Cote n° 59 · batch 2 · pages 21–27 · Transcription · Construction des faisceaux inversibles sur schémas de Picard : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [années 1960-1970]
Édition de démonstration

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Soit \(X/S\) propre, plat, de présentation finie, \(f_{*}(\mathcal{O}_X) \simeq \mathcal{O}_S\) univ.[ersellement], \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}\) un schéma abélien \(B\). Soit \(A = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S}\). On définit alors un schéma \(A\)-torseur \(\underline{\mathrm{Alb}}^{1}_{X/S}\), et un \(S\)-morphisme \[ \psi : X \longrightarrow \underline{\mathrm{Alb}}^{1}_{X/S} , \] ou ce qui revient au même, un homomorphisme \[ \delta : X \times_S X \longrightarrow A \qquad \delta(x,y) = \psi(y) - \psi(x) \] tel que \[ \delta(x,x) = 0 . \] Pour ceci, on prend, étant données deux sections \(x, y\) de \(X\) sur \(S\), \[ \delta(x,y) = N_y N_x^{-1} \quad \text{dans } \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S}(S) \] où \(N\) est un module inversible de Weil sur \(X \times_S B\) (qui existe grâce à l'existence d'une section de \(X\) sur \(S\)).« étant données » est écrit en interligne sous « on prend », et un trait le relie à la formule ; la lecture en est douteuse

On prouve la propriété universelle de \((Q = \underline{\mathrm{Alb}}^{1}_{X/S}, \psi)\) pour les \(S\)-morphismes de \(X\) dans les schémas torseurs sous schémas abéliens (ou plus généralement, sous des schémas en groupes commutatifs quelconques ?).

Si on définit \(Q'\) par \(\delta' = \delta^{-1}\), on trouve un isomorphisme \(Q' = Q^{-1}\), \(\psi' = \psi^{-1}\), et \((Q', \psi')\) est une autre solution au […] PB universel, canoniquement isomorphe au premier. Donc, lorsqu'on définit \((\underline{\mathrm{Alb}}^{1}, \psi)\) comme solution du PB universel, avec \(A\) le schéma abélien des translations de \(\underline{\mathrm{Alb}}^{1}\), il y a une convention de signe à faire pour définir un isomorphisme \(A \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S}\). Nous prendrons la première convention de signe.

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Supposons donc \(X\) lisse de dim. relative \(1\).« lisse » est ajouté en interligne ; un crochet en marge ouvre l'alinéa On peut considérer alors \(\underline{\mathrm{Pic}}^{1}_{X/S}\), torseur sous \(B = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}\), (correspondant aux faisceaux inv. sur \(X/S\) de degré relatif \(1\).« torseur sous \(B = \ldots\) » est écrit en interligne et renvoyé ici par un trait ; la parenthèse n'est pas fermée Il y a un morphisme canonique \[ X \xrightarrow{\ \psi\ } \underline{\mathrm{Pic}}^{1}_{X/S} , \] et celui-ci défini par la diagonale de \(X \times_S X\), qui est un diviseur relatif sur le deuxième facteur.

\begin{tikzcd}
X & X \times_S X \arrow[l, no head, "\mathrm{pr}_1"'] \arrow[d, no head, "\mathrm{pr}_2"] \\
S \arrow[u, no head] & X \arrow[l, no head]
\end{tikzcd}

carré dessiné en marge gauche, à traits sans flèches

Il fait de \(\underline{\mathrm{Pic}}^{1}_{X/S}\) une solution du pb universel d'Albanese. Il s'ensuit, grâce à la première convention de signe, un isom \[ c : B \xrightarrow{\ \sim\ } A = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S} , \] qui s'explicite ainsi : si \(y, x\) sont deux sections de \(X\) sur \(S\), alors \(\psi(y) - \psi(x)\) est une section de \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}\) correspondant au diviseur relatif \(y(S) - x(S)\), et on a \[ c(\psi(y) - \psi(x)) = c(\mathrm{cl}(y(S)) - \mathrm{cl}(x(S))) = N_y N_x^{-1} \] où \(N\) est un faisceau de Weil sur \(X \times_S B\).

