Fonds Grothendieck, cote n° 59, pages 21–27

paginé 1 par l'auteur

Soit X/S propre, plat, de présentation finie, f_{*}(\mathcal{O}_X) \simeq \mathcal{O}_S univ.ersellement, \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} un schéma abélien B. Soit A = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S}. On définit alors un ~~schéma~~ A-torseur \underline{\mathrm{Alb}}^{1}_{X/S}, et un S-morphisme \psi : X \longrightarrow \underline{\mathrm{Alb}}^{1}_{X/S} , ou ce qui revient au même, un homomorphisme \delta : X \times_S X \longrightarrow A \qquad \delta(x,y) = \psi(y) - \psi(x) tel que \delta(x,x) = 0 . Pour ceci, on prend, étant données deux sections x, y de X sur S, \delta(x,y) = N_y N_x^{-1} \quad \text{dans } \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S}(S) où N est un module inversible de Weil sur X \times_S B (qui existe grâce à l'existence d'une section de X sur S).« étant données » est écrit en interligne sous « on prend », et un trait le relie à la formule ; la lecture en est douteuse

On prouve la propriété universelle de (Q = \underline{\mathrm{Alb}}^{1}_{X/S}, \psi) pour les S-morphismes de X dans les ~~schémas~~ torseurs sous schémas abéliens (ou plus généralement, sous des schémas en groupes commutatifs quelconques ?).

Si on définit Q' par \delta' = \delta^{-1}, on trouve un isomorphisme Q' = Q^{-1}, \psi' = \psi^{-1}, et (Q', \psi') est une autre solution au PB universel, canoniquement isomorphe au premier. Donc, lorsqu'on définit (\underline{\mathrm{Alb}}^{1}, \psi) comme solution du PB universel, avec A le schéma abélien des translations de \underline{\mathrm{Alb}}^{1}, il y a une convention de signe à faire pour définir un isomorphisme A \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S}. Nous prendrons la première convention de signe.

paginé 2 par l'auteur

Supposons donc X lisse de dim. relative 1.« lisse » est ajouté en interligne ; un crochet en marge ouvre l'alinéa On peut considérer alors \underline{\mathrm{Pic}}^{1}_{X/S}, torseur sous B = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}, (correspondant aux faisceaux inv. sur X/S de degré relatif 1.« torseur sous B = \ldots » est écrit en interligne et renvoyé ici par un trait ; la parenthèse n'est pas fermée Il y a un morphisme canonique X \xrightarrow{\ \psi\ } \underline{\mathrm{Pic}}^{1}_{X/S} , ~~et celui-ci~~ défini par la diagonale de X \times_S X, qui est un diviseur relatif sur le deuxième facteur.

\begin{tikzcd} X & X \times_S X \arrow[l, no head, "\mathrm{pr}_1"'] \arrow[d, no head, "\mathrm{pr}_2"] \\ S \arrow[u, no head] & X \arrow[l, no head] \end{tikzcd}

carré dessiné en marge gauche, à traits sans flèches

Il fait de \underline{\mathrm{Pic}}^{1}_{X/S} une solution du pb universel d'Albanese. Il s'ensuit, grâce à la première convention de signe, un isom c : B \xrightarrow{\ \sim\ } A = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S} , qui s'explicite ainsi : si y, x sont deux sections de X sur S, alors \psi(y) - \psi(x) est une section de \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} correspondant au diviseur relatif y(S) - x(S), et on a c(\psi(y) - \psi(x)) = c(\mathrm{cl}(y(S)) - \mathrm{cl}(x(S))) = N_y N_x^{-1} où N est un faisceau de Weil sur X \times_S B.

Question à tirer au clair : Cet isom c définit-il la \Theta-polarisation sur B ? ~~(ou la symétrique )~~ Non, c'est sans doute la symétrique ~~(polarisation )~~ de la \Theta-polarisation.« Non, c'est sans doute la » est écrit en interligne au-dessus de la parenthèse biffée ; « symétrique », souligné, surmonte une seconde parenthèse biffée : on donne l'état final de la phrase, les biffures à leur place

C'est une question « géométrique », dans laquelle on peut supposer S spectre d'un corps alg. clos. On a une polarisation de B par le diviseur \Theta. L'homom correspondant u : B \to A est défini par u(t) = \text{classe de } t.\Theta - \Theta . « correspondant » est en interligne, relié par un trait ; un signe empâté précède t dans u(t) Si

paginé 3 par l'auteur ; le feuillet ne porte que ces deux lignes

t est de la forme \mathrm{cl}((y) - (x)), on aura donc u((y) - (x)) = \text{classe de } \ldots à la suite, une formule en \Theta est biffée d'un trait épais, illisible sous la biffure

paginé 4 par l'auteur

Schémas abéliens polarisés principaux

titre souligné, de sa main, en tête de la page

Soit A/S un schéma abélien, muni d'une section \delta de \underline{\mathrm{NS}}_{A/S}, d'où un torseur P^{\delta} = \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S} sous le schéma abélien dual B = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S}, et un faisceau inversible \mathcal{L} sur A \times P^{\delta} … D'autre part, \delta définit \tilde{\delta} : A \to B, et les opérations de A sur P^{\delta} via \tilde{\delta} sont celles déduites par transport de structure des opérations de A sur lui-même par translations.

Supposons que \delta soit une polarisation, on alors on sait que les H^i des \mathcal{L}_x (x \in P^{\delta}) sont nuls pour i > 0, et que \mathrm{pr}_{2*}(\mathcal{L}) est donc un module loc. libre de rang \chi(\delta). Si \chi(\delta) = 1, c'est un module inversible sur P^{\delta}, et il lui est associé un diviseur canonique D_{\delta} ~~\Theta~~ sur A \times P^{\delta} relativement à P^{\delta}. D'autre part, \bar{\delta} : A \to B est donc un isom., et P^{\delta} peut être regardé comme un A-torseur.

