Cote n° 57, pages 281–300

Cote n° 57 · batch 15 · pages 281–300 · Transcription · Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962).
Datation de l’inventaire : 1962-[vers 1968]
Édition de démonstration

Exemples

titre de sa main, seul mot d'une feuille par ailleurs blanche (p. 281)

Dévissage de $\underline{\mathrm{Pic}}$ pour un composé $X \to Y \to S$

282L'exemple produits

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\begin{tikzcd}[row sep=small]
X \arrow[d, "g"] \\
Y \arrow[d, "f"] \\
S
\end{tikzcd}

\[ 0 \to \mathrm{Pic}(Y) \to \mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(X/Y) \qquad \mathrm{Pic}(X/Y) = \Gamma(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/Y}/Y) \] sous $\mathrm{Pic}(X/Y)$, un second signe $=$ renvoie à une expression biffée, illisible, où se lit seulement $\underline{\mathrm{Pic}}$ indicé par $Y/S$ surjectif si $X/Y$ a une section.

Pourvu que $g$ soit qu.-cpt séparé et $\mathcal{O}_Y \xrightarrow{\sim} g_*(\mathcal{O}_X)$. Si cette dernière condition est $S$-universelle, alors pour faire un dévissage de […] quelconque $S' \to S$, et pour […] des […] […] « faisceaux » courants […] suite exacte de […] « préfaisceaux » […] […] une suite exacte \[ 0 \to \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to \textstyle\prod_{Y/S} \underline{\mathrm{Pic}}_{X/Y} , \] ainsi obtenue, […] […] avec d'ailleurs une suite ⌜et exacte⌝ à droite si $X/Y$ a une section. Dans ce cas les foncteurs […] représentables, […] […] […] \[ 0 \to \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to \textstyle\prod_{Y/S} \underline{\mathrm{Pic}}_{X/Y} \] où la dernière flèche a une section : […] […] si $X/Y$ a une section. Dans ce cas, on a donc \[ \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} \times \textstyle\prod_{Y/S} \underline{\mathrm{Pic}}_{X/Y} \] [Ceci s'applique en particulier, comme […], quand $X = Y \times_S Z$, $Z$ muni d'une section sur $S$ : \[ \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} \times \underline{\mathrm{Pic}}_{Z/S} \times \underline{\mathrm{Hom}}_{\text{pointés}}(Y, \underline{\mathrm{Pic}}_{Z/S}) \;] \] le dernier $\underline{\mathrm{Pic}}_{Z/S}$ porte un petit exposant, peut-être $\tau$, qui n'est pas sûr

Quotients $(A \times_S B)/\Gamma$

283Soit $S$ un préschéma de base, $A$ un schéma abélien sur $S$, $B$ un schéma […] sur $S$, $\Gamma$ un groupe fini, opérant sur $A$ par automorphismes et sur $B$ […], […] $\Gamma$ opère diagonalement sur $A \times B$ […] […] […] […], et […] […] $X = (A \times B)/\Gamma$ comme […] […] […] abélien sur $Y = B/\Gamma$. On a donc, si […] $X/Y$ […] une section, \[ \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} \times \textstyle\prod_{Y/S} \underline{\mathrm{Pic}}_{X/Y} , \] dans la marge de gauche, le diagramme du quotient, reproduit ci-dessous ; un trait oblique y relie aussi $B$ à $S$

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\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"'] & A \times_S B \arrow[l, "\Gamma"'] \arrow[d, "\mathrm{pr}_1"] \\
Y \arrow[d, "g"'] & B \arrow[l, "\Gamma"'] \\
S &
\end{tikzcd}

l'étiquette de la flèche verticale de droite se lit $\mathrm{pr}_1$, alors qu'il s'agit de la projection $A \times_S B \to B$ ; on la garde telle quelle si ($B \to S$ […]), […] disons […] […], et $A \to S$ projectif, on aura \[ \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} \times \textstyle\prod_{Y/S} \underline{\mathrm{Pic}}_{X/Y} , \qquad \textstyle\prod_{Y/S} \underline{\mathrm{Pic}}_{(A' \times B)/\Gamma} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}) \] la seconde formule est écrite en deux étages, l'accolade du haut portant $\prod_{Y/S} \underline{\mathrm{Pic}}_{(A' \times B)/\Gamma} \simeq$ et celle du bas $\simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S})$ ; le $A'$ dans la première est sa lecture, peut-être un lapsus pour $A$

