Fonds Grothendieck, cote n° 57, pages 281–300

Exemples

titre de sa main, seul mot d'une feuille par ailleurs blanche (p. 281)

Dévissage de \underline{\mathrm{Pic}} pour un composé X \to Y \to S

L'exemple produits

\begin{tikzcd}[row sep=small] X \arrow[d, "g"] \\ Y \arrow[d, "f"] \\ S \end{tikzcd}

0 \to \mathrm{Pic}(Y) \to \mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(X/Y) \qquad \mathrm{Pic}(X/Y) = \Gamma(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/Y}/Y) sous \mathrm{Pic}(X/Y), un second signe = renvoie à une expression biffée, illisible, où se lit seulement \underline{\mathrm{Pic}} indicé par Y/S surjectif si X/Y a une section.

Pourvu que g soit qu.-cpt séparé et \mathcal{O}_Y \xrightarrow{\sim} g_*(\mathcal{O}_X). Si cette dernière condition est S-universelle, alors pour faire un dévissage de quelconque S' \to S, et pour des « faisceaux » courants suite exacte de « préfaisceaux » une suite exacte 0 \to \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to \textstyle\prod_{Y/S} \underline{\mathrm{Pic}}_{X/Y} , ainsi obtenue, avec d'ailleurs une suite et exacte à droite si X/Y a une section. Dans ce cas les foncteurs représentables, 0 \to \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to \textstyle\prod_{Y/S} \underline{\mathrm{Pic}}_{X/Y} où la dernière flèche a une section : si X/Y a une section. Dans ce cas, on a donc \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} \times \textstyle\prod_{Y/S} \underline{\mathrm{Pic}}_{X/Y} [Ceci s'applique en particulier, comme , quand X = Y \times_S Z, Z muni d'une section sur S : \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} \times \underline{\mathrm{Pic}}_{Z/S} \times \underline{\mathrm{Hom}}_{\text{pointés}}(Y, \underline{\mathrm{Pic}}_{Z/S}) \;] le dernier \underline{\mathrm{Pic}}_{Z/S} porte un petit exposant, peut-être \tau, qui n'est pas sûr

Quotients (A \times_S B)/\Gamma

Soit S un préschéma de base, A un schéma abélien sur S, B un schéma sur S, \Gamma un groupe fini, opérant sur A par automorphismes et sur B , \Gamma opère diagonalement sur A \times B , et X = (A \times B)/\Gamma comme abélien sur Y = B/\Gamma. On a donc, si X/Y une section, \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} \times \textstyle\prod_{Y/S} \underline{\mathrm{Pic}}_{X/Y} , dans la marge de gauche, le diagramme du quotient, reproduit ci-dessous ; un trait oblique y relie aussi B à S

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "f"'] & A \times_S B \arrow[l, "\Gamma"'] \arrow[d, "\mathrm{pr}_1"] \\ Y \arrow[d, "g"'] & B \arrow[l, "\Gamma"'] \\ S & \end{tikzcd}

l'étiquette de la flèche verticale de droite se lit \mathrm{pr}_1, alors qu'il s'agit de la projection A \times_S B \to B ; on la garde telle quelle si (B \to S ), disons , et A \to S projectif, on aura \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} \times \textstyle\prod_{Y/S} \underline{\mathrm{Pic}}_{X/Y} , \qquad \textstyle\prod_{Y/S} \underline{\mathrm{Pic}}_{(A' \times B)/\Gamma} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}) la seconde formule est écrite en deux étages, l'accolade du haut portant \prod_{Y/S} \underline{\mathrm{Pic}}_{(A' \times B)/\Gamma} \simeq et celle du bas \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}) ; le A' dans la première est sa lecture, peut-être un lapsus pour A

Soit A' le schéma abélien dual de A, sur lequel opère \Gamma par « transport de structure », A'^{\Gamma} est à fibres discrètes sur S [ les opérations de \Gamma x \mapsto -x] sur B non . écrit \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, A')^{(\tau)} \simeq A'^{\Gamma} , d'où

