J'ai réfléchi aux groupes formels et à la cohomologie de De Rahm, et suis
arrivé à un projet de théorie, ou plutôt de début de théorie, que j'ai envie de
t'exposer, pour me clarifier les idées.
Chapitre 1
La notion de cristal.
Commentaire terminologique : Un cristal possède deux propriétés caractéristiques :
la rigidité, et la faculté de croitre, dans un voisinage approprié.
Il y a des cristaux de toute espèce de substance : des cristaux de soude, de
souffre, de modules, d'anneaux, de schémas relatifs etc.
1.0.le numéro « 1.0. » est ajouté à l'encre, dans la marge de gauche.
Soit S un préschéma, au dessus d'un autre R ; dans le cas qui nous
intéressera le plus, on aura R=\operatorname{Spec}(\underline{Z}). Soit C la
catégorie des R-préschémas T sous S, (i.e. munis d'un
R-morphisme S\to T,) tels que S\to T soit une immersion fermée
définie par un idéal localement nilpotent.« R- » et « T » sont ajoutés
à l'encre au-dessus de la ligne, les parenthèses autour de « i.e. … S\to T, » aussi.
On a le foncteur « oubli » de C dans (\mathrm{Sch}), et la catégorie fibrée
des Modules quasi-cohérents sur des préschémas variables induit donc une
catégorie fibrée sur C, associant à tout T la catégorie des Modules
quasi-cohérents sur T.
Définition 1.1. On appelle cristal de modules (sous-entendu :
quasi-cohérents) sur S, relativement à R, une section cartésienne de la
catégorie fibrée précédente au dessus de C. Plus généralement, pour toute
catégorie fibrée \underline{F} sur (\mathrm{Sch})_{/R}, on définit la
notion de « \underline{F}-cristal » sur S, ou « cristal en objets de
\underline{F} », de la façon correspondante. Ceci donne un sens aux
expressions : cristal en algèbres, en algèbres commutatives, en préschémas
relatifs etc, sur S relativement à R. Quand
R=\operatorname{Spec}(\underline{Z}), on parlera de « cristal absolu » sur
S, de l'espèce considérée.
1.2. Les \underline{F}-cristaux sur S forment une catégorie, qui dépend
fonctoriellement de \underline{F}. Ceci permet, en particulier, de définir sur
la catégorie des cristaux de modules sur S les opérations tensorielles
habituelles : produit tensoriel de deux cristaux de modules etc, satisfaisant
aux propriétés habituelles.
p. 2 de la lettre.
1.3. Regardons de même ce qui se passe quand on fixe \underline{F} et fait
varier R,S. Tout d'abord, si S\to R'\to R, alors tout cristal sur S
relativement à R en définit un relativement à R', par simple restriction.
En particulier, un cristal absolu définit un cristal relatif, pour tout
préschéma de base R de S.
Fixons maintenant R,S et soit S'\to S un morphisme. On définit alors de
façon naturelle un foncteur « image inverse » allant des cristaux de type
\underline{F} sur S vers les cristaux de même type sur S' (tout relatif
à R). Pour s'en assurer, il suffit de définir un foncteur C'\to C (où C'
est défini en termes de S' comme C en termes de S), compatible avec les
foncteurs « oubli ». Or si S'\to T' est un objet de C', il y a une
construction évidente de somme amalgamée dans la catégorie des préschémas, qui
donne un T=S\amalg_{S'}T' et un morphisme S\to T, qui fait de T un objet
de C, ce qui définit le foncteur cherché.
On peut donc dire que pour un S variable sur R, les cristaux de type
\underline{F} sur S forment une catégorie fibrée sur
(\mathrm{Sch})_{/R}, grâce à la notion d'image inverse précédente.
Les deux variances (en R, et en S) sont compatibles dans un sens évident,
et peuvent être régardées comme provenant d'une variance en (R,S)
directement.
1.4. On a un foncteur naturel et évident qui va des cristaux de modules
(disons) sur S (rel à R) dans des Modules quasi-cohérents sur S : c'est
le foncteur « valeur en S ». On fera attention que ce foncteur n'est en
général pas même fidèle (cf exemple 1.5. plus bas).« 1.5. » est
écrit à l'encre dans un blanc laissé par la machine. Il est donc un peu
dangereux de vouloir considérer un cristal de modules sur S comme étant un
Module quasi-cohérent \underline{M} sur S, muni d'une structure
supplémentaire, sa « structure cristalline ». Dans certains cas cependant
(cf 1.8.), le foncteur cristaux de modules \rightsquigarrow Modules est
fidèle et le point de vue précédent devient plus raisonnable,
1.5. Exemple 1 : relations avec les vecteurs de Witt. Supposons
que S soit le spectre d'un corps parfait k, et
R=\operatorname{Spec}(\underline{Z}). Soit W l'anneau de Cohen de corps
résiduel k : si \mathrm{car}\,k>0, c'est l'anneau des vecteurs de Witt
défini par k, si \mathrm{car}.k=0, c'est k lui-même; dans ce
dernier cas, supposons k algébrique sur \mathbf{Q}.ajout à
l'encre, écrit dans l'interligne et relié par un trait au point, qu'il
change en point-virgule ; « algébrique » est souligné. Alors il est bien connu
que la catégorie C de 1.0.
p. 3 de la lettre.
est équivalente à celle des W-algèbres locales, annulées par une puissance
de l'idéal maximal de W, à extension résiduelle triviale. Ecrivant
W=\varprojlim W_n comme à l'accoutumé, dans le cas p>0, on trouve que la
donnée d'un cristal de modules (absolu) sur k équivaut à celle d'un système
projectif (M_n) « p-adique » de modules M_n sur les W_n ; donc les
cristaux de modules de présentation finie sur k forment une catégorie
équivalente à celle des modules de type fini sur W. Si p=0, alors la
catégorie des cristaux de modules sur k est équivalente à celle des
vectoriels sur k=W. Ces descriptions sont compatibles avec les notions de
changement de base pour k variable. Elles se formulent évidemment pour toute
autre espèce de cristaux, défini par une catégorie fibrée \underline{F}.
