Cote n° 58 · pages 1–66 · Lecture modernisée · Théorie de " Lefschetz-Grauert ". Applications en π₁, à Pic etc… : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. I.La connexité (pages 1 à 26, sous la couverture « Applicat. à \(\pi\) »¹ ) : la connexité en dimension \(\geq k\) du spectre épointé d'un anneau local et de ses sections (pages 2 à 16) ; le groupe fondamental (page 18) ; le passage du local au global (page 20) ; les fibres spéciales d'un morphisme propre et les sections hyperplanes projectives (pages 22 à 26).
2. II.Les couples de Lefschetz-Grauert (pages 27 à 51, sous la couverture « Couple de Lefschetz-Grauert \((X, Y)\) ») : introduction et plan (pages 29 à 31) ; définitions et premières remarques (pages 32 à 36) ; \(\pi_0\), \(\pi_1\), revêtements étales, \(\operatorname{Pic}\) (pages 37 à 40) ; permanence par morphisme projectif et plat (pages 40 à 43) ; une forme locale (pages 45 à 51).
3. III.Morphismes projectifs et propres (pages 53 à 61, sous la couverture « Applications aux morphismes projectifs et aux morphismes propres ») : sur \(\mathbf{P}^r\), un voisinage \(U\) d'une section hyperplane et son complémentaire fini \(Z\) ; chaînes de conditions équivalentes.
4. IV.Le groupe de Picard des cônes (pages 64 à 66) : brouillons.

Les feuillets dactylographiés que le dossier intercale — au dos des pages 2 à 20, les pages 21 à 25, 46 à 52 et 62 — appartiennent à d'autres textes et ne portent rien de sa main ; les pages 28, 44 et 54 sont blanches, la page 63 ne porte que le décalque de la page 60. Seuls les feuillets tapés des pages 56 et 60 portent des calculs de lui.

Le fil. Les quatre parties ne forment pas une démonstration continue mais un programme : le plan de la page 31 l'énonce en neuf points, dont la partie I réalise le point 8 pour la connexité (« théorèmes de Lefschetz » sans complété formel), la partie II les points 5 à 7, la partie III un morceau du point 4 (« cas particulier : schémas projectifs »), et la partie IV amorce le point 9. Ce plan suit de près l'ordre des exposés VIII à XIII de SGA 2.²

Conventions. Pour un anneau local noethérien \(A\) d'idéal maximal \(\mathfrak{m}\), on note \(X = \operatorname{Spec} A\) et \(X' = X \smallsetminus \lbrace \mathfrak{m} \rbrace\) son spectre épointé.³ La lettre \(X'\) ne désigne que cela dans tout le document : le schéma projectif sur \(X\) des pages 41 à 43 est ici noté \(W\), l'éclaté du cône de la page 66 est noté \(P\), et la base du théorème 2 de la page 22 est notée \(B\) ; les pages les appellent \(X'\), \(X'\) et \(Y\).

La dimension d'une partie fermée de \(X'\) est sa dimension comme espace topologique. Pour \(\mathfrak{p} \in X'\), l'adhérence de \(\mathfrak{p}\) dans \(X'\) est de dimension \(\dim A/\mathfrak{p} - 1\) : le spectre épointé décale les dimensions d'un cran.

Un espace topologique noethérien \(T\) est connexe en dimension \(\geq k\) si, pour toute partie fermée \(Z \subset T\) de dimension \(< k\), l'espace \(T \smallsetminus Z\) est connexe et non vide. Pour \(k \leq 0\) cela veut dire seulement que \(T\) est connexe et non vide.⁴

Le corps de base est noté \(\Bbbk\), la lettre \(k\) restant l'entier de la connexité.⁵ Pour une partie fermée \(Y\) d'un schéma localement noethérien \(X\) et un Module cohérent \(F\), \(X_{/Y}\) ou \(\widehat{X}\) est le complété formel de \(X\) le long de \(Y\), et \(F_{/Y}\) ou \(\widehat{F}\) le complété de \(F\). Le faisceau structural est \(\mathcal{O}_X\).⁶

I. La connexité en dimension \(\geq k\)

2–6

Deux lemmes sur le spectre épointé (pages 2 à 6)

Soient \(A\) un anneau local noethérien et \(f \in \mathfrak{m}\). On pose \(Y' = X' \cap V(f)\). Le premier énoncé est le cas le plus simple du théorème à venir.

Lemme 2. Supposons \(A\) complet, les composantes irréductibles de \(X'\) de dimension \(\geq 2\), et \(X'\) connexe en dimension \(\geq 1\). Alors les composantes de \(Y'\) sont de dimension \(\geq 1\), et \(Y'\) est connexe.⁷

La démonstration est presque entièrement illisible ; on y voit l'argument de dimension sur lequel elle repose : pour une composante \(Z'\) de \(X'\), chaque composante non vide de \(Z' \cap V(f)\) est de dimension \(\geq \dim Z' - 1\), et \(Z' \cap V(f)\) n'est pas vide dès que \(\dim Z' > 0\) — c'est le théorème de l'idéal principal de Krull, appliqué dans \(\overline{Z'}\) qui contient \(\mathfrak{m}\).⁸

Un Corollaire 1, aux pages 2 et 4, passe à la clôture normale \(\tilde{A}\) d'un \(A\) intègre de dimension \(\geq 2\) et compare les sections de \(\mathcal{O}\) sur \(X'\) et sur un complété ; son état ne permet pas de le restituer.⁹

Le second lemme fournit, pour \(f\) assez général, ce que le théorème donnera pour tout \(f\).

Lemme 3. Soit \(k \geq 1\). Supposons \(A\) complet, les composantes de \(X'\) de dimension \(\geq k+1\) et \(X'\) connexe en dimension \(\geq k\). Il existe une partie finie \(\Phi \subset X'\) telle que, pour tout \(f \in \mathfrak{m}\) vérifiant \(V(f) \cap \Phi = \emptyset\), le fermé \(Y' = X' \cap V(f)\) soit connexe en dimension \(\geq k-1\).¹⁰

La démonstration (pages 4 et 6) se ramène, par un Lemme 1 et un Corollaire 2 qui ne sont pas dans le dossier, au cas où \(X\) est irréductible et normal ; elle choisit \(\Phi\) fini dans \(X'\), évité par \(V(f)\), et conclut par la condition \((S_2)\) de Serre et le théorème de Hartshorne — un anneau local noethérien qui vérifie \((S_2)\) a un spectre connexe en codimension \(1\).¹¹

8–12

Le théorème de connexité local (pages 8 à 12)

Théorème. Soient \(A\) un anneau local noethérien, \(\widehat{A}\) son complété, \(\widehat{X}'\) le spectre épointé de \(\widehat{A}\), et \(k \geq 1\). Supposons que

• (i)les composantes irréductibles de \(\widehat{X}'\) soient de dimension \(\geq k+1\) ;
• (ii)\(\widehat{X}'\) soit connexe en dimension \(\geq k\).

Alors, pour \(0 \leq l \leq k\) et \(f_1, \ldots, f_l \in \mathfrak{m}\), le fermé \[ Y' = X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_l) \] a ses composantes de dimension \(\geq k+1-l\) et il est connexe en dimension \(\geq k-l\). En particulier, pour \(l = k\), il est connexe et non vide.

C'est, sous sa forme locale, le théorème de connexité de Grothendieck, tel qu'il figure à l'exposé XIII de SGA 2.¹² Les hypothèses et la borne sur \(l\) sont nécessaires : la réunion de deux \(3\)-plans de \(\Bbbk^6\) qui se coupent en l'origine vérifie (i) pour \(k = 1\) mais non (ii), et l'on a vu que sa section par un hyperplan général n'est pas connexe ; un cône sur une conique vérifie (i) et (ii) pour \(k = 0\), et sa section par un hyperplan général passant par le sommet a deux composantes.