écrit en travers de la marge de gauche : et \underline{N}^{\Gamma} schéma fini, on a une suite exacte 0 \to \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, A') \to \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, \underline{\mathrm{NS}}_{A/S}) \simeq \underline{N}^{\Gamma}, d'où \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y/S} \times \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, A')^{\tau}

\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y/S} \times A'^{\Gamma}

Par exemple, prenons \Gamma = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, opérant sur A par symétrie, B un autre schéma abélien, sur lequel \Gamma opère par translation par une section qui est partout d'ordre 2 exactement (i.e. une isom. de \Gamma_S \to B) — donc Y est également un schéma abélien sur S — alors \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} \simeq Y' \times {}_2A' On notera que \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} est plat sur S. En caractéristiques résiduelles \neq 2, \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} est ~~lisse~~ simple sur S. Mais il ne l'est pas en un pt s \in S de car. résiduelle 2. C'est l'exemple de Igusa [N.B. On peut prendre pour A, B des courbes elliptiques, surfaces. ~~Cette~~ ~~, on peut le supposer~~ On notera que H^1(X, \mathcal{O}_X) est de dimension égale : \dim B + \dim A alors que \dim \underline{\mathrm{Pic}}_{X/K} = \dim B. On retrouve que l'exemple ci-dessus donne lieu à des « sauts » pour le H^1(X, \mathcal{O}_X) égales caractéristiques. Dans ces exemples, \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}

également « Albanese » , schéma abélien.

[N.B. Je n'étais pas certain de , l'exemples qu'on la que B soit un schéma sur lequel \Gamma opère par translations. En effet, on a une suite exacte 0 \to \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S} \to \underline{\mathrm{Hom}}_S(B, \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{S\text{-gr}}(A, \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{B/S}) \to 0 sous \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S} deux mots, peut-être « applications constantes » ; sous le dernier terme, une accolade : « [correspondances divisorielles sur A \times B] » relations usitées sur B … d'où une suite exacte 0 \to \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}^{\Gamma} \to \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{S\text{-gr}}(A, \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{B/S})^{\Gamma} (et \Gamma opère trivialement sur \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{B/S}). Or supposons que A_{\Gamma} = 0 ensemblistement, alors \underline{\mathrm{Hom}}_{S\text{-gr}}(A, \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{B/S})^{\Gamma} = 0 [utilisant le fait que vérifié sur S], i.e. un S-schéma et il vient \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}^{\Gamma} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}) . Donc on aura (\ast)\qquad \begin{cases} \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} \times \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}^{\Gamma} \\ \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y/S} \times A'^{\Gamma} \end{cases} le crochet fermant qui suit est surchargé de traits On peut remarquer que , bien que A soit un schéma abélien, que \mathrm{Alb}(A) existe, et (\mathrm{Alb}(A))_{\Gamma} = 0 ensemblistement ….]

Calcul de p_*\underline{\Omega}^1_{X/S}

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "p"'] & A \times_S B \arrow[l, "\Gamma"'] \arrow[dl, "q"] \\ S & \end{tikzcd}

