Cote n° 6 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Lettre Tate (mai 66) (Cristaux) : lettre (1966), tapuscrit (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

1Pise, Mai 1966à l'encre, en haut à droite, de sa main. La lettre est dactylographiée ; ses ajouts et corrections à l'encre (ou tapés dans l'interligne et appelés à l'encre) sont marqués comme ajouts, ses suppressions comme biffures, avec une note quand il le faut. Les lettres soulignées à la machine (\(\underline{F}\), \(\underline{Z}\), \(\underline{M}\)…) restent soulignées ; les mots soulignés sont en italique. La lettre est paginée en haut à droite : 1 ici, puis 2 à la page 3 des archivistes, et ainsi de suite (page de la lettre = page des archivistes moins un).

Cher John,

J'ai réfléchi aux groupes formels et à la cohomologie de De Rahm, et suis arrivé à un projet de théorie, ou plutôt [de] début de théorie, que j'ai envie de t'exposer[,] pour me clarifier les idées.

Chapitre 1 La notion de cristal.

Commentaire terminologique : Un cristal possède deux propriétés caractéristiques : la rigidité, et la faculté de croitre, dans un voisinage approprié. Il y a des cristaux de toute espèce de substance : des cristaux de soude, de souffre, de modules, d'anneaux, de schémas relatifs etc.

[1.0.]le numéro « 1.0. » est ajouté à l'encre, dans la marge de gauche. Soit \(S\) un préschéma, au dessus d'un autre \(R\) ; dans le cas qui nous intéressera le plus, on aura \(R=\operatorname{Spec}(\underline{Z})\). Soit \(C\) la catégorie des [\(R\)-]préschémas [\(T\)] sous \(S\), [(]i.e. munis d'un \(R\)-morphisme \(S\to T\),[)] tels que \(S\to T\) soit une immersion fermée définie par un idéal localement nilpotent.« \(R\)- » et « \(T\) » sont ajoutés à l'encre au-dessus de la ligne, les parenthèses autour de « i.e. … \(S\to T\), » aussi. On a le foncteur « oubli » de \(C\) dans \((\mathrm{Sch})\), et la catégorie fibrée des Modules quasi-cohérents sur des préschémas variables induit donc une catégorie fibrée sur \(C\), associant à tout \(T\) la catégorie des Modules quasi-cohérents sur \(T\).

Définition 1.1. On appelle cristal de modules (sous-entendu : quasi-cohérents) sur \(S\), relativement à \(R\), une section cartésienne de la catégorie fibrée précédente au dessus de \(C\). Plus généralement, pour toute catégorie fibrée \(\underline{F}\) sur \((\mathrm{Sch})_{/R}\), on définit la notion de « \(\underline{F}\)-cristal » sur \(S\), ou « cristal en objets de \(\underline{F}\) », de la façon correspondante. Ceci donne un sens aux expressions : cristal en algèbres, en algèbres commutatives, en préschémas relatifs etc[,] sur \(S\) relativement à \(R\). Quand \(R=\operatorname{Spec}(\underline{Z})\), on parlera de « cristal absolu » sur \(S\), de l'espèce considérée.

1.2. Les \(\underline{F}\)-cristaux sur \(S\) forment une catégorie, qui dépend fonctoriellement de \(\underline{F}\). Ceci permet, en particulier, de définir sur la catégorie des cristaux de modules sur \(S\) les opérations tensorielles habituelles : produit tensoriel de deux cristaux de modules etc, satisfaisant aux propriétés habituelles.

3p. 2 de la lettre. 1.3. Regardons de même ce qui se passe quand on fixe \(\underline{F}\) et fait varier \(R,S\). Tout d'abord, si \(S\to R'\to R\), alors tout cristal sur \(S\) relativement à \(R\) en définit un relativement à \(R'\), par simple restriction. En particulier, un cristal absolu définit un cristal relatif, pour tout préschéma de base \(R\) de \(S\).

Fixons maintenant \(R,S\) et soit \(S'\to S\) un morphisme. On définit alors de façon naturelle un foncteur « image inverse » allant des cristaux de type \(\underline{F}\) sur \(S\) vers les cristaux de même type sur \(S'\) (tout relatif à \(R\)). Pour s'en assurer, il suffit de définir un foncteur \(C'\to C\) (où \(C'\) est défini en termes de \(S'\) comme \(C\) en termes de \(S\)), compatible avec les foncteurs « oubli ». Or si \(S'\to T'\) est un objet de \(C'\), il y a une construction évidente de somme amalgamée dans la catégorie des préschémas, qui donne un \(T=S\amalg_{S'}T'\) et un morphisme \(S\to T\), qui fait de \(T\) un objet de \(C\), ce qui définit le foncteur cherché.

On peut donc dire que pour un \(S\) variable sur \(R\), les cristaux de type \(\underline{F}\) sur \(S\) forment une catégorie fibrée sur \((\mathrm{Sch})_{/R}\), grâce à la notion d'image inverse précédente.

Les deux variances (en \(R\), et en \(S\)) sont compatibles dans un sens évident, et peuvent être régardées comme provenant d'une variance en \((R,S)\) directement.

1.4. On a un foncteur naturel et évident qui va des cristaux de modules (disons) sur \(S\) (rel à \(R\)) dans des Modules quasi-cohérents sur \(S\) : c'est le foncteur « valeur en \(S\) ». On fera attention que ce foncteur n'est en général pas même fidèle (cf exemple [1.5.] plus bas).« 1.5. » est écrit à l'encre dans un blanc laissé par la machine. Il est donc un peu dangereux de vouloir considérer un cristal de modules sur \(S\) comme étant un Module quasi-cohérent \(\underline{M}\) sur \(S\), muni d'une structure supplémentaire, sa « structure cristalline ». Dans certains cas cependant [(cf 1.8.)], le foncteur cristaux de modules \(\rightsquigarrow\) Modules est fidèle et le point de vue précédent devient plus raisonnable,

1.5. Exemple 1 : relations avec les vecteurs de Witt. Supposons que \(S\) soit le spectre d'un corps parfait \(k\), et \(R=\operatorname{Spec}(\underline{Z})\). Soit \(W\) l'anneau de Cohen de corps résiduel \(k\) : si \(\mathrm{car}\,k>0\), c'est l'anneau des vecteurs de Witt défini par \(k\), si \(\mathrm{car}.k=0\), c'est \(k\) lui-même[;] [dans ce dernier cas, supposons \(k\) algébrique sur \(\mathbf{Q}\).]ajout à l'encre, écrit dans l'interligne et relié par un trait au point, qu'il change en point-virgule ; « algébrique » est souligné. Alors il est bien connu que la catégorie \(C\) de 1.0.

4p. 3 de la lettre. est équivalente à celle des \(W\)-algèbres locales, annulées par une puissance de l'idéal maximal de \(W\), à extension résiduelle triviale. Ecrivant \(W=\varprojlim W_n\) comme à l'accoutumé, dans le cas \(p>0\), on trouve que la donnée d'un cristal de modules (absolu) sur \(k\) équivaut à celle d'un système projectif \((M_n)\) « \(p\)-adique » de modules \(M_n\) sur les \(W_n\) ; donc les cristaux de modules de présentation finie sur \(k\) forment une catégorie équivalente à celle des modules de type fini sur \(W\). Si \(p=0\), alors la catégorie des cristaux de modules sur \(k\) est équivalente à celle des vectoriels sur \(k=W\). Ces descriptions sont compatibles avec les notions de changement de base pour \(k\) variable. Elles se formulent évidemment pour toute autre espèce de cristaux, défini par une catégorie fibrée \(\underline{F}\).

