ \boxed{\;j = (g \circ f)(t) = -\frac{1}{27}\left(\frac{(t+1)(2t-1)(t-2)}{t(t-1)}\right)^2\;} \tag{11} \] est une fonction rationnelle de \(t\), à coefficients dans \(\mathbf{Z}[\frac16]\) : la racine \(\sqrt{-3}\) disparaît au carré. Elle définit un revêtement galoisien de groupe \(\mathfrak{S}_3\) de la droite des \(j\), non ramifié au-dessus de \(\mathbf{P}^1 \smallsetminus \{0, 1, \infty\}\), c'est-à-dire au-dessus de \(\mathbf{G}_m \smallsetminus \{1\}\).⁴⁴ En termes de l'invariant usuel, \(j_{\mathrm{cl}}(t) = 256\,(t^2 - t + 1)^3/t^2(t-1)^2\), et (11) dit exactement \(j = 1 - j_{\mathrm{cl}}/1728\) : c'est l'identité classique \(j_{\mathrm{cl}} - 1728 = 64\,(t+1)^2(2t-1)^2(t-2)^2/t^2(t-1)^2\).⁴⁵

Les quotients de \(\kappa\). Comme \(\kappa\) commute à \(\mathfrak{S}_3\), elle passe aux quotients ; elle échange les orbites au-dessus de \(\infty\) et de \(0\), et fixe \(x'\), d'où⁴⁶ \[ \kappa'(w) = \frac1w, \qquad \kappa''(r) = \frac1r, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad j(\kappa t) = 1/j(t). \tag{12} \]

41–53

IV. Coniques munies d'une trisection étale (pages 41 à 53)

41–43

Classification et invariant (pages 41 et 43)

Soit \(X\) un schéma de Brauer–Severi de dimension relative \(1\) sur \(S\) — une conique — muni d'une trisection étale \(X'\) : un sous-schéma fermé de \(X\), fini et étale de degré \(3\) sur \(S\).⁴⁷ Localement pour la topologie étale, \((X, X')\) est isomorphe à \((\mathbf{P}^1_S, \{0, 1, \infty\})\), dont le groupe d'automorphismes est \(\mathfrak{S}_3\) (pages 27 à 29) ; ces couples sont donc classés par \(H^1(S, \mathfrak{S}_3)\), c'est-à-dire par les revêtements étales galoisiens de groupe \(\mathfrak{S}_3\) de \(S\) — ou, ce qui revient au même, par les revêtements étales de degré \(3\), dont \(X'\) lui-même est un exemple.⁴⁸ Tout ce qui a été construit sur \(\mathbf{P}^1\) de façon invariante par \(\mathfrak{S}_3\) se transporte à \(X\) par descente : l'involution \(\kappa\), qui envoie \(X'\) sur une seconde trisection \(X''\), dite associée à \(X'\) ; et la bisection \(X_1\), image de \(\overline{S}\), étale hors des caractéristiques \(2\) et \(3\).⁴⁹

Supposons \(6\) inversible sur \(S\). Le quotient \(X/\mathfrak{S}_3\) — le groupe étant tordu comme \(X\) — est le quotient non tordu \(\mathbf{P}^1_S/\mathfrak{S}_3 \simeq \mathbf{P}^1_S\) de la page 31, et l'on obtient un morphisme canonique de degré \(6\)⁵⁰ \[ q\colon X \to \mathbf{P}^1_S, \qquad q^{-1}(\infty) = X',\quad q^{-1}(0) = X'',\quad q^{-1}(1) = X_1 . \]

Donnons-nous de plus une section \(s\) de \(X\) disjointe de \(X'\). Son image par \(q\) est une section de \(\mathbf{P}^1_S \smallsetminus \infty\), c'est-à-dire de \(\mathcal{O}_S\) : c'est l'invariant \(j\) du triple \((X, X', s)\). Si \(j\) et \(j - 1\) sont inversibles, l'image réciproque par \(q\) de la section \(j\colon S \to \mathbf{P}^1_S\) est un revêtement étale galoisien de \(S\) de groupe \(\mathfrak{S}_3\) — \(q\) est étale galoisien au-dessus de \(\mathbf{P}^1 \smallsetminus \{0, 1, \infty\}\) — et c'est celui qui définit \(X\). Dans ce cas l'invariant suffit à reconstituer \((X, X', s)\).

Le lien avec les courbes elliptiques est celui de la page 15 : pour \(C\) sur \(S\) avec \(6\) inversible, \(X = C/\{\pm 1\}\), \(X'\) l'image des points d'ordre \(2\) non nuls et \(s\) l'image de l'origine forment un tel triple, et dans une coordonnée qui envoie \(X'\) sur \(0, 1, \infty\), \(s\) est le paramètre \(t\) de Legendre (page 24). L'invariant \(j\) du triple est alors \(j(t)\), formule (11). Le triple ne détermine la courbe qu'à torsion quadratique près : le revêtement double ramifié le long de \(s + X'\) demande le choix d'une racine carrée d'un faisceau inversible.⁵¹

45–47

Quand \(j\) vaut \(0\) ou \(1\) (pages 45 à 47)

Si \(j\) n'est pas inversible, ou \(j - 1\), l'invariant ne suffit plus ; quand \(j\) n'est pas identiquement \(0\) ou \(1\), on reconstitue \((X, X')\) sur l'ouvert où \(j(j-1)\) est inversible, puis \(s\) partout, mais en général il faut des données supplémentaires : la page demande d'exprimer qu'une certaine extension de degré \(3\) du corps des fonctions de \(X\) est non ramifiée, et s'arrête.⁵² Dans les deux cas extrêmes, la situation se décrit par une réduction du groupe structural :

• si \(j = 0\), \(s\) est dans \(X''\), dont chaque point a pour stabilisateur un sous-groupe d'ordre \(2\) ; le groupe structural se réduit de \(\mathfrak{S}_3\) à \(\mathbf{Z}/2\) et la donnée est un élément de \(H^1(S, \mathbf{Z}/2)\) ;
• si \(j = 1\), \(s\) est dans la bisection \(X_1\), de stabilisateur \(\mathbf{Z}/3\) ; le groupe se réduit à \(\mathbf{Z}/3\) et la donnée est un élément de \(H^1(S, \mathbf{Z}/3)\).

Ce sont les extensions de Kummer de la page 18.

Si seulement \(j\) est inversible, faisant opérer \(\mathfrak{S}_3\) sur le quotient intermédiaire \(X/(\mathbf{Z}/3)\), les images de \(X'\), \(X''\) et \(s\) y donnent trois sections distinctes, qu'on envoie sur \(\infty, 0, 1\) ; et \(q\) se factorise \[ X \longrightarrow X/(\mathbf{Z}/3) \simeq \mathbf{P}^1_S \xrightarrow{\ w \,\mapsto\, j w^2\ } \mathbf{P}^1_S, \qquad (\infty, 0, 1) \mapsto (\infty, 0, j), \] la bisection naturelle s'identifiant aux points \(w = \pm 1/\sqrt{j}\).⁵³

49–49

La description par un torseur (page 49)

Ceci donne une description très explicite des courbes de genre \(0\) sur \(S\) munies d'une section et d'une trisection étale disjointes. Se donner \((X, X', s)\) revient à se donner un \(\mathfrak{S}_3\)-torseur \(T \to S\) et une fonction \[ t \in \Gamma(T, \mathcal{O}_T), \qquad t \text{ et } t - 1 \text{ inversibles}, \qquad g\cdot t = g(t) \quad (g \in \mathfrak{S}_3), \] c'est-à-dire \(\lambda\cdot t = 1/t\) et \(\mu\cdot t = 1 - t\) : le torseur est celui des isomorphismes \((X, X') \simeq (\mathbf{P}^1, \{0, 1, \infty\})\), et \(t\) la coordonnée de \(s\). Autrement dit, la catégorie de ces triples est celle des \(S\)-points du champ quotient \([(\mathbf{P}^1 \smallsetminus \{0, 1, \infty\})/\mathfrak{S}_3]\), et \(X = T \times^{\mathfrak{S}_3} \mathbf{P}^1_S\) :⁵⁴

\begin{tikzcd}
X & \mathbf{P}^1_T \arrow[l] \arrow[d] \\
S & T \arrow[l, "\mathfrak{S}_3"]
\end{tikzcd}

