L(t) une fonction rat. en t,
On veut simplifier l'équation fonctionnelle, en posant
L'(t) = \lambda(t) L(t)
d'où
L'\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = \lambda\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) L\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr)
= \lambda\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) A(t) L(t)
= \lambda\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) \lambda(t)^{-1} A(t) L'(t)
et on aimerait obtenir L'(\frac{1}{qt}) = c L'(t), i.e.
\frac{\lambda(\frac{1}{qt})}{\lambda(t)} = c A(t)^{-1}
Si on trouve un tel \lambda, tout autre \lambda'(t) = \alpha(t)\lambda(t)
(est déterminé par
solution générale
« avec une cte c' » est écrit au-dessus de cette parenthèse, avec
un trait qui la relie à \lambda' ; la parenthèse n'est pas fermée
\frac{\alpha(\frac{1}{qt})}{\alpha(t)} = \frac{c'}{c}
\qquad \text{i.e.} \qquad
\alpha\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = a\,\alpha(t)
avec a une cte, (nécessairement \pm 1)
« nécessairement \pm 1 » est entouré
donc dans l'équation fonctionnelle
mult.
la fin de cette phrase, à droite, est écrite sur deux lignes,
surchargée et soulignée de plusieurs traits ; une partie semble biffée ;
elle ne se lit pas
un long trait horizontal sépare ce qui précède de ce qui suit
Faisons opérer le groupe
équivaut à celle
un .
un long trait horizontal passe sur toute cette ligne, qui pourrait
être biffée ; un mot au milieu est biffé à part. Un encadré, relié à la
ligne par un trait, porte l'insertion :
\boxed{\underline{\lambda}^{g}\, \lambda^{-1} =}
Il y a une solution triviale
\lambda = \frac{1}{L} \qquad \text{i.e.} \qquad L'(t) = 1 .
Mais nous devons que imposer que \lambda
Pour préciser ce point, nous supposons,
tout le passage qui suit, jusqu'à « de niveau \leq \rho+n+1 », est
barré de trois longs traits obliques, et plusieurs de ses lignes sont en
outre biffées d'un trait horizontal ; il est donné tel qu'il se lit
L(0) = 1, que les racines et pôles de L sont des valeurs absolues de
la forme
p^{-\frac{i}{2}} avec \rho \leq i \leq \rho + 2n i.e.
\rho \leq \frac{i}{2} \leq \rho + n,
les deux \rho de la double inégalité en i surchargent un 2\rho
biffé ; « L(0) = 1, » est encadré
et coefficients
puissance de p^{\frac{1}{2}}, dans des
propre
(et on écrit de restreindre
aux \lambda ayant la même propriété,
(de poids compris entre
\rho et \rho+n) et de plus de « niveau » \leq \rho+n+1
« \rho+n+1 » est écrit sous la ligne, entre deux traits ; « même
propriété » est souligné
et sont toutes de la forme
(p^{\frac{1}{2}}) \xi_i, où \nu un entier,
\xi_i un et des sont
des entiers alg. de val. absolue p^{\frac{i}{2}},
et de même pour L'_i (donc L'_{\rho+n-i}(p^{i}t) a des valeurs propres
inverses qui sont des entiers alg. de val. absolue
p^{\frac{\rho+n-i}{2}}\, p^{i} = p^{\frac{\rho+n+i}{2}} .
Ceci posé, on niveau
\leq \rho+n-1 (et non seulement \leq \rho+n comme L).
Si L_{\rho+n}
Nous supposons de plus que A(t) lui-même est de même type.
\begin{array}{l}
L\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho}t}\Bigr)
= L'_{\rho}\Bigl(\frac{1}{p^{\rho}t}\Bigr) L'_{\rho+1}\Bigl(\frac{1}{p^{\rho+1}t}\Bigr)
\cdots L'_{\rho+n-1}\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho-1}t}\Bigr) \\[6pt]
\qquad\qquad L_{\rho+n}\Bigl(\frac{1}{p^{\rho+n}t}\Bigr)
L_{\rho+n-1}\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho}t}\Bigr) \cdots L_{\rho}\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho}t}\Bigr)
\end{array}
De plus, on suppose que chaque L_i et L'_i a une équation
fonctionnelle du type correspondant
un trait courbe relie ce membre de gauche aux lignes qui suivent
\begin{array}{l}
= \delta'_{\rho}\, t^{\chi'_{\rho}} L'_{\rho}(t) \cdots
\delta'_{\rho+n-1}\, t^{\chi'_{\rho+n-1}} L'_{\rho+n-1}(t) \\[4pt]
\qquad \delta_{\rho+n}\, t^{\chi_{\rho}} L_{\rho+n}(t)\,
\delta_{\rho+n-1}\, t^{\chi_{\rho+n-1}} L_{\rho+n-1}(pt) \cdots
\delta_{\rho}\, t^{\chi_{\rho}} L_{\rho}(p^{n}t) \\[4pt]
= \delta\, t^{\chi} L'_{\rho}(t) \cdots L'_{\rho+n-1}(t)\,
L_{\rho+n}(t)\, L_{\rho+n-1}(pt) \cdots L_{\rho}(p^{n}t)
\end{array}
devant \delta_{\rho+n}, un L est biffé ; l'exposant \chi_{\rho}
de ce facteur est écrit ainsi (on attendrait \chi_{\rho+n}) ; le premier
\delta'_{\rho} surcharge une autre lettre ; dans la dernière ligne,
quelques tirets sont tracés au-dessus de (t), et l'argument (pt) est
surchargé
A
\frac{L(\frac{1}{qt})}{L(t)}
= \delta\, t^{\chi}
\Bigl[\frac{L'_{\rho}(t)}{L'_{\rho}(p^{n}t)} \cdots
\frac{L'_{\rho+n-1}(t)}{L'_{\rho+n-1}(pt)}\Bigr]
\Bigl[\frac{L_{\rho+n-1}(pt)}{L_{\rho+n-1}(t)} \cdots
\frac{L_{\rho}(p^{n}t)}{L_{\rho}(t)}\Bigr]
avant les derniers points de suspension, un L est biffé ; l'indice
du dénominateur L_{\rho+n-1}(t) surcharge une autre écriture
A(t) = \delta\, t^{\chi}
\prod_i \frac{L'_i(t)}{L'_i(p^{\rho+n-i}t)}
\prod_i \frac{L_i(p^{\rho+n-i}t)}{L_i(t)}
dans le numérateur du second produit, l'argument surcharge un p
biffé
n = 1
\underbrace{L_{\rho}(t)}\, L_{\rho+1}(t)\, \underbrace{L'_{\rho}(pt)}
L_{\rho}(t)\, L'_{\rho}(pt)
le reste de la page est blanc