Cote n° 60 · pages 1–69 · Lecture modernisée · Fonctions L / Équation fonctionnelle des fonctions L (cas géométrique) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1962- à partir de 1971]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

La chemise porte, de sa main, « Notes sur l'équation fonctionnelle ». Ce sont trente-quatre feuillets de brouillon, écrits au dos de tirages dactylographiés de Bourbaki, qui cherchent à comprendre d'où vient la symétrie d'une fonction \(L\) et ce qu'elle coûte quand les choses ne sont pas parfaites.

Une fonction \(L\) est une série qui compte. On se donne une variété \(X\) définie sur un corps fini \(\mathbb{F}_p\) — un système d'équations polynomiales à coefficients modulo \(p\) — et, en chacun de ses points, un peu d'algèbre linéaire (un « faisceau » \(E\)) ; on fabrique une série \(L_E(t)\) qui enregistre cette algèbre linéaire point par point. Depuis Weil, on sait que ces séries sont des fractions rationnelles et l'on s'attend à ce qu'elles soient symétriques : changer \(t\) en \(1/(qt)\), pour un certain nombre \(q\), redonne la même fonction, à un facteur simple près. C'est l'équation fonctionnelle, et le facteur, un signe et une puissance, est ce qu'on veut connaître.

D'où vient la symétrie ? L'image est celle d'un miroir. La série \(L_E\) se lit sur la cohomologie de \(X\) à coefficients dans \(E\), et la dualité de Poincaré dit que la cohomologie en degré \(i\) est le reflet, retourné, de celle en degré \(2n-i\). Retourner un espace vectoriel, c'est inverser les valeurs propres de ce qui agit dessus ; inverser les valeurs propres, c'est changer \(t\) en \(1/t\) dans un polynôme caractéristique. Le premier tiers du dossier met cette image en équations, avec soin : ce que devient le polynôme caractéristique d'un dual (pages 2 à 6), ce que donne le miroir quand \(X\) est propre et lisse (pages 8 à 16), et le signe qui reste, qu'on sait déterminer quand \(n + \rho\) est impair et seulement en partie sinon.

Puis le miroir se fêle. Si \(X\) n'est pas complète, il lui manque un bord, et la symétrie ne tient plus qu'à un facteur près, porté par ce bord — la « cohomologie à l'infini » ; les pages 18 à 30 calculent ce facteur et montrent qu'il vérifie à son tour sa propre équation fonctionnelle. Si \(X\) est une courbe et que \(E\) n'est donné qu'au point générique, ce sont les points de ramification qui gâtent tout, et pire : la fonction \(L\) naïve n'est même pas additive. Les pages 32 à 58 inventent, pour réparer cela, une opération de moyenne sur le groupe d'inertie, notée \(E \mapsto E^{\natural}\), qui rend la fonction \(L\) additive et locale, et calculent sa dualité. Cette lecture montre en note que les termes correctifs qu'il y trouve sont en fait nuls, ce qui répond par l'affirmative à la question qu'il laisse avec deux points d'interrogation page 52. Enfin, pages 62 à 68, une réflexion abstraite : étant donnée une équation \(L(1/qt) = A(t)L(t)\), peut-on corriger \(L\) par un facteur « de niveau inférieur » pour que \(A\) devienne une constante ?

Le ton est celui du travail en train de se faire : « \(1\) ou \(-1\) ! » en marge d'un décalage, « Ceci n'est pas encore satisfaisant », « il vaut sans doute mieux ne pas faire ce changement », un « ?? » encadré d'une flèche, et, page 28, une vérification de cohérence faite pour elle-même — substituer deux fois, et retrouver l'équation du bord. Les conjectures de Weil y sont des hypothèses, « en admettant la résolution des singularités … et les conjectures de Weil ».

Les noms à chercher ensuite : formule des traces de Grothendieck–Lefschetz, dualité de Verdier, conjectures de Weil et leur démonstration par Deligne, signe de l'équation fonctionnelle, formule de Grothendieck–Ogg–Chafarevitch, théorème de monodromie \(\ell\)-adique, représentations de Weil–Deligne, constantes locales.

Keywords — L-function of an l-adic sheaf, functional equation, Grothendieck–Lefschetz trace formula, Verdier duality, Poincaré duality, Weil conjectures, root number, big Witt vectors, lambda-ring, boundary cohomology, cohomology at infinity, Grothendieck–Ogg–Shafarevich formula, l-adic monodromy theorem, quasi-unipotent inertia, Weil–Deligne representation, local duality, Hilbert's Theorem 90

Le fil du dossier, et les conventions

1–1

Les stations

Le dossier est un seul mouvement, du plus simple au plus abîmé : un point, puis \(X\) propre et lisse, puis \(X\) ouverte, puis une courbe ramifiée. La page 60 revient en arrière sur la cohomologie à l'infini des pages 18 à 26, et les pages 62 à 68 reprennent l'équation des pages 52 à 54 sous forme abstraite. Aucune page ne porte de numérotation de sa main ; l'ordre est celui des archivistes.1

Les conventions, valables pour tout le dossier

\(p\) est premier, \(\ell \neq p\), et les faisceaux sont des \(\mathbb{Q}_\ell\)-faisceaux constructibles (ou des complexes de tels faisceaux). On note \(F\) le Frobenius géométrique, qui agit par \(p^{-1}\) sur \(\mathbb{Q}_\ell(1)\) : c'est la convention de la page 8, où \(L_{\mathbb{Q}_\ell(\rho)}(t) = (1 - p^{-\rho}t)^{-1}\).2 Pour un endomorphisme \(F\) d'un espace de dimension finie, \(P_F(t) = \det(1 - Ft)\) ; pour un complexe \(K\) sur \(\operatorname{Spec}\mathbb{F}_p\), \[ \begin{gathered} L_K(t) = \prod_i \det\bigl(1 - Ft \mid H^i(K)\bigr)^{(-1)^{i+1}},\\ \chi(K) = \sum_i (-1)^i \dim H^i(K),\qquad \delta(K) = \prod_i \bigl(\det F \mid H^i(K)\bigr)^{(-1)^i}. \end{gathered} \] Pour \(f : X \to \operatorname{Spec}\mathbb{F}_p\) et \(E\) sur \(X\), on pose \(L_E = L_{Rf_{!}E}\), \(\chi(E) = \chi(Rf_{!}E)\), \(\delta(E) = \delta(Rf_{!}E)\) : par la formule des traces de Grothendieck, \(L_E\) est le produit eulérien \(\prod_x \det(1 - F_x t^{\deg x} \mid E_{\bar x})^{-1}\).3 La dualité \(D\) est celle de Verdier, \(DK = R\mathcal{H}om(K, Rf^{!}\mathbb{Q}_\ell)\) ; sur un point, c'est le dual linéaire. \(\check E\) est la contragrédiente (il écrit \(E\) surmonté d'un háček).

\(n = \dim X\) ; le rang d'un faisceau sur un point s'écrit \(r\).4 Quand \(E\) est de poids \(\rho\), on pose \[ \begin{gathered} q = p^{\,n+\rho} \quad (\text{donc } q = p^{1+\rho} \text{ pour une courbe}),\\ \varepsilon(E) = \delta(E)\, q^{-\chi(E)/2}, \qquad \varepsilon'(E) = (-1)^{\chi(E)}\varepsilon(E), \end{gathered} \] et l'on garde la racine carrée positive de \(q\).5

Une hypothèse court sous tout le dossier sans être écrite : pour que \(\varepsilon(E)\) soit un signe, il faut que les polynômes caractéristiques en jeu soient à coefficients rationnels (ou au moins réels) — ce que la page 8 appelle un motif. Pour un \(\mathbb{Q}_\ell\)-faisceau quelconque, pur de poids \(\rho\), \(\varepsilon(E)\) est seulement un nombre algébrique dont tous les conjugués complexes sont de module \(1\). On le dit une fois ici ; partout où l'on écrit \(\varepsilon = \pm 1\), c'est sous cette hypothèse.