Dans le cas envisagé, le foncteur [« ]valeur en \(S\)[ »], sur la catégorie des cristaux de présentation finie sur \(k\), s'identifie au foncteur \(\otimes_W k\) sur la catégorie des modules de type fini sur \(W\), foncteur qui (si \(p>0\)) n'est pas fidèle.

1.6. Exemples 2 : [\(S\) étale sur \(R\).]ajout à l'encre au-dessus de « Si \(S=R\) », que le trait d'appel embrasse. Si \(S=R\), la catégorie \(C\) admet \(R\) lui-même comme objet final, donc le foncteur « valeur en \(R\) » est une équivalence de la catégorie des cristaux sur \(R\), de type \(\underline{F}\) donné, avec la catégorie \(\underline{F}_R\). En particulier, un cristal de modules sur \(\operatorname{Spec}\underline{Z}\) est essentiellement la même chose qu'un \(\underline{Z}\)-module.

De façon un peu plus générale, si \(S\) est étale sur \(R\), alors \(S\) est un objet final de \(C\), et les cristaux de modules (disons) sur \(S\), relativement à \(R\), s'identifient aux Modules quasi-cohérents sur \(S\).

1.7. Relations avec la notion d'objet stratifié Exemple 3 : \(S\) un sous-objet de préschéma de \(R\).les mots biffés le sont à la machine. Comme la notion de cristal relatif sur \(S\) ne change pas si on remplace \(R\) par un ouvert par lequel se factorise \(S\), on peut supposer \(S\) fermé dans \(R\), défini par un Idéal quasi-cohérent \(J\). Soit \(S_n=V(J^{n+1})\) le \(n\).ème voisinage infinitésimal de \(R\) dans \(S\).sic : lire « de \(S\) dans \(R\) ». Alors la famille des objets \(S_n\) de \(C\) est finale dans \(C\), d'où on conclut facilement qu'un cristal de type \(\underline{F}\) sur \(S\) s'identifie à une suite \((M_n)_{n\in\underline{N}}\) d'objets des \(\underline{F}_{S_n}\) qui se recollent. En particulier, si \(R\) est localement noethérien, un cristal de modules sur \(S\) relativement à \(R\), de présentation finie, s'identifie à un Module cohérent sur le complété formel de \(R\) le long de \(S\).

5p. 4 de la lettre. Cet exemple contient le cas de \(\mathrm{car}.p>0\) de l'éxemple 1, si on note qu'a priori, grâce à Cohen, un cristal absolu sur \(k\)[,] c'est pareil qu'un cristal relativement à \(W\).

On peut aussi donner un énoncé commun aux exemples 2 et 3, en partant du cas où on se donne un \(S\to R\) non ramifié, ce qui permet en effet de construire encore des « voisinages infinitésimaux » \(S_n\).

1.8. Relation avec la notion de stratification. Les données \(R,S,\underline{F}\) étant comme d'habitude, considérons pour chaque entier \(n\geqslant 0\) le voisinage infinitésimal \(\Delta_n\) de la diagonale de \(S\times_R S\), qui s'envoie dans \(S\) par les deux projections \(\mathrm{pr}_1\) et \(\mathrm{pr}_2\). Si \(E\) est un objet de \(\underline{F}_S\), une \(n\)-connexion sur \(E\) (relativement à \(R\)) est la donnée d'un isomorphisme \(\mathrm{pr}_1^*(E)\simeq\mathrm{pr}_2^*(E)\) qui induit l'identité sur la diagonale. Une \(\infty\)-connexion ou pseudo-stratification de \(E\), est la donnée pour tout \(n\) d'une \(n\)-connexion, de telle façon que ces \(n\)-connexions se recollent. Enfin, une stratification sur \(E\) est la donnée d'une pseudo-stratification qui satisfait aux conditions formelles d'une donnée de descente, quand on fait intervenir les voisinages infinitésimaux de tous ordres de [la diagonale de] \(S\times_R S\times_R S\).« la diagonale de » est ajouté à l'encre au-dessus de la ligne. Ces notions donnent lieu à des sorites analogues à ceux de 1.2. et 1.3. Notons que lorsque \(S\) est « formellement non ramifié sur \(R\) » i.e. \(\underline{\Omega}^1_{S/R}=0\), alors toutes ces notions deviennent triviales : un objet \(E\) admet alors toujours exactement une connexion de tout ordre, donc une seule pseudo-stratification, et celle-ci est une stratification : donc la catégorie des objets de \(F_S\) munis d'une stratification relativement à \(R\) est alors équivalente, par le foncteur « valeur en \(S\) », à la catégorie \(\underline{F}_R\) elle même.sic (\(\underline{F}_R\) pour \(\underline{F}_S\) ?). (Dans tous les cas, le foncteur « valeur en \(S\) » est en tous cas fidèle).« en tous cas » biffé à l'encre.

Ceci défini,correction à l'encre sur le mot tapé, qu'elle recouvre. on voit que pour tout cristal \(\underline{M}\) sur \(S\) de type \(\underline{F}\) (relativement à \(R\)), sa valeur \(\underline{M}(S)=M\) est un objet de \(\underline{F}_S\) muni d'une stratification canonique relativement à \(R\), d'où un foncteur : cristaux relatifs de type \(\underline{F}\) \(\rightsquigarrow\) objets de \(\underline{F}\) munis d'une stratification. La remarque de 1.4. montre d'ailleurs que ce foncteur n'est pas toujours fidèle. Il y a cependant des cas intéressants

6p. 5 de la lettre. où ce foncteur est une équivalence de catégories : il en est en tous cas ainsi si \(S\to R\) est « formellement lisse », par exemple si c'est un morphisme lisse, ou si \(S\) et \(R\) sont des spectres de corps \(k_0,k\), avec \(k\) une extension séparable de \(k_0\). Dans ce dernier cas(Quand d'ailleurs \(S\to R\) est même formellement étale, alors les deux catégories : celle des cristaux et celle des objets à stratification, deviennent d'ailleurs équivalentes[,] par le foncteur « valeur en \(S\) »[,] à \(\underline{F}_S\) lui-même, ce qui nous redonne l'exemple à la noix de 1.5 où \(k\) est de car. nulle).« Dans ce dernier cas » est biffé à la machine, « d'ailleurs » à l'encre. Sauf erreur, on a encore une équivalence de catégories si \(S\to R\) est plat et localement de présentation finie, [(du moins si \(R\) loc. noeth., et se bornant aux Modules cohérents),] mais je n'ai pas écrit de démonstration.ajout à l'encre dans l'interligne, relié par un trait à la virgule ; le soulignement de « plat et localement de présentation finie » est de sa main.

1.9. Une digression sur la notion de stratification en caractéristique nulle. Quand \(S\) est lisse sur \(R\) (en fait, il suffit que \(S\) soit différentiellement lisse sur \(R\), i.e. le morphisme diagonal \(S\to S\times_R S\) une immersion régulière), et si \(R\) est de caractéristique nulle, alors une stratification d'un Module \(M\) sur \(S\) (relativement à \(R\)) est connue quand on connait la \(1\)-connexion qu'elle définit, et on peut se donner celle-ci arbitrairement, soumise à la seule condition que le « tenseur courbure », qui est une certaine section de \(\underline{\Omega}^2_{S/R}\otimes\underline{\mathrm{End}}(M)\), soit nul. (Cela peut aussi s'exprimer en disant qu'on fait opérer le faisceau \(\underline{\mathrm{Dér}}_{S/R}\) des dérivations relatives de \(S\) sur \(R\), sur \(M\), de façon à satisfaire aux relations habituelles, y compris celle de transformer crochet en crochet). J'ignore dans quelle mesure la propriété[l'hypothèse] de lissité est nécessaire pour cet énoncé,« propriété » biffé, « hypothèse » tapé dans l'interligne, « la » corrigé en « l' ». ou si (dans le cas lisse disons) on peut formuler un énoncé analogue pour toute catégorie fibrée \(\underline{F}\) sur \((\mathrm{Sch})_{/R}\). Mais bien entendu, l'hypothèse de caractéristique nulle faite sur \(R\) est tout à fait essentielle. Si \(R\) est de caractéristique \(p>0\), l'énoncé qui remplace le précédent (et qui sauf erreur est dû à Cartier) est que dans ce cas, la donnée d'une « connexion sans torsion » sur \(M\) [« compatible avec puissances \(p\).ièmes »]ajout à l'encre dans la marge de gauche, appelé par un trait après « \(M\) ». équivaut à une « donnée de descente » sur \(M\) relativement à frobenius \(S\to S^{(p/R)}\). Il y a loin de là à une rigidifi stratification !