Exemple. Si \(S = \operatorname{Spec}\mathcal{O}\), avec \(\mathcal{O}\) local complet de caractéristique résiduelle \(\neq 2, 3\) à corps résiduel algébriquement clos, \(\pi_1(S) = 0\) et tout torseur est trivial : la donnée équivaut à celle d'un \(t \in \mathcal{O}^*\) avec \(t - 1 \in \mathcal{O}^*\), deux tels \(t\), \(t'\) donnant des objets isomorphes si et seulement si \(t' = g(t)\) pour un \(g \in \mathfrak{S}_3\). En marge, souligné deux fois : « non fonctoriel ». Le contraste est le sien : la description par un torseur vaut sur toute base et commute au changement de base ; celle par une coordonnée n'existe que là où les torseurs sont triviaux, et l'identification dépend d'un choix.⁵⁵

51–53

Autre façon de procéder (pages 51 et 53)

Prenons la section privilégiée \(s\) comme section à l'infini. Alors \(\Lambda = X \smallsetminus s\) est un torseur sous le groupe vectoriel d'un faisceau inversible — pour \(X = C/\{\pm 1\}\), celui de la page 15, \(\mathbb{V}(\mathcal{L}^{\otimes 2})\). La trisection \(X'\) de \(\Lambda\) a un barycentre : dans un torseur sous un groupe vectoriel, la moyenne de trois points est bien définie dès que \(3\) est inversible. Cette section de \(\Lambda\) le trivialise, d'où un isomorphisme global de \(\Lambda\) avec le groupe vectoriel lui-même, qui identifie \(X'\) à une trisection de « somme » nulle. D'où l'énoncé de la page 53 :

Se donner \((X, X', s)\) équivaut à se donner un faisceau inversible \(\mathcal{M}\) sur \(S\) et une trisection étale de \(\mathbb{V}(\mathcal{M})\), de somme nulle — c'est-à-dire, dans une coordonnée locale, une cubique unitaire \(x^3 + bx + c\) à discriminant inversible, définie à \((b, c) \mapsto (u^4 b, u^6 c)\) près.⁵⁶

56–57

V. Deux feuilles de brouillon (pages 56 et 57)

Les poids (page 56). Pour une trivialisation \(\xi\) de l'algèbre de Lie, de dérivation invariante \(D_\xi\), la fonction \(u_\xi\) à pôle double vérifie une équation de Weierstrass \[ (D_\xi u_\xi)^2 = 4u_\xi^3 + b_\xi u_\xi + c_\xi . \] Remplacer \(\xi\) par \(\lambda\xi\) remplace \(D_\xi\) par \(\lambda D_\xi\) ; en posant \(u_{\lambda\xi} = \rho u_\xi\) et en identifiant, on trouve \(\rho = \lambda^2\) et \[ u_{\lambda\xi} = \lambda^2 u_\xi, \qquad b_{\lambda\xi} = \lambda^4 b_\xi, \qquad c_{\lambda\xi} = \lambda^6 c_\xi : \] \(b\) et \(c\) sont des sections de \(\omega^{\otimes 4}\) et \(\omega^{\otimes 6}\) — des formes modulaires de poids \(4\) et \(6\) — et \(u\) a son terme dominant dans \(\operatorname{gr}_2 \simeq \mathcal{L}^{\otimes 2}\).⁵⁷

Un argument de descente (page 57). Soit \(A \to B\) un homomorphisme d'anneaux, \(A\) local d'idéal maximal \(\mathfrak{m}\), et \(x_i \in B\) tels que les \(x_i \otimes 1\) forment une base de \(B \otimes_A B\) sur \(B\) (agissant par le second facteur). Par Nakayama, les \(x_i\) engendrent \(B\) sur \(A\) ; et si \(\sum\lambda_i x_i = 0\) avec \(\lambda_i \in A\), alors \(\sum (x_i \otimes 1)(1 \otimes \lambda_i) = 0\), donc \(1 \otimes \lambda_i = 0\), et par \(B \otimes_A B \to B\), \(\lambda_i = 0\) dans \(B\). Si \(A \to B\) est injectif — par exemple fidèlement plat —, les \(x_i\) forment donc une base de \(B\) sur \(A\).⁵⁸

58–60

VI. Théorie transcendante : les théorèmes de Liouville (pages 58 à 60)

Le feuillet de garde de la page 58 porte « Théorie transcendante (Généralités classiques) ». Ce qui suit, jusqu'à la page 96, est la théorie des fonctions elliptiques sur \(\mathbf{C}\), en trois couches (sections VI à VIII) ; la première tient en deux pages.⁵⁹

Une fonction elliptique est une fonction méromorphe sur \(\mathbf{C}\) admettant deux périodes \(\omega_1\), \(\omega_2\) linéairement indépendantes sur \(\mathbf{Z}\). Si elle n'est pas constante, \(\omega_1/\omega_2\) n'est pas réel.⁶⁰ Les parallélogrammes de sommets \(a + n_1\omega_1 + n_2\omega_2\) pavent le plan : un point intérieur à l'un n'appartient qu'à lui, un point d'un côté (hors sommet) à deux, un sommet à quatre ; deux points intérieurs d'un même parallélogramme ne sont pas homologues. Quand aucun zéro ni pôle n'est sur le bord, la liste des zéros et des pôles avec multiplicité ne dépend pas du parallélogramme ; en général, on compte une seule fois chaque classe de points homologues.⁶¹

• I.Une fonction elliptique sans pôle est constante.
• II.La somme des résidus d'une fonction elliptique dans un parallélogramme des périodes est nulle ; une fonction elliptique non constante y a donc au moins deux pôles, comptés avec multiplicité.
• III.Le nombre des zéros et celui des pôles dans un parallélogramme sont égaux, et égaux au nombre de fois que la fonction y prend une valeur donnée : c'est l'ordre de la fonction.
• –Deux fonctions elliptiques de mêmes périodes qui ont mêmes zéros et mêmes pôles avec multiplicité sont égales à un facteur constant près ; si elles ont mêmes pôles avec mêmes parties principales, à une constante additive près.
• IV.La somme des zéros est égale à la somme des pôles, à une période près.
• V.Deux fonctions elliptiques de mêmes périodes sont liées par une relation algébrique.⁶²

61–73

VII. Première rédaction : \(\wp\), \(\zeta\), \(\sigma\), \(\mathrm{sn}\) (pages 61 à 73)

61–64

Les fonctions \(\wp\), \(\zeta\), \(\sigma\) (pages 61 à 64)

La fonction \(\wp\) (page 61). C'est la fonction elliptique d'ordre \(2\), de périodes \(2\omega_1\), \(2\omega_2\), ayant en l'origine un pôle double et telle que \(\wp(z) - 1/z^2\) s'annule en \(0\) ; ces conditions la déterminent. Elle est paire — \(\wp(z) - \wp(-z)\) est elliptique, sans pôle, nulle en \(0\) —, d'où \[ \wp(z) = \frac{1}{z^2} + c_1z^2 + c_2z^4 + \cdots, \qquad \wp'^2 = 4\wp^3 - g_2\wp - g_3, \quad g_2 = 20c_1,\ g_3 = 28c_2 ; \] elle est la fonction réciproque de \(z = \int_\infty^{Z} dZ/\sqrt{4Z^3 - g_2Z - g_3}\). Les valeurs \(e_i = \wp(\omega_i)\) aux demi-périodes sont les racines de \(4Z^3 - g_2Z - g_3\), et \(\wp'(\omega_i) = 0\). On a \(\wp'' = 6\wp^2 - \frac12 g_2\), \(\wp''' = 12\wp\wp'\) ; \(\wp^{(2n)}\) est un polynôme en \(\wp\) de degré \(n+1\), et \(\wp^{(2n+1)}\) le produit de \(\wp'\) par un polynôme de degré \(n\).