Soit $A'$ le schéma abélien dual de $A$, sur lequel opère $\Gamma$ par « transport de structure », $A'^{\Gamma}$ est […] à fibres discrètes […] […] […] […] […] […] […] […] […] sur $S$ [[…] […] […] […] les opérations de $\Gamma$ […] […] $x \mapsto -x$] sur $B$ non […]. […] […] […] […] […] […] […] […] […] écrit \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, A')^{(\tau)} \simeq A'^{\Gamma} , \] d'où […]

écrit en travers de la marge de gauche : et $\underline{N}^{\Gamma}$ […] schéma […] fini, on a une suite exacte $0 \to \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, A') \to \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S})$ $\to \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, \underline{\mathrm{NS}}_{A/S}) \simeq \underline{N}^{\Gamma}$, d'où $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y/S} \times \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, A')^{\tau}$

284\[ \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y/S} \times A'^{\Gamma} \]

Par exemple, prenons $\Gamma = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, ⌜opérant sur $A$ par symétrie,⌝ $B$ un autre schéma abélien, sur lequel $\Gamma$ opère par translation par une section qui est partout d'ordre 2 exactement (i.e. […] […] une isom. de $\Gamma_S \to B$) — donc $Y$ est également un schéma abélien sur $S$ — alors \[ \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} \simeq Y' \times {}_2A' \] On notera que $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$ est plat sur $S$. En caractéristiques résiduelles $\neq 2$, $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$ est lisse simple sur $S$. Mais il ne l'est pas en un pt $s \in S$ de car. résiduelle 2. C'est l'exemple de Igusa [N.B. On peut prendre pour $A$, $B$ des courbes elliptiques, […] […] surfaces. Cette […] […], on peut le supposer On notera que $H^1(X, \mathcal{O}_X)$ est de dimension égale : \[ \dim B + \dim A \] alors que $\dim \underline{\mathrm{Pic}}_{X/K} = \dim B$. On retrouve que l'exemple ci-dessus donne lieu à des « sauts » pour le $H^1(X, \mathcal{O}_X)$ […] égales caractéristiques. Dans ces exemples, $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$ […]

285également […] « Albanese » […], […] schéma abélien.

[⌜N.B.⌝ Je n'étais pas certain de […], […] l'exemples qu'on […] la […] que $B$ soit un schéma […] sur lequel $\Gamma$ opère par translations. En effet, on a une suite exacte \[ 0 \to \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S} \to \underline{\mathrm{Hom}}_S(B, \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{S\text{-gr}}(A, \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{B/S}) \to 0 \] sous $\underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}$ deux mots, peut-être « applications constantes » ; sous le dernier terme, une accolade : « [correspondances divisorielles sur $A \times B$] » […] relations usitées sur $B$ … d'où une suite exacte \[ 0 \to \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}^{\Gamma} \to \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{S\text{-gr}}(A, \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{B/S})^{\Gamma} \] (et $\Gamma$ opère trivialement sur $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{B/S}$). Or […] supposons que $A_{\Gamma} = 0$ ensemblistement, alors \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{S\text{-gr}}(A, \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{B/S})^{\Gamma} = 0 \] [utilisant le fait que […] […] […] vérifié sur $S$], i.e. un $S$-schéma […] et il vient \[ \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}^{\Gamma} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{S,\Gamma}(B, \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}) . \] Donc on aura \[ (\ast)\qquad \begin{cases} \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} \times \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}^{\Gamma} \\ \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y/S} \times A'^{\Gamma} \end{cases} \] le crochet fermant qui suit est surchargé de traits On peut remarquer que […] […] […] […], […] bien que $A$ soit un schéma abélien, que $\mathrm{Alb}(A)$ existe, et $(\mathrm{Alb}(A))_{\Gamma} = 0$ ensemblistement ….]

