Cote n° 58 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Théorie de " Lefschetz-Grauert ". Applications en π₁, à Pic etc… : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964]
Édition de démonstration

Applicat. à \(\pi\).

Titre écrit par Grothendieck, souligné, en haut à droite de la couverture (page 1) ; le dernier signe, lu comme un \(\pi\), est d'une lecture incertaine (peut-être \(\pi_1\)).

2Les composantes de \(X\) de dim \(\geq 3\)

Lemme 2. \(A\) anneau local noethérien, \(f \in \mathfrak{r}A\), \(X = \operatorname{Spec} A\), \(X' = X - \lbrace \mathfrak{m} \rbrace\), \(Y' = X' \cap V(f)\). Supposons […] les composantes […] de \(X'\), […] […] de \(X'\) de dim \(\geq 2\) […] […] de dim \(\geq 1\) […] d'un […] […] de \(X'\) […] de dim \(\geq 2\). Alors les composantes de \(Y'\) sont de dim \(\geq 1\), \(Y'\) est connexe. complet le mot « complet », encerclé en haut à droite, est relié par un trait à « noethérien » : c'est un ajout à l'énoncé. \(\mathfrak{r}A\) : le radical de \(A\) ; la lettre est lue d'après le contexte. Le milieu de l'énoncé est un palimpseste de quatre lignes biffées et récrites dans l'interligne ; seule la forme finale des hypothèses (composantes de \(X'\) de dimension \(\geq 2\)) se lit avec quelque assurance.

En effet, […] […] partie \(Z'\) de \(Y'\), l'intersection […] de dim […] les composantes de \(Z' \cap Y'\) sont de dim \(\geq \dim Z' - 1\) ; en particulier (si \(Z' = X'\)) les si les composantes de \(Z'\) sont de dim \(\geq 1\). De plus, pour toute partie \(Z'\) de dim \(\geq 1\), \(Z' \cap Y'\) est de dim \(\geq 0\). […] […] […] […] fermée-ouverte et \(Z' \cap Y' \neq \emptyset\) si \(\dim Z' > 0\) « fermée-ouverte » : mot encerclé en marge, relié à la ligne, lecture incertaine ; la seconde note marginale est reliée à « de dim \(\geq \dim Z' - 1\) ».

Cor. 1. […] Lemme 2, […] […] […] […], \(X'\) […] irréductible, et […] […] […] […] \(X\) intègre […] de dim \(\geq 2\). [D'ailleurs […], […] […] […] […] […] […] […] \(A\) […] complet, car l'hypothèse […] […] […] complet. N.B. […] […] […], […] […] […] […] […]] Alors \(\tilde{A}\) clôture normale […]

4de \(A\) est fini sur \(A\), et est d'ailleurs un […] […] local. Appliquant le Lem. 2 […] composantes, […] […] […] […] […] \(A\) local complet (normal ?) […] de dim \(\geq 3\), […] \(X'\) […] […] dim \(\geq 2\). Alors \[ H^0(\hat{X}', \mathcal{O}_{\hat{X}'}) \simeq H^0(X', \mathcal{O}_{X'}) \quad (\uncertain{cf.}) \] d'où la conclusion. Les indices et l'accent de la formule sont lus d'après le tracé ; le signe entre les deux membres est une flèche double doublée d'un tilde, rendue par \(\simeq\).

Lemme 3. \(A\) anneau local ⌜noethérien⌝ […] ⌜complet⌝, \(f \in \mathfrak{r}A\), […] […] […] \(X\), \(X'\), \(Y' = V(f) \cap X'\). […] \(k \geq 1\) tel que

Alors \(\exists\, f \in \mathfrak{r}A\) […] \(\Rightarrow\) \(Y' = X' \cap V(f)\) […] connexe en dim \(\geq k\), est connexe en dim \(\geq k-1\). \(k \geq 1\) tel \(\exists\, \Phi\) fini en \(X'\) tel que \(f \in \mathfrak{r}A\), \(V(f) \cap \Phi = \emptyset\) La marge relie par un trait sa condition « il existe \(\Phi\) fini en \(X'\) … » au « Alors » ; l'énoncé semble donc : pour tout \(f \in \mathfrak{r}A\) tel que \(V(f)\cap\Phi = \emptyset\), \(Y'\) est connexe en dimension \(\geq k-1\).

