Cote n° 59 · pages 1–27 · Lecture modernisée · Construction des faisceaux inversibles sur schémas de Picard : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [années 1960-1970]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Une courbe, ou plus généralement une variété, et l'espace qui paramètre ses fibrés en droites : comment fabriquer, sans rien choisir, des fibrés en droites sur cet espace-là ?

Sur une variété \(X\) vivent des fibrés en droites, et ceux-ci forment à leur tour un espace géométrique, le schéma de Picard. Sa composante neutre, quand tout va bien, est une variété abélienne — un objet dont les points s'additionnent, l'analogue algébrique d'un tore — et cette variété abélienne possède une duale, qui paramètre à son tour ses propres fibrés en droites. On a donc une tour : \(X\), puis son Picard, puis le Picard de son Picard. Le dossier cherche à descendre cette tour d'un étage de façon canonique, c'est-à-dire sans choisir de point base, de diviseur ni de coordonnées. Le problème vient de ce que presque toutes les constructions naturelles demandent un choix — un point de \(X\) pour normaliser, un fibré de référence — et que le résultat change avec le choix.

L'idée est la plus simple qui soit : à chaque fibré \(L\) sur \(X\) on associe sa cohomologie, et de la cohomologie on ne garde qu'un nombre — en fait une droite, son déterminant. Quand \(L\) varie, ces droites forment un fibré en droites sur le schéma de Picard. Il dépend encore du point base choisi, mais d'une façon que l'on contrôle exactement : le changement est une puissance, d'exposant la caractéristique d'Euler, d'un fibré que l'on sait décrire. Toute la suite du dossier exploite cette dépendance maîtrisée. On en tire une application entre les « classes » de fibrés de \(X\) et celles de la variété duale — pas un homomorphisme, un polynôme — et, au bout d'une comptabilité de torseurs (des espaces qui ressemblent à un groupe, mais sans origine privilégiée), une section canonique d'un certain torseur : un objet que l'on n'avait pas le droit d'espérer sans choix, et qui est là.

Deux exemples éclairent la construction. Pour une courbe, l'application retrouve, au signe près, la polarisation classique de la jacobienne — le diviseur thêta — et la section canonique attendue est le fibré canonique de la courbe ; le dossier le conjecture, et ses dernières pages l'obtiennent par un autre chemin, à partir de la symétrie du diviseur thêta. Pour une variété abélienne, le calcul passe par ce qu'on appelle aujourd'hui la transformation de Fourier des cycles, et produit une « inversion » des polarisations : chaque polarisation de la variété en donne une sur la duale, et la composée des deux est la multiplication par la caractéristique d'Euler. Il en sort des énoncés de trivialité canonique pour certaines puissances de torseurs. Une dernière construction recommence avec un complexe de faisceaux quelconque à la place d'un fibré, et relit tout comme le déterminant d'une transformation de type Fourier.

Les feuillets sont rapides, et presque chaque page dit son inquiétude sur les signes : « vérifier si le signe est correct ! », « attention aux signes ?? », « question de signe ! ». L'inquiétude était fondée — plusieurs signes sont à retourner, et l'un des résultats intermédiaires ne se confirme pas en l'état ; les notes de bas de page disent lesquels. Ce qui reste juste, et c'est l'essentiel, est la forme de la construction : une seule idée, le déterminant de la cohomologie, suivie jusqu'au bout et vérifiée sur les deux exemples où l'on sait calculer.

Keywords — determinant of cohomology, Picard scheme, Néron-Severi group scheme, Poincaré bundle, torsor under an abelian scheme, contracted product, Albanese torsor, Grothendieck-Riemann-Roch, Picard bundle, Fourier-Mukai transform, Fourier transform on Chow groups, dual polarisation, principally polarised abelian scheme, theta divisor, Riemann singularity theorem, autoduality of the Jacobian, canonical bundle, Franchetta conjecture

1–27

Le dossier, sa charpente et ses notations

Vingt-sept pages, dont une blanche (la page 21). Elles forment deux suites distinctes. Les pages 1 à 20 sont une rédaction continue, en paragraphes lettrés a) à f) — avec deux e) (pages 5 et 14) et deux f) (pages 9 et 16) ; on les distingue ici par leur contenu et leurs pages. Les pages 22 à 27, numérotées de 1 à 6 de sa main, sont une reprise qui commence par fixer une convention de signe dont la première suite avait besoin, puis passe aux schémas abéliens principalement polarisés.

L'argument se lit en huit stations :

Notations, valables pour tout le dossier. \(f : X \to S\) est propre, plat, de présentation finie, avec \(f_{*}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\) universellement ; \(P = \mathrm{Pic}_{X/S}\), et l'on suppose que \(B = P^{0} = \mathrm{Pic}^{0}_{X/S}\) est un schéma abélien. On note \(A = \mathrm{Pic}^{0}_{B/S}\) son dual, que la page 3 identifie à \(\mathrm{Alb}^{0}_{X/S}\). Pour une section \(\delta\) de \(\mathrm{NS}_{X/S}\), \(P^{\delta}\) est la composante correspondante de \(P\), torseur sous \(B\). Les foncteurs \(\mathrm{Pic}\), \(\mathrm{Alb}\), \(\mathrm{NS}\) sont soulignés sur les pages, comme partout dans le fonds ; on ne les souligne pas ici. Le « faisceau de Weil » des pages est le faisceau de Poincaré normalisé le long d'une section.

Pour une classe \(\lambda\) de \(\mathrm{NS}\) d'un schéma abélien, on note \(\tilde{\lambda}\) l'homomorphisme vers le dual avec la convention de Mumford : \(\tilde{\lambda}(x) = [\,t_x^{*}M \otimes M^{-1}\,]\) pour \(M\) de classe \(\lambda\).1 Pour un \(B\)-torseur \(T\) et un homomorphisme \(u : B \to A\), on écrit \(u_{*}T = T \times^{B} A\) le \(A\)-torseur poussé — les pages écrivent \(T \overset{B}{\times} (A, u)\) ; \(T \times^{A} T'\) est le produit contracté de deux \(A\)-torseurs ; \(T^{(m)} = [m]_{*}T\), et \(T^{(-1)}\) est le torseur inverse. Enfin \(\mathrm{Alb}^{k}_{X/S} = (\mathrm{Alb}^{1}_{X/S})^{(k)}\).

Deux homonymies sont à défaire dès maintenant. La page 8 appelle \(c\) l'isomorphisme \(B \to A\) défini par le diviseur \(\Theta\) d'une jacobienne ; la page 23 appelle \(c\) l'isomorphisme d'Abel–Jacobi. Ce ne sont pas les mêmes — la page 23 pense qu'ils diffèrent d'un signe, et c'est exact — et l'on écrit \(\phi_{\Theta}\) pour le premier, \(c\) pour le second. D'autre part la lettre \(\delta\) désigne dans les pages 1 à 20 une classe de Néron–Severi, et à la page 22 l'application \(X \times_S X \to A\), \((x, y) \mapsto \psi(y) - \psi(x)\) ; on écrit \(\Delta_{\psi}\) pour celle-ci.

