Cote n° 6 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Lettre Tate (mai 66) (Cristaux) : lettre (1966), tapuscrit (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

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21p. 20 de la lettre. Le mot « condi-/tion » est coupé entre les deux lots. tion de compatibilité avec le changement de base, on constate que \(\mathrm{DR}(f_p)^{(p)}\) […] n'est autre que \(\mathrm{DR}(f_p^{(p)})\), où \(f_p^{(p)}\colon X_p^{(p/S)}\to S_p\) est le morphisme structural du frobeniusé relatif de \(X_p\) sur \(S_p\). Or on a le morphisme de frobenius \(X_p^{(p/S)}\to X\), qui est un \(\underline{S}\)-morphisme, et par fonctorialité de \(\mathrm{DR}\) nous donne \[\mathrm{DR}(f)_p^{(p)}\longrightarrow\mathrm{DR}(f)_p\] comme on voulait.l'indice \(p\) de « \(S_p\) » (après la flèche) est récrit à l'encre ; le « \(\mathrm{DR}(f)_p^{(p)}\to\mathrm{DR}(f)_p\) » est dans le cours du texte tapé. La flèche de frobenius \(X_p^{(p/S)}\to X\) : tel quel (on attendrait \(X_p\) au but). Il faut prouver que cet homomorphisme est en fait une isogénie, donc que l'biisocristal défini par \(\mathrm{DR}(f)\) devient, à l'aide des \(F_p\), un bi-isocristal.« bi » est barré d'un trait oblique à l'encre. Mais utilisant la relation de dualité écrite dans 2.2. (à vrai dire, l'écriture \(T^d\) pour le cristal unité ne prend son sens que lorsque on le regarde comme muni de sa structure de bi-cristal naturelle, qui n'intervient qu'ici), on peut transposer \(F\) en un \(V\), tel que \(FV=VF=p^{2d}\), ce qui prouve notre assertion.« bi » souligné deux fois à l'encre.

D'ailleurs, lorsque l'on passe du cristal de De Rham \(\mathrm{DR}(f)\) à l'isocristal correspondant, et donc des objets de cohomologie \(\mathrm{DR}^i(f)\) aux isocristaux correspondants, […] il […] [sera] vrai (tout comme pour les \(\underline{R}^if_*\) de De Rham en caractéristique nulle) que leur formation commute à tout changement de base, de sorte que chacun des isocristaux \(\mathrm{DR}^i(f)\) devient à son propre titre un bi-isocris- tal. Au moment de rédiger 1.10. il m'avait semblé[ que], sans mettre du iso dans le coup, que \(\mathrm{DR}^i(f)\) devrait être [un] bi-cristal de poids \(i\), mais je m'étais canulé, il faudrait pour cela une polarisation de \(X\) sur \(S\) qui définisse un isomorphisme (pas seulement une isogénie) de \(\mathrm{DR}^i(f)\) avec \(\mathrm{DR}^{2d-i}\otimes T^{-(d-i)}\), ce qui n'existe évidemment que très exceptionellement ; une fois qu'on l'a, on définit \(V\) dans \(\mathrm{DR}^i\) en transposant \(F\) dans \(\mathrm{DR}^{2d-i}\).« que » et « un » sont à l'encre au-dessus de la ligne, le « que » tapé devant \(\mathrm{DR}^i(f)\) est biffé à l'encre.

2.4. Cas d'un schéma abélien. Il semble que ce ne soit guère que dans ce cas-là où il soit bien raisonnable de parler de [bi-]cristaux et non seulement de bi-isocristaux. De façon précise, \(\mathrm{DR}^1(f)\) a dans ce cas une structure de bicristal, défini par les \(F_p\) précédents[,] et des \(V_p\) qui se définissent encore, par fonctorialité de \(\mathrm{DR}\), à l'aide de l'homomorphisme « Verschiebung » \(A_p^{(p/S_p)}\to A_p\) (défini avec la généralité qui convient dans les notes de Gabriel dans SGAD). Comme

22p. 21 de la lettre. \(\mathrm{DR}^1(A/S)\) est un foncteur […] multiplicatif en \(A\), grâce à Kunnethsic. postulé dans 2.2., et que l'on a \(FV=VF=p.\,\mathrm{id}\) sur les schémas abéliens en car. \(p\), on en conclut les mêmes relations dans \(\mathrm{DR}^1\). Cela montre donc que \(\mathrm{DR}^1(A)\) est un bicristal de poids 1, i.e. un cristal de Dieudonné. Lorsque \(S\) est le spectre d'un corps [parfait] de caractéristique \(p>0\), un tel cristal s'identifie simplement, d'après 1.12, à un module de Dieudonné sur \(W=W(k)\). Bien sûr, on doit trouver que ce module n'est autre que le module de Dieudonné du groupe formel […] (ou plutôt, du groupe \(p\)-divisible) défini par la variété abélienne \(A\).« parfait » est tapé dans l'interligne et appelé à l'encre ; le « c » de « bicristal » est corrigé à l'encre. Débarassésic. de l'hyperstructure axiomatico-conjecturale de 2.2., en fait on peut exprimer ainsi la construction ainsi obtenue du module de Dieudonné :

1º) Soit \(A\) un schéma abélien sur un schéma affine \(S\). On sait que pour tout morphisme \(S\to T\) d'immersion fermée surjective, défini par Idéal nilpotent sur \(T\), \(A\) se prolonge en un schéma abélien \(B\) sur \(T\). On peut regarder la cohomologie de De-Rham ordinaire \(\underline{R}^1g_*(\underline{\Omega}^{\bullet}_{B/T})\), où \(g\colon B\to T\) est le morphisme structural, et on sait que c'est un Module localement libre de rang \(2g\), où \(g\) est la dimension relative de \(A\) sur \(S\) donc de \(B\) sur \(T\). Première affirmation : ce Module, à isomorphisme canonique près, ne dépend que [de \(A\) sur \(S\) et] de \(S\to T\), et pas du choix du prolon- gement \(B\) de \(A\). En d'autres termes, la donnée de \(A\) sur \(S\) définit un cristal localement libre de rang \(2g\) sur \(S\), soit \(\mathrm{DR}^1(A/S)\). C'est évidemment un foncteur additif en \(A\), compatible avec le changement de base[, et définissable sans condition affine sur \(S\) (en recollant).]« de \(A\) sur \(S\) et » (fin de la page précédente) et « , et définissable … (en recollant). » sont à l'encre, dans l'interligne ; le « t » de « définit » aussi.

