Cote n° 6 · pages 1–66 · Lecture modernisée · Lettre Tate (mai 66) (Cristaux) : lettre (1966), tapuscrit (s.d.), notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1966-[à partir de 1970]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–1

Le fil du dossier, et les conventions

Le fil. Le dossier a deux parties, de dates différentes.

• La lettre à Tate, Pise, mai 1966 (pages 1 et 3 à 31). Trois chapitres. Le chapitre 1 (pages 1 à 18) définit les cristaux, leurs variantes munies d'un Frobenius, les isocristaux, et les décrit dans les cas calculables ; il propose un site dont les cristaux sont les faisceaux quasi-cohérents, et formule le « test-clef » : la cohomologie de ce site doit donner la cohomologie de De Rham. Le chapitre 2 (pages 18 à 29) postule une cohomologie de De Rham à valeurs dans les cristaux, l'explicite pour les schémas abéliens (trois « affirmations »), puis la réfute sous la forme proposée (2.7) et en tire les conséquences (2.8). Le chapitre 3 (pages 30 et 31) transpose la construction aux groupes \(p\)-divisibles et s'arrête sur une question.
• Les notes manuscrites (pages 32 à 65), sous des chemises titrées de sa main : la réduction des courbes elliptiques et leur module de Tate \(p\)-adique (pages 32 à 36) ; une feuille de Tate (pages 37 et 38) ; des questions de « théorie de Tate–Hodge » (pages 39 à 44) ; la question d'isogénie de Barsotti (pages 46 à 50) ; les déformations d'extensions de groupes de Barsotti–Tate et la structure locale des schémas modulaires (pages 51 à 56) ; des compléments sur les groupes de Witt (pages 58 et 59) ; les groupes finis en caractéristique \(p\) et leurs cristaux de Dieudonné (pages 60 à 65).

La question de la page 31 — déterminer le module de Tate de la fibre générique d'un groupe \(p\)-divisible à partir de son module de Dieudonné filtré — est celle que les pages 40 à 44 reprennent du côté galoisien. Les pages 51 à 65 reprennent, du côté des groupes, le cristal de Dieudonné que la lettre cherchait à atteindre par la cohomologie de De Rham.

Deux notions de cristal. Le mot « cristal » a aujourd'hui deux sens, et la lettre n'en connaît qu'un. Ses cristaux sont définis sur les épaississements nilpotents quelconques ; on les appelle aujourd'hui cristaux sur le site infinitésimal. Ceux de la théorie cristalline, due à Berthelot, ne sont définis que sur les épaississements munis de puissances divisées. Les deux théories coïncident en caractéristique nulle et divergent en caractéristique \(p\). On dit ici « cristal » au sens de la lettre, et « cristal à puissances divisées » pour l'autre ; là où la différence décide de la vérité d'un énoncé — c'est le cas aux pages 13, 17, 21 à 31 —, on le dit.¹

Noms. La lettre parle de \(p\)-cristal, de \(p^{-1}\)-cristal, de bicristal de poids \(i\) et de bi-isocristal. On dit aujourd'hui \(F\)-cristal, \(V\)-cristal, et \(F\)-isocristal pour le dernier ; on garde « bicristal de poids \(i\) », qui n'a pas d'équivalent courant, et « cristal de Dieudonné » pour le poids 1, nom que la lettre propose elle-même. On note \(\Phi\) le groupe \(p\)-divisible que le tapuscrit écrit avec le signe « Ø »,² et \(E(A)\), \(E(\Phi)\) l'extension vectorielle universelle que la lettre note \(G(A)\), \(G(\Phi)\).

L'ordre des feuillets. Il est celui du fac-similé, sauf en un point : les pages 33 à 36 se lisent dans l'ordre 33, 34, 36, 35 (la page 36 s'arrête sur « Je conjecture », la page 35 commence par « que cet élément a une image non nulle »). Le crayon des archivistes numérote les pages 39 à 66 du fac-similé de 50 à 77 ; on suit le fac-similé.

1–3

La lettre, chapitre 1 : la notion de cristal (pages 1 à 18)

Les épaississements de \(S\) et la définition (pages 1 à 3)

La lettre est une copie dactylographiée, corrigée de sa main à l'encre et au crayon, datée en tête « Pise, Mai 1966 ».³ Elle commence par un commentaire terminologique : un cristal possède deux propriétés caractéristiques, la rigidité et la faculté de croître dans un voisinage approprié, et il y a des cristaux de toute espèce de substance — « de soude, de soufre, de modules, d'anneaux, de schémas relatifs ».

1.0. Soit \(S\) un schéma au-dessus d'un schéma \(R\) (le cas principal est \(R = \operatorname{Spec}\mathbf{Z}\)). On considère la catégorie \(C\) des épaississements nilpotents de \(S\) au-dessus de \(R\) : les \(R\)-schémas \(T\) munis d'un \(R\)-morphisme \(S \to T\) qui est une immersion fermée définie par un idéal localement nilpotent ; les morphismes sont les \(R\)-morphismes sous \(S\).⁴ La catégorie fibrée des modules quasi-cohérents sur des schémas variables induit sur \(C\) une catégorie fibrée, qui associe à \(T\) la catégorie des \(\mathcal{O}_T\)-modules quasi-cohérents.

Définition 1.1. Un cristal de modules (quasi-cohérents) sur \(S\) relativement à \(R\) est une section cartésienne de cette catégorie fibrée au-dessus de \(C\) : la donnée, pour tout épaississement \(T\), d'un module quasi-cohérent \(\mathcal{M}_T\), et pour toute flèche \(u : T \to T'\) de \(C\) d'un isomorphisme \(u^*\mathcal{M}_{T'} \simeq \mathcal{M}_T\), ces isomorphismes étant compatibles à la composition. Plus généralement, pour toute catégorie fibrée \(\mathcal{F}\) sur \((\mathrm{Sch})_{/R}\), on définit de même les \(\mathcal{F}\)-cristaux : cristaux d'algèbres, d'algèbres commutatives, de schémas relatifs. Pour \(R = \operatorname{Spec}\mathbf{Z}\) on parle de cristaux absolus.

Le mot dit l'idée : un cristal est un objet sur \(S\) qui « croît » le long de tout épaississement, de façon unique à isomorphisme unique près, et de façon « rigide », puisque toutes les flèches de transition sont des isomorphismes. Ce sont, en termes d'aujourd'hui, les cristaux quasi-cohérents sur le site infinitésimal de \(S\) relativement à \(R\).

1.2 et 1.3. Les \(\mathcal{F}\)-cristaux forment une catégorie qui dépend fonctoriellement de \(\mathcal{F}\), ce qui munit les cristaux de modules des opérations tensorielles habituelles. Si \(S \to R' \to R\), un cristal relatif à \(R\) en définit un relatif à \(R'\) par restriction ; en particulier un cristal absolu définit un cristal relatif pour toute base. Pour \(S' \to S\), on définit l'image inverse en construisant un foncteur \(C' \to C\) : à un épaississement \(S' \to T'\) on associe la somme amalgamée \(T = S \amalg_{S'} T'\), qui est un épaississement de \(S\). Les cristaux de type \(\mathcal{F}\) forment ainsi une catégorie fibrée sur \((\mathrm{Sch})_{/R}\), et les deux variances, en \(R\) et en \(S\), se combinent en une variance en \((R,S)\).⁵

3–5

La valeur en \(S\) et trois exemples (pages 3 à 5)

1.4. On a le foncteur « valeur en \(S\) », \(\mathcal{M} \mapsto \mathcal{M}_S\), des cristaux de modules vers les \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents. Il n'est en général pas fidèle (exemple 1 ci-dessous) : il est donc dangereux de voir un cristal comme un module sur \(S\) muni d'une structure supplémentaire. Ce point de vue devient raisonnable lorsque le foncteur est fidèle, ce qui arrive dans les cas de 1.8.

Exemple 1 (1.5) : vecteurs de Witt. Soit \(S = \operatorname{Spec}k\), \(k\) un corps parfait, et \(R = \operatorname{Spec}\mathbf{Z}\). Soit \(W\) l'anneau de Cohen de \(k\) : si \(\operatorname{car}k = p > 0\), c'est l'anneau \(W(k)\) des vecteurs de Witt ; si \(\operatorname{car}k = 0\), c'est \(k\) lui-même, et on suppose alors \(k\) algébrique sur \(\mathbf{Q}\).⁶ La catégorie \(C\) est alors équivalente à celle des \(W\)-algèbres locales, annulées par une puissance de l'idéal maximal de \(W\), à corps résiduel \(k\).⁷ Écrivant \(W = \varprojlim W_n\), on trouve, pour \(p > 0\), qu'un cristal de modules absolu sur \(k\) équivaut à un système projectif \((M_n)\) de \(W_n\)-modules avec \(M_{n+1} \otimes W_n \simeq M_n\), et que les cristaux de présentation finie forment une catégorie équivalente à celle des \(W\)-modules de type fini. Pour \(p = 0\) on trouve les \(k\)-espaces vectoriels. La valeur en \(S\) s'identifie alors au foncteur \(M \mapsto M \otimes_W k\), qui, pour \(p > 0\), n'est pas fidèle : la multiplication par \(p\) sur \(W\) devient nulle.

C'est le premier exemple de ce que la notion veut capter : un objet sur le corps \(k\) de caractéristique \(p\) dont la vraie nature est un module sur l'anneau \(p\)-adique \(W(k)\).

Exemple 2 (1.6) : \(S\) étale sur \(R\). Si \(S = R\), ou plus généralement si \(S\) est étale sur \(R\), alors \(S\) est objet final de \(C\), et la valeur en \(S\) est une équivalence : un cristal est simplement un objet sur \(S\). En particulier, un cristal de modules sur \(\operatorname{Spec}\mathbf{Z}\) est un \(\mathbf{Z}\)-module.

Exemple 3 (1.7) : \(S\) sous-schéma de \(R\). On peut supposer \(S\) fermé dans \(R\), défini par un idéal quasi-cohérent \(J\). Soit \(S_n = V(J^{n+1})\) le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(S\) dans \(R\).⁸ La famille des \(S_n\) est finale dans \(C\), localement sur \(S\),⁹ de sorte qu'un cristal équivaut à une suite compatible d'objets sur les \(S_n\). Si \(R\) est localement noethérien, un cristal de modules de présentation finie s'identifie à un module cohérent sur le complété formel de \(R\) le long de \(S\). Grâce à Cohen, un cristal absolu sur \(k\) parfait est la même chose qu'un cristal relatif à \(W\) : cet exemple contient donc l'exemple 1 en caractéristique \(p\). Les exemples 2 et 3 ont une généralisation commune, pour \(S \to R\) non ramifié, qui permet encore de construire des voisinages infinitésimaux.

5–6

Cristaux et stratifications (pages 5 et 6)

1.8. Pour \(n \geq 0\), soit \(\Delta_n\) le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de la diagonale de \(S \times_R S\), avec ses deux projections \(\mathrm{pr}_1, \mathrm{pr}_2\) vers \(S\). Pour un objet \(E\) de \(\mathcal{F}_S\) :

• une \(n\)-connexion sur \(E\) est un isomorphisme \(\mathrm{pr}_1^*E \simeq \mathrm{pr}_2^*E\) sur \(\Delta_n\) induisant l'identité sur la diagonale ;
• une pseudo-stratification (ou \(\infty\)-connexion) est une famille compatible de \(n\)-connexions pour tout \(n\) ;
• une stratification est une pseudo-stratification qui vérifie la condition de cocycle d'une donnée de descente sur les voisinages infinitésimaux de la diagonale de \(S \times_R S \times_R S\).