Dans le cas envisagé, le foncteur « valeur en S », sur la
catégorie des cristaux de présentation finie sur k, s'identifie au foncteur
\otimes_W k sur la catégorie des modules de type fini sur W, foncteur qui
(si p>0) n'est pas fidèle.
1.6. Exemples 2 : S étale sur R.ajout à l'encre
au-dessus de « Si S=R », que le trait d'appel embrasse. Si S=R, la
catégorie C admet R lui-même comme objet final, donc le foncteur « valeur
en R » est une équivalence de la catégorie des cristaux sur R, de type
\underline{F} donné, avec la catégorie \underline{F}_R. En particulier, un
cristal de modules sur \operatorname{Spec}\underline{Z} est essentiellement
la même chose qu'un \underline{Z}-module.
De façon un peu plus générale, si S est étale sur R, alors S est un
objet final de C, et les cristaux de modules (disons) sur S, relativement à
R, s'identifient aux Modules quasi-cohérents sur S.
1.7. Relations avec la notion d'objet stratifié Exemple 3 :
S un sous-objet de préschéma de R.les mots
biffés le sont à la machine. Comme la notion de cristal relatif sur S ne
change pas si on remplace R par un ouvert par lequel se factorise S, on peut
supposer S fermé dans R, défini par un Idéal quasi-cohérent J. Soit
S_n=V(J^{n+1}) le n.ème voisinage infinitésimal de R dans
S.sic : lire « de S dans R ». Alors la famille des objets S_n
de C est finale dans C, d'où on conclut facilement qu'un cristal de type
\underline{F} sur S s'identifie à une suite (M_n)_{n\in\underline{N}}
d'objets des \underline{F}_{S_n} qui se recollent. En particulier, si R est
localement noethérien, un cristal de modules sur S relativement à R, de
présentation finie, s'identifie à un Module cohérent sur le complété formel de
R le long de S.
p. 4 de la lettre.
Cet exemple contient le cas de \mathrm{car}.p>0 de l'éxemple 1, si on note
qu'a priori, grâce à Cohen, un cristal absolu sur k, c'est pareil
qu'un cristal relativement à W.
On peut aussi donner un énoncé commun aux exemples 2 et 3, en partant du cas
où on se donne un S\to R non ramifié, ce qui permet en effet de
construire encore des « voisinages infinitésimaux » S_n.
1.8. Relation avec la notion de stratification. Les données
R,S,\underline{F} étant comme d'habitude, considérons pour chaque entier
n\geqslant 0 le voisinage infinitésimal \Delta_n de la diagonale de
S\times_R S, qui s'envoie dans S par les deux projections
\mathrm{pr}_1 et \mathrm{pr}_2. Si E est un objet de
\underline{F}_S, une n-connexion sur E (relativement à R) est
la donnée d'un isomorphisme \mathrm{pr}_1^*(E)\simeq\mathrm{pr}_2^*(E) qui
induit l'identité sur la diagonale. Une \infty-connexion ou
pseudo-stratification de E, est la donnée pour tout n d'une
n-connexion, de telle façon que ces n-connexions se recollent. Enfin, une
stratification sur E est la donnée d'une pseudo-stratification qui
satisfait aux conditions formelles d'une donnée de descente, quand on fait
intervenir les voisinages infinitésimaux de tous ordres de la diagonale
de S\times_R S\times_R S.« la diagonale de » est ajouté à l'encre
au-dessus de la ligne. Ces notions donnent lieu à des sorites analogues à
ceux de 1.2. et 1.3. Notons que lorsque S est « formellement non ramifié
sur R » i.e. \underline{\Omega}^1_{S/R}=0, alors toutes ces notions
deviennent triviales : un objet E admet alors toujours exactement une
connexion de tout ordre, donc une seule pseudo-stratification, et celle-ci est
une stratification : donc la catégorie des objets de F_S munis d'une
stratification relativement à R est alors équivalente, par le foncteur
« valeur en S », à la catégorie \underline{F}_R elle même.sic
(\underline{F}_R pour \underline{F}_S ?). (Dans tous les cas, le foncteur
« valeur en S » est en tous cas fidèle).« en tous cas » biffé
à l'encre.
Ceci défini,correction à l'encre sur le mot tapé, qu'elle
recouvre. on voit que pour tout cristal \underline{M} sur S de type
\underline{F} (relativement à R), sa valeur
\underline{M}(S)=M est un objet de \underline{F}_S muni d'une
stratification canonique relativement à R, d'où un foncteur :
cristaux relatifs de type \underline{F} \rightsquigarrow objets de
\underline{F} munis d'une stratification. La remarque de 1.4. montre
d'ailleurs que ce foncteur n'est pas toujours fidèle. Il y a cependant des cas
intéressants
p. 5 de la lettre.
où ce foncteur est une équivalence de catégories : il en est en tous cas
ainsi si S\to R est « formellement lisse », par exemple si c'est un
morphisme lisse, ou si S et R sont des spectres de corps k_0,k, avec k
une extension séparable de k_0. Dans ce dernier cas(Quand
d'ailleurs S\to R est même formellement étale, alors les deux catégories :
celle des cristaux et celle des objets à stratification, deviennent
d'ailleurs équivalentes, par le foncteur « valeur en
S », à \underline{F}_S lui-même, ce qui nous redonne l'exemple à la
noix de 1.5 où k est de car. nulle).« Dans ce dernier cas » est
biffé à la machine, « d'ailleurs » à l'encre. Sauf erreur, on a encore une
équivalence de catégories si S\to R est plat et localement de
présentation finie, (du moins si R loc. noeth., et se bornant aux
Modules cohérents), mais je n'ai pas écrit de démonstration.ajout à
l'encre dans l'interligne, relié par un trait à la virgule ; le soulignement
de « plat et localement de présentation finie » est de sa main.
