Cote n° 58 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Théorie de " Lefschetz-Grauert ". Applications en π₁, à Pic etc… : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964]
Édition de démonstration

Applicat. à \(\pi\).

Titre écrit par Grothendieck, souligné, en haut à droite de la couverture (page 1) ; le dernier signe, lu comme un \(\pi\), est d'une lecture incertaine (peut-être \(\pi_1\)).

2Les composantes de \(X\) de dim \(\geq 3\)

Lemme 2. \(A\) anneau local noethérien, \(f \in \mathfrak{r}A\), \(X = \operatorname{Spec} A\), \(X' = X - \lbrace \mathfrak{m} \rbrace\), \(Y' = X' \cap V(f)\). Supposons […] les composantes […] de \(X'\), […] […] de \(X'\) de dim \(\geq 2\) […] […] de dim \(\geq 1\) […] d'un […] […] de \(X'\) […] de dim \(\geq 2\). Alors […] \(Y'\) […] de dim \(\geq 1\), et \(Y'\) est connexe. complet le mot « complet », encerclé en haut à droite, est relié par un trait à « noethérien » : c'est un ajout à l'énoncé. \(\mathfrak{r}A\) : le radical de \(A\) ; la lettre est lue d'après le contexte. Le milieu de l'énoncé est un palimpseste de quatre lignes biffées et récrites dans l'interligne ; seule la forme finale des hypothèses (composantes de \(X'\) de dimension \(\geq 2\)) se lit avec quelque assurance.

En effet, […] […] \(Z'\) de \(Y'\), l'intersection […] de dim […] les composantes […] \(Z' \cap Y'\) […] de dim \(\geq \dim Z' - 1\) ; […] […] (si \(Z' = X'\)) […] \(Z'\) est de dim \(\geq 1\). De plus, […] pour toute partie […] de dim \(\geq 0\). Donc […] si \(Z'\) de dim \(\geq 1\), \(Z' \cap Y'\) […] […] […]. fermée-ouverte si \(Z' \cap Y' \neq \emptyset\) si \(\dim Z' > 0\) « fermée-ouverte » : mot encerclé en marge, relié à la ligne, lecture incertaine ; la seconde note marginale est reliée à « de dim \(\geq \dim Z' - 1\) ».

Cor. 1. […] Lemme 2, […] […] […] […], \(X'\) […] irréductible, et […] […] […] […] \(X\) intègre […] de dim \(\geq 2\). [D'ailleurs […], […] […] […] […] […] […] […] \(A\) […] complet, […] l'hypothèse […] […] […] complet. N.B. […] […] […], […] […] […] […] […]] Alors \(\tilde{A}\) clôture normale […]

4de \(A\) […] fini […] \(A\), et […] intègre […] […] […] local. Appliquer […] Lem. 2 […], […] […] […] […] […] \(A\) local […] ([…] normal) […] de dim \(\geq 3\), […] \(X'\) […] […] de dim \(\geq 2\). Alors \[ H^0(\hat{X}', \mathcal{O}_{\hat{X}'}) \simeq H^0(X', \mathcal{O}_{X'}) \quad (\ill{}) \ \ill{} \] conclusion. Les indices et l'accent de la formule sont lus d'après le tracé ; le signe entre les deux membres est une flèche double doublée d'un tilde, rendue par \(\simeq\).

Lemme 3. \(A\) anneau local noethérien […] […], \(f \in \mathfrak{r}A\), […] […] […] \(X\), \(X'\), \(Y' = V(f) \cap X'\). […] \(k \geq 1\) tel que

Alors \(\exists\, f \in \mathfrak{r}A\) […] \(\Rightarrow\) \(Y' = X' \cap V(f)\) […] connexe en dim \(\geq k\), […] […] dim \(\geq k-1\). \(k \geq 1\) tel \(\exists\, \Phi\) fini en \(X'\) […] […] \(f \in \mathfrak{r}A\), \(V(f) \cap \Phi = \emptyset\) La marge relie par un trait sa condition « il existe \(\Phi\) fini en \(X'\) … » au « Alors » ; l'énoncé semble donc : pour tout \(f \in \mathfrak{r}A\) tel que \(V(f)\cap\Phi = \emptyset\), \(Y'\) est connexe en dimension \(\geq k-1\).