On aura p_*(\underline{\Omega}^1_{X/S}) = q_*(\underline{\Omega}^1_{A \times_S B})^{\Gamma} = \pi_{A*}(\underline{\Omega}^1_{A/S})^{\Gamma} \times \pi_{B*}(\underline{\Omega}^1_{B/S})^{\Gamma} Dans le cas plus haut où A et B sont des schémas abéliens, ~~on trouve~~ \Gamma opérant sur B par translations, on trouve \text{a)}\qquad \omega^1_{X/S} \simeq \omega^1_{B/S} \times {\omega^1_{A/S}}^{\Gamma} Si S est le spectre d'un corps k, pour comparer \operatorname{rang} H^1(X, \mathcal{O}_X) et \operatorname{rang}_k H^0(X, \Omega^1_{X/k}), on note ~~doit~~ que on aura \begin{aligned} &\text{a}')\quad H^0(X, \Omega^1_X) \simeq H^0(B, \Omega^1_B) \times H^0(A, \Omega^1_A)^{\Gamma} \\ &\text{b}')\quad H^1(X, \mathcal{O}_X) \simeq H^1(Y, \mathcal{O}_Y) \times \underbrace{H^1(A, \mathcal{O}_A)^{\Gamma}}_{t_{A'}^{\Gamma}} \end{aligned} donc comparant , on aura \operatorname{rang} H^1(X, \mathcal{O}_X) - \operatorname{rang} H^0(X, \Omega^1_{X/k}) = \dim t_{A'}^{\Gamma} - \dim (t_A)'^{\Gamma} Nous voulons donner des exemples où cette différence soit >0, ou <0, et ou [dans le cas d'une famille] ~~dans~~ les termes \dim (t_{A'})^{\Gamma} et \dim (t_A)'^{\Gamma} = ~~\dim~~ \dim (t_A)_{\Gamma} variant d'une valeur en particulier à l'autre [ [l'une spécialisant l'autre],

où A'^{\Gamma} n'est pas plat sur S, enfin où il n'y a pas de « bon » sous-schéma abélien des A'^{\Gamma}. Comme conséquence, on aura des exemples où 1°) la symétrie est fausse pour X dans l'une ou l'autre direction 2°) le thm de continuité est faux pour H^0(X, \Omega^1_X) et pour H^1(X, \mathcal{O}_X) 3°) \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} n'est pas plat sur S 4°) Il n'y a pas de « bon » sous-schéma abélien de \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}, en particulier « la formation du \mathrm{Pic} réduit n'est pas compatible avec la spécialisation ».

Un homomorphisme divisible par p sur la fibre spéciale seulement

Soit Y = \operatorname{Spec}(V), V anneau de valuation discrète, X schéma abélien sur Y, y_0, y_1 pt fermé resp. générique de Y, X_0, X_1 les deux fibres de X …, F, G deux sous-groupes de X, finis sur Y,

(i)F_1 \not\subset G_1, (ii)F_0 \subset G_0 \neq 0 (iii)pF_1 = G_1 (p = \operatorname{car} k(V))

les étiquettes sont écrites a), ii), iii) ; « iii) » surcharge une étiquette biffée, et l'indice de F dans (iii) surcharge un autre chiffre A = X/F , \qquad B = X/G , \qquad X \xrightarrow{\ \alpha\ } A , \quad X \xrightarrow{\ \beta\ } B \quad \text{hom.\ can.} Considérons p\beta : X \to X/G (canoniques) alors p\beta s'annule ~~sur pX, donc~~ sur F_1 en vertu de (iii), donc se factorise par u : X/F \to X/G

\begin{tikzcd} & X \arrow[dl, "\alpha"'] \arrow[dr, "p\beta"] & \\ A \arrow[rr, "u"] & & B \end{tikzcd}

~~Cependant~~ u_1 \notin p\,\mathrm{Hom}(A_1, B_1), car si plus dans \mathrm{Hom}(X_1, X_1) \otimes \mathbb{Q} \simeq \mathrm{Hom}(A_1, B_1) \otimes \mathbb{Q} , si on avait u = pv, on aurait v = \beta, or \beta ne provient d'un élément de \mathrm{Hom}(A_1, B_1), puisque F_1 \not\subset G_1 ~~[, (i)], F_1 = 0 , que contredit (ii)]~~. Cependant u_0 \in p\,\mathrm{Hom}(A_0, B_0), puisque F_0 \subset G_0. il écrit p\,\mathrm{Hom}(A_0, F_0) ; le F_0 est sans doute un lapsus pour B_0