1.10. La notion de \(p\)-cristal et ses variantes.

Nous supposons maintenant que \(S\) est de caractéristique \(p>0\), […]un mot biffé à la machine en fin de ligne.

7p. 6 de la lettre. et \(R=\operatorname{Spec}(\underline{Z})\) (ou \(\operatorname{Spec}(\underline{Z}_p)\), spectre des entiers \(p\)-adiques, cela reviendrait au même). Si \(\underline{M}\) est un cristal de modules sur \(S\), [de présentation finie,] alors en vertu de 1.5., pour tout \(s\in S\), si \(s'\) est le spectre d'une clôture parfaite de \(k(s)\), l'image inverse \(\underline{M}(s')\) de \(\underline{M}\) en \(s'\) peut être interprétée comme un module de type fini sur l'anneau des vecteurs de Witt \(W(k(s'))\).« de présentation finie, » est tapé dans l'interligne et appelé à l'encre. Ainsi, la notion de cristal de modules sur \(S\) (au sens absolu) semble convenable pour formaliser la notion de « famille [algébrique »] de modules sur les anneaux de vecteurs de Witt aux différents points parfaits au dessus de \(S\).« algébrique" » est tapé dans l'interligne et appelé à l'encre ; le soulignement est en partie de sa main. Bien entendu, la notion de cristal est plus fine que ça encore, et doit donner, j'espère, la bonne notion de « famille » lorsque, disons, \(S\) est le spectre d'un corps de fonctions (donc pas nécessairement parfait). Je vais maintenant introduire une structure supplémentaire, qui devrait permettre de formuler, de même, la notion de « famille algébrique de modules de Dieudonné », paramétrée par \(S\),

Considérons le morphisme « puissance \(p\).ème » \[ S\xrightarrow{\ \mathrm{frob}_S\ }S\ , \] il permet d'associer, à tout cristal (absolu) sur \(S\), d'espèce quelconque, un cristal image inverse : \[ \underline{M}^{(p)}=\mathrm{frob}_S(\underline{M})\ . \] On appelle \(p\)-cristal sur \(S\) un cristal \(\underline{M}\) sur \(S\), muni d'un morphisme de cristaux \[ F\colon \underline{M}^{(p)}\longrightarrow\underline{M}\ . \] Evidemment, les \(p\)-cristaux [sur \(S\)] d'espèce \(\underline{F}\) donnée forment encore une catégorie, dépendant fonctoriellement de \(\underline{F}\) (pour les foncteurs covariants cartésiens de catégories fibrées), ce qui permet par exemple, pour les \(p\)-cristaux de modules sur \(S\), d'introduire toutes les opérations tensorielles habituelles covariantes (produits tensoriels, puissances alternées et symétriques etc). Pour formuler définir le dual d'un \(p\)-cristal de modules, il y a lieu d'introduire une notions duale de celle de \(p\)-cristal d'espèce \(\underline{F}\), c'est celle de \(p^{-1}\)-cristal d'espèce \(\underline{F}\) : c'est un cristal d'espèce \(\underline{F}\), avec un morphisme de cristaux en sens inverse :

8p. 7 de la lettre. \[ V\colon \underline{M}\longrightarrow\underline{M}^{(p)}\ . \] Ainsi un [contra-]foncteur cartésien entre catégories fibrées sur \((\mathrm{Sch})\) transforme \(p\)-cristaux en \(p^{-1}\)-cristaux, et inversement. Les \(p^{-1}\)-cristaux de modules se multiplient tensoriellement entre eux comme les \(p\)-cristaux de modules.

Pour obtenir une notion « autoduale », il y a lieu d'introduire la notion de bi-cristal [de poids 1] sur \(S\), qu'on pourrait aussi appeler un cristal de Dieudonné sur \(S\), lorsque \(\underline{F}\) est fibré en catégories additives : c'est un cristal muni à la fois d'une \(p\)-structure et d'une \(p^{-1}\)-structure, satisfaisant aux relations \[ FV=p.\,\mathrm{id}_M,\qquad VF=\mathrm{id}_{M^{(p)}}\ . \] « contra- » et « de poids 1 » sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre ; le « \(p.\) » manque dans la seconde relation, qui est donnée comme tapée.

Cette notion semble tout à fait adéquate à l'étude des groupes formels, ou ce qui revient moralement au même, à l'étude de la cohomologie de De Rham en dimension 1. En dimensions supérieures [\(i\)], il y a lieu d'introduire la notion de bi-cristal de poids \(i\), qui est un cristal muni de \(F\) et \(V\) satisfaisant aux relations \[ FV=p^i\,\mathrm{id}_M\ ,\qquad VF=p^i\,\mathrm{id}_{M(p)}\ . \] Par exemple, on définit le bicristal de Tate de poids \(2i\), qui est défini par le cristal de modules unité (associant à tout \(T\) sous \(S\) le Module \(\underline{O}_T\) lui-même), et les morphismes de cristaux \[ F=p^i\,\mathrm{id}_{T^i}\ ,\qquad V=p^i\,\mathrm{id}_{T^i}\ . \] \(2i\)dans la marge de gauche, entouré, à hauteur de « poids \(2i\) », où le chiffre tapé a été refrappé ; l'indice est tapé « \(T\,i\) ». Ainsi le bicristal de Tate de poids \(2i\) est la puissance tensorielle \(i\).ème du bicristal de Tate de poids 1.sic : « poids 1 » ; d'après ce qui précède on attendrait le poids 2, celui de \(T^1\) en 1.11. (NB les bicristaux de poids quelconques se multiplient tensoriellement, de sorte [façon] que les poids s'ajoutent).« façon » à l'encre, sur le mot tapé.