1.9. Une digression sur la notion de stratification en caractéristique
nulle. Quand S est lisse sur R (en fait, il suffit que S soit
différentiellement lisse sur R, i.e. le morphisme diagonal
S\to S\times_R S une immersion régulière), et si R est de caractéristique
nulle, alors une stratification d'un Module M sur S (relativement à R)
est connue quand on connait la 1-connexion qu'elle définit, et on peut se
donner celle-ci arbitrairement, soumise à la seule condition que le « tenseur
courbure », qui est une certaine section de
\underline{\Omega}^2_{S/R}\otimes\underline{\mathrm{End}}(M), soit nul.
(Cela peut aussi s'exprimer en disant qu'on fait opérer le faisceau
\underline{\mathrm{Dér}}_{S/R} des dérivations relatives de S sur R, sur
M, de façon à satisfaire aux relations habituelles, y compris celle de
transformer crochet en crochet). J'ignore dans quelle mesure
la propriétél'hypothèse de lissité est nécessaire pour cet
énoncé,« propriété » biffé, « hypothèse » tapé dans l'interligne,
« la » corrigé en « l' ». ou si (dans le cas lisse disons) on peut formuler
un énoncé analogue pour toute catégorie fibrée \underline{F} sur
(\mathrm{Sch})_{/R}. Mais bien entendu, l'hypothèse de caractéristique nulle
faite sur R est tout à fait essentielle. Si R est de caractéristique p>0,
l'énoncé qui remplace le précédent (et qui sauf erreur est dû à Cartier) est
que dans ce cas, la donnée d'une « connexion sans torsion » sur M
« compatible avec puissances p.ièmes »ajout à l'encre dans la
marge de gauche, appelé par un trait après « M ». équivaut à une « donnée
de descente » sur M relativement à frobenius S\to S^{(p/R)}. Il y a loin
de là à une rigidifi stratification !
1.10. La notion de p-cristal et ses variantes.
Nous supposons maintenant que S est de caractéristique p>0,
p. 6 de la lettre.
et R=\operatorname{Spec}(\underline{Z}) (ou
\operatorname{Spec}(\underline{Z}_p), spectre des entiers p-adiques, cela
reviendrait au même). Si \underline{M} est un cristal de modules sur S,
de présentation finie, alors en vertu de 1.5., pour tout s\in S, si
s' est le spectre d'une clôture parfaite de k(s), l'image inverse
\underline{M}(s') de \underline{M} en s' peut être interprétée comme un
module de type fini sur l'anneau des vecteurs de Witt W(k(s')).« de
présentation finie, » est tapé dans l'interligne et appelé à l'encre. Ainsi,
la notion de cristal de modules sur S (au sens absolu) semble convenable pour
formaliser la notion de « famille algébrique » de modules sur les
anneaux de vecteurs de Witt aux différents points parfaits au dessus de
S.« algébrique" » est tapé dans l'interligne et appelé à l'encre ; le
soulignement est en partie de sa main. Bien entendu, la notion de cristal est
plus fine que ça encore, et doit donner, j'espère, la bonne notion de
« famille » lorsque, disons, S est le spectre d'un corps de fonctions (donc
pas nécessairement parfait). Je vais maintenant introduire une structure
supplémentaire, qui devrait permettre de formuler, de même, la notion de
« famille algébrique de modules de Dieudonné », paramétrée par S,
Considérons le morphisme « puissance p.ème »
S\xrightarrow{\ \mathrm{frob}_S\ }S\ ,
il permet d'associer, à tout cristal (absolu) sur S, d'espèce quelconque, un
cristal image inverse :
\underline{M}^{(p)}=\mathrm{frob}_S(\underline{M})\ .
On appelle p-cristal sur S un cristal \underline{M} sur S, muni
d'un morphisme de cristaux
F\colon \underline{M}^{(p)}\longrightarrow\underline{M}\ .
Evidemment, les p-cristaux sur S d'espèce \underline{F} donnée
forment encore une catégorie, dépendant fonctoriellement de \underline{F}
(pour les foncteurs covariants cartésiens de catégories fibrées), ce qui
permet par exemple, pour les p-cristaux de modules sur S, d'introduire
toutes les opérations tensorielles habituelles covariantes (produits
tensoriels, puissances alternées et symétriques etc). Pour formuler
définir le dual d'un p-cristal de modules, il y a lieu d'introduire
une notions duale de celle de p-cristal d'espèce \underline{F}, c'est celle
de p^{-1}-cristal d'espèce \underline{F} : c'est un cristal
d'espèce \underline{F}, avec un morphisme de cristaux en sens inverse :
p. 7 de la lettre.
V\colon \underline{M}\longrightarrow\underline{M}^{(p)}\ .
Ainsi un contra-foncteur cartésien entre catégories fibrées sur
(\mathrm{Sch}) transforme p-cristaux en p^{-1}-cristaux, et inversement.
Les p^{-1}-cristaux de modules se multiplient tensoriellement entre eux comme
les p-cristaux de modules.