Calcul de $p_*\underline{\Omega}^1_{X/S}$

286

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\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "p"'] & A \times_S B \arrow[l, "\Gamma"'] \arrow[dl, "q"] \\
S &
\end{tikzcd}

On aura \[ p_*(\underline{\Omega}^1_{X/S}) = q_*(\underline{\Omega}^1_{A \times_S B})^{\Gamma} = \pi_{A*}(\underline{\Omega}^1_{A/S})^{\Gamma} \times \pi_{B*}(\underline{\Omega}^1_{B/S})^{\Gamma} \] Dans le cas plus haut où $A$ et $B$ sont des schémas abéliens, on trouve $\Gamma$ opérant sur $B$ par translations, on trouve \[ \text{a)}\qquad \omega^1_{X/S} \simeq \omega^1_{B/S} \times {\omega^1_{A/S}}^{\Gamma} \] Si $S$ est le spectre d'un corps $k$, pour comparer […] $\operatorname{rang} H^1(X, \mathcal{O}_X)$ et […] $\operatorname{rang}_k H^0(X, \Omega^1_{X/k})$, on note doit que […] […] […] on aura \[ \begin{aligned} &\text{a}')\quad H^0(X, \Omega^1_X) \simeq H^0(B, \Omega^1_B) \times H^0(A, \Omega^1_A)^{\Gamma} \\ &\text{b}')\quad H^1(X, \mathcal{O}_X) \simeq H^1(Y, \mathcal{O}_Y) \times \underbrace{H^1(A, \mathcal{O}_A)^{\Gamma}}_{t_{A'}^{\Gamma}} \end{aligned} \] donc comparant […] […] […], on aura \[ \operatorname{rang} H^1(X, \mathcal{O}_X) - \operatorname{rang} H^0(X, \Omega^1_{X/k}) = \dim t_{A'}^{\Gamma} - \dim (t_A)'^{\Gamma} \] Nous voulons donner des exemples où cette différence soit $>0$, ou $<0$, et ou […] [dans le cas d'une famille] dans ⌜les⌝ termes $\dim (t_{A'})^{\Gamma}$ et $\dim (t_A)'^{\Gamma} =$ $\dim$ $\dim (t_A)_{\Gamma}$ variant d'une valeur en particulier à l'autre [[…] [l'une spécialisant l'autre],

287où $A'^{\Gamma}$ n'est pas plat sur $S$, enfin où il n'y a pas de « bon » sous-schéma abélien des $A'^{\Gamma}$. Comme conséquence, on aura des exemples où 1°) la symétrie est fausse pour $X$ dans l'une ou l'autre direction 2°) le thm de continuité est faux pour $H^0(X, \Omega^1_X)$ et pour $H^1(X, \mathcal{O}_X)$ 3°) $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$ n'est pas plat sur $S$ 4°) Il n'y a pas de « bon » sous-schéma abélien de $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$, en particulier « la formation du $\mathrm{Pic}$ réduit n'est pas compatible avec la spécialisation ».

Un homomorphisme divisible par $p$ sur la fibre spéciale seulement

288Soit $Y = \operatorname{Spec}(V)$, $V$ anneau de valuation discrète, $X$ schéma abélien sur $Y$, $y_0$, $y_1$ pt fermé resp. générique de $Y$, $X_0$, $X_1$ les deux fibres de $X$ …, $F$, $G$ deux sous-groupes de $X$, finis sur $Y$,