2º) Supposons que \(S\) soit le spectre d'un corps parfait \(k\) de car \(p>0\), alors le cristal précédent s'identifie à un module libre de rang \(2g\) sur \(W=W(k)\). On y introduit les structures \(F\) et \(V\), en utilisant comme ci-dessus les homomorphismes \(F\colon A\to A^{(p)}\) et \(V\colon A^{(p)}\to A\). On trouve ainsi un module de Dieudonné [\(M\)], et : Deuxième affirmation : C'est bien celui défini par Dieudonné. En d'autres termes : si \(\Lambda\) est n'importe quel anneau local artinien de corps résiduel \(k\), et \(B\) un prolongement de \(A\) en un schéma abélien sur \(\Lambda\), alors […] la cohomologie de De Rham \[H^1_{\mathrm{DR}}(B)=\underline{H}^1(B,\underline{\Omega}^{\bullet}_{B/\Lambda})\] est canoniquement [et fonctoriellement] isomorphe à \(M\otimes_W\Lambda\), où \(M\) est le module de Dieudonné classique de \(A\), et où on tient compte du th. de Cohen qui munit \(\Lambda\) d'une structure canonique de \(W\)-algèbre.« \(M\) » est à l'encre ; « et fonctoriellement » est tapé dans l'interligne et appelé à l'encre. L'anneau artinien est tapé « A » puis corrigé en \(\Lambda\). (NB la canonicité fonctorialité de

23p. 22 de la lettre. l'isomorphisme garantira automatiquement qu'il est compatible avec \(F\) et \(V\)).

[2.5.] Je n'ai pas vérifié, à vrai dire, les deux affirmations, mais n'ai pas le moindre doute qu'elles sont correctes telles quelles. Cette façon de voir le module de Dieudonné permet de plus d'expliciter de façon remarquable les variations infinitésimales de structure de la variété abélienne \(A\) donnée en caractéristique nulle \(p>0\), en termes du module de Dieudonné : les prolongements de \(A\) en un schéma abélien \(B\) sur \(\Lambda\) doivent correspondre exactement aux […] modules quotients libres de rang \(g\) de \(M\otimes_W\Lambda\) qui redonnent, modulo \(p\), le module quotient de rang \(g\) canonique de \(M\otimes_W k=H^1_{\mathrm{DR}}(A)\), [(]correspondant à la filtration canonique de cette cohomologie[)]. Plus généralement et plus précisément :le numéro « 2.5. » et les parenthèses sont à l'encre.

3º) Considérons, pour tout schéma abélien \(A\) sur une base \(S\), sur la cohomologie de De Rham \(R^1f_*(\underline{\Omega}^{\bullet}_{A/S})=H^1(f)\), la filtration canonique \[0\longleftarrow R^1f_*(\underline{O}_A)\longleftarrow H^1(f)\longleftarrow R^0f_*(\underline{\Omega}^1_{A/S})\longleftarrow 0\ .\] Donc pour tout \(B\) sur \(T\) comme dans 1º, on a sur [\(\underline{M}(T)=\)] \(\mathrm{DR}^1(A/S)(T)=H^1(g)\) une filtration naturelle, ne dépendant que de la classe à isomorphisme près du relèvement choisi \(B\) de \(A\) à \(T\), et prolongeant la filtration déjà connue de \(\mathrm{DR}^1\) \(\underline{M}(S)=H^1(f)\)« \(\underline{M}(T)=\) » est à l'encre dans l'interligne ; « \(\underline{M}(S)\) » est récrit à l'encre sur un mot tapé biffé. provenant de \(A\). Ceci dit, troisième affirmation : on obtient ainsi une correspondance biunivoque entre classes de prolongements de \(A\) à \(T\), et prolongements de la filtration donnée de \(\underline{M}(S)=\underline{M}(T)\otimes_{\underline{O}_T}\underline{O}_S\) en une filtration de \(\underline{M}(T)\). Plus précisément encore, le foncteur \(B\rightsquigarrow(A,\varnothing)\), de la catégorie des schémas abéliens [\(B\)] sur \(T\), dans la catégorie des schémas abéliens […] \(A\) sur \(S\), munis d'une filtration [\(\varnothing\)] de \(\mathrm{DR}^1(A/S)(T)\) prolongeant celle de \(\mathrm{DR}^1(A/A)(S)\)sic, pour \(\mathrm{DR}^1(A/S)(S)\). (NB il ne s'agit que de filtrations à quotients localement libres, bien sûr) est une équivalence de catégories.« \(B\) » et « \(\varnothing\) » (la filtration) sont à l'encre, dans l'interligne.

Cet énoncétapé « Ces énoncés » et corrigé à la machine. est évidemment fort suggestif aussi pour des généralisations en cohomologie de De Rham de dimension supérieure, pour un morphisme lisse et projectif quelconque, tenant compte de la filtration canonique de celle ci. On voit bien en tous cas que ce dernier élément de structure n'est pas de nature cristalline, i.e. donnée par une filtration du cristal de De Rham postulé dans 2.2., mais est au contraire dans la nature d'un élément de structure « conti-

24p. 23 de la lettre. nu », dont la variation doit refléter fidèlement les variations de structure du motif donnant naissance au cristal envisagé. Pour arriver à préciser ce dernier point, il faudrait des fondements un peu plus fermes de la théorie des motifs, comme de celle (certainement beaucoup plus élémentaire) des cristaux et de la cohomologie de De Rham. Une autre généralisation, (suggérée par comparaison du 3º avec Serre-Tate, disant que si \(S\) est de caractéristique \(p\) [\(>0\)], alors étendre \(A\) à \(T\)[,] c'est pareil qu'étendre le groupe \(p\)-divisible correspondant), concerne la théorie des groupes formels, dont il sera question au Chapitre 3. Pour préparer le terrain, je vais présenter d'une façon un peu différente le cristal \(\mathrm{DR}^1(A/S)\) associé à un schéma abélien, en utilisant explicitement la structure de groupe dudit.« \(>0\) » et la virgule après « \(T\) » sont à l'encre.