Pour obtenir une notion « autoduale », il y a lieu d'introduire la notion de
bi-cristal de poids 1 sur S, qu'on pourrait aussi appeler
un cristal de Dieudonné sur S, lorsque \underline{F} est fibré en
catégories additives : c'est un cristal muni à la fois d'une p-structure et
d'une p^{-1}-structure, satisfaisant aux relations
FV=p.\,\mathrm{id}_M,\qquad VF=\mathrm{id}_{M^{(p)}}\ .
« contra- » et « de poids 1 » sont tapés dans l'interligne et appelés à
l'encre ; le « p. » manque dans la seconde relation, qui est donnée comme
tapée.
Cette notion semble tout à fait adéquate à l'étude des groupes formels, ou ce
qui revient moralement au même, à l'étude de la cohomologie de De Rham en
dimension 1. En dimensions supérieures i, il y a
lieu d'introduire la notion de bi-cristal de poids i, qui est un
cristal muni de F et V satisfaisant aux relations
FV=p^i\,\mathrm{id}_M\ ,\qquad VF=p^i\,\mathrm{id}_{M(p)}\ .
Par exemple, on définit le bicristal de Tate de poids 2i, qui est
défini par le cristal de modules unité (associant à tout T sous S le
Module \underline{O}_T lui-même), et les morphismes de cristaux
F=p^i\,\mathrm{id}_{T^i}\ ,\qquad V=p^i\,\mathrm{id}_{T^i}\ .
2idans la marge de gauche, entouré, à hauteur de « poids
2i », où le chiffre tapé a été refrappé ; l'indice est tapé « T\,i ».
Ainsi le bicristal de Tate de poids 2i est la puissance tensorielle i.ème
du bicristal de Tate de poids 1.sic : « poids 1 » ; d'après ce qui
précède on attendrait le poids 2, celui de T^1 en 1.11. (NB les bicristaux
de poids quelconques se multiplient tensoriellement, de sorte
façon que les poids s'ajoutent).« façon » à l'encre, sur le mot
tapé.
1.11. Si on veut « rendre inversible » le bicristal de Tate T^1, on est
obligé, qu'on le veuille ou non, de passer à une catégorie de fractions de la
catégorie des cristaux de modules sur S, [qui entre parenthèses est une
catégorie \underline{Z}_p-linéaire, (i.e. les Hom sont des
\underline{Z}_p-modules …), tout comme les catégories de p-cristaux
etc qu'on en déduit]. Il revient donc au même de passer à une catégorie de
fractions, en déclarant qu'on veut rendre notre catégorie abélienne
\underline{Q}-linaire, ou en déclarant qu'on la veut rendre
\underline{Q}_p-linéaire : il faut faire le quotient par la sous-catégorie
abélienne épaisse formée des objets de torsion, qui sont aussi des objets de
p-torsion (et cela revient simplement à garder les mêmes objets, et à
prendre comme nouveaux Hom les \mathrm{Hom}\otimes_{\underline{Z}}\mathbf{Q}.).ajout
à l'encre au pied de la page, encadré et appelé après « p-torsion » ; les
crochets sont aussi de sa main. On trouve la catégorie des « cristaux
de modules
p. 8 de la lettre.
à isogénie près », ou isogristauxsic., sur S. Utilisant cette
nouvelle notion, on définit comme ci-dessus la notion de p-isocristal, comme
étant la donnée d'un isocristal \underline{M} muni d'un homomorphisme
F\colon\underline{M}^{(p)}\to\underline{M}. La notion de bi-isocristal de
poids i, qui serait calquée de celle de bicristal de poids i, n'est pas
très raisonnable alors, car V doit être alors donné en termes de F comme
p^iF^{-1}. Il y a lieu plutôt d'appeler bi-isocristal (sans
précision de poids) un p-isocristal pour lequel F est un
isomorphisme, et de ne pas choisir entre les différents p^iF^{-1}
possibles ; il vaut mieux également ne pas parler ici de
p^{-1}-isocristal, la notion intéressante étant celle de bi-isocristal, qui
est manifestement autoduale : si \phi est un foncteur
contravariant de catégories fibrées sur quand on se restreint aux objets
de type fini : le dual de (\underline{M},F) est
(\underline{M},{}^tF^{-1}), où \underline{M} est le iso-cristal dual de
M.la ligne biffée l'est à la machine et à l'encre ; « quand on se
restreint aux objets de type fini : » est tapé dans l'interligne. Aucun signe
ne distingue, dans « (\underline{M},{}^tF^{-1}) », le dual de
\underline{M} : sic.
On peut également, bien sûr, localiser par rapport à p en partant déjà de la
catégorie des bi-cristaux de poids i, on trouve les bicristaux de
poids i à isogénie près, qui forment une catégorie abélienne
\mathrm{Isbicr}(S,i), et un foncteur exact « oubli de V »
\mathrm{Isbicr}(S,i)\longrightarrow\mathrm{Isbicr}(S)\ ,
à valeurs dans la catégorie \mathrm{Isbicr}(S) des iso-bicristaux sur S.
dans les deux premières occurrences, « bi » est ajouté au sigle
« Iscr » tapé d'abord. Ce foncteur est pleinement
fidèle, de sorte que les bi-isocristaux forment une
généralisation commune des bicristaux de poids i à isogénie près.
