Cote n° 57, pages 261–280

Cote n° 57 · batch 14 · pages 261–280 · Transcription · Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962).
Datation de l’inventaire : 1962-[vers 1968]
Édition de démonstration

261le raisonnement commence avant ce lot : les numéros 1.7 à 1.11 renvoient à un § 1 qui n'est pas dans ces pages

Démonstration algébrique du […] celle qui sont dans le cas algébrique sans outils de RR analytique …

Remarque 1.10. Bien […] […], […] les conditions 1.8 ⌜(ou $=$ 1.9.)⌝ […] […] […] […] […] $f$ […] projectif (problèmes). Il […] […] signale ainsi […] […] […] suivant.

$\exists$ partie discrète $T$ de $Y$ telle que

a)$X|(Y-T) \to Y-T$ fini soit un isom. […] ;
b)les anneaux locaux $\mathcal{O}_{Y,y}$ $(y \in T)$ soient factoriels.

En effet, […] […] […] […] […] […] facile de construire un […] […], […] […] analytique […] […] $Y$, dans […] $< T$, tel que $X$, soit $Y$-isomorphe […] […] l'origine […] à « éclatement » […] $Y$ […] […] générique […] « éclater » $\Sigma$.

Remarque 1.11. Sur les variétés analytiques-formelles et algébriques formelles du […] envisagé. Je […] fournir cette dernière une démonstration purement algébrique, utilisant $\underline{\mathrm{Pic}}$, […] ⌜et⌝ […] de Néron.

263

§ 2. Application à la géométrie algébrique ou analytique.

« §2 » est encadré ; le titre est de sa main

Th. 2.1. Soient $A$ une algèbre analytique sur $\mathbf{C}$, ⌜$Y = \operatorname{Spec} A$,⌝ $X$ un schéma propre sur $Y$, […] $\hat{Y} = \operatorname{Spf} \hat{A}$, $\hat{X} = X \times_Y \hat{Y}$, […] de sorte que [cf. […]] \[ \mathrm{Pic}(\hat{X}) \simeq \varprojlim \mathrm{Pic}(X_n). \] Alors

(i)$(\mathrm{Pic}(X_n))_n$ satisfait ML ;
(ii)$\mathrm{Pic}(X)$ et $\mathrm{Pic}(\hat{X})$ ont même image dans $\mathrm{Pic}(X_n)$ [savoir les images universelles] ;
(iii)Pour que \[ \varphi : \mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(\hat{X}) \] soit un isom., il suffit que $H^1(X, \mathcal{O}_X)$ soit de longueur finie sur $A$, i.e. que $\operatorname{Supp} R^1 f_*(\mathcal{O}_X) \subset \{y\}$ ($y$ le pt fermé de $Y$).

de génération relations ou formule des cas la note marginale est reliée par une flèche à (i)

[…] […] […] […] […] […] projectif ($\mathrm{Pic}(X_n)$) soit cst. […] une ligne et demie barrée de traits obliques et encadrée

Notons de suite le corollaire suivant conséquence de (i) et (ii)

Corollaire 2.2. Conditions équivalentes

265

(i)$X$ est projectif sur $Y$
(ii)$\hat{X}$ est projectif sur $\hat{Y}$, i.e. $X \otimes_A \operatorname{Spec}(\hat{A})$ projectif sur $\operatorname{Spec} \hat{A}$
(iii)Pour tout entier $n$, $X_n$ est projectif sur $Y_n$.

Évidemment (i) $\Rightarrow$ (ii) $\Rightarrow$ (iii). Prouvons (iii) $\Rightarrow$ (i). Soit $n_0$ tel que l'image de $\mathrm{Pic}(X_{n_0}) \to \mathrm{Pic}(X_0)$ soit universelle. Soit $L_{n_0}$ Module inversible sur $X_{n_0}$ ⌜ample⌝ $L_0 = L_{n_0}|X_0$ relativement $/Y_{n_0}$. ⌜Donc $\mathcal{E}$ se remonte et 2.1. (ii)⌝ Je prends […] d'un […] module ⌜inversible⌝ $\mathcal{E}$ sur $\hat{X}$, donc en vertu de 2.1. (ii) il provient aussi d'un module inversible ⌜ample⌝ $L$ sur $X$. Le dernier est ample en vertu de EGA III. Cqfd.

Notons maintenant que 2.1. […] se déduit aisément de 1.7. par la GAGA de Serre-Grauert-Remmert-Grothendieck.