(i)$F_1 \not\subset G_1$, […]
(ii)$F_0 \subset G_0 \neq 0$
(iii)$pF_1 = G_1$ ($p = \operatorname{car} k(V)$)

les étiquettes sont écrites a), ii), iii) ; « iii) » surcharge une étiquette biffée, et l'indice de $F$ dans (iii) surcharge un autre chiffre \[ A = X/F , \qquad B = X/G , \qquad X \xrightarrow{\ \alpha\ } A , \quad X \xrightarrow{\ \beta\ } B \quad \text{hom.\ can.} \] Considérons $p\beta : X \to X/G$ (canoniques) alors $p\beta$ s'annule sur $pX$, donc sur $F_1$ ⌜en vertu de (iii)⌝, donc se factorise par $u : X/F \to X/G$

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\begin{tikzcd}
& X \arrow[dl, "\alpha"'] \arrow[dr, "p\beta"] & \\
A \arrow[rr, "u"] & & B
\end{tikzcd}

Cependant $u_1 \notin p\,\mathrm{Hom}(A_1, B_1)$, car […] si plus dans \[ \mathrm{Hom}(X_1, X_1) \otimes \mathbb{Q} \simeq \mathrm{Hom}(A_1, B_1) \otimes \mathbb{Q} , \] si on avait $u = pv$, on aurait $v = \beta$, or $\beta$ ne provient […] d'un élément de $\mathrm{Hom}(A_1, B_1)$, puisque $F_1 \not\subset G_1$ [[…], […] (i)], […] $F_1 = 0$ […] […], […] que contredit (ii)]. Cependant $u_0 \in p\,\mathrm{Hom}(A_0, B_0)$, puisque $F_0 \subset G_0$. il écrit $p\,\mathrm{Hom}(A_0, F_0)$ ; le $F_0$ est sans doute un lapsus pour $B_0$

Les conditions dites (i)(ii)(iii) peuvent être réalisées, en inégales car., avec pour $X$ un produit de deux courbes elliptiques, en prenant $X_0$ sans pt d'ordre $p$, $X_1$ avec pt d'ordre $p$, et $F_1$ et $G_1$ deux s.-groupes de $X_1$, […] […] ⌜d'ordre $p$, […] $p$ […] $k(y_1)$ et⌝ distincts. Comme il n'y a

289qu'un seul sous-groupe fini de ${}_pX_0$ d'ordre $p$ sur $k(y_0)$, on aura $F_0 = G_0$, d'où […] pour $F_1 \subset G_1$ et $pF = 0 \subset G$ […] […], considérons …,

$A$ et $B$ étant comme dessus, considérons \[ C = A \times B' \qquad B' \text{ dual de } B \] et \[ \underline{\mathrm{NS}}_{C/Y} \simeq \underline{\mathrm{NS}}_{A/Y} \times \underline{\mathrm{NS}}_{B/Y} \times \underline{\mathrm{Hom}}_{Y\text{-gr}}(A, B) . \] après $\underline{\mathrm{NS}}$ un symbole biffé, puis une tache d'encre avant $\simeq$ Alors $u$ correspond à une section $\bar u$ de $\underline{\mathrm{NS}}_{C/Y}$ [dont les premières deux composantes sont nulles], et sur la fibre générique spéciale, on a $\bar u_0 = p\bar v_0$, mais on ne peut avoir $\bar u = p\bar v$ car alors $\bar v$ nécessairement aurait ses deux premières composantes nulles, donc proviendrait d'une section $v$ de $\underline{\mathrm{Hom}}_{Y\text{-gr}}(A, B)$, […] on a vu n'était pas possible ….