Réduction au cas \(l = k\) (pages 8 et 10). On peut supposer \(A\) complet. L'assertion sur les dimensions est le théorème de l'idéal principal dans l'anneau caténaire \(\widehat{A}\). Si \(Y'\) était déconnecté par un fermé \(Z'\) de dimension \(< k-l\), on choisirait \(f_{l+1}, \ldots, f_k \in \mathfrak{m}\) tels que \(Z' \cap V(f_{l+1}) \cap \cdots \cap V(f_k) = \emptyset\) ; chacun des deux morceaux de \(Y' \smallsetminus Z'\) contient une partie de dimension \(\geq k+1-l\) et rencontre donc \(V(f_{l+1}, \ldots, f_k)\), de sorte que \(X' \cap V(f_1, \ldots, f_k)\) serait non connexe. Il suffit donc de montrer :

Corollaire 1 (page 10). Sous les hypothèses du théorème, pour \(f_1, \ldots, f_k \in \mathfrak{m}\), le fermé \(X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_k)\) est connexe et non vide.¹³

Démonstration (pages 10 et 12), par récurrence sur \(k\). Pour \(k = 1\), c'est le Lemme 2. Soit \(k \geq 2\), l'énoncé connu jusqu'à \(k-1\). Montrons d'abord que \(X' \cap V(f_1)\) est connexe en dimension \(\geq k-1\). Sinon, soit \(Z'\) un fermé de dimension \(< k-1\) qui le déconnecte. Soit \(\Phi\) la partie finie que donne le Lemme 3. Par évitement des idéaux premiers, on choisit \(f_2, \ldots, f_k \in \mathfrak{m}\) tels que \(Z' \cap V(f_1, \ldots, f_k) = \emptyset\) et \(V(f_2) \cap \Phi = \emptyset\). Le Lemme 3 dit que \(X' \cap V(f_2)\) vérifie les hypothèses au rang \(k-1\) ; l'hypothèse de récurrence, appliquée aux \(k-1\) éléments \(f_1, f_3, \ldots, f_k\), dit que \(X' \cap V(f_1, \ldots, f_k)\) est connexe — alors que le choix de \(f_2, \ldots, f_k\) le rend non connexe, comme dans la réduction. Ainsi \(X' \cap V(f_1)\) vérifie les hypothèses au rang \(k-1\), et la récurrence, appliquée à \(f_2, \ldots, f_k\), achève.¹⁴

12–16

Une réciproque (pages 12 à 16)

Un Corollaire I énonce une réciproque : si, pour tous \(f_1, \ldots, f_k \in \mathfrak{m}\), l'ensemble \(\pi_0\bigl(X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_k)\bigr)\) des composantes connexes est réduit à un point, alors les composantes de \(X'\) sont de dimension \(\geq k+1\) et \(X'\) est connexe en dimension \(\geq k\). Les pages 14 et 16, qui le démontrent, sont en grande partie annulées par de longs traits et des cadres barrés ; on y voit le principe — si une composante de \(X'\) est de dimension \(l \leq k\), des équations \(f_1, \ldots, f_l\) convenables la font disparaître ou la séparent du reste — et un « !! » final. Nous ne reconstituons pas l'énoncé exact et ne l'affirmons pas.¹⁵

18–18

Le groupe fondamental (page 18)

Corollaire. Soit \(A\) un anneau local noethérien complet, normal, de dimension \(\geq n+1\) (donc \(\dim X' \geq n\)), et soient \(f_1, \ldots, f_k \in \mathfrak{m}\) avec \(k \leq n-1\). Alors \(Y' = X' \cap V(f_1) \cap \cdots \cap V(f_k)\) est connexe et non vide, et l'homomorphisme \(\pi_1(Y') \to \pi_1(X')\) des groupes fondamentaux étales (pour un point de base dans \(Y'\)) est surjectif.¹⁶

En effet, \(\pi_1(Y') \to \pi_1(X')\) est surjectif si et seulement si tout revêtement étale connexe \(X'_1 \to X'\) reste connexe au-dessus de \(Y'\). Un tel \(X'_1\) est normal et connexe, donc intègre ; la normalisation \(B\) de \(A\) dans son corps des fonctions est finie sur \(A\) (qui est complet), locale (car \(A\) est hensélien et \(B\) intègre), normale, de même dimension, et \(X'_1\) est son spectre épointé. Le théorème, appliqué à \(B\) avec \(k\) remplacé par \(n-1\), donne la connexité de \(X'_1 \cap V(f_1, \ldots, f_k)\) ; appliqué à \(A\), celle de \(Y'\). C'est une forme du théorème de Lefschetz local pour le \(\pi_1\).¹⁷

20–20

Du local au global (page 20)

Lemme 4. Soient \(X\) un schéma localement noethérien, connexe, dont les composantes irréductibles sont de dimension \(\geq k\), et supposons que pour tout point \(z \in X\) tel que \(\dim \overline{\lbrace z \rbrace} < k\), le spectre épointé de \(\mathcal{O}_{X,z}\) soit connexe en dimension \(\geq k - 1 - \dim \overline{\lbrace z \rbrace}\). Alors \(X\) est connexe en dimension \(\geq k\).¹⁸

Démonstration. Soit \(Z\) un fermé de dimension \(< k\) tel que \(X \smallsetminus Z = U' \sqcup U''\), avec \(U'\), \(U''\) ouverts, fermés et non vides. Aucune composante de \(X\) n'est contenue dans \(Z\), donc \(X = \overline{U'} \cup \overline{U''}\) ; comme \(X\) est connexe, il existe \(z \in \overline{U'} \cap \overline{U''}\), et nécessairement \(z \in Z\). Dans \(X_z = \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{X,z}\), le spectre épointé privé de \(Z_z\) est la réunion disjointe des traces de \(U'\) et de \(U''\), toutes deux non vides puisque \(z\) est adhérent à chacun. Or les points de \(Z_z\) autres que \(z\) ont dans \(X_z\) des adhérences de dimension \(\leq \dim \mathcal{O}_{Z,z} - 1 \leq \dim Z - \dim \overline{\lbrace z \rbrace} - 1 < k - 1 - \dim \overline{\lbrace z \rbrace}\), ce qui contredit l'hypothèse.¹⁹

22–26

Les fibres spéciales d'un morphisme propre (pages 22 à 26)

Théorème 2. Soient \(f\colon X \to B\) un morphisme propre de schémas localement noethériens, avec \(B\) intègre et excellent, \(b_0 \in B\), \(\eta\) le point générique de \(B\), \(X_0\) et \(X_1\) les fibres en \(b_0\) et en \(\eta\). Supposons :

• (a)\(B\) géométriquement unibranche en \(b_0\), et les composantes irréductibles de \(X\) dominantes sur \(B\) ;
• (b)les composantes irréductibles de \(X_1\) de dimension \(\geq k+1\), et \(X_1\) géométriquement connexe en dimension \(\geq k\).