267Corollaire 2.3. Supposons $\dim X_0 \leqslant 1$. Alors $X$ est projectif sur $Y$. chacun des corollaires 2.3 et 2.4 est marqué d'un trait vertical à gauche

Corollaire 2.4. Soit $A$ une algèbre analytique ⌜et réduite,⌝ normale ⌜soit $Y = \operatorname{Spec} A$,⌝ ⌜supposons $Y$ à singularité isolée⌝ ⌜soient⌝ $\tilde{Y} = \operatorname{Spec}(\hat{A})$, $y$ ($\tilde{y}$) le pt fermé de $A$. Alors l'hom. \[ \mathrm{Pic}(Y_y) \longrightarrow \mathrm{Pic}(\tilde{Y}_{\tilde{y}}) \quad \text{est un \add{\emph{iso}}\struck{\emph{monomorphisme}}morphisme.} \] les variantes « et réduit », « Supposons $Y$ à singularité isolée » sont ajoutées au-dessus de la ligne et encadrées ; l'ordre de lecture des insertions n'est pas sûr

Cet hom. est injectif

On peut supposer que les singularités isolées de $Y$ soient de dim. $\geqslant 2$. Alors, toute classe de module inversible $E'$ sur $Y' = Y - \{y\}$, $i_*(E')$ est coh. (où $i : Y' \to Y$ l'immersion can.). En particulier, $i_*(\mathcal{O}_{Y'})$ est cohérent, donc une algèbre $A'$ finie sur $A$. Remarquons que […] Cette dernière remarque s'applique aussi à $Y_1$ fini sur $Y$, réduit, tel que $Y'_1 = Y_1|Y' \to Y'$ soit un isom., [donc $\tilde{Y}'_1 = Y_1|\tilde{Y}' \to \tilde{Y}'$ est un isom.], […] […] $\Gamma($ et […] […] \[ \Gamma(Y_1) \to \Gamma(Y'_1) \quad \text{est un \uncertain{isom.}} \] Cela nous ramène au cas où $\Gamma(Y_1) \to \Gamma(Y')$ est un isom., i.e. où prof $A \geqslant 2$. Un raisonnement facile déjà vu […] […] […] […] cas où $A$ est non normal […] dans la marge gauche, une figure en éventail : quatre triangles adjacents partant d'un même sommet, coupés par un arc

269(comme plus haut dans le cas précédent) montre que \[ \mathrm{Pic}(Y') \to \mathrm{Pic}(\tilde{Y}') \quad\text{est \emph{injectif}.} \] Reste à prouver la surjectivité. Pour ceci, on utilise la résolution des singularités (Hironaka) : il existe $X \to Y$ morphisme propre dominant, $X$ […] non singulier, tel que $X' = X|Y' \xrightarrow{\ \sim\ } Y'$, et $X = \overline{X'}$. Donc on a \[ \mathrm{Pic}(\text{\struck{$X$}}\,Y') \simeq \mathrm{Pic}(X') \simeq \mathrm{Pic}(X)/I \simeq \mathbf{Z}^{I} \] où $I$ est l'ensemble des comp. irréd. de $X - X' = X_0$. On a aussi de même [notant que $\tilde{X} = X \times_Y \tilde{Y}$ est régulier, en plus de […] est régulier sur $X$ puisque est régulier] \[ \mathrm{Pic}(\tilde{Y}') \simeq \mathrm{Pic}(\tilde{X}') \simeq \mathrm{Pic}(\tilde{X})/I \simeq \mathbf{Z}^{I} \] On conclut par le th. 2.1. (iii) qui donne $\mathrm{Pic}(\tilde{X}) \simeq \mathrm{Pic}(X)$, d'où la conclusion voulue. l'écriture « $\mathbf{Z}^{I}$ » suit la page ; dans ces deux formules le quotient « $/I$ » est à entendre comme quotient par le sous-groupe engendré par les composantes

271Questions. […] Soit $A$ un anneau local ⌜excellent⌝ noethérien. On suppose $A$ hensélien, et un « bon anneau », i.e. $\operatorname{Spec}\hat{A} \to \operatorname{Spec} A$ est […] universellement régulier. Soit $X$ propre sur $A$, et $\hat{X} = X \otimes_A \hat{A}$.