Question à tirer au clair : Cet isom \(c\) définit-il la […] \(\Theta\)-polarisation sur \(B\) ? (ou la symétrique […]) Non, c'est sans doute la symétrique (polarisation […]) de la \(\Theta\)-polarisation.« Non, c'est sans doute la » est écrit en interligne au-dessus de la parenthèse biffée ; « symétrique », souligné, surmonte une seconde parenthèse biffée : on donne l'état final de la phrase, les biffures à leur place

C'est une question « géométrique », dans laquelle on peut supposer \(S\) spectre d'un corps alg. clos. On a une polarisation de \(B\) par le diviseur \(\Theta\). L'homom correspondant \(u : B \to A\) est défini par \[ u(t) = \text{classe de } t.\Theta - \Theta . \] « correspondant » est en interligne, relié par un trait ; un signe empâté précède \(t\) dans \(u(t)\) Si

24paginé 3 par l'auteur ; le feuillet ne porte que ces deux lignes

\(t\) est de la forme \(\mathrm{cl}((y) - (x))\), on aura donc \[ u((y) - (x)) = \text{classe de } \ldots \] […]à la suite, une formule en \(\Theta\) est biffée d'un trait épais, illisible sous la biffure

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Schémas abéliens polarisés principaux

titre souligné, de sa main, en tête de la page

Soit \(A/S\) un schéma abélien, muni d'une section \(\delta\) de \(\underline{\mathrm{NS}}_{A/S}\), d'où un torseur \(P^{\delta} = \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S}\) sous le schéma abélien dual \(B = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S}\), et un faisceau inversible \(\mathcal{L}\) sur \(A \times P^{\delta}\) … D'autre part, \(\delta\) définit \(\tilde{\delta} : A \to B\), et les opérations de \(A\) sur \(P^{\delta}\) via \(\tilde{\delta}\) sont celles déduites par transport de structure des opérations de \(A\) sur lui-même par translations.

Supposons que \(\delta\) soit une polarisation, on alors on sait que les \(H^i\) des \(\mathcal{L}_x\) (\(x \in P^{\delta}\)) sont nuls pour \(i > 0\), et que […] \(\mathrm{pr}_{2*}(\mathcal{L})\) est donc un module loc. libre de rang \(\chi(\delta)\). Si \(\chi(\delta) = 1\), c'est un module inversible sur \(P^{\delta}\), et il lui est associé un diviseur canonique \(D_{\delta}\) \(\Theta\) sur \(A \times P^{\delta}\) relativement à \(P^{\delta}\). D'autre part, \(\bar{\delta} : A \to B\) est donc un isom., et \(P^{\delta}\) peut être regardé comme un \(A\)-torseur.

[…] d'un […] Le diviseur \(D_{\delta}\) est stable par opérations de \(A\) opérant diagonalement sur \(A \times P^{\delta}\). Donc il [Il provient donc d'un diviseur sur le quotient \((A \times P^{\delta})/A = P^{\delta}\), noté […] \(\Theta\). Ce dernier a la vertu que \(\chi(\Theta_{\delta}) = 1\).le crochet ouvert devant « Il provient » n'est pas refermé

Proposition. Soit \(A\) un schéma abélien\(/S\), de dim. relative \(g\), soit \(\delta\) une polarisation sur \(A\) de degré \(1\). Alors il existe un \(A\)-torseur« de dim. relative \(g\), soit » est ajouté en interligne et renvoyé par un trait

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\(P\), et un diviseur relatif positif \(\Theta\) sur \(P\), [tel que \(\deg \Theta^{g}/g! = 1\)] et que la polarisation \(\delta\) soit égale à celle déduite de la polarisation de \(P\) par le diviseur \(\Theta\).« relatif positif » est en interligne ; la première partie de la proposition ne porte pas de lettre a), les suivantes sont b), c), d) […] Et donnés \(P'\) et \(\Theta'\) ayant les mêmes vertus que \(P\) et \(\Theta\), il existe un unique \(A\)-isom de \(P\) sur \(P'\), transformant \(\Theta\) en \(\Theta'\) [en d'autres termes toute […] section de \(A\) qui invarie \(\Theta\) est la section unité].

b) Si on a un torseur \(P\) sous \(A\), muni d'un diviseur relatif positif \(\Theta\) tel que \(\deg \Theta^{g}/g! = 1\) de degré de polarisation \(1\), alors \(\Theta\) est ample rel\(/S\) [et définit donc une polarisation de \(P/S\) donc degré de \(A/S\). Cette dernière est de degré de polarisation \(1\).