Si \(S\) est formellement non ramifié sur \(R\), c'est-à-dire si \(\Omega^1_{S/R} = 0\), ces notions sont triviales : tout objet porte une unique stratification, et les objets stratifiés s'identifient, par la valeur en \(S\), à \(\mathcal{F}_S\) lui-même.¹⁰ Le foncteur d'oubli des objets stratifiés vers \(\mathcal{F}_S\) est toujours fidèle.

Tout cristal \(\mathcal{M}\) définit sur sa valeur \(\mathcal{M}_S\) une stratification canonique — les deux images inverses de \(\mathcal{M}\) sur \(\Delta_n\) sont toutes deux la valeur de \(\mathcal{M}\) sur l'épaississement \(\Delta_n\) de \(S\) —, d'où un foncteur des cristaux vers les objets stratifiés, qui d'après 1.4 n'est pas toujours fidèle. C'est une équivalence lorsque \(S \to R\) est formellement lisse, par exemple lisse, ou lorsque \(S\) et \(R\) sont les spectres de corps \(k \supset k_0\) avec \(k\) séparable sur \(k_0\) ; si \(S \to R\) est formellement étale, les deux catégories sont équivalentes à \(\mathcal{F}_S\), ce qui redonne l'exemple 1 en caractéristique nulle.

La lettre avance, « sauf erreur » et sans démonstration, que l'équivalence vaut encore pour \(S \to R\) plat et localement de présentation finie, du moins pour \(R\) localement noethérien et les modules cohérents. On ne reprend pas cet énoncé comme établi.¹¹

6–7

Digression : la caractéristique nulle et le théorème de Cartier (page 6)

1.9. Si \(S\) est lisse sur \(R\) et \(R\) de caractéristique nulle, une stratification sur un module \(M\) est déterminée par la \(1\)-connexion qu'elle définit, c'est-à-dire par une connexion \(\nabla\), et une connexion provient d'une stratification si et seulement si sa courbure, section de \(\Omega^2_{S/R} \otimes \underline{\mathrm{End}}(M)\), est nulle ; autrement dit, stratifications et connexions intégrables coïncident.¹² L'hypothèse de caractéristique nulle est essentielle. En caractéristique \(p > 0\), l'énoncé qui la remplace est le théorème de Cartier : la donnée d'une connexion intégrable de \(p\)-courbure nulle sur \(M\) équivaut à une donnée de descente de \(M\) le long du Frobenius relatif \(S \to S^{(p/R)}\).¹³ « Il y a loin de là à une stratification ! » : en caractéristique \(p\), une stratification demande l'action de tous les opérateurs \(\partial^n/n!\), et non des seules dérivations.

6–9

\(F\)-cristaux, \(V\)-cristaux, cristaux de Dieudonné (pages 6 à 9)

1.10. On suppose maintenant \(S\) de caractéristique \(p > 0\) et \(R = \operatorname{Spec}\mathbf{Z}\) (ou \(\operatorname{Spec}\mathbf{Z}_p\), ce qui revient au même). Si \(\mathcal{M}\) est un cristal de modules de présentation finie, sa valeur en un point parfait \(s'\) au-dessus d'un point \(s\) de \(S\) est, par 1.5, un module de type fini sur \(W(k(s'))\) : un cristal est une « famille algébrique » de modules sur les anneaux de Witt des points parfaits de \(S\) — et quelque chose de plus fin lorsque \(S\) n'est pas parfait, par exemple le spectre d'un corps de fonctions.

Le Frobenius absolu \(\mathrm{frob}_S : S \to S\) (puissance \(p\)-ième) permet d'associer à tout cristal \(\mathcal{M}\) son image inverse \(\mathcal{M}^{(p)} = \mathrm{frob}_S^*\mathcal{M}\). On appelle

• \(F\)-cristal (la lettre : \(p\)-cristal) un cristal muni d'un morphisme \(F : \mathcal{M}^{(p)} \to \mathcal{M}\) ;
• \(V\)-cristal (la lettre : \(p^{-1}\)-cristal) un cristal muni d'un morphisme \(V : \mathcal{M} \to \mathcal{M}^{(p)}\) ;
• bicristal de poids \(i\), lorsque \(\mathcal{F}\) est fibrée en catégories additives, un cristal muni de \(F\) et de \(V\) avec \[ FV = p^i\,\mathrm{id}_{\mathcal{M}}, \qquad VF = p^i\,\mathrm{id}_{\mathcal{M}^{(p)}} . \]

Pour \(i = 1\), c'est un cristal de Dieudonné.¹⁴ Les \(F\)-cristaux de modules ont les opérations tensorielles covariantes ; un foncteur contravariant (le dual) échange \(F\)-cristaux et \(V\)-cristaux, et les bicristaux de poids \(i\) sont stables par dualité (pour des objets localement libres de type fini) : c'est pour avoir une notion « autoduale » que la lettre introduit le bicristal. Le poids 1 lui semble adapté aux groupes formels, ou, « ce qui revient moralement au même », à la cohomologie de De Rham en degré 1 ; le poids \(i\) au degré \(i\).

Le bicristal de Tate \(T^i\) est le cristal unité \(T \mapsto \mathcal{O}_T\) muni de \(F = V = p^i\) ; il est de poids \(2i\), et \(T^i\) est la puissance tensorielle \(i\)-ième de \(T^1\), qui est de poids 2.¹⁵ Les bicristaux de poids quelconques se multiplient tensoriellement, les poids s'additionnant. En termes modernes, \(T^1\) est le \(F\)-cristal de Tate, celui de la cohomologie \(H^2\) de la droite projective.

8–11

Isocristaux et \(F\)-isocristaux (pages 8 à 11)

1.11. Pour rendre \(T^1\) inversible, il faut passer à une catégorie de fractions. La catégorie des cristaux de modules sur \(S\) est \(\mathbf{Z}_p\)-linéaire (les \(\mathrm{Hom}\) sont des limites projectives de modules annulés par des puissances de \(p\)) ; rendre ses \(\mathrm{Hom}\) \(\mathbf{Q}\)-linéaires ou \(\mathbf{Q}_p\)-linéaires revient au même. Pour les cristaux de type fini, c'est garder les mêmes objets et remplacer \(\mathrm{Hom}\) par \(\mathrm{Hom} \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}\) ; dans les cas où la catégorie des cristaux est abélienne, cela revient à quotienter par la sous-catégorie épaisse des objets de torsion.¹⁶ On obtient les isocristaux (« cristaux de modules à isogénie près »)¹⁷ , puis les \(F\)-isocristaux, munis de \(F : \mathcal{M}^{(p)} \to \mathcal{M}\).

Il n'y a plus lieu de parler de bi-isocristal de poids \(i\), puisque \(V\) serait déterminé par \(F\) comme \(p^iF^{-1}\). La lettre appelle donc bi-isocristal un \(F\)-isocristal dont le \(F\) est un isomorphisme, sans choisir de poids : c'est ce qu'on appelle aujourd'hui un \(F\)-isocristal. La notion est autoduale sur les objets de type fini : le dual de \((\mathcal{M}, F)\) est \((\mathcal{M}^\vee, {}^tF^{-1})\).¹⁸

En localisant les bicristaux de poids \(i\), on obtient une catégorie \(\mathrm{IsBicr}(S,i)\) et un foncteur exact « oubli de \(V\) » \[ \mathrm{IsBicr}(S,i) \longrightarrow \mathrm{IsBicr}(S) \] vers les \(F\)-isocristaux. Il est pleinement fidèle, puisque \(V\) y est déterminé par \(F\). Les foncteurs \(\mathrm{Bicr}(S,i) \to \mathrm{Bicr}(S,i+1)\), \((\mathcal{M}, F, V) \mapsto (\mathcal{M}, F, pV)\), deviennent après localisation des foncteurs pleinement fidèles \(\mathrm{IsBicr}(S,i) \to \mathrm{IsBicr}(S,i+1)\) : les bicristaux de poids croissant forment une généralisation de plus en plus large des cristaux de Dieudonné, et les \(F\)-isocristaux les englobent tous, avec « la louable vertu » d'être stables par produit tensoriel et par dualité. C'est la catégorie que la lettre propose comme catégorie de valeurs d'une cohomologie de De Rham « à isogénie près ».

Exemple 1 (1.12) : \(S\) spectre d'un corps parfait \(k\). Un cristal de type fini est un \(W\)-module de type fini \(M\) ; le Frobenius \(\sigma = f_W\) de \(W\) donne \(M^{(p)} = M \otimes_{W,\sigma} W\). Une structure de \(F\)-cristal est un endomorphisme \(\sigma\)-semi-linéaire \(F : M \to M\) ; une structure de \(V\)-cristal, un endomorphisme \(\sigma^{-1}\)-semi-linéaire \(V\) ; et \((F,V)\) définit un bicristal de poids \(i\) si et seulement si \(FV = VF = p^i\). Pour \(i = 1\) on retrouve les modules de Dieudonné : les cristaux de Dieudonné sur \(k\) sont les modules de Dieudonné. Les isocristaux de type fini sont les espaces vectoriels de dimension finie sur \(K = \operatorname{Frac}W\), et un \(F\)-isocristal est un tel espace muni d'une bijection \(\sigma\)-semi-linéaire \(F\).

L'image essentielle de \(\mathrm{IsBicr}(k,i)\) est formée des \((E, F)\) tels que, posant \(V = p^iF^{-1}\), l'orbite de tout vecteur sous les monômes non commutatifs en \(F\) et \(V\) soit bornée — « pure tautologie », car un réseau stable existe alors. Il existe un \(i\) convenable si et seulement si les \(F^nx\) sont bornés pour tout \(x\).¹⁹ Cette propriété est stable par \(F \mapsto pF\) (produit par le bi-isocristal de Tate) mais non par \(F \mapsto p^{-1}F\) ; comme on tient à inverser Tate, il n'est pas naturel d'imposer une condition de croissance. Appelant effectifs les \(F\)-isocristaux qui proviennent d'un \(\mathrm{IsBicr}(S,i)\), on a : tout \(F\)-isocristal est de la forme \(T^{-i} \otimes \mathcal{N}\) avec \(\mathcal{N}\) effectif. « On n'a pas ajouté plus de nouveaux objets qu'il n'était absolument nécessaire ! »

11–15

Exemple 2 : \(S\) lisse sur un corps parfait (pages 11 à 15)

1.13. Soit \(S\) lisse sur un corps parfait \(k\) de caractéristique \(p\). La catégorie \(C\) ne change pas quand on remplace \(R = \operatorname{Spec}\mathbf{Z}\) par \(\operatorname{Spec}W\), et un cristal relatif à \(W\) équivaut à un système compatible de cristaux relatifs aux \(W_n = W/p^{n+1}W\).²⁰ On peut se localiser sur \(S\) et le supposer affine ; il se relève alors en des \(S_n\) lisses sur \(W_n\), compatibles entre eux. Comme \(S \to S_n\) est une immersion fermée nilpotente, les cristaux sur \(S\) relatifs à \(W_n\) sont les cristaux sur \(S_n\) relatifs à \(W_n\), et par 1.8 les objets de \(S_n\) munis d'une stratification relative à \(W_n\). En résumé : un cristal sur \(S\) s'identifie à un système compatible \((M_n)\) d'objets stratifiés sur les \(S_n\) relativement aux \(W_n\).