1–2

Le fibré déterminant et le changement de section (pages 1 et 2)

Supposons d'abord que \(X/S\) ait une section \(g\). Sur \(X \times_S P\) vit alors le faisceau de Poincaré \(\mathcal{L}_g\), normalisé, c'est-à-dire trivialisé le long de \(g(S) \times_S P\). Son image directe dérivée par \(f_P : X \times_S P \to P\) est un complexe parfait, et l'on pose \[ M_g = \det\, R f_{P*}(\mathcal{L}_g), \] module inversible sur \(P\) : c'est le fibré déterminant de la cohomologie.2

Changeons de section. Le faisceau normalisé le long de \(g'\) est \[ \mathcal{L}_{g'} \simeq \mathcal{L}_g \otimes f_P^{*}\bigl(g'^{*}_P \mathcal{L}_g\bigr)^{-1}, \] d'où, par la formule de projection et la multiplicativité du déterminant, un isomorphisme canonique \[ (*_{b}) \qquad M_{g'} \simeq M_g \otimes \bigl(g'^{*}_P \mathcal{L}_g\bigr)^{-\chi} = M_g \otimes \bigl(N_g N_{g'}^{-1}\bigr)^{\chi}, \] où \(\chi : P \to \mathbb{Z}\) est la fonction localement constante qui donne la caractéristique d'Euler–Poincaré des faisceaux inversibles paramétrés, et où \(N\) est un faisceau inversible quelconque sur \(X \times_S P\) représentant le point universel, \(N_g = g_P^{*}N\), \(N_{g'} = g'^{*}_P N\) ; le produit \(N_g N_{g'}^{-1}\) ne dépend pas du choix de \(N\).3

Comme \(P^{\delta}\) est un \(B\)-torseur, ses fibres sont connexes et \(\chi\) y est constante : on note \(\chi(\delta)\) sa valeur. Sur \(P^{\delta}\), le faisceau \(N_g N_{g'}^{-1}\) appartient à \(\mathrm{Pic}^{0}\) ; c'est le point \(\psi(g') - \psi(g)\) de \(A\), au sens du torseur d'Albanese des pages 22 et 23 (voir plus bas). Ainsi \(M_g\) et \(M_{g'}\) ont la même classe dans \(\mathrm{NS}_{P^{\delta}/S}(S)\).

2–5

L'application \(\varphi\) et la section canonique \(L(\delta)\) (pages 2 à 5)

L'application \(\varphi\)

Les translations de \(B\) agissent trivialement sur \(\mathrm{Pic}^{0}_{B/S}\) et sur \(\mathrm{NS}_{B/S}\) ; d'où des isomorphismes canoniques \(\mathrm{Pic}^{0}_{P^{\delta}/S} \simeq \mathrm{Pic}^{0}_{B/S}\) et \(\mathrm{NS}_{P^{\delta}/S} \simeq \mathrm{NS}_{B/S}\), qui ne dépendent pas du point de \(P^{\delta}\) choisi pour identifier \(P^{\delta}\) à \(B\). La classe de \(M_g|_{P^{\delta}}\) définit donc une section \[ \varphi(\delta) \in \mathrm{NS}_{B/S}(S), \] indépendante de \(g\) d'après \((*_{b})\). Elle se définit donc par descente sans supposer l'existence d'une section — \(X/S\) en acquiert une après le changement de base fidèlement plat \(X \to S\) —, et comme sa formation commute au changement de base, on obtient un morphisme de faisceaux \[ \varphi : \mathrm{NS}_{X/S} \longrightarrow \mathrm{NS}_{B/S}. \] Ce n'est pas un homomorphisme, et la page le souligne ; le calcul des pages 6 et 7 montre que c'est une application polynomiale, de degré \(n - 1\) si \(n\) est la dimension relative de \(X\).4

Tordre \(\mathrm{Pic}_{B/S}\) par le torseur \(P^{\delta}\)

Soit \(\lambda\) une section de \(\mathrm{NS}_{B/S}\), et \(\tilde{\lambda} : B \to A\) l'homomorphisme qu'elle définit. Si \(N\) est un faisceau inversible de classe \(\lambda\) sur \(P^{\delta}\), chaque point \(p\) de \(P^{\delta}\) donne un isomorphisme \(B \to P^{\delta}\), \(x \mapsto p + x\), et donc un faisceau \(N_p\) sur \(B\) ; on a \(N_{p+b} = t_b^{*}N_p = N_p \otimes \tilde{\lambda}(b)\). Ainsi \(p \mapsto N_p\) est un morphisme \(P^{\delta} \to \mathrm{Pic}^{\lambda}_{B/S}\) équivariant le long de \(\tilde{\lambda}\), c'est-à-dire un morphisme de \(A\)-torseurs \(\tilde{\lambda}_{*}P^{\delta} \to \mathrm{Pic}^{\lambda}_{B/S}\), et l'on obtient \[ \mathrm{Pic}^{\lambda}_{P^{\delta}/S} \simeq \mathrm{Pic}^{\lambda}_{B/S} \times^{A} \bigl(\tilde{\lambda}_{*}P^{\delta}\bigr)^{(-1)} . \] 5

Appliquons cela à \(\lambda = \varphi(\delta)\) et au fibré \(M_g|_{P^{\delta}}\) : chaque section \(g\) de \(X\) donne un point \(\ell(g)\) du \(A\)-torseur \[ T_{\delta} = \mathrm{Pic}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \times^{A} \bigl(\widetilde{\varphi(\delta)}_{*}P^{\delta}\bigr)^{(-1)} . \] 6 La formation de \(\ell(g)\) commutant au changement de base, on l'applique au point universel — la base \(X\), la section diagonale — et l'on obtient un morphisme de schémas \[ \ell_{\delta} : X \longrightarrow T_{\delta}. \]

La section canonique

Un morphisme de \(X\) dans un torseur sous un schéma abélien se factorise de façon unique par \(\psi : X \to \mathrm{Alb}^{1}_{X/S}\) (c'est la propriété universelle énoncée page 22), à travers un morphisme de torseurs compatible avec un homomorphisme \(u_{\delta} : A \to A\) des groupes structuraux. Or \((*_{b})\) dit exactement comment \(\ell(g)\) varie avec \(g\) : \(\ell(g') = \ell(g) - \chi(\delta)\,\bigl(\psi(g') - \psi(g)\bigr)\). Donc \[ u_{\delta} = -\chi(\delta)\,\mathrm{id}_A , \] et la factorisation est un isomorphisme de \(A\)-torseurs \(\mathrm{Alb}^{-\chi(\delta)}_{X/S} \xrightarrow{\ \sim\ } T_{\delta}\), c'est-à-dire une section canonique \[ \boxed{\;L(\delta) \in \Gamma\bigl(S,\ \mathrm{Alb}^{\chi(\delta)}_{X/S} \times^{A} \mathrm{Pic}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \times^{A} \bigl(\widetilde{\varphi(\delta)}_{*}P^{\delta}\bigr)^{(-1)}\bigr).\;} \] En particulier ce \(A\)-torseur est trivial, avec une trivialisation canonique.7

5–7

Le calcul de \(\varphi(\delta)\) par Riemann–Roch (pages 5 à 7)

Pour calculer \(\chi(\delta)\) et \(\varphi(\delta)\) on se ramène à \(S = \operatorname{Spec} k\), \(k\) algébriquement clos. Un point \(p\) de \(P^{\delta}(k)\), c'est-à-dire un faisceau inversible \(L\) de classe \(\delta\), identifie \(P^{\delta}\) à \(B\), et \(\mathcal{L}_g\) restreint à \(X \times P^{\delta}\) devient \(\mathcal{L}^{0} \otimes \mathrm{pr}_1^{*}L\), où \(\mathcal{L}^{0}\) est le faisceau de Poincaré sur \(X \times B\), normalisé en \(g\). Il s'agit donc de calculer la classe de \(\det R\mathrm{pr}_{2*} (\mathcal{L}^{0} \otimes \mathrm{pr}_1^{*}L)\) modulo équivalence algébrique. Comme \(\mathrm{NS}(B)\) est sans torsion, il suffit de le faire dans \(\mathrm{NS}(B) \otimes \mathbb{Q}\), c'est-à-dire de calculer la partie de degré \(1\) du caractère de Chern.8