2–6

1. Le polynôme caractéristique (pages 2 à 6)

Soit \(F\) un endomorphisme d'un espace \(V\) de dimension \(r\) sur un corps \(k\), de valeurs propres \(\lambda_1, \dots, \lambda_r\) dans une clôture algébrique. Alors \[ P_F(t) = \det(1 - Ft) = \prod_i (1 - \lambda_i t) = \sum_i (-1)^i \operatorname{Tr}\bigl(\Lambda^i F\bigr)\, t^i, \qquad \frac{1}{P_F(t)} = \sum_{\nu \ge 0} \operatorname{Tr}\bigl(\mathrm{Sym}^\nu F\bigr)\, t^\nu , \] et les racines de \(P_F\) sont les inverses des valeurs propres non nulles. \(P_F\) est multiplicatif dans les suites exactes : c'est un invariant « additif » de \(V\), à valeurs dans le groupe multiplicatif \(1 + t\,k[[t]]\).6

Ce groupe porte une seconde loi, \(*\), déterminée par \((1 - at) * (1 - bt) = 1 - abt\) et la distributivité par rapport au produit ordinaire : c'est l'anneau des grands vecteurs de Witt, dans lequel l'« addition » est le produit des séries.7 Alors, avec \(L_F = 1/P_F\), \[ P_{F \otimes F'} = P_F * P_{F'}, \qquad L_{F \otimes F'} = \bigl(L_F * L_{F'}\bigr)^{-1}, \qquad L_{F_1 \otimes \cdots \otimes F_\nu} = \bigl(L_{F_1} * \cdots * L_{F_\nu}\bigr)^{(-1)^{\nu+1}}, \] la dernière formule résultant de ce que \(L_F\) est l'opposé de \(P_F\) pour l'addition de Witt.8 Pour la \(\lambda\)-structure, où \(\lambda^j\) envoie \(\prod(1 - \lambda_i t)\) sur \(\prod_{i_1 < \cdots < i_j}(1 - \lambda_{i_1}\cdots\lambda_{i_j}t)\), on a \(P_{\Lambda^j F} = \lambda^j(P_F)\), et la relation \(\lambda^j(-x) = (-1)^j\sigma^j(x)\), valable dans tout \(\lambda\)-anneau, donne \[ L_{\Lambda^j F}(t) = \bigl(\sigma^j L_F(t)\bigr)^{(-1)^{j+1}}, \qquad L_{\mathrm{Sym}^j F}(t) = \bigl(\lambda^j L_F(t)\bigr)^{(-1)^{j+1}} . \] 9

Si \(F\) est un automorphisme, \(P_{\check F}(t) = \prod(1 - \lambda_i^{-1}t) = (-t)^r(\det F)^{-1}P_F(t^{-1})\), c'est-à-dire \[ P_{\check F}(t) = (-t)^{r}\,(\det F)^{-1}\,P_F(t^{-1}), \qquad L_{\check F}(t) = (-t)^{-r}\,\det F\; L_F(t^{-1}) . \] 10 Il insiste : \(t \mapsto t^{-1}\) n'a de sens que sur les séries qui viennent de polynômes (de terme constant \(1\), et de terme dominant inversible si \(k\) est un anneau) — sur les fractions rationnelles, pas sur \(1 + t\,k[[t]]\).

8–10

2. Un faisceau sur un point (pages 8 et 10)

Soit \(E\) un \(\mathbb{Q}_\ell\)-faisceau sur \(\operatorname{Spec}\mathbb{F}_p\), c'est-à-dire un espace de dimension \(r\) muni de \(F\). La section précédente donne \(L_{\check E}(t) = (-t)^{-r}\det F_E\,L_E(t^{-1})\). Supposons \(E\) pur de poids \(\rho\) — toutes les valeurs propres de \(F\) de module \(p^{\rho/2}\) dans tout plongement complexe — et à polynôme caractéristique rationnel. Alors \(\det F_E\) est un rationnel de module \(p^{r\rho/2}\), donc \[ \det F_E = \varepsilon(E)\, p^{r\rho/2}, \qquad \varepsilon(E) = \pm 1, \] et \(r\rho\) est pair : si \(\rho\) est impair, \(r\) est pair.11

D'autre part \(\check E\) et \(E(\rho)\) ont les mêmes valeurs propres : celles de \(\check E\) sont les \(\lambda_i^{-1} = \bar\lambda_i\,p^{-\rho}\), celles de \(E(\rho)\) les \(\lambda_i p^{-\rho}\), et le multiensemble des \(\lambda_i\) est stable par conjugaison dès que \(P_E\) est réel. On écrit \(\check E \simeq E(\rho)\) ; au niveau des fonctions \(L\), c'est exactement ce qui sert.12 Ainsi \(L_{\check E}(t) = L_E(p^{-\rho}t)\),13 et en comparant, \[ L_E\Bigl(\frac{1}{p^{\rho}t}\Bigr) = \det F_E\,(-t)^{r}\,L_E(t) = \varepsilon(E)\bigl(-p^{\rho/2}t\bigr)^{r} L_E(t) . \] C'est le modèle de tout le dossier : la dualité donne \(L_{\check E}\) en fonction de \(L_E(1/t)\), le poids donne \(L_{\check E}\) en fonction de \(L_E(t/p^\rho)\), et l'équation fonctionnelle est leur rencontre.

10–16

3. Variété propre : l'équation fonctionnelle (pages 10 à 16)

L'équation générale

Soit \(X\) propre sur \(\mathbb{F}_p\) et \(E\) constructible sur \(X\). Le théorème de dualité globale donne \(H^i(\bar X, DE) \simeq H^{-i}(\bar X, E)^{\vee}\), c'est-à-dire \(Rf_{*}(DE) = D(Rf_{*}E)\). Appliquant la formule du dual de la section 1 à chaque \(H^i\) : \[ \text{(1)}\qquad L_{DE}(t) = (-t)^{-\chi(E)}\,\delta(E)\,L_E(t^{-1}), \] avec \(\chi(E) = \sum (-1)^i b_i\), \(b_i = \dim H^i(\bar X, E)\), invariant géométrique, et \(\delta(E) = \prod_i (\det F \mid H^i(\bar X, E))^{(-1)^i}\), invariant arithmétique — les deux mots sont dans la marge. Si de plus \(X\) est propre et lisse et \(E\) lisse et pur de poids \(\rho\), chaque \(H^i(\bar X, E)\) est pur de poids \(i + \rho\), d'où \[ \delta(E) = \varepsilon(E)\, p^{\sum_i (-1)^i \frac{i+\rho}{2} b_i} . \] 14

Le cas favorable

Supposons maintenant \(X\) propre, lisse, purement de dimension \(n\), \(E\) lisse, pur de poids \(\rho\), et \(\check E \simeq E(\rho)\) globalement sur \(X\). La dualité de Poincaré donne \(b_i = b_{2n-i}\), et \[ \sum_{i=0}^{2n} (-1)^i i\,b_i = 2n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i b_i + (-1)^n n\,b_n = n\,\chi(E), \qquad\text{d'où}\qquad \delta(E) = \varepsilon(E)\,q^{\chi(E)/2} . \] 15 Ici \(\varepsilon(E) = \pm 1\), et c'est le \(\varepsilon(E) = \delta(E)q^{-\chi(E)/2}\) des conventions. L'équation (1) devient \[ \text{(2)}\qquad L_{DE}(t) = \varepsilon(E)\Bigl(-\frac{q^{1/2}}{t}\Bigr)^{\chi(E)} L_E(t^{-1}) . \] 16 Or \(DE \simeq \check E(n)[2n] \simeq E(n + \rho)[2n]\), d'où \(Rf_{*}(DE) \simeq Rf_{*}(E)(n + \rho)[2n]\) et, le décalage étant pair, \(L_{DE}(t) = L_E(t/q)\).17 Portant dans (2) et changeant \(t\) en \(t^{-1}\) : \[ \begin{gathered} \text{(3)}\qquad L_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = \varepsilon(E)\bigl(-q^{1/2}t\bigr)^{\chi(E)}L_E(t),\\ \xi_E(t) = t^{\chi(E)/2}L_E(t), \qquad \xi_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = \varepsilon'(E)\,\xi_E(t), \end{gathered} \] avec \(\varepsilon'(E) = (-1)^{\chi(E)}\varepsilon(E) = \pm 1\).