1.11. Si on veut « rendre inversible » le bicristal de Tate \(T^1\), on est obligé, qu'on le veuille ou non, de passer à une catégorie de fractions de la catégorie des cristaux de modules sur \(S\), [qui entre parenthèses est une catégorie \(\underline{Z}_p\)-linéaire, (i.e. les Hom sont des \(\underline{Z}_p\)-modules …), tout comme les catégories de \(p\)-cristaux etc qu'on en déduit]. Il revient donc au même de passer à une catégorie de fractions, en déclarant qu'on veut rendre notre catégorie abélienne \(\underline{Q}\)-linaire, ou en déclarant qu'on la veut rendre \(\underline{Q}_p\)-linéaire : il faut faire le quotient par la sous-catégorie abélienne épaisse formée des objets de torsion, qui sont aussi des objets de \(p\)-torsion [(et cela revient simplement à garder les mêmes objets, et à prendre comme nouveaux Hom les \(\mathrm{Hom}\otimes_{\underline{Z}}\mathbf{Q}\).)].ajout à l'encre au pied de la page, encadré et appelé après « \(p\)-torsion » ; les crochets sont aussi de sa main. On trouve la catégorie des « cristaux de modules

9p. 8 de la lettre. à isogénie près », ou isogristauxsic., sur \(S\). Utilisant cette nouvelle notion, on définit comme ci-dessus la notion de \(p\)-isocristal, comme étant la donnée d'un isocristal \(\underline{M}\) muni d'un homomorphisme \(F\colon\underline{M}^{(p)}\to\underline{M}\). La notion de bi-isocristal de poids \(i\), qui serait calquée de celle de bicristal de poids \(i\), n'est pas très raisonnable alors, car \(V\) doit être alors donné en termes de \(F\) comme \(p^iF^{-1}\). Il y a lieu plutôt d'appeler bi-isocristal (sans précision de poids) un \(p\)-isocristal pour lequel \(F\) est un isomorphisme, et de ne pas choisir entre les différents \(p^iF^{-1}\) possibles ; il vaut mieux également ne pas parler ici de \(p^{-1}\)-isocristal, la notion intéressante étant celle de bi-isocristal, qui est manifestement autoduale : si \(\phi\) est un foncteur contravariant de catégories fibrées sur [quand on se restreint aux objets de type fini :] le dual de \((\underline{M},F)\) est \((\underline{M},{}^tF^{-1})\), où \(\underline{M}\) est le iso-cristal dual de \(M\).la ligne biffée l'est à la machine et à l'encre ; « quand on se restreint aux objets de type fini : » est tapé dans l'interligne. Aucun signe ne distingue, dans « \((\underline{M},{}^tF^{-1})\) », le dual de \(\underline{M}\) : sic.

On peut également, bien sûr, localiser par rapport à \(p\) en partant déjà de la catégorie des bi-cristaux de poids \(i\), on trouve les bicristaux de poids \(i\) à isogénie près, qui forment une catégorie abélienne \(\mathrm{Isbicr}(S,i)\), et un foncteur exact « oubli de \(V\) » \[ \mathrm{Isbicr}(S,i)\longrightarrow\mathrm{Isbicr}(S)\ , \] à valeurs dans la catégorie \(\mathrm{Isbicr}(S)\) des iso-bicristaux sur \(S\). dans les deux premières occurrences, « bi » est ajouté au sigle « Iscr » tapé d'abord. Ce foncteur est […] pleinement fidèle, de sorte que les bi-isocristaux forment une généralisation commune des bicristaux de poids \(i\) à isogénie près. un mot à l'encre, biffé, précède « pleinement fidèle » ; le préfixe de « … cristaux » est refrappé et se lit mal. Pour préciser ce point, désignant par \(\mathrm{Bicr}(S,i)\) la catégorie des bicristaux de poids \(i\) sur \(S\), il y a lieu d'introduire des foncteurs canoniques \[ \mathrm{Bicr}(S,i)\longrightarrow\mathrm{Bicr}(S,i+1)\longrightarrow\cdots, \] donnés par \((\underline{M},F,V)\rightsquigarrow(\underline{M},F,pV)\). Quand on localise ces foncteurs par \(p\), on trouve des foncteurs \[ \mathrm{IsBicr}(S,i)\longrightarrow\mathrm{IsBicr}(S,i+1)\longrightarrow\cdots \] qui se trouvent être pleinement fidèles : on peut donc considérer que, pour \(i\) croissant, la notion de « bicristal de poids \(i\), à isogénie près » constitue une généralisation de plus en plus large de celle de « cristal de Dieudonné ». La noti-

10p. 9 de la lettre. on de « bi-isocristal » est à ce titre une […] [généralisation] qui englobe toutes les précédentes, et qui de plus a la louable vertu d'être stable par produit tensoriel[ et passage au dual.] Cela semble donc une catégorie toute indiquée comme catégorie des valeurs pour un foncteur « cohomologie de De Rham » convenable, lorsqu'on se décide à travailler à isogénie près.« généralisation » est tapé au-dessus du mot biffé à la machine ; « et passage au dual. » est ajouté à l'encre, la virgule qui suivait « tensoriel » changée en point-virgule par la même main.

1.12. Exemple 1 : Cas où \(S\) est le spectre d'un corps parfait \(k\). Alors la donnée d'un cristal de modules de type fini sur \(k\) équivaut à la donnée d'un module de type fini \(M\) sur \(W\)[,] la formation du motif \(\underline{M}^{(p)}\) correspond à la formation de \[ M^{(p)}=M\otimes_W(W,f_W)\ , \] où \(f_W\) est l'endomorphisme de frobenius de \(W\), et \((W,f_W)\) est la \(W\)-algèbre définie par \(f_W\). Par suite un structure de \(p\)-cristal sur \(M\) revient à la donnée d'un homomorphisme de \(W\)-modules \(M^{(p)}\to M\), ou si on préfère, à la donnée d'un homomorphisme \(f_W\)-semi-linéaire \[ F_M\colon M\longrightarrow M\ . \] Comme l'application \(x\mapsto x\otimes 1\) de \(M\) dans \(M\otimes_W(W,f_W)\) est bijective, \(f_W\) étant un automorphisme de \(W\), on peut considérer la bijection inverse, qui est \(f_W^{-1}\)-semi-linéaire. Par suite, la donnée d'une \(p^{-1}\)-structure sur \(M\) revient à la donnée d'un homomorphisme \(f_W^{-1}\)-linéaire : \[ V_M\colon M\longrightarrow M\ . \] La donnée d'un couple \((F,V)\) définit sur \(M\) une structure de bi-cristal de poids \(i\) si et seulement si on a \[ FV=VF=p^i\,\mathrm{id}_M\ . \] En particulier, pour \(i=1\), on retrouve la notion de module de Dieudonné : la catégorie des cristaux de Dieudonné sur \(k\) est canoniquement équivalente à celle des modules de Dieudonné relativement à \(k\).

La catégorie des isocristaux de type fini sur \(k\) est équivalente à la catégorie des vectoriels de dimension finie sur le corps des fractions [\(K\)] […] de \(W\). Donc un bi[iso]cristal (de type fini) sur \(k\) s'identifie à un tel vectoriel, muni d'un \(f_K\)-endomorphisme bijectif.« \(K\) » est ajouté à l'encre en fin de ligne, le mot qui commence la ligne suivante biffé à l'encre ; « iso » est tapé dans l'interligne et appelé à l'encre ; un exposant tapé après \(f_K\) est biffé.

11p. 10 de la lettre. Toutes ces descriptions sont compatibles avec les opérations tensorielles, et la formation d'images inverses pour \(k\) variable.

On peut se demander, avec la description précédente des bi-isocristaux, quels sont ceux qui sont dans l'image essentielle de \(\mathrm{Isbicr}(S,i)\to\mathrm{Isbicr}(S)\), On trouve que ce sont les couples \((E,F)\), \(E\) un vectoriel sur \(K\) et \(F\) un automorphisme semi-linéaire, tels que, si on pose \(V=p^iF^{-1}\), pour tout \(x\in E\), l'ensemble de ses transformés par les différents monômes non commutatifs en \(F,V\) soit une partie bornée de \(E\) : c'est une pure tautologie.la lettre \(E\) est refrappée sur un \(V\). Pour qu'il existe un \(i\) ayant cette propriété, il faut et il suffit que pour tout \(x\in E\), l'ensemble des \(F^nx\) soit borné. Bien entendu, c'est là une propriété qui est stable par changement de \(F\) en \(pF\) (correspondant à la tensorisation par le bi-isocristal de Tate de poids 2), mais non par le changement de \(F\) en \(p^{-1}F\) (correspondant à la tensorisation par l'inverse \(T^{-1}\) du bi-isocristal précédent). Comme on tient beaucoup à inverser Tate, on voit qu'il n'est pas naturel, en effet, de poser une condition de croissance sur l'ensemble des itérés de \(F\). De façon précise, appelant effectifs les bi-isocristaux qui proviennent d'un objet d'un \(\mathrm{Isbicr}(S,i)\), on voit que tout bi-isocristal est de la forme \(T^{-i}\otimes\underline{N}\), avec \(\underline{N}\) effectif : on n'a pas ajouté plus de nouveaux objets qu'il n'était absolument nécessaire !