Si \(X\) est lisse de dimension \(n\) — la page dit aussi « intersection complète » —, Grothendieck–Riemann–Roch donne \[ \varphi(\delta) = \Bigl[\mathrm{pr}_{2*}\bigl(e^{D}\cdot \mathrm{pr}_1^{*}(\mathrm{Td}_X\, e^{\delta})\bigr)\Bigr]_{1}, \qquad D = c_1(\mathcal{L}^{0}), \] où \([\ ]_1\) désigne la composante de degré \(1\).9 On travaille en cohomologie \(\ell\)-adique, \(\ell\) inversible dans \(k\), en choisissant un isomorphisme \(\mathbb{Z}_\ell(1) \simeq \mathbb{Z}_\ell\). La normalisation de \(\mathcal{L}^{0}\) le long de \(g \times B\) et de \(X \times 0\) fait que \(D\) appartient à la composante de Künneth \(H^{1}(X) \otimes H^{1}(B)\), où il réalise la dualité entre \(H^{1}(B)\) et \(H^{1}(X)\). Écrivons \(\mathrm{Td}_X\, e^{\delta} = \sum_{i} a_i\), avec \(a_i \in H^{2i}(X)\). Le terme \(\mathrm{pr}_1^{*}(a_i)\,D^{j}/j!\) a le degré partiel \(2i + j\) en \(X\) ; son image par \(\mathrm{pr}_{2*}\) est nulle sauf si \(2i + j = 2n\), et elle est alors de degré \(j\) sur \(B\). La composante de degré \(2\) (la classe \(c_1\)) demande \(j = 2\), \(i = n - 1\) : \[ \boxed{\;\varphi(\delta) = \tfrac{1}{2}\,\mathrm{pr}_{2*}\bigl(\mathrm{pr}_1^{*}(a_{n-1})\, D^{2}\bigr), \qquad a_{n-1} = \Bigl[\mathrm{Td}_X\, e^{\delta}\Bigr]_{n-1}.\;} \] Comme \(a_{n-1} = \sum_{k} \mathrm{Td}_{n-1-k}(X)\,\delta^{k}/k!\), \(\varphi\) est un polynôme de degré \(n - 1\) en \(\delta\).

7–9

Premier exemple : les courbes (pages 7 à 9)

Pour \(n = 1\), \(\delta\) est le degré \(d\), \(a_0 = 1\) et \(\varphi(\delta) = \tfrac{1}{2}\mathrm{pr}_{2*}(D^{2})\), indépendant de \(d\). Dans une base symplectique \((e_1, f_1, \ldots, e_g, f_g)\) de \(H^{1}(X)\), la page calcule \(\tfrac{1}{2}D^{2} = \eta \otimes \sum e_i f_i\), d'où \(\varphi(\delta) = \pm \sum e_i \wedge f_i\) : au signe près, la classe de la polarisation canonique \(\theta\) de la jacobienne \(B\). Le signe est \[ \varphi(\delta) = -\theta . \] 10 Riemann–Roch donne \(\chi(\delta) = 1 - g + d\).11

La page traduit ensuite les trois facteurs du torseur de \(L(\delta)\) en \(B\)-torseurs, par l'isomorphisme \(\phi_{\Theta} : B \to A\) de la polarisation thêta. Sous \(\phi_{\Theta}\), \(\mathrm{Alb}^{1}_{X/S}\) devient \(P^{-1} = \mathrm{Pic}^{-1}_{X/S}\) (« attention au signe ! » — c'est ce que confirme la page 23), donc \(\mathrm{Alb}^{\chi(\delta)}\) devient \(P^{g-1-d}\) ; le facteur poussé par \(\widetilde{\varphi(\delta)}\) redevient \(P^{\delta} = P^{d}\) ; et \(\mathrm{Pic}^{\varphi(\delta)}_{B/S}\) s'identifie, par le diviseur \(\Theta\), à une puissance de \(P^{g-1}\). La page trouve pour le produit \[ P^{2g-2} = \mathrm{Pic}^{2g-2}_{X/S}, \] et observe que ce n'est « pas très excitant » : on s'attend à ce que la section canonique soit la classe \(K\) du fibré canonique, ce qui reste « à prouver ! ».12

N.B. (page 9). Pour bien faire, dit la page, il faudrait montrer que sur l'espace de modules \(S\) des courbes de genre \(g \geq 1\) (avec un point marqué si \(g = 1\)), le groupe des sections de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) de la courbe universelle est engendré par \(K\) — en particulier que \(\mathrm{Pic}^{0}\) n'a que la section nulle — et qu'il suffirait de le faire en caractéristique nulle.13

9–13

Second exemple : les schémas abéliens (pages 9 à 13)

La transformation de Fourier et l'inversion des polarisations

Soit maintenant \(X = A\) un schéma abélien de dimension relative \(n\), de sorte que \(B\) est son dual et que \(\mathrm{Pic}^{0}_{B/S}\) redevient \(A\). Ici \(\mathrm{Td}_A = 1\), donc \(a_{n-1} = \delta^{n-1}/(n-1)!\). La correspondance \(e^{D}\) est la transformation de Fourier \[ \Phi : \mathrm{CH}(A)_{\mathbb{Q}} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{CH}(B)_{\mathbb{Q}}, \] qui échange produit d'intersection et produit de Pontryagin et, en cohomologie, envoie le degré \(2i\) sur le degré \(2(n - i)\). On obtient \[ \varphi(\delta) = \frac{1}{(n-1)!}\,\Phi\bigl(\delta^{n-1}\bigr) = \pm \frac{1}{(n-1)!}\,\Phi(\delta)^{*(n-1)}, \] où \(\Phi(\delta)\) est une classe de courbe. Ainsi \(\varphi\) est une application polynomiale de degré \(n - 1\) de \(\mathrm{NS}_{A/S}\) dans \(\mathrm{NS}_{B/S}\).14

Le fait central est la relation encadrée de la page 9 : \[ \boxed{\;\widetilde{\varphi(\delta)} \circ \tilde{\delta} = -\chi(\delta)\,\mathrm{id}_A, \qquad \tilde{\delta} \circ \widetilde{\varphi(\delta)} = -\chi(\delta)\,\mathrm{id}_B .\;} \] La page la démontre au paragraphe « Remarque » de la page 11 : la section \(L(\delta)\) est canonique, donc invariante par les automorphismes de \((X/S, \delta)\), en particulier par les translations de \(X = A\). Une translation \(t_a\) agit sur le torseur de \(L(\delta)\) par \(\chi(\delta)\,a + \widetilde{\varphi(\delta)}\,\tilde{\delta}(a)\) — le premier terme vient de \(\mathrm{Alb}^{\chi(\delta)}\), le second du facteur \(P^{\delta}\), le facteur \(\mathrm{Pic}_{B/S}\) étant fixe —, et cette translation doit être nulle pour tout \(a\).15

Conséquences (page 10). Si \(\chi(\delta) \neq 0\), \(\varphi(\delta)\) est non dégénérée ; si \(\delta\) est une polarisation, \(\delta' := -\varphi(\delta)\) en est une sur \(B\). Pour \(\delta\) ample, \(\deg \tilde{\delta} = \chi(\delta)^{2}\), \(\deg \tilde{\delta}' = \chi(\delta')^{2}\) et \(\deg \tilde{\delta}'\tilde{\delta} = \chi(\delta)^{2n}\) donnent \[ \chi(\delta') = \chi(\delta)^{n-1}, \] et l'égalité vaut pour tout \(\delta\), les deux membres étant des polynômes en \(\delta\).16 L'inversion \(\delta \mapsto \delta'\) est une involution au scalaire près : \[ \delta'' = -\varphi(\delta') = \chi(\delta)^{n-2}\,\delta, \qquad\text{donc}\qquad \varphi(\varphi(\delta)) = (-1)^{n}\,\chi(\delta)^{n-2}\,\delta . \] 17 Pour \(n = 1\), une courbe elliptique, on trouve que \(\varphi(\delta)\) est la même pour tout \(\delta\) : c'est, d'après les pages 7 et 8, l'opposée \(-\theta\) de la polarisation canonique.18

