Cote n° 60 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Fonctions L / Équation fonctionnelle des fonctions L (cas géométrique) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1962- à partir de 1971]
Édition de démonstration

22Dans le cas d'un motif \(E\), ces mots sont entourés d'un trait en haut de la page ; « motif » est souligné on va exprimer \(\delta(E)\) et \(\chi(E)\) en termes des […] composantes virtuelles des \(R f_{!}(E)\) (utilisant les conj. de Weil), on trouve \[ \left\lbrace \begin{array}{l} \chi(E) = \sum (-1)^i \beta_i(E) \\[6pt] \delta(E) = \prod_i \delta\bigl(h^i_{!}(E)\bigr)^{(-1)^i} \end{array} \right. \] en face : \(\beta_i(E)\) les nbs de Betti virtuels à coeff. dans \(E\) Or \(h^i_{!}(E)\) donne des valeurs propres de val. absolue \(p^{i/2}\), donc \[ \delta\bigl(h^i_{!}(E)\bigr) = \varepsilon_i\, p^{\frac{i \beta_i}{2}} \] (NB. \(i\beta_i/2\) toujours entier) devant \(\delta(h^i_{!}(E))\), un premier départ est biffé où […] \(\varepsilon_i\) est défini comme un signe de déterminant virtuel, et \(\varepsilon_i\) est \(= +1\) si \(i\) est impair. On trouve donc \[ \left\lbrace \begin{array}{l} \delta(E) = \varepsilon(E)\, p^{\frac{1}{2}\sum_i (-1)^i i\, \beta_i(E)} \\[6pt] \varepsilon(E) = \prod_i \varepsilon_i(E) \end{array} \right. \] entre \(\delta(E) =\) et \(\varepsilon(E)\), un premier membre de droite, une puissance de \(p\), est lourdement biffé en face : \(\varepsilon(E)\) et les \(\varepsilon_i(E)\) sont \(\pm 1\), \(\varepsilon_i(E) = +1\) si \(i\) impair.

24[…] […] de \(L_E\) et \(L^{\infty}_{DE}\) … \(R f_{*}\, j^{*} R i_{*}(E)\) \[ R_{\infty} f(E) = R f_{*}\, j^{*}\bigl(R i_{*}(E)\bigr) \] \[ \begin{aligned} D\, R_{\infty} f(E) &= D\, R f_{*}(\quad) \\ &= R f_{*}\, D(\quad) \\ &= R f_{*}\, R j^{!}\bigl(D\, R i_{*}(E)\bigr) \\ &= R f_{*}\Bigl(R j^{!}\bigl(R i_{!}(D E)\bigr)\Bigr) \end{aligned} \] une accolade embrasse les deuxième et troisième lignes : dualité locale les parenthèses des deux premières lignes sont laissées vides ; sous la dernière, une accolade renvoie à \(j^{*}\bigl(R i_{*}(D(E))\bigr)[1]\) \[ \boxed{D\, R^{*}_{\infty} f(E) = R^{*}_{\infty} f\bigl(D(E)\bigr)\, [1]} \] en face : […] […] […] \(1\) ou \(-1\) ! une ligne suivante, \(L^{\infty}_E \ldots L^{\infty}_{\check E} \ldots = 1\), est biffée de plusieurs traits

\(L^{\infty}_{D(E)}\) Supposons … \(D(E) \simeq \check E(n+\rho)\), on trouve

Supposons \(E\) loc. ct. [de poids \(\rho\)] et \(X\) lisse de dim. […] […], […] […] […] : « de poids \(\rho\) » est écrit au-dessus de la ligne ; la fin de la phrase, à droite, se lit mal \[ D(E) \simeq \check E(n) \simeq E(n + \rho) \] d'où \[ \boxed{D\, R^{*}_{\infty} f(E) \simeq R^{*}_{\infty} f(E)\,(n + \rho)\,[1]} \] donc […] l'équation fonctionnelle \[ (-t)^{-\chi_{\infty}(E)}\, \delta_{\infty}(E)\, L^{\infty}_E(t^{-1}) = L^{\infty}_E\bigl(p^{-(n+\rho)} t\bigr)^{-1} \] devant \((-t)\), un signe biffé i.e. \[ \boxed{L^{\infty}_E\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho}\, t}\Bigr) L^{\infty}_E(t)\, (-t)^{\chi_{\infty}(E)}\, \delta_{\infty}(E) = 1} \]

