Fonds Grothendieck, cote n° 60, pages 21–40

Dans le cas d'un motif E, ces mots sont entourés d'un trait en haut de la page ; « motif » est souligné on va exprimer \delta(E) et \chi(E) en termes des composantes virtuelles des R f_{!}(E) (utilisant les conj. de Weil), on trouve \left\lbrace \begin{array}{l} \chi(E) = \sum (-1)^i \beta_i(E) \\[6pt] \delta(E) = \prod_i \delta\bigl(h^i_{!}(E)\bigr)^{(-1)^i} \end{array} \right. en face : \beta_i(E) les nbs de Betti virtuels à coeff. dans E Or h^i_{!}(E) donne des valeurs propres de val. absolue p^{i/2}, donc \delta\bigl(h^i_{!}(E)\bigr) = \varepsilon_i\, p^{\frac{i \beta_i}{2}} (NB. i\beta_i/2 toujours entier) devant \delta(h^i_{!}(E)), un premier départ est biffé où \varepsilon_i est défini comme un signe de déterminant virtuel, et \varepsilon_i est = +1 si i est impair. On trouve donc \left\lbrace \begin{array}{l} \delta(E) = \varepsilon(E)\, p^{\frac{1}{2}\sum_i (-1)^i i\, \beta_i(E)} \\[6pt] \varepsilon(E) = \prod_i \varepsilon_i(E) \end{array} \right. entre \delta(E) = et \varepsilon(E), un premier membre de droite, une puissance de p, est lourdement biffé en face : \varepsilon(E) et les \varepsilon_i(E) sont \pm 1, \varepsilon_i(E) = +1 si i impair.

de L_E et L^{\infty}_{DE} … ~~R f_{*}\, j^{*} R i_{*}(E)~~ R_{\infty} f(E) = R f_{*}\, j^{*}\bigl(R i_{*}(E)\bigr) \begin{aligned} D\, R_{\infty} f(E) &= D\, R f_{*}(\quad) \\ &= R f_{*}\, D(\quad) \\ &= R f_{*}\, R j^{!}\bigl(D\, R i_{*}(E)\bigr) \\ &= R f_{*}\Bigl(R j^{!}\bigl(R i_{!}(D E)\bigr)\Bigr) \end{aligned} une accolade embrasse les deuxième et troisième lignes : dualité locale les parenthèses des deux premières lignes sont laissées vides ; sous la dernière, une accolade renvoie à j^{*}\bigl(R i_{*}(D(E))\bigr)[1] \boxed{D\, R^{*}_{\infty} f(E) = R^{*}_{\infty} f\bigl(D(E)\bigr)\, [1]} en face : 1 ou -1 ! une ligne suivante, L^{\infty}_E \ldots L^{\infty}_{\check E} \ldots = 1, est biffée de plusieurs traits

L^{\infty}_{D(E)} ~~Supposons … D(E) \simeq \check E(n+\rho), on trouve~~

Supposons E loc. ct. de poids \rho et X lisse de dim. , : « de poids \rho » est écrit au-dessus de la ligne ; la fin de la phrase, à droite, se lit mal D(E) \simeq \check E(n) \simeq E(n + \rho) d'où \boxed{D\, R^{*}_{\infty} f(E) \simeq R^{*}_{\infty} f(E)\,(n + \rho)\,[1]} donc l'équation fonctionnelle (-t)^{-\chi_{\infty}(E)}\, \delta_{\infty}(E)\, L^{\infty}_E(t^{-1}) = L^{\infty}_E\bigl(p^{-(n+\rho)} t\bigr)^{-1} devant (-t), un signe biffé i.e. \boxed{L^{\infty}_E\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho}\, t}\Bigr) L^{\infty}_E(t)\, (-t)^{\chi_{\infty}(E)}\, \delta_{\infty}(E) = 1}