N.B. (page 10). La page s'attend à ce que, sur le site modulaire des schémas abéliens polarisés de degré \(\chi(\delta)\) donné, \(\delta'\) ne soit pas divisible, et même engendre les sections de \(\mathrm{NS}_{B/S}\) : \(\delta'\) serait l'« inversion » la meilleure possible d'une polarisation.19

L'isomorphisme canonique \((*)\) (page 11)

Pour \(X = A\), le torseur \(\mathrm{Alb}^{1}_{A/S}\) est trivialisé par la section unité, et la section \(L(\delta)\) devient un isomorphisme canonique de \(A\)-torseurs \[ (*) \qquad \boxed{\;\mathrm{Pic}^{\delta'}_{B/S} \simeq \tilde{\delta}'_{*}\,\mathrm{Pic}^{\delta}_{A/S}\;} \] — le \(B\)-torseur \(\mathrm{Pic}^{\delta}_{A/S}\) poussé en un \(A\)-torseur par \(\tilde{\delta}' : B \to A\). Il a une description directe : c'est \(L \mapsto (\det \widehat{L})^{-1}\), où \(\widehat{L} = R\mathrm{pr}_{2*} (\mathcal{P} \otimes \mathrm{pr}_1^{*}L)\) est la transformée de Fourier–Mukai de \(L\) ; l'équivariance le long de \(\tilde{\delta}'\) résulte de \(\widehat{L \otimes \mathcal{P}_{\beta}} = t_{\beta}^{*}\widehat{L}\) et du théorème du carré.20

Exemple (page 11). Si \(\delta\) est principale, \(\tilde{\delta}'\) est l'inverse de \(\tilde{\delta}\) et \(\delta'\) est la polarisation transportée. La page lit alors \((*)\) comme un isomorphisme \(\mathrm{Pic}^{\delta}_{A/S} \simeq \mathrm{Pic}^{-\delta}_{A/S}\) et commence de le comparer à l'isomorphisme défini par la symétrie \(-1\) ; le passage est biffé.21

Puissances de torseurs canoniquement triviales (pages 12 et 13)

Remarque (page 12). Remplaçons \(\delta\) par \(\lambda\delta\), \(\lambda \in \mathbb{Z}\). Comme \(\varphi\) est homogène de degré \(n - 1\), \((\lambda\delta)' = \lambda^{n-1}\delta'\), et \((*)\) pour \(\lambda\delta\) s'écrit \[ \bigl(\mathrm{Pic}^{\delta'}_{B/S}\bigr)^{(\lambda^{n-1})} \simeq \bigl(\tilde{\delta}'_{*}\mathrm{Pic}^{\delta}_{A/S}\bigr)^{(\lambda^{n})} \simeq \bigl(\mathrm{Pic}^{\delta'}_{B/S}\bigr)^{(\lambda^{n})}, \] d'où une trivialisation de \((\mathrm{Pic}^{\delta'}_{B/S})^{(\lambda^{n} - \lambda^{n-1})}\) ; pour \(\lambda = -1\) et \(n \geq 2\), une trivialisation de \((\mathrm{Pic}^{\delta'}_{B/S})^{(2)}\), et \(2\) est le p.g.c.d. des \(\lambda^{n} - \lambda^{n-1}\).22 En échangeant les rôles de \(A\) et \(B\) grâce à \(\delta'' = \chi(\delta)^{n-2}\delta\), on obtient, pour \(n \geq 2\), une trivialisation de \((\mathrm{Pic}^{\delta}_{A/S})^{(2\chi(\delta)^{n-2})}\).

La page 13 refait le compte plus finement. En composant \((*)\) pour \(\delta\) et pour \(\delta'\), et comme \(\tilde{\delta}''\tilde{\delta}' = \chi(\delta') = \chi(\delta)^{n-1}\), \[ \bigl(\mathrm{Pic}^{\delta}_{A/S}\bigr)^{(\chi(\delta)^{n-2})} \simeq \mathrm{Pic}^{\delta''}_{A/S} \simeq \bigl(\mathrm{Pic}^{\delta}_{A/S}\bigr)^{(\chi(\delta)^{n-1})}, \] d'où la trivialité de \((\mathrm{Pic}^{\delta}_{A/S})^{(\chi^{n-2}(\chi - 1))}\), et, en remplaçant \(\delta\) par \(\lambda\delta\), de la puissance \(\chi^{n-2}(\lambda^{n}\chi - \lambda^{n-1})\). Avec \(\lambda = \pm 1\) on retrouve l'exposant \(2\chi(\delta)^{n-2}\) ; et si \(\chi(\delta)\) est pair, \(\chi - 1\) est impair, ce qui donne la trivialité de \((\mathrm{Pic}^{\delta}_{A/S})^{(\chi(\delta)^{n-2})}\). Exemple (page 13), \(n = 2\) : \((\mathrm{Pic}^{\delta}_{A/S})^{(2)}\) est trivial, et \(\mathrm{Pic}^{\delta}_{A/S}\) lui-même l'est si \(\chi(\delta)\) est pair.23 Une ligne biffée en tête de la page 13 annonçait « g) Généralisation des constructions précédentes » ; c'est le paragraphe qui suit.

14–16

Généralisation : un complexe parfait (pages 14 à 16)

On revient au cadre général, et l'on se donne un complexe parfait \(\mathcal{F}\) sur \(X\) (ou seulement parfait relativement à \(S\)). On pose \(M_g^{\mathcal{F}} = \det R\mathrm{pr}_{2*}(\mathrm{pr}_1^{*}\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_g)\). Tout ce qui précède se refait mot pour mot, \(\chi\) étant remplacé par \(\chi_{\mathcal{F}}\), le rang de \(R\mathrm{pr}_{2*} (\mathrm{pr}_1^{*}\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_g)\) : on obtient \(\varphi_{\mathcal{F}} : \mathrm{NS}_{X/S} \to \mathrm{NS}_{B/S}\), additive en \(\mathcal{F}\) — elle ne dépend que de la classe de \(\mathcal{F}\) dans le groupe de Grothendieck de \(D_{\mathrm{parf}}(X)\), le déterminant étant multiplicatif sur les triangles —, un morphisme \(\ell^{\mathcal{F}}_{\delta}\) et une section canonique \[ L_{\mathcal{F}}(\delta) \in \Gamma\Bigl(S,\ \mathrm{Alb}^{\chi_{\mathcal{F}}(\delta)}_{X/S} \times^{A} \mathrm{Pic}^{\varphi_{\mathcal{F}}(\delta)}_{B/S} \times^{A} \bigl(\widetilde{\varphi_{\mathcal{F}}(\delta)}_{*}P^{\delta}\bigr)^{(-1)}\Bigr). \] 24 Le calcul se ramène encore au cas d'un corps, et \(\delta\) y disparaît, à condition de remplacer \(\mathcal{F}\) par \(L_{\delta} \otimes \mathcal{F}\). Par Riemann–Roch, \[ \chi_{\mathcal{F}}(\delta) = \int_X \mathrm{ch}(L_{\delta} \otimes \mathcal{F})\,\mathrm{Td}_X, \qquad \varphi_{\mathcal{F}}(\delta) = \Bigl[\mathrm{pr}_{2*}\bigl(e^{D}\cdot \mathrm{pr}_1^{*}(\mathrm{ch}(L_{\delta} \otimes \mathcal{F})\,\mathrm{Td}_X)\bigr)\Bigr]_{1}. \]

Ex. 1 (page 15), \(X\) une courbe. Si \(\mathcal{F}\) est de rang \(\rho\) et de déterminant de degré \(c\), on a \(\mathrm{ch}(L_{\delta} \otimes \mathcal{F}) = \rho + (\rho\delta + \det\mathcal{F})\) et \(\mathrm{Td}_X = 1 - K/2\), d'où \[ \chi_{\mathcal{F}}(\delta) = \rho\,(1 - g + d) + c, \qquad \varphi_{\mathcal{F}}(\delta) = \rho\,\varphi(\delta) = -\rho\,\theta . \] 25 En comparant \(L_{\mathcal{F}}(\delta)\) à la puissance \(\rho\)-ième de \(L(\delta)\), on obtient une section canonique de \(\mathrm{Alb}^{c}_{X/S} \simeq \mathrm{Pic}^{c}_{X/S}\), et la page conclut : « Il n'y a pas de miracle ici », car c'est simplement la classe de \(\det\mathcal{F}\).