Si \(S\) se relève même en un schéma \(X\) propre et lisse sur \(W\) — hypothèse « évidemment bien restrictive » —, les théorèmes de comparaison d'EGA III, 4 et 5 donnent : les cristaux de modules cohérents sur \(S\) forment une catégorie équivalente à celle des modules cohérents sur \(X\) munis d'une stratification relative à \(W\), catégorie qui se trouve donc indépendante du relèvement. Sur la fibre générique \(X_K\), schéma propre et lisse sur le corps \(K\) de caractéristique nulle, on obtient un foncteur de restriction des cristaux cohérents sur \(S\) vers les modules cohérents munis d'une stratification relative à \(K\),²¹ c'est-à-dire, \(X_K\) étant lisse en caractéristique nulle, d'une connexion intégrable ; de tels modules sont localement libres.²²

Si de plus \(X_K\) est géométriquement connexe et \(K\) se plonge dans \(\mathbf{C}\), ces modules à connexion intégrable s'interprètent par les représentations complexes du groupe fondamental de \(X_{\mathbf{C}}^{\mathrm{an}}\). Si ce groupe est trivial, tout module stratifié sur \(X_K\) est trivial, et tout cristal cohérent sur \(S\) est isogène à un cristal constant, image inverse d'un cristal sur \(k\) ; par rigidité, tout \(F\)-cristal cohérent, tout bicristal de poids \(i\), est isogène à un objet constant de même espèce. « On voit donc là un principe d'approche transcendante pour l'étude des familles de groupes formels en caractéristique \(p\). » Le foncteur induit sur les isocristaux cohérents est pleinement fidèle ; est-ce une équivalence ? La lettre trouve cela « un peu trop optimiste », et une note de sa main en marge répond : « Effectivement, ça ne marche pas ! ».²³

Si \(S\) n'est relevé que formellement, en un schéma formel \(X\) sur \(\operatorname{Spf}W\), il reste vrai, de façon essentiellement triviale, que les cristaux cohérents sur \(S\) sont les modules cohérents sur \(X\) munis d'une stratification relative à \(\operatorname{Spf}W\). L'analogue de \(X_K\) est alors l'espace rigide-analytique défini par \(X\), avec ses modules cohérents munis de stratifications au sens rigide-analytique (encore localement libres), et l'on a encore un foncteur pleinement fidèle des isocristaux cohérents sur \(S\) vers ces modules. Il faut en déterminer l'image essentielle, « car c'est vraiment ici la situation naturelle », et se demander si ces modules ne se décrivent pas par un groupe « plus ou moins discret » jouant le rôle du groupe fondamental. Conséquence immédiate de la description : pour \(S\) de type fini sur \(k\), la catégorie des cristaux cohérents est noethérienne, tout objet a un plus grand sous-objet de torsion, et les objets sans torsion correspondent à des modules stratifiés sans torsion, donc localement libres, sur \(X\).

1.14. Il reste à décrire \(\mathcal{M} \mapsto \mathcal{M}^{(p)}\). Un carré commutatif \(S' \to S\) au-dessus de \(k' \to k\), relevé en \(X' \to X\) au-dessus de \(W' \to W\), explicite l'image inverse des cristaux par celle des modules stratifiés. Pour le Frobenius, il s'agit de relever \(S \to S^{(p/k)}\) en un morphisme de schémas formels \(f_X : X \to X\) compatible au Frobenius de \(W\), ce qui est possible pour \(S\) affine. Alors \(\mathcal{M} \mapsto \mathcal{M}^{(p)}\) est l'image inverse ordinaire par \(f_X\) des modules stratifiés sur \(X\) — resp., pour les isocristaux, par le morphisme d'espaces rigides \(X_K \to X_K\) qu'il induit, semi-linéaire au-dessus du Frobenius de \(K\). Le relèvement \(f_X\) n'est pas unique, mais le foncteur qu'il définit n'en dépend pas, à isomorphisme canonique près.

15–16

Base quelconque (pages 15 et 16)

1.15. Pour \(S\) sans caractéristique fixée, soit \(S_p = V(p)\) la fibre de \(S\) en \(p\). Un bicristal de poids \(i\) sur \(S\) est un cristal de modules \(\mathcal{M}\) muni, pour chaque \(p\), d'une structure \((F_p, V_p)\) de bicristal de poids \(i\) sur la restriction \(\mathcal{M}_p\) à \(S_p\). De même pour les \(F\)-isocristaux, les isocristaux étant maintenant obtenus en tensorisant les \(\mathrm{Hom}\) par \(\mathbf{Q}\). En caractéristique nulle la structure supplémentaire est vide ; pour \(S\) de type fini et dominant sur \(\operatorname{Spec}\mathbf{Z}\), elle est de nature arithmétique, les \(F_p\) jouant le rôle des Frobenius, et en poids 1 le cristal « relie entre eux les groupes formels en les diverses caractéristiques ».

16–18

Le site infinitésimal, et le test de De Rham (pages 16 à 18)

1.16. « Un retour en arrière. » La définition 1.1 et la construction de 1.3 sont « un petit peu canulées ». Il faut prendre pour \(C\) la catégorie des \(R\)-flèches \(U \to T\), où \(U\) parcourt les ouverts de \(S\) et \(U \to T\) est une immersion fermée définie par un idéal nilpotent, et se borner aux catégories fibrées \(\mathcal{F}\) qui sont des champs pour la topologie de Zariski. On munit \(C\) de la topologie de Zariski : une famille couvrante de \((U \to T)\) est donnée par un recouvrement ouvert \((T_i)\) de \(T\), avec \(U_i = U \cap T_i\). C'est le « site cristallogène de \(S\) sur \(R\) », que Grothendieck appellera ensuite site infinitésimal.

Un faisceau \(\mathcal{G}\) sur ce site est un système de faisceaux \(\mathcal{G}_{(U,T)}\) sur les \(T\), avec, pour toute flèche \((U \to T) \to (U' \to T')\), un morphisme de l'image inverse de \(\mathcal{G}_{(U',T')}\) sur \(T\) vers \(\mathcal{G}_{(U,T)}\), qui n'est pas nécessairement un isomorphisme, mais l'est lorsque \(T \to T'\) est une immersion ouverte.²⁴ Les \(\mathcal{O}_T\) forment un faisceau d'anneaux \(\mathcal{O}_C\), et les cristaux de modules quasi-cohérents sont exactement les \(\mathcal{O}_C\)-modules quasi-cohérents (localement conoyaux de modules libres) ; les cristaux de présentation finie, les \(\mathcal{O}_C\)-modules de présentation finie. Pour \(S' \to S\), il n'y a pas de morphisme naturel de sites, mais il y a un morphisme des topos cristallogènes \(\mathrm{Topcr}_{S'/R} \to \mathrm{Topcr}_{S/R}\), construit comme en 1.3, « qui, j'avoue, devrait être défini avec le plus grand soin ».

1.17. Le test-clef. On peut alors faire marcher la machine cohomologique. Le test : si \(R\) est le spectre d'un corps et \(S\) lisse sur \(R\) (et propre en caractéristique \(p > 0\)), la cohomologie du site à coefficients dans \(\mathcal{O}_C\) doit être la cohomologie de De Rham de \(S\) sur \(R\) ; et pour \(f : S' \to S\) propre et lisse, la valeur en \(S\) de \(R^if_{\mathrm{cris}*}(\mathcal{O}_{C'})\) doit être \(R^if_*(\Omega^\bullet_{S'/S})\), la connexion de Gauss–Manin étant celle de la stratification canonique. Les indices : l'existence de la connexion de Gauss–Manin, et « le tapis de Washnitzer–Monsky ». À défaut, on dériverait dans la seule catégorie des cristaux.

Une note au crayon dans la marge tranche : « marche en car. 0, et pas en car \(p > 0\) ». C'est exact. En caractéristique nulle, la cohomologie du site infinitésimal calcule la cohomologie de De Rham — c'est le théorème que Grothendieck démontrera à l'IHÉS en décembre 1966. En caractéristique \(p\), elle ne la calcule pas : sur le site infinitésimal, \(\mathcal{O}_C\) ne voit que les fonctions annulées par tous les opérateurs différentiels, y compris les \(\partial^n/n!\), alors que la cohomologie de De Rham ne voit que la différentielle \(d\). Le remède est celui qu'indique l'autre note au crayon : se borner aux épaississements munis de puissances divisées. Le site qu'on obtient est le site cristallin de Berthelot, et pour lui le test-clef est un théorème.²⁵

18–19

La lettre, chapitre 2 : « La cohomologie de De Rham est un cristal » (pages 18 à 29)

Trois indications (pages 18 et 19)

2.1. Le titre est « un vœu pieux », mais la lettre le croit « essentiellement correct ». Trois indications le soutiennent.

a) Le travail de Washnitzer et Monsky. Il a deux défauts : il ne donne que des invariants locaux sur une variété lisse en caractéristique \(p\), ce qui limite à la dimension 1 pour un invariant global ; et ses invariants sont des espaces vectoriels sur \(\operatorname{Frac}W\), c'est-à-dire « modulo isogénie », les démonstrations d'invariance faisant intervenir des dénominateurs. Il n'est donc pas exclu qu'il faille remplacer, dans le titre, « cristal » par « isocristal » « (et "est" par "définit") ».²⁶ Le test décisif reste 1.17 : marche-t-il seulement en caractéristique nulle, ou en toute caractéristique ?

b) La connexion de Gauss–Manin. Pour tout morphisme lisse \(f : X \to S\), il y a une connexion canonique (absolue) sur les \(R^if_*\Omega^\bullet_{X/S}\), et même sur le complexe \(Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}\) dans la catégorie dérivée \(D(\mathcal{O}_S)\). Sa courbure est nulle, vérifiée par voie transcendante pour \(S\) lisse sur une base réduite de caractéristique nulle.²⁷ En caractéristique \(p\), il n'y a pas d'espoir que cette connexion provienne toujours d'une stratification : la cohomologie de De Rham d'une variété affine y est « beaucoup trop grosse ». Il faut donc au moins supposer \(f\) propre — condition nécessaire, dont 2.7 montrera qu'elle n'est pas suffisante.

c) Le « papier bleu ». Pour \(S\) lisse sur \(\mathbf{C}\) et \(f : X \to S\) lisse et propre, la suite spectrale de Leray \[ E_2^{pq} = H^p\bigl(S^{\mathrm{an}}, R^qf^{\mathrm{an}}_*\mathbf{C}_{X^{\mathrm{an}}}\bigr) \Longrightarrow H^{p+q}(X^{\mathrm{an}}, \mathbf{C}) \] a un terme initial et un aboutissement qui se décrivent algébriquement — par la cohomologie de De Rham de \(X\), et celle de \(S\) à coefficients dans les \(R^qf_*\Omega^\bullet_{X/S}\) munis de leur connexion intégrable. On voudrait une interprétation algébrique de la suite spectrale tout entière.²⁸

19–20

Le formalisme souhaité (pages 19 et 20)

2.2. « Dans l'éventualité optimiste où on n'aurait pas besoin de s'isogéniser », les cristaux de modules forment une catégorie abélienne dont on prend la catégorie dérivée : ses objets sont les complexes de cristaux, qui induisent sur chaque épaississement \(T\) un complexe de \(\mathcal{O}_T\)-modules ; un complexe de cristaux est parfait, pseudo-cohérent… s'il l'est sur chaque \(T\). La théorie voulue associe à tout morphisme lisse et propre \(f : X \to S\) un complexe parfait de cristaux absolus \(\mathrm{DR}(f)\) sur \(S\), la cohomologie de De Rham cristalline de \(f\), avec :

• compatibilité à tout changement de base (au sens dérivé), et fonctorialité contravariante en \(X\) ;
• une formule de Künneth \(\mathrm{DR}(f \times_S g) \simeq \mathrm{DR}(f) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathrm{DR}(g)\) ;
• pour \(f\) de dimension relative \(d\), une dualité parfaite \[ \mathrm{DR}(f) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathrm{DR}(f) \longrightarrow T^d[-2d] , \] où \(T^d\) est le cristal de Tate de poids \(2d\) ;²⁹
• un isomorphisme \(\mathrm{DR}(f)(S) \simeq Rf_*(\Omega^\bullet_{X/S})\), fonctoriel, compatible aux changements de base, à Künneth et à la dualité.