1.13. Exemple 2 : \(S\) lisse sur un corps parfait \(k\). Déterminons d'abord dans ce cas les cristaux sur \(S\), sans plus. Tout d'abord, sans condition de lissité, on voit à l'aide de la propriété caractéristique de \(W\) que la catégorie \(C\) introduite dans 1.0. ne change pas[,] essentiellement[,] quand on remplace \(R=\operatorname{Spec}(\underline{Z})\) par \(R=\operatorname{Spec}(W)\). D'autre part, il résulte aussitôt des définitions que la donnée d'un cristal sur \(S\), relativement à \(W\), revient à la donnée d'un système cohérent de cristaux sur \(S\), relatifs aux \(W_n=W/p^{n+1}W\). (NB On n'a pas formulé avec la généralité qui convenait l'exemple 3 de 1.7. ! ) Théoriquement, on est donc ramené à déterminer, pour chaque \(n\), la catégorie des cristaux sur \(S\) relatifs à \(W_n\), et les foncteurs restriction entre ces catégories. D'ailleurs, il est inoffensif de se localiser sur \(S\), par exemple de supposer au besoin \(S\) affine. Utilisant maintenant la lissité de \(S\), on peut donc supposer que pour tout \(n\), \(S\) se remonte en

12p. 11 de la lettre. un \(S_n\) lisse sur \(W_n\), de façon que ces choix se recollent (il suffit pour ceci \(S\) lisse et affine). Or, il résulte encore facilement des définitions, utilisant seulement que \(S=S_0\to S_n\) est une immersion fermée définie par un Idéal nilpotent, que le foncteur restriction des cristaux sur \(S_n\) (relativement à une base quelconque – ici on prendra \(W_n\)) vers les cristaux sur \(S_0\), est une équivalence de catégories, donc un cristal sur \(S\) relativement à \(W_n\) s'identifie à un cristal [sur \(S_n\)] relativement à \(W_n\). Comme \(S_n\) est lisse sur \(W_n\), il résulte de ce qui a été dit dans 1.8. que les cristaux en question s'identifient aux objets (de l'espèce \(\underline{F}\) considérée) sur \(S_n\), munis d'une stratification relativement à \(R_n=\operatorname{Spec}(W_n)\). Les foncteurs restrictions sur les cristaux s'expriment alors par les foncteurs restrictions correspondants pour objets stratifiés. En résumé : un cristal [\(\underline{M}\)] sur \(S\) s'identifie à un système cohérent \((M_n)\) d'objets à stratification sur les différents \(S_n\) sur \(R_n=\operatorname{Spec}(W_n)\).« sur \(S_n\) » et « \(\underline{M}\) » sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre. Pour relier ceci à des objets qui soient plus dans la nature d'objets « définis en caractéristique nulle », supposons d'abord que l'on puisse même relever \(S\) en un schéma \(X\) propre sur \(R=\operatorname{Spec}(W)\), hypothèse évidemment bien restrictive. On voit alors, utilisant les théorèmes de comparaison EGA III 4,5 que dans le cas de cristaux de modules cohérents sur \(S\), la catégorie desdits est canoniquement équivalente à la catégorie des Modules cohérents \(\underline{M}\) sur \(X\), munis d'une stratification relativement à \(R=\operatorname{Spec}(W)\). (NB Il se trouve donc, à posteriori, que cette dernière catégorie est essentiellement indépendante du relèvement choisi \(X\) de \(S\)). Considérant la fibre générique \(X_K\) de \(X\) sur \(R\), qui est un schéma propre et lisse sur un corps de caractéristique nulle, on trouve donc un foncteur remarquable « restriction » ou « localisation », allant de la catégorie des cristaux de modules cohérents sur \(S\), dans la catégorie des Modules cohérents sur \(X_K\), stratifiés relativement à \(X_K\). Or (oubli de 1.8.) on voit facilement qu'un Module cohérent stratifié sur un préschéma localement de type fini sur un corps est nécessairement localement libre. De plus comme ici \(K\) est de caractéristique nulle[ et \(X_K\) lisse dessus], on a signalé dans 1.8. que la notion de stratification s'explicite très simplement comme celle de « connexion inté-« et \(X_K\) lisse dessus » est tapé dans l'interligne et appelé à l'encre. « stratifiés relativement à \(X_K\) » : sic (on attendrait « à \(K\) »).

13p. 12 de la lettre. grable ». [Enfin, lorsque \(S\) donc \(X_K\) est géométriquement connexe, et que \(K\) peut se plonger dans le corps des complexes \(\underline{C}\), alors la notion de module cohérent à connexion intégrable sur \(X_K\) s'interprète en termes de représentations linéaires [(complexes)] du groupe fondamental transcendant de \(X_{\underline{C}}^{\mathrm{an}}\), de façon bien connue.« ex » est récrit à l'encre sur le mot tapé « connexion », mal frappé ; « (complexes) » est tapé dans l'interligne, appelé à l'encre, avec un signe de vérification en marge droite. Si par exemple le groupe fondamental transcendant est le groupe unité, alors on conclut par descente que tout Module cohérent stratifié sur \(X_K\) est trivial, ce qui en termes de \(S\) s'énonce en disant que tout cristal de modules cohérents sur \(S\) est isogène à un cristal « constant », i.e. [à un cristal] qui est l'image inverse d'un cristal sur \(k\), [(]lui-même défini par un module de type fini sur \(W\)[)].« à un cristal » à l'encre au-dessus d'un mot biffé à la machine ; les parenthèses sont de sa main. De ceci et de la rigidité de la notion de cristal on déduit[,] par exemple[,] facilement que tout \(p\)-cristal cohérent sur \(S\) ou tout bi-cristal de poids \(i\) donné (par exemple tout cristal de Dieudonné) est isogène à un fourbis de même espèce trivial.« facilement » est entouré à l'encre et les virgules qui l'isolent ajoutées, comme pour le déplacer. On voit donc là un principe d'approche transcendante pour l'étude des familles de groupes formels (par exemple) en caractéristique \(p\) …]les crochets sont tracés à l'encre. Quand à la notion d'isocristal (de modules cohérents) sur \(S\), on constate aussitôt que le foncteur précédent induit un foncteur pleinement fidèle de la catégorie de ces derniers, dans la catégorie des modules cohérents stratifiés sur \(X_K\). Il s'impose évidemment d'en déterminer l'image essentielle, et pour commencer d'examiner quelle est l'im si par hasard ce foncteur ne serait pas une équivalence de catégories. Cela me semble un peu trop optimisteEffectivement, ça ne marche pas !, mais je ne suis sûr de rien, faute d'avoir regardé.« trop optimiste » est souligné d'un trait ondulé à l'encre qui mène à la note marginale, à gauche. Tout ce qu'on peut dire à priori, c'est que la condition cherchée sur un Module stratifié doit être, à priori de nature locale en les points de \(X\) qui sont maximaux dans \(S\).