La fonction \(\zeta\) (pages 61 et 62) : \[ \zeta(z) = \frac1z - \int_0^z \Bigl(\wp(u) - \frac{1}{u^2}\Bigr)du, \qquad \zeta' = -\wp , \] primitive de \(-\wp\), impaire, à pôles simples de résidu \(1\) aux périodes.⁶³ Elle n'est pas périodique : \(\zeta(z + 2\omega_i) - \zeta(z) = 2\eta_i\) avec \(\eta_i = \zeta(\omega_i)\), et une intégration de \(\zeta\) le long du bord d'un parallélogramme donne la relation de Legendre⁶⁴ \[ \eta_1\omega_2 - \eta_2\omega_1 = \frac{i\pi}{2} \qquad \Bigl(\Im\frac{\omega_2}{\omega_1} > 0\Bigr), \qquad \eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 0 . \] Elle permet d'intégrer \(Z\,dZ / \sqrt{4Z^3 - g_2Z - g_3}\) : avec \(Z = \wp(z)\), \(\int \wp(z)\,dz = -\zeta(z) + \text{c}^{\text{te}}\).

Décomposition d'Hermite. Si \(f\) est elliptique, de pôles \(a, b, \ldots\) deux à deux non homologues, de parties principales \(\sum_k A_k/(z-a)^k\), \(\sum_k B_k/(z-b)^k\), …, alors \[ f(z) = \text{c}^{\text{te}} + \sum_{\text{pôles } a}\Bigl( A_1\zeta(z-a) + A_2\wp(z-a) - \frac{A_3}{2!}\wp'(z-a) + \cdots + (-1)^\alpha \frac{A_\alpha}{(\alpha-1)!}\wp^{(\alpha-2)}(z-a)\Bigr), \] le second membre étant elliptique parce que \(\sum A_1 = 0\) (théorème II).

La fonction \(\sigma\) (pages 62 et 63). Pour intégrer toute fonction elliptique, il reste à intégrer \(\zeta\), ce qui amène \(\log\sigma\). Comme \[ \wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{w \in \mathfrak{P}\smallsetminus 0} \Bigl[\frac{1}{(z-w)^2} - \frac{1}{w^2}\Bigr], \qquad c_1 = 3\sum_{w \neq 0} \frac{1}{w^4},\quad c_2 = 5\sum_{w \neq 0} \frac{1}{w^6}, \] \[ \zeta(z) = \frac1z + \sum_{w \neq 0}\Bigl[\frac{1}{z-w} + \frac1w + \frac{z}{w^2}\Bigr], \qquad \sigma(z) = z\prod_{w \neq 0}\Bigl(1 - \frac{z}{w}\Bigr)e^{\frac{z}{w} + \frac{z^2}{2w^2}}, \] le produit convergeant absolument et uniformément sur les compacts, \(\sigma\) est une fonction entière, nulle exactement aux périodes, avec \(\sigma'/\sigma = \zeta\) ; c'est la fonction entière la plus simple qui s'annule en ces points. Elle est impaire, et⁶⁵ \[ \sigma(z + 2\omega_i) = -e^{2\eta_i(z + \omega_i)}\sigma(z) . \]

Formule de Jacobi (page 64). Soit \(f\) elliptique, de pôles \(a, \ldots, l\) et de zéros \(a_1, \ldots, l_1\) (avec multiplicité, deux à deux non homologues à une période près), et \(a + \cdots + l = a_1 + \cdots + l_1 + \Omega\), \(\Omega = 2n_1\omega_1 + 2n_2\omega_2\) (théorème IV). Alors⁶⁶ \[ f(z) = \text{c}^{\text{te}} \times \frac{\sigma(z - a_1)\cdots\sigma(z - l_1 - \Omega)}{\sigma(z-a)\cdots\sigma(z-l)} = \text{c}^{\text{te}} \times e^{-2(n_1\eta_1 + n_2\eta_2)z} \frac{\sigma(z-a_1)\cdots\sigma(z-l_1)}{\sigma(z-a)\cdots\sigma(z-l)} . \]

Formules d'addition : \[ \wp u - \wp v = -\frac{\sigma(u+v)\sigma(u-v)}{\sigma^2u\,\sigma^2v}, \qquad \zeta(u+v) = \zeta u + \zeta v + \frac12\,\frac{\wp'u - \wp'v}{\wp u - \wp v}, \] \[ \wp(u+v) + \wp u + \wp v = \frac14\Bigl(\frac{\wp'u - \wp'v}{\wp u - \wp v}\Bigr)^2 = \bigl[\zeta(u+v) - \zeta u - \zeta v\bigr]^2 . \]

65–69

La fonction \(\mathrm{sn}\) de Legendre et ses compagnes (pages 65 à 69)

L'intégrale \(\int dZ/\sqrt{(1-Z^2)(1-k^2Z^2)}\) est tentante par sa symétrie, et redonne les fonctions trigonométriques et hyperboliques pour \(k = 0\) et \(k = 1\). On appelle \(\mathrm{sn}\,z\) la solution de \[ \Bigl(\frac{dZ}{dz}\Bigr)^2 = (1 - Z^2)(1 - k^2Z^2), \qquad Z(0) = 0,\ Z'(0) = 1 . \] On l'exprime par une fonction \(\wp\) de trois façons :

• 1°par une homographie, \(Z = \dfrac{12\wp(z - z_0) - (5 - k^2)}{12\wp(z - z_0) - (5k^2 - 1)}\), pour le \(\wp\) de racines \(e = \frac16(1+k^2)\), \(-\frac{1}{12}(k^2 \pm 6k + 1)\), avec \(\wp(z_0) = (5 - k^2)/12\) ; trop lourd, dit la page, mais cela prouve l'existence ;⁶⁷
• 2°et 3°, pour le \(\wp\) de racines \[ e_1 = -\frac{1 + k^2}{3}, \qquad e_2 = \frac{2 - k^2}{3}, \qquad e_3 = \frac{2k^2 - 1}{3}, \] \[ \mathrm{sn}^2 z = \frac{1}{k^2}\bigl[\wp(z - \omega_1) - e_1\bigr], \qquad \boxed{\;\mathrm{sn}^2 z = \frac{1}{\wp z - e_1}\;} . \]

L'uniformité de \(\mathrm{sn}\) vient de ce que les racines de \(\wp z - e_1\) sont doubles. Les deux expressions donnent l'identité \((\wp z - e_1)(\wp(z - \omega_1) - e_1) = (e_1 - e_2)(e_1 - e_3) = k^2\), valable pour toute fonction \(\wp\) (avec \((e_1 - e_2)(e_1 - e_3)\) au second membre), et qui vaut aussi \[ k^2 = \frac{e^{2\eta_1\omega_1}}{\sigma(\omega_1)^4} = 3e_1^2 - \frac{g_2}{4} . \] Ces normalisations imposent les demi-périodes : \(\omega_1 = iK'\) (pôle de \(\mathrm{sn}\)), \(\omega_2 = K\), \(\omega_3 = -K - iK'\), où \(K\), \(K'\) sont les intégrales complètes de la page 93. On a alors \[ \mathrm{sn}(z + \omega_1)\,\mathrm{sn}\,z = \frac1k, \qquad \mathrm{sn}\,z = \sigma(\omega_1)e^{\eta_1 z}\frac{\sigma z}{\sigma(z + \omega_1)} = -\sigma(\omega_1)e^{-\eta_1 z}\frac{\sigma z}{\sigma(z - \omega_1)} , \] \[ \mathrm{sn}(z + 2\omega_1) = \mathrm{sn}\,z, \quad \mathrm{sn}(z + 2\omega_2) = \mathrm{sn}(z + 2\omega_3) = -\mathrm{sn}\,z, \quad \mathrm{sn}(-z) = -\mathrm{sn}\,z : \] \(\mathrm{sn}\) a les périodes \(2\omega_1\) et \(4\omega_2\), elle est d'ordre \(2\), ses zéros sont homologues de \(0\) et \(2\omega_2\) (dérivée \(1\) et \(-1\)), ses pôles homologues de \(\omega_1\) et \(\omega_1 + 2\omega_2\) (résidus \(1/k\) et \(-1/k\)) ; enfin \(\mathrm{sn}\,\omega_2 = 1\), \(\mathrm{sn}'\omega_2 = 0\), \(\mathrm{sn}(\omega_1 + \omega_2) = 1/k\), \(\mathrm{sn}\,\omega_3 = -1/k\), \(\mathrm{sn}'\omega_3 = 0\).⁶⁸