Alors les composantes irréductibles de \(X_0\) sont de dimension \(\geq k+1\), et \(X_0\) est connexe en dimension \(\geq k\).²⁰

L'assertion sur les dimensions est la semi-continuité de la dimension des fibres ; elle n'utilise pas l'hypothèse unibranche. Celle-ci sert, comme le dit la page, au théorème de connexion de Zariski, qui assure que \(X_0\) est connexe.²¹ Pour la connexité en dimension \(\geq k\), le Lemme 4 ramène à l'énoncé local :

Lemme 5. Sous les hypothèses du théorème 2, pour \(x \in X_0\), le spectre épointé de \(\mathcal{O}_{X_0,x}\) est connexe en dimension \(\geq k - 1 - \dim \overline{\lbrace x \rbrace}\) (adhérence prise dans \(X_0\)).²²

L'esquisse des pages 24 et 26 est la suivante. Par le Lemme 1 (absent du dossier), on se ramène à \(X_1\) irréductible, puis \(X\) intègre. Pour \(x\) fermé dans \(X_0\), la formule des dimensions donne \[ \dim \mathcal{O}_{X,x} = \dim \mathcal{O}_{B,b_0} + \dim X_1 \geq n + k + 1, \qquad n = \dim \mathcal{O}_{B,b_0} ; \] la fibre \(X_0\) est, au voisinage de \(x\) et ensemblistement, définie par les \(n\) éléments d'un système de paramètres de \(\mathcal{O}_{B,b_0}\), et le théorème local, appliqué avec \(K = n + k - 1\) à \(\mathcal{O}_{X,x}\) et à ces \(n\) équations, donne la connexité en dimension \(\geq K - n = k - 1\), ce que le Lemme 5 demande en un point fermé. Nous ne donnons ce raisonnement que comme une esquisse : il demande que le spectre épointé du complété de \(\mathcal{O}_{X,x}\) soit connexe en dimension \(\geq \dim \mathcal{O}_{X,x} - 2\), ce qui vaut par exemple si ce complété est intègre — d'où le passage au normalisé de \(X\), permis par l'excellence — et ce que la page tient pour « facile ».²³

Trois corollaires suivent. Les deux premiers tiennent en une ligne : une variante pour les fibres géométriques, et une variante pour \(f\) propre et ouvert. Le troisième est le théorème de connexité sous sa forme projective :

Corollaire 3. Soit \(X \subset \mathbf{P}^N_{\Bbbk}\) un fermé dont les composantes sont de dimension \(\geq k+1\) et qui est connexe en dimension \(\geq k\). Pour des hyperplans \(H_1, \ldots, H_\ell\) avec \(\ell \leq k\), le fermé \(X \cap H_1 \cap \cdots \cap H_\ell\) est connexe en dimension \(\geq k - \ell\).

On le déduit du théorème local appliqué au cône affine de \(X\) en son sommet : l'anneau local est gradué, son complété a pour composantes les complétés des cônes sur les composantes de \(X\), et le spectre épointé décale les dimensions exactement comme le passage de \(X\) à son cône les relève. C'est l'énoncé que la littérature attribue à Grothendieck sous ce nom.²⁴

II. Les couples de Lefschetz-Grauert

29–31

Introduction et plan (pages 29 à 31)

La page 29 porte « III » et « Introduction » : c'est le début d'un chapitre dont le dossier ne contient pas ce qui précède. Elle rappelle qu'au paragraphe précédent, pour \(X\) propre sur un schéma localement noethérien \(Y\) et \(Y'\) fermé dans \(Y\), on a comparé les foncteurs \(R^i f\) et \(R^i \hat{f}\) — c'est le théorème des fonctions formelles — et que, sur la base d'un anneau complet, un théorème d'existence donne l'équivalence entre Modules cohérents sur \(X\) et Modules cohérents sur le complété formel : c'est le contenu des paragraphes 4 et 5 d'EGA III. Le chapitre annonce des généralisations à des morphismes non propres — une immersion ouverte, par exemple — au moyen d'un théorème de finitude et de la notion de profondeur, et en fait l'outil d'une étude systématique des propriétés « du type de Lefschetz » : relier les propriétés de \(X\) à celles d'un sous-schéma \(Y\) via le complété formel \(X_{/Y}\). Il cite H. Grauert (« 1958 ») et des théorèmes de Serre.²⁵

Parmi les résultats annoncés : pour \(X\) projectif, \(Y\) section hyperplane et \(F\) cohérent dont la profondeur aux points fermés de \(X \smallsetminus Y\) est \(\geq p\), l'homomorphisme \[ H^i(X, F) \longrightarrow H^i(X_{/Y}, F_{/Y}) \] est bijectif pour \(i \leq p - 2\) (et injectif pour \(i = p-1\)).²⁶

Le plan de la page 31, en neuf points : 1. généralisation des théorèmes de finitude formelle et de comparaison, application à un théorème d'existence ; 2. le théorème de finitude locale ; 3. cas particulier des anneaux locaux ; 4. cas particulier des schémas projectifs ; 5. fermés de Lefschetz-Grauert ; 6. propriétés liées à \(\pi_0\), \(\pi_1\), \(\operatorname{Pic}\) ; 7. permanence ; 8. théorèmes de pureté et théorèmes de Lefschetz pour le \(\pi_1\) ; 9. anneaux quasi-factoriels et théorème de Lefschetz pour \(\operatorname{Pic}\).²⁷ Le dossier développe les points 5 à 7 (pages 32 à 51), un morceau du point 4 (pages 55 à 61) et quelques calculs pour le point 9 (pages 64 à 66).

32–36

Définitions et premières remarques (pages 32 à 36)

Soient \(X\) un schéma localement noethérien, \(Y\) une partie fermée, \(n\) un entier. Tous les Modules localement libres sont de type fini.

Définition. On dit que \((X, Y)\) vérifie \((\mathrm{LG})_n\) si, pour tout Module localement libre \(F\) sur \(X\), \[ (*) \qquad H^i(X, F) \longrightarrow H^i(X_{/Y}, F_{/Y}) \] est bijectif pour \(i \leq n\) et injectif pour \(i = n+1\). On dit que \((X, Y)\) vérifie LG faible si \((*)\) est bijectif pour \(i = 0\) et tout \(F\) localement libre, c'est-à-dire si \(F \mapsto F_{/Y}\) est pleinement fidèle des Modules localement libres sur \(X\) dans ceux sur \(X_{/Y}\). On dit que \((X, Y)\) vérifie LG si \((U, Y)\) vérifie LG faible pour tout voisinage ouvert \(U\) de \(Y\), et LG stricte si de plus tout Module localement libre sur \(X_{/Y}\) est le complété d'un Module localement libre sur un voisinage de \(Y\). Notant \(\mathcal{L}(U)\) la catégorie des Modules localement libres sur \(U\), LG stricte signifie que les foncteurs de restriction \(\mathcal{L}(U) \to \mathcal{L}(V)\), pour \(U \supset V \supset Y\), sont pleinement fidèles et que \[ \varinjlim_{U \supset Y} \mathcal{L}(U) \longrightarrow \mathcal{L}(X_{/Y}) \] est une équivalence de catégories.²⁸ Ce sont, sous les noms de condition de Lefschetz \(\mathrm{Lef}(X, Y)\) et de condition de Lefschetz effective \(\mathrm{Leff}(X, Y)\), les notions de l'exposé X de SGA 2.²⁹

Remarque 1 (page 33). LG faible équivaut à \((\mathrm{LG})_0\) : la bijectivité en degré \(0\) entraîne l'injectivité en degré \(1\). En effet, une classe de \(H^1(X, F) = \operatorname{Ext}^1(\mathcal{O}_X, F)\) est celle d'une extension \(0 \to F \to E \to \mathcal{O}_X \to 0\), avec \(E\) localement libre ; si elle s'annule sur \(X_{/Y}\), la section formelle de \(\widehat{E}\) qui scinde l'extension complétée provient d'une section \(s\) de \(E\), dont l'image dans \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\) a pour complété \(1\), donc vaut \(1\) : l'extension est scindée.

