pour tout f\colon X' \to X projectif et plat, posant Y' = f^{-1}(Y), (X', Y') satisfait (LG) [resp. LG strict].
Fin de l'énoncé du Th. 2 de la page 40, lui aussi annulé : les trois premières lignes de la page sont barrées de deux longs traits obliques et fermées par un trait horizontal.
Th. Soient X préschéma loc. noeth. [quasi-projectif], Y partie fermée, f\colon X' \to X un morphisme projectif, Y' = f^{-1}(Y). Soit F' un faisceau coh. sur X', à support propre sur X, plat sur Y, considérons les homom.
(*) \qquad H^i(X', F') \longrightarrow H^i(X'_{/Y'}, F'_{/Y'})
Sous ces conditions,
« quasi-projectif », doublement souligné, est ajouté en haut à droite et relié par un crochet ; l'hypothèse « à support propre sur X » est une insertion encadrée. On lit f^{-1}(Y), peut-être suivi d'un prime. On attendrait « plat sur X » : la lettre se lit Y.
(i) Si (X, Y) satisfait (\mathrm{LG})_n, alors (*) est un isom. pour i \leq n, un monom. pour i = n+1.
(ii) Si (X, Y) satisfait (LG), alors pour tout voisinage ouvert U de Y, posant U' = f^{-1}(U), l'homom. le foncteur
(iii) Si (X, Y) satisfait (LG) strict, alors pour tout Module coh. \mathcal{F}' sur X'_{/Y'}, plat rel. X_{/Y}, il
existe un voisinage ouvert U de Y,
Corollaire 2 Sous les conditions (X, Y), [(i) Si (X, Y) satisfait (LG),] le foncteur X' \mapsto X' \times_X X_{/Y} de la catégorie des préschémas plats et fidèles
« (i) Si (X, Y) satisfait (LG) » est écrit en interligne et relié par un crochet. Note marginale gauche en oblique, en partie soulignée, presque illisible.
(ii) Si (X, Y) satisfait (LG strict), pour tout \mathfrak{X}' [projectif et de type fini] (de type fini et plat sur U, et un \mathfrak{X}-isom.
U'_{/Y'} \simeq \mathfrak{X}' \quad (\text{où } Y' = f^{-1}(Y)).
Corollaire 1 [(X quasi-projectif)] (i) Si (X, Y) satisfait (\mathrm{LG})_n alors [resp. LG, resp. LG strict], alors pour tout X' projectif et plat sur X, posant X Y' = f^{-1}(Y), (X', Y') satisfait (\mathrm{LG})_n [resp. (LG), resp. (LG) strict].
(ii) Si (X, Y)
« (X quasi-projectif) » est encadré au-dessus de l'énoncé ; les crochets « [resp. LG, resp. LG strict] » et « [resp. (LG), resp. (LG) strict] » sont ajoutés à l'encre brune. Le Corollaire 1 est écrit après le Corollaire 2 sur la page.
Remarques On voit facilement par des exemples dans le Th. et les deux corollaires, que les conditions de platitude et de propreté sont essentielles. Cependant, il semble est possible que l'hypothèse de quasi-projectivité sur X [et X'] et celle de peut être omise, et celle de propreté dans les corollaires, dans le th., et les en plus dans [partie des] Cor. 2 (ii) [Existence d'un schéma algébrique donnant un schéma formel].
« et X' » est ajouté en interligne. Une ligne et demie est biffée ; sous elle un petit cadre relié par une boucle porte « partie des » (lecture incertaine), qui s'insère avant « Cor. 2 (ii) ». Le reste de la page est blanc.
Th. A anneau local noeth. [quotient d'un régulier]. t \in \mathfrak{r}A, A finies, \mathcal{C}(X') la catégorie des faisceaux coh. sur X', \mathcal{C}_\Phi(X') la sous-catégorie des faisceaux exact]
F \mapsto \hat{F} : \mathcal{C}(X') \longrightarrow \mathcal{C}(\hat{X}') .
Encre noire sur le côté blanc d'un feuillet dactylographié dont le texte transparaît. La deuxième ligne est surchargée ; « t-adique » est d'une lecture incertaine. Une longue insertion écrite en diagonale à gauche, reliée par des flèches à « \Phi » et à « \mathcal{C}_\Phi(X') », est illisible.