2.6. De façon générale, paraphrasant sur une base quelconque une vieille construction de Serre (c'est de lui que je l'ai apprise, du moins), on trouve que pour tout schéma abélien \(A\) sur une base \(S\), il y a une extension naturelle de \(A\) par le fibré vectoriel \(V(R^1f_*(\underline{O}_A))=V(\underline{t}_{A}\ )\), (où \(A\) est le schéma abélien dual de \(A\)).un blanc est laissé après l'indice de \(\underline{t}_A\) et après le second « \(A\) » : le signe du dual, à ajouter à la main, n'a pas été ajouté ; on attend \(\underline{t}_{A'}\), « où \(A'\) est le schéma abélien dual ». Attention à la notation, le fibré vectoriel \(V(\underline{E})\) est contravariant en \(\underline{E}\), ces sections sont les homomorphismes \(\underline{E}\to\underline{O}_S\) ! L'extension en question est universelle parmi les extensions de \(A\) par des fibrés vectoriels, est fonctorielle en \(A\), et compatible avec changement de base. Appelons la \(G(A)\). Ainsi, le faisceau de Lie de \(G(A)\) est une extension \[\begin{array}{ccccccc} 0\to & R^1f_*(\underline{O}_A)^{\vee} & \to & \underline{g}(A) & \to & R^0f_*(\underline{\Omega}^1_{A/S})^{\vee} & \to 0\\ & \| & & & & \| & \\ & \underline{t}^{\vee}_{A^*} & & & & \underline{t}_A & \end{array}\ ,\] l'astérisque de \(A^*\) est à l'encre. qui est duale de la suite exacte envisagée dans 2.5., dont nous avons donc ici une construction indépendante en termes d'extensions de \(A\) par des groupes vectoriels. On peut en profiter pour préciser encore les assertions 1º et 3º de 2.4. et 2.5. L'assertion 1º se précise en affirmant que, pour un prolongement \(B\) de \(A\), de \(S\) à \(T\), le schéma en groupes \(G(B/S)\) est déterminé, à isomorphisme canonique [(et même unique)] près, par la seule donnée de \(A\) et de l'extension \(S\to T\), indépendamment du choix particulier du prolongement \(B\). En d'autres termes, on trouve un cristal« (et même unique) » est à l'encre dans l'interligne, « unique » souligné ; « l'extension » est biffé à la machine. \(G(B/S)\) : tel quel (on attendrait \(G(B/T)\)).

25p. 24 de la lettre. en schémas de groupes [lisses] \(\underline{G}(A/S)\), et pour chaque prolongement [infinitésimal] \(B\) de \(A\) à un \(T\), un isomorphisme canonique \(\underline{G}(A/S)(T)\simeq G(B/T)\) ; tout ça bien sûr fonctoriel en \(A\) et compatible avec changements de base. D'autre part, on peut préciser alors 3º en indiquant quel est le foncteur quasi-inverse de celui envisagé dans cet énoncé : l'extension de la filtration de \(\mathrm{DR}^1(A/S)(S)\) en une filtration du faisceau de Lie \(\mathrm{DR}^1(A/S)(T)^{\vee}\) de \(\underline{G}(A/S)(T)\) revient à étendre le sous-groupe vectoriel canonique de \(\underline{G}(A/S)(S)\) en un sous-groupe vectoriel de \(\underline{G}(A/S)(T)\), et l'on trouve \(B\) en passant simplement au quotient.« lisses » et « infinitésimal » sont tapés dans l'interligne, le second appelé à l'encre ; le \(\vee\) de \(\mathrm{DR}^1(A/S)(T)^{\vee}\) est à l'encre.

NB Je suis tombé sur la connexion canonique de \(G(A/S)\) en essayant de simplifier la construction de Manin de l'application \(A(S)\to\Gamma(S,\underline{O}_S)\) associée à une équation de Picartsic.-Fuchs sur \(S\)[,] relativement à \(A\). Pour ceci, il suffit de noter que localement sur \(S\) toute section de \(A\) sur \(S\) se remonte en une section de \(G=G(A/S)\) sur \(S\). La donnée de la connexion de \(G\) permet alors de prendre la dérivée de cette section, qui est un élément de \(\Gamma(S,\underline{t}_G\otimes\underline{\Omega}^1_S)\), déterminé modulo une section de l'image du faisceau \(\underline{t}^{\vee}_{A^*}\), correspondant à l'indétermination du relèvement d'une section de \(A\) en une section de \(G\). Les équations de Picard-Fuchs sont définies tout juste pour arriver, d'une telle section dele \(\vee\) et l'astérisque de \(\underline{t}^{\vee}_{A^*}\) sont à l'encre ; le « d » de « Picard » est corrigé à l'encre sur un « t » tapé ; « une » est souligné à l'encre. […] \(\underline{t}_G\otimes\underline{\Omega}^1_S\) (qui en fait est un [co]cycle, compte tenu de la connexion canonique de \(\underline{t}_G\) provenant de \(G\)), avec l'indétermination qu'on vient de préciser, à tirer une section de \(\underline{O}_S\) … (Du moins en caractéristique nulle, cas dans lequel se place Manin de toutes façons).« co » est à l'encre devant « cycle », souligné à la machine. Le reste de la page est blanc.