(i)Est-il vrai que les images universelles dans $\mathrm{Pic}(X_n)$ [dans un sens […] évident] de $\operatorname{Im}(\mathrm{Pic}(\hat{X}) \to \mathrm{Pic}(X_n))$ est dans $\operatorname{Im}(\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(X_n))$ ? En particulier, si $\hat{X}/\hat{Y}$ est projectif, est-il vrai que $X/Y$ est projectif ? […] ⌜p. ex.⌝ l'anneau hensélisé d'un anneau local de la géom. alg. sur $\mathbf{C}$ ?
(ii)Supposons que $\operatorname{Supp} R^1 f_*(\mathcal{O}_X) \subset \{y\}$, […] p. ex. $X|(Y-\{y\}) \xrightarrow{\ \sim\ } Y - \{y\}$. Est-il vrai alors que \[ \mathrm{Pic}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Pic}(\hat{X}) \ ?? \]
(iii)N.B. Supposons que $Y$ soit à singularité isolée en $y$. Est-il vrai que \[ \mathrm{Pic}(Y - \{y\}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Pic}(\hat{Y} - \{\hat{y}\}) \]

[Si (ii) est vrai, et si on peut désingulariser, alors (iii) est vrai …]. Comment démontrer ici à moins ⌜[…]⌝ que l'idéal de sing $(Y)$, dans le cas des anneaux alg. analytiques ? What does Murre do in « Publications » p. 16 iiiitis ?? chiar la note marginale, en anglais, est écrite en oblique dans la marge gauche et rattachée par une accolade aux questions (ii) et (iii) ; « Publications » renvoie sans doute aux Publications mathématiques de l'IHÉS une grande boucle relie « universellement régulier » et la fin de (i) : la phrase sur l'anneau hensélisé semble être un exemple ajouté pour la question (i)

Schémas de Néron-Severi. Polarisation

titre de sa main, écrit seul en haut d'un feuillet par ailleurs blanc (p. 273) : « Schémas de Néron-Severi », et au-dessus « Polarisation ». Les pages qui suivent sont sur un autre papier, blanc, et d'une autre encre que les pages 261 à 271

274dans ces pages, les foncteurs et préschémas soulignés par lui sont rendus par $\underline{\mathrm{Pic}}$, $\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}$ (un trait) et $\underline{\underline{\mathrm{Pic}}}$, $\underline{\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}}$ (deux traits), comme sur la page ; l'exposant noté ici ${}^{*}$ est un petit signe dont la forme n'est pas sûre Définition. $X$ préschéma sur $S$. Un élément $\xi$ de $\mathrm{Pic}(X/S)$ est dit numériquement équivalent à $0$ si sa restriction à toute fibre $X_s$ est numériquement équivalente à zéro [i.e. un multiple d'icelle peut se déformer dans $0$]. Deux éléments $\xi, \xi'$ de $\mathrm{Pic}(X/S)$ sont dits numériquement équivalents si $\xi - \xi'$ est numériquement équivalent à $0$.

Soit $\mathrm{Pic}^{\tau}(X/S) \subset \mathrm{Pic}^{*}(X/S)$ l'ensemble des $\xi$ numériquement équivalents à $0$, et \[ \mathrm{N\acute{e}r}'(X/S) = \mathrm{Pic}(X/S)/\mathrm{Pic}^{\tau}(X/S). \] Notons : si $S' \to S$ est fid. plat [et quasi-compact] et $S' \to S$ est un changement de base, d'où $\mathrm{Pic}(X/S) \to \mathrm{Pic}(X'/S')$, il induit $\mathrm{Pic}^{\tau}(X/S) \to \mathrm{Pic}^{\tau}(X'/S')$, et si $S' \to S$ est surjectif, alors un élément $\xi$ de $\mathrm{Pic}^{\tau}(X/S)$ est exactement l'image inverse de $\mathrm{Pic}^{\tau}(X'/S')$ par $\mathrm{Pic}^{*}(X/S) \to \mathrm{Pic}(X'/S')$, d'où dans ce cas \[ \mathrm{N\acute{e}r}'(X/S) \longrightarrow \mathrm{N\acute{e}r}'(X'/S') \quad\text{est \emph{injectif}.} \]

le carré qui suit est dessiné dans la marge gauche, en face du changement de base

LaTeX source

\begin{tikzcd}
X \arrow[d] & X' \arrow[l] \arrow[d] \\
S & S' \arrow[l]
\end{tikzcd}

Considérons $S' \mapsto \mathrm{N\acute{e}r}'(X'/S')$ comme foncteur contravariant \[ (\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} \longrightarrow (\mathrm{Ens}), \] et rendons-le exact pour les morphismes fid. plats ⌜loc. de type⌝ quasi-compacts fini [donc pour la localisation habituelle aussi]. On trouve un foncteur $S' \mapsto \mathrm{N\acute{e}r}(X'/S')$, et en particulier un ⌜ensemble⌝ $\mathrm{N\acute{e}r}(X/S)$, ensemble des polarisations de $X$ sur $S$.