26NB \[ \chi_{\infty}(E) = \varepsilon\bigl(R f_{*}(E)\bigr) - \varepsilon\bigl(R f_{!}(E)\bigr) \] or on a vu que les deux \(\varepsilon\) sont égaux, donc \(\chi_{\infty}(E) = 0\). D'autre part comme page 20, \(\varepsilon\) note ici la caractéristique d'Euler du complexe \[ \delta_{\infty}(E) = \delta\bigl(R f_{*}(E)\bigr)\, \delta\bigl(R f_{!}(E)\bigr)^{-1} \] et on a vu que \[ p^{(n+\rho)\chi(E)}\, \delta\bigl(R f_{*}(E)\bigr)^{-1} = \delta\bigl(R f_{!}(E)\bigr) \] d'où \[ \left\lbrace \begin{array}{l} \delta_{\infty}(E) = p^{(n+\rho)\chi(E)}\, \delta(E)^{-2} = \varepsilon(E)^{-2} \\[6pt] \varepsilon(E) = \delta(E)\, p^{-(n+\rho)\chi(E)/2} \end{array} \right. \] après \(\varepsilon(E)^{-2}\), une expression est lourdement biffée ; le \(\varepsilon\) de ces deux lignes est tracé en gras (\(= \pm 1\) si \(X\) est […] propre)

(qui est bien \(1\) lorsque \(X\) est complet !)

d'où l'équation fonctionnelle \[ \boxed{L^{\infty}_E\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho}\, t}\Bigr) L^{\infty}_E(t)\, \delta_{\infty}(E) = 1} \] \[ \Bigl(\delta_{\infty}(E) = p^{(n+\rho)\chi(E)}\, \delta(E)^{-2} = \varepsilon(E)^{-2}\Bigr) \] avant le dernier signe \(=\), un symbole est biffé

[Invariants arithmétiques intéressants, (moyennant la connaissance de l'invariant géométrique \(\chi(E)\), et de \(q = p^{n+\rho}\)) : \[ \delta(E) = \delta^{*}_{!}(E) , \quad \delta'(E) = \delta^{*}_{*}(E) , \quad \varepsilon(E) , \quad \delta_{\infty}(E) ] \] dans \(q = p^{n+\rho}\), le \(q\) surcharge une autre lettre \[ \boxed{\delta(E)\,\delta'(E) = q^{\chi(E)}} \qquad \boxed{\varepsilon(E) = \delta(E)\, q^{-\chi(E)/2} = \delta'(E)\, q^{-\chi(E)/2}} \] \[ \boxed{\delta_{\infty}(E) = q^{\chi(E)}\, \delta(E)^{-2} = q^{-\chi(E)}\, \delta'(E)^{2} = \varepsilon(E)^{-2}} \] une flèche part du signe \(=\) de la deuxième formule encadrée : variance avec \(E\), \(X\) !! dans un ovale, à gauche : NB. \(\varepsilon(E) = \pm 1\) si \(X\) complet la page écrit bien \(\delta'(E)\, q^{-\chi(E)/2}\) dans la deuxième formule encadrée ; d'après la première, on attendrait \(\delta'(E)^{-1} q^{\chi(E)/2}\). On transcrit tel quel. L'exposant \(2\) de \(\delta'(E)\) dans la troisième formule, au bord de la feuille, est douteux

28Comparons cette équation fonctionnelle avec celle pour la fonction \(L_E\), on trouve, en substituant posant pour simplifier \(p^{n+\rho} = q\), et \(A(t)\, \delta(E)\, (-t)^{\chi(E)} = B(t)\) : \[ L\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = B(t)\, L(t) \] et faisant \(t \mapsto \frac{1}{qt}\) dedans, on trouve \[ L(t) = B\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) L\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = B\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) B(t)\, L(t) \] d'où \[ B(t)\, B\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = 1 . \] Remplaçant \(B\) par sa valeur, on trouve \[ L^{\infty}_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr)^{-1} \delta(E)\, (-t)^{\chi(E)}\, L^{\infty}_E(t)^{-1}\, \delta(E) \Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr)^{\chi(E)} = 1 \] dans le premier argument, un \(p\) biffé précède \(qt\) ; le dernier facteur est surchargé et pourrait porter un signe \(-\) i.e. \[ L^{\infty}_E(t)\, L^{\infty}_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = \delta(E)^2\, q^{-\chi(E)} \] devant \(q^{-\chi(E)}\), un petit symbole biffé ; au-dessous, une ligne commençant par \(L^{\infty}_E\bigl(\frac{1}{p^{n+\rho} t}\bigr)\) est biffée C'est précisément l'équation fonctionnelle explicitée plus haut.