26p. 25 de la lettre. Voici les résultats positifs que j'ai vérifiés dans la direction des assertions précédentes :

a) Si \(S\) est de caractéristique nulle, les assertions 1º et 3º (sous la forme précisée par l'introduction du schéma en groupes \(G(A)\)) sont vraies.

b) Sans restrictions sur \(S\), il est vrai que \(G(A)\) n'a pas d'automorphismes infinitésimaux, donc si pour deux relèvements infinitésimaux [donnés] \(B,B'\) de \(A\), \(G(B)\) et \(G(B')\) sont isomorphes, l'isomorphisme entre eux est unique.fauxau crayon, dans la marge de gauche, à hauteur de « infinitésimaux, donc si » ; lecture douteuse. Donc si l'assertion [hyp.] précédente est vrai [vérifiée], quels que soient les relèvements infinitésimaux de \(A\) au dessus d'un ouvert \(U\) de la base \(S\), alors les \(G(B)\) définissent effectivement un cristal [en groupes] sur \(S\), à fortiori les \(H(B)\) définissent un cristal de modules, et \(G(A)\) et \(H^1_{\mathrm{DR}}(A/S)\) sont munis de stratifications absolues canoniques, fonctorielles d'ailleurs en \(A\) satisfaisant aux conditions envisagées, et compatible avec tout changement de base qui invarie notre hypothèse sur \(A\).« donnés » et « en groupes » sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre ; « vérifiée » est tapé au-dessus de « vrai » biffé à l'encre ; le mot au-dessus de « assertion », biffé à l'encre, est de sa main.

c) Les assertions 1º à 3º (sous la forme précisée par \(G(A)\)) sont vraies pour les relèvements infinitésimaux d'ordre 1, ou tout au moins lorsque \(T\) est de la forme \(D(\underline{J})\), schémas des nombres duaux défini par un \(\underline{J}\) quasi-cohérent.à éclaircir, […] peut être fauxau crayon, dans la marge de gauche, en biais, à hauteur de l'alinéa c), qu'un crochet au crayon embrasse.

2.7. Arrivé à ce point de mes brillantes conjectures, je m'aperçois avec consternation qu'elles sont fausses telles quelles, malgré les indications concordantes militant en leur faveur. De façon précise, soit \(k\) un corps de caractéristique nulle \(p>0\). Je dis qu'il n'est pas possible, pour tout \(k\)-schéma \(S\) de type fini, de dimension \(\leqslant 1\), avec \(S_{\text{rég}}\) régulier, et tout schéma elliptique \(A\) sur \(S\), de mettre sur \(H^1_{\mathrm{DR}}(A/S)\) une stratification relativement à \(k\), qui soit fonctorielle en \(A\) et compatible avec les changements de base.[…] \(\leqslant 0\) !à l'encre, entouré, dans la marge de gauche à hauteur de « de dimension \(\leqslant 1\) » ; le « 1 » est barré d'un trait oblique à l'encre, prolongé jusqu'au \(A\) de \(H^1_{\mathrm{DR}}(A/S)\) : sans doute pour remplacer la dimension \(\leqslant 1\) par \(\leqslant 0\). Le premier mot de la note marginale n'est pas lu. L'ennui, comme d'habitude, provient des courbes elliptiques de Hasse nul. Appliquant en effet les deux fonctorialités postulées, on trouve que l'homomorphisme « frobenius » qui va de \(M^{(p)}\) dans \(M\) (\(M=H^1_{\mathrm{DR}}(A/S)\)) serait compatible avec la stratification. Si alors \(s\in S\) est un point correspondant à un \(A_s\) de Hasse nul, i.e. tel que frobenius sur \(H^1_{\mathrm{DR}}(A_s)\) soit de carré nul, on en conclurait aisément, grimpant sur les voisinages infinitésimaux de \(s\), que la même propriété serait vraie aux points voisins de \(s\), ce qui est évidemment faux p.ex. pour la famille modulaire.

27p. 26 de la lettre. Ceci montre que décidément, il faut en rabattre, et que dans le titre du Chapitre et les considérations de 2.2., c'est à condition de prendre partout des isocristaux qu'il reste une chance d'une théorie du genre de celle envisagée précédemment. Il est fort possible d'ailleurs que la notion de isocristal que j'ai adoptée est encore trop restrictive, en ce sens que dans la description de 1.13. il faudra peut-être prendre des stratifications en caractéristique nulle qui ne se prolongeraient pas nécessairement sur le schéma formel sur \(W\) = vecteurs de Witt tout entier. C'est une analyse soigneuse du calcul-clef de Washnitzer-Monsky qui devrait permettre de tirer cette question au clair.un double trait vertical au crayon longe dans la marge de gauche tout ce passage, de « Chapitre » à « Washnitzer-Monsky ».

2.8. Il se pose la question, d'autre part, pour quels schémas abéliens les énoncés 1º et 3º de 2.4, 2.5. et 2.6. sont valables, en déhorssic. du cas déjà signalé : \(S\) de caractéristique nulle. [J'aurais assez tendance à croire que si \(A\) est une VA définie sur un corps \(k\) de car. \(p>0\), alors ce qu'on veut (savoir l'indépendance de \(G(B)\) d'un relèvement infinitésimal choisi \(B\) de \(A\)) est vrai, pour tout anneau artinien de corps résiduel \(k\), si et seulement si \(A\) est « ordinaire » i.e. a sur la clôture algébrique de \(k\) le nombre maximum de points d'ordre \(p\).faux, c'est jamais vrai en car \(p>0\) !au crayon, en biais dans la marge de gauche, relié par un trait au \(A\) de « si \(A\) est une VA » ; le crochet ouvrant avant « J'aurais » est à l'encre. Un long trait oblique au crayon traverse la page de « un corps » jusqu'à la dernière ligne : il semble annuler l'alinéa, ou le suivant. Notessic. qu'il n'est pas nécessaire de supposer \(k\) parfait (la question est manifestement géométrique), donc le groupe formel [\(p\)-divisible] de \(A\) sur \(k\) ne se décompose pas nécessairement en produit d'un étale par un infinitésimal.« \(p\)-divisible » est tapé dans l'interligne au-dessus de « formel » biffé à la machine. On aurait alors, pour de telles VA au moins, la description très explicite des relèvements infinitésimaux en termes du relèvement d'une filtration d'un module à la Dieudonné. Cette conjecture semble raisonnable car on a fait ce qu'il fallait pour éliminer des ennuis comme dans l'éxemplesic. de 2.7., d'autre part cela s'harmonise fort bien avec le tapis Serre des relèvements canoniques [(+ des modules)] de variétés abéliennes du type « ordinaire ».[…]« (+ des modules) » : « modules » tapé dans l'interligne, « + des » et les parenthèses à l'encre. Une note au crayon, de trois ou quatre mots, en biais dans la marge de gauche à hauteur de « fallait pour éliminer », reliée par un trait au début de la ligne, n'est pas lue ; un trait vertical au crayon longe les trois dernières lignes de l'alinéa.