Le signe

La dualité de Poincaré met \(H^i(\bar X, E)\) et \(H^{2n-i}(\bar X, E)(\rho)\) en dualité à valeurs dans \(\mathbb{Q}_\ell(-n)\) ; les déterminants de \(F\) sur \(H^i\) et \(H^{2n-i}\) ont donc même signe, les facteurs se compensent deux à deux dans \(\delta(E)\), et \[ \begin{gathered} \varepsilon(E) = \operatorname{sgn}\det\bigl(F \mid H^n(\bar X, E)\bigr), \qquad (-1)^{\chi(E)} = (-1)^{b_n},\\ \varepsilon'(E) = (-1)^{b_n}\operatorname{sgn}\det\bigl(F \mid H^n(\bar X, E)\bigr). \end{gathered} \]

Si \(n + \rho\) est impair. Supposons l'autodualité de \(E\) donnée par un accouplement \((-1)^\rho\)-symétrique, comme pour la cohomologie de degré \(\rho\) d'une variété.18 L'accouplement de Poincaré sur \(H^n(\bar X, E)\) est alors alterné et non dégénéré, et \(F\) le multiplie par \(q\) : \(b_n\) est pair, et le déterminant d'une similitude symplectique de multiplicateur \(q\) vaut \(q^{b_n/2} > 0\). Donc \(\varepsilon'(E) = 1\).19

Si \(n + \rho\) est pair, le signe n'est pas déterminé en général. Les valeurs propres de \(F\) sur \(H^n\) non réelles vont par paires conjuguées de produit \(q > 0\) ; les réelles sont \(\pm q^{1/2}\). Soit \(m_{+}\), \(m_{-}\) leurs multiplicités. Alors \((-1)^{b_n} = (-1)^{m_{+} + m_{-}}\), \(\varepsilon(E) = (-1)^{m_{-}}\), et \[ \varepsilon'(E) = (-1)^{m_{+}} . \] 20

Hors du cas favorable, \(DE\) ne s'exprime plus simplement en fonction de \(E\) et (1) relie deux fonctions, \(L_{DE}\) et \(L_E\), plutôt qu'une seule à elle-même.

18–30

4. Variété non complète : le terme à l'infini (pages 18 à 30)

Le facteur \(A(t)\)

Soit \(X\) lisse, purement de dimension \(n\), \(E\) lisse sur \(X\), pur de poids \(\rho\), avec \(\check E \simeq E(\rho)\), et \(f : X \to \operatorname{Spec}\mathbb{F}_p\) compactifiable. La dualité s'écrit maintenant \(D\,Rf_{!}(E) = Rf_{*}(DE) \simeq Rf_{*}(E)(n + \rho)[2n]\). Notons \(Rf_{\infty}(E)\) le troisième sommet du triangle \(Rf_{!}E \to Rf_{*}E \to Rf_{\infty}E \to\), la « cohomologie à l'infini » que la page 60 construira, et \(L^{\infty}_E = L_{Rf_{\infty}E}\) ; dans le groupe de Grothendieck, \([Rf_{*}E] = [Rf_{!}E] + [Rf_{\infty}E]\).21 Les fonctions \(L\) des deux membres de la dualité donnent \((-t)^{-\chi(E)}\delta(E)L_E(1/t) = L_E(t/q)\,L^{\infty}_E(t/q)\), c'est-à-dire \[ L_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = A(t)\,\delta(E)\,(-t)^{\chi(E)}\,L_E(t), \qquad A(t) = L^{\infty}_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr)^{-1}, \] où \(\chi\) et \(\delta\) sont ceux de \(Rf_{!}E\) ; si \(X\) est complète, \(A = 1\).22 Il ajoute que \(L^{\infty}_E\) est de poids \(\le \rho + 2n\) et de « type » \(\le \tau + (n - 1)\), \(\tau\) étant le type de \(E\).23

Les deux membres de la dualité donnent aussi \(\chi(Rf_{*}E) = \chi(Rf_{!}E)\) — le décalage \([2n]\) est pair — et \(\delta(Rf_{!}E) = \delta(D\,Rf_{!}E)^{-1}\), d'où \[ \delta(E) = q^{\chi(E)}\,\delta(Rf_{*}E)^{-1}, \qquad\text{et, si $X$ est complète,}\qquad \delta(E)^2 = q^{\chi(E)}, \] « ce qui est bien compatible avec les conjectures de Weil sur les valeurs absolues des valeurs propres ».24

22–22

Décomposition par poids

Page 22, pour un « motif » \(E\) : décomposons la classe de \(Rf_{!}E\) selon les poids, \([Rf_{!}E] = \sum_i (-1)^i [h^i_{!}(E)]\) où \(h^i_{!}(E)\) est la partie virtuelle de poids \(i\) et \(\beta_i(E)\) son rang (« nombres de Betti virtuels »). Alors \(\chi(E) = \sum (-1)^i\beta_i(E)\) et \(\delta(h^i_{!}) = \varepsilon_i\,p^{i\beta_i/2}\), d'où \[ \delta(E) = \operatorname{sgn}(E)\,p^{\frac12\sum_i (-1)^i i\,\beta_i(E)}, \qquad \operatorname{sgn}(E) = \prod_i \varepsilon_i(E) = \pm 1 . \] La page affirme que \(i\beta_i/2\) est entier et \(\varepsilon_i = +1\) pour \(i\) impair. C'est vrai si chaque morceau de poids impair porte un accouplement alterné non dégénéré que \(F\) multiplie par \(p^i\) — ce que donne une polarisation, et l'argument de la section 3 ; ce n'est pas une conséquence des seules conjectures de Weil, ni de la rationalité.25

24–26

L'équation fonctionnelle du terme à l'infini

Soit \(\bar f : \bar X \to \operatorname{Spec}\mathbb{F}_p\) une compactification, \(i : X \to \bar X\) l'ouverture, \(j : Y \to \bar X\) le bord fermé. Alors \(R_\infty f(E) = R\bar f_{*}\,j^{*}Ri_{*}(E)\) et, \(\bar f\) étant propre, la dualité locale donne \[ D\,R_\infty f(E) = R\bar f_{*}\,Rj^{!}\bigl(Ri_{!}(DE)\bigr) = R_\infty f(DE)[-1], \] puisque \(Rj^{!}Ri_{!}K \simeq j^{*}Ri_{*}K[-1]\) (triangle \(j_{*}Rj^{!} \to \mathrm{id} \to Ri_{*}i^{*}\) appliqué à \(Ri_{!}K\)). Avec \(DE \simeq E(n+\rho)[2n]\), \[ D\,R_\infty f(E) \simeq R_\infty f(E)(n + \rho)[2n - 1] . \] 26 Le décalage étant impair, la fonction \(L\) s'inverse, et l'on obtient l'équation du bord : \[ L^{\infty}_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr)\,L^{\infty}_E(t)\,(-t)^{\chi_\infty(E)}\,\delta_\infty(E) = 1, \] avec \(\chi_\infty\), \(\delta_\infty\) ceux de \(R_\infty f(E)\). Or \(\chi_\infty(E) = \chi(Rf_{*}E) - \chi(Rf_{!}E) = 0\) et \(\delta_\infty(E) = \delta(Rf_{*}E)\,\delta(Rf_{!}E)^{-1} = q^{\chi(E)}\delta(E)^{-2}\), d'où \[ L^{\infty}_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr)L^{\infty}_E(t)\,\delta_\infty(E) = 1, \qquad \delta_\infty(E) = \varepsilon(E)^{-2}, \] « qui est bien \(1\) lorsque \(X\) est complet ! ». Il dresse la liste des « invariants arithmétiques intéressants » une fois connus \(\chi(E)\) et \(q\) : \(\delta(E) = \delta(Rf_{!}E)\), \(\delta'(E) = \delta(Rf_{*}E)\), \(\varepsilon(E)\), \(\delta_\infty(E)\), liés par \[ \begin{gathered} \delta(E)\,\delta'(E) = q^{\chi(E)}, \qquad \varepsilon(E) = \delta(E)\,q^{-\chi(E)/2} = \delta'(E)^{-1}q^{\chi(E)/2},\\ \delta_\infty(E) = q^{\chi(E)}\delta(E)^{-2} = q^{-\chi(E)}\delta'(E)^{2} = \varepsilon(E)^{-2}, \end{gathered} \] et \(\varepsilon(E) = \pm 1\) si \(X\) est complète.27