Posons \[ \xi_E(t) = t^{\frac{\chi(E)}{2}} L_E(t) \] alors \[ \begin{aligned} \xi_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) &= \Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr)^{\chi(E)/2} L_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = \Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr)^{\chi(E)/2} A(t)\, \delta(E)\, (-t)^{\chi(E)} L_E(t) \\ &= q^{-\chi(E)/2} A(t)\, \delta(E)\, (-1)^{\chi(E)}\; t^{\chi(E)/2} L_E(t) \end{aligned} \] i.e. sous la dernière ligne, deux accolades : l'une sous \(q^{-\chi(E)/2} \ldots (-1)^{\chi(E)}\), l'autre sous \(t^{\chi(E)/2} L_E(t)\), légendée \(\xi_E(t)\)

30\[ \boxed{\xi_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = A(t)\, \varepsilon'(E)\, \xi_E(t)} \qquad q = p^{n\rho} \] \(A\) porte un petit exposant qui ne se lit pas ; la page écrit \(q = p^{n\rho}\), sans signe \(+\) visible, là où les pages 26-28 ont \(q = p^{n+\rho}\) \[ \left\lbrace \begin{array}{l} A(t) = L^{\infty}_E\Bigl(\dfrac{1}{qt}\Bigr)^{-1} \\[8pt] \varepsilon'(E) = \varepsilon(E)\, (-1)^{\chi(E)} \end{array} \right. \qquad \varepsilon(E) = \delta(E)\, q^{-\chi(E)/2} \] dans la dernière formule, un premier membre de droite est biffé

Si […] \(X\) complète \(\left\lbrace \begin{array}{l} A(t) = 1 \\ \varepsilon'(E) = \pm 1 \end{array} \right.\)

32Cas d'une courbe alg.

\(X\) [courbe,] lisse projective [irréd.] sur \(\mathbb{F}_p\), […] corps de fonctions \(K\). le mot entre virgules et le crochet sont écrits au-dessus de la ligne

\(E_\eta\) \(\mathbb{Q}_\ell\)-faisceau constr. sur \(\eta = \operatorname{Spec} K\).

On veut lui associer une « fonction \(L\) ». C'est raisonnable, car \(K\) détermine \(X\).

Prenons d'abord \(E = i_{*}(E_\eta)\), où \(i : \eta \to X\).

On sait alors que \[ D(E) = i_{*}(\check E_\eta)(1) \] Donc si on suppose Donc si on pose \(L^{*}_{E_\eta}(t) = L_{i_{*}(E_\eta)}(t)\), on aura \[ L^{*}_{\check E_\eta}\Bigl(\frac{1}{pt}\Bigr) = (-t)^{\chi^{*}(\check E_\eta)}\, \delta^{*}(E_\eta)\, L^{*}_{E_\eta}(t) \] devant \(\bigl(\frac{1}{pt}\bigr)\), un symbole biffé si on pose \[ \chi^{*}(E_\eta) = \chi\bigl(i_{*}(E_\eta)\bigr) , \qquad \delta^{*}(E_\eta) = \delta\bigl(i_{*}(E_\eta)\bigr) \] Supposons qu'on ait \[ \check E_\eta = E_\eta(\rho) \qquad \text{d'où} \qquad i_{*}(\check E_\eta) = i_{*}(E_\eta)(\rho) \] alors on trouve, \[ \boxed{L^{*}_{E_\eta}\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = (-t)^{\chi^{*}(E_\eta)}\, \delta^{*}(E_\eta)\, L^{*}_{E_\eta}(t)} \qquad (q = p^{1+\rho} \]

34Posant \[ \xi^{*}_{E_\eta}(t) = t^{\chi^{*}(E_\eta)/2} L^{*}_{E_\eta}(t) \] on trouve \[ \boxed{\xi^{*}_{E_\eta}\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = \varepsilon'^{*}(E_\eta)\, \xi^{*}_{E_\eta}(t)} \] \[ \left\lbrace \begin{array}{l} \varepsilon'^{*}(E_\eta) = \delta^{*}(E_\eta)\, q^{-\chi^{*}(E_\eta)/2}\, (-1)^{\chi^{*}(E_\eta)} \\[6pt] q = p^{1+\rho} \end{array} \right. \] en face : […] […] […]

Une remarque : fonction \(L^{*}_{E_\eta}(t)\) : […] […] […] additif en \(E\). De façon précise, si on a \[ 0 \to E'_\eta \to E_\eta \to E''_\eta \to 0 \] on en conclut \[ 0 \to i_{*}(E'_\eta) \to i_{*}(E_\eta) \to i_{*}(E''_\eta) \to Q \to 0 \] où \(Q = \operatorname{Ker}\bigl(R^1 i_{*}(E'_\eta) \to R^1 i_{*}(E_\eta)\bigr)\) \[ Q \simeq \coprod_{x \text{ pt ramifié de } E''_\eta} j_x(\ill{}) \] la formule biffée est remplacée par l'expression \(\coprod\), inscrite dans une boucle qui renvoie à la fin de la ligne est […] […] […] […] de « ramification » de \(E''_\eta\).