De façon précise, on partira d'une partie finie \(\Phi\) de \(X'\) telle que \(V(f) \cap \Phi = \emptyset \Longrightarrow\) conclusion valable. Il suffit […] le cas 1 : Lemme 1 […] \(V(f) \cap X'\) sera connexe en dim \(\geq k-1\).

6Cela nous ramène au cas où \(X\) irréductible. Appliquant le Corollaire 2 du Lemme 1, on est ramené au cas où \(X\) est de plus normal, et a fortiori \((S_2)\). On […] […] […], […] […] qu'il existe une partie finie \(\Phi\) en \(X'\) telle que \(V(f) \cap \Phi = \emptyset\) implique que \(V(f) \cap X' = Y'\) est \((S_2)\), [[…] […] […] \((S_2)\), en termes […] des \(Z'_i\) dans \(X'\) ; on prend pour \(\Phi\) l'ensemble des […] […] […] […] \(Z'_i\)]. Mais alors (Hartshorne) \(Y'\) est connexe en codim 1, donc […] […] ses composantes sont […] dim \(\geq k\), \(Y'\) est connexe en dim \(\geq k-1\). Le raisonnement : on se ramène au cas \(X\) irréductible, puis normal, donc \((S_2)\) ; on choisit un ensemble fini \(\Phi\) de points de \(X'\) (lié aux \(Z'_i\)) évité par \(V(f)\), de sorte que \(Y'\) reste \((S_2)\) ; le théorème de Hartshorne (connexité en codimension 1) donne alors la connexité de \(Y'\) en dimension \(\geq k-1\).

8Théorème. \(A\) anneau local noethérien (\(X\), \(X'\), \(k \geq 1\)). Supposons ⌜que⌝ […] […] les composantes irréductibles de \(\hat{X} = \operatorname{Spec}(\hat{A})\) soient de dim \(\geq k+2\) [il suffit pour ceci que celles de \(X = \operatorname{Spec} A\) soient de dim \(\geq k+2\), i.e. celles de \(X'\) de dim \(\geq k+1\), et cela est suffisant si p. ex. \(A\) est quotient d'un anneau régulier]. Soient \(f_i\) […] \(X'\) est connexe en dim \(\geq k\). Conditions […] […] hypothèses, \(\hat{A}\), […] […] […] […] […] \(A\) [[…] […] […] […] ici] Le mot « Théorème » est encadré. La note « Conditions … ici », oblique en marge gauche, est reliée par un crochet aux hypothèses du théorème ; presque illisible.

Considérons […] […] \(0 \leq l \leq k\), et \(f_1, \ldots, f_l \in \mathfrak{r}A\), \(\bigcap V(f_i)\) \(Y' = X' \cap \bigcap_i V(f_i)\). Alors les […] […] […] \(Y'\) satisfait les conditions \(a_{k-l}\), \(b_{k-l}\), […] : \(Y'\) est connexe en dim \(\geq k-l\). […] \(c_{k-l}\) […] […] […]. Rappelons La condition \(a_{k-l}\) semble être la connexité de \(Y'\) en dimension \(\geq k-l\) ; \(b_{k-l}\) est explicitée dans la phrase suivante (déconnexion par un fermé de dimension \(< k-l\)) ; \(c_{k-l}\) n'est pas lisible ici.

\(b_{k-l}\). Si on veut déconnecter \(Y'\) par \(Z'\) de dim \(< k-l\), ⌜[…] […] […] \(\mathfrak{r}A\),⌝ existence (\(f_{l+1}, \ldots, f_k\) tels que \[ Z' \cap V(f_{l+1}) \cap \cdots \cap V(f_k) = \emptyset, \] l'[…] […]

10pour que \(Y' \cap V(f_{l+1}) \cap \cdots \cap V(f_k) = X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_k)\) soit disconnexe, […] […] […] […].

Corollaire 1. Sous les conditions […] […] […] […] […] (\(X\), \(X'\), \(k\)), Soient […] \(f_1, \ldots, f_k \in \mathfrak{r}A\), […] \[ Y' = V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_k) \cap X' \] […] […]. On peut prendre aussi […] […] […] […] \(A\) […] […], […] […] […] […], […][…]. Dém. […] […]. Tout ce passage est rapide ; « Corollaire 1 » est souligné, l'énoncé n'est lisible que dans ses formules.