Alors le foncteur est exact, a noyau \mathcal{C}_\Phi(X'), [donc définit un foncteur [conservatif exact, fidèle]
\rho : \mathcal{C}(X') / \mathcal{C}_\Phi(X') \longrightarrow \mathcal{C}(\hat{X}') .]
De plus, \rho est pleinement fidèle / équivalence de [\mathcal{C}(X')/\mathcal{C}_\Phi(X')]' avec la catégorie des Modules coh. sur \hat{X}' [Dominés] qui sont restriction de Modules coh. sur \hat{X}, et ]
[ ] [ 2 3]
La marge gauche porte, sur toute la hauteur du milieu de la page, cinq ou six lignes obliques serrées, la plupart barrées d'un trait, reliées au texte par des flèches ; on n'y distingue que quelques chiffres. La fin de l'alinéa est surchargée, avec un ajout encerclé sous la ligne, illisible.
Il faut surtout prouver que le foncteur \rho est pleinement fidèle, on montre ceci : si F, G sont coh. sur X', x \in \Phi points de X' - Y',
Pour le voir, on est ramené un dévissage facile, [utilisant l'existence d'une suite exacte
0 \to P' \to F' \to \bar{F}' \to Q' \to 0
où \operatorname{Supp} P' \subset Y', \operatorname{Supp} Q' \subset Y', \dim \operatorname{supp} P' \leq 0, \dim \operatorname{supp} Q' \leq 1, et \operatorname{prof} \bar{F}'_x \geq en tout pt fermé de X' X' - Y' ; dévissage qui est une question purement locale sur
\operatorname{prof} F_x \geq 2. D'ailleurs, pour tout x \in X'. Soit d'ailleurs K' le noyau de la multiplication par t^n
\begin{array}{ccccccc}
0 \to \Gamma K' & \longrightarrow & \Gamma F' & \longrightarrow & \Gamma G' & \longrightarrow & H^1 K' \\
\downarrow \wr & & \downarrow & & \downarrow \wr\,? & & \wr \\
0 \to \Gamma \hat{K}' & \longrightarrow & \Gamma \hat{F}' & \longrightarrow & \Gamma \hat{G}' & \longrightarrow & H^1 \hat{K}'
\end{array}
À gauche de la seconde ligne du diagramme, les signes « A \hat{A}_{p} » (lecture incertaine) ; le « ? » après la troisième flèche verticale est de lui.
Le en .
Un trait horizontal clôt le texte ; le bas de la page est vide.
établissons
Avec cor. 3 au th. de comparaison affine supposons que \mathcal{F}' satisfasse a) b) c') [c') \mathcal{F}' s'étende en un \mathcal{F} coh. sur \hat{X}], et disons que \mathcal{F}' provient d'un F' satisfaisant à la condition \operatorname{prof} F'_x \geq 2 si x \in T_1. En effet, il provient d'ailleurs d'un F' coh. Soit
Les conditions a), b), c') et l'ensemble T_1 ne sont pas définis sur ces feuillets.
Z' l'ens. des pts de X' tels que \operatorname{prof}_{x'}(F') \leq 1, [c'est une partie constructible ] X' - Y' , x' \in \operatorname{Ass} F', ; x' \notin T_1 \overline{x}' \cap Y' \neq \emptyset, définition F' des U x' \operatorname{prof}_{x'}(F') \geq 2 fermés de Y',
\overline{x}' fermé dans X'
Je suppose X localisé autour de T, et X - T = X'
. x' \in U, c'est donc U Y, donc U est un voisinage de Y' dans X'. x' \in X' - U Les pts de X' - U sont donc fermés dans X' [et non T_1] — donc sont partie finie. Soit x' \in X' - U, et x'_1 \in \operatorname{Ass} F' tel x'_1 \in U tel que x'_1 \in \operatorname{Ass} F', \overline{x'_1} \ni x', je dis que x'_1 x' : en effet, \overline{x'_1} serait de dim 1,
donc en les pts fermés z' de \overline{x'_1} \cap U, on aurait \operatorname{prof} F'_{z'} \leq 1, ce qui est absurde. Donc si i\colon U \to X' est l'inclusion, F'_1 = i_*(F' \mid U) est cohérent, et évidemment de \operatorname{prof} \geq 2 en X' - U, d'autre part il est de \operatorname{prof} \geq 2 aux pts fermés de X' U, donc F'_1 est de \operatorname{prof} \geq 2 en tt pt fermé de X' ; on a gagné.
Encre noire sur le côté blanc d'un feuillet dactylographié ; le reste de la page est vide.
