Fonds Grothendieck, cote n° 58, pages 1–20

Applicat. à \pi.

Titre écrit par Grothendieck, souligné, en haut à droite de la couverture (page 1) ; le dernier signe, lu comme un \pi, est d'une lecture incertaine (peut-être \pi_1).

~~Les composantes de X de dim \geq 3~~

Lemme 2. A anneau local noethérien, f \in \mathfrak{r}A, X = \operatorname{Spec} A, X' = X - \lbrace \mathfrak{m} \rbrace, Y' = X' \cap V(f). Supposons ~~les~~ composantes de X', ~~de X' de dim \geq 2~~ ~~de dim \geq 1~~ d'un de X' de dim \geq 2. Alors Y' de dim \geq 1, et Y' est connexe. complet le mot « complet », encerclé en haut à droite, est relié par un trait à « noethérien » : c'est un ajout à l'énoncé. \mathfrak{r}A : le radical de A ; la lettre est lue d'après le contexte. Le milieu de l'énoncé est un palimpseste de quatre lignes biffées et récrites dans l'interligne ; seule la forme finale des hypothèses (composantes de X' de dimension \geq 2) se lit avec quelque assurance.

En effet, Z' de Y', ~~l'intersection de dim~~ les composantes Z' \cap Y' de dim \geq \dim Z' - 1 ; (si Z' = X') Z' est de dim \geq 1. De plus, pour toute partie de dim \geq 0. Donc si Z' de dim \geq 1, Z' \cap Y' . fermée-ouverte si Z' \cap Y' \neq \emptyset si \dim Z' > 0 « fermée-ouverte » : mot encerclé en marge, relié à la ligne, lecture incertaine ; la seconde note marginale est reliée à « de dim \geq \dim Z' - 1 ».

Cor. 1. Lemme 2, , X' irréductible, et X intègre de dim \geq 2. [D'ailleurs , A complet, l'hypothèse complet. N.B. , ] Alors \tilde{A} clôture normale

de A fini A, et intègre local. Appliquer Lem. 2 , A local ( normal) de dim \geq 3, X' de dim \geq 2. Alors H^0(\hat{X}', \mathcal{O}_{\hat{X}'}) \simeq H^0(X', \mathcal{O}_{X'}) \quad (\ill{}) \ \ill{} conclusion. Les indices et l'accent de la formule sont lus d'après le tracé ; le signe entre les deux membres est une flèche double doublée d'un tilde, rendue par \simeq.

Lemme 3. A anneau local noethérien , ~~f \in \mathfrak{r}A,~~ X, X', ~~Y' = V(f) \cap X'~~. k \geq 1 tel que

(i)les composantes de X' de dim \geq k+1 ; (ii)X' est connexe en dim \geq k.

Alors ~~\exists\, f \in \mathfrak{r}A \Rightarrow~~ Y' = X' \cap V(f) ~~connexe en dim \geq k,~~ dim \geq k-1. k \geq 1 tel \exists\, \Phi fini en X' f \in \mathfrak{r}A, V(f) \cap \Phi = \emptyset La marge relie par un trait sa condition « il existe \Phi fini en X' … » au « Alors » ; l'énoncé semble donc : pour tout f \in \mathfrak{r}A tel que V(f)\cap\Phi = \emptyset, Y' est connexe en dimension \geq k-1.

De façon , \Phi de X' V(f) \cap \Phi = \emptyset \Longrightarrow conclusion valable. Il suffit 1 : Lemme 1 V(f) \cap X' connexe en dim \geq k-1.

Cela nous ramène au cas où X irréductible. Corollaire 2 Lemme 1, X de plus normal, et . Soit \Phi , \Phi de X' telle que V(f) \cap \Phi = \emptyset V(f) \cap X' = Y' (S_2), [ (S_2), Z'_i X' ; \Phi Z'_i]. Mais alors, (Hartshorne) Y' 1, \geq k-1. Page presque entièrement en écriture rapide ; seules les formules, la condition (S_2) et le renvoi à Hartshorne (lecture incertaine) se lisent. Le raisonnement semble réduire au cas X normal irréductible, choisir un ensemble fini \Phi de points de X' évité par V(f), et conclure à la connexité de Y' en dimension \geq k-1.

Théorème. A anneau local noethérien (X, X', k \geq 1). Supposons les composantes irréductibles de \hat{X} = \operatorname{Spec}(\hat{A}) de dim \geq k+2 [il suffit pour ceci que celles de X = \operatorname{Spec} A de dim \geq k+2, i.e. celles de X' de dim \geq k+1, et A \to ]. ~~Soient f_i~~ X' est connexe en dim \geq k. Conditions \hat{A}, A [ ici] Le mot « Théorème » est encadré. La note « Conditions … ici », oblique en marge gauche, est reliée par un crochet aux hypothèses du théorème ; presque illisible.

Considérons 0 \leq l \leq k, et f_1, \ldots, f_l \in \mathfrak{r}A, ~~\bigcap V(f_i)~~ Y' = X' \cap \bigcap_i V(f_i). Alors les conditions a_{k-l}, b_{k-l}, Y' en dim \geq k-l c_{k-l} . Remarque . Les conditions a_{k-l}, b_{k-l}, c_{k-l} ne sont pas définies sur cette page.

Dém. Si Y' Z' dim < k-l, il existe \mathfrak{r}A, existence (f_{l+1}, \ldots, f_k tels que Z' \cap V(f_{l+1}) \cap \cdots \cap V(f_k) = \emptyset,

Y' \cap V(f_{l+1}) \cap \cdots \cap V(f_k) = X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_k) discontinu, .