Pour \(k = 1\), c'est le Lemme 2. Supposons \(k \geq 2\), et le th. ⌜par récurrence,⌝ démontré pour les \(k' < k\). […] […] […] : prouvons le th. pour \(k\), et \(l = 1\). Procédons […] : […], s'il existe […] […] \(Y' = V(f_1) \cap X'\) déconnectant […] \(Z'\) […] \(Z'\) de dim \(< k-1\), donc pour \(\exists\, f_2, \ldots, f_k \in \mathfrak{r}A\) tels que \(V(f_1) \cap Z' \cap \cdots \cap V(f_k) = \emptyset\), et pour

12que tous les systèmes \(X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_k)\) soient disconnexes. Or […] […] […] en vertu du Lemme 3, \(\exists\, \Phi \subset X'\) fini tel que \(f \in \mathfrak{r}A\), \(V(f) \cap \Phi = \emptyset \Longrightarrow\) \(X' \cap V(f)\) est connexe en dim \(\leq k-1\)Le signe se lit \(\leq\) ; le Lemme 3 (p. 4) donne « connexe en dim \(\geq k-1\) ».. […] […] […] […] que \(\Phi\) contienne les Cela permet de choisir les \(f_i\) tels que \(f_2\) soit tel que \(V(f_2) \cap \Phi = \emptyset\), […] [il suffit que \(f_2\) […], […] […] […] […] \(\Phi\) […] les […] ⌜maximaux⌝ […] des \(Z'\)]. Alors \(X' \cap V(f_2)\) satisfait les hyp. (\(a_{k-1}\), \(b_{k-1}\)). En vertu de l'hyp. de récurrence, […] […] \((X' \cap V(f_2)) \cap V(f_1) \cap V(f_3) \cap \cdots \cap V(f_k)\) est connexe, ce qui est absurde. « Or » est souligné trois fois.

Corollaire I. Inversement ⌜\((k \geq 1)\)⌝, supposons que pour tout système \(f_1, \ldots, f_k\) d'éléments de \(\mathfrak{r}A\), on ait \(\pi_0(X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_k))\) […]. […] […] […] \(k-1\), Alors les comp. de \(X'\) sont de dim \(\geq k+1\), et \(X'\) est connexe en dim \(\geq k\). Exclure […] […] \(X\) irréductible […] Exclure […] […] \(k \geq 1\) [\(X\) irréductible […] de dim \(1\), Remarque La note « Exclure … de dim 1 » est en marge gauche, en bas de page, en partie biffée ; lecture très incertaine. « Remarque » : mot en marge, souligné, relié par une flèche au titre « Corollaire I ». « I » souligné à part, et « \((k \geq 1)\) » ajouté au-dessus par un trait.

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En effet, évidemment \(X' \neq \emptyset\). Soit \(X'_0\) une composante […] de dim minimum, soit \(l\) ⌜sa dim⌝ (\(l \geq 0\)), prouvons \(l \geq k+1\). Sinon il Page en grande partie annulée par de longs traits obliques et des cadres barrés ; on donne ce qui se lit, les passages annulés étant marqués comme biffés.

existence […] \(f_1, \ldots, f_l\) si on avait \(l \leq k\), […] \(X'\) […] […] (prendre […] \(f_i = 0\)] […] […] que \(X' = X'_0\), […] \(X'\) de dim \(0\), mais alors \(\exists\, f \in \mathfrak{r}A\) tel que \(Y' = X' \cap V(f) = \emptyset\), […]. […] \(X' \cap V(f) \cap \cdots \cap V(f) = \emptyset\) (\(k\) fois), absurde. […] \(l \leq k\), il existe

\(l\) éléments de \(\mathfrak{r}A\) tels que \(f_1, \ldots, f_l\) ⌜tels que pour toute composante irréductible \(X'_i\), de dim \(n_i\),⌝ \(V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_l) \cap X'_i\) […] […] de dim \(n_i - l\), et […] […] […] irréductibles […] […] (\(i = 1, \ldots, n\)). […] […] […] \(X'_i\)

[…] […] irréd. […] \(X'_i \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_l)\). […] […] […] […] […], il […] de dim \(0\) et […] […] […] […] \(l \leq k\), En particulier, pour \(l = 0\), \(Y'\) est fini ; […] […] […] \(Y'\) […] ⌜si \(l \leq k\),⌝ […] irréductibles de dim \(0\). […] […] implique que \(Y'\) est connexe, donc \(X'\) sont irréductibles de dim \(l \leq k\) […] \(l \leq k\), […], […] […] […] […]

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Plus précisément \(X\) vide si \(l = k\), […] […] dim \(X' = k\), i.e. dim \(X = k+1 \geq l\), et […] […] \(f_l, \ldots, f_k\), \(X'' = X' \cap V(f_l) \cap \cdots \cap V(f_k)\) […] […] […] […] dim \(X = 2\) […] \(l = 1\) […] \(X\) irréd. de dim \(l+1\) […] […] le cas \(l = 0\), i.e. \(X\) irréd. de dim \(1\). Le haut de la page est enfermé dans un cadre barré de traits obliques ; on le donne biffé, dans la mesure où il se lit. Seule la fin de la dernière ligne (« le cas \(l = 0\) … de dim 1 ») est hors du cadre.

