Fonds Grothendieck, cote n° 57, pages 261–280

le raisonnement commence avant ce lot : les numéros 1.7 à 1.11 renvoient à un § 1 qui n'est pas dans ces pages

Démonstration algébrique du celle qui sont dans le cas algébrique sans outils de RR analytique …

Remarque 1.10. Bien , les conditions 1.8 (ou = 1.9.) f projectif (problèmes). Il signale ainsi suivant.

\exists partie discrète T de Y telle que

a)X|(Y-T) \to Y-T ~~fini~~ soit un isom. ; b)les anneaux locaux \mathcal{O}_{Y,y} (y \in T) soient factoriels.

En effet, facile de construire un , analytique Y, dans < T, tel que X, soit Y-isomorphe l'origine à « éclatement » Y générique « éclater » \Sigma.

Remarque 1.11. Sur les variétés analytiques-formelles et algébriques formelles du envisagé. Je fournir cette dernière une démonstration purement algébrique, utilisant \underline{\mathrm{Pic}}, et de Néron.

§ 2. Application à la géométrie algébrique ou analytique.

« §2 » est encadré ; le titre est de sa main

Th. 2.1. Soient A une algèbre analytique sur \mathbf{C}, Y = \operatorname{Spec} A, X un schéma propre sur Y, \hat{Y} = \operatorname{Spf} \hat{A}, \hat{X} = X \times_Y \hat{Y}, de sorte que [cf. ] \mathrm{Pic}(\hat{X}) \simeq \varprojlim \mathrm{Pic}(X_n). Alors

(i)(\mathrm{Pic}(X_n))_n satisfait ML ; (ii)\mathrm{Pic}(X) et \mathrm{Pic}(\hat{X}) ont même image dans \mathrm{Pic}(X_n) [savoir les images universelles] ; (iii)Pour que \varphi : \mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(\hat{X}) soit un isom., il suffit que H^1(X, \mathcal{O}_X) soit de longueur finie sur A, i.e. que \operatorname{Supp} R^1 f_*(\mathcal{O}_X) \subset \{y\} (y le pt fermé de Y).

de génération ~~relations~~ ou formule des cas la note marginale est reliée par une flèche à (i)

~~projectif (\mathrm{Pic}(X_n)) soit cst.~~ une ligne et demie barrée de traits obliques et encadrée

Notons de suite le corollaire suivant ~~conséquence~~ de (i) et (ii)

Corollaire 2.2. Conditions équivalentes

(i)X est projectif sur Y (ii)\hat{X} est projectif sur \hat{Y}, i.e. X \otimes_A \operatorname{Spec}(\hat{A}) projectif sur \operatorname{Spec} \hat{A} (iii)Pour tout entier n, X_n est projectif sur Y_n.

Évidemment (i) \Rightarrow (ii) \Rightarrow (iii). Prouvons (iii) \Rightarrow (i). Soit n_0 tel que l'image de \mathrm{Pic}(X_{n_0}) \to \mathrm{Pic}(X_0) soit universelle. Soit L_{n_0} Module inversible sur X_{n_0} ample L_0 = L_{n_0}|X_0 relativement /Y_{n_0}. Donc \mathcal{E} se remonte et 2.1. (ii) ~~Je prends d'un~~ module inversible \mathcal{E} sur \hat{X}, donc en vertu de 2.1. (ii) il provient aussi d'un module inversible ample L sur X. Le dernier est ample en vertu de EGA III. Cqfd.

Notons maintenant que 2.1. se déduit aisément de 1.7. par la GAGA de Serre-Grauert-Remmert-Grothendieck.