Corollaire 1. Sous les conditions (X, X', k), ~~Soient~~ f_1, \ldots, f_k \in \mathfrak{r}A, Y' = V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_k) \cap X' . On peut A , , . Dém. . Tout ce passage est rapide ; « Corollaire 1 » est souligné, l'énoncé n'est lisible que dans ses formules.

Pour k = 1, c'est le Lemme 2. Supposons k \geq 2, et le th. prouvé dimension pour les k' < k. Le : k, et l = 1. Procédons : , Y' = V(f_1) \cap X' Z' Z' de dim < k-1, donc \exists\, f_2, \ldots, f_k \in \mathfrak{r}A tels que V(f_1) \cap Z' \cap \cdots \cap V(f_k) = \emptyset, et

les systèmes X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_k) discontinus. Or Lemme 3, \exists\, \Phi \subset X' fini f \in \mathfrak{r}A, V(f) \cap \Phi = \emptyset \Longrightarrow composantes dim \leq k-1. ~~\Phi~~ Choisissons les f_i tels que V(f_2) \cap \Phi = \emptyset, f_2 , [ \Phi les Z']. Alors X' \cap V(f_2) (a_{k-1}, b_{k-1}). En vertu , (X' \cap V(f_2)) \cap V(f_1) \cap V(f_3) \cap \cdots \cap V(f_k) . « Or » est souligné trois fois.

Corollaire I. (k \geq 1) , \mathfrak{r}A, f_1, \ldots, f_k d'idéal \pi_0(X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_k)) . ~~k-1~~, Alors si les composantes de X' de dim \geq k+1, et X' connexe en dim \geq k. Exclure X irréductible ~~Exclure~~ k \geq 1 [~~X irréductible~~ de dim 1, Remarque La note « Exclure … de dim 1 » est en marge gauche, en bas de page, en partie biffée ; lecture très incertaine. « Remarque » : mot en marge, souligné, relié par une flèche au titre « Corollaire I ». « I » souligné à part, et « (k \geq 1) » ajouté au-dessus par un trait.

En effet, X' \neq \emptyset. Soit X'_0 , l, (l \geq 0), l \geq k+1. Page en grande partie annulée par de longs traits obliques et des cadres barrés ; on donne ce qui se lit, les passages annulés étant marqués comme biffés.

Existence f_1, \ldots, f_l si l \leq k, X' ( l = 0] X' = X'_0, X' de dim 0, \exists\, f \in \mathfrak{r}A Y' = X' \cap V(f) = \emptyset, . X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_l) = \emptyset . l \leq k, .

\mathfrak{r}A f_1, \ldots, f_l X'_i de dim n_i, V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_l) \cap X'_i = \emptyset n_i - l, et identique (i = 1, \ldots, n).

~~X'_i \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_l). , de dim 0 et l \leq k,~~ , l = 0, Y' ; Y' (l \leq k, ) Y' , l \leq k ; X' ~~l \leq k,~~

~~Plus précisément X vide si l = k, X' = k X = k+1 \geq l, f_l, \ldots, f_k, X'' = X' \cap V(f_l) \cap \cdots \cap V(f_k) l = 1 X = 2 X de dim l+1 l = 0, i.e. de dim 1.~~ Le haut de la page est enfermé dans un cadre barré de traits obliques ; on le donne biffé, dans la mesure où il se lit.

Nous avons X de dim \geq 2, f_1, \ldots, f_l de \mathfrak{r}A tels que X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_l) discontinu. On il existe f_1, \ldots, f_{l-1} tels que Y' = X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_{l-1}) de dim 1, Y' de dim 2. Mais alors il est f_l \in \mathfrak{r}B tels que V(f_l) Y', [ de dim 0] : Y' !! Dans « de dim \geq 2 », « l+1 » est écrit au-dessus du « 2 », en correction.

Corollaire. X' de dim \geq n, Y' = X' \cap H_1 \cap \cdots \cap H_k, k \leq n-1. Alors Y' \to et \pi_1(Y') \to \pi_1(X') : . [ ] connexe Ajout encadré par un trait vertical, en haut à droite ; « connexe », écrit plus petit en bout de ligne, est d'une lecture incertaine.

En effet, le \pi_1, il X'_1 , X' X', alors Y'_1 \to . Or X'_1 irréductible, , .

Conséquences : l'ingrédient \pi_1(X') local A, [ ] : de dim 2 . ! . « Conséquences » remplace un mot biffé et souligné.

Lemme 4. Soit X un préschéma , dont les composantes irréductibles de dim \geq k, localement [ \mathfrak{r}A], tel que pour x \in X, (\operatorname{Spec} \underline{\mathcal{O}}_{X,x})' soit connexe en dim \geq k. Alors X est connexe en dim \geq k. Pour ( \mathcal{O}_{X,x} ) . Alors il EGA IV . Ajout interligne, souligné : « dont les composantes irréductibles … de dim \geq k ». « Pour … EGA IV » : longue note oblique en marge gauche, soulignée par endroits ; on n'en lit guère que le renvoi à EGA IV.

~~Supposons~~ , . Soit Z X de dim < k, Z ne disconnecte X. Le disconnectant, U = X - Z = U' \cup U'', U', U'' fermés dans U, U' \cap U'' = \emptyset. Soient X' = \overline{U'}, X'' = \overline{U''}, composantes U dans ~~X = (Z \cup X') \cup X'', donc (Z \cup X') \cap X'' \neq \emptyset~~ X, X^{z} = X' \cup X'', donc X' \cap X'' \neq \emptyset. Soit z de X' \cap X''. Alors d'ici \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{X,z} = X_z, Z_z disconnecte X_z, disconnecte X'_z, absurde… Dans X^{z} = X' \cup X'', l'exposant de X est d'une lecture incertaine.