Les conditions dites (i)(ii)(iii) peuvent être réalisées, en inégales car., avec pour X un produit de deux courbes elliptiques, en prenant X_0 sans pt d'ordre p, X_1 avec pt d'ordre p, et F_1 et G_1 deux s.-groupes de X_1, d'ordre p, p k(y_1) et distincts. Comme il n'y a

qu'un seul sous-groupe ~~fini~~ de {}_pX_0 d'ordre p sur k(y_0), on aura F_0 = G_0, d'où pour F_1 \subset G_1 et pF = 0 \subset G , considérons …,

A et B étant comme dessus, considérons C = A \times B' \qquad B' \text{ dual de } B et \underline{\mathrm{NS}}_{C/Y} \simeq \underline{\mathrm{NS}}_{A/Y} \times \underline{\mathrm{NS}}_{B/Y} \times \underline{\mathrm{Hom}}_{Y\text{-gr}}(A, B) . après \underline{\mathrm{NS}} un symbole biffé, puis une tache d'encre avant \simeq Alors u correspond à une section \bar u de \underline{\mathrm{NS}}_{C/Y} [dont les premières deux composantes sont nulles], et sur la fibre ~~générique~~ spéciale, on a \bar u_0 = p\bar v_0, mais on ne peut avoir \bar u = p\bar v car alors \bar v nécessairement aurait ses deux premières composantes nulles, donc proviendrait d'une section v de \underline{\mathrm{Hom}}_{Y\text{-gr}}(A, B), on a vu n'était pas possible ….

Structure de certains groupes divisibles

Les groupes de torsion divisibles M sont ceux qui sont isomorphes à des sommes directes de groupes \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p (p premier), ceux qui sont p-primaires sont ceux isomorphes à des groupes (\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^{(I)}, où le cardinal de I est bien déterminé ; c'est aussi la dimension de l'espace vectoriel sur \mathbb{F}_p {}_pM = \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, M) . la formule est encadrée ; à sa droite, deux lignes biffées : « ~~Les M groupes~~ » ~~torsion p primaires isomorphes~~ Conditions équivalentes : (i) M groupe de torsion p-primaire, et (ii) M isomorphe à un sous-groupe d'un {}_pM est fini écrit en oblique dans la marge de gauche : modules de Dieudonné … (\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^{\uncertain{n}}, entier \geq 0. (iii) M isomorphe à un groupe F + (\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^{\rho}, où F est un p-groupe de torsion fini, et \rho un entier fini. Sous ces conditions, \rho est défini de façon unique [c'est aussi le \operatorname{rang}_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}} p {}_pM^0, où M^0 est le plus grand sous-groupe divisible de M] ainsi que la structure de F [c'est M/M^0].

On peut le donner sous des façons différentes qui correspondent : M de type fini sur \mathbb{Z}_p. On peut poser T_p(M) = \mathrm{Hom}(M, \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p) = \varprojlim_n \mathrm{Hom}({}_{p^n}M, \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p) T_p foncteur contravariant en M [M \mapsto T_p(M) établit une antiéquivalence de la catégorie des M satisfaisant (i), et des modules de type fini sur \mathbb{Z}_p.] On peut prendre aussi T^p(M) = \varprojlim_n {}_{p^n}M T^p foncteur covariant en M où pour m \geq n, on envoie {}_{p^m}M dans {}_{p^n}M par p^{m-n}.

On a un isom. canonique T^p(M) = \mathrm{Hom}(T_p(M), \mathbb{Z}_p) On notera que a) T^p n'est pas un foncteur exact, mais seulement exact « modulo groupes finis ». b) T^p transforme les groupes finis en zéro c) De façon précise, T^p établit une équivalence des catégories « mod les groupes finis », i.e. essentiellement de celle des de dim. finie sur \mathbb{Q}_p.