On pose (page 68) \[ \mathrm{cn}^2 z = 1 - \mathrm{sn}^2 z = \frac{\wp z - e_2}{\wp z - e_1} = -\frac{1}{k^2}\bigl[\wp(z - \omega_1) - e_3\bigr], \qquad \mathrm{cn}\,0 = 1, \] \[ \mathrm{dn}^2 z = 1 - k^2\mathrm{sn}^2 z = \frac{\wp z - e_3}{\wp z - e_1} = -\bigl[\wp(z - \omega_1) - e_2\bigr], \qquad \mathrm{dn}\,0 = 1, \] \[ \mathrm{cn}\,z = \frac{\sigma\omega_1}{\sigma\omega_2}e^{(\eta_2 - \eta_1)z} \frac{\sigma(z - \omega_2)}{\sigma(z - \omega_1)}, \qquad \mathrm{dn}\,z = \frac{\sigma\omega_1}{\sigma\omega_3}e^{(\eta_3 - \eta_1)z} \frac{\sigma(z - \omega_3)}{\sigma(z - \omega_1)}, \] et les formes équivalentes en \(z + \omega_i\). Les fonctions \(\mathrm{cn}\) et \(\mathrm{dn}\) sont paires, d'ordre \(2\), et \[ \mathrm{cn}(z + 2\omega_1) = \mathrm{cn}(z + 2\omega_2) = -\mathrm{cn}\,z,\quad \mathrm{cn}(z + 2\omega_3) = \mathrm{cn}\,z ; \] \[ \mathrm{dn}(z + 2\omega_2) = \mathrm{dn}\,z,\quad \mathrm{dn}(z + 2\omega_1) = \mathrm{dn}(z + 2\omega_3) = -\mathrm{dn}\,z , \] si bien que \(\mathrm{cn}\) a les périodes \(2\omega_3\), \(4\omega_1\), \(4\omega_2\), et \(\mathrm{dn}\) les périodes \(2\omega_2\), \(4\omega_1\), \(4\omega_3\). Les pôles de \(\mathrm{cn}\) et de \(\mathrm{dn}\) sont homologues de \(\pm\omega_1\), de résidus \(\mp i/k\) pour \(\mathrm{cn}\) et \(\mp i\) pour \(\mathrm{dn}\) ; les zéros de \(\mathrm{cn}\) sont homologues de \(\pm\omega_2\), avec \(\mathrm{cn}'\omega_2 = -k'\), ceux de \(\mathrm{dn}\) de \(\pm\omega_3\), avec \(\mathrm{dn}'\omega_3 = -ik'\), où \(k' = \sqrt{1 - k^2}\) ; enfin \(\mathrm{cn}\,\omega_3 = -ik'/k\), \(\mathrm{dn}\,\omega_2 = k'\), \(\mathrm{cn}'\omega_3 = \mathrm{dn}'\omega_2 = 0\).⁶⁹

Les formules de dérivation et les relations quadratiques : \[ \mathrm{sn}' = \mathrm{cn}\,\mathrm{dn},\quad \mathrm{cn}' = -\mathrm{sn}\,\mathrm{dn},\quad \mathrm{dn}' = -k^2\,\mathrm{sn}\,\mathrm{cn} ; \] \[ \mathrm{cn}^2 + \mathrm{sn}^2 = 1,\quad \mathrm{dn}^2 + k^2\mathrm{sn}^2 = 1,\quad \mathrm{dn}^2 - k^2\mathrm{cn}^2 = 1 - k^2 ; \] \[ \mathrm{cn}'^2 = (1 - \mathrm{cn}^2)(k'^2 + k^2\mathrm{cn}^2), \qquad \mathrm{dn}'^2 = (1 - \mathrm{dn}^2)(\mathrm{dn}^2 - k'^2) . \] À un changement affine de la variable près, \(\mathrm{cn}\) et \(\mathrm{dn}\) sont donc solutions de l'équation de \(\mathrm{sn}\) pour les modules \(\rho\) tels que \(\rho^2 = -k^2/(1-k^2)\) et \(\rho^2 = 1/(1-k^2)\) respectivement.⁷⁰

70–73

Seconde reprise : \(\mathrm{sn}_1\), \(\mathrm{cn}_1\), \(\mathrm{dn}_1\) (pages 70 à 73)

La page 70 reprend le tout pour une fonction \(\wp\) quelconque, sans normaliser \(k\) : \[ \mathrm{sn}_1^2 z = \frac{1}{\wp z - e_1}, \qquad \mathrm{sn}_1'(0) = 1, \qquad \mathrm{sn}_1(z)\,\mathrm{sn}_1(z + \omega_1) = \frac{1}{k_1},\quad k_1^2 = (e_2 - e_1)(e_3 - e_1) = \frac{e^{2\eta_1\omega_1}}{\sigma(\omega_1)^4}, \] avec la même formule par \(\sigma\) ; \(\mathrm{sn}_1\) a les périodes \(2\omega_1\), \(4\omega_2\), \(4\omega_3\), change de signe par \(z \mapsto z + 2\omega_2\) ou \(z + 2\omega_3\), est impaire et invariante par \(z \mapsto 2\omega_2 - z\) et \(z \mapsto 2\omega_3 - z\) ; ses pôles sont homologues de \(\omega_1\) (résidu \(1/k_1\)) et de \(\omega_1 + 2\omega_2\) (résidu \(-1/k_1\)), ses zéros de \(0\) (dérivée \(1\)) et de \(2\omega_2\) (dérivée \(-1\)) ; \(\mathrm{sn}_1\omega_2 = \pm 1/\sqrt{e_2 - e_1}\), \(\mathrm{sn}_1\omega_3 = \pm 1/\sqrt{e_3 - e_1}\), et \(\mathrm{sn}_1'\) s'annule en ces deux points.⁷¹ Puis \[ \mathrm{cn}_1^2 = 1 - (e_2 - e_1)\,\mathrm{sn}_1^2 = \frac{\wp - e_2}{\wp - e_1}, \qquad \mathrm{dn}_1^2 = 1 - (e_3 - e_1)\,\mathrm{sn}_1^2 = \frac{\wp - e_3}{\wp - e_1}, \] \[ \mathrm{sn}_1' = \mathrm{cn}_1\mathrm{dn}_1,\quad \mathrm{cn}_1' = -(e_2 - e_1)\,\mathrm{sn}_1\mathrm{dn}_1,\quad \mathrm{dn}_1' = -(e_3 - e_1)\,\mathrm{sn}_1\mathrm{cn}_1, \] \[ \mathrm{sn}_1'^2 = \bigl(1 - (e_2 - e_1)\mathrm{sn}_1^2\bigr)\bigl(1 - (e_3 - e_1)\mathrm{sn}_1^2\bigr). \] Pour les racines \(e_i\) de la page 66 on a \(e_2 - e_1 = 1\) et \(e_3 - e_1 = k^2\), et l'on retrouve \(\mathrm{sn}\), \(\mathrm{cn}\), \(\mathrm{dn}\).⁷²

74–96

VIII. Seconde rédaction : « Fonctions elliptiques » (pages 74 à 96)

74–78

1) Généralités (pages 74 à 78)

Une fonction elliptique est une fonction méromorphe \(f\) sur \(\mathbf{C}\) admettant deux périodes linéairement indépendantes sur \(\mathbf{R}\) ; si \(f\) n'est pas constante, son groupe des périodes, sous-groupe fermé de \(\mathbf{C} = \mathbf{R}^2\), est discret, donc un réseau \(\mathfrak{P}\). Fixons-le, avec une base \(\{2\omega_1, 2\omega_2\}\) (définie à une substitution entière de déterminant \(\pm 1\) près) : les fonctions méromorphes vérifiant \(f(z + 2\omega_1) = f(z + 2\omega_2) = f(z)\) forment un corps \(E\), celui des fonctions méromorphes sur la courbe analytique \(\mathbf{C}/\mathfrak{P}\), topologiquement un tore. La théorie de Riemann dit que \(E\) est de degré fini sur \(\mathbf{C}(f)\) pour tout \(f\) non constant ; on va obtenir directement plus précis.⁷³