Quand on ne suppose pas \(S\) remonté propre et remonté globalement, mais qu'on suppose seulement qu'on a remonté \(S\) formellement, en un schéma formel \(X\) sur \(R\), alors il est vrai (en fait, de façon essentiellement triviale) que la catégorie des cristaux de modules cohérents sur \(S\) est équivalente à la catégorie des Modules cohérents sur le schéma formel \(X\), munis d'une stratification relativement à \(\operatorname{Specf}(W)=\mathcal{R}\) (quand on transcrit de façon évidente toutes les définitions envisagées dans 1.8. dans le cadre formel).le \(\mathcal{R}\) final est de sa main. Si on veut encore,

14p. 13 de la lettre. comme il est légitime, trouver un analogue pour la restriction à \(X_K\) [envisagée] plus haut, il faut définir \(X_K\) comme l'espace rigide-analytique sur \(K\) défini par le schéma formel \(X\), et considérer sur \(X_K\) des Modules cohérents munis de connexions stratifications au sens rigide-analytique, ou ce qui revient au même, de connexions intégrables [en ce sens]. De tels Modules sont encore nécessairement localement libres.« envisagée » est à l'encre ; « en ce sens » est tapé dans l'interligne et appelé à l'encre. On trouve ainsi un foncteur des cristaux de Modules cohérents sur \(S\) dans les Modules cohérents stratifiés sur \(X_K\), induisant un foncteur pleinement fidèle de la catégorie des isocristaux cohérents sur \(S\), dans la catégorie des Modules cohérents stratifiés sur \(X_K\). Comme tout à l'heure (et même plus, si on peut dire, car c'est vraiment ici la situation « naturelle »), il s'impose de regarder quelle est l'image essentielle. On peut également se demander si les Modules cohérents stratifiés sur un espace rigide-analytique n'admettraient pas une description simple, en termes d'un groupe plus ou moins discret jouant le rôle du groupe fondamental dans la théorie transcendante sur le corps des complexes.

La description donnée [des cristaux sur \(S\)], toute triviale qu'elle soit, a déjà des conséquences intéressantes pour la structure de la catégorie des cristaux [de modules] cohérents sur \(S\) : cette catégorie est noethérienne (si \(S\) est noethérien i.e. de type fini sur \(k\)), tout objet contient donc un plus grand sous-objet de torsion, de plus les objets sans torsion correspond[ent] dans la description ci-dessus aux Modules stratifiés sans torsion sur \(X\), lesquels [sont] alors automatiquement localement libres. Il est bien probable que des résultats analogues doivent être vrais[,] sans hypothèse du genre lissité sur \(S\).les ajouts de ce paragraphe sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre, sauf la virgule, à l'encre ; un numéro tapé en tête de ligne, avant « La description », est biffé à la machine.

1.14. Il faut encore expliciter, dans la description générale précédente, le donnée foncteur \(M\rightsquigarrow M^{(p)}\), pour pouvoir décrire de façon analogue les bicristaux et bi-isocristaux. De façon générale, si en plus de la donnée de \(S\) sur \(k\), on a un \(S'\) lisse sur \(k'\) parfait, et des morphismes \(S'\to S\) et \(\operatorname{Spec}(k')\to\operatorname{Spec}(k)\) donnant lieu à un carré commutatif, et si enfin on peut relever \(S'\) formellement en \(X'\), et \(S'\to S\) en \(X'\to X\), donnant un carré commutatif avec \(\operatorname{Spec}W'\to\operatorname{Spec}W\), alors la notion d'image inverse de cristaux de modules cohérents, de \(S\) à \(S'\), s'explicite en termes d'image inverse de Modules cohérents stratifiés, de \(X\)

15p. 14 de la lettre. à \(X'\). Lorsque \(k=k'\), \(S=S'\), et que les morphismes envisagés sont les puissances \(p\).èmes, on est donc conduit à chercher à prolonger relever ce morphisme à \(X\) de façon compatible avec le morphisme \(\operatorname{Specf}(W)\to\operatorname{Specf}(W)\) déduit de \(f_W\), ou ce qui revient au même, de relever le morphisme canonique \(S\to S^{(p/k)}\) en un morphisme de \(R\)-schémas formels \(X\to X\times_R(R,f_R)\).le « f » de « Specf » paraît récrit sur la parenthèse tapée. C'est en tous cas toujours possible si \(S\) est affine, cas auquel on peut se ramener. Ayant donc ainsi un morphisme \[ f_X\colon X\longrightarrow X\ , \] compatible avec \(f_R\) sur \(R=\operatorname{Specf}(W)\), et induisant \(f_S\) sur \(S\), le foncteur \(\underline{M}\rightsquigarrow\underline{M}^{(p)}\) s'explicite comme l'image inverse ordinaire de Modules stratifiés sur \(X\) relativement à \(R\), resp. (dans le cas de isocristaux) de Modules stratifiés sur l'espace rigide-analytique \(X_K\), pour le « morphisme » \(X_K\to X_K\) d'espaces rigide-analytiques (relatif à \(f_K\) sur le corps de base !) induit par \(f_X\). Bien que \(f_X\) et par suite \(f_{X_K}\) soit loin d'être unique, le foncteur envisagé qu'il définit ne dépend pas[,] essentiellement[,] des choix faits.

1.15. Bicristaux et biisocristaux sur une base quelconque. Ne supposons plus nécessairement \(S\) de caractéristique déterminée \(p\). Pour chaque nombre premier \(p\), soit \(S_p\) la fibre \(V(p.1_{\underline{O}_S})\) de \(S\) sur le point \(p\underline{Z}\) de \(\operatorname{Spec}(\underline{Z})\). Un bicristal de poids \(i\) sur \(S\) est par définition la donnée d'un cristal de modules \(\underline{M}\) sur \(S\), et pour chaque \(p\) d'une structure de bi-cristal de poids \(i\) sur la restriction \(\underline{M}_p\) de \(\underline{M}\) à \(S_p\), définie par la donnée de \(F_p,V_p\). On définit de même la notion de bi-isocristal sur \(S\), étant entendu qu'un isocristal est un objet de la catégorie des isocristaux sur \(S\) (comme de juste), définie à partir de la catégorie des cristaux de modules en « localisant » par rapport à des entiers \(n>0\) arbitraires, i.e. en tensorisant les Hom sur \(\underline{Z}\) par \(\underline{Q}\). – Lorsque \(S\) est de caractéristique nulle, le supplément de structure impliqué par « bi » est évidemment vide, tandis que si \(S\) est de caractéristique \(p\), on retrouve les notions de 1.10. Lorsque enfin \(S\) est de type fini sur \(\underline{Z}\) et domine \(\operatorname{Spec}(\underline{Z})\), alors la notion envisagée est d'une nature essentiellement arithmétique, les différents \(F_p\) jouant le rôle d'homomorphismes de frobenius, comme de bien entendu ; dans le cas du poids 1, en

16p. 15 de la lettre. particulier, on peut considérer que le cristal avec sa bi-structure supplémentaire permet de relier entre eux les groupes formels en les diverses caractéristiques auxquels il donne naissance …

1.16. Un retour en arrière. La définition 1.1. et le sorite 1.3. sont un petit peu canulés. Au lieu de prendre dans 1.0. pour \(C\) la catégorie des [\(R\)-]flèches \(S\to T\) qui …, il faut prendre la catégorie des \(R\)-flèches \(U\to T\) qui …, où \(U\) est un ouvert induit non précisé de \(S\). De plus, la définition n'est guère raisonnable alors que si la catégorie fibrée envisagée \(\underline{F}\) est un « champ » pour la topologie de Zariski sur \((\mathrm{Sch})_{/R}\), i.e. si on peut y recoller flèches et objets. Ceci est nécessaire en tous cas pour pouvoir dans 1.3. définir la notion d'image inverse, la définition que j'y ai donnée n'étant raisonnable que si \(S,S'\) sont affines. Dans le cas général, il faut se localiser sur \(S\) et \(S'\) pour se ramener à cette situation. Autrement on bute sur des canulars idiots de nature globale, comme le fait que sans restriction sur \(S'\to S\), la construction indiquée [envisagée] de somme amalgamée fait sortir de la catégorie des préschémas … Il est probable qu'il y aura bien d'autres canulars de détail dans ces notes, mais[,] je pense[,] sans conséquence !