Soit M \to N un homomorphisme de groupes de la forme (\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^n, et H un p-groupe fini. Conditions équivalentes :

(i)T_p(N) \to T_p(M) injectif : conoyau libre [i.e. isom. sur un facteur direct] (i bis)T_p(N) \otimes H \to T_p(M) \otimes H injectif (i ter)~~\mathrm{Tor}_1(…, H)~~, T_p(N)/pT_p(N) \to T_p(M)/pT_p(M) injectif (ii)T^p(M) \to T^p(N) surjectif (iii)M \to N induit sur un quotient facteur direct (iv){}_pM \to {}_pN est surjectif

Notes sur des feuillets dactylographiés

les pages 293, 296, 297 et 299 sont des notes de sa main écrites au verso ou en travers de feuilles dactylographiées sans rapport ; seules ses notes sont transcrites

en haut à droite, dans un cadre : X famille du premier ordre automatiquement \underline{\mathrm{Pic}}^{\sigma\sigma}_{X/S} existe l'exposant de \underline{\mathrm{Pic}} est douteux, peut-être \tau ou 0 \Updownarrow \check V \xrightarrow{\ \mu\ } H^1(X_0, \underline{\mathcal{T}}_{X_0}) \xrightarrow{\ u\ } H^1(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) \otimes t_{B_0} \simeq H^1(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) \otimes H^1(A_0, \mathcal{O}_{A_0}) \operatorname{Im} u\mu \subset \operatorname{Im} v, où v : H^1(A_0, \underline{\mathcal{T}}_{A_0}) \simeq t_{A_0} \otimes H^1(A_0, \mathcal{O}_{A_0}) \to H^1(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) \otimes H^1(A_0, \mathcal{O}_{A_0}) la flèche v est tracée verticalement, de bas en haut ; sa lettre est peu sûre

\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} plat sur S en x_0 \Downarrow H^1(X_0, \mathcal{O}^*_{X_0}) \xrightarrow{\ \partial\ } \mathrm{Hom}\bigl(H^1(X_0, \underline{\mathcal{T}}_{X_0}), H^2(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\bigr) \xrightarrow[\ \rho\ ]{} \mathrm{Hom}\bigl(\check V, H^2(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\bigr) au-dessus du dernier terme, il écrit « V \otimes H^2(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) » relié par \simeq ; le début du dernier terme surcharge un mot biffé illisible avec une flèche oblique d : H^1(X_0, \mathcal{O}^*_{X_0}) \to H^1(X_0, \underline{\Omega}^1_{X_0}) et une flèche verticale c, cup \vee, de H^1(X_0, \underline{\Omega}^1_{X_0}) vers le \mathrm{Hom} du milieu : \rho\partial(x) = 0 \iff \rho c(x) = 0

N.B. Cette condition est automatiquement vérifiée si les \xi^{(x_0)} \underline{\mathrm{Pic}}^{\sigma}_{X_0/k} , mais il est douteux que \underline{\mathrm{Pic}}^0_{X/K} soit pour autant plat sur S. écrit en oblique dans la marge de gauche : \underline{\mathrm{Pic}}^0_{X/K}(k) « divisible »