Ex. 2 (page 16), \(X = A\) un schéma abélien. Avec \(\mathrm{ch}(L_{\delta} \otimes \mathcal{F}) = \sum_{i=0}^{n} a_i\), on a \(\chi_{\mathcal{F}}(\delta) = \deg a_n\) et \(\varphi_{\mathcal{F}}(\delta) = \tfrac{1}{2}\mathrm{pr}_{2*} (\mathrm{pr}_1^{*}(a_{n-1})\,D^{2})\), la composante de degré \(1\) de \(\Phi(a_{n-1})\).26

16–20

Seconde interprétation : le déterminant d'une transformation de Fourier (pages 16 à 20)

Le second paragraphe f) reconstruit \(\ell_{\delta}\) « en intégrant exclusivement sur \(X \times_S B\) ». Soit \(g\) une section de \(X\) et \(\lambda\) une section de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\), représentée grâce à \(g\) par un faisceau inversible \(L = L(\lambda, g)\) trivialisé le long de \(g\) ; soit \(W(g)\) le faisceau de Poincaré sur \(X \times_S B\) normalisé le long de \(g\). On pose \[ \ell_g(\lambda) = \bigl[\det R\mathrm{pr}_{2*}\bigl(\mathrm{pr}_1^{*}L \otimes W(g)\bigr)\bigr] \in \mathrm{Pic}_{B/S}(S), \] ce qui définit, par changement de base, un morphisme \[ \ell' : X \times_S \mathrm{Pic}_{X/S} \longrightarrow \mathrm{Pic}_{B/S}. \] 27

Le changement de section se calcule comme à la page 1 : \(L(\lambda, g') = L(\lambda, g) \otimes g'^{*}L(\lambda, g)^{-1}\) et \(W(g') = W(g) \otimes \mathrm{pr}_2^{*}\, g'^{*}_B W(g)^{-1}\), d'où \[ \ell_{g'}(\lambda) = \ell_g(\lambda) - \chi(\lambda)\,\bigl(\psi_X(g') - \psi_X(g)\bigr), \] où \(\psi_X : X \to \mathrm{Alb}^{1}_{X/S}\) est le morphisme canonique — la même dépendance en \(-\chi\) qu'à la page 4. On en déduit, pour chaque section \(\delta\) de \(\mathrm{NS}_{X/S}\), un morphisme \(\ell_{\delta} : X \times_S \mathrm{Pic}^{\delta}_{X/S} \to \mathrm{Pic}^{\varphi(\delta)}_{B/S}\).

La page 18 énonce alors, pour \(\beta \in B(S)\) et \(\lambda\) de classe \(\delta\), \[ (**) \qquad \ell_g(\lambda + \beta) = \ell_g(\lambda) + \widetilde{\varphi(\delta)}(\beta). \] 28 La preuve est une propriété de la transformation de Fourier–Mukai \(\mathfrak{F}_{\mathcal{L}}\) : tordre par \(L_{\beta} \in \mathrm{Pic}^{0}\) revient à translater la transformée, \(\mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L \otimes L_{\beta}) = t_{\beta}^{*}\,\mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L)\) — la page écrit le second membre comme convolution avec la masse de Dirac \(\varepsilon_{-\beta}\), ce qui est la même chose —, et le déterminant d'un translaté se calcule par le théorème du carré : \(\det t_{\beta}^{*}E = \det E \otimes \widetilde{[\det E]}(\beta)\). Avec \([\det E] = \varphi(\delta)\), c'est \((**)\).29

Par \((**)\), \(\ell_g\) est un isomorphisme de \(A\)-torseurs \(\widetilde{\varphi(\delta)}_{*}\mathrm{Pic}^{\delta}_{X/S} \to \mathrm{Pic}^{\varphi(\delta)}_{B/S}\), c'est-à-dire un point du torseur \(T_{\delta}\) de la page 3 ; la variation en \(g\) en fait un morphisme \(X \to T_{\delta}\), qui est le \(\ell_{\delta}\) du paragraphe d), « comme on vérifie facilement ». C'est cette lecture qui justifie, après coup, la description de \((*)\) par Fourier–Mukai donnée plus haut.

Remarque (pages 19 et 20). Cette interprétation ne fait intervenir que des faisceaux sur \(B\), non sur \(\mathrm{Pic}^{\delta}_{X/S}\). Elle admet une variante sans section : on se donne un homomorphisme de groupes \(i : B \to \mathrm{Pic}_{X/S}\), ce qui définit un torseur \(Q\) sous \(A\) et un morphisme canonique \(\tau : X \to Q\) ; la construction donne alors, pour un \(B\)-torseur \(P\) muni d'un morphisme compatible \(P \to \mathrm{Pic}^{\delta}_{X/S}\), un morphisme \(X \to \mathrm{Pic}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \times^{A} (\widetilde{\varphi(\delta)}_{*}P)^{(-1)}\) qui se factorise par \(Q^{(-\chi(\delta))}\), donc une section canonique de \(Q^{(\chi(\delta))} \times^{A} \mathrm{Pic}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \times^{A} (\widetilde{\varphi(\delta)}_{*}P)^{(-1)}\). Une parenthèse y voit le commencement d'une étude de la « petite topologie de Albanese ».30

22–24

La reprise : le torseur d'Albanese et sa convention de signe (pages 22 à 24)

La seconde suite reprend les hypothèses du début : \(X/S\) propre, plat, de présentation finie, \(f_{*}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\) universellement, \(B = \mathrm{Pic}^{0}_{X/S}\) schéma abélien, \(A = \mathrm{Pic}^{0}_{B/S}\). Elle construit le \(A\)-torseur \(\mathrm{Alb}^{1}_{X/S}\) et le morphisme \(\psi : X \to \mathrm{Alb}^{1}_{X/S}\) dont la première suite s'est servie. Il revient au même de se donner le morphisme \[ \Delta_{\psi} : X \times_S X \longrightarrow A, \qquad \Delta_{\psi}(x, y) = \psi(y) - \psi(x), \qquad \Delta_{\psi}(x, x) = 0, \] défini sur les sections par \(\Delta_{\psi}(x, y) = N_y N_x^{-1}\) dans \(\mathrm{Pic}^{0}_{B/S}(S)\), où \(N\) est un faisceau de Poincaré sur \(X \times_S B\).31 La page annonce la propriété universelle de \((\mathrm{Alb}^{1}_{X/S}, \psi)\) pour les morphismes de \(X\) dans les torseurs sous des schémas abéliens, et demande si elle vaut pour des schémas en groupes commutatifs quelconques.32

Le couple \((\mathrm{Alb}^{1}, \psi)\) n'est déterminé qu'au signe près : \((Q^{(-1)}, -\psi)\) est une autre solution du même problème universel, canoniquement isomorphe à la première, de sorte que l'identification du groupe des translations de \(\mathrm{Alb}^{1}\) à \(\mathrm{Pic}^{0}_{B/S}\) demande une convention de signe. La page adopte la première, celle de la formule ci-dessus ; c'est celle qu'on a suivie partout.