un mot à l'encre, biffé, précède « pleinement fidèle » ; le préfixe de
« … cristaux » est refrappé et se lit mal. Pour préciser ce point,
désignant par \mathrm{Bicr}(S,i) la catégorie des bicristaux de poids i sur
S, il y a lieu d'introduire des foncteurs canoniques
\mathrm{Bicr}(S,i)\longrightarrow\mathrm{Bicr}(S,i+1)\longrightarrow\cdots,
donnés par (\underline{M},F,V)\rightsquigarrow(\underline{M},F,pV). Quand on
localise ces foncteurs par p, on trouve des foncteurs
\mathrm{IsBicr}(S,i)\longrightarrow\mathrm{IsBicr}(S,i+1)\longrightarrow\cdots
qui se trouvent être pleinement fidèles : on peut donc considérer que,
pour i croissant, la notion de « bicristal de poids i, à isogénie près »
constitue une généralisation de plus en plus large de celle de « cristal de
Dieudonné ». La noti-
p. 9 de la lettre.
on de « bi-isocristal » est à ce titre une
1.12. Exemple 1 : Cas où S est le spectre d'un corps parfait
k. Alors la donnée d'un cristal de modules de type fini sur k équivaut à la
donnée d'un module de type fini M sur W, la formation du motif
\underline{M}^{(p)} correspond à la formation de
M^{(p)}=M\otimes_W(W,f_W)\ ,
où f_W est l'endomorphisme de frobenius de W, et (W,f_W) est la
W-algèbre définie par f_W. Par suite un structure de p-cristal sur M
revient à la donnée d'un homomorphisme de W-modules M^{(p)}\to M, ou si on
préfère, à la donnée d'un homomorphisme f_W-semi-linéaire
F_M\colon M\longrightarrow M\ .
Comme l'application x\mapsto x\otimes 1 de M dans M\otimes_W(W,f_W) est
bijective, f_W étant un automorphisme de W, on peut considérer la bijection
inverse, qui est f_W^{-1}-semi-linéaire. Par suite, la donnée d'une
p^{-1}-structure sur M revient à la donnée d'un homomorphisme
f_W^{-1}-linéaire :
V_M\colon M\longrightarrow M\ .
La donnée d'un couple (F,V) définit sur M une structure de bi-cristal de
poids i si et seulement si on a
FV=VF=p^i\,\mathrm{id}_M\ .
En particulier, pour i=1, on retrouve la notion de module de
Dieudonné : la catégorie des cristaux de Dieudonné sur k est canoniquement
équivalente à celle des modules de Dieudonné relativement à k.
La catégorie des isocristaux de type fini sur k est équivalente à la
catégorie des vectoriels de dimension finie sur le corps des fractions
K
p. 10 de la lettre.
Toutes ces descriptions sont compatibles avec les opérations tensorielles, et
la formation d'images inverses pour k variable.
On peut se demander, avec la description précédente des bi-isocristaux, quels
sont ceux qui sont dans l'image essentielle de
\mathrm{Isbicr}(S,i)\to\mathrm{Isbicr}(S), On trouve que ce sont les couples
(E,F), E un vectoriel sur K et F un automorphisme semi-linéaire, tels
que, si on pose V=p^iF^{-1}, pour tout x\in E, l'ensemble de ses
transformés par les différents monômes non commutatifs en F,V soit une
partie bornée de E : c'est une pure tautologie.la lettre E
est refrappée sur un V. Pour qu'il existe un i ayant cette propriété, il
faut et il suffit que pour tout x\in E, l'ensemble des F^nx soit borné.
Bien entendu, c'est là une propriété qui est stable par changement de F en
pF (correspondant à la tensorisation par le bi-isocristal de Tate de poids
2), mais non par le changement de F en p^{-1}F (correspondant à la
tensorisation par l'inverse T^{-1} du bi-isocristal précédent). Comme on
tient beaucoup à inverser Tate, on voit qu'il n'est pas naturel, en effet, de
poser une condition de croissance sur l'ensemble des itérés de F. De façon
précise, appelant effectifs les bi-isocristaux qui proviennent d'un
objet d'un \mathrm{Isbicr}(S,i), on voit que tout bi-isocristal est de la
forme T^{-i}\otimes\underline{N}, avec \underline{N} effectif : on n'a pas
ajouté plus de nouveaux objets qu'il n'était absolument nécessaire !
1.13. Exemple 2 : S lisse sur un corps parfait k.
Déterminons d'abord dans ce cas les cristaux sur S, sans plus. Tout d'abord,
sans condition de lissité, on voit à l'aide de la propriété caractéristique de
W que la catégorie C introduite dans 1.0. ne change pas,
essentiellement, quand on remplace R=\operatorname{Spec}(\underline{Z})
par R=\operatorname{Spec}(W). D'autre part, il résulte aussitôt des
définitions que la donnée d'un cristal sur S, relativement à W, revient à
la donnée d'un système cohérent de cristaux sur S, relatifs aux
W_n=W/p^{n+1}W. (NB On n'a pas formulé avec la généralité qui convenait
l'exemple 3 de 1.7. ! ) Théoriquement, on est donc ramené à déterminer, pour
chaque n, la catégorie des cristaux sur S relatifs à W_n, et les
foncteurs restriction entre ces catégories. D'ailleurs, il est inoffensif de se
localiser sur S, par exemple de supposer au besoin S affine. Utilisant
maintenant la lissité de S, on peut donc supposer que pour tout n, S se
remonte en
p. 11 de la lettre.