La page pose ensuite la question générale — si \((*)\) est bijectif pour \(i \leq n\) et tout \(F\), est-il injectif pour \(i = n+1\) ? — et répond « Oui », en plongeant \(F\) dans un autre Module. Nous savons le démontrer lorsque \(X\) est projectif sur un anneau noethérien, et \(n \geq 0\) : on plonge \(F\) dans \(L = \mathcal{O}_X(m)^{\oplus N}\), à conoyau \(G\) localement libre, avec \(m\) assez grand pour que \(H^{n+1}(X, L) = 0\). Une classe \(c \in H^{n+1}(X, F)\) de complété nul a une image nulle dans \(H^{n+1}(X, L)\), provient donc de \(g \in H^n(X, G)\) ; le complété de \(g\) provient de \(H^n(\widehat{L}) = H^n(L)^{\wedge}\), et l'injectivité en degré \(n\) pour \(G\) montre que \(g\) provient de \(H^n(X, L)\), d'où \(c = 0\).³⁰

Remarque 2 (pages 33 et 34). Soit \((L_\alpha)\) une famille de Modules localement libres telle que tout Module localement libre \(F\) se plonge dans une somme directe finie \(L\) de \(L_\alpha\), avec un conoyau localement libre — ce qui revient à dire que \(F^\vee\) est quotient d'une somme de \(L_\alpha^\vee\). Exemples : \(X\) quasi-affine et la famille réduite à \(\mathcal{O}_X\) ; \(X\) quasi-projectif sur un anneau noethérien et les \(\mathcal{O}_X(m)\), \(m \geq m_0\). Alors \((\mathrm{LG})_n\) équivaut à : \((*)\) est bijectif pour \(i \leq n\) et injectif pour \(i = n+1\) lorsque \(F\) est l'un des \(L_\alpha\).

Par récurrence sur \(n\), le cas \(n = -1\) étant clair. Supposons \((\mathrm{LG})_{n-1}\) et soit \(0 \to F \to L \to G \to 0\) comme ci-dessus. On compare les suites de cohomologie :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^i(L) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"'] & H^i(G) \arrow[r] \arrow[d, "\beta"] & H^{i+1}(F) \arrow[r] \arrow[d, "\varphi"] & H^{i+1}(L) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha'"] & H^{i+1}(G) \arrow[d, "\beta'"] \\
H^i(\widehat{L}) \arrow[r] & H^i(\widehat{G}) \arrow[r] & H^{i+1}(\widehat{F}) \arrow[r] & H^{i+1}(\widehat{L}) \arrow[r] & H^{i+1}(\widehat{G})
\end{tikzcd}

Pour \(i = n-1\) : \(\beta\) est bijectif et \(\beta'\) injectif (récurrence), \(\alpha\) et \(\alpha'\) bijectifs (hypothèse) ; le lemme des cinq donne \(\varphi\) bijectif, c'est-à-dire \((*)\) bijectif en degré \(n\) pour tout \(F\). Pour \(i = n\) : \(\alpha\) est surjectif, \(\beta\) injectif (ce qu'on vient de voir, appliqué à \(G\)), \(\alpha'\) injectif ; donc \(\varphi\) est injectif.³¹

Remarque 3 (pages 35 et 36). La condition LG passe d'elle-même à tout voisinage ouvert de \(Y\) ; il n'en va pas de même en général de \((\mathrm{LG})_0\), car un Module localement libre sur un voisinage \(U\) de \(Y\) ne s'étend pas toujours à \(X\). Mais si tout Module localement libre sur \(U\) est sous-module, à conoyau localement libre, de la restriction d'un Module localement libre sur \(X\) — c'est le cas si \(X\) est quasi-projectif —, alors \((\mathrm{LG})_0\) pour \((X, Y)\) entraîne \((\mathrm{LG})_0\) pour \((U, Y)\), c'est-à-dire LG. La surjectivité de \(H^0(U, F) \to H^0(X_{/Y}, F_{/Y})\) se déduit de celle sur \(X\) par le même plongement ; l'injectivité tient à ce qu'une section de complété nul est nulle au voisinage de \(Y\) (théorème d'intersection de Krull), donc à support dans un fermé de \(U\) disjoint de \(Y\), et au lemme suivant.

Lemme (page 36). Si \(X\) est quasi-projectif sur un anneau noethérien et si \((X, Y)\) vérifie \((\mathrm{LG})_0\), alors tout point \(x \in X\) tel que \(\overline{\lbrace x \rbrace} \cap Y = \emptyset\) n'est pas associé à \(\mathcal{O}_X\).

Sinon, \(\mathcal{O}_X\) contiendrait un sous-faisceau cohérent non nul \(F\) à support dans \(\overline{\lbrace x \rbrace}\) ; pour \(m\) assez grand, \(F(m) \subset \mathcal{O}_X(m)\) aurait une section non nulle, dont le complété le long de \(Y\) est nul : cela contredit l'injectivité de \((*)\) pour \(\mathcal{O}_X(m)\).

Conclusion pratique. Si \(X\) est quasi-projectif sur un anneau noethérien, \[ (\mathrm{LG})_0 \iff \text{LG faible} \iff \text{LG} \iff H^0(X, \mathcal{O}_X(m)) \xrightarrow{\ \sim\ } H^0(X_{/Y}, \mathcal{O}_X(m)_{/Y}) \ \text{pour } m \gg 0 . \] La dernière condition entraîne LG faible par l'argument de la Remarque 2 en degré \(0\), qui n'utilise que la bijectivité de \(H^0\) sur les \(\mathcal{O}_X(m)\).³²

37–40

Composantes connexes, groupe fondamental, groupe de Picard (pages 37 à 40)

Le complété \(X_{/Y}\) a le même espace sous-jacent que \(Y\) ; ses idempotents sont ceux de \(\mathcal{O}_Y\), et ses revêtements étales sont ceux de \(Y\) (SGA 1). Tout ce qui suit consiste à faire passer ces informations de \(X_{/Y}\) à \(X\) par les conditions précédentes. On suppose \(X\) noethérien.

Proposition (page 37). Si \(H^0(X, \mathcal{O}_X) \to H^0(X_{/Y}, \mathcal{O}_{X/Y})\) est injectif (resp. bijectif), alors \(\pi_0(Y) \to \pi_0(X)\) est surjectif (resp. bijectif). En particulier \((\mathrm{LG})_{-1}\) (resp. \((\mathrm{LG})_0\)) l'entraîne.

Une composante connexe de \(X\) qui ne rencontre pas \(Y\) a un idempotent non nul de complété nul ; et si \(H^0\) est bijectif, toute partition de \(Y\) en ouverts fermés, qui est un idempotent de \(H^0(X_{/Y}, \mathcal{O})\), provient d'un idempotent de \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\).

Lemme (page 37). Supposons LG, et soit \(F\) un Module localement libre sur \(X\). Toute structure d'algèbre sur \(\widehat{F}\) provient d'une unique structure d'algèbre sur \(F\), et les décompositions de \(\widehat{F}\) en produit correspondent à celles de \(F\) ; si \(X' = \operatorname{Spec}(F)\), \(X'\) est connexe si et seulement si son complété l'est.³³

Proposition (page 37). Supposons \(X\) connexe, et prenons le point de base des groupes fondamentaux dans \(Y\). Si \((X, Y)\) vérifie LG, \(\pi_1(Y) \to \pi_1(X)\) est surjectif. Si \((X, Y)\) vérifie LG stricte, l'homomorphisme \[ \pi_1(Y) \longrightarrow \varprojlim_{U} \pi_1(U), \] la limite étant prise sur les voisinages ouverts connexes \(U\) de \(Y\), est bijectif.

Corollaire (page 38). Si LG, le foncteur \(X' \mapsto X' \times_X Y\) des revêtements étales de \(X\) dans ceux de \(Y\) est pleinement fidèle, et il en va de même en remplaçant \(X\) par un voisinage ouvert de \(Y\). Si LG stricte, pour tout revêtement étale \(Y'\) de \(Y\), il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(Y\) et un revêtement étale \(U'\) de \(U\) tels que \(U' \times_U Y \simeq Y'\).