Corollaire 2.3. Supposons \dim X_0 \leqslant 1. Alors X est projectif sur Y. chacun des corollaires 2.3 et 2.4 est marqué d'un trait vertical à gauche

Corollaire 2.4. Soit A une algèbre analytique et réduite, normale soit Y = \operatorname{Spec} A, supposons Y à singularité isolée soient \tilde{Y} = \operatorname{Spec}(\hat{A}), y (\tilde{y}) le pt fermé de A. Alors l'hom. \mathrm{Pic}(Y_y) \longrightarrow \mathrm{Pic}(\tilde{Y}_{\tilde{y}}) \quad \text{est un \add{\emph{iso}}\struck{\emph{monomorphisme}}morphisme.} les variantes « et réduit », « Supposons Y à singularité isolée » sont ajoutées au-dessus de la ligne et encadrées ; l'ordre de lecture des insertions n'est pas sûr

~~Cet hom. est injectif~~

On peut supposer que les singularités isolées de Y soient de dim. \geqslant 2. Alors, toute classe de module inversible E' sur Y' = Y - \{y\}, i_*(E') est coh. (où i : Y' \to Y l'immersion can.). En particulier, i_*(\mathcal{O}_{Y'}) est cohérent, donc une algèbre A' finie sur A. ~~Remarquons que~~ Cette dernière remarque s'applique aussi à Y_1 fini sur Y, réduit, tel que Y'_1 = Y_1|Y' \to Y' soit un isom., [donc \tilde{Y}'_1 = Y_1|\tilde{Y}' \to \tilde{Y}' est un isom.], ~~\Gamma(~~ et \Gamma(Y_1) \to \Gamma(Y'_1) \quad \text{est un \uncertain{isom.}} Cela nous ramène au cas où \Gamma(Y_1) \to \Gamma(Y') est un isom., i.e. où prof A \geqslant 2. Un raisonnement facile déjà vu cas où A est non normal dans la marge gauche, une figure en éventail : quatre triangles adjacents partant d'un même sommet, coupés par un arc

(comme plus haut dans le cas précédent) montre que \mathrm{Pic}(Y') \to \mathrm{Pic}(\tilde{Y}') \quad\text{est \emph{injectif}.} Reste à prouver la surjectivité. Pour ceci, on utilise la résolution des singularités (Hironaka) : il existe X \to Y morphisme propre dominant, X non singulier, tel que X' = X|Y' \xrightarrow{\ \sim\ } Y', et X = \overline{X'}. Donc on a \mathrm{Pic}(\text{\struck{$X$}}\,Y') \simeq \mathrm{Pic}(X') \simeq \mathrm{Pic}(X)/I \simeq \mathbf{Z}^{I} où I est l'ensemble des comp. irréd. de X - X' = X_0. On a aussi de même [notant que \tilde{X} = X \times_Y \tilde{Y} est régulier, en plus de est régulier sur X puisque est régulier] \mathrm{Pic}(\tilde{Y}') \simeq \mathrm{Pic}(\tilde{X}') \simeq \mathrm{Pic}(\tilde{X})/I \simeq \mathbf{Z}^{I} On conclut par le th. 2.1. (iii) qui donne \mathrm{Pic}(\tilde{X}) \simeq \mathrm{Pic}(X), d'où la conclusion voulue. l'écriture « \mathbf{Z}^{I} » suit la page ; dans ces deux formules le quotient « /I » est à entendre comme quotient par le sous-groupe engendré par les composantes

Questions. Soit A un anneau local excellent noethérien. On suppose A hensélien, et un « bon anneau », i.e. \operatorname{Spec}\hat{A} \to \operatorname{Spec} A est universellement régulier. Soit X propre sur A, et \hat{X} = X \otimes_A \hat{A}.

(i)Est-il vrai que les images universelles dans \mathrm{Pic}(X_n) [dans un sens évident] de \operatorname{Im}(\mathrm{Pic}(\hat{X}) \to \mathrm{Pic}(X_n)) est dans \operatorname{Im}(\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(X_n)) ? En particulier, si \hat{X}/\hat{Y} est projectif, est-il vrai que X/Y est projectif ? p. ex. l'anneau hensélisé d'un anneau local de la géom. alg. sur \mathbf{C} ? (ii)Supposons que \operatorname{Supp} R^1 f_*(\mathcal{O}_X) \subset \{y\}, p. ex. X|(Y-\{y\}) \xrightarrow{\ \sim\ } Y - \{y\}. Est-il vrai alors que \mathrm{Pic}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Pic}(\hat{X}) \ ?? (iii)~~N.B.~~ Supposons que Y soit à singularité isolée en y. Est-il vrai que \mathrm{Pic}(Y - \{y\}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Pic}(\hat{Y} - \{\hat{y}\})