• a\('\))La somme des résidus est nulle, et le nombre des zéros est égal au nombre des pôles, comptés avec multiplicité — par le théorème des résidus sur le bord d'un parallélogramme des périodes.⁷⁴
• b)La série \[ \wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n) \neq (0,0)}\Bigl(\frac{1}{(z - 2m\omega_1 - 2n\omega_2)^2} - \frac{1}{(2m\omega_1 + 2n\omega_2)^2}\Bigr) \] définit une fonction méromorphe sur \(\mathbf{C}\), à pôles doubles aux points de \(\mathfrak{P}\), et \(\wp' = -2\sum_{m,n}(z - 2m\omega_1 - 2n\omega_2)^{-3}\) est visiblement elliptique. De \(\wp'(z) = \wp'(z + 2\omega_i)\) on tire \(\wp(z + 2\omega_i) - \wp(z) = \text{c}^{\text{te}}\), nulle comme on le voit en \(z = -\omega_i\) puisque \(\wp\) est paire. C'est l'unique fonction elliptique n'ayant de pôles qu'aux points de \(\mathfrak{P}\) et telle que \(\wp(z) - 1/z^2\) soit holomorphe et nulle en \(0\) ; elle est paire, \(\wp(z) = 1/z^2 + c_1z^2 + c_2z^4 + \cdots\).⁷⁵
• c)Toute fonction elliptique paire n'ayant de pôles qu'aux points de \(\mathfrak{P}\) est un polynôme en \(\wp\), et d'une seule façon (car \(\wp\) est transcendante sur \(\mathbf{C}\)) ; si le pôle en \(0\) est d'ordre \(2k\), de terme dominant \(c_k z^{-2k}\), le polynôme est de degré \(k\) et de coefficient dominant \(c_k\) : \(f - c_k\wp^k\) est paire, à pôle d'ordre \(\leqslant 2(k-1)\), et l'on conclut par récurrence.⁷⁶
• d)Toute fonction elliptique paire est une fonction rationnelle de \(\wp\), et réciproquement. Si \(a_1, \ldots, a_n\) sont ses pôles hors de \(\mathfrak{P}\), un par paire \(\{a, -a\}\) modulo \(\mathfrak{P}\), d'ordres \(l_i\), la fonction \(f\prod_i(\wp - \wp(a_i))^{l_i}\) est paire et n'a de pôles que dans \(\mathfrak{P}\) ; on applique c).⁷⁷
• e)\([E : \mathbf{C}(\wp)] = 2\) : \(\mathbf{C}(\wp)\) est, par d), le corps des invariants de l'automorphisme \(f \mapsto \check f\), \(\check f(z) = f(-z)\), qui est d'ordre \(2\) — et \(E \neq \mathbf{C}(\wp)\) puisque \(\wp'\) est impaire.
• f)Toute fonction elliptique s'écrit d'une seule façon \[ f = R_1(\wp) + \wp' R_2(\wp), \qquad R_1, R_2 \text{ rationnelles} ; \]
• g)ses pôles sont dans \(\mathfrak{P}\) si et seulement si \(R_1\) et \(R_2\) sont des polynômes ; une telle fonction, non constante, a en \(0\) un pôle au moins double. Une fonction impaire est de la forme \(\wp' R(\wp)\), avec \(R\) polynôme si et seulement si ses pôles sont dans \(\mathfrak{P}\).⁷⁸

78–81

2) Les relations entre \(\wp\) et \(\wp'\) ; 3) la fonction \(\zeta\) (pages 78 à 81)

En dérivant la série, les coefficients sont \[ c_k = (2k+1)\sum_{w \in \mathfrak{P}\smallsetminus 0}\frac{1}{w^{2k+2}} . \] Les zéros de \(\wp'\) dans \(\mathbf{C}/\mathfrak{P}\) sont les trois demi-périodes \(\omega_1, \omega_2, \omega_3\) ; posant \(e_i = \wp(\omega_i)\), ce sont des racines doubles de \(\wp z - e_i = 0\), et comme \(\wp - e_i\) n'a que deux zéros dans \(\mathbf{C}/\mathfrak{P}\), les \(e_i\) sont distincts.⁷⁹ Une fonction elliptique et sa dérivée étant liées par une relation algébrique, toute fonction elliptique vérifie une équation différentielle algébrique du premier ordre. Pour \(\wp\) : \(\wp'^2\) est paire, à pôle d'ordre \(6\), donc un polynôme de degré \(3\) en \(\wp\), et l'identification des développements en \(0\) donne \[ \boxed{\;\wp'^2 = 4\wp^3 - g_2\wp - g_3\;}, \qquad g_2 = 20c_1,\ g_3 = 28c_2 ; \] ou encore : \(\wp'^2/\prod(\wp - e_i)\) est elliptique sans pôle, donc constante, égale à \(4\), et⁸⁰ \[ \boxed{\;\wp'^2 = 4(\wp - e_1)(\wp - e_2)(\wp - e_3)\;} . \] En dérivant, \(\wp'' = 6\wp^2 - \frac12 g_2\) et \(\wp''' = 12\wp\wp'\), et en poussant l'identification, \[ c_3 = \frac{c_1^2}{3}, \qquad c_4 = \frac{3}{11}c_1c_2 . \]

3) La fonction \(\zeta\) (pages 80 et 81). \(\zeta(u) - \frac1u = -\int_0^u (\wp z - \frac{1}{z^2})dz\), \(\zeta' = -\wp\), \[ \zeta(u) = \frac1u - \frac{c_1}{3}u^3 - \cdots - \frac{c_n}{2n+1}u^{2n+1} - \cdots, \qquad \zeta(z) = \frac1z + \sum_{w \neq 0}\Bigl(\frac{1}{z - w} + \frac1w + \frac{z}{w^2}\Bigr) ; \] \(\zeta\) est impaire, à pôles simples de résidu \(1\) aux points de \(\mathfrak{P}\). Comme \(\zeta'\) est elliptique, \(\zeta(z + 2\omega) - \zeta(z) = 2\eta\) est constant pour toute demi-période \(\omega\), et en \(z = -\omega\) on trouve \(\eta = \zeta(\omega)\). Les \(\eta_i\) et les \(\omega_i\) sont liés par la relation de Legendre, \(\eta_1\omega_2 - \eta_2\omega_1 = i\pi/2\) quand \(\omega_1, \omega_2\) sont en disposition directe ; la page 81 en indique la preuve par une intégrale le long d'un parallélogramme des périodes.⁸¹

Formule d'Hermite (page 81). Comme à la page 62, pour \(f\) de pôles \(a_i\) et de parties principales \(\sum_{m=1}^{k_i} A_{i,m}/(z - a_i)^m\), \[ f(z) = \text{c}^{\text{te}} + \sum_i\Bigl(A_{i,1}\zeta(z - a_i) + A_{i,2}\wp(z - a_i) + \cdots + \frac{(-1)^{k_i}}{(k_i - 1)!}A_{i,k_i}\wp^{(k_i - 2)}(z - a_i)\Bigr), \tag{12} \] elliptique grâce à \(\sum_i A_{i,1} = 0\).⁸²

81–84

4) La fonction \(\sigma\) ; 5) formules d'addition ; les fonctions \(\wp - e_i\) (pages 81 à 84)

4) La fonction \(\sigma\) (pages 81 et 82). \[ \sigma(z) = z\prod_{w \in \mathfrak{P}\smallsetminus 0}\Bigl(1 - \frac{z}{w}\Bigr)e^{\frac{z}{w} + \frac{z^2}{2w^2}}, \qquad \frac{\sigma'}{\sigma} = \zeta, \qquad \sigma(z) = z\,e^{\int_0^z(\zeta u - \frac1u)du}, \tag{13--14} \] fonction entière impaire, à zéros simples exactement aux points de \(\mathfrak{P}\), et⁸³ \[ \sigma(u) = u - \frac{c_1}{12}u^5 - \frac{c_2}{30}u^7 - \cdots, \qquad \sigma(u + 2\omega_i) = -\sigma(u)\,e^{2\eta_i(u + \omega_i)} . \tag{15--16} \] Formule de Jacobi : si \((a_i)\) et \((b_i)\) sont des systèmes de représentants des zéros et des pôles avec \(\sum a_i = \sum b_i\) (ce que permet le théorème IV), \[ f(u) = \text{c}^{\text{te}} \times \frac{\prod\sigma(u - a_i)}{\prod\sigma(u - b_i)} , \tag{17} \] le second membre étant elliptique par (16).