28–30

Une vérification

Posons \(B(t) = A(t)\,\delta(E)(-t)^{\chi(E)}\), de sorte que \(L_E(1/qt) = B(t)L_E(t)\). Substituer \(t \mapsto 1/qt\) et réinjecter donne \(B(t)B(1/qt) = 1\), et, en remplaçant \(B\) par sa valeur, \(L^{\infty}_E(t)L^{\infty}_E(1/qt) = \delta(E)^2q^{-\chi(E)}\) : « c'est précisément l'équation fonctionnelle explicitée plus haut ».28 Avec \(\xi_E(t) = t^{\chi(E)/2}L_E(t)\), \[ \xi_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = A(t)\,\varepsilon'(E)\,\xi_E(t), \qquad A(t) = L^{\infty}_E\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr)^{-1}, \qquad \varepsilon'(E) = (-1)^{\chi(E)}\varepsilon(E), \] et si \(X\) est complète, \(A = 1\) et \(\varepsilon'(E) = \pm 1\).29

32–36

5. Une courbe, un faisceau au point générique (pages 32 à 36)

Soit \(X\) une courbe projective, lisse, géométriquement irréductible sur \(\mathbb{F}_p\), de corps de fonctions \(K\), \(\eta = \operatorname{Spec}K\), et \(E_\eta\) un \(\mathbb{Q}_\ell\)-faisceau sur \(\eta\) — une représentation \(\ell\)-adique de \(\operatorname{Gal}(K^{s}/K)\). On veut lui associer une fonction \(L\), ce qui « est raisonnable, car \(K\) détermine \(X\) ». Avec \(i : \eta \to X\), posons \(L^{*}_{E_\eta} = L_{i_{*}E_\eta}\), la fonction \(L\) usuelle, dont le facteur en \(x\) est pris sur les invariants de l'inertie. On a \(D(i_{*}E_\eta) = i_{*}(\check E_\eta)(1)[2]\),30 et (1) donne \[ L^{*}_{\check E_\eta}\Bigl(\frac{1}{pt}\Bigr) = (-t)^{\chi^{*}(E_\eta)}\,\delta^{*}(E_\eta)\,L^{*}_{E_\eta}(t), \qquad \chi^{*} = \chi(i_{*}E_\eta),\ \delta^{*} = \delta(i_{*}E_\eta). \] 31 Si \(\check E_\eta \simeq E_\eta(\rho)\), alors, avec \(q = p^{1+\rho}\), \[ L^{*}_{E_\eta}\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = (-t)^{\chi^{*}}\delta^{*}\,L^{*}_{E_\eta}(t), \qquad \xi^{*}\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = \varepsilon'^{*}\,\xi^{*}(t), \qquad \varepsilon'^{*} = \delta^{*}q^{-\chi^{*}/2}(-1)^{\chi^{*}} . \]

Une remarque : \(L^{*}\) n'est pas additive. D'une suite exacte \(0 \to E'_\eta \to E_\eta \to E''_\eta \to 0\) on tire \[ 0 \to i_{*}E'_\eta \to i_{*}E_\eta \to i_{*}E''_\eta \to Q \to 0, \qquad Q \simeq \bigoplus_x j_{x*}Q_x, \qquad Q_x = \operatorname{Coker}\bigl(E_\eta^{I_x} \to E_\eta''^{I_x}\bigr), \] somme sur les points de ramification, d'où \[ L^{*}_{E_\eta}(t) = L^{*}_{E'_\eta}(t)\,L^{*}_{E''_\eta}(t)\prod_x P_{Q_x}(t), \qquad P_{Q_x}(t) = \det\bigl(1 - F_x t^{\deg x} \mid Q_x\bigr). \] 32

On peut songer à la rendre additive en passant aux facteurs de composition — définir \(L\) sur les \(E_\eta\) simples et prolonger par linéarité, ou prendre pour facteur local en \(x\) la somme des invariants des facteurs d'une suite de composition. « Ceci n'est pas encore satisfaisant » : ces facteurs ne sont pas de nature locale en \((E, x)\), car la suite de composition de \(E_\eta\) comme représentation globale n'a rien à voir avec celle de sa restriction au groupe de décomposition en \(x\), et ne commute pas à l'extension étale.33

38–46

6. La moyenne sur l'inertie (pages 38 à 46)

La page 38 s'intitule « Suite de la remarque ». Soit \(D\) un groupe, \(I\) un sous-groupe distingué, \(E\) une représentation de dimension finie de \(D\) sur un corps \(k\), et \(I_1 \subset I\) un sous-groupe d'indice fini, distingué dans \(D\), qui opère sur \(E\) de façon unipotente.34 La suite \(E^{I_1} \subset \cdots\), de quotients successifs \(E^{I_1}, (E/E^{I_1})^{I_1}, \dots\), est une suite de composition stable par \(D\), sur les quotients de laquelle \(I_1\) opère trivialement. Dans le groupe de Grothendieck, \(E\) s'identifie donc à une représentation de \(D/I_1\).

Sur \(\mathrm{Mod}(D/I_1, k)\), la moyenne \[ E \longmapsto E^{I} = \operatorname{Im}\pi, \qquad \pi = \frac{1}{N}\sum_{g \in I/I_1} g, \qquad N = [I : I_1], \] est un foncteur exact vers \(\mathrm{Mod}(D/I, k)\) dès que \(N\) est inversible dans \(k\), en particulier en caractéristique \(0\).35 Il induit \(\natural_{I_1} : R(D/I_1, k) \to R(D/I, k)\), compatible, pour \(I_2 \subset I_1\), à l'inflation \(R(D/I_1, k) \to R(D/I_2, k)\). On obtient ainsi une opération additive \(\operatorname{cl}(E) \mapsto \operatorname{cl}(E)^{\natural}\), définie dès qu'un sous-groupe d'indice fini de \(I\) opère de façon unipotente, compatible aux représentations continues et à l'extension du corps de base.36 Sa trace se calcule sans quotienter : pour \(\varphi \in D/I\), \[ \operatorname{Tr}\bigl(\varphi \mid E^{\natural}\bigr) = \frac{1}{N}\sum_{\substack{\psi \in D/I_1 \\ \psi \mapsto \varphi}} \operatorname{Tr}(\psi \mid E), \] où \(\operatorname{Tr}(\psi \mid E)\), pour \(\psi \in D/I_1\), est la trace d'un relèvement quelconque de \(\psi\) dans \(D\) — elle n'en dépend pas, puisque \(I_1\) opère de façon unipotente. La formule, vraie quand \(I_1\) opère trivialement, s'étend parce que ses deux membres sont additifs.