c) Sous les conditions de b), considérons l'homom de composition \(A \times P \to P\), et soit \(\Theta'\) l'image inverse de \(\Theta\) dans \(A \times P\). Alors \(\Theta\) est un diviseur positif relatif sur \(A \times P/P\) et définit donc un […] faisceau inversible sur \(A \times P\), donc un homom \(P \to \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}\). Ce dernier est un isom de \(P\) sur \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S}\), où \(\delta\) est la polarisation de \(A/S\) définie par […] \(\Theta\) sur \(P\).« Alors \(\Theta\) » : sans prime sur la page, là où l'on attend \(\Theta'\) ; « \(/P\) » est ajouté en interligne après \(A \times P\)

d) Supposons que \(A = \underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X/S}\), où \(X/S\) est une courbe propre et lisse relative de genre \(g\). Alors Considérons la polarisation canonique \(\delta\) de \(A\) définie par \(B\), […] […] le diviseur diagonal sur \(X \times_S X\). Cette polarisation est de degré \(1\), et \(P^{\delta}\) est canoniquement isomorphe, comme \(A\)-torseur, à \(\underline{\mathrm{Pic}}^{g-1}_{X/S} = \underline{\mathrm{Alb}}^{g-1}_{X/S}\), cet isomorphisme« le diviseur diagonal », « est de degré \(1\) » et « comme \(A\)-torseur » sont écrits en interligne, au-dessus de passages biffés ; l'ordre des mots est restitué d'après les traits de renvoi question de signe !encadré, en marge gauche au bas de la page, relié par un trait à la dernière ligne

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transformant \(\Theta\) en \(W_{g-1}\) (ce qui le caractérise).

un trait horizontal suit. Vient ensuite un passage encadré, barré de longs traits obliques, que l'on donne comme biffé Soit \(X/S\) propre plat de prés. finie, \(f_{*}(\mathcal{O}_X) \simeq \mathcal{O}_S\) univ.[ersellement], \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}\) un schéma abélien \(B\), de dual \(A = \underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X/S}\). Supposons donnée sur […] \((X \times_S X)\) une correspondance divisorielle symétrique \(C\), définissant donc une correspondance divisorielle symétrique […] \(A\), donc une polarisation \(\gamma\) de \(A\), section de \(\underline{\mathrm{NS}}_{A/S}\), soit \(\gamma\).à l'intérieur du cadre, les deux « symétrique » sont en interligne et plusieurs mots sont biffés séparément avant la biffure d'ensemble

[…] bis (c bis) Soit \((P, \Theta)\) comme dans b). Considérons \(P^{-1}\), \(\Theta^{-1}\) \(P^{-1}\), et l'isom (compatible avec la symétrie sur \(A\)) \[ P \xrightarrow{\ \sigma_P\ } P^{-1} , \] et soit \(\Theta^{-*} = \sigma_P(\Theta)\). Alors la polarisation définie par \(\Theta^{-*}\) sur \(A\) est égale à celle définie par \(\Theta\), donc il y a un isomorphisme unique de \(A\)-torseurs \[ K : P \xleftarrow{\ \sim\ } P^{-1} \] tel que \(K(\Theta) = \Theta^{-*}\). On peut aussi considérer \(K\) comme une section de \(P^{\overset{A}{\otimes} 2}\) \[ K \in \Gamma(S, P^{\overset{A}{\otimes} 2}) . \] l'exposant de \(\Theta^{-*}\) est lu douteusement : un signe moins suivi d'une étoile ou d'un petit signe surchargé ; la lettre de « (c bis) » peut se lire e. Dans \(K : P \leftarrow P^{-1}\), le \(P\) est surchargé

Lorsque \(A = \underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X/S}\), \(X\), \(\delta\) comme dans d), donc \(P \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{g-1}_{X/S}\) \(\simeq \underline{\mathrm{Alb}}\), \(K\) est la moyennant l'isom. \(P \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{g-1}_{X/S}\), d'où \(P^{(2)} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{2g-2}_{X/S}\), \(K\) est la section provenant du […] faisceau \(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}\) sur \(X\).« \(P \simeq\) » est ajouté en interligne

Vérifier que c'est la section […] canonique […] \((\underline{\mathrm{Pic}}^{\ill{}}_{A/S})\) […] pour toute section \(\delta\) de \(\underline{\mathrm{NS}}_{A/S}\) …en marge gauche, en oblique, reliée par un long trait courbe à « Lorsque » et à la ligne de \(K\)