NB \chi_{\infty}(E) = \varepsilon\bigl(R f_{*}(E)\bigr) - \varepsilon\bigl(R f_{!}(E)\bigr) or on a vu que les deux \varepsilon sont égaux, donc \chi_{\infty}(E) = 0. D'autre part comme page 20, \varepsilon note ici la caractéristique d'Euler du complexe \delta_{\infty}(E) = \delta\bigl(R f_{*}(E)\bigr)\, \delta\bigl(R f_{!}(E)\bigr)^{-1} et on a vu que p^{(n+\rho)\chi(E)}\, \delta\bigl(R f_{*}(E)\bigr)^{-1} = \delta\bigl(R f_{!}(E)\bigr) d'où \left\lbrace \begin{array}{l} \delta_{\infty}(E) = p^{(n+\rho)\chi(E)}\, \delta(E)^{-2} = \varepsilon(E)^{-2} \\[6pt] \varepsilon(E) = \delta(E)\, p^{-(n+\rho)\chi(E)/2} \end{array} \right. après \varepsilon(E)^{-2}, une expression est lourdement biffée ; le \varepsilon de ces deux lignes est tracé en gras (= \pm 1 si X est propre)

(qui est bien 1 lorsque X est complet !)

d'où l'équation fonctionnelle \boxed{L^{\infty}_E\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho}\, t}\Bigr) L^{\infty}_E(t)\, \delta_{\infty}(E) = 1} \Bigl(\delta_{\infty}(E) = p^{(n+\rho)\chi(E)}\, \delta(E)^{-2} = \varepsilon(E)^{-2}\Bigr) avant le dernier signe =, un symbole est biffé

[Invariants arithmétiques intéressants, (moyennant la connaissance de l'invariant géométrique \chi(E), et de q = p^{n+\rho}) : \delta(E) = \delta^{*}_{!}(E) , \quad \delta'(E) = \delta^{*}_{*}(E) , \quad \varepsilon(E) , \quad \delta_{\infty}(E) ] dans q = p^{n+\rho}, le q surcharge une autre lettre \boxed{\delta(E)\,\delta'(E) = q^{\chi(E)}} \qquad \boxed{\varepsilon(E) = \delta(E)\, q^{-\chi(E)/2} = \delta'(E)\, q^{-\chi(E)/2}} \boxed{\delta_{\infty}(E) = q^{\chi(E)}\, \delta(E)^{-2} = q^{-\chi(E)}\, \delta'(E)^{2} = \varepsilon(E)^{-2}} une flèche part du signe = de la deuxième formule encadrée : variance avec E, X !! dans un ovale, à gauche : NB. \varepsilon(E) = \pm 1 si X complet la page écrit bien \delta'(E)\, q^{-\chi(E)/2} dans la deuxième formule encadrée ; d'après la première, on attendrait \delta'(E)^{-1} q^{\chi(E)/2}. On transcrit tel quel. L'exposant 2 de \delta'(E) dans la troisième formule, au bord de la feuille, est douteux

Comparons cette équation fonctionnelle avec celle pour la fonction L_E, on trouve, en ~~substituant~~ posant pour simplifier p^{n+\rho} = q, et A(t)\, \delta(E)\, (-t)^{\chi(E)} = B(t) : L\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = B(t)\, L(t) et faisant t \mapsto \frac{1}{qt} dedans, on trouve L(t) = B\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) L\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = B\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) B(t)\, L(t) d'où B(t)\, B\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = 1 . Remplaçant B par sa valeur, on trouve L^{\infty}_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr)^{-1} \delta(E)\, (-t)^{\chi(E)}\, L^{\infty}_E(t)^{-1}\, \delta(E) \Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr)^{\chi(E)} = 1 dans le premier argument, un p biffé précède qt ; le dernier facteur est surchargé et pourrait porter un signe - i.e. L^{\infty}_E(t)\, L^{\infty}_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = \delta(E)^2\, q^{-\chi(E)} devant q^{-\chi(E)}, un petit symbole biffé ; au-dessous, une ligne commençant par L^{\infty}_E\bigl(\frac{1}{p^{n+\rho} t}\bigr) est biffée C'est précisément l'équation fonctionnelle explicitée plus haut.