\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y} \simeq \hat A_1 \times \hat B^{\Gamma} \begin{aligned} H^1(Y, \mathcal{O}_Y) &\simeq H^1(A_1, \mathcal{O}_{A_1}) \times H^1(B, \mathcal{O}_B) \simeq t_{\hat A_1} \times t_{\hat B_\Gamma} \\ H^1(X, \mathcal{O}_X) &\simeq H^1(A, \mathcal{O}_A) \times H^1(B, \mathcal{O}_B) \end{aligned} une flèche marquée k descend sur \mathcal{O}_{A_1} ; entre les deux lignes, une flèche verticale suivie de deux mots biffés illisibles ; une longue flèche courbe part de la première ligne vers la droite, et un trait la relie au terme encerclé « H^1(B, \mathcal{O}_B) \otimes t_A », sous lequel \simeq t_{\hat B} H^1(Y, \underline{\mathcal{T}}_Y) = H^1(Y, \mathcal{O}_Y) \otimes (t_A \times t_B) \longrightarrow H^1(Y, \mathcal{O}_Y) \otimes t_{A_1} \longleftarrow t_{\hat A_1} \otimes t_{A_1} sous H^1(Y, \mathcal{O}_Y), « t_{\hat A_1} \times t_{\hat B} » ; au-dessus de t_{A_1}, « t_A » relié par \Vert ; sur la première flèche, deux mots : « naturellement fonctorielle : t_B » \downarrow H^1(X, \underline{\mathcal{T}}_X) = H^1(X, \mathcal{O}_X) \otimes (t_A \times t_B) (t_{\hat A} \times t_{\hat B}) \otimes (t_A \times t_B) , \qquad t_{\hat B} \otimes t_A , \quad t_{\hat B} \otimes t_B \hat A \leftarrow \hat A_1 , \qquad A \to A_1 , \qquad \hat A \leftarrow \hat A_1 t_A \otimes t_{\hat A} \rightleftarrows t_{A_1} \otimes t_{\hat A_1} 0 \to \mu_2 \to \underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{Y} \to \underline{\mathrm{Pic}}^{\Gamma}_{X} \to \mu_2 sous \underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{Y} : « \hat A_1 \times \hat B_{(2)} » ; sous \underline{\mathrm{Pic}}^{\Gamma}_{X}, relié par \simeq : « \hat A_1 \times \hat B_{(2)} », suivi d'un mot biffé ; l'indice de \hat A dans ce dernier terme est surchargé

Contre-exemples pour recollement

titre de sa main, en haut à droite de la page 297

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X_1 \amalg_Y X_2 & \\ X_1 \arrow[ur] & & X_2 \arrow[ul] \\ & Y \arrow[ul, "\varphi_1"] \arrow[ur, "\varphi_2"'] & \end{tikzcd}

sous le diagramme, « \varphi_i immersions » ; à droite, un second diagramme vertical : Y \rightrightarrows X_1 \amalg X_2 \to X_1 \amalg_Y X_2, marqué d'un astérisque

exemple : X_1 = X_2 = \operatorname{Spec} k[x, y] – origine \text{\struck{$Y = \operatorname{Spec} k[t]$ -- origine}} = \operatorname{Spec} k[t, t^{-1}] sous la ligne biffée, la lettre Z \varphi_1 défini par Y \to X défini par les équations : x = \struck{\ill{}}\, t, y = 0 ~~\varphi_2 Z \to X x = 1/t~~ ~~\varphi_2\psi = \varphi_1\psi … \psi~~ x = 1/t, y = 0 un passage de quatre lignes est biffé de longs traits ; dans la marge, une petite croix d'axes X' = X_1 \amalg X_2 \to

X = X_1 \amalg_Y X_2 \to

\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = …, \Gamma(X') formé des (f_1, f_2) tels que f_1 \circ\, \varphi_1 = f_2 \circ \varphi_2. Or \Gamma(X_i, \mathcal{O}_{X_i}) = k[x, y], et f_1(t, 0) = f_2(1/t, 0)

~~exige~~ dire g_1(t) = g_2(1/t) en gale une constante. Donc les

fonctions de Y ne sont pas séparés

On aussi variétés par le groupe \mathbb{Z}/2 [opérant sur X_1 \amalg X_2 par symétrie, écrit en oblique dans la marge : connexité ; irréductible … et sur Y par t \mapsto 1/t]

(X_1 \amalg_Y X_2)/\mathbb{Z}_2 X_1 affine. \uparrow X_1 \amalg X_2/\mathbb{Z}/2 \simeq X_1 X_1 \amalg_Y X_2/\mathbb{Z}_2 puis que X_1 \amalg_Y X_2 le serait .

Il faut cependant vérifier que H de X_1 \amalg_Y X_2 par \mathbb{Z}/2 affines c'est facile. D \mathfrak{X}, , recollés (\mathfrak{X} - D) \amalg (\mathfrak{X} - D) … l'argument se poursuit au-delà de la page 299 ; la page 300 est sans rapport et la suite, s'il y en a une, est hors de ce lot