Revenons au cas géométrique : \(D = D_x\) est le groupe de décomposition en un point fermé \(x\), \(I = I_x\) l'inertie, \(D_x/I_x \simeq \hat{\mathbb{Z}}\), engendré par le Frobenius \(F_x\). L'hypothèse — un sous-groupe ouvert de \(I_x\) opère de façon unipotente — est toujours satisfaite : c'est le théorème de monodromie \(\ell\)-adique de Grothendieck.37 En termes d'aujourd'hui : si \(E\) correspond à la représentation de Weil–Deligne \((r, N)\), \(E^{\natural(x)}\) est \((E, r)^{I_x}\), les invariants de l'inertie quand on oublie l'opérateur de monodromie \(N\), alors que la fibre de \(i_{*}E_\eta\) en \(x\) est \(E^{I_x} = (\ker N)^{I_x}\).38 On prend \(E_\eta^{\natural(x)}\) comme fibre modifiée en \(x\), et l'on définit le faisceau virtuel sur \(X\) \[ E_\eta^{\natural} = u_{!}(E^{\circ}) + \sum_{x \in Y} j_{x*}\bigl(E_\eta^{\natural(x)}\bigr), \] où \(X^{\circ} \subset X\) est un ouvert dense sur lequel \(E_\eta\) est non ramifié, \(E^{\circ}\) le faisceau lisse qu'il y définit, \(u : X^{\circ} \to X\), \(Y = X - X^{\circ}\) et \(j_x : \operatorname{Spec}k(x) \to X\).39 On note \(L^{\natural}_{E_\eta} = L_{E_\eta^{\natural}}\), \(\chi^{\natural}(E_\eta) = \chi(E_\eta^{\natural})\), \(\delta^{\natural}(E_\eta) = \delta(E_\eta^{\natural})\). Par construction, \(E_\eta \mapsto E_\eta^{\natural}\) est additif et local en \((E, x)\) : c'est ce qui manquait à la page 36.

48–58

7. La dualité de \(E_\eta^{\natural}\) (pages 48 à 58)

Le calcul de la page

Comme la moyenne locale commute au dual (\((\check E)^{\natural(x)} = (E^{\natural(x)})^{\vee}\), l'inertie opérant par un groupe fini) et que \(D(E^{\circ}) = \check E^{\circ}(1)[2]\), on a dans le groupe de Grothendieck40 \[ D(E_\eta^{\natural}) = Ru_{*}(\check E^{\circ})(1) + \sum_x j_{x*}\bigl(\check E_\eta^{\natural(x)}\bigr) = \check E_\eta^{\natural}(1) + \sum_{x \in X^{(0)}} j_{x*}\bigl(\mu_x(E)\bigr), \] \[ \mu_x(E) = \check E_\eta^{\natural(x)} \otimes \bigl(\mathbb{Q}_\ell - \mathbb{Q}_\ell(1)\bigr) + j_x^{*}Ru_{*}(\check E^{\circ})(1). \] Par dualité locale, \(j_x^{*}Ru_{*}(\check E^{\circ}) = \check E_\eta(x) - E_\eta(x)^{\vee}(-1)\), où \(E_\eta(x) = E^{I_x}\). Posant \[ \alpha_x(E_\eta) = E_\eta^{\natural(x)} - E_\eta(x), \qquad\text{il vient}\qquad \mu_x(E) = \alpha_x(E_\eta)^{\vee} - \alpha_x(\check E_\eta)(1), \] et \(\mu_x(\check E) = -\mu_x(E)^{\vee}(1)\). « NB. \(\alpha_x\) n'est pas additif en \(E_\eta\), mais \(\mu_x\) l'est. » Si \(\check E_\eta \simeq E_\eta(\rho)\), \(\mu_x(E) = \alpha_x(E_\eta)^{\vee} - \alpha_x(E_\eta)(\rho + 1)\).41

Ce que la page ne dit pas : \(\mu_x\) est nul

En fait \(\mu_x(E) = 0\) pour tout \(E_\eta\) — c'est notre observation, la page ne la fait pas. Pour une représentation \(G\) de \(D_x\) sur laquelle un sous-groupe ouvert \(I_1\) de \(I_x\) opère de façon unipotente, on a dans le groupe de Grothendieck des \(F_x\)-modules \[ \bigl[H^0(I_x, G)\bigr] - \bigl[H^1(I_x, G)\bigr] = \bigl[G^{\natural}\bigr] - \bigl[G^{\natural}(-1)\bigr] . \] Les deux membres sont additifs en \(G\) (à gauche parce que \(\operatorname{cd}_\ell(I_x) = 1\)) ; il suffit donc de le voir quand \(I_1\) opère trivialement. Alors \(H^0 = G^{I_x} = G^{\natural}\) et \(H^1(I_x, G) = \operatorname{Hom}(I_1, G)^{I_x/I_1} = G(-1)^{I_x/I_1} = G^{\natural}(-1)\), puisque le plus grand quotient pro-\(\ell\) abélien de \(I_1\) est \(\mathbb{Z}_\ell(1)\). Comme \(j_x^{*}Ru_{*}(\check E^{\circ})\) est exactement \([H^0(I_x, \check E)] - [H^1(I_x, \check E)]\), on obtient \(j_x^{*}Ru_{*}(\check E^{\circ}) = \check E^{\natural(x)} - \check E^{\natural(x)}(-1)\), et \[ \mu_x(E) = \check E^{\natural(x)} - \check E^{\natural(x)}(1) + \check E^{\natural(x)}(1) - \check E^{\natural(x)} = 0 . \] Autrement dit \(\alpha_x(\check E_\eta) = \alpha_x(E_\eta)^{\vee}(-1)\), et \[ D(E_\eta^{\natural}) = \check E_\eta^{\natural}(1)[2] \] dans le groupe de Grothendieck : la fonction \(L^{\natural}\) a la même dualité que \(L^{*}\), sans terme correctif, et elle est de plus additive et locale.42

52–58

L'équation fonctionnelle, et la question de la page 52

Avec les \(\mu_x\) de la page, l'équation (1) appliquée à \(E_\eta^{\natural}\) s'écrit, en posant \(\lambda_x(t) = L_{j_{x*}\mu_x(E)}(t)\), \[ L^{\natural}_{E_\eta}\Bigl(\frac{1}{pt}\Bigr) = \prod_x \lambda_x(pt)\,\bigl(-pt\bigr)^{\chi^{\natural}(E_\eta)} \delta^{\natural}(E_\eta)^{-1}\,L^{\natural}_{\check E_\eta}(t), \] puis, si \(\check E_\eta \simeq E_\eta(\rho)\) et \(q = p^{1+\rho}\), \[ L^{\natural}_{E_\eta}\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = \Bigl(\prod_x \lambda_x(qt)\Bigr)\,\delta^{\natural}(E_\eta)^{-1} \bigl(-qt\bigr)^{\chi^{\natural}(E_\eta)}\,L^{\natural}_{E_\eta}(t) . \] 43 Elle développe chaque \(\lambda_x\) en un monôme \((-t)^{-\chi_x}\delta_x\) fois un quotient de fonctions \(L\) de \(\alpha_x\), où \(\chi_x\) et \(\delta_x\) sont la caractéristique d'Euler et le déterminant de \(j_{x*}\alpha_x(E_\eta)\) vu sur \(\operatorname{Spec}\mathbb{F}_p\) ; la page 54 regroupe le tout sous la forme \(L(1/qt) = A(t)L(t)\), et ajoute : « Ayant écrit \(\lambda_x\) comme un monôme, on en perd le caractère additif, il vaut sans doute mieux ne pas faire ce changement ».44 Puis, entre crochets, une question : \[ \delta^{\natural}(E_\eta)^2 \overset{?}{=} q^{\chi^{\natural}(E_\eta)} \quad ?? \]