Posons \xi_E(t) = t^{\frac{\chi(E)}{2}} L_E(t) alors \begin{aligned} \xi_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) &= \Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr)^{\chi(E)/2} L_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = \Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr)^{\chi(E)/2} A(t)\, \delta(E)\, (-t)^{\chi(E)} L_E(t) \\ &= q^{-\chi(E)/2} A(t)\, \delta(E)\, (-1)^{\chi(E)}\; t^{\chi(E)/2} L_E(t) \end{aligned} i.e. sous la dernière ligne, deux accolades : l'une sous q^{-\chi(E)/2} \ldots (-1)^{\chi(E)}, l'autre sous t^{\chi(E)/2} L_E(t), légendée \xi_E(t)

\boxed{\xi_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = A(t)\, \varepsilon'(E)\, \xi_E(t)} \qquad q = p^{n\rho} A porte un petit exposant qui ne se lit pas ; la page écrit q = p^{n\rho}, sans signe + visible, là où les pages 26-28 ont q = p^{n+\rho} \left\lbrace \begin{array}{l} A(t) = L^{\infty}_E\Bigl(\dfrac{1}{qt}\Bigr)^{-1} \\[8pt] \varepsilon'(E) = \varepsilon(E)\, (-1)^{\chi(E)} \end{array} \right. \qquad \varepsilon(E) = \delta(E)\, q^{-\chi(E)/2} dans la dernière formule, un premier membre de droite est biffé

Si X complète \left\lbrace \begin{array}{l} A(t) = 1 \\ \varepsilon'(E) = \pm 1 \end{array} \right.

Cas d'une courbe alg.

X courbe, lisse projective [irréd.] sur \mathbb{F}_p, corps de fonctions K. le mot entre virgules et le crochet sont écrits au-dessus de la ligne

E_\eta \mathbb{Q}_\ell-faisceau constr. sur \eta = \operatorname{Spec} K.

On veut lui associer une « fonction L ». C'est raisonnable, car K détermine X.

Prenons d'abord E = i_{*}(E_\eta), où i : \eta \to X.

On sait alors que D(E) = i_{*}(\check E_\eta)(1) ~~Donc si on suppose~~ Donc si on pose L^{*}_{E_\eta}(t) = L_{i_{*}(E_\eta)}(t), on aura L^{*}_{\check E_\eta}\Bigl(\frac{1}{pt}\Bigr) = (-t)^{\chi^{*}(\check E_\eta)}\, \delta^{*}(E_\eta)\, L^{*}_{E_\eta}(t) devant \bigl(\frac{1}{pt}\bigr), un symbole biffé si on pose \chi^{*}(E_\eta) = \chi\bigl(i_{*}(E_\eta)\bigr) , \qquad \delta^{*}(E_\eta) = \delta\bigl(i_{*}(E_\eta)\bigr) Supposons qu'on ait \check E_\eta = E_\eta(\rho) \qquad \text{d'où} \qquad i_{*}(\check E_\eta) = i_{*}(E_\eta)(\rho) alors on trouve, \boxed{L^{*}_{E_\eta}\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = (-t)^{\chi^{*}(E_\eta)}\, \delta^{*}(E_\eta)\, L^{*}_{E_\eta}(t)} \qquad (q = p^{1+\rho}

Posant \xi^{*}_{E_\eta}(t) = t^{\chi^{*}(E_\eta)/2} L^{*}_{E_\eta}(t) on trouve \boxed{\xi^{*}_{E_\eta}\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = \varepsilon'^{*}(E_\eta)\, \xi^{*}_{E_\eta}(t)} \left\lbrace \begin{array}{l} \varepsilon'^{*}(E_\eta) = \delta^{*}(E_\eta)\, q^{-\chi^{*}(E_\eta)/2}\, (-1)^{\chi^{*}(E_\eta)} \\[6pt] q = p^{1+\rho} \end{array} \right. en face :

Une remarque : fonction L^{*}_{E_\eta}(t) : additif en E. De façon précise, si on a 0 \to E'_\eta \to E_\eta \to E''_\eta \to 0 on en conclut 0 \to i_{*}(E'_\eta) \to i_{*}(E_\eta) \to i_{*}(E''_\eta) \to Q \to 0 où ~~Q = \operatorname{Ker}\bigl(R^1 i_{*}(E'_\eta) \to R^1 i_{*}(E_\eta)\bigr)~~ Q \simeq \coprod_{x \text{ pt ramifié de } E''_\eta} j_x(\ill{}) la formule biffée est remplacée par l'expression \coprod, inscrite dans une boucle qui renvoie à la fin de la ligne est de « ramification » de E''_\eta.

