Cote n° 60 · batch 4 · pages 61–69 · Transcription · Fonctions L / Équation fonctionnelle des fonctions L (cas géométrique) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1962- à partir de 1971]
Édition de démonstration

62\(L(t)\) une fonction rat. en \(t\), […] \(q = p\) […] l'exposant de \(p\) est noyé sous une tache d'encre ; le mot biffé avant « \(q = p\) » commence par un \(q\) \[ L\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = A(t) L(t) \] \(A(t)\) de « niveau » inférieur.

On veut simplifier l'équation fonctionnelle, en posant \[ L'(t) = \lambda(t) L(t) \] d'où \[ L'\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = \lambda\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) L\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = \lambda\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) A(t) L(t) = \lambda\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) \lambda(t)^{-1} A(t) L'(t) \] et on aimerait obtenir \(L'(\frac{1}{qt}) = c L'(t)\), i.e. \[ \frac{\lambda(\frac{1}{qt})}{\lambda(t)} = c A(t)^{-1} \] Si on trouve un tel \(\lambda\), tout autre \(\lambda'(t) = \alpha(t)\lambda(t)\) (est déterminé par […] solution générale « avec une cte \(c'\) » est écrit au-dessus de cette parenthèse, avec un trait qui la relie à \(\lambda'\) ; la parenthèse n'est pas fermée \[ \frac{\alpha(\frac{1}{qt})}{\alpha(t)} = \frac{c'}{c} \qquad \text{i.e.} \qquad \alpha\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = a\,\alpha(t) \] avec \(a\) une cte, (nécessairement \(\pm 1\)) « nécessairement \(\pm 1\) » est entouré donc dans l'équation fonctionnelle […] […] […] […] […] mult. la fin de cette phrase, à droite, est écrite sur deux lignes, surchargée et soulignée de plusieurs traits ; une partie semble biffée ; elle ne se lit pas

un long trait horizontal sépare ce qui précède de ce qui suit Faisons opérer le groupe […] \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) sur les fonctions rationnelles \(\neq 0\), via la substitution \(t \mapsto \frac{1}{qt}\). Alors […] […] […]) la question en […] \(\lambda\) un trait vertical, en marge gauche, accompagne les deux dernières lignes ; la phrase se poursuit en tête de la page 64

64équivaut à celle […] […] […] […] un […]. un long trait horizontal passe sur toute cette ligne, qui pourrait être biffée ; un mot au milieu est biffé à part. Un encadré, relié à la ligne par un trait, porte l'insertion : \[ \boxed{\underline{\lambda}^{g}\, \lambda^{-1} =} \] Il y a une solution triviale \[ \lambda = \frac{1}{L} \qquad \text{i.e.} \qquad L'(t) = 1 . \] Mais nous devons que imposer que \(\lambda\) […] soit de « niveau » strict. inf. à \(L\).

Pour préciser ce point, nous supposons, tout le passage qui suit, jusqu'à « de niveau \(\leq \rho+n+1\) », est barré de trois longs traits obliques, et plusieurs de ses lignes sont en outre biffées d'un trait horizontal ; il est donné tel qu'il se lit \(L(0) = 1\), que les racines et pôles de \(L\) sont des valeurs absolues de la forme \(p^{-\frac{i}{2}}\) avec \(\rho \leq i \leq \rho + 2n\) i.e. \(\rho \leq \frac{i}{2} \leq \rho + n\), les deux \(\rho\) de la double inégalité en \(i\) surchargent un \(2\rho\) biffé ; « \(L(0) = 1\), » est encadré et […] coefficients […] […] puissance de \(p^{\frac{1}{2}}\), dans des […] propre […] […] (et on écrit de restreindre aux \(\lambda\) ayant la même propriété, […] […] […] (de poids compris entre \(\rho\) et \(\rho+n\)) et de plus de « niveau » \(\leq \rho+n+1\) « \(\rho+n+1\) » est écrit sous la ligne, entre deux traits ; « même propriété » est souligné et sont toutes de la forme \((p^{\frac{1}{2}})\) […] \(\xi_i\), où \(\nu\) un entier, \(\xi_i\) un […] […] note écrite verticalement en marge gauche, entourée d'un trait qui la rattache à « \(L(0) = 1\) » ; l'exposant de \(p^{\frac{1}{2}}\) est couvert d'une tache (sans doute le \(\nu\) qui suit) \[ L(t) = L_{\rho}(t) \cdots L_{\rho+n}(t)\, L'_{\rho+n-1}(pt)\, L'_{\rho+n-2}(p^{2}t) \cdots L'_{\rho}(p^{n}t) \] l'indice \(\rho+n\) surcharge un autre indice ; une accolade souligne \(L_{\rho}(t) \cdots L_{\rho+n}(t)\) et, au-dessous, un signe barré (peut-être « \(\neq\) ») ne se lit pas ; les arguments \(p^{2}t\) et \(p^{n}t\) se lisent mal (l'exposant pourrait être un \(i\)) où les valeurs propres inverses des \(L_i\) et des sont des entiers alg. de val. absolue \(p^{\frac{i}{2}}\), et de même pour \(L'_i\) (donc \(L'_{\rho+n-i}(p^{i}t)\) a des valeurs propres inverses qui sont des entiers alg. de val. absolue \[ p^{\frac{\rho+n-i}{2}}\, p^{i} = p^{\frac{\rho+n+i}{2}} . \]