D'où \[ \left\lbrace \begin{array}{l} L^{*}_{E_\eta}(t) = L^{*}_{E'_\eta}(t)\, L^{*}_{E''_\eta}(t)\, L_Q(t)^{-1} = L^{*}_{E'_\eta}(t)\, L^{*}_{E''_\eta}(t) \prod_x P_{Q_x}(t) \\[8pt] Q_x = \operatorname{Coker}(E_x \to E''_x) \end{array} \right. \] en bas à droite, sous un arc : \(H^2(\bar X, E) =\) dual de \(H^0(\bar X, E(\ill{}))(\ill{})\)

36On peut songer à la rendre additive, en la définissant d'abord sur les \(E_\eta\) simples (ou abst. simples, quitte à prendre des extensions finies de \(\mathbb{Q}_\ell\)) et en prolongeant par linéarité ou plus simplement à définir les facteurs locaux dans \(L_{E_\eta}(t)\) par \(L_{E_\eta(x)}(t)\), en posant \(E_\eta(x) = \sum E^{i*}_\eta(x)\), les \(E^{i}_\eta\) étant les facteurs simples dans une suite de composition de \(E\). Ceci n'est pas encore satisfaisant, car les \(E_\eta(x)\) ainsi construits ne sont pas de nature locale en \((E, x)\), i.e. ne commutent pas à l'extension étale sur \(X\) (i.e. ext. résiduellement [[…]] triviale) sur \(X\). l'indice de \(E^{i*}_\eta(x)\) est douteux ; au-dessus de « triviale », un mot ajouté, puis un mot biffé

38

Suite de la remarque

titre souligné, de sa main, en haut de la page dans un cadre, en haut à droite : NB. S'il s'agit de […] des […] galoisiens, et \(U\) est ouvert dans \(I\), alors il s'ensuit qu'il contient un s-gpe ouvert de \(U\), qui est invariant par \(D\)

\(D\) groupe, \(I\) sous-groupe distingué, \(E\) vectoriel de dim. finie sur un corps \(k\), sur lequel \(D\) opère. On suppose que \(I\) admet un sous-groupe d'indice fini \(U\), [invariant par \(D\),] tel que pour \(g \in U\), \(g\) opère sur \(E\) de façon unipotente, i.e. valeurs propres toutes \(1\). Alors le groupe algébrique d'automorphismes de \(E\) engendré par les \(g \in U\) est « unipotent », donc […] \(E\) admet une suite de composition sous \(U\) telle que [\(E\) quot.] […] […] facteurs. soit stable par \(E\). De façon précise, on peut prendre la suite de composition formée par les \(E^U\), \((E/E^U)^U\), …. Cette suite est stable par les opérations de \(D\), si (comme il est loisible) on suppose [puisque] \(U\) dans \(I\) invariant par les \(D\). Donc il existe une suite de composition de \(E\) sous \(D\) telle que sur chaque facteur \(E_i\), […] \(U\) « invariant par \(D\) » est ajouté au-dessus de la ligne ; la fin de la proposition sur les facteurs, entourée d'une boucle, se lit mal ; la phrase continue page 40

40opère trivialement, [(et respectant bien […])] […] […] […] […] au virtuel, [et pour \(U\) fixé,] les modules \(E\) envisagés sont assimilables à ceux pour lesquels il existe un s-gpe […] \(U\) opère trivialement sur \(E\). les deux ajouts sont écrits au-dessus de la ligne

[…] […] \(E\) sur lequel \(U\) opère trivialement, on peut prendre l'opération moyenne \[ E \mapsto E^{I} \quad \text{de} \quad \mathrm{Mod}(D/U, k) \to \mathrm{Mod}(D/I, k) \] et si \(k\) est de car. \(0\), c'est le seul foncteur exact. Il induit un […] […] opération additive, […] […] […] […] naturel […] \(E \mapsto E^{I}\) \[ \natural_U : R(D/U, k) \to R(D/I, k) \] le symbole de l'application a la forme d'un éclair ; on le rend conventionnellement par \(\natural\) On a compatibilité, pour \(V \subset U\), par les foncteurs \(E \mapsto E^{I}\), d'où par les \(\natural_U\) et \(\natural_V\) :

\begin{tikzcd}
R(D/U, k) \arrow[r, "\natural_U"] \arrow[d] & R(D/I, k) \\
R(D/V, k) \arrow[ur, "\natural_V"'] &
\end{tikzcd}

la flèche verticale porte une légende de deux mots qui ne se lisent pas