Structure de certains groupes divisibles

290[…] Les […] groupes de torsion divisibles $M$ sont ceux qui sont isomorphes à des sommes directes de groupes $\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ ($p$ premier), ceux qui sont $p$-primaires sont ceux isomorphes à des […] […] […] groupes $(\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^{(I)}$, où le cardinal de $I$ est bien déterminé ; c'est aussi la dimension de l'espace vectoriel sur $\mathbb{F}_p$ \[ {}_pM = \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, M) . \] la formule est encadrée ; à sa droite, deux lignes biffées : « Les […] $M$ […] groupes […] […] » torsion $p$ primaires […] […] […] […] isomorphes Conditions équivalentes : (i) $M$ groupe de torsion $p$-primaire, et (ii) $M$ isomorphe à un sous-groupe d'un […] […] […] […] ${}_pM$ est fini écrit en oblique dans la marge de gauche : modules […] […] […] de Dieudonné … $(\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^{\uncertain{n}}$, […] […] […] […] […] entier $\geq 0$. (iii) $M$ isomorphe à un groupe $F + (\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^{\rho}$, où $F$ est un $p$-groupe de torsion fini, et $\rho$ un entier fini. Sous ces conditions, $\rho$ est défini de façon unique [c'est aussi le $\operatorname{rang}_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}$ $p$ ${}_pM^0$, où $M^0$ est le plus grand sous-groupe divisible de $M$] ainsi que la structure de $F$ [c'est $M/M^0$].

On peut le donner sous des façons différentes qui correspondent […] : $M$ […] […] […] de type fini sur $\mathbb{Z}_p$. On peut poser \[ T_p(M) = \mathrm{Hom}(M, \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p) = \varprojlim_n \mathrm{Hom}({}_{p^n}M, \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p) \] $T_p$ foncteur contravariant en $M$ [$M \mapsto T_p(M)$ établit une ⌜anti⌝équivalence de la catégorie des $M$ satisfaisant (i), et des modules de type fini sur $\mathbb{Z}_p$.] On peut prendre aussi \[ T^p(M) = \varprojlim_n {}_{p^n}M \] $T^p$ foncteur covariant en $M$ où pour $m \geq n$, on envoie ${}_{p^m}M$ dans ${}_{p^n}M$ par $p^{m-n}$.

291On a un isom. canonique \[ T^p(M) = \mathrm{Hom}(T_p(M), \mathbb{Z}_p) \] On notera que a) $T^p$ n'est pas un foncteur exact, mais seulement exact « modulo groupes finis ». b) $T^p$ transforme […] les groupes finis […] en zéro […] c) De façon précise, $T^p$ établit une […] équivalence des catégories « mod les groupes finis », i.e. essentiellement de celle des […] […] […] […] de dim. finie sur $\mathbb{Q}_p$.

Soit $M \to N$ un homomorphisme de groupes de la forme $(\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^n$, et $H$ un $p$-groupe fini. Conditions équivalentes :

(i)$T_p(N) \to T_p(M)$ injectif : conoyau libre [i.e. isom. sur un facteur direct]
(i bis)$T_p(N) \otimes H \to T_p(M) \otimes H$ injectif
(i ter)$\mathrm{Tor}_1(…, H)$, $T_p(N)/pT_p(N) \to T_p(M)/pT_p(M)$ injectif
(ii)$T^p(M) \to T^p(N)$ surjectif
(iii)$M \to N$ induit sur un quotient facteur direct
(iv)${}_pM \to {}_pN$ est surjectif

Notes sur des feuillets dactylographiés

les pages 293, 296, 297 et 299 sont des notes de sa main écrites au verso ou en travers de feuilles dactylographiées sans rapport ; seules ses notes sont transcrites

293en haut à droite, dans un cadre : $X$ famille du premier ordre […] automatiquement […] $\underline{\mathrm{Pic}}^{\sigma\sigma}_{X/S}$ existe l'exposant de $\underline{\mathrm{Pic}}$ est douteux, peut-être $\tau$ ou $0$ \[ \Updownarrow \] \[ \check V \xrightarrow{\ \mu\ } H^1(X_0, \underline{\mathcal{T}}_{X_0}) \xrightarrow{\ u\ } H^1(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) \otimes t_{B_0} \simeq H^1(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) \otimes H^1(A_0, \mathcal{O}_{A_0}) \] $\operatorname{Im} u\mu \subset \operatorname{Im} v$, où \[ v : H^1(A_0, \underline{\mathcal{T}}_{A_0}) \simeq t_{A_0} \otimes H^1(A_0, \mathcal{O}_{A_0}) \to H^1(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) \otimes H^1(A_0, \mathcal{O}_{A_0}) \] la flèche $v$ est tracée verticalement, de bas en haut ; sa lettre est peu sûre