La page 56 la ramène à des termes locaux. Lisant les déterminants sur la formule de dualité, avec \(\delta(\mu_x) = \delta_x^{-2}q^{\chi_x}\), il trouve \[ \varepsilon^{\natural}(E_\eta)^2 = \frac{\delta^{\natural}(E_\eta)^2}{q^{\chi^{\natural}(E_\eta)}} = \prod_x \frac{\delta_x(E_\eta)^2}{q^{\chi_x(E_\eta)}}, \qquad \varepsilon^{\natural}(E_\eta) = \pm \prod_x \delta_x(E_\eta)\,q^{-\chi_x(E_\eta)/2} . \] 45 Comme \(\mu_x = 0\), chaque facteur vaut \(1\), \(\lambda_x = 1\), et la réponse à la question est oui : pour \(E_\eta\) autodual de poids \(\rho\), \(\delta^{\natural}(E_\eta)^2 = q^{\chi^{\natural}(E_\eta)}\), et \[ L^{\natural}_{E_\eta}\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = \varepsilon^{\natural}(E_\eta)^{-1}\bigl(-q^{1/2}t\bigr)^{\chi^{\natural}(E_\eta)} L^{\natural}_{E_\eta}(t), \qquad \varepsilon^{\natural}(E_\eta) = \pm 1 . \]

Restent les problèmes de la page 54 :

Les flèches de la marge rangent \(\chi_x\) et \(\chi^{\natural}\) parmi les invariants géométriques, \(\delta_x\) et \(\delta^{\natural}\) parmi les arithmétiques. Page 58 : « c) est ramené (moyennant un signe) au cas de b), donc à déterminer \(\chi^{\natural}(E_\eta)\). Or cette détermination est faite, en utilisant les représentations d'Artin … » — et la page s'arrête. C'est exactement ce que donne \(\delta^{\natural\,2} = q^{\chi^{\natural}}\). La formule visée en b) est celle de Grothendieck–Ogg–Chafarevitch : \(\chi(\bar X, i_{*}E_\eta) = (2 - 2g)\operatorname{rg}E_\eta - \sum_x \deg x \bigl(\operatorname{rg}E_\eta - \operatorname{rg}E_\eta^{I_x} + \operatorname{Sw}_x(E_\eta)\bigr)\), d'où \(\chi^{\natural} = \chi(\bar X, i_{*}E_\eta) + \sum_x \deg x\,\operatorname{rg}\alpha_x\). 46

60–60

8. Cohomologie à l'infini (page 60)

Retour aux pages 18 à 26. Soit \(f\) compactifiable en \(\bar f : \bar X \to \operatorname{Spec}\mathbb{F}_p\), \(i : X \to \bar X\), \(j : Y = \bar X - X \to \bar X\). Le triangle \(Ri_{!}F \to Ri_{*}F \to j_{*}\bigl((Ri_{*}F)|_Y\bigr) \xrightarrow{+1}\) donne, par \(R\bar f_{*}\), la suite exacte longue \[ \cdots \to R^i f_{!}(F) \to R^i f_{*}(F) \to R^i_\infty f(F) \to R^{i+1}f_{!}(F) \to \cdots, \qquad R^i_\infty f(F) = R^i\bar f_{*}\bigl((Ri_{*}F)|_Y\bigr). \] Il considère aussi le triangle \(j_{*}Rj^{!}(Ri_{!}F) \to Ri_{!}F \to Ri_{*}F \xrightarrow{+1}\), et veut identifier \((Ri_{*}F)|_Y\), « à décalage près », à \(Rj^{!}Ri_{!}F\). Les deux triangles le donnent : \(Rj^{!}Ri_{!}F \simeq (Ri_{*}F)|_Y[-1]\), l'isomorphisme dont on s'est servi pour la dualité de la page 24.47

62–68

9. Simplifier une équation fonctionnelle (pages 62 à 68)

Soit \(L(t)\) une fonction rationnelle vérifiant \(L(1/qt) = A(t)L(t)\), avec \(A\) « de niveau inférieur ».48 On cherche \(\lambda\) tel que \(L' = \lambda L\) vérifie \(L'(1/qt) = c\,L'(t)\), c'est-à-dire \[ \frac{\lambda(1/qt)}{\lambda(t)} = c\,A(t)^{-1} . \] Deux solutions diffèrent par un \(\alpha\) tel que \(\alpha(1/qt) = a\,\alpha(t)\), et \(a = \pm 1\) nécessairement, puisque \(t \mapsto 1/qt\) est une involution. Faisant opérer \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) sur les fractions rationnelles non nulles par cette involution, la question devient celle d'écrire un \(1\)-cocycle comme un cobord, \(\lambda^{g}\lambda^{-1} = c\,A^{-1}\). Il le peut toujours : \(A(t)A(1/qt) = 1\) (substituer deux fois), donc \(c A^{-1}\) est un cocycle pour \(c = \pm 1\), et le théorème 90 de Hilbert pour l'extension quadratique \(\mathbb{Q}(t)/\mathbb{Q}(t)^{\mathbb{Z}/2}\) dit qu'il est un cobord. La page donne d'ailleurs la solution triviale, \(\lambda = 1/L\), \(L' = 1\).49 Toute la question est donc d'imposer à \(\lambda\) d'être de « niveau » strictement inférieur à celui de \(L\).

Pour préciser, dans un passage ensuite barré de trois traits, il suppose \(L(0) = 1\) et les zéros et pôles de module \(p^{-i/2}\), \(\rho \le i \le \rho + 2n\), et décompose \[ L(t) = L_\rho(t)\cdots L_{\rho+n}(t)\; L'_{\rho+n-1}(pt)\,L'_{\rho+n-2}(p^2t)\cdots L'_\rho(p^nt), \] où les valeurs propres inverses de \(L_i\) et de \(L'_i\) sont des entiers algébriques de module \(p^{i/2}\) ; celles de \(L'_{\rho+n-k}(p^kt)\) sont donc de module \(p^{(\rho+n+k)/2}\). Le « niveau » d'un facteur est ainsi le poids qu'il a avant torsion de Tate : \(L\) est de niveau \(\le \rho + n\) et de poids entre \(\rho\) et \(\rho + 2n\).50 Page 66, il s'autorise à corriger par des \(\lambda\) de même forme mais de niveau \(\le \rho + n - 1\), suppose que \(A\) est lui aussi de ce type et que chaque \(L_i\), \(L'_i\) vérifie l'équation fonctionnelle de son poids, \(L_i(1/p^it) = \delta_i t^{\chi_i}L_i(t)\) et de même pour \(L'_i\). Alors \[ \frac{L(1/qt)}{L(t)} = \delta\,t^{\chi} \prod_{i<\rho+n}\frac{L_i(p^{\rho+n-i}t)}{L_i(t)} \prod_{i}\frac{L'_i(t)}{L'_i(p^{\rho+n-i}t)} = A(t), \] et le facteur de niveau maximal, \(L_{\rho+n}\), a disparu de \(A\) : c'est le sens précis de « \(A\) de niveau inférieur ».51

Le cas \(n = 1\) est commencé page 68 : \(L = L_\rho(t)\,L_{\rho+1}(t)\,L'_\rho(pt)\), avec les facteurs \(L_\rho(t)\) et \(L'_\rho(pt)\) soulignés d'une accolade, puis réécrits seuls — et la page s'arrête. La conclusion vers laquelle elle va est immédiate : \(\lambda = \bigl(L_\rho(t)L'_\rho(pt)\bigr)^{-1}\) est de niveau \(\rho = \rho + n - 1\), et \(L' = \lambda L = L_{\rho+1}\) vérifie une équation fonctionnelle sans facteur, de même \(q\) ; en général, \(\lambda = \bigl(\prod_{i<\rho+n}L_i(t)\prod_i L'_i(p^{\rho+n-i}t)\bigr)^{-1}\) laisse \(L' = L_{\rho+n}\).52 Ce que le dossier cherchait, à travers tout cela, c'est une fonction \(L\) qui n'ait gardé que sa partie de plus haut niveau — celle qui porte, à elle seule, une équation fonctionnelle exacte.