De façon […], […] […] […] […] […] \(\Phi\) de \(X'\) […] […] […] \(V(f) \cap \Phi = \emptyset \Longrightarrow\) conclusion valable. Il suffit […] […] […] 1 : Lemme 1 […] \(V(f) \cap X'\) […] connexe en dim \(\geq k-1\).

6Cela nous ramène au cas où \(X\) irréductible. […] […] Corollaire 2 […] […] Lemme 1, […] […] […] […] […] […] […] \(X\) […] de plus normal, et […]. Soit \(\Phi\) […] […] […], […] […] […] […] […] […] \(\Phi\) […] […] de \(X'\) telle que \(V(f) \cap \Phi = \emptyset\) […] \(V(f) \cap X' = Y'\) […] […] […] […] \((S_2)\), [[…] […] […] \((S_2)\), […] […] […] […] […] \(Z'_i\) […] \(X'\) ; […] […] […] […] \(\Phi\) […] […] […] […] […] […] \(Z'_i\)]. Mais alors, (Hartshorne) \(Y'\) […] […] […] […] […] […] 1, […] […] […] […] […] […] […] […] \(\geq k-1\). Page presque entièrement en écriture rapide ; seules les formules, la condition \((S_2)\) et le renvoi à Hartshorne (lecture incertaine) se lisent. Le raisonnement semble réduire au cas \(X\) normal irréductible, choisir un ensemble fini \(\Phi\) de points de \(X'\) évité par \(V(f)\), et conclure à la connexité de \(Y'\) en dimension \(\geq k-1\).

8Théorème. \(A\) anneau local noethérien (\(X\), \(X'\), \(k \geq 1\)). Supposons […] […] les composantes irréductibles de \(\hat{X} = \operatorname{Spec}(\hat{A})\) […] de dim \(\geq k+2\) [il suffit pour ceci que celles de \(X = \operatorname{Spec} A\) […] de dim \(\geq k+2\), i.e. celles de \(X'\) de dim \(\geq k+1\), et […] […] \(A \to\) […] […]]. Soient \(f_i\) […] \(X'\) est connexe en dim \(\geq k\). Conditions […] […] […] \(\hat{A}\), […] […] […] […] […] \(A\) [[…] […] […] […] ici] Le mot « Théorème » est encadré. La note « Conditions … ici », oblique en marge gauche, est reliée par un crochet aux hypothèses du théorème ; presque illisible.

Considérons […] […] \(0 \leq l \leq k\), et \(f_1, \ldots, f_l \in \mathfrak{r}A\), \(\bigcap V(f_i)\) \(Y' = X' \cap \bigcap_i V(f_i)\). Alors les conditions […] \(a_{k-l}\), \(b_{k-l}\), […] […] […] \(Y'\) […] […] […] en dim \(\geq k-l\) […] \(c_{k-l}\) […] […] […]. Remarque […] […] […] […] […]. Les conditions \(a_{k-l}\), \(b_{k-l}\), \(c_{k-l}\) ne sont pas définies sur cette page.

Dém. Si […] […] […] […] \(Y'\) […] \(Z'\) […] dim \(< k-l\), il existe […] […] […] \(\mathfrak{r}A\), […] […] existence (\(f_{l+1}, \ldots, f_k\) tels que \[ Z' \cap V(f_{l+1}) \cap \cdots \cap V(f_k) = \emptyset, \] […] […] […]

10[…] \(Y' \cap V(f_{l+1}) \cap \cdots \cap V(f_k) = X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_k)\) […] discontinu[…], […] […] […].

Corollaire 1. Sous les conditions […] […] […] […] […] (\(X\), \(X'\), \(k\)), Soient […] \(f_1, \ldots, f_k \in \mathfrak{r}A\), […] \[ Y' = V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_k) \cap X' \] […] […]. On peut […] […] […] […] […] […] \(A\) […] […], […] […] […] […], […][…]. Dém. […] […]. Tout ce passage est rapide ; « Corollaire 1 » est souligné, l'énoncé n'est lisible que dans ses formules.