C'est le lemme appliqué aux algèbres localement libres qui définissent les revêtements étales, et l'équivalence entre revêtements étales de \(X_{/Y}\) et de \(Y\). La propriété sur les \(\pi_1\) en est la traduction galoisienne. La page annonce enfin des conditions « liées aux théorèmes de pureté » qui donnent \(\pi_1(Y) \simeq \pi_1(X)\), « Kif-Kif pour Pic » : c'est le point 8 du plan, que le dossier ne développe pas.

Proposition (page 39). (i) Si LG, \(\operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(X_{/Y})\) est injectif, et plus généralement les \(\operatorname{Pic}(U) \to \operatorname{Pic}(X_{/Y})\) le sont pour les voisinages ouverts \(U\) de \(Y\), de sorte que les applications de transition sont injectives et que \[ \varinjlim_{U \supset Y} \operatorname{Pic}(U) \longrightarrow \operatorname{Pic}(X_{/Y}) \] est injectif. (ii) Si LG stricte, ce dernier homomorphisme est bijectif.

Si \(\widehat{L}\) est trivial, une section formelle partout génératrice de \(\widehat{L}\) et son inverse proviennent de sections de \(L\) et de \(L^{-1}\) dont le produit, de complété \(1\), vaut \(1\).

Supposons maintenant que \(Y\) soit un diviseur de Cartier, d'Idéal \(\mathcal{J}\), et notons \(\Lambda = \mathcal{O}_X(Y)\), de sorte que \(i^*(\Lambda)^{-1} \simeq \mathcal{J}/\mathcal{J}^2\), où \(i\colon Y \to X\) est l'injection. On écrit \(\Lambda^{-n}\) pour \(i^*(\Lambda)^{-n} \simeq \mathcal{J}^n/\mathcal{J}^{n+1}\).

Lemme (page 40). (i) Si \(H^1(Y, \Lambda^{-n}) = 0\) pour \(n \geq 1\), l'homomorphisme \(\operatorname{Pic}(X_{/Y}) \to \operatorname{Pic}(Y)\) est injectif. (ii) Si de plus \(H^2(Y, \Lambda^{-n}) = 0\) pour \(n \geq 1\), il est bijectif.

Pour \(X_n\) le sous-schéma défini par \(\mathcal{J}^{n+1}\), la suite exacte \(0 \to \mathcal{J}^n/\mathcal{J}^{n+1} \to \mathcal{O}_{X_n}^* \to \mathcal{O}_{X_{n-1}}^* \to 1\) (\(n \geq 1\)) place dans \(H^1(Y, \Lambda^{-n})\) le noyau de \(\operatorname{Pic}(X_n) \to \operatorname{Pic}(X_{n-1})\) et l'obstruction à relever les sections inversibles, et dans \(H^2(Y, \Lambda^{-n})\) l'obstruction à relever un Module inversible.³⁴

Corollaire (page 39). (i) Si \(H^1(Y, \Lambda^{-n}) = 0\) pour \(n \geq 1\) et si LG, alors \(\operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(Y)\) est injectif, ainsi que les \(\operatorname{Pic}(U) \to \operatorname{Pic}(Y)\). (ii) Si \(H^1(Y, \Lambda^{-n}) = H^2(Y, \Lambda^{-n}) = 0\) pour \(n \geq 1\) et si LG stricte, alors \(\varinjlim_{U \supset Y} \operatorname{Pic}(U) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Pic}(Y)\).³⁵

C'est le mécanisme du théorème de Lefschetz de Grothendieck pour le groupe de Picard : sur une variété projective lisse de dimension \(\geq 4\), la restriction à une section hyperplane est un isomorphisme sur \(\operatorname{Pic}\).

40–43

Permanence (pages 40 à 43)

Un Théorème 1 de la page 40, annulé, énonce la permanence de \((\mathrm{LG})_n\) par un morphisme projectif et plat, puis un Th. 2 s'interrompt au bas de la page ; la page 41 récrit le tout.

Théorème. Soient \(X\) un schéma noethérien quasi-projectif sur un anneau noethérien, \(Y\) une partie fermée, \(f\colon W \to X\) un morphisme projectif, \(Y_W = f^{-1}(Y)\). Soit \(F\) un Module cohérent sur \(W\), à support propre sur \(X\) et plat sur \(X\), et considérons les homomorphismes \[ H^i(W, F) \longrightarrow H^i(W_{/Y_W}, F_{/Y_W}) . \] (i) Si \((X, Y)\) vérifie \((\mathrm{LG})_n\), ils sont bijectifs pour \(i \leq n\) et injectifs pour \(i = n+1\).

(ii) Si \((X, Y)\) vérifie LG, alors pour tout voisinage ouvert \(U\) de \(Y\), le foncteur \(F \mapsto F_{/Y_W}\), des Modules cohérents sur \(f^{-1}(U)\) plats sur \(U\) à support propre dans les Modules cohérents sur \(W_{/Y_W}\), est pleinement fidèle ; plus précisément \(\operatorname{Hom}(F, G) \simeq \operatorname{Hom}(\widehat{F}, \widehat{G})\) dès que \(G\) est plat sur \(X\).

(iii) Si \((X, Y)\) vérifie LG stricte, tout Module cohérent sur \(W_{/Y_W}\) plat sur \(X_{/Y}\) est, sur un voisinage \(f^{-1}(U)\) de \(Y_W\), le complété d'un Module cohérent plat sur \(U\).³⁶

Le manuscrit ne donne pas de démonstration. Pour (i), elle va ainsi : \(F\) étant plat et à support propre, \(Rf_*F\) est un complexe parfait, que la quasi-projectivité de \(X\) permet de représenter globalement par un complexe borné \(E^\bullet\) de Modules localement libres, en degrés \(\geq 0\) ; le théorème de comparaison (EGA III, § 4.1) identifie \(H^i(W_{/Y_W}, F_{/Y_W})\) à l'hypercohomologie de \(\widehat{E}^\bullet\) ; et une récurrence sur la longueur de \(E^\bullet\), avec le lemme des cinq, fait passer \((\mathrm{LG})_n\) des \(E^p\) au complexe. Pour (ii), on représente \(U \mapsto f_* \underline{\mathrm{Hom}}(F, G \otimes f^* M)\) par un Module cohérent (EGA III, § 7.7), auquel on applique la bijectivité en degré \(0\) et l'injectivité en degré \(1\) ; c'est pourquoi seule la platitude de \(G\) compte. Nous ne vérifions pas (iii).³⁷

Corollaire 2 (page 42). Si \((X, Y)\) vérifie LG, le foncteur \(W \mapsto W \times_X X_{/Y}\), des schémas projectifs et plats sur \(X\) dans les schémas formels projectifs et plats sur \(X_{/Y}\), est pleinement fidèle, et de même en remplaçant \(X\) par un voisinage ouvert de \(Y\). Si \((X, Y)\) vérifie LG stricte, tout schéma formel projectif et plat sur \(X_{/Y}\) est, sur un voisinage ouvert \(U\) de \(Y\), le complété d'un schéma projectif et plat sur \(U\).

Corollaire 1 (page 42). Si \(X\) est quasi-projectif et si \((X, Y)\) vérifie \((\mathrm{LG})_n\) (resp. LG, resp. LG stricte), alors pour tout \(W\) projectif et plat sur \(X\), le couple \((W, f^{-1}(Y))\) vérifie \((\mathrm{LG})_n\) (resp. LG, resp. LG stricte).³⁸

Remarques (page 43). Des exemples montrent que les conditions de platitude et de propreté sont essentielles. Il est possible en revanche que l'hypothèse de quasi-projectivité sur \(X\) et \(W\) puisse être omise — ainsi que, en partie, dans le Corollaire 2 (ii), l'« existence d'un schéma algébrique donnant un schéma formel ».