[Si (ii) est vrai, et si on peut désingulariser, alors (iii) est vrai …]. Comment démontrer ici à moins que l'idéal de sing (Y), dans le cas des anneaux alg. analytiques ? What does Murre do in « Publications » p. 16 iiiitis ?? chiar la note marginale, en anglais, est écrite en oblique dans la marge gauche et rattachée par une accolade aux questions (ii) et (iii) ; « Publications » renvoie sans doute aux Publications mathématiques de l'IHÉS une grande boucle relie « universellement régulier » et la fin de (i) : la phrase sur l'anneau hensélisé semble être un exemple ajouté pour la question (i)

Schémas de Néron-Severi. Polarisation

titre de sa main, écrit seul en haut d'un feuillet par ailleurs blanc (p. 273) : « Schémas de Néron-Severi », et au-dessus « Polarisation ». Les pages qui suivent sont sur un autre papier, blanc, et d'une autre encre que les pages 261 à 271

dans ces pages, les foncteurs et préschémas soulignés par lui sont rendus par \underline{\mathrm{Pic}}, \underline{\mathrm{N\acute{e}r}} (un trait) et \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}, \underline{\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}} (deux traits), comme sur la page ; l'exposant noté ici {}^{*} est un petit signe dont la forme n'est pas sûre Définition. X préschéma sur S. Un élément \xi de \mathrm{Pic}(X/S) est dit numériquement équivalent à 0 si sa restriction à toute fibre X_s est numériquement équivalente à zéro [i.e. un multiple d'icelle peut se déformer dans 0]. Deux éléments \xi, \xi' de \mathrm{Pic}(X/S) sont dits numériquement équivalents si \xi - \xi' est numériquement équivalent à 0.

Soit \mathrm{Pic}^{\tau}(X/S) \subset \mathrm{Pic}^{*}(X/S) l'ensemble des \xi numériquement équivalents à 0, et \mathrm{N\acute{e}r}'(X/S) = \mathrm{Pic}(X/S)/\mathrm{Pic}^{\tau}(X/S). Notons : si ~~S' \to S est fid. plat [et quasi-compact] et~~ S' \to S est un changement de base, d'où \mathrm{Pic}(X/S) \to \mathrm{Pic}(X'/S'), il induit \mathrm{Pic}^{\tau}(X/S) \to \mathrm{Pic}^{\tau}(X'/S'), et si S' \to S est surjectif, alors ~~un élément \xi de~~ \mathrm{Pic}^{\tau}(X/S) est exactement l'image inverse de \mathrm{Pic}^{\tau}(X'/S') par \mathrm{Pic}^{*}(X/S) \to \mathrm{Pic}(X'/S'), d'où dans ce cas \mathrm{N\acute{e}r}'(X/S) \longrightarrow \mathrm{N\acute{e}r}'(X'/S') \quad\text{est \emph{injectif}.}

le carré qui suit est dessiné dans la marge gauche, en face du changement de base

\begin{tikzcd} X \arrow[d] & X' \arrow[l] \arrow[d] \\ S & S' \arrow[l] \end{tikzcd}

Considérons S' \mapsto \mathrm{N\acute{e}r}'(X'/S') comme foncteur contravariant (\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} \longrightarrow (\mathrm{Ens}), et rendons-le exact pour les morphismes fid. plats loc. de type ~~quasi-compacts~~ fini [donc pour la localisation habituelle aussi]. On trouve un foncteur S' \mapsto \mathrm{N\acute{e}r}(X'/S'), et en particulier un ensemble \mathrm{N\acute{e}r}(X/S), ensemble des polarisations de X sur S.