5) Formules d'addition (pages 82 et 83). La formule de Jacobi appliquée à \(u \mapsto \wp u - \wp v\) donne \[ \wp u - \wp v = -\frac{\sigma(u+v)\sigma(u-v)}{\sigma^2u\,\sigma^2v} ; \tag{18} \] ses dérivées logarithmiques en \(u\) et en \(v\), \[ \frac{\wp'u}{\wp u - \wp v} = \zeta(u+v) + \zeta(u-v) - 2\zeta u, \qquad -\frac{\wp'v}{\wp u - \wp v} = \zeta(u+v) - \zeta(u-v) - 2\zeta v, \tag{19} \] \[ \zeta(u+v) - \zeta u - \zeta v = \frac12\,\frac{\wp'u - \wp'v}{\wp u - \wp v}, \qquad \zeta(2u) - 2\zeta u = \frac12\,\frac{\wp''u}{\wp'u}, \tag{20} \] \[ \wp(u+v) + \wp u + \wp v = \frac14\Bigl(\frac{\wp'u - \wp'v}{\wp u - \wp v}\Bigr)^2, \qquad \wp(2u) + 2\wp u = \frac14\Bigl(\frac{\wp''u}{\wp'u}\Bigr)^2 ; \tag{21} \] et la formule d'Hermite appliquée à \(\wp(2u)\) : \[ 4\wp(2u) = \wp u + \wp(u + \omega_1) + \wp(u + \omega_2) + \wp(u + \omega_3) . \tag{22} \]

5 bis) Les fonctions \(\wp - e_i\) (pages 83 et 84).⁸⁴ Hermite appliqué à \(1/(\wp u - e_i)\), avec \(e_1 + e_2 + e_3 = 0\), donne \[ \frac{1}{\wp u - e_i} = \frac{\wp(u + \omega_i) - e_i}{(e_j - e_i)(e_k - e_i)} \qquad (\{i, j, k\} = \{1, 2, 3\}), \tag{23} \] et (18) avec \(v = \omega_i\) : \[ \wp u - e_i = -\frac{\sigma(u + \omega_i)\sigma(u - \omega_i)}{\sigma^2u\, \sigma^2\omega_i} = \Bigl(\frac{\sigma_i u}{\sigma u}\Bigr)^2, \qquad \sigma_i u = \frac{e^{-\eta_i u}\sigma(u + \omega_i)}{\sigma\omega_i} . \tag{24--25} \] La racine carrée \(\sqrt{\wp u - e_i} = \sigma_i u/\sigma u\) est donc méromorphe ; \(\sigma_i\) est paire, \(\sigma_i(0) = 1\), et \[ \sigma_i(u + 2\omega_i) = -\sigma_i(u)\,e^{2\eta_i(u + \omega_i)}, \qquad \sigma_i(u + 2\omega_j) = \sigma_i(u)\,e^{2\eta_j(u + \omega_j)} \quad (j \neq i), \tag{26} \] si bien que \(\sigma_i/\sigma\) a la période \(2\omega_i\) et change de signe par \(u \mapsto u + 2\omega_j\) : ses périodes sont engendrées par \(2\omega_i\) et \(4\omega_j\) — pour \(\sqrt{\wp - e_1}\), \(2\omega_1\) et \(4\omega_2\) ; pour \(\sqrt{\wp - e_2}\), \(2\omega_2\) et \(4\omega_3\) ; pour \(\sqrt{\wp - e_3}\), \(2\omega_3\) et \(4\omega_1\).

84–89

Les fonctions \(\Theta\) (pages 84 à 89)

Elles servent au calcul numérique et rompent la symétrie entre \(\omega_1\) et \(\omega_2\). Par \(u \mapsto u + 2\omega_1\), \(\sigma(u)\) et \(e^{\eta_1u^2/2\omega_1 - i\pi u/2\omega_1}\) sont multipliés par le même facteur \(e^{2\eta_1(u + \omega_1) - i\pi}\) ; leur quotient a la période \(2\omega_1\) et se développe en série de Fourier : \[ \sigma(u) = e^{\eta_1u^2/2\omega_1}\sum_{n \in \mathbf{Z}} A_n\,e^{(2n-1)i\pi u/2\omega_1}, \] et la quasi-périodicité en \(2\omega_2\) donne, avec la relation de Legendre, la récurrence \(A_{n+1} = -h^{2n}A_n\), \(h = e^{i\pi\omega_2/\omega_1}\), \(\Im(\omega_2/\omega_1) > 0\).⁸⁵ D'où la fonction \[ \Theta(v \mid t) = -\frac1i\sum_{n \in \mathbf{Z}}(-1)^n e^{(n - \frac12)^2 i\pi t + (2n-1)i\pi v} = 2\sum_{n \geqslant 1}(-1)^{n-1}h^{(n - \frac12)^2}\sin(2n-1)\pi v, \qquad h = e^{i\pi t}, \tag{1--2, 6} \] holomorphe pour \(\Im t > 0\) — c'est la fonction \(\vartheta_1(v \mid t)\) de Jacobi — et \[ \sigma(u \mid \omega_1, \omega_2) = \frac{2\omega_1}{\Theta_v'(0 \mid \omega_2/\omega_1)}\,e^{\eta_1u^2/2\omega_1}\,\Theta\Bigl(\frac{u}{2\omega_1} \Bigm| \frac{\omega_2}{\omega_1}\Bigr) . \tag{3} \] \(\Theta\) est impaire en \(v\), ses zéros sont les \(v = m_1 + m_2t\), et \[ \Theta(v + 1 \mid t) = -\Theta(v \mid t), \qquad \Theta(v + t \mid t) = \Theta(v \mid t)\,e^{-2i\pi v - i\pi t - i\pi}, \qquad \Theta(v \mid t + 4) = -\Theta(v \mid t) ; \tag{4--5} \] les deux premières relations caractérisent \(\Theta\) à un facteur près. Pour \(t = iT\), \(\Re T > 0\), la série devient \(2\sum(-1)^{n-1}e^{-(n - \frac12)^2\pi T}\sin(2n-1)\pi v\), et pour \(\Re a > 0\) \[ \sum_{n \in \mathbf{Z}} e^{-an^2 + bn + c} = -e^{c + \frac b2 - \frac a4}\,\Theta\Bigl(\frac{b - a - i\pi}{2i\pi} \Bigm| \frac{ia}{\pi}\Bigr) . \tag{7} \]

Transformation \(t \mapsto -1/t\). Écrire que \(\sigma(u \mid \omega_1, \omega_2) = \sigma(u \mid \omega_2, -\omega_1)\) — c'est le même réseau — et utiliser la relation de Legendre donne \[ \Theta(v \mid t) = e^{-i\pi v^2/t}\,\Theta\Bigl(\frac vt \Bigm| -\frac1t\Bigr)\, \cdot t\,H(t), \qquad H(t) = \frac{\Theta_v'(0 \mid t)}{\Theta_v'(0 \mid -1/t)} . \tag{8} \] Pour expliciter le facteur, on note que \(\Theta\) est solution de l'équation de la chaleur \[ \frac{\partial^2\Theta}{\partial v^2} = 4i\pi\,\frac{\partial\Theta}{\partial t} ; \tag{9} \] l'appliquer aux deux membres de (8) montre que \(tH(t)\) est proportionnel à \(1/\sqrt t\), et le cas \(t = i\) fixe la constante : \[ \boxed{\;\Theta(v \mid t) = e^{-i\pi v^2/t}\,\Theta\Bigl(\frac vt \Bigm| -\frac1t\Bigr)\, i\sqrt{\frac it}\;}, \qquad \Theta_v'(0 \mid t) = \frac it\sqrt{\frac it}\;\Theta_v'\Bigl(0 \Bigm| -\frac1t\Bigr), \tag{10--11} \] la racine carrée étant la détermination principale (\(\Re\sqrt{i/t} > 0\)).⁸⁶ Pour \(t = iT\), \(\Re T > 0\), (11) s'écrit, avec \(\Theta_v'(v \mid t) = 2\pi\sum(-1)^{n-1}(2n-1) e^{(n - \frac12)^2 i\pi t}\cos(2n-1)\pi v\), \[ \sum_{n \geqslant 1}(-1)^{n-1}(2n-1)e^{-(n-\frac12)^2\pi T} = \frac{1}{T^{3/2}}\sum_{n \geqslant 1}(-1)^{n-1}(2n-1)e^{-(n-\frac12)^2\pi/T}. \tag{12} \]