Il serait évidemment tentant d'espérer qu'un énoncé du même type serait vrai pour une base quelconque, pourvu que toutes les fibres de \(A/S\) soient des VA ordinaires. Mais cela est certainement faux avec cette généralité, même pour des schémas elliptiques, essentiellement toujours pour les même raisons.la fin du mot, « sons. », est écrite à l'encre sous la ligne.

28p. 27 de la lettre. Prenons en effet un schéma [\(S\)] modulaire à échelons \(S\), pour variations de courbes elliptiques, et localisons en \(\underline{Z}_p\), soit encore \(S\) le schéma lisse sur \(\underline{Z}_p\) obtenu. On a sur \(S\) le Module loc libre de rang 2 \(H^1_{\mathrm{DR}}(A/S)\), et quand on enlève de \(S\) le nombre fini de points fermés correspondants à Hasse nul, on aurait une stratification […] rel. à \(\underline{Z}_p\) sur ce Module. Pour des raisons de pureté évidentes, celle-ci se prolongerait au dessus de \(S\) tout entier, d'où une stratification sur le \(H^1_{\mathrm{DR}}\) de la famille modulaire de courbes elliptiques, en caractéristique \(p\). Celle-ci serait alors compatible avec frobenius (car elle l'est dans le complémentaire de l'ensemble fini des points de Hasse nul), ce qui contredit nos réfléxions de 2.7.le « \(S\) » après « schéma » est à l'encre, le « \(S\), » tapé après « échelons » est biffé à l'encre ; un mot tapé avant « rel. » est biffé à la machine. Un long trait oblique au crayon traverse tout cet alinéa, qui prolonge celui de la page précédente.

Il n'est pas exclu entièrement, cependant, que en restant en car. \(p>0\), l'énoncé sur la non-variation […] infinitésimale de \(G(A)\) avec \(A\), \(A\) partout ordinaire, soit vrai. Cela impliquerait que sur l'ouvert des valeurs « ordinaires » de l'invariant, le \(H^1_{\mathrm{DR}}\) a une stratification canonique, mais celle-ci ne se prolongerait pas à la courbe modulaire toute entière. Mais je dois dire que ce drôle de comportement, où on aurait une stratification naturelle en car. \(p\) et une autre en car. 0, sans qu'elles veuillent se recoller, semble assez canularesque.

[Les considérations précédentes font bien ressortir la nature « infinie » de la notion de stratification, par contraste avec celle de connexion, malgré les trompeuses apparences de la caractéristique nulle. Ainsi, sur le \(H^1_{\mathrm{DR}}\) de la famille modulaire sur \(\underline{Z}\) pour [de] schémas elliptiques, il y a sur [au dessus de] la fibre générique \(S_{\underline{Q}}\) de \(S\) une stratification naturelle, mais nous venons de voir (ou presque …) que cette stratification ne s'étend pas en une stratification sur \(S_U\), \(U\) un ouvert non vide de \(\operatorname{Spec}(\underline{Z})\). (Le « presque » provient du fait qu'il n'est pas absolument clair si la stratification qu'on obtiendrait ainsi en car. \(p\) serait respectée par frobenius ; il faut absolument tirer au clair cet exemple particulier !). C'est en un sens assez moral, puisque pour nous le [module à] stratification doit jouer dans une large mesure le rôle d'un faisceau \(\ell\)-adique, dont il partage« de » et « au dessus de » sont à l'encre, au-dessus de « pour » et « sur » biffés ; « module à » est tapé dans l'interligne et appelé à l'encre (le « la » tapé est corrigé en « le ») ; le crochet ouvrant est à l'encre. Le \(\ell\) est tapé comme un X barré.

29p. 28 de la lettre. également les propriétés de rigidité.]crochet fermant à l'encre.

Pour en revenir à l'alinéa précédent, concernant un schéma abélien « ordinaire » en car. \(p>0\), s'il n'est pas exclu que le \(H^1_{\mathrm{DR}}\) admette une stratification canonique fonctorielle, il me semble cependant exclu, malheureusement, que celle-ci provienne d'un cristal […] de modules sur \(S\), i.e. que ceci reste vrai en remplaçant \(S\) par toute extension infinitésimale, pas néc de car. \(p\), [(tout au moins,] en admettant que la connexion associée à la stratification en question soit la connexion de Gauss-Manin[)]. En effet, appliquant une telle hypothèse au schéma modulaire \(S\) sur \(\underline{Z}_p\) précédent, dont on enlèverait les points de Hasse nul d'abord[, d'où \(S'\)], on conclurait sauf erreur que […] la stratification qu'on a en caractéristique nulle sur \(H^1_{\mathrm{DR}}\) se prolongerait à \(S\) tout entier, car elle se « recollerait » en un sens évident avec la […] stratification qu'on aurait […] [au dessus du] complété \(p\)-adique de \(S'\) (ce qui doit impliquer le prolongement sur \(S\) de façon assez formelle).« (tout au moins, » et la parenthèse fermante après « Gauss-Manin » sont à l'encre ; « d'où \(S'\) » et « au dessus du » sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre ; les guillemets ouvrants de « recollerait » sont à l'encre. Les mots biffés le sont à la machine. Mais alors on aurait en car. \(p\) une stratification du \(H^1_{\mathrm{DR}}\) au dessus du schéma modulaire tout entier, Hasse nul inclus, ce qui est absurde comme on l'a déjà remarqué. Il faut en conclure, hélas, que si les isocristaux, et le cas échéant les modules stratifiés même en caractéristique nulle \(p>0\), ont des chances d'être des outils convenables pour l'étude de familles de variétés abéliennes, celle de cristal elle-même semble irrémédiablement trop fine, même en se restreignant à des familles de VA « ordinaires » en car \(p>0\). Elle peut tout au mieux se prêter au cas d'un schéma de base réduit à un point, spectre d'un corps pas nécessairement parfait, et on peut alors espérer les résultats les plus satisfaisants en se bornant aux VA ordinaires. – Pour que la notion de cristal elle-même puisse être utilisée pour des schémas abéliens sur des bases plus générales, il semble donc qu'il faille imposer aux familles envisagées des restrictions très sérieuses, consistant à imposer la variation infinitésimale du \(G(A)\). Cela semble assez proche du point de vue de Serre, qui étudie les variations de VA (éventuellement à multiplication complexe donnée) en imposant à priori l'espace tangent (et l'action de la MC dessus) …

30p. 29 de la lettre.