$\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$ plat sur $S$ en $x_0$ \[ \Downarrow \] \[ H^1(X_0, \mathcal{O}^*_{X_0}) \xrightarrow{\ \partial\ } \mathrm{Hom}\bigl(H^1(X_0, \underline{\mathcal{T}}_{X_0}), H^2(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\bigr) \xrightarrow[\ \rho\ ]{} \mathrm{Hom}\bigl(\check V, H^2(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\bigr) \] au-dessus du dernier terme, il écrit « $V \otimes H^2(X_0, \mathcal{O}_{X_0})$ » relié par $\simeq$ ; le début du dernier terme surcharge un mot biffé illisible avec une flèche oblique $d : H^1(X_0, \mathcal{O}^*_{X_0}) \to H^1(X_0, \underline{\Omega}^1_{X_0})$ et une flèche verticale $c$, cup $\vee$, de $H^1(X_0, \underline{\Omega}^1_{X_0})$ vers le $\mathrm{Hom}$ du milieu : \[ \rho\partial(x) = 0 \iff \rho c(x) = 0 \]

N.B. Cette condition est automatiquement vérifiée si les $\xi^{(x_0)}$ […] […] $\underline{\mathrm{Pic}}^{\sigma}_{X_0/k}$ […], mais il est douteux que $\underline{\mathrm{Pic}}^0_{X/K}$ soit pour autant plat sur $S$. écrit en oblique dans la marge de gauche : $\underline{\mathrm{Pic}}^0_{X/K}(k)$ […] « divisible »

296\[ \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y} \simeq \hat A_1 \times \hat B^{\Gamma} \] \[ \begin{aligned} H^1(Y, \mathcal{O}_Y) &\simeq H^1(A_1, \mathcal{O}_{A_1}) \times H^1(B, \mathcal{O}_B) \simeq t_{\hat A_1} \times t_{\hat B_\Gamma} \\ H^1(X, \mathcal{O}_X) &\simeq H^1(A, \mathcal{O}_A) \times H^1(B, \mathcal{O}_B) \end{aligned} \] une flèche marquée $k$ descend sur $\mathcal{O}_{A_1}$ ; entre les deux lignes, une flèche verticale suivie de deux mots biffés illisibles ; une longue flèche courbe part de la première ligne vers la droite, et un trait la relie au terme encerclé « $H^1(B, \mathcal{O}_B) \otimes t_A$ », sous lequel $\simeq t_{\hat B}$ \[ H^1(Y, \underline{\mathcal{T}}_Y) = H^1(Y, \mathcal{O}_Y) \otimes (t_A \times t_B) \longrightarrow H^1(Y, \mathcal{O}_Y) \otimes t_{A_1} \longleftarrow t_{\hat A_1} \otimes t_{A_1} \] sous $H^1(Y, \mathcal{O}_Y)$, « $t_{\hat A_1} \times t_{\hat B}$ » ; au-dessus de $t_{A_1}$, « $t_A$ » relié par $\Vert$ ; sur la première flèche, deux mots : « naturellement fonctorielle […] : $t_B$ » \[ \downarrow \] \[ H^1(X, \underline{\mathcal{T}}_X) = H^1(X, \mathcal{O}_X) \otimes (t_A \times t_B) \] \[ (t_{\hat A} \times t_{\hat B}) \otimes (t_A \times t_B) , \qquad t_{\hat B} \otimes t_A , \quad t_{\hat B} \otimes t_B \] \[ \hat A \leftarrow \hat A_1 , \qquad A \to A_1 , \qquad \hat A \leftarrow \hat A_1 \] \[ t_A \otimes t_{\hat A} \rightleftarrows t_{A_1} \otimes t_{\hat A_1} \] \[ 0 \to \mu_2 \to \underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{Y} \to \underline{\mathrm{Pic}}^{\Gamma}_{X} \to \mu_2 \] sous $\underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{Y}$ : « $\hat A_1 \times \hat B_{(2)}$ » ; sous $\underline{\mathrm{Pic}}^{\Gamma}_{X}$, relié par $\simeq$ : « $\hat A_1 \times \hat B_{(2)}$ », suivi d'un mot biffé ; l'indice de $\hat A$ dans ce dernier terme est surchargé