un S_n lisse sur W_n, de façon que ces choix se recollent (il suffit pour
ceci S lisse et affine). Or, il résulte encore facilement des définitions,
utilisant seulement que S=S_0\to S_n est une immersion fermée définie par un
Idéal nilpotent, que le foncteur restriction des cristaux sur S_n
(relativement à une base quelconque – ici on prendra W_n) vers les
cristaux sur S_0, est une équivalence de catégories, donc un cristal sur S
relativement à W_n s'identifie à un cristal sur S_n relativement à
W_n. Comme S_n est lisse sur W_n, il résulte de ce qui a été dit dans
1.8. que les cristaux en question s'identifient aux objets (de l'espèce
\underline{F} considérée) sur S_n, munis d'une stratification
relativement à R_n=\operatorname{Spec}(W_n). Les foncteurs restrictions sur
les cristaux s'expriment alors par les foncteurs restrictions correspondants
pour objets stratifiés. En résumé : un cristal \underline{M}
sur S s'identifie à un système cohérent (M_n) d'objets
à stratification sur les différents S_n sur
R_n=\operatorname{Spec}(W_n).« sur S_n » et « \underline{M} »
sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre. Pour relier ceci à des
objets qui soient plus dans la nature d'objets « définis en caractéristique
nulle », supposons d'abord que l'on puisse même relever S en un schéma X
propre sur R=\operatorname{Spec}(W), hypothèse évidemment bien
restrictive. On voit alors, utilisant les théorèmes de comparaison EGA III 4,5
que dans le cas de cristaux de modules cohérents sur S, la
catégorie desdits est canoniquement équivalente à la catégorie des Modules
cohérents \underline{M} sur X, munis d'une stratification
relativement à R=\operatorname{Spec}(W). (NB Il se trouve donc, à
posteriori, que cette dernière catégorie est essentiellement indépendante du
relèvement choisi X de S). Considérant la fibre générique X_K de X sur
R, qui est un schéma propre et lisse sur un corps de caractéristique nulle,
on trouve donc un foncteur remarquable « restriction » ou « localisation »,
allant de la catégorie des cristaux de modules cohérents sur S, dans la
catégorie des Modules cohérents sur X_K, stratifiés relativement à X_K. Or
(oubli de 1.8.) on voit facilement qu'un Module cohérent stratifié sur un
préschéma localement de type fini sur un corps est nécessairement localement
libre. De plus comme ici K est de caractéristique nulle et X_K lisse
dessus, on a signalé dans 1.8. que la notion de stratification s'explicite
très simplement comme celle de « connexion inté-« et X_K lisse
dessus » est tapé dans l'interligne et appelé à l'encre. « stratifiés
relativement à X_K » : sic (on attendrait « à K »).
p. 12 de la lettre.
grable ». [Enfin, lorsque S donc X_K est géométriquement connexe, et que
K peut se plonger dans le corps des complexes \underline{C}, alors la notion
de module cohérent à connexion intégrable sur X_K s'interprète en termes de
représentations linéaires (complexes) du groupe fondamental transcendant
de X_{\underline{C}}^{\mathrm{an}}, de façon bien connue.« ex » est
récrit à l'encre sur le mot tapé « connexion », mal frappé ; « (complexes) »
est tapé dans l'interligne, appelé à l'encre, avec un signe de vérification en
marge droite. Si par exemple le groupe fondamental transcendant est le groupe
unité, alors on conclut par descente que tout Module cohérent stratifié sur
X_K est trivial, ce qui en termes de S s'énonce en disant que tout cristal
de modules cohérents sur S est isogène à un cristal « constant », i.e.
à un cristal qui est l'image inverse d'un cristal sur k, (lui-même
défini par un module de type fini sur W).« à un cristal » à
l'encre au-dessus d'un mot biffé à la machine ; les parenthèses sont de sa
main. De ceci et de la rigidité de la notion de cristal on déduit, par
exemple, facilement que tout p-cristal cohérent sur S ou tout
bi-cristal de poids i donné (par exemple tout cristal de Dieudonné) est
isogène à un fourbis de même espèce trivial.« facilement » est
entouré à l'encre et les virgules qui l'isolent ajoutées, comme pour le
déplacer. On voit donc là un principe d'approche transcendante pour l'étude
des familles de groupes formels (par exemple) en caractéristique p
…]les crochets sont tracés à l'encre. Quand à la notion
d'isocristal (de modules cohérents) sur S, on constate aussitôt que le
foncteur précédent induit un foncteur pleinement fidèle de la catégorie
de ces derniers, dans la catégorie des modules cohérents stratifiés sur X_K.
Il s'impose évidemment d'en déterminer l'image essentielle, et pour commencer
d'examiner quelle est l'im si par hasard ce foncteur ne serait pas une
équivalence de catégories. Cela me semble un peu trop
optimisteEffectivement, ça ne marche pas !, mais je ne
suis sûr de rien, faute d'avoir regardé.« trop optimiste » est souligné
d'un trait ondulé à l'encre qui mène à la note marginale, à gauche. Tout ce
qu'on peut dire à priori, c'est que la condition cherchée sur un Module
stratifié doit être, à priori de nature locale en les points de X
qui sont maximaux dans S.
Quand on ne suppose pas S remonté propre et remonté globalement,
mais qu'on suppose seulement qu'on a remonté S formellement, en un
schéma formel X sur R, alors il est vrai (en fait, de façon
essentiellement triviale) que la catégorie des cristaux de modules
cohérents sur S est équivalente à la catégorie des Modules cohérents
sur le schéma formel X, munis d'une stratification relativement à
\operatorname{Specf}(W)=\mathcal{R} (quand on transcrit de façon évidente
toutes les définitions envisagées dans 1.8. dans le cadre formel).le
\mathcal{R} final est de sa main. Si on veut encore,
p. 13 de la lettre.
comme il est légitime, trouver un analogue pour la restriction à X_K
envisagée plus haut, il faut définir X_K comme l'espace
rigide-analytique sur K défini par le schéma formel X, et considérer sur
X_K des Modules cohérents munis de connexions stratifications
au sens rigide-analytique, ou ce qui revient au même, de connexions
intégrables en ce sens. De tels Modules sont encore nécessairement
localement libres.« envisagée » est à l'encre ; « en ce sens » est tapé
dans l'interligne et appelé à l'encre. On trouve ainsi un foncteur des
cristaux de Modules cohérents sur S dans les Modules cohérents stratifiés sur
X_K, induisant un foncteur pleinement fidèle de la catégorie des isocristaux
cohérents sur S, dans la catégorie des Modules cohérents stratifiés sur
X_K. Comme tout à l'heure (et même plus, si on peut dire, car c'est vraiment
ici la situation « naturelle »), il s'impose de regarder quelle est l'image
essentielle. On peut également se demander si les Modules cohérents stratifiés
sur un espace rigide-analytique n'admettraient pas une description simple, en
termes d'un groupe plus ou moins discret jouant le rôle du groupe fondamental
dans la théorie transcendante sur le corps des complexes.