Notes

  1. Les versos (pages impaires 3 à 69) sont des tirages de rédactions de Bourbaki, sans rien de sa main ; la transcription les saute sans les décrire et cette lecture fait de même. Ils donnent une borne inférieure à la date d'écriture, que l'inventaire de Montpellier fixe à « [à partir de 1962 – à partir de 1971] ». ↩
  2. La page note le Frobenius \(f\), et note aussi \(f\) le morphisme structural \(X \to \operatorname{Spec}\mathbb{F}_p\) ; on réserve \(f\) au morphisme (\(Rf_{*}\), \(Rf_{!}\)) et l'on écrit \(F\) pour le Frobenius. ↩
  3. Le dossier emploie \(L_E\) sans le définir, et passe librement du produit eulérien à l'expression cohomologique : c'est la formule des traces de Grothendieck (exposé Bourbaki n° 279, 1964 ; SGA 5 et SGA 4½). Le nom de « formule des traces de Grothendieck–Lefschetz » est postérieur. ↩
  4. Page 8, la page écrit \(n\) pour le rang ; dès la page 10, \(n\) est la dimension de \(X\). On sépare les deux. ↩
  5. La lettre \(\varepsilon\) sert dans le dossier à trois choses : la dimension \(\varepsilon(f)\) (page 6), la caractéristique d'Euler d'un complexe (pages 20 et 26), et un « signe » qui n'a pas toujours la même définition — le signe de \(\det F\) sur \(H^n\) (pages 8 à 16), le produit des signes de déterminants virtuels (page 22), le quotient \(\delta(E)q^{-\chi(E)/2}\) (pages 26 à 30). Les trois dernières coïncident quand \(X\) est propre et lisse et \(E\) autodual ; en général non (voir la note de la page 22). On écrit \(r\) et \(\chi\) pour les deux premières, \(\varepsilon(E)\) pour la dernière seulement, et \(\operatorname{sgn}(E)\) pour celle de la page 22. ↩
  6. En bas de la page 2, un petit schéma de trois rangées d'indices (\(\rho - 1, \rho, \rho + 1\) ; \(-2, -1, 0\) ; …) reliées par des ovales ; la page ne dit pas à quoi il sert, et cette lecture ne l'interprète pas. ↩
  7. Le nom n'est pas sur la page ; la structure, oui, avec « la » \(\lambda\)-structure qui suit. ↩
  8. Le produit de la dernière formule est tracé comme un \(\prod\) ; c'est le produit \(*\), seul à donner une formule juste. ↩
  9. La page passe par une identité de séries génératrices en \(s\) dont une ligne est biffée et un facteur \((-1)^i\) surchargé ; on donne le résultat encadré, qu'on a vérifié directement. ↩
  10. Le signe \(-\) de l'exposant de la seconde formule est douteux sur la page ; il est juste. L'exposant y est noté \(\varepsilon(f)\), la dimension. ↩
  11. La page dit « s'il s'agit d'un motif satisfaisant aux conj. de Weil » ; c'est la rationalité du polynôme caractéristique qui donne \(\varepsilon = \pm 1\) et la parité, le poids seul ne suffit pas. Les mots qui suivent « dépendant du motif \(\Lambda^r E\) » ne se lisent pas. ↩
  12. La page écrit \(\check E \simeq E(\rho)\) « par dualité ». Comme isomorphisme de faisceaux, cela demande un accouplement \(E \otimes E \to \mathbb{Q}_\ell(-\rho)\) parfait et compatible à \(F\) ; pour les fonctions \(L\), l'égalité des polynômes caractéristiques suffit, et c'est elle qu'on vient d'établir. ↩
  13. La page le calcule par la loi \(*\) : \(L_{E(\rho)} = (L_E * L_{\mathbb{Q}_\ell(\rho)})^{-1} = L_E * (1 - p^{-\rho}t)\). ↩
  14. Le numérateur \(i + \rho\) est surchargé sur la page ; c'est bien le poids de \(H^i\). La pureté de \(H^i(\bar X, E)\) est ce que la marge attribue aux « conjectures standard » ; elle est démontrée depuis Deligne, La conjecture de Weil I (1974) pour \(E = \mathbb{Q}_\ell\) et II (1980) en général. Le dossier la suppose, sans la tenir pour acquise. La page écrit tantôt \(E\), tantôt \(F\), pour le même faisceau. ↩
  15. La page écrit bien \(2n\sum_{i=0}^{n-1}\), et c'est juste (les termes \(i\) et \(2n - i\) donnent ensemble \((-1)^i\,2n\,b_i\)) ; la ligne de la transcription, avec \(n\), est à corriger. ↩
  16. La page écrit l'exposant \(-\chi(E)\). C'est un lapsus : de (1), \((-t)^{-\chi}\varepsilon\,q^{\chi/2} = \varepsilon(-q^{1/2}/t)^{\chi}\), et c'est avec \(+\chi(E)\) que (2) donne (3), que la page écrit correctement. ↩
  17. La page note en marge qu'il suffit que \(\check E \simeq E(\rho)\) hors d'un fermé de \(X\) ; la fin de la phrase ne se lit pas, et l'on n'en fait pas usage. ↩
  18. Hypothèse implicite : la page invoque une « forme alternée non dégénérée invariante » sans dire d'où vient son alternance. ↩
  19. Il attribue l'argument, semble-t-il, à Serre ; le nom est d'une lecture incertaine et l'on ne s'appuie pas dessus. ↩
  20. La page note \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_{-1}\) « la multiplicité de la valeur propre \(1\) (\(-1\)) de \(f\) » : il faut l'entendre du Frobenius normalisé \(q^{-1/2}F\), entier ici puisque \(n + \rho\) est pair. On renomme \(m_{\pm}\) pour ne pas confondre avec les signes \(\varepsilon_i\) de la page 22. ↩
  21. La lecture de l'indice \(\infty\) est celle de la page ; la page 24 écrit \(R_\infty f\) et \(R^{*}_\infty f\) pour le même objet. ↩
  22. Un encadré précise : « en admettant la résolution des singularités … et les conjectures de Weil ». ↩
  23. Le « type » n'est défini nulle part dans le dossier, et l'on ne sait pas ce que cette borne affirme. La borne de poids est cohérente avec ce qu'on sait aujourd'hui (les poids de \(H^i\) d'une variété lisse de dimension \(n\) sont \(\le 2n\)) ; le dossier ne la démontre pas. ↩
  24. La page écrit « \(\chi(E) = \varepsilon(Rf_{!}E) = \varepsilon(D\,Rf_{!}E)\) » : son \(\varepsilon\) est ici la caractéristique d'Euler. L'égalité \(\chi(Rf_{*}E) = \chi(Rf_{!}E)\), qu'on tire ici de l'autodualité, est vraie pour tout faisceau constructible : c'est le théorème de Laumon (1981). ↩
  25. Hypothèse implicite, ajoutée. La page écrit « \(\varepsilon(E)\) » pour ce produit de signes ; on le note \(\operatorname{sgn}(E)\), parce que la page 26 appelle \(\varepsilon(E)\) autre chose. La comparaison des deux est immédiate et n'est pas sur la page : \(\varepsilon(E) = \delta(E)q^{-\chi(E)/2} = \operatorname{sgn}(E)\, p^{\frac12(\sum_i (-1)^i i\beta_i - (n+\rho)\chi(E))}\) ; ils coïncident exactement quand \(\sum (-1)^i i\,\beta_i = (n + \rho)\chi(E)\), ce qui est le calcul du cas favorable. ↩
  26. La page écrit \([1]\) dans les deux formules encadrées, avec en marge « \(1\) ou \(-1\) ! ». C'est \([-1]\), puis \([2n-1]\) après substitution. Seule la parité du décalage compte pour la fonction \(L\) — un décalage impair l'inverse — et elle est la même : la suite du calcul est juste. ↩