Contre-exemples pour recollement

titre de sa main, en haut à droite de la page 297

297

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& X_1 \amalg_Y X_2 & \\
X_1 \arrow[ur] & & X_2 \arrow[ul] \\
& Y \arrow[ul, "\varphi_1"] \arrow[ur, "\varphi_2"'] &
\end{tikzcd}

sous le diagramme, « $\varphi_i$ immersions » ; à droite, un second diagramme vertical : $Y \rightrightarrows X_1 \amalg X_2 \to X_1 \amalg_Y X_2$, marqué d'un astérisque

exemple : $X_1 = X_2 = \operatorname{Spec} k[x, y]$ – origine \[ \text{\struck{$Y = \operatorname{Spec} k[t]$ -- origine}} = \operatorname{Spec} k[t, t^{-1}] \] sous la ligne biffée, la lettre $Z$ $\varphi_1$ défini par […] $Y \to X$ défini par les équation[s] : $x = \struck{\ill{}}\, t$, $y = 0$ $\varphi_2$ […] $Z \to X$ […] $x = 1/t$ […] $\varphi_2\psi = \varphi_1\psi$ … $\psi$ $x = 1/t$, $y = 0$ un passage de quatre lignes est biffé de longs traits ; dans la marge, une petite croix d'axes $X' = X_1 \amalg X_2 \to$ […]

$X = X_1 \amalg_Y X_2 \to$ […]

$\Gamma(X, \mathcal{O}_X) =$ […] …, $\Gamma(X')$ formé des $(f_1, f_2)$ tels que $f_1$ […] $\circ\, \varphi_1 = f_2 \circ \varphi_2$. Or $\Gamma(X_i, \mathcal{O}_{X_i}) = k[x, y]$, et […] […] $f_1(t, 0) = f_2(1/t, 0)$

299[…] […] exige ⌜dire⌝ $g_1(t) = g_2(1/t)$ en […] […] g[al]e une constante. Donc les

fonctions de $Y$ ne sont pas séparés […]

On […] aussi […] […] variétés par le groupe $\mathbb{Z}/2$ [opérant sur $X_1 \amalg X_2$ par symétrie, écrit en oblique dans la marge : connexité ; irréductible … et sur $Y$ par $t \mapsto 1/t$] […]

[…] \[ (X_1 \amalg_Y X_2)/\mathbb{Z}_2 \] […] $X_1$ […] affine. \[ \uparrow \] \[ X_1 \amalg X_2/\mathbb{Z}/2 \simeq X_1 \] […] […] $X_1 \amalg_Y X_2/\mathbb{Z}_2$ puis que $X_1 \amalg_Y X_2$ le serait […].

Il faut cependant vérifier que $H$ […] ⌜[…]⌝ […] de $X_1 \amalg_Y X_2$ par $\mathbb{Z}/2$ […] […] […] […] affines c'est facile. ⌜[…] […]⌝ […] […] […] […] $D$ […] $\mathfrak{X}$, […] […] […] […] […], recollés $(\mathfrak{X} - D) \amalg (\mathfrak{X} - D)$ … l'argument se poursuit au-delà de la page 299 ; la page 300 est sans rapport et la suite, s'il y en a une, est hors de ce lot

Exemples

Dévissage de \(\underline{\mathrm{Pic}}\) pour un composé \(X \to Y \to S\)

Quotients \((A \times_S B)/\Gamma\)

Calcul de \(p_*\underline{\Omega}^1_{X/S}\)

Un homomorphisme divisible par \(p\) sur la fibre spéciale seulement

Structure de certains groupes divisibles

Notes sur des feuillets dactylographiés

Contre-exemples pour recollement