Interprétation lorsque \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} existe, (\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} ouvert !). Alors la donnée d'un élément de \mathrm{Pic}''(X/S) équivaut à la donnée d'un sous-préschéma ouvert P de \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} qui soit un fibré principal homogène trivial sous \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}. Alors \mathrm{N\acute{e}r}(X/S) est l'ensemble des sous-préschémas ~~\longrightarrow~~ de \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} qui sont formellement principaux homogènes P ~~sous~~ sous \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}, et par catégorie loc. de type fini. [N.B. ~~Lorsque~~ Ces sous-préschémas sont nécessairement ouverts. Si \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} est plat et de type fini sur S, alors la condition sous P qu'on vient de mettre signifie aussi que P est fid. plat et de type fini sur S]. Par suite, de type fini ?

~~dire que lorsque~~

Proposition. Supposons que \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} existe, et que \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} soit fid. plat [de type fini] sur S. Pour que le foncteur \mathrm{N\acute{e}r}_{X/S} dans (\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} soit représentable, il f. et s. que le quotient \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}_{X/S} = \underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{X/S}/\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} existe, et ~~alors~~ que \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}_{X/S} soit fid. plat ~~et quasi-compact~~ et de type fini de noyau \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}, la proposition est encadrée d'un trait vertical à gauche, et la phrase continue en haut de la page suivante

et alors \underline{\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}}_{X/S} est représenté par \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}_{X/S}.

Corollaire 1. S'il en est ainsi, \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}_{X/S} est ~~représenté~~ séparé ssi \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} est fermé dans \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}. En tout cas, \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}_{X/S} est non ramifié sur S.

Corollaire 2. Supposons que \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} soit propre et plat sur S, et que \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} soit réunion croissante d'ouverts U_i stables par \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} et quasi-projectifs sur S. [Cette dernière condition est conséquence de \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} de type fini sur S, dans le cas où X est projectif, plat, universellement (et primaire sur S]. Alors \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}_{X/S} existe et est séparé non ramifié sur S. La première condition vérifiée de X/S sans torsion des \mathrm{Pic}^0 propres… les deux corollaires sont marqués chacun d'un trait vertical à gauche

Il semble que dès que \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} est plat et fermé dans \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} sur S, \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}_{X/S} doive exister : c'est lié à la question de la caractérisation des foncteurs représentables par un objet non ramifié sur S … . Au commencement ! [À vrai dire, même l'existence de \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} ne semble pas indispensable !] ? l'insertion « et fermé dans \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} » est entourée et rattachée par un trait ; le paragraphe est marqué en marge d'un trait vertical et d'un point d'interrogation

Schémas polarisés

Soit X projectif sur S loc. noeth., plat et Steinien, ~~polarisation stricte~~ semble excessif, par exemple pour l'énoncé de K. et Matsusaka la note marginale est reliée par un trait au mot entouré « Steinien »

~~(X/S) X est le domaine d'un élément de \mathrm{Pic}(X), qui induit un diagramme d'un faisceau inversible~~ deux lignes encadrées et barrées de traits obliques

On suppose que \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S} existe. Soit \mathrm{N\acute{e}r}'(X/S) l'ensemble quotient de \mathrm{Pic}(X)^{\tau/S} par \mathrm{Pic}^{\tau}(X)^{\tau/S}, où \mathrm{Pic}(X)^{\tau/S} est l'image inverse de \Gamma(S, \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}^{\tau}_{X/S}) par \mathrm{Pic}(X) \to \Gamma(S, \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S}). ~~X/S~~ les exposants de \mathrm{Pic}(X) sont lus sous réserve : le premier est en partie raturé

Les éléments de \mathrm{N\acute{e}r}'(X/S) s'appellent ~~pseudo-~~ ~~polarisations~~ néronisations strictes. Les vraies : c'est un foncteur contravariant en T, soit \mathrm{N\acute{e}r}'_{X/S}, ~~multiplicatif~~ transformant les sommes en produits. Rendons ce foncteur compatible avec les descentes fid. plates de type fini ; on trouve un foncteur \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}''_{X/S}. ~~Un élément de la~~ [i.e. les morphismes fid. plats de type fini T' \to T sont tels que \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}'_{X/S}(T) \to \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}'_{X/S}(T') soit injectif ; i.e. les morphismes fid. plats de type fini sont de descente stricte pour \underline{\mathrm{Pic}}'_{X/S}]