La formule (10) ramène le calcul de \(\Theta(v \mid iT)\) à celui de \(\Theta(v \mid i/T)\) ; pour \(T\) réel on peut donc supposer \(T \geqslant 1\), d'où \(|h| \leqslant e^{-\pi} \approx 0{,}043\), et la série, dont l'exposant de \(h\) croît comme \(n^2\), converge très vite.⁸⁷

Les autres fonctions thêta. On définit \(\Theta_1, \Theta_2, \Theta_3\) par \[ \sigma_i(u) = e^{\eta_1u^2/2\omega_1}\,\frac{\Theta_i(u/2\omega_1 \mid \omega_2/\omega_1)}{\Theta_i(0 \mid \omega_2/\omega_1)}, \tag{13} \] et l'on trouve \[ \Theta_1(v \mid t) = 2\sum_{n \geqslant 1}h^{(n-\frac12)^2}\cos(2n-1)\pi v = \vartheta_2(v), \] \[ \Theta_2(v \mid t) = 1 + 2\sum_{n \geqslant 1}(-1)^nh^{n^2}\cos 2n\pi v = \vartheta_0(v), \] \[ \Theta_3(v \mid t) = 1 + 2\sum_{n \geqslant 1}h^{n^2}\cos 2n\pi v = \vartheta_3(v), \qquad \Theta = \vartheta_1 , \tag{14} \] dans les notations de Jacobi (\(\vartheta_0\) est le \(\vartheta_4\) d'aujourd'hui).⁸⁸ Une fois fixés \(\omega_1\) et \(t = \omega_2/\omega_1\), toutes les quantités de la théorie se calculent par les thêta : \[ e_i = \Bigl(\frac{1}{2\omega_1}\Bigr)^2\Bigl(\frac13\frac{\Theta'''(0)}{\Theta'(0)} - \frac{\Theta_i''(0)}{\Theta_i(0)}\Bigr), \] \[ e_1 = \frac13\Bigl(\frac{\pi}{2\omega_1}\Bigr)^2\bigl[\Theta_2(0)^4 + \Theta_3(0)^4\bigr], \] \[ e_2 = -\frac13\Bigl(\frac{\pi}{2\omega_1}\Bigr)^2\bigl[\Theta_1(0)^4 + \Theta_3(0)^4\bigr], \] \[ e_3 = \frac13\Bigl(\frac{\pi}{2\omega_1}\Bigr)^2\bigl[\Theta_1(0)^4 - \Theta_2(0)^4\bigr], \tag{15} \] \[ 2\eta_1\omega_1 = -\frac{\Theta'''(0)}{6\,\Theta'(0)}, \qquad \Theta'(0) = \pi\,\Theta_1(0)\Theta_2(0)\Theta_3(0), \] les dérivées étant prises en \(v\).⁸⁹

90–90

Récapitulation (page 90)

Les données \(\omega_1, \omega_2\) (avec \(\omega_1/\omega_2 \notin \mathbf{R}\)), \(g_2, g_3\) (avec \(g_2^3 - 27g_3^2 \neq 0\)), \(c_1, c_2\), ou \(e_1, e_2, e_3\) distincts, se déterminent les unes les autres : \[ c_1 = 3\sum_{w \in \mathfrak{P}\smallsetminus 0}\frac{1}{w^4}, \quad c_2 = 5\sum_{w \in \mathfrak{P}\smallsetminus 0}\frac{1}{w^6}, \quad g_2 = 20c_1, \quad g_3 = 28c_2, \] \[ e_i = \wp(\omega_i) = \frac{1}{\omega_i^2} + \sum_{w \neq 0}\Bigl[\frac{1}{(\omega_i - w)^2} - \frac{1}{w^2}\Bigr] ; \] \(e_1, e_2, e_3\) sont les racines de \(4z^3 - g_2z - g_3 = 4(z - e_1)(z - e_2)(z - e_3)\), d'où \[ g_2 = -4(e_2e_3 + e_3e_1 + e_1e_2) = 2(e_1^2 + e_2^2 + e_3^2), \qquad g_3 = 4e_1e_2e_3 ; \] et \(\omega_i = \int_\infty^{e_i} dz/\sqrt{4z^3 - g_2z - g_3}\), ou \(\omega_i = \int_{e_j}^{e_k}dz/\sqrt{4z^3 - g_2z - g_3}\), pour des déterminations convenables avec \(\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0\).⁹⁰

91–92

La fonction modulaire (pages 91 et 92)

Comme fonctions de \((\omega_1, \omega_2)\), avec \(\Im(\omega_2/\omega_1) > 0\), \(g_2\) et \(g_3\) sont homogènes de degrés \(-4\) et \(-6\) ; le quotient \[ J(\tau) = \frac{g_2^3}{\Delta} = \frac{g_2^3}{g_2^3 - 27g_3^2} = \frac{1}{1 - 27g_3^2/g_2^3}, \qquad \tau = \frac{\omega_2}{\omega_1}, \] est homogène de degré \(0\), donc une fonction de \(\tau\) seul, holomorphe sur le demi-plan \(\Im\tau > 0\) : c'est la fonction modulaire.⁹¹ Comme \(g_2, g_3\) peuvent être pris arbitraires sous la condition \(\Delta \neq 0\), \(J\) prend toutes les valeurs complexes ; comme \(g_2, g_3\) ne dépendent que du réseau, \(J\) est invariante par le groupe modulaire des \(\tau \mapsto (a\tau + b)/(c\tau + d)\), \(a, b, c, d \in \mathbf{Z}\), \(ad - bc = 1\) ; et \(J(\tau) = a\) détermine le réseau à homothétie près, donc \(\tau\) à une transformation modulaire près. Il en résulte que \(J\) est biunivoque au voisinage de tout point qui n'est point fixe d'aucune transformation modulaire non triviale, et en ces points seulement ; il y a exactement deux classes de tels points, \(i\) et \(\rho = \frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}\), et \[ J(i) = 1 \quad (g_3 = 0), \qquad J(\rho) = 0 \quad (g_2 = 0) . \] Ce sont les seuls points singuliers de la fonction inverse \(\tau(J)\), et ces propriétés sont à la base de la démonstration des théorèmes de Picard sur les fonctions entières.⁹²

93–96

Les fonctions elliptiques de Legendre (pages 93 à 96)

\(\mathrm{sn}\,u\) est la fonction réciproque de \(\int_0^u dx/\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}\), impaire ; on pose, avec \(k'^2 = 1 - k^2\), \[ \mathrm{cn}^2 + \mathrm{sn}^2 = 1, \quad \mathrm{dn}^2 + k^2\mathrm{sn}^2 = 1, \quad \mathrm{dn}^2 - k^2\mathrm{cn}^2 = k'^2, \qquad \mathrm{sn}\,0 = 0,\ \mathrm{cn}\,0 = \mathrm{dn}\,0 = 1, \tag{1} \] \(\mathrm{cn}\) et \(\mathrm{dn}\) étant uniformes et paires ; les équations différentielles (2) sont celles de la page 69, et les développements de Taylor en \(0\) sont, avec \(\alpha = \frac12(k + \frac1k)\)⁹³ , \[ \mathrm{sn}\,u = u - \frac{2\alpha k}{3!}u^3 + \frac{4k^2(\alpha^2 + 3)}{5!}u^5 - \frac{8k^3(\alpha^3 + 33\alpha)}{7!}u^7 + \cdots, \] \[ \mathrm{cn}\,u = 1 - \frac{u^2}{2!} + \frac{1 + 4k^2}{4!}u^4 - \frac{1 + 44k^2 + 16k^4}{6!}u^6 + \cdots, \] \[ \mathrm{dn}\,u = 1 - \frac{k^2u^2}{2!} + \frac{k^2(4 + k^2)}{4!}u^4 - \frac{k^2(16 + 44k^2 + k^4)}{6!}u^6 + \cdots . \tag{3} \] Pour \(k = 0\), \(\mathrm{sn} = \sin\), \(\mathrm{cn} = \cos\), \(\mathrm{dn} = 1\) ; pour \(k = 1\), \(\mathrm{sn} = \mathrm{th}\), \(\mathrm{cn} = \mathrm{dn} = 1/\mathrm{ch}\).⁹⁴

Périodes et valeurs remarquables. Soient \[ K = \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}, \qquad K' = \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k'^2x^2)}}, \qquad K'' = -K - iK' . \]

• \(\mathrm{sn}\) : périodes \(4K\), \(2iK'\) ; zéros \(2mK + 2m'iK'\) ; pôles \(iK' + 2mK + 2m'iK'\) ;
• \(\mathrm{cn}\) : périodes \(4K\), \(-2K'' = 2K + 2iK'\) ; zéros \(K + 2mK + 2m'iK'\) ; pôles \(iK' + 2mK + 2m'iK'\) ;
• \(\mathrm{dn}\) : périodes \(2K\), \(4iK'\) ; zéros \(K'' + 2mK + 2m'iK'\) ; pôles \(iK' + 2mK + 2m'iK'\).