45–51

Une forme locale (pages 45 à 51)

Théorème. Soient \(A\) un anneau local noethérien, quotient d'un anneau régulier, \(t \in \mathfrak{m}\), et supposons \(A\) séparé et complet pour la topologie \(t\)-adique. Posons \(Y = V(t)\), \(Y' = Y \cap X'\), \(\widehat{X} = X_{/Y}\), \(\widehat{X}' = X'_{/Y'}\). Les parties fermées de \(X'\) disjointes de \(Y'\) sont les parties finies formées de points fermés de \(X'\) ; notons \(\Phi\) leur ensemble, \(\mathcal{C}(X')\) la catégorie des Modules cohérents sur \(X'\) et \(\mathcal{C}_\Phi(X')\) la sous-catégorie épaisse de ceux dont le support est dans \(\Phi\). Le foncteur \[ F \longmapsto \widehat{F} : \mathcal{C}(X') \longrightarrow \mathcal{C}(\widehat{X}') \] est exact, de noyau \(\mathcal{C}_\Phi(X')\) ; il définit un foncteur exact et fidèle \[ \rho : \mathcal{C}(X') / \mathcal{C}_\Phi(X') \longrightarrow \mathcal{C}(\widehat{X}') . \] Si \(F\) et \(G\) sont cohérents sur \(X'\) et si \(G\) est de profondeur \(\geq 2\) aux points fermés de \(X' \smallsetminus Y'\), alors \[ \operatorname{Hom}(F, G) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}(\widehat{F}, \widehat{G}) . \] En particulier \(\rho\) est pleinement fidèle sur la sous-catégorie pleine des objets représentés par de tels Modules.³⁹

Par \(H = \underline{\mathrm{Hom}}(F, G)\), qui est de profondeur \(\geq \min(2, \operatorname{prof} G)\) en chaque point, on se ramène à \(\Gamma(X', H) \simeq \Gamma(\widehat{X}', \widehat{H})\) pour \(H\) de profondeur \(\geq 2\) aux points fermés de \(X' \smallsetminus Y'\). La page 47 l'aborde par un dévissage « facile » et « purement local » : une suite exacte \[ 0 \to P \to H \to \bar{H} \to Q \to 0, \] où \(P\) et \(Q\) ont leur support dans \(Y'\), de dimensions \(\leq 0\) et \(\leq 1\), et \(\bar{H}\) a la profondeur voulue ; puis, \(K\) étant le noyau de la multiplication par une puissance \(t^n\) et \(0 \to K \to H \to G_1 \to 0\) avec \(G_1\) sans \(t\)-torsion, la comparaison \[ \begin{array}{ccccccc} 0 \to \Gamma K & \longrightarrow & \Gamma H & \longrightarrow & \Gamma G_1 & \longrightarrow & H^1 K \\ \downarrow \wr & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \wr \\ 0 \to \Gamma \widehat{K} & \longrightarrow & \Gamma \widehat{H} & \longrightarrow & \Gamma \widehat{G}_1 & \longrightarrow & H^1 \widehat{K} \end{array} \] où les flèches extrêmes sont des isomorphismes, \(K\) étant tué par \(t^n\). Le cas \(t\)-régulier reste à faire : la page marque d'un « ? » la flèche de \(\Gamma G_1\), et s'arrête là.⁴⁰

Les pages 49 et 51 traitent l'autre moitié — l'image essentielle. Avec un « cor. 3 au th. de comparaison affine » et des conditions a), b), c') qui ne sont pas dans le dossier — c') disant que le Module formel \(\mathcal{F}\) sur \(\widehat{X}'\) s'étend en un Module cohérent sur \(\widehat{X}\) —, on sait que \(\mathcal{F}\) provient d'un Module cohérent \(F\) sans \(t\)-torsion, et l'on veut un \(F\) de profondeur \(\geq 2\) aux points d'un ensemble \(T_1\), qui est sans doute celui des points fermés de \(X' \smallsetminus Y'\). L'argument : soit \(U\) l'ouvert de \(X'\) où cette profondeur est atteinte ; c'est un voisinage de \(Y'\), et ses points complémentaires sont fermés dans \(X'\), donc en nombre fini. Un point associé \(x_1\) de \(F\) dans \(U\) dont l'adhérence contiendrait un point \(x\) de \(X' \smallsetminus U\) serait d'adhérence de dimension \(1\), et \(F\) serait de profondeur \(\leq 1\) aux points fermés de cette adhérence dans \(U\), ce qui est absurde. Le critère de finitude des images directes montre alors que, pour \(i\colon U \to X'\) l'inclusion, \(F_1 = i_*(F|_U)\) est cohérent ; il est de profondeur \(\geq 2\) aux points de \(X' \smallsetminus U\) par construction, et aux points fermés de \(U\) par définition de \(U\) : « on a gagné ».⁴¹

III. Morphismes projectifs : profondeur et dualité

55–58

Les questions, et la dualité (pages 55 à 58)

Soient \(X = \mathbf{P}^r_{\Bbbk}\), \(S = \Bbbk[T_0, \ldots, T_r]\), \(Y\) une section hyperplane, \(U\) un voisinage ouvert de \(Y\), \(g\colon U \to X\) l'inclusion, \(Z = X \smallsetminus U\), et \(F\) un Module cohérent sur \(X\). Le fermé \(Z\) est contenu dans l'espace affine \(X \smallsetminus Y\) et fermé dans \(\mathbf{P}^r\) : c'est un ensemble fini de points fermés.⁴² Les questions :

a) À quelle condition \(H^i(U, F(-m)) = 0\) pour \(m\) grand ?

a') À quelle condition \(\bigoplus_{m \geq 0} H^i(U, F(m))\) est-il de type fini sur \(S\) ?

b) À quelle condition \(H^i(U, F(m)) = 0\) pour \(m\) grand (\(i > 0\) donné) ?

c) À quelle condition \(H^i(U, F) \to H^i(\widehat{X}, \widehat{F})\) est-il bijectif, injectif ?

(1°) On part de la suite exacte de cohomologie locale \[ \begin{array}{l} H^i_Z(X, F(-m)) \xrightarrow{\alpha_i} H^i(X, F(-m)) \to H^i(U, F(-m)) \\ \qquad \to H^{i+1}_Z(X, F(-m)) \xrightarrow{\alpha_{i+1}} H^{i+1}(X, F(-m)) \end{array} \] et l'on pose \(E^j = \underline{\mathrm{Ext}}^j_{\mathcal{O}_X}(F, \omega_X)\). Pour \(m\) grand, la dualité de Serre identifie le dual de \(H^i(X, F(-m))\) à \(\Gamma(X, E^{r-i}(m))\), et la dualité locale identifie le dual (de Matlis) de \(H^i_Z(X, F(-m)) = \bigoplus_{z \in Z} H^i_z(F_z)\) à \(\prod_{z \in Z} \widehat{E^{r-i}_z}\) ; l'application duale de \(\alpha_i\) est la restriction \[ \Gamma(X, E^{r-i}(m)) \longrightarrow \prod_{z \in Z} \widehat{E^{r-i}_z} . \] Comme la source est de dimension finie et que \(\widehat{E^{r-i}_z}\) ne l'est que si \(E^{r-i}_z\) est de longueur finie, on obtient, pour \(i\) donné : \[ \begin{array}{l} \alpha_i \text{ injectif pour } m \text{ grand} \\ \Updownarrow \\ \text{tout } z \in Z \text{ est isolé dans } \operatorname{Supp} E^{r-i} \cup \lbrace z \rbrace \\ \Updownarrow \\ H^{i-1}(X, F(-m)) \to H^{i-1}(U, F(-m)) \text{ surjectif pour } m \text{ grand.} \end{array} \] ⁴³