Applications aux morphismes projectifs et aux morphismes propres
Titre écrit par Grothendieck en haut à droite de la couverture brune (page 53), souligné ; un mot biffé et hachuré précède « projectifs ».
Y \subset \mathbf{P}^r_k = X (section hyperplane), U voisinage de Y, Z = X - U,
F cohérent sur X,
a) Condition pour que H^i(U, F(-m)) = 0 pour m grand ?
a') Condition pour que \coprod_m H^i(U, F(m)) de type fini sur S
b) Condition pour que H^i(U, F(m)) = 0 pour m grand (i > 0 donné)
c) Condition pour que
H^i(U, F) \longrightarrow H^i(\hat{X}, \hat{F})
soit un isomorphisme, injectif ?
« c) » est écrit sur un autre signe ; dans H^i(\hat{X}, \hat{F}), le \hat{X} est récrit sur un X.
(1°) Considérons la suite exacte (où E^j = \underline{\mathrm{Ext}}^j_{\mathcal{O}_X}(F, \omega_X))
« 1° » est encerclé ; de même « 2° » et « 3° » aux pages 58 et 59.
\begin{array}{l}
H^i_Z(X, F(-m)) \xrightarrow{\alpha_i} H^i(X, F(-m)) \to H^i(U, F(-m)) \\
\qquad \to H^{i+1}_Z(X, F(-m)) \xrightarrow{\alpha_{i+1}} H^{i+1}(X, F(-m))
\end{array}
et, en dessous, les duaux :
\prod_{z \in Z} E^{r-i}_z(m)^{\wedge} \longleftarrow \Gamma E^{r-i}(m)
\qquad\qquad
\prod_{z \in Z} E^{r-i-1}(m)_z^{\wedge} \longleftarrow \Gamma E^{r-i-1}(m)
Les deux flèches de la seconde ligne sont écrites sous \alpha_i et \alpha_{i+1} respectivement (dualité de Serre) ; « et, en dessous, les duaux » est de l'éditeur, non de lui. Les arguments F(-m) sont récrits sur F.
Conditions équivalentes
\left.
\begin{array}{l}
\alpha_i \text{ injectif pour } m \text{ grand} \\
\Updownarrow \\
z \in Z \Rightarrow z \text{ isolé dans } (\operatorname{Supp} E^{r-i} \cup \lbrace z \rbrace) \\
\Updownarrow \\
H^{i-1}(X, F(-m)) \to H^{i-1}(U, F(-m)) \text{ surjectif pour } m \text{ grand}
\end{array}
\right.
« injectif » est écrit sur un premier mot (« surjectif » ?) ; à la suite, un crochet biffé « [ pour tout ] ». En formule, les mots sont donnés sans l'appareil ; la lecture « injectif » reste incertaine.
(*) \quad
\left.
\begin{array}{l}
\alpha_i \text{ injectif pour } m \text{ grand},\ i \leq n \\
\Updownarrow \\
\exists \text{ voisinage ouvert } V \text{ de } Z, \text{ tel que } F \text{ soit de profondeur } \ldots \text{ sur } U \cap V \\
\Updownarrow \\
H^i(X, F(-m)) \to H^i(U, F(-m)) \text{ surjectif pour } m \text{ grand},\ i < n
\end{array}
\right.
La borne de la profondeur, sur la deuxième ligne, n'est pas écrite ou ne se lit pas (on la rend par des points) ; après « i \leq n », une flèche \Rightarrow est biffée. L'astérisque est en marge gauche de l'accolade.
La moitié supérieure de la page est un feuillet dactylographié : la fin d'un énoncé où F_0 est le Module induit sur X_0, sous les hypothèses a) t_s est \mathcal{O}_{X_s}-régulière et F_s-régulière, b) F et \mathcal{O}_X plats sur S, c) F_{0\,s} et \mathcal{O}_{X_{0\,s}} de profondeur \geq 2 aux points fermés de X_s, avec pour conclusion l'existence d'un Module cohérent sur X dont le complété formel le long de X_0 est isomorphe au Module formel donné ; puis « Cet énoncé va résulter du suivant : Corollaire 3.2. Sous les conditions de 3.1. ( », qui s'interrompt. Une retouche à la machine corrige « et \mathcal{O}_X ». Ce qui suit est de sa main, à l'encre.