Les trois fonctions sont d'ordre \(2\) pour leurs propres périodes et d'ordre \(4\) pour les périodes communes \(4K\), \(4iK'\). Pour \(0 < k < 1\) et \(u\) réel, \(\mathrm{sn}\) n'a pas de pôle et s'annule en \(2mK\), de période réelle \(4K\) ; \(\mathrm{cn}\) n'a pas de pôle, s'annule en \(K + 2mK\), de période \(4K\) ; \(\mathrm{dn}\) n'a ni pôle ni zéro, de période \(2K\).⁹⁵ Les translations par les demi-périodes⁹⁶ : \[ \begin{array}{lll} \mathrm{sn}(u+2K) = -\mathrm{sn}\,u & \mathrm{cn}(u+2K) = -\mathrm{cn}\,u & \mathrm{dn}(u+2K) = \mathrm{dn}\,u \\ \mathrm{sn}(u+2iK') = \mathrm{sn}\,u & \mathrm{cn}(u+2iK') = -\mathrm{cn}\,u & \mathrm{dn}(u+2iK') = -\mathrm{dn}\,u \\ \mathrm{sn}(u+2K'') = -\mathrm{sn}\,u & \mathrm{cn}(u+2K'') = \mathrm{cn}\,u & \mathrm{dn}(u+2K'') = -\mathrm{dn}\,u \\[1ex] \mathrm{sn}(u+K) = \dfrac{\mathrm{cn}\,u}{\mathrm{dn}\,u} & \mathrm{cn}(u+K) = -k'\dfrac{\mathrm{sn}\,u}{\mathrm{dn}\,u} & \mathrm{dn}(u+K) = \dfrac{k'}{\mathrm{dn}\,u} \\[2ex] \mathrm{sn}(u+iK') = \dfrac{1}{k\,\mathrm{sn}\,u} & \mathrm{cn}(u+iK') = -\dfrac ik\dfrac{\mathrm{dn}\,u}{\mathrm{sn}\,u} & \mathrm{dn}(u+iK') = -i\dfrac{\mathrm{cn}\,u}{\mathrm{sn}\,u} \\[2ex] \mathrm{sn}(u+K'') = -\dfrac1k\dfrac{\mathrm{dn}\,u}{\mathrm{cn}\,u} & \mathrm{cn}(u+K'') = -\dfrac{ik'}{k\,\mathrm{cn}\,u} & \mathrm{dn}(u+K'') = -ik'\dfrac{\mathrm{sn}\,u}{\mathrm{cn}\,u} \end{array} \] La transformation imaginaire de Jacobi : \[ \mathrm{sn}(iu \mid k) = i\,\frac{\mathrm{sn}(u \mid k')}{\mathrm{cn}(u \mid k')}, \qquad \mathrm{cn}(iu \mid k) = \frac{1}{\mathrm{cn}(u \mid k')}, \qquad \mathrm{dn}(iu \mid k) = \frac{\mathrm{dn}(u \mid k')}{\mathrm{cn}(u \mid k')} ; \] et la table des valeurs :⁹⁷ \[ \begin{array}{c|cccccccccc} & 0 & K & 2K & 3K & iK' & 2iK' & 3iK' & K'' & 2K'' & 3K''\\ \hline \mathrm{sn} & 0 & 1 & 0 & -1 & \infty & 0 & \infty & -\frac1k & 0 & \frac1k\\ \mathrm{cn} & 1 & 0 & -1 & 0 & \infty & -1 & \infty & -i\frac{k'}{k} & 1 & -i\frac{k'}{k}\\ \mathrm{dn} & 1 & k' & 1 & k' & \infty & -1 & \infty & 0 & -1 & 0 \end{array} \]

Relations avec les fonctions de Weierstrass (page 95). Supposons \(\omega_1\) réel et \(\omega_2\) purement imaginaire, \(\Im\omega_2 > 0\) ; les \(e_i\) sont réels, et \(e_2 < e_3 < e_1\). Posons \(k = \sqrt{(e_3 - e_2)/(e_1 - e_2)}\) et \(M = \sqrt{e_1 - e_2}\). Alors \[ \mathrm{sn}(u \mid k) = M\,\frac{\sigma(u/M)}{\sigma_2(u/M)}, \qquad \mathrm{cn}(u \mid k) = \frac{\sigma_1(u/M)}{\sigma_2(u/M)}, \qquad \mathrm{dn}(u \mid k) = \frac{\sigma_3(u/M)}{\sigma_2(u/M)}, \] \[ \wp(u) = e_2 + \frac{M^2}{\mathrm{sn}^2(Mu \mid k)}, \qquad K = M\omega_1,\quad iK' = M\omega_2,\quad K'' = M\omega_3 . \] Inversement, partant de \(\mathrm{sn}(u \mid k)\), on prend \(M\) arbitraire, on définit les \(\omega_i\) par ces relations, et \[ 3e_1 = (1 + k'^2)M^2, \qquad 3e_2 = (k'^2 - 2)M^2, \qquad 3e_3 = (1 - 2k'^2)M^2 . \] On prend souvent \(M = \frac12\), d'où \(2\omega_1 = 4K\), \(2\omega_2 = 4iK'\), pour lesquelles \(\mathrm{sn}\), \(\mathrm{cn}\), \(\mathrm{dn}\) sont d'ordre \(4\).⁹⁸

Fonctions de Legendre et fonctions \(\Theta\) (page 96). Avec \(v = u/2K\) et \(\tau = iK'/K\)⁹⁹ , \[ \mathrm{sn}(u \mid k) = \frac{1}{\sqrt k}\,\frac{\Theta(v \mid \tau)}{\Theta_2(v \mid \tau)}, \qquad \mathrm{cn}(u \mid k) = \sqrt{\frac{k'}{k}}\,\frac{\Theta_1(v \mid \tau)}{\Theta_2(v \mid \tau)}, \qquad \mathrm{dn}(u \mid k) = \sqrt{k'}\,\frac{\Theta_3(v \mid \tau)}{\Theta_2(v \mid \tau)} ; \] et les formules d'addition, sur lesquelles le dossier s'achève : \[ \mathrm{sn}(u+v) = \frac{\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{cn}\,v\,\mathrm{dn}\,v + \mathrm{sn}\,v\,\mathrm{cn}\,u\,\mathrm{dn}\,u}{1 - k^2\mathrm{sn}^2u\,\mathrm{sn}^2v}, \qquad \mathrm{cn}(u+v) = \frac{\mathrm{cn}\,u\,\mathrm{cn}\,v - \mathrm{sn}\,u\,\mathrm{sn}\,v\,\mathrm{dn}\,u\,\mathrm{dn}\,v}{1 - k^2\mathrm{sn}^2u\,\mathrm{sn}^2v}, \] \[ \mathrm{dn}(u+v) = \frac{\mathrm{dn}\,u\,\mathrm{dn}\,v - k^2\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{sn}\,v\,\mathrm{cn}\,u\,\mathrm{cn}\,v}{1 - k^2\mathrm{sn}^2u\,\mathrm{sn}^2v} . \]