Pour \(X\) lisse de dimension relative \(1\), \(\mathrm{Pic}^{1}_{X/S}\) et le morphisme \(x \mapsto \mathcal{O}(x)\), défini par la diagonale de \(X \times_S X\), forment une solution du problème d'Albanese ; d'où un isomorphisme \[ c : B \xrightarrow{\ \sim\ } A = \mathrm{Pic}^{0}_{B/S}, \qquad c\bigl(\mathrm{cl}(y) - \mathrm{cl}(x)\bigr) = N_y N_x^{-1}, \] l'autodualité de la jacobienne. La page se demande si \(c\) est l'isomorphisme \(\phi_{\Theta}\) de la polarisation thêta, et répond, après deux ratures : « Non, c'est sans doute la symétrique de la \(\Theta\)-polarisation. » C'est exact : \(c = -\phi_{\Theta}\).33 C'est ce signe que la page 8 annonçait par son « attention au signe ! ».

25–27

Schémas abéliens principalement polarisés (pages 25 à 27)

Soit \(A/S\) un schéma abélien, \(\delta\) une section de \(\mathrm{NS}_{A/S}\), \(P^{\delta} = \mathrm{Pic}^{\delta}_{A/S}\), torseur sous le dual \(B = \mathrm{Pic}^{0}_{A/S}\), et \(\mathcal{L}\) le faisceau universel sur \(A \times_S P^{\delta}\) ; \(A\) agit sur \(P^{\delta}\) à travers \(\tilde{\delta}\), et c'est l'action par transport de structure des translations de \(A\). Si \(\delta\) est une polarisation, les \(H^{i}(\mathcal{L}_x)\) s'annulent pour \(i > 0\), et \(\mathrm{pr}_{2*}\mathcal{L}\) est localement libre de rang \(\chi(\delta)\). Si \(\chi(\delta) = 1\), c'est un module inversible, et la section tautologique définit un diviseur canonique \(D_{\delta}\) sur \(A \times_S P^{\delta}\), relatif sur \(P^{\delta}\). Alors \(\tilde{\delta}\) est un isomorphisme, \(P^{\delta}\) devient un \(A\)-torseur, \(D_{\delta}\) est stable par l'action diagonale de \(A\) et descend au quotient \((A \times_S P^{\delta})/A \simeq P^{\delta}\) en un diviseur \(\Theta\), avec \(\chi(\Theta) = 1\).34

Proposition (pages 25 et 26). Soit \(A/S\) un schéma abélien de dimension relative \(g\), et \(\delta\) une polarisation de degré \(1\).

35

Un passage encadré et barré reprend ensuite le cadre général, avec une correspondance divisorielle symétrique \(C\) sur \(X \times_S X\) définissant une polarisation \(\gamma\) de \(A\) ; il est abandonné.

(c bis). Soit \((P, \Theta)\) comme en b), et \(P^{(-1)}\) le torseur inverse ; l'identité des schémas sous-jacents est un isomorphisme \(\sigma_P : P \to P^{(-1)}\) compatible avec la symétrie de \(A\). Posons \(\Theta^{-} = \sigma_P(\Theta)\). Comme \([-1]^{*}\) agit trivialement sur \(\mathrm{NS}\), \(\Theta^{-}\) définit sur \(A\) la même polarisation que \(\Theta\), donc, d'après a), il existe un unique isomorphisme de \(A\)-torseurs \[ K : P^{(-1)} \xrightarrow{\ \sim\ } P, \qquad K(\Theta^{-}) = \Theta, \] qu'on peut voir comme une section \(K \in \Gamma(S, P^{(2)})\).36 Dans le cas de d), \(P = \mathrm{Pic}^{g-1}_{X/S}\) et \(P^{(2)} = \mathrm{Pic}^{2g-2}_{X/S}\), et \(K\) est la classe du fibré canonique \(\Omega^{1}_{X/S}\) : l'involution \(L \mapsto \Omega^{1} \otimes L^{-1}\) de \(\mathrm{Pic}^{g-1}\) préserve \(W_{g-1}\), par Riemann–Roch et la dualité de Serre, et elle est équivariante de \(P^{(-1)}\) vers \(P\).37

C'est la section de \(\mathrm{Pic}^{2g-2}\) que la page 8 attendait (« la section canonique \(K\), à prouver ! »), obtenue cette fois sans le déterminant de la cohomologie, par la seule symétrie du diviseur thêta. Une note de la marge demande enfin de vérifier que c'est « la section canonique » de \((\mathrm{Pic}^{\delta}_{A/S})^{(2)}\) pour toute section \(\delta\) de \(\mathrm{NS}_{A/S}\) — c'est-à-dire de la comparer aux trivialisations de carrés des pages 12 et 13, dont c'est le cas \(\chi(\delta) = 1\). Le dossier s'arrête sur cette demande.38