Il est évidemment tentant de vouloir interpréter les cristaux de modules comme faisceaux de modules sur un certain site. C'est possible, en prenant le « site cristallogène[*] de \(S\) sur \(R\) », qui est précisément le site dont la catégorie sous-jacente [\(C\)] est celle des \(R\)-morphismes \(U\to T\) (\(U\) ouvert de \(S\), \(U\to T\) immersion fermée surjective définie par Ideal nilpotent sur \(T\)), la topologie est celle de Zariski : on prend comme familles couvrantes « de définition » de \((U\to T)\) les familles définies par des recouvrements ouverts \((T_i)\) de \(T\), chaque \(T_i\) muni de la structure induite, et définissant \((U_i\to T_i)\) par \(U_i=U\cap T_i\). Un faisceau d'ensembles sur ce site s'identifie à un système de faisceaux d'ensembles \(F_{U\to T}\) sur les [objets] buts des objets de \(C\), avec[,] pour toute flèche \((U\to T)\to(U'\to T')\) de \(C\)[,] un homomorphisme de l'image inverse de \(F_{U'\to T'}\) sur dans [sur] \(T\), dans \(F_{U\to T}\) (homomorphisme qui n'est pas nécessairement un isomorphisme !) [(et qui est un isom. si \(T\to T'\) est une imm. ouverte)]. En particulier, associ-« \(R\)- », « \(C\) » et le petit « sur » au-dessus de « sur dans » biffé sont à l'encre ; « envisagée » et « objets » sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre ; l'astérisque après « cristallogène » est à l'encre ; la parenthèse finale est ajoutée à l'encre au pied de la page, entourée et appelée après « isomorphisme ! ) ».

17p. 16 de la lettre. ant en particulier à tout \((U\to T)\) le faisceau \(\underline{O}_T\) sur \(T\), on trouve un faisceau d'anneaux \(\underline{O}_C\) sur \(C\). Ceci posé, les cristaux de modules (quasi-cohérents) sur \(S\) s'identifient aux Modules quasi-cohérents (i.e. localement conoyau d'un homomorphisme de Modules libres) sur \(\underline{O}_C\) ; les cristaux « de type [prés.] finie » i.e. les cristaux de Modules de présentation finie, correspondent exactement aux Modules de présentation finie sur \(\underline{O}_C\).« en particulier » est biffé à l'encre ; « prés. » est tapé au-dessus de « type » biffé à la machine.

Quand on a un \(R\)-morphisme \(S'\to S\), je ne vois pas de morphisme naturel correspondant entre les sites cristallogènes correspondants à \(S,S'\). Ce n'est pas bien gênant, car introduisant les topos cristallogènes [\(\mathrm{Topcr}_{S/R}\) et \(\mathrm{Topcr}_{S'/R}\)] définis par les sites en question, on définit par la méthode esquissée dans 1.3. un morphisme \[ \mathrm{Topcr}_{S'/R}\longrightarrow\mathrm{Topcr}_{S/R}\ , \] correspondant à la notion naturelle de « image inverse de faisceaux » [au sens inverse] (qui, j'avoue, devrait être définie avec le plus grand soin).« \(\mathrm{Topcr}_{S/R}\) et \(\mathrm{Topcr}_{S'/R}\) » est tapé dans l'interligne, au-dessus de « définis par les sites », biffé à l'encre ; « au sens inverse » (lecture douteuse du second mot) est à l'encre, appelé avant la parenthèse.

1.17. On est donc dans une situation où on peut faire marcher la machine cohomologique. Etant loin de mes bases, je n'ai pas tenté sérieusement de tirer au clair si les images directes supérieures qu'on définit ainsi, et en particulier les groupes de cohomologie du site cristallogène, donnent ce qu'on voudrait.la fin de « cristallogène » est corrigée à l'encre sur un mot tapé. Le test-clef est le suivant : si \(R\) est le spectre d'un corps, et si \(S\) est lisse sur \(R\), et propre sur \(R\) dans le cas de la caractéristique \(p>0\), on voudrait trouver, comme cohomologie à coéfficients dans \(\underline{O}_C\) lui-même, la cohomologie de De Rham de \(S\) relativement à \(R\).marche en car. 0, et pas en car \(p>0\)au crayon, dans la marge de gauche, en travers, à hauteur de ce passage ; « pas » souligné. Plus généralement, sans condition sur \(R\), si \(f\colon S'\to S\) est propre et lisse, on voudrait trouver comme [« valeur en \(S\) » de] \(R^if_{\mathrm{cris}\,*}(\underline{O}_{C'})\) [(cf 1.4)] le faisceau de cohomologie de De Rham \(\underline{R}^if_*(\underline{\Omega}^*_{S'/S})\), […] et [on voudrait] que la connexion canonique à la Gauss-Manin sur ce dernier soit celle associée à la stratification canonique provenant de la structure cristalline (cf 1.8.).« "valeur en \(S\)" de » et « (cf 1.4) » sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre (le texte tape « \(S'\) » puis le corrige) ; « on voudrait » est à l'encre.(faut d'introduire des puiss. div.)au crayon, dans la marge de gauche, à hauteur de « que la connexion canonique » ; lecture douteuse. L'existence d'une connexion de Gauss-Manin en cohomologie de De-Rham (que j'ai vérifié pour n'importe quel morphisme lisse), et le tapis de Washnitzer-Monsky, sont en tous cas des indications assez fortes pour conduire à penser qu'il doive exister une théorie cohomologique, en termes de cristaux, donnant de telles valeurs pour l'argument \(\underline{O}_C\). Au cas où la cohomologie du site cris-

18p. 17 de la lettre. tallogène ne donnerait pas les résultats qu'il faut, on pourrait essayer (au lieu de prendre des foncteurs dérivés dans la catégorie de tous les Modules sur le site annelé cristallogène) de prendre des foncteurs dérivés dans la catégorie des seuls Modules quasi-cohérents sur le site cristallogène, i.e. dans la catégorie des cristaux de modules.

Chapitre 2 La cohomologie de De Rham est un cristal.

2.1. L'affirmation du titre n'est pour l'instant qu'une hypothèse ou un voeux pieux, mais je suis convaincu qu'elle est essentiellement correcte. Comme je l'ai dit dans 1.17., il y a pour le moment deux indications dans cette direction :

a) Le travail de Washnitzer-Monsky. Deux grosses imperfections dans leur tapis : 1º ils n'obtiennent que des invariants cohomologiques locaux sur leur variété lisse en caractéristique \(p>0\), via leurs relèvements ; pour avoir un invariant global, ils doivent se limiter à la dimension 1. On peut penser que cela tient à leur manque de familiarité avec les machines cohomologiques. 2º leurs invariants sont des (faisceaux de) vectoriels sur le corps des fractions de \(W\), et non sur \(W\), i.e. ils n'obtiennent que des invariants « modulo isogénie ». Il semble bien, en effet, que leur démonstration d'invariance fait intervenir de façon essentielle des dénominateurs. Il n'est pas exclu, d'après cette indication, que dans le titre du Chapitre il faille remplacer « cristal » par « isocristal » [(et « est » par « définit »)]. Ce serait bien dommage, mais n'exclurait pas pour autant l'existence d'une bonne théorie cohomologique pour les cristaux, qui pour un morphisme propre et lisse et le « cristal unité » coinciderait modulo isogénie avec ce que donne De Rham. Le test décisif reste celui indiqué dans 1.17, savoir : donne-t-il un résultat positif seulement en caractéristique zéro, ou en toute caractéristique ?« (et "est" par "définit") » est à l'encre, dans l'interligne.

b) L'existence des connexions de Gauss-Manin. J'ai vérifié pour tout morphisme lisse \(f\colon X\to S\) l'existence d'une connexion canonique [(absolue)] sur les \(\underline{R}^if_*\) au sens de De Rham relatif, ou plus correctement, sur le complexe« (absolue) » est à l'encre ; le \(X\) de « \(f\colon X\to S\) » est récrit à l'encre sur la lettre tapée, et le « \(f_*\) » complété à l'encre.