« Par prudence », la lettre ne dit rien du cas non propre, dont il faudrait pourtant parler pour faire le lien avec Washnitzer–Monsky.³⁰

20–21

Le Frobenius sur la cohomologie (pages 20 et 21)

2.3. Admettons la théorie de 2.2. Pour chaque premier \(p\), notons \(\mathrm{DR}(f)_p\) la restriction à \(S_p = V(p)\), qui par changement de base est \(\mathrm{DR}(f_p)\), avec \(f_p : X_p \to S_p\). Par changement de base encore, \(\mathrm{DR}(f_p)^{(p)} = \mathrm{DR}(f_p^{(p)})\), où \(f_p^{(p)} : X_p^{(p/S)} \to S_p\) est le frobeniusé relatif. Le Frobenius relatif \(F_{X_p/S_p} : X_p \to X_p^{(p/S)}\) est un \(S_p\)-morphisme,³¹ et la fonctorialité contravariante de \(\mathrm{DR}\) donne \[ F_p : \mathrm{DR}(f)_p^{(p)} \longrightarrow \mathrm{DR}(f)_p . \] Il faut voir que c'est une isogénie, de sorte que l'isocristal de \(\mathrm{DR}(f)\) soit un \(F\)-isocristal. C'est ce que donne la dualité de 2.2 : le cristal unité \(T^d\) y est muni de sa structure de bicristal, \(F\) est compatible à l'accouplement, et en transposant \(F\) on obtient \(V\) avec³² \[ FV = VF = p^d . \]

Comme en caractéristique nulle, la formation des \(\mathrm{DR}^i(f)\), une fois passé aux isocristaux, devrait commuter aux changements de base, de sorte que chaque \(\mathrm{DR}^i(f)\) soit lui-même un \(F\)-isocristal. En rédigeant 1.10, la lettre avait cru que \(\mathrm{DR}^i(f)\) serait, sans passer aux isocristaux, un bicristal de poids \(i\) : « je m'étais canulé ». Pour définir \(V\) sur \(\mathrm{DR}^i\) avec \(FV = p^i\) en transposant le \(F\) de \(\mathrm{DR}^{2d-i}\), il faudrait un isomorphisme — pas seulement une isogénie — \(\mathrm{DR}^i(f) \simeq \mathrm{DR}^{2d-i}(f) \otimes T^{-(d-i)}\), comme en donnerait une polarisation dans des cas « très exceptionnels ».

21–24

Schémas abéliens : les trois affirmations (pages 21 à 24)

2.4. Pour un schéma abélien \(A\) sur \(S\), il semble raisonnable de parler de bicristaux, et pas seulement de \(F\)-isocristaux : \(\mathrm{DR}^1(A/S)\) porte les \(F_p\) de 2.3, et des \(V_p\) définis par fonctorialité à partir du Verschiebung \(A_p^{(p/S_p)} \to A_p\) ;³³ comme \(\mathrm{DR}^1\) est multiplicatif en \(A\) (Künneth) et que \(FV = VF = p\) sur les schémas abéliens en caractéristique \(p\), \(\mathrm{DR}^1(A)\) serait un cristal de Dieudonné, et sur un corps parfait un module de Dieudonné sur \(W(k)\) — qui doit être celui du groupe \(p\)-divisible de \(A\).

Débarrassée de l'« hyperstructure axiomatico-conjecturale » de 2.2, la construction se formule en trois affirmations.

Première affirmation. Soit \(A\) un schéma abélien sur \(S\) affine, et \(S \to T\) un épaississement nilpotent ; \(A\) se prolonge en un schéma abélien \(B\) sur \(T\), et \(H^1_{\mathrm{DR}}(B/T)\) est localement libre de rang \(2g\). Ce module ne dépend, à isomorphisme canonique près, que de \(A\) sur \(S\) et de \(S \to T\), et non du prolongement \(B\). On obtient ainsi un cristal localement libre de rang \(2g\), \(\mathrm{DR}^1(A/S)\), additif en \(A\), compatible au changement de base, et défini sans hypothèse affine par recollement.

Deuxième affirmation. Sur \(k\) parfait de caractéristique \(p\), ce cristal est un \(W(k)\)-module libre de rang \(2g\), et, muni de \(F\) et \(V\), c'est le module de Dieudonné \(M\) de \(A\) : pour tout anneau local artinien \(\Lambda\) de corps résiduel \(k\) et tout prolongement \(B\) de \(A\) sur \(\Lambda\), \(H^1_{\mathrm{DR}}(B/\Lambda) \simeq M \otimes_W \Lambda\), canoniquement et fonctoriellement — la fonctorialité garantissant la compatibilité à \(F\) et \(V\).

2.5. La lettre n'a pas vérifié ces deux affirmations, mais n'a « pas le moindre doute » qu'elles soient correctes. Elles expliqueraient les déformations de \(A\) par son module de Dieudonné : les prolongements de \(A\) sur \(\Lambda\) correspondraient aux quotients libres de rang \(g\) de \(M \otimes_W \Lambda\) relevant le quotient canonique de \(M \otimes_W k = H^1_{\mathrm{DR}}(A)\).

Troisième affirmation. Pour un schéma abélien \(f : A \to S\), la cohomologie de De Rham porte la filtration de Hodge \[ 0 \longrightarrow f_*\Omega^1_{A/S} \longrightarrow H^1_{\mathrm{DR}}(A/S) \longrightarrow R^1f_*\mathcal{O}_A \longrightarrow 0 . \] Pour tout prolongement \(B\) de \(A\) sur \(T\), on a ainsi sur \(\mathcal{M}(T) = \mathrm{DR}^1(A/S)(T) = H^1_{\mathrm{DR}}(B/T)\) une filtration qui prolonge celle de \(\mathcal{M}(S) = H^1_{\mathrm{DR}}(A/S)\). Le foncteur \(B \mapsto (A, \text{filtration de } \mathcal{M}(T))\) est une équivalence entre schémas abéliens sur \(T\) et schémas abéliens sur \(S\) munis d'un relèvement de leur filtration de Hodge à \(\mathcal{M}(T)\) (à quotients localement libres).³⁴

La filtration de Hodge n'est donc pas de nature cristalline : elle varie avec le relèvement, et c'est sa variation qui reflète les variations de structure du motif. La comparaison avec le théorème de Serre–Tate — étendre \(A\) à \(T\) en caractéristique \(p\), c'est étendre son groupe \(p\)-divisible — suggère une généralisation aux groupes formels, qui sera le chapitre 3.

Ce que valent ces trois affirmations. Telles qu'elles sont énoncées, pour tous les épaississements nilpotents, elles sont fausses en caractéristique \(p\) : c'est exactement ce que la lettre elle-même démontre en 2.7, puisqu'elles fourniraient sur la cohomologie de De Rham des familles de courbes elliptiques une stratification compatible au Frobenius. Elles sont vraies, et ce sont des théorèmes, lorsqu'on se borne aux épaississements dont l'idéal est muni de puissances divisées localement nilpotentes : c'est la théorie de Grothendieck–Messing. La première et la troisième sont le théorème de Grothendieck–Messing (W. Messing, The crystals associated to Barsotti–Tate groups, 1972 ; B. Mazur et W. Messing, Universal extensions and one dimensional crystalline cohomology, 1974) ; la deuxième, pour \(\Lambda\) muni de telles puissances divisées (par exemple \(\Lambda = W_n(k)\), \(p \geq 3\)), est la comparaison entre \(H^1\) cristallin et module de Dieudonné contravariant (Mazur–Messing ; Berthelot, Breen et Messing, 1982).³⁵

24–25

L'extension vectorielle universelle (pages 24 et 25)

2.6. Paraphrasant sur une base quelconque une construction de Serre « (c'est de lui que je l'ai apprise, du moins) », on trouve, pour tout schéma abélien \(A\) sur \(S\), une extension vectorielle universelle \[ 0 \longrightarrow \omega_{A^\vee} \longrightarrow E(A) \longrightarrow A \longrightarrow 0 , \] où \(A^\vee\) est le schéma abélien dual et \(\omega_{A^\vee}\), vu comme groupe vectoriel, est le fibré vectoriel \(\mathbb{V}(R^1f_*\mathcal{O}_A)\) dont les sections sont les homomorphismes \(R^1f_*\mathcal{O}_A \to \mathcal{O}_S\).³⁶ Elle est universelle parmi les extensions de \(A\) par des groupes vectoriels, fonctorielle en \(A\) et compatible au changement de base. Son algèbre de Lie est une extension \[ 0 \longrightarrow (R^1f_*\mathcal{O}_A)^\vee = \omega_{A^\vee} \longrightarrow \operatorname{Lie}E(A) \longrightarrow (f_*\Omega^1_{A/S})^\vee = \operatorname{Lie}A \longrightarrow 0 , \] duale de la filtration de Hodge : \(\operatorname{Lie}E(A)\) s'identifie au dual de \(H^1_{\mathrm{DR}}(A/S)\). On a donc une construction de la suite de Hodge par des extensions de groupes.

Les affirmations se précisent alors. La première : pour un prolongement \(B\) de \(A\) à \(T\), le groupe \(E(B)\) ne dépend, à isomorphisme canonique — et même unique — près, que de \(A\) et de \(S \to T\) ; on aurait un cristal en schémas en groupes lisses \(\mathcal{E}(A/S)\) avec \(\mathcal{E}(A/S)(T) \simeq E(B)\).³⁷ La troisième : relever la filtration de Hodge à \(\mathcal{M}(T)\), c'est relever le sous-groupe vectoriel canonique de \(\mathcal{E}(A/S)(S)\) en un sous-groupe vectoriel de \(\mathcal{E}(A/S)(T)\), et l'on retrouve \(B\) comme quotient. C'est exactement la forme sous laquelle Mazur et Messing démontreront ces énoncés, sur les épaississements à puissances divisées nilpotentes.