Chapitre 3 Remarques sur les groupes \(p\)-divisibles.

3.1. Bien sûr, en même temps que pour les VA, je dois en rabattre sur les groupes formels. Je veux simplement signaler que la construction de \(G(A)\) dans 2.6. doit pouvoir se paraphraser sans difficulté pour un groupe \(p\)-divisible \(\varnothing\) sur un préschéma \(S\) à caractéristiques résiduelles égales au même \(p\).le texte tape « p-disible », corrigé par un « v » à l'encre. Le groupe \(p\)-divisible est noté par le signe tapé « Ø », rendu ici \(\varnothing\). En effet les homomorphismes de ce groupe dans le groupe formel associé à \(\underline{G}_a\) sont triviales (en particulier, \(\varnothing\) n'a pas d'automorphismes infinitésimaux), d'autre part (sauf erreur) le faisceau en groupes [modules] des \(H^2\) de \(\varnothing\) à valeurs dans le groupe formel associé à \(\underline{G}_a\) (au sens du complexe du groupe \(\varnothing\), variante formelle), est un Module localement libre de rang \(g^*\), où \(g^*\) est la dimension du groupe dual de \(\varnothing\), soit \(\varnothing^*\) ; plus précisément, ce Module doit être canoniquement isomorphe à \(\underline{\mathrm{Lie}}(\varnothing^*)\) [\((= \underline{t}_{\varnothing^*}.)\)] [(]Tout ceci est suggéré par les résultats de Tate et Lubin sur les modules de groupes formels ; je dois avouer d'ailleurs que je n'ai pas essayé de tirer au clair ce qu'il faut entendre, dans ce contexte, par « le groupe formel associé à \(\underline{G}_a\) », et s'il y a lieu de prendre le groupe formel purement infinitésimal.[)] Il s'impose alors de paraphraser la construction de Serre, en regardant l'extension […] universelle de \(\varnothing\) par un groupe formel vectoriel, qui sera ici le groupe formel (covariant) de \(\underline{t}_{\varnothing^*}\). Désignant par \(G(\varnothing)\) cette extension, son algèbre de Lie \(H(\varnothing)\) sera une extension \[(*)\qquad 0\to\underline{t}^{\vee}_{\varnothing^*}\to\underline{H}(\varnothing) \to\underline{t}_{\varnothing}\to 0\ .\] « modules » est tapé au-dessus de « groupes » biffé à la machine ; « \((=\underline{t}_{\varnothing^*}.)\) » est tapé dans l'interligne, avec le signe \(=\) et les parenthèses à l'encre, ainsi que les parenthèses qui encadrent « Tout ceci … infinitésimal. ». L'astérisque de \(\underline{t}_{\varnothing^*}\) dans « le groupe formel (covariant) de \(\underline{t}_{\varnothing^*}\) » et le \(\vee\) de la suite exacte sont à l'encre ; les flèches de la suite exacte sont repassées à l'encre.

Bien entendu, \(G(\varnothing)\) et par suite \(\underline{H}(\varnothing)\) seront fonctoriels en \(\varnothing\), et compatibles avec changement de base. Alors qu'il est certainement vrai, dans un sens qu'il conviendrait de préciser, que […] \(G(\varnothing)\) varie « moins que \(\varnothing\) », quand on fait varier \(\varnothing\) infinitésimalement dans une famille, il n'est pas vrai pour autant que \(G(\varnothing)\) soit indépendant de telles variations (à l'exception, probablement, de celles du premier ordre), i.e. puisse être considéré comme provenant d'un cristal en groupes \(p\)-divisibles [\(\pm\) formels]. Cela sera le cas, seulement, sans doute, quand \(\varnothing\) sera extension d'un groupe formel ind-étale par un groupe \(p\)-divisible torique[, et \(S\) réduit à un point (?).] [(]Dans le cas général, il semble intéressant d'étudier les variations« \(\pm\) formels. » est à l'encre au-dessus de « p-divisibles. » biffé à l'encre ; « formel » est biffé à la machine ; « , et \(S\) réduit à un point (?). » et la parenthèse ouvrante qui suit sont à l'encre, dans l'interligne.

31p. 30 de la lettre. infinitésimales de \(\varnothing\), quand on se fixe celles de \(G(\varnothing)\) à l'aide d'un cristal en groupes \(\underline{G}\).

3.2. En tous cas, l'extension \((*)\) semble un invariant intéressant du groupe \(p\)-divisible envisagé. Il subsiste, par passage à la limite, en passant à au cas où \(S\) est un schéma formel noethérien par exemple le spectre d'un anneau \(A\) noethérien \(j\)-adiquesic, pour \(J\)-adique. séparé et complet, où \(J\) est un idéal tel que \(A/J\) soit à caractéristiques résiduelles égales à \(p\). On trouve par exemple un bon invariant quand \(A\) est un anneau de valuation discrète complet, éventuellement d'inégales caractéristiques, à caractéristique résiduelle \(p\). Dans le cas où le groupe formel[,] réduit a la structure triviale […] mentionnée plus haut dans 3.1., et que le corps résiduel \(k\) est parfait, d'où un module de Dieudonné \(M\) sur \(W\) (de rang \(g+g'\)), il semble donc, d'après la remarque faite dans 3.1., que la donnée d'un relèvement du groupe \(p\)-divisible qu'on a sur \(k\) en un groupe \(p\)-divisible sur \(A\), soit entièrement équivalente à la donnée d'un relèvement de la filtration de \(M\otimes_W k\) donnée par \((*)\), en une filtration de type \((g,g^*)\) de \(M\otimes_W A\), Comme Il serait bien intéressant d'essayer de déterminer, en termes d'une telle donnée, quel est le module de Tate correspondant à la fibre générique de \(\varnothing\) ! On aimerait préciser également, pour des groupes \(p\)-divisibles plus généraux, quelle quantité d'information est liée à l'extension \((*)\)[,] qui remplace ici le \(H^1\) de De Rham.les biffures sont à la machine ; les virgules après « formel » et après « \((*)\) » sont à l'encre. Le rang est écrit \(g+g'\) ici et le type \((g,g^*)\) deux lignes plus bas : tel quel. La phrase « Dans le cas où le groupe formel, réduit … » est laissée telle qu'elle est tapée.