\coprod_{\substack{p \geq 0 \\ q \geq 0}} F_0(q - p)
\qquad\qquad
\mathcal{M} + \mathcal{M}(1) + \cdots + \mathcal{M}(-p)
\coprod_{q} S_q
Sous l'indice du second coproduit, un « 0, » précède le q. Suivent deux croquis : à gauche, dans un quadrant d'axes, un triangle hachuré coupé par une diagonale et une courbe sinueuse, avec les légendes « \sigma F(n) » et « \mathcal{F}(n) » ; à droite, un quadrant hachuré de droites parallèles, légendé en haut « q » et à droite « p » et « filtre ».
H^i(X, F) \longrightarrow H^i(\hat{X}, \hat{F})
\left.
\begin{array}{l}
\alpha_i \text{ bijectif pour } m \text{ grand} \\
\Updownarrow \\
\operatorname{Supp} E^{r-i} \subset Z \\
\Updownarrow \\
H^i_x(F_x) = 0 \text{ pour tt } x \text{ fermé dans } U.
\end{array}
\right.
« dans U » est souligné.
\left.
\begin{array}{l}
\alpha_i \text{ bijectif pour } m \text{ grand},\ i \leq n \\
\Updownarrow \\
\operatorname{Supp} E^{r-i} \subset Z \text{ pour } i \leq n \\
\Updownarrow \\
\operatorname{prof}(F_x) > n \text{ pour tt } x \text{ fermé dans } U \\
\Updownarrow \\
H^i(U, F(-m)) \leftarrow H^i(X, F(-m)) \text{ pour } m \text{ grand},\ i < n \text{ et} \\
H^n(U, F(-m)) \to H^{n+1}_Z(X, F(-m)) \text{ injectif}
\end{array}
\right.
L'avant-dernière ligne est surchargée : le premier membre est récrit (U sur X) ; le second, « H^i(X, F(-m)) injectif pour i \leq n », est barré d'un trait, et « pour m grand, i < n et » est récrit au-dessus ; la flèche est un double trait. À la dernière ligne, « surjectif pour i \leq n » est biffé et remplacé par « injectif ».
(\mathrm{B}_n) \quad
\left.
\begin{array}{l}
\alpha_i \text{ bijectif pour } m \text{ grand},\ i \leq n, \\
\quad \text{et } \alpha_i \text{ injectif pour } m \text{ grand},\ i = n+1 \\
\Updownarrow \\
\operatorname{Supp} E^{r-i} \subset Z \text{ pour } i \leq n,\ \operatorname{Supp} E^{r-n-1} \ldots Z \\
\Downarrow \\
\operatorname{prof}(F_x) > n \text{ si } x \text{ fermé dans } U, \text{ et} \\
\operatorname{prof}(F_x) > n+1 \text{ si de plus } x \in V \cap U,\ V \text{ voisinage ouvert convenable de } Z \\
\Updownarrow \\
H^i(U, F(-m)) = 0 \text{ pour } m \text{ grand},\ i \leq n \\
\Updownarrow \\
\coprod_{m \geq 0} H^i(U, F(m)) \text{ de type fini sur } S \text{ pour } i \leq n
\end{array}
\right.
H^i(U, F) de dim finie pour i \leq n (cf 1°)
Le label « \mathrm{B}_n » est encerclé en marge gauche. La fin de la quatrième ligne, « \operatorname{Supp} E^{r-n-1} Z pour », ne se lit pas (on la rend par des points) ; un « prof » est biffé en tête de ligne. Après « de type fini sur S », un signe surchargé (« (-h) » ?) ; lecture incertaine. La note marginale, encerclée, est reliée à l'accolade par une double flèche marquée « cf 1° ».
Cela résout la question (a). Si, sous les conditions de (*), on a donc [si t est F-régulier]
\left\lbrace
\begin{array}{l}
H^i(U, F) \simeq H^i(\hat{X}, \hat{F}) \quad \text{est} \quad
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\text{isom si } i < n \\
\text{mono si } i = n
\end{array}
\right. \\[1ex]
H^i(\hat{X}, \hat{F}) \simeq \varprojlim H^i(X_m, F_m) \text{ pour } i \leq n
\end{array}
\right.
ce qui donne des conditions suffisantes pour la validité de c). Cependant, elles ne sont pas nécessaires [ on exigerait la validité de c pour i < n, et tous les tordus de F], comme on le voit en faisant n = 1 : alors il suffit que on ait \operatorname{prof} F_x \geq 2 pour x fermé dans U, pour pouvoir conclure que
H^0(U, F) \longrightarrow H^0(\hat{X}, \hat{F})
est bijectif.