~~d'un~~ Le diviseur D_{\delta} est stable par opérations de A opérant diagonalement sur A \times P^{\delta}. ~~Donc il~~ [Il provient donc d'un diviseur sur le quotient (A \times P^{\delta})/A = P^{\delta}, noté \Theta. Ce dernier a la vertu que \chi(\Theta_{\delta}) = 1.le crochet ouvert devant « Il provient » n'est pas refermé

Proposition. Soit A un schéma abélien/S, de dim. relative g, soit \delta une polarisation sur A de degré 1. Alors il existe un A-torseur« de dim. relative g, soit » est ajouté en interligne et renvoyé par un trait

paginé 5 par l'auteur

P, et un diviseur relatif positif \Theta sur P, [tel que \deg \Theta^{g}/g! = 1] et que la polarisation \delta soit égale à celle déduite de la polarisation de P par le diviseur \Theta.« relatif positif » est en interligne ; la première partie de la proposition ne porte pas de lettre a), les suivantes sont b), c), d) Et donnés P' et \Theta' ayant les mêmes vertus que P et \Theta, il existe un unique A-isom de P sur P', transformant \Theta en \Theta' [en d'autres termes toute section de A qui invarie \Theta est la section unité].

b) Si on a un torseur P sous A, muni d'un diviseur relatif positif \Theta tel que \deg \Theta^{g}/g! = 1 ~~de degré de polarisation 1~~, alors \Theta est ample rel/S [et définit ~~donc~~ une polarisation de P/S donc ~~degré~~ de A/S. Cette dernière est de degré de polarisation 1.

c) Sous les conditions de b), considérons l'homom de composition A \times P \to P, et soit \Theta' l'image inverse de \Theta dans A \times P. Alors \Theta est un diviseur positif relatif sur A \times P/P et définit donc un faisceau inversible sur A \times P, donc un homom P \to \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}. Ce dernier est un isom de P sur \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S}, où \delta est la polarisation de A/S définie par \Theta sur P.« Alors \Theta » : sans prime sur la page, là où l'on attend \Theta' ; « /P » est ajouté en interligne après A \times P

d) Supposons que A = \underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X/S}, où X/S est une courbe propre et lisse relative de genre g. ~~Alors~~ Considérons la polarisation canonique \delta de A ~~définie par B~~, le diviseur diagonal sur X \times_S X. Cette polarisation est de degré 1, et P^{\delta} est canoniquement isomorphe, comme A-torseur, à \underline{\mathrm{Pic}}^{g-1}_{X/S} = \underline{\mathrm{Alb}}^{g-1}_{X/S}, cet isomorphisme« le diviseur diagonal », « est de degré 1 » et « comme A-torseur » sont écrits en interligne, au-dessus de passages biffés ; l'ordre des mots est restitué d'après les traits de renvoi question de signe !encadré, en marge gauche au bas de la page, relié par un trait à la dernière ligne

paginé 6 par l'auteur

transformant \Theta en W_{g-1} (ce qui le caractérise).

un trait horizontal suit. Vient ensuite un passage encadré, barré de longs traits obliques, que l'on donne comme biffé Soit X/S propre plat de prés. finie, f_{*}(\mathcal{O}_X) \simeq \mathcal{O}_S univ.ersellement, \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} un schéma abélien B, de dual A = \underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X/S}. Supposons donnée sur (X \times_S X) une correspondance divisorielle symétrique C, définissant donc une correspondance divisorielle symétrique A, donc une polarisation \gamma de A, section de \underline{\mathrm{NS}}_{A/S}, soit \gamma.à l'intérieur du cadre, les deux « symétrique » sont en interligne et plusieurs mots sont biffés séparément avant la biffure d'ensemble

~~bis~~ (c bis) Soit (P, \Theta) comme dans b). Considérons ~~P^{-1}, \Theta^{-1}~~ P^{-1}, et l'isom (compatible avec la symétrie sur A) P \xrightarrow{\ \sigma_P\ } P^{-1} , et soit \Theta^{-*} = \sigma_P(\Theta). Alors la polarisation définie par \Theta^{-*} sur A est égale à celle définie par \Theta, donc il y a un isomorphisme unique de A-torseurs K : P \xleftarrow{\ \sim\ } P^{-1} tel que K(\Theta) = \Theta^{-*}. On peut aussi considérer K comme une section de P^{\overset{A}{\otimes} 2} K \in \Gamma(S, P^{\overset{A}{\otimes} 2}) . l'exposant de \Theta^{-*} est lu douteusement : un signe moins suivi d'une étoile ou d'un petit signe surchargé ; la lettre de « (c bis) » peut se lire e. Dans K : P \leftarrow P^{-1}, le P est surchargé

Lorsque A = \underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X/S}, X, \delta comme dans d), donc P \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{g-1}_{X/S} ~~\simeq \underline{\mathrm{Alb}}~~, ~~K est la~~ moyennant l'isom. P \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{g-1}_{X/S}, d'où P^{(2)} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{2g-2}_{X/S}, K est la section provenant du faisceau \underline{\Omega}^{1}_{X/S} sur X.« P \simeq » est ajouté en interligne

Vérifier que c'est la section canonique (\underline{\mathrm{Pic}}^{\ill{}}_{A/S}) pour toute section \delta de \underline{\mathrm{NS}}_{A/S} …en marge gauche, en oblique, reliée par un long trait courbe à « Lorsque » et à la ligne de K