le tapuscrit s'arrête ici, au milieu de la p. 30 de la lettre, sans formule finale ni signature ; le reste de la page est blanc. Ce qui suit dans le dossier est d'une autre nature : des notes manuscrites de sa main.

Réduction des courbes elliptiques et \(T_p(E)\)

titre écrit au crayon, de sa main, en haut à droite d'une feuille par ailleurs blanche (p. 32 des archivistes), qui sert de chemise aux notes manuscrites qui suivent ; il ajoute : « (cf. aussi livre de Serre "Abelian \(l\)-adic representations") ». Ces notes ne font plus partie de la lettre.

33Courbes elliptiques sur un anneau de corps local à car. résiduelle \(p>0\) : étude infinitésimale.

\(A\) anneau de val. discrète complet, corps des fractions \(K\), corps résiduel \(k\) de car \(p>0\).

\(E_K\) courbe elliptique sur \(K\), […].trois ou quatre mots biffés, dont peut-être « module » à la fin.

1º) \(K\) de car 0 i.e. \(T_p(E_{\overline{K}})\) est de rang 2 [[…] et \(T_p(E_{\bar{k}})\) ét \(=T_p(E_{\bar{k}})\)]au crayon, à droite, entre crochets ; lecture très douteuse. On veut étudier les structures possibles pour ce module galoisien.

a) \(E_K\) a « bonne réduction » i.e. \(E\) provient d'une courbe elliptique \(E\) sur \(A\), et \(E_k\) est « ordinaire ».

Alors \(T_p(E_K)\) est [can.] extension d'un […] \(L\) de rang 1, par un autre [[…]] […] que le foncteur …« can. » (canoniquement ?) est écrit au-dessus de la ligne et appelé avant « extension » ; au-dessus de « par un », une insertion de trois ou quatre mots, soulignée, n'est pas lue ; la suite de la ligne n'est pas lue davantage. Hom \[\check{L}\otimes T_p(\mathbf{G}_m)=\check{L}[1]\ .\] De plus, \[0\to \check{L}(1)\to T_p(E_K)\to L\to 0\ ,\] l'extension, qui est donnée par un élément de \[H^1\bigl(K,\ L^{-2}\otimes_{\mathbf{Z}_p}T_p(\mathbf{G}_m)\bigr)\ ,\] qui dans le cas où \(A\) est à corps résiduel sép. clos (dans le cas \(L\) trivial sur \(A\)) s'identifie à \[H^1(K,T_p(\mathbf{G}_m))\otimes L_0^{-2}\simeq \bigl(\varprojlim_{p^n} K^*/K^{*p^n}\bigr)\otimes_{\mathbf{Z}_p} L_0^{-2} \simeq \mathrm{Hom}\bigl(L_0^{2},\widehat{K^*}\bigr)\] dans le \(H^1\), deux ou trois signes sont hachurés avant \(L^{-2}\) ; un \(*\) est barré au-dessus du \(L\) de la suite exacte. Le quotient \(K^*/K^{*p^n}\) est restitué : on lit « \(\varprojlim K^*\) », un signe noirci, et \(p^n\) en indice ; « \(K^*\) » est aussi écrit, puis biffé, au-dessus de la ligne. Il note \(L^{-2}\) pour \(\check{L}^{\otimes 2}\). Sous la formule : « \(\mathbf{Z}_p\), \(L_0\) la valeur en \(k\) » (lecture douteuse), qui définit sans doute \(L_0\).

34Si cet extension provient […] élément est […] « […] » i.e. est dans le sous-groupe \[\mathrm{Hom}_{\mathbf{Z}_p}(L^2,\underbrace{A^{**}}_{\text{Einseinheiten}}) \simeq L^{-2}\otimes_{\mathbf{Z}_p}A^{**}\ .\] « Einseinheiten » (unités principales), en allemand, sous \(A^{**}\), avec une accolade.

[N.B. Le fait […] […] […] Einseinheiten est […] détermine […] mod […] [exponentielles] […] […] […] … \(p\)-adiques …]passage entre crochets, souligné en partie ; le mot au-dessus du mot biffé est inséré par un signe \(\vee\).N.B. L'extension \(T_p(E_K)\) peut être triviale ([…] de Serre) ou […] : […] […] […] […] d'ordre fini … « […] »note de sa main, à droite de l'alinéa précédent, en quatre lignes serrées.En tous cas, […] opération […] […] [[…]]dans la marge de gauche, en biais.

b) \(E_K\) a bonne réduction, et \(E_k\) […] i.e. est non ordinaire. J'ai envie de conjecturer que dans la représentation de \(\pi_1(K)\) dans \(T_p(E_{\overline{K}})\) est \(\frac12\)-simple, voire que l'image de \(\pi_1(K)\) dans \(\mathrm{Aut}(T_p(E_{\overline{K}}))\) est un sous-groupe […]ment … ??un grand crochet dans la marge de gauche embrasse cette conjecture. « \(\frac12\)-simple » : semi-simple, dans sa notation.

(a\('\)+b\('\)) \(E_K\) n'a pas [néc] bonne réduction, mais l'invariant de \(E\) est entier, i.e. après extension finie de \(K\), on obtient bonne réduction. Ceci explique […] […] , a\('\)) réduction […] (la base […], i.e. […] […] ordinaire après ext. de \(K\)). Alors l'application […] […] […] […] […].[N.B.] de \(\pi'(K)\) est « […] ». b\('\)) […] […] […] […]. Alors si la conjecture dans b) est […], la conclusion de cette conjecture vaut aussi dans le cas b\('\)).les deux dernières lignes, au pied de la page, sont d'une autre encre, brune.