(2°) La suite exacte ci-dessus montre que l'homom.
H^i(U, F) \longrightarrow H^{i+1}_Z(X, F)
est un isom. modulo vectoriels finis. Donc H^i(U, F)
(\mathrm{A}'_i) \quad
\left.
\begin{array}{l}
H^i(U, F) \text{ de dim finie sur } k \\
\Updownarrow \\
H^{i+1}_z(F_z) \text{ de dim finie [i.e.\ de long.\ finie] pour tt } z \in Z \\
\Updownarrow \\
z \in Z \Rightarrow z \text{ pt isolé de } \operatorname{Supp} E^{r-i-1} \cup \lbrace z \rbrace \\
\Updownarrow \\
\alpha_{i+1} \text{ injectif pour } m \text{ grand} \\
\Updownarrow \\
H^i(X, F(-m)) \to H^i(U, F(-m)) \text{ surjectif pour } m \text{ grand}
\end{array}
\right.
Le label « \mathrm{A}'_i » est encerclé en marge gauche. À la troisième ligne, « \in » est récrit sur « \notin » ; à la dernière, le U est récrit sur un X.
R^p f_* [R^q j_* (F(m))]
En haut à droite ; l'argument de R^q j_* est surchargé et d'une lecture incertaine.
H^i(U, F(-m)) \to H^i_Y …
H^i(U, F(m))
Le haut de la page, au-dessus d'un trait horizontal, est annulé par un grand trait oblique ; de légers traits obliques au crayon traversent aussi le paragraphe suivant.
(3°)
\left.
\begin{array}{l}
\coprod_{m \geq 0} H^i(U, F(m)) \text{ de type fini sur } S \text{ pour } i \leq n \\
\Updownarrow \\
R^i g_*(F) \text{ coh.\ pour } i \leq n, \text{ i.e.\ } \underline{H}^i_Z(F) \text{ coh.\ pour } i \leq n+1, \\
\quad \text{i.e.\ } H^i_z(F_z) \text{ de dim finie pour } i \leq n+1,\ z \in Z
\end{array}
\right.
(\mathrm{A}^f_n) \quad
\left.
\begin{array}{l}
H^i(U, F) \text{ de dim finie si } i \leq n \\
\Updownarrow \\
F \text{ de prof} > n+1 \text{ sur } U \text{ au voisinage de } Z \\
\Updownarrow \\
z \in Z \Rightarrow z \text{ pt isolé de } \operatorname{Supp} E^{r-i-1} \cup \lbrace z \rbrace \text{ si } i \leq n \\
\Updownarrow \\
\alpha_i \text{ injectif pour } \underline{m \text{ grand}} \text{ si } i \leq n+1 \\
\Updownarrow \\
H^i(X, F(-m)) \to H^i(U, F(-m)) \text{ surjectif pour } m \text{ grand},\ i \leq n \\
\Updownarrow \\
R^i g_*(F) \text{ coh.\ pour } i \leq n \iff \underline{H}^i_z(F) \text{ de dim finie pour } z \in Z,\ i \leq n+1 \\
\Updownarrow \\
\coprod_{m \geq 0} H^i(U, F(m)) \text{ de type fini sur } S \text{ pour } i \leq n
\end{array}
\right.
Le label « \mathrm{A}^f_n » est encerclé en marge gauche ; l'exposant, lu f, est incertain. Une double flèche de la page n'a qu'une pointe (vers le haut) ; on l'a rendue \Updownarrow comme les autres.
Page dactylographiée, tournée tête-bêche : un second exemplaire du feuillet de la page 56 (même fin d'énoncé, « Corollaire 3.2. Sous les conditions de 3.1. ( »). Ce qui suit est de sa main, au crayon.
\sum_{p \geq 0} R^i f_{0*} F_0(q - p) \qquad\qquad q - p \geq n
S_{pq} = \left\lbrace
\begin{array}{ll}
0 & \text{si } p > 0 \\
S_q & \text{si } p = 0
\end{array}
\right.
L'indice de S est surchargé (lu pq, lecture incertaine). Suivent deux croquis au crayon : un quadrant d'axes p (horizontal) et q (vertical), avec une bande étroite le long de l'axe des p et la légende « F_0(-p) » ; à droite, un second quadrant traversé d'une diagonale.