Pour \(k = 1\), c'est le Lemme 2. Supposons \(k \geq 2\), et le th. prouvé […] dimension pour les \(k' < k\). Le […] […] : […] […] […] […] […] \(k\), et \(l = 1\). Procédons […][…] : […], […] […] […] […] \(Y' = V(f_1) \cap X'\) […] […] […] […] \(Z'\) […] \(Z'\) de dim \(< k-1\), donc […] \(\exists\, f_2, \ldots, f_k \in \mathfrak{r}A\) tels que \(V(f_1) \cap Z' \cap \cdots \cap V(f_k) = \emptyset\), et […]

12[…] les systèmes \(X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_k)\) […] discontinus. Or […] […] […] […] Lemme 3, \(\exists\, \Phi \subset X'\) fini […] […] […] \(f \in \mathfrak{r}A\), \(V(f) \cap \Phi = \emptyset \Longrightarrow\) […] composantes […] dim \(\leq k-1\). […] […] \(\Phi\) […] […] Choisissons les \(f_i\) tels que \(V(f_2) \cap \Phi = \emptyset\), […] \(f_2\) […], […] […] [[…] […] […] […] […] […] \(\Phi\) […] […] […] […] les […] […] […] […] \(Z'\)]. Alors \(X' \cap V(f_2)\) […] […] […] (\(a_{k-1}\), \(b_{k-1}\)). En vertu […] […] […] […] […] […], […] \((X' \cap V(f_2)) \cap V(f_1) \cap V(f_3) \cap \cdots \cap V(f_k)\) […] […] […] […] […]. « Or » est souligné trois fois.

Corollaire I. \((k \geq 1)\) […] […] […], […] […] […] […] \(\mathfrak{r}A\), […] […] […] […] \(f_1, \ldots, f_k\) d'idéal […] […] […] […] \(\pi_0(X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_k))\) […]. […] […] […] \(k-1\), Alors si les composantes de \(X'\) […] de dim \(\geq k+1\), et \(X'\) […] connexe en dim \(\geq k\). Exclure […] […] \(X\) irréductible […] Exclure […] […] \(k \geq 1\) [\(X\) irréductible […] de dim \(1\), Remarque La note « Exclure … de dim 1 » est en marge gauche, en bas de page, en partie biffée ; lecture très incertaine. « Remarque » : mot en marge, souligné, relié par une flèche au titre « Corollaire I ». « I » souligné à part, et « \((k \geq 1)\) » ajouté au-dessus par un trait.

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En effet, […] […] \(X' \neq \emptyset\). Soit \(X'_0\) […] […] […] […] […] […] […], […] \(l\), […] […] (\(l \geq 0\)), […] \(l \geq k+1\). […] […] Page en grande partie annulée par de longs traits obliques et des cadres barrés ; on donne ce qui se lit, les passages annulés étant marqués comme biffés.

Existence […] \(f_1, \ldots, f_l\) si […] […] […] \(l \leq k\), […] \(X'\) […] […] […] […] ([…] […] \(l = 0\)] […] […] […] […] […] \(X' = X'_0\), […] \(X'\) de dim \(0\), […] […] […] \(\exists\, f \in \mathfrak{r}A\) […] \(Y' = X' \cap V(f) = \emptyset\), […]. […] […] \(X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_l) = \emptyset\) […] […]. […] […] \(l \leq k\), […] […].

[…] […] […] \(\mathfrak{r}A\) […] \(f_1, \ldots, f_l\) […] […] […] […] \(X'_i\) de dim \(n_i\), […] \(V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_l) \cap X'_i = \emptyset\) […] […] \(n_i - l\), et […] […] […] identique […] […] (\(i = 1, \ldots, n\)).

[…] […] […] \(X'_i \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_l)\). […] […] […] […] […], […] […] […] de dim \(0\) et […] […] \(l \leq k\), […] […] […], […] \(l = 0\), \(Y'\) […] […] ; […] […] […] \(Y'\) […] […] (\(l \leq k\), […]) […] […] […] […] \(Y'\) […] […], […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] \(l \leq k\) ; \(X'\) […] […] \(l \leq k\), […]

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Plus précisément […] \(X\) vide si \(l = k\), […] […] \(X' = k\) […] […] […] \(X = k+1 \geq l\), […] […] […] \(f_l, \ldots, f_k\), \(X'' = X' \cap V(f_l) \cap \cdots \cap V(f_k)\) […] […] \(l = 1\) […] \(X = 2\) […] \(X\) […] de dim \(l+1\) […] […] \(l = 0\), i.e. […] […] de dim \(1\). Le haut de la page est enfermé dans un cadre barré de traits obliques ; on le donne biffé, dans la mesure où il se lit.