35que cet élément a une image non nulle dans \(\mathbf{Z}_p\), donc que l'extension ne provient pas d'une extension de groupes \(p\)-divisibles sur \(A\).

Question Quel est l'élément obtenu de \(\mathbf{Z}_p\) ! est-ce toujours un entier, resp. un élément \(>0\) ?

2º) Cas car \(K\neq 0\) donc car \(K=p\).

[…] Il y a lieu d'étudier […] \(T_p(K_s)\), qui ne s'explicite plus en […] en termes de modules exclusivement […] galoisiens.« \(T_p(K_s)\) » : lecture douteuse ; on attend \(T_p(E_{K_s})\).

A) Cas général (bonne réduction). a/ Si quand […] \(E_K\) est ordinaire, donc […] ordinaire, alors \(T_p(E_K)\) est une extension d'un \(L_K\) par \(\check{L}_K\otimes T_p(\mathbf{G}_m)\), et l'extension est donnée [(qui […] […] […])] dans \(L^{-2}\otimes A^{**}\) (par […] […] invariant […] dans \(L^{-2}\otimes\)la page s'arrête sur ce \(\otimes\) ; un trait fléché horizontal précède « \(T_p(E_K)\) » en tête de ligne.

36NB Si l'invariant \(j\) est entier, alors on peut conjecturer que la réduction de \(E_K\) a bonne réduction ssi il en est de même de \(T_p(E_K)\), le groupe \(p\)-divisible associé.?point d'interrogation dans la marge de gauche ; un signe \(=\) est biffé devant « \(T_p(E_K)\) ».

c) L'invariant \(j\) n'est [pas] entier. Alors le modèle de Néron [\(E\)] est tel que \(E^0_k\) est [forme de] \(\mathbf{G}_m\). Par suite, on conclut que dans \(p^{\nu}E\) [[quitte à faire une ext. finie sur \(A\) au plus]] il y a un sous-groupe canonique […] forme de \(\mu_{p^{\nu}}\). On trouve ainsi dans \(T_p(E_K)\) un sous-gr., qui est une forme finie de [tordue] de \(T_p(\mathbf{G}_m)\) [[donc aussi […] \(T_p(\mathbf{G}_m)\) […] […] pas]]. Donc si \(k\) est sép. clos, on trouve que \(T_p(E_K)\) admet un sous-module isomorphe [de façon canonique au signe près] à \(T_p(\mathbf{G}_m)\) [\(=\mathbf{Z}_p(1)\)], le quotient étant canoniquement isomorphe à \(\mathbf{Z}_p\) [car \(\det T_p(E_K)\simeq\mathbf{Z}_p(1)\)]. L'extension est ici déterminée par un élément canonique de \(\widehat{K^*}\), ext. de \(\mathbf{Z}_p\) [provenant de \(K^*/A^*\)] par \(A^{**}\). Je conjectureles ajouts sont écrits au-dessus de la ligne et appelés par un trait ; un mot souligné deux fois, « tordue », est écrit au-dessus de « finie de » biffé. La page s'arrête sur « Je conjecture » ; la suite manque.

Gribouillis de Tate sur sa théorie

titre écrit de sa main, en haut à droite d'une feuille par ailleurs blanche (p. 37 des archivistes), qui sert de chemise à la feuille suivante.

38feuille d'une autre main, à l'encre très pâlie, en anglais : d'après la chemise, notes de Tate sur sa théorie (hypothèse « \(L/K\) Galois », anneau des entiers \(R_L\), groupe \(\mathcal{G}=\mathrm{Gal}(L/K)\), un « Thm. » reliant \(\widehat{L}^{\mathcal{G}}=\widehat{K}\) à la nullité de \(H^1(\mathcal{G},R_L)\), suites exactes en \(H^1(\mathcal{G},R_L)\)). Elle n'est pas de lui et n'est pas reproduite ; on n'y voit aucune intervention de sa main.

Questions diverses en théorie de Tate-Hodge

titre écrit de sa main, en haut à droite d'une feuille par ailleurs blanche (p. 39 des archivistes). Le crayon des archivistes porte 50 sur cette chemise et 51 sur la feuille suivante, alors que le fac-similé les place en 39 et 40 : la numérotation suivie ici est celle du fac-similé.

40écrit à l'encre au verso d'une page dactylographiée étrangère au dossier (texte tapé en transparence, non reproduit). Questions a) Théorème […] […] (fonctoriel – multiplicatif en \(X\), et commutant aux transport de structure) \[H_{\mathrm{DR}}(X_{\mathbf{C}})\simeq H_{\mathrm{Hdg}}(X_{\mathbf{C}})\] compatible avec filtrations [du moins] une fois donné un [générateur] \(\varepsilon\in T_\ell(\mathbf{C}^*)\) ?« générateur » est écrit au-dessus de la ligne et appelé par un trait ; les deux mots au-dessus de « filtrations » sont de lecture douteuse.

b) Tout \(\mathbf{Q}_\ell(\pi)\)-module simple, de dim finie sur \(\mathbf{Q}_\ell\), est-il contenu dans un \(\mathbf{C}(i)\) ? Cas où il […] […] fini […] \(M\) et un \(M(i)\), pour \(i\neq 0\) ??« \(\mathbf{C}\) » est écrit sur un autre signe ; lecture douteuse de toute la phrase.

c) Y-a-t-il d'autres conditions sur les \[M=H^i(X_{\mathbf{C}},\mathbf{Z}_\ell)\otimes_{\mathbf{Z}_\ell}\mathbf{Q}_\ell\] que celles résultant de la conjecture de Tate ?

d) Construction des morphismes de Tate \[H^{pq}_{\mathrm{D}}(X)_K\simeq H^q(X,\Omega^p_X)\] l'exposant du premier membre est de lecture douteuse.

e) Lien de ces structures avec les connexions canoniques ??

f) Lien avec Washnitzer-Monsky ?