La description donnée des cristaux sur S, toute triviale qu'elle soit,
a déjà des conséquences intéressantes pour la structure de la catégorie des
cristaux de modules cohérents sur S : cette catégorie est
noethérienne (si S est noethérien i.e. de type fini sur k), tout objet
contient donc un plus grand sous-objet de torsion, de plus les objets sans
torsion correspondent dans la description ci-dessus aux Modules
stratifiés sans torsion sur X, lesquels sont alors automatiquement
localement libres. Il est bien probable que des résultats analogues doivent
être vrais, sans hypothèse du genre lissité sur S.les ajouts de
ce paragraphe sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre, sauf la
virgule, à l'encre ; un numéro tapé en tête de ligne, avant « La
description », est biffé à la machine.
1.14. Il faut encore expliciter, dans la description générale précédente, le
donnée foncteur M\rightsquigarrow M^{(p)}, pour pouvoir décrire de
façon analogue les bicristaux et bi-isocristaux. De façon générale, si en plus
de la donnée de S sur k, on a un S' lisse sur k' parfait, et des
morphismes S'\to S et \operatorname{Spec}(k')\to\operatorname{Spec}(k)
donnant lieu à un carré commutatif, et si enfin on peut relever S'
formellement en X', et S'\to S en X'\to X, donnant un carré commutatif
avec \operatorname{Spec}W'\to\operatorname{Spec}W, alors la notion d'image
inverse de cristaux de modules cohérents, de S à S', s'explicite en termes
d'image inverse de Modules cohérents stratifiés, de X
p. 14 de la lettre.
à X'. Lorsque k=k', S=S', et que les morphismes envisagés sont les
puissances p.èmes, on est donc conduit à chercher à prolonger
relever ce morphisme à X de façon compatible avec le morphisme
\operatorname{Specf}(W)\to\operatorname{Specf}(W) déduit de f_W, ou ce qui
revient au même, de relever le morphisme canonique S\to S^{(p/k)} en un
morphisme de R-schémas formels X\to X\times_R(R,f_R).le « f » de
« Specf » paraît récrit sur la parenthèse tapée. C'est en tous cas toujours
possible si S est affine, cas auquel on peut se ramener. Ayant donc ainsi un
morphisme
f_X\colon X\longrightarrow X\ ,
compatible avec f_R sur R=\operatorname{Specf}(W), et induisant f_S sur
S, le foncteur \underline{M}\rightsquigarrow\underline{M}^{(p)} s'explicite
comme l'image inverse ordinaire de Modules stratifiés sur X relativement à
R, resp. (dans le cas de isocristaux) de Modules stratifiés sur l'espace
rigide-analytique X_K, pour le « morphisme » X_K\to X_K d'espaces
rigide-analytiques (relatif à f_K sur le corps de base !) induit par f_X.
Bien que f_X et par suite f_{X_K} soit loin d'être unique, le foncteur
envisagé qu'il définit ne dépend pas, essentiellement, des choix
faits.
1.15. Bicristaux et biisocristaux sur une base quelconque. Ne supposons
plus nécessairement S de caractéristique déterminée p. Pour chaque nombre
premier p, soit S_p la fibre V(p.1_{\underline{O}_S}) de S sur le point
p\underline{Z} de \operatorname{Spec}(\underline{Z}). Un bicristal de poids
i sur S est par définition la donnée d'un cristal de modules
\underline{M} sur S, et pour chaque p d'une structure de bi-cristal de
poids i sur la restriction \underline{M}_p de \underline{M} à S_p,
définie par la donnée de F_p,V_p. On définit de même la notion de
bi-isocristal sur S, étant entendu qu'un isocristal est un objet de la
catégorie des isocristaux sur S (comme de juste), définie à partir de la
catégorie des cristaux de modules en « localisant » par rapport à des entiers
n>0 arbitraires, i.e. en tensorisant les Hom sur \underline{Z} par
\underline{Q}. – Lorsque S est de caractéristique nulle, le supplément de
structure impliqué par « bi » est évidemment vide, tandis que si S est de
caractéristique p, on retrouve les notions de 1.10. Lorsque enfin S est de
type fini sur \underline{Z} et domine \operatorname{Spec}(\underline{Z}),
alors la notion envisagée est d'une nature essentiellement arithmétique, les
différents F_p jouant le rôle d'homomorphismes de frobenius, comme de bien
entendu ; dans le cas du poids 1, en
p. 15 de la lettre.