  27. La deuxième formule encadrée porte \(\varepsilon(E) = \delta'(E)\,q^{-\chi(E)/2}\), ce qui contredit la première ; c'est \(\varepsilon(E)^{-1}\) qui vaut \(\delta'(E)q^{-\chi(E)/2}\). Une flèche en marge, partant de ce signe \(=\), dit « variance avec \(E\), \(X\) !! ». ↩
  28. Dans la ligne intermédiaire, le facteur \((1/qt)^{\chi(E)}\) doit porter le signe \((-1)^{\chi(E)}\) ; il se compense avec celui de \((-t)^{\chi(E)}\), et le résultat est juste. ↩
  29. La page 30 écrit \(q = p^{n\rho}\) ; c'est \(q = p^{n+\rho}\), comme aux pages 26 et 28. Un petit exposant sur \(A\) ne se lit pas. ↩
  30. La page omet le décalage \([2]\) ; il est pair et sans effet sur les fonctions \(L\). ↩
  31. La page écrit l'exposant \(\chi^{*}(\check E_\eta)\) ; il est égal à \(\chi^{*}(E_\eta)\), puisque \(D\) conserve la caractéristique d'Euler. ↩
  32. La page écrit \(P_{Q_x}(t)\) sans préciser le degré du point ; le facteur est en \(t^{\deg x}\). Une marge, en partie illisible, rappelle la dualité entre \(H^2(\bar X, E)\) et \(H^0\) du dual tordu. ↩
  33. La fin de la phrase précise « (i.e. ext. résiduellement … triviale) », avec un mot ajouté illisible. ↩
  34. La page note \(U\) ce sous-groupe et \(V \subset U\) le suivant ; on écrit \(I_1\), \(I_2\), parce que \(U\) servira pour un ouvert de la courbe. « Invariant par \(D\) » est ajouté au-dessus de la ligne. La marge observe que, dans le cas galoisien, un \(I_1\) ouvert contient un sous-groupe ouvert invariant par \(D\). C'est vrai, mais c'est le théorème de monodromie qui le donne et non la théorie des groupes profinis : l'ensemble des éléments de \(I\) qui opèrent de façon unipotente est le noyau de la partie d'image finie de la représentation, ouvert et stable par \(D\). ↩
  35. La page dit « c'est le seul foncteur exact », lecture incertaine ; on ne retient que l'exactitude. ↩
  36. Le symbole de l'opération a la forme d'un éclair ; la transcription le rend par \(\natural\) et l'on garde ce signe. Un paragraphe biffé de la page 42 commençait le cas \(D/I \simeq \mathbb{Z}\). ↩
  37. Le dossier ne le cite pas et le suppose implicitement en posant l'opération sur tout \(E_\eta\). Le théorème figure dans l'appendice de Serre–Tate, Good reduction of abelian varieties (1968) ; on ne sait pas, faute de date, s'il est antérieur ou postérieur à ces pages. ↩
  38. Ce langage est de Deligne (1973), et n'est pas sur la page ; la traduction est nôtre. ↩
  39. La page note \(U\), \(E_U\), \(i : U \to X\) ; et elle écrit « \(E_\eta(x) = E_\eta^{\natural(x)}\) », alors que la page 50 réserve \(E_\eta(x)\) à la fibre ordinaire \(E^{I_x}\). On suit la page 50. ↩
  40. La page omet les décalages \([2]\), pairs ; et la lecture « \(\mathbb{Q}_\ell\) » dans \(\mu_x\) est douteuse, mais c'est la seule qui rende la formule juste. ↩
  41. Ici et aux pages 52 à 56, la lettre ressemble à un \(\varphi\) ; c'est le \(\rho\) des pages précédentes. ↩
  42. Ce qui rend la chose plausible : la dualité de Poincaré pour \(i_{*}E_\eta\) est exacte, \(D(i_{*}E_\eta) = i_{*}\check E_\eta(1)[2]\), et \(E_\eta^{\natural} - i_{*}E_\eta = \sum_x j_{x*}\alpha_x(E_\eta)\), dont le dual est \(\sum_x j_{x*}\alpha_x(E_\eta)^{\vee} = \sum_x j_{x*}\alpha_x(\check E_\eta)(1)\). En termes de Weil–Deligne, \(\alpha_x(E)\) est la classe de \((E/\ker N)^{I_x}\), que \(N\) identifie à \((\operatorname{Im}N)^{I_x}(-1)\) ; c'est l'orthogonalité de \(\ker N\) et de \(\operatorname{Im}N^{\vee}\) qui fait le reste. ↩
  43. La page écrit \(\prod_x \lambda_x(E)\), puis \(\prod_x \lambda_x(E)(t)\), sans l'argument \(pt\) puis \(qt\) que les substitutions \(t \mapsto pt\) et \(t \mapsto p^{\rho}t\) imposent. ↩
  44. La lettre notée \(\chi_x\) est surchargée aux pages 52 et 56 et pourrait être un \(\beta_x\). On prend \(\chi_x\) et \(\delta_x\) après image directe sur \(\operatorname{Spec}\mathbb{F}_p\), ce qui absorbe le signe \((-1)^{(\deg x - 1)\operatorname{rg}}\) que le déterminant d'une induite introduit ; la page ne le dit pas. ↩
  45. La page ajoute une variante, \(\varepsilon^{\natural} = \pm\bigl(\prod_x \delta_x p^{-\rho\chi_x/2}\bigr)p^{-\chi/2}\) avec \(\chi = \sum_x \chi_x\), qui est la même chose. ↩
  46. La lecture « Chafarevitch » est incertaine. Ogg (1962) et Chafarevitch (1961) l'ont pour les courbes elliptiques et les espaces principaux homogènes ; Grothendieck l'établit pour les faisceaux \(\ell\)-adiques sur une courbe (exposé Bourbaki de Raynaud n° 286, 1965 ; SGA 5, exposé X), au moyen des représentations de Swan et d'Artin — ce que la page 58 appelle « les représentations d'Artin ». Le signe qui reste, lui, est le signe de l'équation fonctionnelle, que la théorie des constantes locales de Langlands et Deligne (1972–1973) et la formule du produit de Laumon (1987) écrivent comme produit de facteurs locaux ; le dossier ne l'aborde pas. ↩
  47. La page s'arrête sur un tiret, et ses derniers verbes sont d'une lecture incertaine ; on donne l'identification qu'elle annonce, avec le décalage qu'elle ne précise pas. ↩
  48. L'exposant de \(p\) dans \(q\) est noyé sous une tache d'encre ; la page 66 substitue \(1/(p^{n+\rho}t)\) là où la page 68 écrit \(1/qt\), donc \(q = p^{n+\rho}\). « Niveau » est son mot, entre guillemets, et n'est pas défini ; on en donne plus bas le sens que ces pages lui font jouer. ↩
  49. Le nom du théorème 90 n'est pas sur la page ; l'action de \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) l'est, et un encadré « \(\lambda^{g}\lambda^{-1} = \) » laissé sans second membre. ↩
  50. Interprétation nôtre, qui rend compte de toutes les occurrences du mot. Le passage barré écrivait « de niveau \(\le \rho + n + 1\) » pour \(\lambda\) ; la page 66, non barrée, dit \(\le \rho + n - 1\), et c'est elle qu'on suit. Les arguments \(p^2t\), \(p^nt\) se lisent mal. ↩
  51. La page 66 omet les facteurs \(p^{(\rho+n-i)\chi_i}\) que la substitution produit ; ils sont absorbés dans la constante \(\delta\). Elle écrit aussi \(t^{\chi_\rho}\) devant \(L_{\rho+n}\), où l'on attend \(\chi_{\rho+n}\), et une suite d'indices pour \(\lambda\) qu'on ne reproduit pas, la page l'ayant écrite de façon incohérente. ↩
  52. Cette conclusion est nôtre ; la page ne l'écrit pas. ↩