\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}''_{X/S}(S) = \mathrm{N\acute{e}r}''(X/S), les éléments de cet ensemble s'appellent les ~~pseudo-~~ ~~prépolarisations~~ néronisations de X sur S. Donc : \text{(\ill{})}\quad \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}''_{X/S}(T) \simeq \mathrm{N\acute{e}r}''(X_T/T) \quad \text{(isom.\ can.)}, une polarisation de X/S est définie par la donnée d'une polarisation stricte i.e. d'un \underline{L} inversible \xi d'un X_T/T, sur X_T/T, où T \to S fid. plat de type fini, tel que les deux images inverses de \xi sur X_{T \times_S T}/T \times_S T soient identiques, i.e. tel que p_1^{*}(\underline{L})\, p_2^{*}(\underline{L})^{-1} soit de torsion équivalente à 0 sur T \times_S T.

\xi de \mathrm{N\acute{e}r}'(X_T/T) et \xi' de \mathrm{N\acute{e}r}'(X_{T'}/T') définissent la même pseudopolarisation ssi leurs images inverses sur \mathrm{N\acute{e}r}'(X_{T \times_S T'}/T \times_S T') sont égales, i.e. si p_1(\underline{L})\, p_2(\underline{L}')^{-1} est numériquement équivalent à 0 rel. à T \times_S T'.

Si p. ex. \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}^{\tau}_{X/S} est plat sur S et si le quotient \underline{\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}}_{X/S} = \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S}/\underline{\underline{\mathrm{Pic}}}^{\tau}_{X/S} existe « raisonnablement » [i.e. que la relation d'équivalence définie par \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}^{\tau}_{X/S} soit effective, la projection \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S} \to \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S}/\underline{\underline{\mathrm{Pic}}}^{\tau}_{X/S} fid. plate] — p. ex. si \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}^{\tau}_{X/S} est propre sur S — alors \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}''_{X/S} s'identifie au foncteur associé à \underline{\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}}_{X/S}, les néronisations de X/S sont les sections de \underline{\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}}_{X/S} sur S, justifie la terminologie . ~~Deux~~

~~Deux néronisations équivalentes~~

Si On définit un sous-ensemble \mathrm{N\acute{e}r}'^{+}(X/S) de \mathrm{N\acute{e}r}'(X/S) par les classes des faisceaux inversibles sur X relativement amples rel. à S, d'où un sous-foncteur \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}'^{+}_{X/S}, donnant naissance à un sous-foncteur \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}^{+\prime\prime}_{X/S} de \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}''_{X/S}, qui représente explicitement les « » « faisceaux inversibles amples ». Dans le cas particulier

envisagé où le schéma de Néron \underline{\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}}_{X/S} existe, le foncteur \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}^{+\prime\prime}_{X/S} est associé au sous-schéma \underline{\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}}^{+}_{X/S} de \underline{\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}}_{X/S}, image de \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}^{+}_{X/S}. Un élément est appelé une polarisation de X/S. Elles forment un ~~pseudo-~~monoïde (sans élément neutre) commutatif. ~~Deux~~ Deux polarisations \xi, \xi' sont dites équivalentes s'il existe des entiers n, n' > 0 tels que n\xi = n'\xi'. Les classes de polarisations correspondent aux demi-droites d'un cône convexe C ~~[ouvert]~~ dans un espace vectoriel V sur \mathbf{Q}, engendré par C, donc les points de C sont « rationnels » . \mathrm{N\acute{e}r}''(X/S)).

Polarisation très ample (pour une polarisation donnée, il en existe toujours une équivalente qui est très ample).

la page 280 s'arrête ici ; l'exposé sur les polarisations continue sans doute au-delà de ce lot