particulier, on peut considérer que le cristal avec sa bi-structure
supplémentaire permet de relier entre eux les groupes formels en les diverses
caractéristiques auxquels il donne naissance …
1.16. Un retour en arrière. La définition 1.1. et le sorite 1.3. sont
un petit peu canulés. Au lieu de prendre dans 1.0. pour C la catégorie des
R-flèches S\to T qui …, il faut prendre la catégorie des
R-flèches U\to T qui …, où U est un ouvert induit non précisé de
S. De plus, la définition n'est guère raisonnable alors que si la catégorie
fibrée envisagée \underline{F} est un « champ » pour la topologie de Zariski
sur (\mathrm{Sch})_{/R}, i.e. si on peut y recoller flèches et objets. Ceci
est nécessaire en tous cas pour pouvoir dans 1.3. définir la notion d'image
inverse, la définition que j'y ai donnée n'étant raisonnable que si S,S' sont
affines. Dans le cas général, il faut se localiser sur S et S' pour se
ramener à cette situation. Autrement on bute sur des canulars idiots de nature
globale, comme le fait que sans restriction sur S'\to S, la construction
indiquée envisagée de somme amalgamée fait sortir de la
catégorie des préschémas … Il est probable qu'il y aura bien d'autres
canulars de détail dans ces notes, mais, je pense, sans
conséquence !
Il est évidemment tentant de vouloir interpréter les cristaux de modules comme
faisceaux de modules sur un certain site. C'est possible, en prenant le
« site cristallogène* de S sur R », qui est
précisément le site dont la catégorie sous-jacente C est celle des
R-morphismes U\to T (U ouvert de S, U\to T immersion fermée
surjective définie par Ideal nilpotent sur T), la topologie est celle de
Zariski : on prend comme familles couvrantes « de définition » de (U\to T)
les familles définies par des recouvrements ouverts (T_i) de T, chaque
T_i muni de la structure induite, et définissant (U_i\to T_i) par
U_i=U\cap T_i. Un faisceau d'ensembles sur ce site s'identifie à un système
de faisceaux d'ensembles F_{U\to T} sur les objets buts des objets de
C, avec, pour toute flèche (U\to T)\to(U'\to T') de C, un
homomorphisme de l'image inverse de F_{U'\to T'} sur dans
sur T, dans F_{U\to T} (homomorphisme qui n'est pas
nécessairement un isomorphisme !) (et qui est un isom. si T\to T' est
une imm. ouverte). En particulier, associ-« R- »,
« C » et le petit « sur » au-dessus de « sur dans » biffé sont à l'encre ;
« envisagée » et « objets » sont tapés dans l'interligne et appelés à
l'encre ; l'astérisque après « cristallogène » est à l'encre ; la parenthèse
finale est ajoutée à l'encre au pied de la page, entourée et appelée après
« isomorphisme ! ) ».
p. 16 de la lettre.
ant en particulier à tout (U\to T) le faisceau \underline{O}_T sur
T, on trouve un faisceau d'anneaux \underline{O}_C sur C. Ceci posé, les
cristaux de modules (quasi-cohérents) sur S s'identifient aux Modules
quasi-cohérents (i.e. localement conoyau d'un homomorphisme de Modules
libres) sur \underline{O}_C ; les cristaux « de type prés.
finie » i.e. les cristaux de Modules de présentation finie, correspondent
exactement aux Modules de présentation finie sur \underline{O}_C.« en
particulier » est biffé à l'encre ; « prés. » est tapé au-dessus de « type »
biffé à la machine.
Quand on a un R-morphisme S'\to S, je ne vois pas de morphisme naturel
correspondant entre les sites cristallogènes correspondants à S,S'.
Ce n'est pas bien gênant, car introduisant les topos cristallogènes
\mathrm{Topcr}_{S/R} et \mathrm{Topcr}_{S'/R} définis par les
sites en question, on définit par la méthode esquissée dans 1.3. un
morphisme
\mathrm{Topcr}_{S'/R}\longrightarrow\mathrm{Topcr}_{S/R}\ ,
correspondant à la notion naturelle de « image inverse de faisceaux »
au sens inverse (qui, j'avoue, devrait être définie avec le
plus grand soin).« \mathrm{Topcr}_{S/R} et \mathrm{Topcr}_{S'/R} »
est tapé dans l'interligne, au-dessus de « définis par les sites », biffé à
l'encre ; « au sens inverse » (lecture douteuse du second mot) est à
l'encre, appelé avant la parenthèse.
1.17. On est donc dans une situation où on peut faire marcher la machine
cohomologique. Etant loin de mes bases, je n'ai pas tenté sérieusement de
tirer au clair si les images directes supérieures qu'on définit ainsi, et en
particulier les groupes de cohomologie du site cristallogène, donnent ce qu'on
voudrait.la fin de « cristallogène » est corrigée à l'encre sur un mot
tapé. Le test-clef est le suivant : si R est le spectre d'un corps,
et si S est lisse sur R, et propre sur R dans le cas de la
caractéristique p>0, on voudrait trouver, comme cohomologie à coéfficients
dans \underline{O}_C lui-même, la cohomologie de De Rham de S
relativement à R.marche en car. 0, et pas en car
p>0au crayon, dans la marge de gauche, en travers, à hauteur de ce
passage ; « pas » souligné. Plus généralement, sans condition sur R, si
f\colon S'\to S est propre et lisse, on voudrait trouver comme
« valeur en S » de R^if_{\mathrm{cris}\,*}(\underline{O}_{C'})
(cf 1.4) le faisceau de cohomologie de De Rham
\underline{R}^if_*(\underline{\Omega}^*_{S'/S}),
p. 17 de la lettre.
tallogène ne donnerait pas les résultats qu'il faut, on pourrait essayer (au
lieu de prendre des foncteurs dérivés dans la catégorie de tous les
Modules sur le site annelé cristallogène) de prendre des foncteurs dérivés dans
la catégorie des seuls Modules quasi-cohérents sur le site cristallogène, i.e.
dans la catégorie des cristaux de modules.