En prenant ces conditions pour tous les \(i \leq n\), la dualité locale en un point fermé \(x\) (\(E^{r-i}_x = 0\) si et seulement si \(H^i_x(F_x) = 0\)) les traduit en profondeur : \[ (*) \quad \begin{array}{l} \alpha_i \text{ injectif pour } m \text{ grand},\ i \leq n \\ \Updownarrow \\ \exists\, V \text{ voisinage ouvert de } Z \text{ tel que } \operatorname{prof} F_x > n \text{ en tout point fermé } x \text{ de } U \cap V \\ \Updownarrow \\ H^i(X, F(-m)) \to H^i(U, F(-m)) \text{ surjectif pour } m \text{ grand},\ i < n . \end{array} \] ⁴⁴

À la page 57, la même analyse pour la bijectivité. L'application duale est bijective pour \(m\) grand si et seulement si \(E^{r-i}\) est à support dans \(Z\) : la finitude force les \(E^{r-i}_z\) à être de longueur finie, puis l'injectivité force la partie de \(E^{r-i}\) à support hors de \(Z\) à être nulle. D'où, pour \(i\) donné, puis pour tous les \(i \leq n\) : \[ \begin{array}{l} \alpha_i \text{ bijectif pour } m \text{ grand} \iff \operatorname{Supp} E^{r-i} \subset Z \\ \qquad \iff H^i_x(F_x) = 0 \text{ pour tout } x \text{ fermé dans } U ; \\[1ex] \alpha_i \text{ bijectif pour } m \text{ grand},\ i \leq n \iff \operatorname{prof} F_x > n \text{ pour tout } x \text{ fermé dans } U \\ \qquad \iff H^i(U, F(-m)) = 0 \text{ pour } i < n, \text{ et} \\ \qquad\qquad H^n(U, F(-m)) \to H^{n+1}_Z(X, F(-m)) \text{ injectif}, \text{ pour } m \text{ grand.} \end{array} \] ⁴⁵

La condition qui répond à la question a) est la suivante, encerclée \(\mathrm{B}_n\) : \[ (\mathrm{B}_n) \quad \begin{array}{l} \alpha_i \text{ bijectif pour } m \text{ grand},\ i \leq n, \text{ et } \alpha_{n+1} \text{ injectif pour } m \text{ grand} \\ \Updownarrow \\ \operatorname{Supp} E^{r-i} \subset Z \text{ pour } i \leq n, \text{ et tout } z \in Z \text{ est isolé dans } \operatorname{Supp} E^{r-n-1} \cup \lbrace z \rbrace \\ \Updownarrow \\ \operatorname{prof} F_x > n \text{ pour } x \text{ fermé dans } U, \text{ et } \operatorname{prof} F_x > n+1 \text{ pour } x \text{ fermé dans } U \cap V, \\ \quad V \text{ voisinage ouvert convenable de } Z \\ \Updownarrow \\ H^i(U, F(-m)) = 0 \text{ pour } m \text{ grand},\ i \leq n \\ \Downarrow \\ \bigoplus_{m \geq 0} H^i(U, F(m)) \text{ de type fini sur } S \text{ pour } i \leq n . \end{array} \] Elle entraîne en particulier que les \(H^i(U, F)\), \(i \leq n\), sont de dimension finie sur \(\Bbbk\).⁴⁶

Le théorème de comparaison qui en découle. Si \(\mathrm{B}_n\) est satisfaite et si l'équation \(t\) de \(Y\) est \(F\)-régulière, alors \[ H^i(U, F) \longrightarrow H^i(\widehat{X}, \widehat{F}) \simeq \varprojlim_m H^i(X_m, F_m) \] est bijectif pour \(i < n\) et injectif pour \(i = n\), \(X_m\) désignant le sous-schéma défini par \(t^{m}\). On le voit sur les suites \(H^i(U, F(-m)) \to H^i(U, F) \to H^i(X_m, F_m) \to H^{i+1}(U, F(-m))\) déduites de \(0 \to F(-m) \xrightarrow{t^m} F \to F_m \to 0\).⁴⁷

Ces conditions suffisent pour c), mais ne sont pas nécessaires : pour \(n = 1\), il suffit que \(\operatorname{prof} F_x \geq 2\) aux points fermés de \(U\) pour que \(H^0(U, F) \to H^0(\widehat{X}, \widehat{F})\) soit bijectif.⁴⁸

Deux brouillons (pages 56 et 60). Au dos de deux exemplaires d'une même page dactylographiée, qui s'achève sur l'annonce d'un « Corollaire 3.2 », Grothendieck calcule à l'encre puis au crayon : des sommes \(\coprod_{p, q \geq 0} F_0(q - p)\) et \(\sum_{p \geq 0} R^i f_{0*} F_0(q - p)\) pour \(q - p \geq n\), un module gradué \(\coprod_q S_q\), un double indice \(S_{pq}\) nul pour \(p > 0\) et égal à \(S_q\) pour \(p = 0\), et des quadrants hachurés en \((p, q)\) légendés « \(\mathcal{F}(n)\) » et « filtre ». On y reconnaît le calcul d'une filtration indexée par deux degrés, sans pouvoir le rattacher sûrement à une question du dossier.⁴⁹

58–61

Finitude, et torsions positives (pages 58 à 61)

(2°) La suite exacte montre que \(H^i(U, F) \to H^{i+1}_Z(X, F)\) est un isomorphisme modulo des espaces vectoriels de dimension finie. D'où : \[ (\mathrm{A}'_i) \quad \begin{array}{l} H^i(U, F) \text{ de dimension finie sur } \Bbbk \\ \Updownarrow \\ H^{i+1}_z(F_z) \text{ de longueur finie pour tout } z \in Z \\ \Updownarrow \\ \text{tout } z \in Z \text{ est isolé dans } \operatorname{Supp} E^{r-i-1} \cup \lbrace z \rbrace \\ \Updownarrow \\ \alpha_{i+1} \text{ injectif pour } m \text{ grand} \\ \Updownarrow \\ H^i(X, F(-m)) \to H^i(U, F(-m)) \text{ surjectif pour } m \text{ grand.} \end{array} \]

(3°) Pour \(i \geq 1\), \(R^i g_*(F|_U) = \underline{H}^{i+1}_Z(F)\), et \(g_*(F|_U)\) est cohérent si et seulement si \(\underline{H}^1_Z(F)\) l'est ; un faisceau à support dans l'ensemble fini \(Z\) est cohérent si et seulement si ses fibres sont de longueur finie. Pour \(m\) grand, \(H^i(U, F(m))\) s'identifie à \(H^{i+1}_Z(X, F)\) (\(i \geq 1\)), et la multiplication par l'équation de \(Y\), inversible au voisinage de \(Z\), y est bijective. On en tire : \[ (\mathrm{A}^f_n) \quad \begin{array}{l} H^i(U, F) \text{ de dimension finie pour } i \leq n \\ \Updownarrow \\ \operatorname{prof} F_x > n+1 \text{ aux points fermés } x \text{ de } U \text{ voisins de } Z \\ \Updownarrow \\ \text{tout } z \in Z \text{ est isolé dans } \operatorname{Supp} E^{r-i-1} \cup \lbrace z \rbrace,\ i \leq n \\ \Updownarrow \\ \alpha_i \text{ injectif pour } m \text{ grand},\ i \leq n+1 \\ \Updownarrow \\ H^i(X, F(-m)) \to H^i(U, F(-m)) \text{ surjectif pour } m \text{ grand},\ i \leq n \\ \Updownarrow \\ R^i g_*(F|_U) \text{ cohérent pour } i \leq n \iff H^i_z(F_z) \text{ de longueur finie pour } z \in Z,\ i \leq n+1 \\ \Updownarrow \\ \bigoplus_{m \geq 0} H^i(U, F(m)) \text{ de type fini sur } S \text{ pour } i \leq n . \end{array} \] ⁵⁰