Remarque sur Manin. La connexion canonique de \(E(A)\) est apparue en cherchant à simplifier la construction par Manin de l'application \(A(S) \to \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\) associée à une équation de Picard–Fuchs.³⁸ Localement, toute section de \(A\) se relève en une section de \(E(A)\) ; sa dérivée par la connexion est une section de \(\operatorname{Lie}E(A) \otimes \Omega^1_S\), définie modulo l'image de \(\omega_{A^\vee}\) — l'ambiguïté du relèvement —, et c'est un cocycle pour la connexion de \(\operatorname{Lie}E(A)\). Les équations de Picard–Fuchs servent à en tirer une section de \(\mathcal{O}_S\) ; du moins en caractéristique nulle, où se place Manin.

26–26

Ce qui est vérifié (page 26)

Les résultats positifs que la lettre dit avoir vérifiés :

a) En caractéristique nulle, les affirmations 1 et 3, sous la forme précisée par \(E(A)\), sont vraies.

b) Sur une base quelconque, \(E(A)\) n'aurait pas d'automorphismes infinitésimaux ; deux \(E(B)\), \(E(B')\) isomorphes le seraient donc de façon unique, et l'hypothèse de 1 suffirait à produire un cristal en groupes, un cristal de modules, et des stratifications canoniques. Cet énoncé est vrai en caractéristique nulle et faux en caractéristique \(p\), comme le dit une note au crayon dans la marge, « faux ».³⁹

c) Les affirmations 1 à 3 sont vraies pour les relèvements d'ordre 1, du moins lorsque \(T\) est un schéma de nombres duaux \(D(\mathcal{J})\).⁴⁰

26–27

Le contre-exemple (pages 26 et 27)

2.7. « Arrivé à ce point de mes brillantes conjectures, je m'aperçois avec consternation qu'elles sont fausses telles quelles. » Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Il n'est pas possible de munir, pour tout \(k\)-schéma \(S\) de type fini de dimension \(\leq 1\) et tout schéma elliptique \(A\) sur \(S\), le module \(H^1_{\mathrm{DR}}(A/S)\) d'une stratification relative à \(k\), fonctorielle en \(A\) et compatible aux changements de base.⁴¹

L'ennui vient des courbes elliptiques de Hasse nul — les supersingulières. Les deux fonctorialités postulées rendent le Frobenius \(M^{(p)} \to M\), \(M = H^1_{\mathrm{DR}}(A/S)\), compatible à la stratification. En un point \(s\) où \(A_s\) est supersingulière, le Frobenius de \(H^1_{\mathrm{DR}}(A_s)\) est de carré nul ; un morphisme compatible à des stratifications ayant un rang localement constant, on en déduit, en grimpant sur les voisinages infinitésimaux de \(s\), que la même propriété vaut aux points voisins — ce qui est faux, par exemple pour la famille modulaire, où les points supersinguliers sont isolés.

Conséquence. Dans le titre du chapitre et dans 2.2, il faut prendre partout des isocristaux pour garder une chance ; peut-être même la notion d'isocristal est-elle encore trop restrictive, et faudra-t-il, dans la description de 1.13, des stratifications en caractéristique nulle qui ne se prolongent pas à tout le schéma formel sur \(W\) — question qu'« une analyse soigneuse du calcul-clef de Washnitzer–Monsky » devrait trancher.

L'argument est juste, et il porte exactement sur ce qu'il vise : les cristaux sans puissances divisées. Avec des puissances divisées, un cristal n'impose plus une stratification mais seulement une connexion (à \(p\)-courbure nilpotente), et un morphisme horizontal pour une connexion peut changer de rang en caractéristique \(p\) ; l'argument tombe, et le \(H^1\) cristallin d'un schéma elliptique est bien un cristal, muni de son Frobenius.⁴²

27–29

Variétés abéliennes ordinaires (pages 27 à 29)

2.8. Pour quels schémas abéliens les énoncés 1 et 3 valent-ils, hors de la caractéristique nulle ? La lettre conjecture, pour \(A\) variété abélienne sur un corps \(k\) de caractéristique \(p\), que l'indépendance de \(E(B)\) par rapport au relèvement \(B\) sur tout anneau artinien de corps résiduel \(k\) vaut si et seulement si \(A\) est ordinaire, c'est-à-dire a le nombre maximum de points d'ordre \(p\) sur une clôture algébrique de \(k\). Le corps \(k\) n'a pas à être parfait, et le groupe \(p\)-divisible de \(A\) ne se décompose donc pas nécessairement en étale et infinitésimal. On aurait alors, pour ces variétés, la description des relèvements par relèvement d'une filtration d'un module de Dieudonné, en accord avec la théorie de Serre des relèvements canoniques (et des modules) des variétés abéliennes ordinaires.⁴³

Sur une base quelconque à fibres ordinaires, l'énoncé analogue est faux, même pour les schémas elliptiques. Sur le schéma modulaire \(S\), lisse sur \(\mathbf{Z}_p\), des courbes elliptiques à structure de niveau, une stratification de \(H^1_{\mathrm{DR}}\) relative à \(\mathbf{Z}_p\) hors des points supersinguliers — en nombre fini dans la fibre spéciale — s'étendrait à tout \(S\) « pour des raisons de pureté évidentes », serait compatible au Frobenius, et contredirait 2.7. Il n'est pas exclu qu'en restant en caractéristique \(p\) l'énoncé vaille sur le lieu ordinaire, mais la stratification obtenue ne s'étendrait pas à la courbe modulaire entière, et il y aurait sur le lieu ordinaire une stratification naturelle en caractéristique \(p\) et une autre en caractéristique nulle « sans qu'elles veuillent se recoller », ce qui « semble assez canularesque ».

Ces considérations font ressortir « la nature "infinie" de la notion de stratification, par contraste avec celle de connexion, malgré les trompeuses apparences de la caractéristique nulle ». Sur le \(H^1_{\mathrm{DR}}\) de la famille modulaire sur \(\mathbf{Z}\), la stratification naturelle de la fibre générique ne s'étend à aucun \(S_U\), \(U\) ouvert non vide de \(\operatorname{Spec}\mathbf{Z}\) — à la compatibilité au Frobenius près, qu'il faudrait vérifier. Et c'est « assez moral » : le module stratifié joue le rôle d'un faisceau \(\ell\)-adique, dont il partage la rigidité.

Même sur le lieu ordinaire, une stratification canonique du \(H^1_{\mathrm{DR}}\) ne proviendrait pas d'un cristal : elle se recollerait avec celle de la caractéristique nulle et s'étendrait au schéma modulaire entier, points supersinguliers compris, ce qui est absurde. Conclusion de la lettre : les isocristaux, et les modules stratifiés, peuvent servir à l'étude des familles de variétés abéliennes ; la notion de cristal elle-même « semble irrémédiablement trop fine », sauf sur une base réduite à un point, ou au prix de restrictions sérieuses qui figent la variation infinitésimale de \(E(A)\) — point de vue proche de celui de Serre, qui impose l'espace tangent et l'action de la multiplication complexe. Cette conclusion vaut pour les cristaux de la lettre ; pour les cristaux à puissances divisées, c'est la théorie de Grothendieck–Messing qui la dément.

30–31

La lettre, chapitre 3 : remarques sur les groupes \(p\)-divisibles (pages 30 et 31)

3.1. La construction de 2.6 se paraphrase pour un groupe \(p\)-divisible \(\Phi\) sur un schéma \(S\) où \(p\) est localement nilpotent. Les homomorphismes de \(\Phi\) dans le groupe formel additif sont nuls (en particulier \(\Phi\) n'a pas d'automorphismes infinitésimaux)⁴⁴ ; et le faisceau des \(\mathrm{Ext}^1\) de \(\Phi\) par le groupe additif est localement libre de rang \(g^* = \dim\Phi^*\), canoniquement isomorphe à \(\operatorname{Lie}(\Phi^*)\), où \(\Phi^*\) est le groupe dual.⁴⁵ D'où une extension vectorielle universelle \(E(\Phi)\) de \(\Phi\) par le groupe vectoriel \(\omega_{\Phi^*}\), d'algèbre de Lie \[ (*) \qquad 0 \longrightarrow \omega_{\Phi^*} \longrightarrow \operatorname{Lie}E(\Phi) \longrightarrow \operatorname{Lie}\Phi \longrightarrow 0 , \] fonctorielle en \(\Phi\) et compatible au changement de base.

La lettre estime que \(E(\Phi)\) varie « moins que \(\Phi\) » mais n'est pas indépendant des variations infinitésimales de \(\Phi\) (sauf, probablement, au premier ordre), et ne provient d'un cristal que si \(\Phi\) est extension d'un groupe ind-étale par un groupe torique, et \(S\) réduit à un point. Cette réserve vaut pour les cristaux de la lettre. Sur les épaississements à puissances divisées nilpotentes, \(E(\Phi)\) est cristallin, pour tout \(\Phi\) : c'est le théorème de Messing, et \(\operatorname{Lie}E(\Phi)\) est la valeur du cristal de Dieudonné de \(\Phi\). Dans le cas général, la lettre propose d'étudier les variations de \(\Phi\) à \(E(\Phi)\) fixé par un cristal en groupes.

3.2. L'extension \((*)\) subsiste par passage à la limite sur le spectre d'un anneau noethérien \(J\)-adique séparé complet, par exemple un anneau de valuation discrète complet \(A\) d'inégales caractéristiques, de corps résiduel \(k\) parfait de caractéristique \(p\). Soit \(M\) le module de Dieudonné (sur \(W = W(k)\), de rang \(h = g + g^*\)) du groupe \(p\)-divisible réduit \(\Phi_k\).⁴⁶ Alors la donnée d'un relèvement de \(\Phi_k\) en un groupe \(p\)-divisible sur \(A\) équivaut à celle d'un relèvement, en une filtration de \(M \otimes_W A\) de type \((g, g^*)\), de la filtration de \(M \otimes_W k\) donnée par \((*)\) — lorsque l'idéal maximal de \(A\) porte des puissances divisées topologiquement nilpotentes, c'est-à-dire lorsque l'indice de ramification \(e\) de \(A\) est \(< p - 1\) (par exemple \(A = W(k)\), \(p \geq 3\)).⁴⁷

La lettre finit sur une question : « Il serait bien intéressant d'essayer de déterminer, en termes d'une telle donnée, quel est le module de Tate correspondant à la fibre générique de \(\Phi\) ! » — et sur une autre : quelle quantité d'information l'extension \((*)\), qui remplace ici le \(H^1\) de De Rham, porte-t-elle pour des groupes plus généraux ? C'est la question que Grothendieck posera au congrès de Nice en 1970 sous le nom de problème de la « fonction mystérieuse », et à laquelle répond la théorie de Hodge \(p\)-adique de Fontaine (représentations cristallines).⁴⁸

32–36

Réduction des courbes elliptiques et module de Tate \(p\)-adique (pages 32 à 36)

Sous une chemise titrée de sa main « Réduction des courbes elliptiques et \(T_p(E)\) (cf. aussi livre de Serre "Abelian \(l\)-adic representations") », quatre pages de notes rapides, dont une grande part de la prose de liaison est illisible ; on ne donne que ce que les formules et les mots lus permettent d'établir.⁴⁹

Soit \(A\) un anneau de valuation discrète complet, de corps des fractions \(K\) et de corps résiduel \(k\) de caractéristique \(p > 0\), et \(E_K\) une courbe elliptique sur \(K\). On veut décrire \(T_p(E_{\bar K})\) comme module galoisien.