D'où \left\lbrace \begin{array}{l} L^{*}_{E_\eta}(t) = L^{*}_{E'_\eta}(t)\, L^{*}_{E''_\eta}(t)\, L_Q(t)^{-1} = L^{*}_{E'_\eta}(t)\, L^{*}_{E''_\eta}(t) \prod_x P_{Q_x}(t) \\[8pt] Q_x = \operatorname{Coker}(E_x \to E''_x) \end{array} \right. en bas à droite, sous un arc : H^2(\bar X, E) = dual de H^0(\bar X, E(\ill{}))(\ill{})

On peut songer à la rendre additive, en la définissant d'abord sur les E_\eta simples (ou abst. simples, quitte à prendre des extensions finies de \mathbb{Q}_\ell) et en prolongeant par linéarité ou plus simplement à définir les facteurs locaux dans L_{E_\eta}(t) par L_{E_\eta(x)}(t), en posant E_\eta(x) = \sum E^{i*}_\eta(x), les E^{i}_\eta étant les facteurs simples dans une suite de composition de E. Ceci n'est pas encore satisfaisant, car les E_\eta(x) ainsi construits ne sont pas de nature locale en (E, x), i.e. ne commutent pas à l'extension étale ~~sur X~~ (i.e. ext. résiduellement triviale) sur X. l'indice de E^{i*}_\eta(x) est douteux ; au-dessus de « triviale », un mot ajouté, puis un mot biffé

Suite de la remarque

titre souligné, de sa main, en haut de la page dans un cadre, en haut à droite : NB. S'il s'agit de des galoisiens, et U est ouvert dans I, alors il s'ensuit qu'il contient un s-gpe ouvert de U, qui est invariant par D

D groupe, I sous-groupe distingué, E vectoriel de dim. finie sur un corps k, sur lequel D opère. On suppose que I admet un sous-groupe d'indice fini U, invariant par D, tel que pour g \in U, g opère sur E de façon unipotente, i.e. valeurs propres toutes 1. Alors le groupe algébrique d'automorphismes de E engendré par les g \in U est « unipotent », donc E admet une suite de composition sous U telle que E quot. facteurs. ~~soit stable par E.~~ De façon précise, on peut prendre la suite de composition formée par les E^U, (E/E^U)^U, …. Cette suite est stable par les opérations de D, si ~~(comme il est loisible)~~ ~~on suppose~~ puisque U dans I invariant par les D. Donc il existe une suite de composition de E sous D telle que sur chaque facteur E_i, U « invariant par D » est ajouté au-dessus de la ligne ; la fin de la proposition sur les facteurs, entourée d'une boucle, se lit mal ; la phrase continue page 40

opère trivialement, (et respectant bien ) au virtuel, et pour U fixé, les modules E envisagés sont assimilables à ceux pour lesquels ~~il existe un s-gpe~~ U opère trivialement sur E. les deux ajouts sont écrits au-dessus de la ligne

E sur lequel U opère trivialement, on peut prendre l'opération moyenne E \mapsto E^{I} \quad \text{de} \quad \mathrm{Mod}(D/U, k) \to \mathrm{Mod}(D/I, k) et si k est de car. 0, c'est le seul foncteur exact. Il induit un ~~opération additive,~~ naturel E \mapsto E^{I} \natural_U : R(D/U, k) \to R(D/I, k) le symbole de l'application a la forme d'un éclair ; on le rend conventionnellement par \natural On a compatibilité, pour V \subset U, par les foncteurs E \mapsto E^{I}, d'où par les \natural_U et \natural_V :

\begin{tikzcd} R(D/U, k) \arrow[r, "\natural_U"] \arrow[d] & R(D/I, k) \\ R(D/V, k) \arrow[ur, "\natural_V"'] & \end{tikzcd}

la flèche verticale porte une légende de deux mots qui ne se lisent pas