Les questions a) et b) portent ainsi sur des points différents : a) sur la profondeur aux points fermés de \(U\), b) — les torsions positives — sur les points de \(Z\). La page 61 le dit : \[ (\mathrm{C}'_i) \quad \begin{array}{l} H^i(U, F(m)) = 0 \text{ pour } m \text{ grand } (i > 0 \text{ donné}) \\ \Updownarrow \\ \underline{H}^{i+1}_Z(F) = 0, \text{ i.e. } H^{i+1}_z(F_z) = 0 \text{ pour } z \in Z \\ \Updownarrow \\ R^i g_*(F|_U) = 0 ; \end{array} \] \[ (\mathrm{C}_n) \quad \begin{array}{l} H^i(U, F(m)) = 0 \text{ pour } m \text{ grand},\ 0 < i \leq n \\ \Updownarrow \quad (\text{si } F = g_*(F|_U)) \\ \operatorname{prof}_z F > n+1 \text{ pour } z \in Z . \end{array} \] « Les conditions \(C\) sont les seules qui exigent quelque chose sur la profondeur en les \(z \in Z = X - U\)… et non seulement aux points de \(U\) ! »⁵¹

IV. Le groupe de Picard des cônes

64–66

Brouillons (pages 64 à 66)

Les pages 64 et 65 sont deux feuilles de brouillon, faites de diagrammes, de formules et de petites figures, et la page 66 un départ au propre qui s'interrompt. Le sujet est le point 9 du plan : comparer le groupe de Picard d'une variété projective à celui de son cône, ce que demande un théorème de Lefschetz pour \(\operatorname{Pic}\) dans le cas local — le cône affine en son sommet étant l'exemple type d'anneau local.

La situation de la page 66. Soient \(X\) un schéma projectif sur \(\Bbbk\) avec \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = \Bbbk\), \(L = \mathcal{O}_X(1)\) ample, \(R = \bigoplus_{m \geq 0} \Gamma(X, L^{\otimes m})\), \(C = \operatorname{Spec} R\) le cône projetant affine, de sommet \(a\), et \(\widehat{C} = \operatorname{Proj} R[z]\) le cône projetant projectif.⁵² Soit \(P\) l'éclaté de \(\widehat{C}\) en son sommet : c'est le fibré en droites projectif \(\pi\colon P \to X\), muni de la section \(i\colon X \to P\) (le diviseur exceptionnel) et de la contraction \(f\colon P \to \widehat{C}\) qui envoie \(i(X)\) sur \(a\).⁵³

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X \arrow[r, "i"] \arrow[d] & P \arrow[r, "\pi"] \arrow[d, "f"] & X \\
a \arrow[r] & \widehat{C} &
\end{tikzcd}

Alors :

• \(\operatorname{Pic}(P) \simeq \operatorname{Pic}(X) \times \mathbf{Z}\) (fibré projectif), et le noyau de \(i^*\colon \operatorname{Pic}(P) \to \operatorname{Pic}(X)\) est isomorphe à \(\mathbf{Z}\), engendré par \(\mathcal{O}_P(1) = f^* \mathcal{O}_{\widehat{C}}(1)\) ;
• \(\operatorname{Pic}(\widehat{C}) \to \operatorname{Pic}(P)\) est injectif, car \(f_* \mathcal{O}_P = \mathcal{O}_{\widehat{C}}\) ;
• d'où, comme il le note encadré (« je m'aperçois que »), \[ \operatorname{Pic}(\widehat{C}) \simeq \mathbf{Z} \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Ker}\bigl[\operatorname{Pic}(P) \xrightarrow{i^*} \operatorname{Pic}(X)\bigr] . \]

Soit enfin \(C_X = P \smallsetminus f^{-1}(\widehat{C} \smallsetminus C)\) la partie de \(P\) au-dessus de \(C\) : c'est l'espace total d'un fibré en droites sur \(X\), l'éclaté de \(C\) en son sommet. La page affirme, avec un point d'interrogation, que \(\pi^*\colon \operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(C_X)\) est un isomorphisme, et demande en marge s'il faut supposer \(X\) localement factoriel. L'injectivité est démontrée : le composé avec la restriction à la section nulle est l'identité. La démonstration de la surjectivité commence — « au-dessus d'un ouvert convenable de \(X\), » — et s'arrête là, au milieu de la phrase : c'est la dernière ligne du dossier.⁵⁴

Les brouillons des pages 64 et 65 entourent cette question. On y lit :

• une suite \(\operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(\widehat{C}') \to \operatorname{Pic}(C') \to \operatorname{Pic}(\widetilde{C'})\), annotée « injectif », « bijectif dans le cas \(X\) loc. factoriel », un noyau « engendré par l'image de \(\mathcal{O}_X(1)\) », et les quotients \(\operatorname{Pic}(X)/\mathbf{Z}\xi \subset \operatorname{Pic}(\widehat{C}')/\mathbf{Z}\xi\) ;⁵⁵
• deux fois, encadrée, la question \(\operatorname{Pic}(C) = 0\) ?? — qui a une réponse : oui si \(R\) est seminormal (normal par exemple), car alors \(\operatorname{Pic}(R) = \operatorname{Pic}(R[T])\), et l'homomorphisme \(R \to R[T]\), \(r \mapsto T^{\deg r} r\), relie l'identité (\(T = 1\)) à la projection sur \(R_0 = \Bbbk\) (\(T = 0\)) ; la réponse peut être non pour un \(R\) qui ne l'est pas, \(\Bbbk[t^2, t^3]\) en étant l'exemple type ;⁵⁶
• la suite de cohomologie locale de \(\mathcal{O}_X^*\) pour \(U = X \smallsetminus \lbrace a \rbrace\), \[ \begin{array}{l} 0 \to H^0_a(\mathcal{O}^*) \to H^0(X, \mathcal{O}^*) \to H^0(U, \mathcal{O}^*) \to H^1_a(\mathcal{O}^*) \to H^1(X, \mathcal{O}^*) \\ \qquad \to H^1(U, \mathcal{O}^*) \to H^2_a(\mathcal{O}^*) \to H^2(X, \mathcal{O}^*), \end{array} \] avec \(H^1(X, \mathcal{O}^*) = 0\) pour \(X\) local — de sorte que \(\operatorname{Pic}(U)\) et le défaut de prolongement des unités se lisent dans \(H^1_a\) et \(H^2_a\) : c'est la notion d'anneau parafactoriel (EGA IV\(_4\), § 21.13), pour lequel \(\operatorname{Pic}(U) = 0\) et \(\Gamma(U, \mathcal{O}) = \Gamma(X, \mathcal{O})\) ;
• la hiérarchie « loc. factoriel \(\Rightarrow\) loc. quasi-factoriel \(\Rightarrow\) parafactoriel » et « factoriel \(\Rightarrow\) \(1\)-factoriel \(\Rightarrow\) \(0\)-factoriel » ;⁵⁷
• des formules de genre pour une courbe à points doubles : si \(C\) a \(\nu\) composantes de genres \(g_i\) et des points singuliers \(s\) de contributions \(n_s\), \(1 - g = \sum (1 - g_i) - \sum n_s\), soit \(g = 1 + \sum g_i + \sum n_s - \nu\) ; avec les deux cas \(g = g' + \sum n_s\) (une composante) et \(g = g' + g'' + \sum n_s - 1\) (deux), et l'exemple \(\Bbbk[x, y, z]/(xy)\).⁵⁸