1º) \(K\) de caractéristique nulle ; \(T_p(E_{\bar K})\) est alors un \(\mathbf{Z}_p\)-module libre de rang 2.

a) Bonne réduction ordinaire. \(E_K\) provient d'une courbe elliptique \(E\) sur \(A\) et \(E_k\) est ordinaire. Alors \(T_p(E_K)\) est canoniquement une extension \[ 0 \longrightarrow L^\vee(1) \longrightarrow T_p(E_K) \longrightarrow L \longrightarrow 0 , \] où \(L\) est de rang 1 (le module de Tate de la partie étale) et \(L^\vee(1) = L^\vee \otimes T_p(\mathbf{G}_m)\) (celui de la partie multiplicative, par l'accouplement de Weil). La classe de l'extension est dans \(H^1(K, L^{-2} \otimes T_p(\mathbf{G}_m))\), où \(L^{-2} = (L^\vee)^{\otimes 2}\). Si le corps résiduel est séparablement clos et \(L\) trivial, de valeur \(L_0\) en \(k\), la théorie de Kummer donne \[ H^1(K, \mathbf{Z}_p(1)) \otimes L_0^{-2} \simeq \Bigl(\varprojlim_n K^*/K^{*p^n}\Bigr) \otimes L_0^{-2} \simeq \mathrm{Hom}\bigl(L_0^{\otimes 2}, \widehat{K^*}\bigr) , \] \(\widehat{K^*}\) désignant le complété \(p\)-adique de \(K^*\). La classe tombe dans le sous-groupe \(\mathrm{Hom}(L_0^{\otimes 2}, U^1)\), où \(U^1 = 1 + \mathfrak{m}_A\) est le groupe des unités principales (« Einseinheiten ») : c'est que l'extension provient d'une extension de groupes \(p\)-divisibles sur \(A\).⁵⁰

b) Bonne réduction supersingulière. Il conjecture que la représentation de \(\pi_1(K)\) dans \(T_p(E_{\bar K})\) est semi-simple, voire davantage sur la taille de son image.⁵¹

a\('\)+b\('\)) Bonne réduction potentielle : l'invariant \(j\) est entier, et \(E\) acquiert bonne réduction après extension finie de \(K\). Les deux sous-cas, ordinaire et supersingulier après extension, se ramènent aux précédents ; si la conjecture de b) vaut, sa conclusion vaut aussi en b\('\)). Il conjecture en outre, pour \(j\) entier, que \(E_K\) a bonne réduction si et seulement si son groupe \(p\)-divisible a bonne réduction, c'est-à-dire s'étend en un groupe \(p\)-divisible sur \(A\).⁵²

c) L'invariant \(j\) n'est pas entier. Le modèle de Néron \(E\) a alors une composante neutre \(E^0_k\) forme de \(\mathbf{G}_m\) ; quitte à faire une extension finie, \(E[p^\nu]\) contient un sous-groupe canonique forme de \(\mu_{p^\nu}\), et \(T_p(E_K)\) un sous-module forme tordue de \(T_p(\mathbf{G}_m)\). Si \(k\) est séparablement clos, on a une extension \[ 0 \longrightarrow \mathbf{Z}_p(1) \longrightarrow T_p(E_K) \longrightarrow \mathbf{Z}_p \longrightarrow 0 \] (le quotient étant \(\mathbf{Z}_p\) car \(\det T_p(E_K) \simeq \mathbf{Z}_p(1)\)), déterminée par un élément canonique de \(\widehat{K^*}\), lui-même extension de \(\mathbf{Z}_p\) (venant de \(K^*/A^*\)) par \(U^1\). Il conjecture que cet élément a une image non nulle dans \(\mathbf{Z}_p\), de sorte que l'extension ne provient pas d'une extension de groupes \(p\)-divisibles sur \(A\), et demande : quel est cet élément de \(\mathbf{Z}_p\) ? est-ce toujours un entier, un élément \(> 0\) ?⁵³

2º) \(K\) de caractéristique \(p\). Il faut alors étudier \(T_p(E_{K_s})\), qui n'a plus que le rang 0 ou 1, et que les seuls modules galoisiens ne décrivent plus. En bonne réduction ordinaire, \(T_p(E_K)\) est encore une extension de \(L_K\) par \(L_K^\vee \otimes T_p(\mathbf{G}_m)\), donnée par un élément de \(L^{-2} \otimes U^1\)… La note s'arrête là.⁵⁴

37–38

Une feuille de Tate (pages 37 et 38)

Sous une chemise de sa main, « Gribouillis de Tate sur sa théorie », une feuille d'une autre main, en anglais, à l'encre très pâlie : vraisemblablement des notes de Tate. On y lit l'hypothèse « \(L/K\) Galois », l'anneau des entiers \(R_L\), le groupe \(\mathcal{G} = \mathrm{Gal}(L/K)\), un théorème reliant \(\widehat{L}^{\mathcal{G}} = \widehat{K}\) à la nullité de \(H^1(\mathcal{G}, R_L)\), et des suites exactes. Ce n'est pas de Grothendieck, et le dossier n'y porte aucune intervention de sa main ; on ne la reprend pas.⁵⁵

39–44

Questions de théorie de Tate–Hodge (pages 39 à 44)

Sous la chemise « Questions diverses en théorie de Tate–Hodge », trois pages écrites au dos d'un tapuscrit étranger au dossier. Le cadre : \(K\) corps local de caractéristique nulle, de corps résiduel de caractéristique \(p\), \(\pi = \mathrm{Gal}(\bar K/K)\), et \(\mathbf{C}\) le complété de \(\bar K\), sur lequel \(\pi\) agit ; \(\mathbf{C}(i)\) est le tordu de Tate.⁵⁶

Les questions (page 40).

• a)Y a-t-il un isomorphisme entre cohomologie de De Rham et cohomologie de Hodge après extension des scalaires à \(\mathbf{C}\), fonctoriel, multiplicatif et compatible aux filtrations, une fois choisi un générateur \(\varepsilon\) de \(T_p(\mathbf{C}^*) = \mathbf{Z}_p(1)\) ?⁵⁷
• b)Tout \(\mathbf{Q}_p[\pi]\)-module simple de dimension finie est-il contenu dans un \(\mathbf{C}(i)\) ?⁵⁸
• c)Les \(M = H^i(X_{\mathbf{C}}, \mathbf{Z}_p) \otimes \mathbf{Q}_p\) satisfont-ils d'autres conditions que celles qui résultent de la conjecture de Tate ?
• d)Construire les isomorphismes de Tate \(H^{p,q}(X)_K \simeq H^q(X, \Omega^p_X)\).
• e)Quel lien avec les connexions canoniques ? f) Avec Washnitzer–Monsky ?

Trois structures sur un module de Hodge–Tate (page 42). Pour un groupe \(p\)-divisible sur \(K\), on a sur \(V = M \otimes_{\mathbf{Z}_p} \mathbf{C}\) :

1. une décomposition \(V = V^{10} \oplus V^{01}\) en \(\mathbf{C}\)-espaces ;
2. une action semi-linéaire de \(\pi\) ;
3. un réseau \(M\) libre de type fini sur \(\mathbf{Z}_p\).

Relations : 1 se déduit de 2, par \[ V^{10} = V^\pi \otimes_K \mathbf{C}, \qquad V^{01} = \bigl(V \otimes \mathbf{C}(1)\bigr)^\pi \otimes_K \mathbf{C}(-1) \] (« \(2 \Rightarrow 1\) ») ;⁵⁹ 2 et 3 ensemble, c'est un réseau stable par \(\pi\), c'est-à-dire le groupe \(p\)-divisible sur \(K\) ; entre 3 et 1 : « ??? ». Le corps \(K\) n'intervient que dans 2 ; 1 et 3 sont intrinsèques au groupe \(p\)-divisible sur \(\mathbf{C}\). Il propose enfin de regarder le plus petit groupe algébrique \(G\) d'automorphismes de \(M \otimes \mathbf{Q}_p\) tel que \(G_{\mathbf{C}}\) contienne les opérations \(\operatorname{diag}(\lambda, \xi)\) sur la décomposition \(V^{10} \oplus V^{01}\).⁶⁰

La conjecture de Hodge–Tate (page 44). Pour \(X\) propre et lisse sur \(K\), notant \(H^i_B(X_{\mathbf{C}}, \mathbf{C}) = H^i_{\text{ét}}(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_p) \otimes \mathbf{C}\) et, pour \(p + q = i\), \(H^{p,q}_B(X)_K = \bigl(H^i_B(X_{\mathbf{C}}, \mathbf{C})(p)\bigr)^\pi\) :

Conjecture. 1) On a une décomposition \[ \boxed{\;H^i_B(X_{\mathbf{C}}, \mathbf{C}) \simeq \bigoplus_{p+q=i} H^{p,q}_B(X)_K \otimes_K \mathbf{C}(-p)\;} \] 2) On a un isomorphisme canonique \[ \boxed{\;\rho^{pq} : H^{p,q}_B(X)_K \simeq H^q(X, \Omega^p_X)\;} \] 3) Pour la classe \(P_B(2i) \in H^{2i}(X_{\mathbf{C}}, \mathbf{Z}_p(i))^\pi \subset H^{i,i}_B(X)_K\) et la classe \(P_{\mathrm{DR}}(2i) \in H^{i,i}(X)\), on veut \(\rho^{ii}(P_B(2i)) = P_{\mathrm{DR}}(2i)\).⁶¹

46–48

La question d'isogénie de Barsotti (pages 46 à 50)

La chemise : « Question d'isogénéité de Barsotti ; impossibilité de plonger un groupe formel \(p\)-divisible dans une v.A. sur un \(k\) donné (non alg. clos) ».

1) La question de Barsotti. Soient \(A\), \(B\) deux variétés abéliennes sur \(k\) algébriquement clos de caractéristique \(p\), « hypersingulières », c'est-à-dire sans point d'ordre \(p\). Si leurs groupes formels sont isogènes, \(A\) et \(B\) sont-elles isogènes ? En dimension 1, c'est dans Deuring. Manin ignore la réponse en dimension 2, où les groupes formels sont isogènes à \(G_{1,1} + G_{1,1}\) : la question est alors de savoir si une surface abélienne hypersingulière est isogène au carré d'une courbe elliptique supersingulière.⁶²

Sans l'hypothèse hypersingulière, la réponse est négative en dimension 2, et la page le démontre. D'après Manin, les surfaces abéliennes polarisées de groupe formel \(\widehat{\mathbf{G}}_m + G_{1,1}\) forment une sous-famille \(N\) de dimension 2 de la famille modulaire \(M_2\). Parmi elles, celles qui ne sont pas simples sont isogènes à un produit \(E \times F\), \(E\) ordinaire et \(F\) supersingulière ; sur un corps algébriquement clos elles sont même isomorphes à de tels produits, et ces produits forment une famille de dimension 1 au plus, image de l'ouvert ordinaire de la droite modulaire par \(E \mapsto E \times F\), \(F\) parcourant un nombre fini de classes.⁶³ D'où un ouvert non vide \(U \subset N\) formé de variétés simples. Or les variétés isogènes à une variété simple \(A\) de ce type forment une famille discrète : si \(A\) est définie sur \(k_0\), toute \(A'\) isogène l'est sur une extension finie de \(k_0\).⁶⁴ Deux points de \(U\) de degrés de transcendance différents sur \(\mathbf{F}_p\) (0, 1 ou 2) donnent donc des variétés simples non isogènes de même groupe formel \(\widehat{\mathbf{G}}_m \times G_{1,1}\).