66Ceci posé, on […] se permet de « corriger » par des \(\lambda\) soumis à la forme \[ \begin{array}{l} \lambda_{\rho}(t) \cdots \lambda_{\rho+n-1}(t)\, \lambda_{\rho+n-2}(pt)\, \lambda_{\rho+n-1}(pt)\, \lambda_{\rho+n-2}(p^{2}t) \\ \qquad\qquad \cdots \lambda_{\rho}(p^{n}t) \end{array} \] la suite des indices est transcrite telle qu'elle est écrite ; l'indice \(\rho+n-1\) du deuxième facteur surcharge une autre écriture donc de poids entre \(\rho\) et \(\rho+n\) comme \(L\), mais de niveau \(\leq \rho+n-1\) (et non seulement \(\leq \rho+n\) comme \(L\)).

Si […] […] \(L_{\rho+n}\) Nous supposons de plus que \(A(t)\) lui-même est de même type. \[ \begin{array}{l} L\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho}t}\Bigr) = L'_{\rho}\Bigl(\frac{1}{p^{\rho}t}\Bigr) L'_{\rho+1}\Bigl(\frac{1}{p^{\rho+1}t}\Bigr) \cdots L'_{\rho+n-1}\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho-1}t}\Bigr) \\[6pt] \qquad\qquad L_{\rho+n}\Bigl(\frac{1}{p^{\rho+n}t}\Bigr) L_{\rho+n-1}\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho}t}\Bigr) \cdots L_{\rho}\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho}t}\Bigr) \end{array} \] De plus, on suppose que chaque \(L_i\) et \(L'_i\) a une équation fonctionnelle du type correspondant un trait courbe relie ce membre de gauche aux lignes qui suivent \[ \begin{array}{l} = \delta'_{\rho}\, t^{\chi'_{\rho}} L'_{\rho}(t) \cdots \delta'_{\rho+n-1}\, t^{\chi'_{\rho+n-1}} L'_{\rho+n-1}(t) \\[4pt] \qquad \delta_{\rho+n}\, t^{\chi_{\rho}} L_{\rho+n}(t)\, \delta_{\rho+n-1}\, t^{\chi_{\rho+n-1}} L_{\rho+n-1}(pt) \cdots \delta_{\rho}\, t^{\chi_{\rho}} L_{\rho}(p^{n}t) \\[4pt] = \delta\, t^{\chi} L'_{\rho}(t) \cdots L'_{\rho+n-1}(t)\, L_{\rho+n}(t)\, L_{\rho+n-1}(pt) \cdots L_{\rho}(p^{n}t) \end{array} \] devant \(\delta_{\rho+n}\), un \(L\) est biffé ; l'exposant \(\chi_{\rho}\) de ce facteur est écrit ainsi (on attendrait \(\chi_{\rho+n}\)) ; le premier \(\delta'_{\rho}\) surcharge une autre lettre ; dans la dernière ligne, quelques tirets sont tracés au-dessus de \((t)\), et l'argument \((pt)\) est surchargé

68\(A\) […] \[ \frac{L(\frac{1}{qt})}{L(t)} = \delta\, t^{\chi} \Bigl[\frac{L'_{\rho}(t)}{L'_{\rho}(p^{n}t)} \cdots \frac{L'_{\rho+n-1}(t)}{L'_{\rho+n-1}(pt)}\Bigr] \Bigl[\frac{L_{\rho+n-1}(pt)}{L_{\rho+n-1}(t)} \cdots \frac{L_{\rho}(p^{n}t)}{L_{\rho}(t)}\Bigr] \] avant les derniers points de suspension, un \(L\) est biffé ; l'indice du dénominateur \(L_{\rho+n-1}(t)\) surcharge une autre écriture \[ A(t) = \delta\, t^{\chi} \prod_i \frac{L'_i(t)}{L'_i(p^{\rho+n-i}t)} \prod_i \frac{L_i(p^{\rho+n-i}t)}{L_i(t)} \] dans le numérateur du second produit, l'argument surcharge un \(p\) biffé

\(n = 1\) \[ \underbrace{L_{\rho}(t)}\, L_{\rho+1}(t)\, \underbrace{L'_{\rho}(pt)} \] \[ L_{\rho}(t)\, L'_{\rho}(pt) \] le reste de la page est blanc