Notes

  1. Les pages ne fixent jamais cette convention, et c'est d'elle que dépend la moitié des signes qu'elles signalent comme douteux. On prend celle de Mumford parce que c'est celle sous laquelle la formule \((**)\) de la page 18 est juste telle que la page l'écrit. ↩
  2. La page écrit \({\det}^{*}\), et ajoute après « module inversible » un mot lu « gradué » sans certitude, suivi d'un mot illisible. Le dossier se sert du déterminant d'un complexe parfait sans le construire ; la construction publiée en est celle de Knudsen et Mumford (1976). La datation du dossier, « années 1960-1970 », ne permet pas de dire laquelle des deux est antérieure, et rien ici ne le décide. ↩
  3. La notation \((*)\) de la page est renommée \((*_{b})\) pour ne pas la confondre avec l'isomorphisme \((*)\) de la page 11. Une note encadrée de la marge, rattachée par une flèche au paragraphe suivant, dit l'essentiel : \(N_g N_{g'}^{-1}\) est algébriquement équivalent à zéro sur \(P\) relativement à \(S\), donc \(M_g\) et \(M_{g'}\) sont algébriquement équivalents. ↩
  4. La marge porte « détailler » en face de l'argument de descente. ↩
  5. La page écrit le second facteur sans l'inverse : \(\mathrm{Pic}^{\lambda}_{B/S} \overset{A}{\times} (P^{\delta} \overset{B}{\times} A)\). Avec la convention de Mumford pour \(\tilde{\lambda}\), c'est l'inverse qui convient ; avec la convention opposée, la forme de la page. L'inverse est retenu partout dans ce qui suit, parce que c'est lui qui donne à la page 11 l'isomorphisme \((*)\) exactement tel que la page l'encadre, et parce qu'il s'accorde avec \((**)\) de la page 18. On ne le signale plus à chaque occurrence. ↩
  6. La page 3 écrit ici « \(L_g \mid P^{\delta}\) » ; c'est \(M_g|_{P^{\delta}}\) qui a la classe \(\varphi(\delta)\), \(\mathcal{L}_g\) vivant sur \(X \times_S P\). ↩
  7. La transcription relève que l'exposant de \(\mathrm{Alb}\) est \(-\chi(\delta)\) dans la flèche et \(\chi(\delta)\) dans le cadre. Les deux sont justes ensemble : un morphisme de torseurs de source \(\mathrm{Alb}^{-\chi}\) est une section de \(T \times^{A} \mathrm{Alb}^{\chi}\). Le signe de \(u_{\delta}\), sur lequel la marge écrit « vérifier si le signe est correct ! », est bien \(-\chi(\delta)\) avec la convention de signe de la page 22 ; la page 11 le retrouve par un autre chemin. ↩
  8. Cette justification est celle d'une phrase biffée de la page 6 ; la phrase gardée dit seulement « mod équivalence algébrique … dans \(\mathrm{NS}(B/S) \otimes \mathbb{Q}\) ». ↩
  9. La page note « \(\Delta = \mathrm{cl}\,\Delta\) », là où l'on attend la classe de \(L\) ; on écrit \(\delta\). Elle écrit aussi le résultat sous la forme \([\exp D](T_{X/k} \exp \Delta)\), avec un « \(\exp D\) » ajouté au crayon : c'est l'opération par correspondance de la classe \(e^{D}\). ↩
  10. La page écrit \(+\sum e_i \wedge f_i\), et conclut : « c'est la classe de polarisation canonique de la jacobienne ». Le signe dépend de l'identification de \(H^{1}(X)\) au dual de \(H^{1}(B)\), que la page ne fixe pas. Il est intrinsèque une fois \(\varphi(\delta)\) défini comme classe d'un fibré sur \(B\), et c'est \(-\theta\) : pour \(d\) grand, \(R\mathrm{pr}_{2*}\) est le fibré de Picard, dont la classe de Chern totale est \(e^{-\theta}\) (Mattuck, 1961) ; et sur une courbe elliptique, avec \(d = 1\), on trouve directement \(\mathrm{pr}_{2*}\mathcal{L}_g \simeq \mathcal{O}(-g)\), de degré \(-1\). Ce signe est d'ailleurs celui qu'exige la page 10 elle-même, où c'est \(-\varphi(\delta)\) qui est une polarisation. ↩
  11. La marge porte ici « vérifier que le signe est correct ». Une ligne biffée de la page 7 écrit \(\mathrm{Td}_X = 1 - K/2\), ce qui est juste. ↩
  12. Ce décompte est le point le moins sûr du dossier. Les exposants sont \(\varepsilon_1(g - 1 - d) + \varepsilon_2(g-1) + \varepsilon_3 d\), avec trois signes qui dépendent de conventions que la page signale elle-même comme douteuses. Que les termes en \(d\) se compensent est nécessaire — la section existe pour tout \(d\), et sur la courbe universelle \(\mathrm{Pic}^{m}\) n'a de section que si \(2g - 2\) divise \(m\) (voir la note suivante) — et ils se compensent bien. Mais avec les conventions fixées ici (\(\varphi(\delta) = -\theta\), le torseur inverse de la page 3, et \(\mathrm{Pic}^{\theta}_{B/S} \simeq P^{g-1}\) par \(\xi \mapsto t_{\xi}^{*}W_{g-1}\)), notre décompte donne \(\varepsilon_2 = -1\) et un exposant total nul, non \(2g - 2\). Nous ne l'avons pas vérifié autrement ; le résultat de la page n'est donc pas confirmé, et le nôtre pas davantage. La section de \(\mathrm{Pic}^{2g-2}\) égale à \(K\) que la page attend ici est, elle, bien obtenue page 27, par un autre chemin. ↩
  13. C'est la conjecture de Franchetta (1954), sous sa forme forte. Elle est démontrée : en caractéristique nulle par Arbarello et Cornalba (1987) et d'autres, en toute caractéristique par Schröer (2003). La page ne cite personne ; une insertion d'une ligne au-dessus de « courbes » est illisible. ↩
  14. La page écrit la seconde forme, avec le signe \(+\). Avec la normalisation de Beauville, \(\Phi(xy) = (-1)^{n}\Phi(x) * \Phi(y)\), d'où le signe \((-1)^{n}\) entre les deux expressions ; la première, qui n'en a pas, est celle qui résulte directement de la page 7. La transformation de Fourier des cycles porte aujourd'hui les noms de Mukai (1981, pour les catégories dérivées) et de Beauville (1983, pour les groupes de Chow) ; sa version cohomologique est plus ancienne. La page dit « on sait », sans référence. ↩
  15. La marge : « Attention aux signes ?? », et page 9, « Faire calcul direct, en faisant attention aux signes ! ». Le signe est juste. En langage d'aujourd'hui, c'est la proposition de Mukai (1981) : pour \(L\) ample, \(\varphi_L^{*}\widehat{L} \simeq H^{0}(L) \otimes L^{-1}\), dont le déterminant donne \(\varphi_L^{*}\varphi(\delta) = -\chi(\delta)\,\delta\), d'où la première égalité pour \(\delta\) ample, puis pour tout \(\delta\) par densité du cône ample, les deux membres étant polynomiaux en \(\delta\). ↩
  16. L'argument des degrés ne donne \(\chi(\delta')\) qu'au signe près ; c'est la positivité dans le cas ample, puis la densité du cône ample, qui le fixe. La réciproque que la page énonce ensuite — \(\varphi(\delta)\) non dégénérée entraîne \(\chi(\delta) \neq 0\) — suppose \(n \geq 2\) : pour une courbe elliptique, \(\varphi(\delta)\) est toujours non dégénérée, même en degré nul. La marge oblique, en partie illisible, porte « \(\delta' = -\varphi(\delta)\) ; je pense ». ↩
  17. La page écrit « si \(\delta' = \varphi(\delta)\) », puis conclut \(\varphi(\varphi(\delta)) = \delta\,\chi(\delta)^{n-2}\) sans signe, ce qui n'est juste que pour \(n\) pair ; la note de la transcription dit que les signes y sont ceux de la page. La relation sur \(\delta''\), qui est celle dont la page 12 se sert, est juste telle quelle. ↩
  18. La page écrit « on trouve \(\delta\,\chi(\delta)\) », là où la formule donne \(\delta\,\chi(\delta)^{-1}\), puis « mieux, pour tout \(\delta\), \(\varphi(\delta)\) est la polarisation canonique » ; le signe est celui de la note de la page 8. Pour \(n \geq 2\), conclut-elle, la formule « inspire confiance ». ↩