49–50

Un groupe formel qui ne se plonge dans aucune variété abélienne (pages 49 et 50)

2) Sur un corps \(k\), même fini, un groupe formel — même une forme de \(G_{1,1}\) — ne se réalise pas en général comme sous-groupe formel du groupe formel d'une variété abélienne définie sur \(k\), même après extension finie de \(k\). Soit \(k\) fini à \(q\) éléments et \(E\) une courbe elliptique supersingulière sur \(k\) dont tous les endomorphismes sont définis sur \(k\), de groupe formel \(G_0 = \widehat{E}\). Alors \(\pi_1(k)\) agit trivialement sur \(\mathrm{End}(E)\), ordre maximal d'une algèbre de quaternions sur \(\mathbf{Q}\), et sur \(\mathrm{End}(G_0) \simeq \mathrm{End}(E) \otimes \mathbf{Z}_p = \mathcal{A}\), ordre maximal d'une algèbre de quaternions sur \(\mathbf{Q}_p\). Tordons \(G_0\) par une unité \(\theta\) de \(\mathcal{A}\) : le nouveau Frobenius est \(\varphi' = \theta\varphi\). Si le tordu se plongeait dans le groupe formel d'une variété abélienne \(A\) sur \(k\), les valeurs propres de \(\varphi'\) seraient, par Weil, des entiers algébriques de valeurs absolues \(q^{1/2}\), et \(\det\varphi' = \det\varphi \cdot \det\theta\) serait algébrique, donc \(\det\theta\) aussi. Or il est facile de trouver une unité \(\theta\) de \(\mathcal{A}\) dont la norme réduite \(\det\theta\) n'est pas algébrique.⁶⁵

51–53

Déformations d'extensions de groupes de Barsotti–Tate, et schémas modulaires (pages 51 à 56)

La chemise : « [Prolongements infinitésimaux d'extension de groupes de B.T. :] Conséquences pour structure infinitésimale des schémas modulaires ». La première page commence au milieu d'une phrase ; la feuille qui la précédait n'est pas dans le dossier à cette place.⁶⁶

Le point de départ (page 52). Pour une extension \(E\) d'un groupe de Barsotti–Tate \(M\) par un autre \(N\), sur les voisinages infinitésimaux \(S^{(n)}\) de \(S\) dans une base \(R\), les morphismes classifiants \(S^{(n)} \to G\) vers un groupe formel \(G\), nuls sur \(S^{(0)}\), se recollent en un morphisme \(S^{(\infty)} \to G\) dont la donnée équivaut à celle de l'extension sur le voisinage infinitésimal de \(S\) ; sa formation commute au changement de base. D'où l'idée de la lire dans une situation « modulaire ».

Modules formels d'extensions (pages 52 et 53). Soit \(R = \operatorname{Spec}\Lambda\), \(\Lambda\) local complet de caractéristique résiduelle \(p\) (par exemple un anneau de Cohen), de corps résiduel \(k\), et \(M_0\), \(N_0\) des groupes de Barsotti–Tate sur \(k\), \(M_0\) étale et \(N_0\) de type multiplicatif.⁶⁷ On considère la variété formelle modulaire \(\mathcal{M}_\xi\) sur \(\operatorname{Spf}\Lambda\) des déformations d'une extension \(\xi\) de \(M_0\) par \(N_0\). Alors :

1. pour l'extension triviale \(\xi_0\), \(\mathcal{M}_{\xi_0}\) est un groupe formel lisse, et même un tore formel — donc déterminé par sa réduction —, de réduction \(T_p(M_0)^\vee \otimes N_0\) ;
2. \(\mathcal{M}_\xi\) est un torseur sous \(\mathcal{M}_{\xi_0}\).

Si l'on suppose seulement \(N_0\) connexe, une extension \(E_0\) détermine \(M_0\), \(N_0\) et la structure d'extension, et le morphisme naturel \(X = \mathcal{M}_{E_0} \to \mathcal{M}_{N_0} = Y\) fait de \(X\) un torseur sous \(\mathcal{N}_Y \otimes T_p(E_0)^\vee_Y\) ; la structure de \(\mathcal{M}_{E_0}\) est connue dès que l'est celle de \(\mathcal{M}_{N_0}\).⁶⁸

Pour \(M = \mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p\) et \(N = \mu_{p^\infty}\), le tore de 1 est \(\widehat{\mathbf{G}}_m\) : c'est la coordonnée \(q\) de Serre–Tate.

54–56

Couples compatibles et variétés abéliennes polarisées (pages 54 à 56)

Soient des homomorphismes \(u : M \to M'\) et \(v : N \to N'\), et des extensions \(\xi\) de \(M\) par \(N\) et \(\xi'\) de \(M'\) par \(N'\), triviales sur \(S_0\). Il existe un morphisme d'extensions compatible à \(u\) et \(v\) si et seulement si \(v_*(\xi) = u^*(\xi')\) dans \(\mathrm{Ext}^1(M, N')\). Or \(v_*\) est « représenté » par l'homomorphisme de tores \(\alpha : T_p(M)^\vee \otimes N \to T_p(M)^\vee \otimes N'\) défini par \(v\), et \(u^*\) par \(\beta : T_p(M')^\vee \otimes N' \to T_p(M)^\vee \otimes N'\) défini par \(u\). Les couples \((\xi, \xi')\) compatibles sont donc représentés, infinitésimalement, par le noyau de \[ \alpha - \beta : G \times G' \longrightarrow H . \] Pour \(N\), \(N'\) de type multiplicatif, la variété formelle des modules est ainsi un groupe formel de type multiplicatif sur \(\Lambda\), noyau d'un homomorphisme de tores formels.

Application aux variétés abéliennes polarisées ordinaires. Pour une variété abélienne ordinaire, le groupe \(p\)-divisible est extension d'un groupe étale par un groupe de type multiplicatif, et une polarisation fournit les homomorphismes \(u\), \(v\). Si \(\Lambda\) est un corps de caractéristique \(p\), l'anneau local du schéma modulaire des variétés abéliennes polarisées ordinaires (polarisation donnée, rigidification de Jacobi d'échelon donné) en un point est donc une intersection complète — en particulier de Cohen–Macaulay et de Gorenstein —, localement irréductible, de réduit lisse sur \(k\). Comme la dimension de ces schémas modulaires est \(\tfrac{g(g+1)}{2}\) en chaque point, on conclut : si la polarisation est de degré premier à \(p\), le schéma modulaire des variétés abéliennes ordinaires est lisse en caractéristique \(p\).⁶⁹

57–59

Compléments sur les groupes de Witt (pages 58 et 59)

Sous ce titre, souligné de sa main, des énoncés en vue d'une théorie de Dieudonné des groupes unipotents par les vecteurs de Witt. Toute la page 59 est barrée de deux longs traits obliques : ses énoncés sont des brouillons retirés, qu'on rapporte comme tels.⁷⁰

Lemme 1. Soit \(S = \operatorname{Spec}A\) de caractéristique \(p\). Le faisceau \(\underline{\mathrm{Ext}}^1(\mathbf{G}_a, \mathbf{G}_a)\) est le \(A\)-module (à gauche) libre de base les \(\mathbf{F}^i e\), c'est-à-dire le \(A[\mathbf{F}]\)-module libre de base \(e\), où \(e\) est la classe de \(W_2\) comme extension de \(\mathbf{G}_a\) par \(\mathbf{G}_a\). Démonstration : on se ramène à \(A = \mathbf{F}_p\), et c'est dans Demazure–Gabriel.

Lemme 2. Soit \(H\) un sous-groupe de \(\mathbf{G}_a\) tel que \(\mathbf{G}_a/H\) soit localement isomorphe à \(\mathbf{G}_a\).⁷¹ Alors :

• a)\(\underline{\mathrm{Ext}}^1(H, W_n) \to \underline{\mathrm{Ext}}^1(H, W_1)\) est bijectif ; a\(_1\)) \(\mathrm{Ext}^1(H, W_{n-1}) \to \mathrm{Ext}^1(H, W_n)\) est nul, i.e. \(\mathrm{Hom}(H, \mathbf{G}_a) \to \mathrm{Ext}^1(H, W_{n-1})\) est surjectif ; a\(_2\)) \(\mathrm{Ext}^1(H, W_1) \to \mathrm{Ext}^1(H, W_{n-1})\) est nul ;
• b)\(\mathrm{Ext}^1(\mathbf{G}_a, W_n) \to \mathrm{Ext}^1(H, W_n)\) est surjectif ;
• c)\(\underline{\mathrm{Ext}}^1(\mathbf{G}_a, W_n)\) est un \(A[\mathbf{F}]\)-module à droite engendré par la classe de \(W_{n+1}\).

Démonstration : pour \(n = 1\), a) est trivial, b) résulte de \(\mathrm{Ext}^2(\mathbf{G}_a/H, W_1) = 0\), conséquence par dévissage de \(\mathrm{Ext}^2(\mathbf{G}_a, \mathbf{G}_a) = 0\), et c) est le lemme 1 ; en général, par récurrence sur \(n\), comme dans Demazure–Gabriel.⁷²

Corollaire 3 (page barrée). Pour \(H\) comme ci-dessus, \(\underline{\mathrm{Ext}}^1(H, \underline{W}) = 0\), où \(\underline{W} = \varinjlim W_n\). La question en marge — a-t-on \(\mathrm{Ext}^1(H, \underline{W}) = 0\) globalement, i.e. \(H^1(S, \underline{\mathrm{Hom}}(H, \underline{W})) = 0\) ? — reçoit la réponse : non, déjà pour \(H = \alpha_p\) si \(S\) n'est pas parfait.