Nous avons […] […] […] \(X\) […] […] […] […] de dim \(\geq 2\), […] […] […] […] \(f_1, \ldots, f_l\) de \(\mathfrak{r}A\) tels que \(X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_l)\) discontinu. On […] il existe \(f_1, \ldots, f_{l-1}\) tels que \(Y' = X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_{l-1})\) […] […] de dim \(1\), […] […] […] […] \(Y'\) […] […] de dim \(2\). Mais alors […] il est […] […] […] \(f_l \in \mathfrak{r}B\) tels que \(V(f_l)\) […] \(Y'\), [[…] […] […] de dim \(0\)] […] […] […] […] […] : […] […] […] […] \(Y'\) […] […] […] […] […] […] […] !! Dans « de dim \(\geq 2\) », « \(l+1\) » est écrit au-dessus du « 2 », en correction.

18Corollaire. \(X'\) […] […] de dim \(\geq n\), \(Y' = X' \cap H_1 \cap \cdots \cap H_k\), […] \(k \leq n-1\). Alors […] \(Y' \to\) […] […] […] et \(\pi_1(Y') \to \pi_1(X')\) […] […] : […] […]. [[…] […] […]] connexe Ajout encadré par un trait vertical, en haut à droite ; « connexe », écrit plus petit en bout de ligne, est d'une lecture incertaine.

En effet, le […] […] […] […] \(\pi_1\), il […] […] […] […] […] […] \(X'_1\) […] […] […] […], […] […] […] \(X'\) […] […] […] \(X'\), alors \(Y'_1 \to\) […]. Or \(X'_1\) […] irréductible, […] […] […] […] […], […] […] […].

[…] Conséquences […] […] : […] l'ingrédient […] […] […] \(\pi_1(X')\) […] […] […] local \(A\), […] […] […] […] […] […] […] […] [[…] […]] : […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] de dim \(2\) […] […]. […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] ! […]. « Conséquences » remplace un mot biffé et souligné.

20Lemme 4. Soit \(X\) un préschéma […], dont les composantes irréductibles […] de dim \(\geq k\), […] […] localement […] [[…] […] […] […] \(\mathfrak{r}A\)[…]], […] tel que pour \(x \in X\), \((\operatorname{Spec} \underline{\mathcal{O}}_{X,x})'\) soit connexe en dim \(\geq k\). Alors \(X\) est connexe en dim \(\geq k\). Pour […] […] […] ([…] \(\mathcal{O}_{X,x}\) […]) […] […]. Alors il […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] EGA IV […]. Ajout interligne, souligné : « dont les composantes irréductibles … de dim \(\geq k\) ». « Pour … EGA IV » : longue note oblique en marge gauche, soulignée par endroits ; on n'en lit guère que le renvoi à EGA IV.

Supposons […] […] […], […] […] […] […] […]. Soit […] […] \(Z\) […] […] […] \(X\) de dim \(< k\), […] […] […] […] […] \(Z\) ne disconnecte […] \(X\). […] […] Le […] […] […] disconnectant, […] […] […] \(U = X - Z = U' \cup U''\), \(U', U''\) fermés dans \(U\), \(U' \cap U'' = \emptyset\). Soient \(X' = \overline{U'}\), \(X'' = \overline{U''}\), […] […] composantes \(U\) dans \(X = (Z \cup X') \cup X''\), […] donc \((Z \cup X') \cap X'' \neq \emptyset\) \(X\), \(X^{z} = X' \cup X''\), donc \(X' \cap X'' \neq \emptyset\). Soit \(z\) […] […] […] de \(X' \cap X''\). Alors d'ici […] […] […] \(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_{X,z} = X_z\), […] […] […] […] \(Z_z\) disconnecte \(X_z\), […] […] disconnecte \(X'_z\), absurde… Dans \(X^{z} = X' \cup X''\), l'exposant de \(X\) est d'une lecture incertaine.