19p. 18 de la lettre. \(\underline{R}f_*(\underline{\Omega}^{\bullet}_{X/S})\), considéré comme objet de la catégorie dérivée \(D(\underline{O}_S)\). A vrai dire, je n'ai pas vérifié pour cette connexion une condition de « nullité de la [courbure] » ; c'est vérifié en tous cas (par voie transcendante !) si \(S\) est lisse[,] sur \(R\) réduit de caractéristique nulle.« courbure » est récrit à l'encre sur le mot tapé. [Il faut noter d'ailleurs qu'il n'y a pas d'espoir de montrer que la connexion en question provient toujours d'une stratification : c'est faux en caractéristique \(p>0\) ; la raison étant que la cohomologie de De Rham pour une variété algébrique non complète (par exemple affine) n'est plus du tout raisonnable, étant beaucoup trop grosse. Pour pouvoir espérer une stratification sur \(\underline{R}f_*(\underline{\Omega}^{\bullet}_{X/S})\), sans restriction de caractéristique, il faut donc supposer \(f\) propre.]crochets tracés à l'encre.

c) La nécessité d'une interprétation cristallographique de la cohomologie de De Rham est également suggérée par le problème que j'avais signalé dans mon papier bleu sur De Rham : si \(R\) est le spectre du corps des complexes, \(S\) lisse sur \(R\) et \(X\) lisse et propre sur \(S\), alors la théorie transcendante de la cohomologie nous fournit une suite spectrale \[ H^p\bigl(S^{\mathrm{an}},R^qf^{\mathrm{an}}_*(\underline{C}_{S^{\mathrm{an}}})\bigr) \Longrightarrow H^{\bullet}(X^{\mathrm{an}},\underline{C})\ , \] dont le terme initial et l'aboutissement d'autre part ont une description purement algébrique, comme cohomologie de De Rham de \(X\), et de \(S\) à coéfficients dans les \(\underline{R}^qf_*(\underline{\Omega}^{\bullet}_{X/S})\) munis de leur connexion canonique [intégrable] (ce qui permet de les prendre comme coéfficients dans la cohomologie de De Rham). On aimerait trouver une interprétation purement algébrique de cette suite spectrale toute entière.« intégrable » est tapé dans l'interligne et appelé à l'encre ; dans la suite spectrale, \(f^{\mathrm{an}}_*\) appliqué à \(\underline{C}_{S^{\mathrm{an}}}\) : sic (on attendrait \(\underline{C}_{X^{\mathrm{an}}}\)).

2.2. Je vais préciser […] l'affirmation du titre, en me plaçant dans l'éventualité optimiste bien sûr où on n'aurait pas besoin de s'isogéniser.« bien sûr » est entouré au crayon, et un crochet au crayon marque « dans l'éventualité » : sans doute pour déplacer les mots. On désigne, pour abréger, par le mot « complexe » sur un préschéma \(S\), un complexe de Modules à cohomologie quasi-cohérente, considéré comme objet de la catégorie dérivée qu'on sait ; Les catégories de ces complexes, pour une base variable,passage encadré et hachuré au crayon. Comme les cristaux de modules sur un préschéma \(S\) forment une catégorie abélienne, on peut prendre la catégorie dérivée ; ses objets seront appelés simplement « complexes de cristaux ». Un tel animal induit sur \(S\), et plus généralement sur tout objet-but \(T\) d'un objet \((U\to T)\) du site cristal-

20p. 19 de la lettre. logène [\(C\)] de \(S\), un complexe de Modules ordinaire (envisagé comme objet de la catégorie dérivée des faisceaux de Modules sur \(S\), resp. \(T\)). Un complexe de cristaux est dit pseudo-cohérent (resp. parfait, resp. …) si pour tout objet \((U\to T)\) de \(C\), le complexe induit sur \(T\) est pseudo-cohérent (resp. …). Ceci posé, voilà la théorie qu'on voudrait : A tout morphisme lisse et propre \(f\colon X\to S\), serait associé un complexe de cristaux [(absolu)] \(\mathrm{DR}(f)\) [sur \(S\)], appelé cohomologie de De Rham [cristalline] de \(f\).« (absolu) » et « sur \(S\) » sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre, avec un petit « c » à l'encre au-dessus de la ligne ; « cristalline » et le « \(C\) » en tête de page sont à l'encre. Ce complexe doit être parfait, sa formation doit être compatible avec tout changement de base sur \(S\) (l'image inverse des complexes de cristaux étant entendue, bien entendu, au sens de catégories dérivées …), et bien sûr \(\mathrm{DR}(f)\) dépend fonctoriellement (de façon cotravariante) de \(X\) sur \(S\). Tôt ou tard, il faudra expliciter aussi une formule de Künneth \(\mathrm{DR}(f\times_S g)\simeq\mathrm{DR}(f)\overset{L}{\otimes}\mathrm{DR}(g)\), et une formule de dualité, qui pour \(f\) partout de dimension relative \(d\) s'exprime comme un accouplement[,] définissant une autodualité[,] \[ \mathrm{DR}(f)\times\mathrm{DR}(f)\longrightarrow T^d[2d]\ , \] où \(T^d\) est le cristal de Tate de poids \(2d\), et où \([2d]\) indique qu'on translate les degrés de \(2d\) (attention au facteur 2 !).les crochets de \([2d]\), le « 2 » de « poids \(2d\) » et le signe \(\simeq\) de la formule de Künneth sont à l'encre. Enfin, on veut comme de juste un isomorphisme \(\mathrm{DR}(f)(S)\simeq\underline{R}f_*(\underline{\Omega}^{\bullet}_{X/S})\), fonctoriel en \(X\), compatible avec les changements de base, avec Künneth et la dualité (déjà connus pour la cohomologie de De Rham ordinaire).

Par prudence, je me suis abstenu de dire quoi que ce soit sur le cas \(f\) non propre, dont il faudrait parler tout au moins si on voulait faire sérieusement le lien avec Washnitzer-Monsky.

2.3. La cohomologie de De Rham comme bi[iso]cristal. A supposer qu'on ait une théorie du type envisagé dans 2.2., […] on trouve pour chaque entier \(p\) un homomorphisme de frobenius \[ F_p\colon \mathrm{DR}(f)_p^{(p)}\longrightarrow\mathrm{DR}(f)_p\ , \] où l'indice \(p\) au complexe de cristaux \(\mathrm{DR}(f)\) désigne la restriction à \(S_p=V(p.1)\) (au sens des catégories dérivées), qui d'après les conditions de 2.2. n'est autre que \(\mathrm{DR}(f_p)\), \(f_p\colon X_p\to S_p\) étant induit par \(f\). Utilisant toujours la même condi-« iso » est récrit à l'encre sur le « cr » tapé de « bicristal » ; les parenthèses autour de « au sens des catégories dérivées » sont à l'encre. La lettre se poursuit au lot suivant.