Proposition 4 (page barrée). Soit \(G\) un groupe algébrique fini (par exemple sur un corps parfait) annulé par \(V^n\). Alors \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(G, W_n)\) est un schéma en groupes,⁷³ et \(\underline{\mathrm{Ext}}^1_{\mathrm{gr}}(G, \underline{W}) = 0\). Le b) vient du corollaire 3 par dévissage en \(\alpha_p\) ; le a) par récurrence sur la longueur d'une suite de composition \(0 \to G' \to G \to \alpha_p \to 0\), qui donne \[ 0 \to \underline{\mathrm{Hom}}(\alpha_p, \underline{W}) \to \underline{\mathrm{Hom}}(G, \underline{W}) \to \underline{\mathrm{Hom}}(G', \underline{W}) \to 0 , \] avec \(\underline{\mathrm{Hom}}(\alpha_p, W_n) \simeq \mathbf{G}_a\). « On gagne ! »

5 (page barrée). Posons \(\mathbb{D}(G) = \underline{\mathrm{Hom}}(G, \underline{W})\). C'est un module sur les vecteurs de Witt, muni de \(\mathbf{F}\) et \(V\) vérifiant les relations habituelles \[ \mathbf{F}\lambda = \lambda^{\sigma}\mathbf{F}, \qquad \lambda V = V\lambda^{\sigma}, \qquad \mathbf{F}V = V\mathbf{F} = p , \] où \(\lambda^\sigma\) est le Frobenius de \(\lambda\) (la page écrit \(\lambda^{(p)}\) et \(\lambda^p\)). C'est le module de Dieudonné contravariant à la Demazure–Gabriel.

60–60

Groupes finis sur une base de caractéristique \(p\) (pages 60 à 65)

Groupes finis étales (page 60)

Soit \(G\) un groupe fini étale annulé par \(p^n\) sur \(S\) de caractéristique \(p\). Pour tout épaississement \(S'\) de \(S\), \(G\) s'étend de façon unique en un groupe fini étale \(G'\) sur \(S'\), encore tué par \(p^n\). Les \(G' \otimes_{\mathbf{Z}/p^n} \mathcal{O}_{S'}\) forment un cristal \(\mathbb{D}_*(G)\), et le Frobenius relatif \(G \to G^{(p)}\), ici un isomorphisme, donne un isomorphisme \(F_* : \mathbb{D}_*(G) \to \mathbb{D}_*(G)^{(p)}\). Par dualité, avec le dual étale \(\check G = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(G, (\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)_S)\), on pose \(\mathbb{D}^*(G) = \mathbb{D}_*(\check G)\) : c'est un foncteur contravariant, muni d'un isomorphisme \(F^* : \mathbb{D}^*(G)^{(p)} \to \mathbb{D}^*(G)\), et \(V^*\) est déterminé par \(F^*V^* = p\).

Cas où \(G\) est plat sur \(\Lambda_n = \mathbf{Z}/p^n\) (groupe de Barsotti–Tate tronqué d'échelon \(n\), étale). \(\mathbb{D}^*(G)\) est un cristal de \(\Lambda_n\)-modules localement libres de type fini, à \(F\) isomorphisme (d'où \(V\)), et l'on a une anti-équivalence entre ces \(G\) et ces \(F\)-cristaux.⁷⁴ Cas général : anti-équivalence entre groupes finis étales \(p\)-primaires et \(F\)-\(V\)-cristaux localement (pour la topologie étale) sommes de cristaux du type précédent. Il en résulte \(G(S) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\Lambda_{n,S}, G) \simeq \mathrm{Hom}_{F\text{-}V\text{-cris}}(\mathcal{M}, \mathcal{O}_{S_n,\mathrm{cris}})\), la formule s'interrompant au bord de la feuille.

61–62

Le triangle de dualité, cas étale et cas multiplicatif (pages 61 et 62)

Les pages 61 et 62 poursuivent un argument commencé ailleurs : elles utilisent, pour un groupe de Barsotti–Tate tronqué \(G\), un « triangle exact de dualité » qui relie le complexe co-Lie \(\ell_G\) de \(G\), la valeur \(\Delta(G)\) du cristal de Dieudonné sur \(S\) (modulo \(p\)), et le dual décalé \(\check\ell_{G^*}[1]\) du complexe co-Lie du dual de Cartier \(G^*\) : \[ \ell_G \longrightarrow \Delta(G) \longrightarrow \check\ell_{G^*}[1] \xrightarrow{\;+1\;} . \] C'est la forme dérivée de la filtration de Hodge \(0 \to \omega_G \to \mathbb{D}(G)_S \to \operatorname{Lie}(G^*) \to 0\).⁷⁵

\(G\) étale. Alors \(\ell_G = 0\) et le triangle se réduit à un isomorphisme \(\Delta(G) \simeq \check\ell_{G^*}[1]\) : il ne donne aucune structure en sus du cristal. On a \[ \check\ell_{G^*}[1] \simeq \Delta(G) \simeq \varepsilon^*(\mathcal{M}/p) = \mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Z}}(G, \mathcal{O}_S) \simeq \check G \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathbf{Z}} \mathcal{O}_S \simeq (\check G \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathbf{Z}} \mathbf{F}_p) \otimes_{\mathbf{F}_p} \mathcal{O}_S . \]

\(G\) de type multiplicatif (annulé par une puissance de \(p\)). Il est défini par son dual de Cartier \(G^*\), étale, auquel s'applique ce qui précède : \(\mathbb{D}^*(G) = \Theta_*(G^*)\), c'est-à-dire \(\mathbb{D}^*(G)_{S'} = G^*_{S'} \otimes_{\mathbf{Z}_p} \mathcal{O}_{S'}\), où \(G^*_{S'}\) est le groupe étale sur \(S'\) prolongeant \(G^*\). Ici \(V : \mathbb{D}^*(G) \to \mathbb{D}^*(G^{(p)}) = \mathbb{D}^*(G)^{(p)}\) est un isomorphisme, image par \(\Theta_*\) du Frobenius de \(G^*\), et \(F\) est déterminé par \(V\). D'où des équivalences

groupes de Barsotti–Tate tronqués d'échelon \(n\) de type multiplicatif \(\;\approx\;\) cristaux localement libres de type fini sur \(S/\Lambda_n\) à \(V\) isomorphisme (et \(F\) nilpotent),

et des équivalences analogues pour les groupes de type multiplicatif annulés par une puissance de \(p\).⁷⁶ Le triangle se réduit cette fois, puisque \(\check\ell_{G^*}[1] = 0\), à un isomorphisme \(\ell_G \simeq \Delta(G)\), avec \(\ell_G \simeq G^* \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathbf{Z}} \mathcal{O}_S \simeq (G^* \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathbf{Z}} \mathbf{F}_p) \otimes_{\mathbf{F}_p} \mathcal{O}_S\).

Homomorphismes entre \(p\)-groupes étales et groupes de type multiplicatif. a) Un homomorphisme d'un groupe \(G\) de type multiplicatif dans un groupe étale \(G'\) est nul ; et tout homomorphisme de \(F\)-\(V\)-cristaux (ou de \(F\)-cristaux, ou de \(V\)-cristaux) de \(\mathcal{M}' = \mathbb{D}^*(G')\) dans \(\mathcal{M} = \mathbb{D}^*(G)\) est nul : en écrivant la commutation à \(F^n\), où \(F^n_{\mathcal{M}'}\) est un isomorphisme et \(F^n_{\mathcal{M}}\) est nul pour \(n\) grand, on obtient le résultat pour les \(F\)-homomorphismes, et de même pour les \(V\)-homomorphismes, les rôles étant échangés. b) Les homomorphismes d'un groupe étale dans un groupe de type multiplicatif : le titre est posé, la suite n'est pas écrite.⁷⁷

64–65

Groupes étales et \(F\)-modules à racine unité (pages 64 et 65)

Soit \(S\) de caractéristique \(p\), \(\mathcal{C}\) la catégorie des schémas en groupes finis étales \(E\) sur \(S\) annulés par \(p\) — c'est-à-dire des faisceaux étales de \(\mathbf{F}_p\)-espaces vectoriels localement libres de type fini —, et \(\mathcal{C}'\) celle des \(\mathcal{O}_S\)-modules localement libres \(M\) munis d'un isomorphisme \(F_M : M^{(p)} \xrightarrow{\sim} M\). On a le foncteur \[ \varphi : \mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C}', \qquad E \longmapsto \bigl(E \otimes_{\mathbf{F}_p} \mathcal{O}_S,\; F_E \otimes_{\mathbf{F}_p} \mathcal{O}_S\bigr), \] le Frobenius relatif \(F_{E/S}\) étant un isomorphisme de \(E \otimes \mathcal{O}_S\) sur \(E^{(p)} \otimes \mathcal{O}_S \simeq (E \otimes \mathcal{O}_S)^{(p)}\).

Proposition. Le foncteur \(\varphi\) est une équivalence de catégories.

a) Pleine fidélité. Par passage aux \(\underline{\mathrm{Hom}}\), il s'agit de voir que \(\Gamma(S, E) \xrightarrow{\sim} \{x \in \Gamma(S, E \otimes \mathcal{O}_S) \mid F(x^{(p)}) = x\}\). Par descente on se ramène à \(E\) constant, puis à \(E = \mathbf{F}_{p,S}\), et l'énoncé est l'exactitude de la suite d'Artin–Schreier \[ 0 \longrightarrow (\mathbf{Z}/p)_S \longrightarrow \mathbf{G}_{a,S} \xrightarrow{\;x \mapsto x^p - x\;} \mathbf{G}_{a,S} , \] qu'il suffit de vérifier sur \(\mathbf{F}_p\).

b) Essentielle surjectivité. Soit \((M, F)\) ; il suffit de voir qu'il est localement de la forme voulue. L'application \(\psi : M \to M\), \(\psi(x) = F_M(x^{(p)}) - x\), est un épimorphisme étale de schémas en groupes — sa différentielle est \(-\mathrm{id}\) —, donc son noyau est un schéma en groupes étale \(E\) sur \(S\). Pour qu'il soit fini, il suffit que son \(\mathbf{F}_p\)-rang soit localement constant, égal au rang de \(M\) ; et pour que \(E \otimes \mathcal{O}_S \to M\) soit un isomorphisme, il suffit de le voir fibre par fibre géométrique. On est ramené au

Lemme. Soit \(M\) un espace vectoriel de dimension finie sur un corps \(k\) séparablement clos de caractéristique \(p\), muni d'un isomorphisme \(F_M : M^{(p)} \xrightarrow{\sim} M\), et \(E = \{x \in M \mid F(x^{(p)}) = x\}\). Alors \(E \otimes_{\mathbf{F}_p} k \xrightarrow{\sim} M\).⁷⁸

La version de Witt. Les notes amorcent ensuite la même équivalence au niveau \(p^n\), avec les vecteurs de Witt : \(\mathcal{C}\), les schémas en \(p\)-groupes finis étales sur \(S\) (faisceaux localement constants de \(p\)-groupes finis) ; \(\mathcal{C}'\), les faisceaux de \(W_S\)-modules (pour la topologie de Zariski — « Zar ou fppf, c'est kif-kif », dit la marge) localement isomorphes à une somme de \(W_{n,S}\), munis d'un isomorphisme \(F_M : M^{(p)} \xrightarrow{\sim} M\) ; \(\mathcal{C}''\), les schémas en \(W_S\)-modules lisses. Les foncteurs sont \(\varphi(E) = E \otimes_{\mathbf{Z}_p} W_S\) avec le \(F\) évident, vers \(\mathcal{C}'\) ; \(\psi(E) = E \otimes_{\mathbf{Z}_p} W_S\), vers \(\mathcal{C}''\) ; et une équivalence \(i : \mathcal{C}' \to \mathcal{C}''\), qui associe à \(M\) le schéma représentant le faisceau… La note s'arrête là, le reste de la page est vide ; le triangle \(\psi = i \circ \varphi\) qu'elle dessine est annoncé, non démontré.⁷⁹