Nous avons ainsi […] […] […] que si \(X\) est irréductible de dim \(\geq 2\), […] […] […] […] \(f_1, \ldots, f_l\) de \(\mathfrak{r}A\) tels que \(X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_l)\) disconnexe. Or il existe \(f_1, \ldots, f_{l-1}\) tels que \(Y' = X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_{l-1})\) […] […] de dim \(1\), […] […] […] […] \(Y'\) […] […] de dim \(2\). Mais alors il est faux […] […] \(f_l \in \mathfrak{r}B\) tels que \(V(f_l) \cap Y'\), [[…] […] de dim \(0\)] […] […] […] […] : […] […] […] […] \(Y'\) […] […] […] […] !! Dans « de dim \(\geq 2\) », « \(l+1\) » est écrit au-dessus du « 2 », en correction.

18Corollaire. \(X'\) irréductible […] de dim \(\geq n\), \(Y' = X' \cap H_1 \cap \cdots \cap H_k\), […] \(k \leq n-1\). Alors […] \(Y'\) est connexe et \(\pi_1(Y') \to \pi_1(X')\) est surjectif. [[…] […] […]] connexe Ajout encadré par un trait vertical, en haut à droite ; « connexe », écrit plus petit en bout de ligne, est d'une lecture incertaine.

En effet, la connexité étant acquise, pour la surjectivité des \(\pi_1\), il faut montrer que si \(X'_1\) est un revêtement étale connexe de \(X'\), alors \(Y'_1\) est connexe. Or \(X'_1\) est irréductible, […] de dim \(\geq n\), d'où le résultat.

[…] Conséquences pour la théorie : […] l'ingrédient […] fini des \(\pi_1(X')\), […] […] local \(A\), […] […] […] […] […] […] […] […] [[…] […]] : […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] de dim \(2\) […] […]. […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] ! […]. « Conséquences » remplace un mot biffé et souligné.

20Lemme 4. Soit \(X\) un préschéma ⌜dont les composantes irréductibles soient de dim \(\geq k\),⌝ localement noethérien, [tels que pour […] \(\mathfrak{r}A\)], tel que pour tout \(x \in X\), \((\operatorname{Spec} \underline{\mathcal{O}}_{X,x})'\) soit connexe en dim \(\geq k\). Alors \(X\) est connexe en dim \(\geq k\). Pour ce […] […] […] (tous \(\mathcal{O}_{X,x}\)) […]. Alors il […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] EGA IV […]. Ajout interligne, souligné : « dont les composantes irréductibles … de dim \(\geq k\) ». « Pour … EGA IV » : longue note oblique en marge gauche, soulignée par endroits ; on n'en lit guère que le renvoi à EGA IV.

Supposons […] […] […] \(Z\) […] […] […] \(X\) de dim \(< k\), tel que \(Z\) disconnecte \(X\). […] […] […] […] disconnectant, […] \(U = X - Z = U' \cup U''\), avec \(U'\), \(U''\) fermés dans \(U\), \(U' \cap U'' = \emptyset\). Soient \(X' = \overline{U'}\), \(X'' = \overline{U''}\), […] […] […] \(U\) dans \(X\), \(X = (Z \cup X') \cup X''\), donc […] \((Z \cup X') \cap X'' \neq \emptyset\) donc \(X = X' \cup X''\), donc \(X' \cap X'' \neq \emptyset\). Soit \(z\) un pt fermé de \(X' \cap X''\). Alors […] […] […] \(\mathcal{O}_{X,z} = X_z\), […] […] que \(Z_z\) disconnecte \(X_z\), donc \(Z'_z\) disconnecte \(X_z\), absurde … La démonstration, absente de la première passe, se lit sur les tuiles à 700 dpi dans ses formules ; la prose qui les relie reste en partie illisible.