  19. Telle quelle, l'attente est fausse dès qu'un facteur élémentaire autre que le dernier dépasse \(1\). Pour une polarisation de type \((d_1, \ldots, d_n)\), \(\tilde{\delta}'\tilde{\delta} = \chi(\delta) = d_1 \cdots d_n\), tandis que la polarisation duale \(\delta^{\vee}\) (Birkenhake–Lange, § 14.4) vérifie \(\tilde{\delta}^{\vee}\tilde{\delta} = d_n\) ; donc \(\delta' = d_1 \cdots d_{n-1}\,\delta^{\vee}\), divisible par exemple par \(2\) pour le type \((2,2)\). C'est \(\delta^{\vee}\), non \(\delta'\), qui est « ce qu'on peut faire de mieux », et les deux coïncident exactement pour les types \((1, \ldots, 1, d)\). Le reste de la note est en partie illisible. ↩
  20. Dans le cadre, l'exposant \(\delta\) de \(\mathrm{Pic}_{A/S}\) est écrit par-dessus un premier exposant, peut-être \(-\delta\), et la longue note oblique de la marge, en grande partie illisible, remarque que \(\mathrm{Pic}^{-\delta}_{A/S}\) et \(\mathrm{Pic}^{\delta}_{A/S}\) s'identifient canoniquement et demande « à vérifier ». Avec la convention de la page 3 fixée ici, c'est l'exposant \(\delta\) qui est juste. La description par Fourier–Mukai est nôtre ; c'est elle que la page 19 retrouve en substance. ↩
  21. Un bloc de quatre lignes encadré et biffé de grandes boucles, dont on ne lit que des bribes. Avec les conventions fixées ici, transporté par \(\tilde{\delta}\), \((*)\) est l'identité de \(\mathrm{Pic}^{\delta}_{A/S}\), puisque \(\varphi_L^{*}\widehat{L} \simeq H^{0}(L) \otimes L^{-1}\) avec \(H^{0}(L)\) de rang \(1\). ↩
  22. Les exposants en \(\lambda\) sont tracés très vite et lus sans certitude ; la page écrit \(\mathrm{Pic}^{-\lambda\delta}\) au second membre, ce qui suit la forme biffée de \((*)\). Ces trivialisations sont canoniques à condition que les isomorphismes \((*)\) pour \(\delta\) et pour \(\lambda\delta\) soient compatibles aux puissances : c'est ce que la marge demande de vérifier, et le dossier ne le fait pas. Pour \(n = 1\) le p.g.c.d. est \(1\). ↩
  23. La page indice ici \(\mathrm{Pic}^{\delta}\) par \(B/S\), là où les lignes précédentes ont \(A/S\) ; c'est \(A/S\). Une ligne cernée et en partie barrée parle d'un « p.p.c.m. » (lecture douteuse) : c'est du p.g.c.d. des exposants qu'il s'agit, comme le dit la ligne biffée qui précède. Deux remarques pour situer ces énoncés. D'abord, la trivialité de \((\mathrm{Pic}^{\delta}_{A/S})^{(2)}\) est élémentaire pour tout \(\delta\) : \(L \mapsto L \otimes [-1]^{*}L\) est une section de \(\mathrm{Pic}^{2\delta}_{A/S}\) qui ne dépend pas de \(L\). Ce que le dossier apporterait, c'est l'énoncé de parité, et l'identification de ses trivialisations aux trivialisations canoniques que les marges demandent de vérifier. Ensuite, l'énoncé pour \(n = 2\) et \(\chi(\delta)\) pair dépend de ces compatibilités, que le dossier n'établit pas ; cette lecture n'a pas pu le confirmer. ↩
  24. La page écrit le troisième facteur avec \(\mathrm{Pic}^{\delta}_{X/S}\), qui est \(P^{\delta}\), et un des produits sans l'indice \(A\) ; l'exposant de \(\mathrm{Alb}\) change de signe d'une ligne à l'autre, comme page 4 et pour la même raison. ↩
  25. La page fait le calcul avec \(\rho = 1\), et trouve \(\chi_{\mathcal{F}}(\delta) = 1 - g + d + c\) et \(\varphi_{\mathcal{F}}(\delta) = \varphi(\delta)\) ; elle écrit aussi \(\mathrm{Todd}(X) = 1 + \tfrac{1}{2}K\), tout en notant sous ce terme « degré \(1 - g\) », qui est le degré de \(-K/2\). Le signe de \(\varphi(\delta)\) est celui de la page 8. Les lettres \(\rho\) et \(\gamma\) (pour \(\det \mathcal{F}\)) sont lues sans certitude. ↩
  26. La page fait commencer la somme à \(i = 1\). ↩
  27. La page écrit \(\mathrm{pr}_{2*}\) sans \(R\), et dit \(\ell'\) « homomorphisme (additif en \(\mathrm{Pic}_{X/S}\)) ». Il n'est pas additif : \(\ell_g\) envoie \(\mathrm{Pic}^{\delta}_{X/S}\) dans \(\mathrm{Pic}^{\varphi(\delta)}_{B/S}\) et \(\varphi\) n'est pas additive. Ce qui est vrai, c'est la formule \((**)\) ci-dessous, qui fait de \(\ell_g\) une application affine sur chaque \(\mathrm{Pic}^{\delta}_{X/S}\). Dans le cadre, l'indice de \(\mathrm{Pic}\) se lit \(X/S\) ou \(X/B\). ↩
  28. Le signe entre les deux termes est noyé sous une tache d'encre ; la transcription lit \(+\). Un paragraphe encadré et biffé de quatre diagonales annonçait un autre argument, où il s'agissait de prouver que l'homomorphisme associé était \(-\widetilde{\varphi(\delta)}\). ↩
  29. La lettre gothique \(\mathfrak{F}_{\mathcal{L}}\) est lue sans certitude ; la page renvoie à des « notations développées ailleurs ». La page 19 conclut avec \(\widetilde{\varphi(\delta)}(-\beta)\), ce qui contredit \((**)\) à moins de changer de convention pour \(\tilde{\lambda}\) ; avec celle de Mumford, fixée ici, c'est \(+\beta\), comme \((**)\). La marge : « vérif., avec … signes … ». ↩
  30. Le début de la remarque est très incertain : on lit « si \(\mathrm{Pic}^{0}_{X/S}\) admet pas une section », et l'objet donné, au bas de la page 19, est coupé par un mot illisible. L'étiquette \(\tau\) de la flèche est lue sans certitude, comme toute la parenthèse sur la « petite topologie de Albanese ». Dans les trois dernières formules, \(P\) est écrit par-dessus un \(\mathrm{Pic}^{\delta}_{X/S}\) couvert de hachures. Un paragraphe b) de la remarque, au bas de la page 20, est biffé de boucles croisées et presque illisible ; la page 21 est blanche. ↩
  31. La page note \(\delta\) cette application et l'appelle « homomorphisme » ; c'est un morphisme de schémas. Le faisceau \(N\) existe dès que \(X/S\) a une section, et le cas général s'obtient par descente. ↩
  32. La page dit « on prouve », sans preuve. Sur un corps algébriquement clos la réponse à la question est oui : le sous-groupe engendré par l'image d'une variété complète et connexe est complet, donc une variété abélienne. Au-dessus d'une base quelconque, le dossier laisse la question ouverte, et nous aussi. ↩
  33. C'est un résultat classique, que l'on trouve par exemple chez Milne (« Jacobian varieties », 1986) ; il dépend de la normalisation du faisceau de Poincaré, et c'est celle des pages. La page ramène la question au cas d'un corps algébriquement clos, écrit \(u(t) = \) classe de \(t.\Theta - \Theta\), et commence le calcul pour \(t = \mathrm{cl}((y) - (x))\) ; la page 24 ne porte que ces deux lignes, suivies d'une formule biffée, et le reste du feuillet est blanc. La réponse n'est donc pas démontrée dans le dossier. ↩
  34. « donc d'un » et « a la vertu » sont lus sans certitude ; la page note \(\tilde{\delta}\) puis \(\bar{\delta}\) le même homomorphisme. ↩
  35. La première partie de la proposition ne porte pas de lettre sur la page ; on la note a). Les énoncés sont ceux de la page ; la page ne donne pas de preuve. Ils sont justes : en b), un diviseur effectif sur une variété abélienne définit un fibré ample dès que \(\chi \neq 0\), et \(\deg\Theta^{g}/g! = \chi\) par Riemann–Roch ; l'unicité de a) vient de ce que le noyau de \(\phi_{\Theta}\) est nul. En c), la page écrit « Alors \(\Theta\) », là où il s'agit de \(\Theta'\). En d), \(W_{g-1}\) est l'image de \(X^{(g-1)}\), diviseur thêta de \(\mathrm{Pic}^{g-1}\) par le théorème de Riemann ; « comme \(A\)-torseur » et « ce qui le caractérise » sont lus sans certitude, et une note encadrée de la marge dit « question de signe ! ». ↩
  36. La page écrit \(\Theta^{-*}\), exposant lu douteusement, et la flèche \(K : P \leftarrow P^{-1}\) avec \(K(\Theta) = \Theta^{-*}\) ; on oriente \(K\) et la condition dans le même sens. La lettre de « (c bis) » peut aussi se lire e. ↩
  37. La justification est nôtre ; la page affirme le résultat. Ses points fixes sont les thêta-caractéristiques, dont le dossier ne parle pas. ↩
  38. L'exposant de \(\mathrm{Pic}\) dans la note de marge est illisible ; la lecture « \((\mathrm{Pic}^{\delta}_{A/S})^{(2)}\) » est nôtre, d'après les pages 12 et 13. ↩