275Interprétation lorsque $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$ existe, ($\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$ ouvert !). Alors la donnée d'un élément de $\mathrm{Pic}''(X/S)$ […] équivaut à la donnée d'un sous-préschéma ⌜ouvert⌝ $P$ de $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$ qui soit un fibré principal homogène trivial sous $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$. Alors $\mathrm{N\acute{e}r}(X/S)$ est l'ensemble des sous-préschémas $\longrightarrow$ de $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$ qui sont formellement principaux homogènes $P$ sous sous $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$, et […] par […] catégorie loc. de type fini. [N.B. Lorsque Ces sous-préschémas sont nécessairement ouverts. Si $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$ est plat et de type fini sur $S$, alors la condition […] […] sous $P$ qu'on vient de mettre signifie aussi que $P$ est fid. plat et de type fini sur $S$]. Par suite, de type fini ?

dire que lorsque

Proposition. Supposons que $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$ existe, et que $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$ soit fid. plat [de type fini] sur $S$. Pour que le foncteur $\mathrm{N\acute{e}r}_{X/S}$ […] dans $(\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S}$ soit représentable, il f. et s. que le quotient \[ \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}_{X/S} = \underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{X/S}/\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} \] existe, et alors que $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}_{X/S}$ soit fid. plat et quasi-compact ⌜et de type fini⌝ de noyau $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$, la proposition est encadrée d'un trait vertical à gauche, et la phrase continue en haut de la page suivante

276et alors $\underline{\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}}_{X/S}$ est représenté par $\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}_{X/S}$.

Corollaire 1. S'il en est ainsi, $\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}_{X/S}$ est représenté séparé ssi $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$ est fermé dans $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$. En tout cas, $\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}_{X/S}$ est non ramifié sur $S$.

Corollaire 2. Supposons que $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$ soit propre ⌜et plat⌝ sur $S$, et que $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$ soit réunion ⌜croissante⌝ d'ouverts ⌜$U_i$⌝ stables par $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$ et quasi-projectifs sur $S$. [Cette dernière condition est conséquence de $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$ de type fini sur $S$, dans le cas où $X$ est projectif, plat, ⌜[…] […] universellement⌝ (et primaire sur $S$]. Alors $\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}_{X/S}$ existe et est séparé non ramifié sur $S$. La première condition […] […] vérifiée […] de $X/S$ […] sans torsion […] des $\mathrm{Pic}^0$ propres… les deux corollaires sont marqués chacun d'un trait vertical à gauche

Il semble que dès que $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$ est plat […] ⌜et fermé dans $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$⌝ sur $S$, $\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}_{X/S}$ doive exister : c'est lié à la question de la caractérisation des foncteurs représentables par un objet non ramifié sur $S$ … . Au commencement ! [À vrai dire, même l'existence de $\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}$ ne semble pas indispensable !] ? l'insertion « et fermé dans $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$ » est entourée et rattachée par un trait ; le paragraphe est marqué en marge d'un trait vertical et d'un point d'interrogation

278

Schémas polarisés

Soit $X$ projectif sur $S$ loc. noeth., ⌜plat et Steinien,⌝ […] polarisation stricte semble excessif, par exemple pour l'énoncé de K. et Matsusaka la note marginale est reliée par un trait au mot entouré « Steinien »

[…] $(X/S)$ […] $X$ est le domaine d'un élément de $\mathrm{Pic}(X)$, […] qui induit un diagramme […] d'un faisceau inversible […] […] deux lignes encadrées et barrées de traits obliques

On suppose que $\underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S}$ existe. Soit $\mathrm{N\acute{e}r}'(X/S)$ l'ensemble quotient de $\mathrm{Pic}(X)^{\tau/S}$ […] par $\mathrm{Pic}^{\tau}(X)^{\tau/S}$, où $\mathrm{Pic}(X)^{\tau/S}$ est l'image inverse de $\Gamma(S, \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}^{\tau}_{X/S})$ par $\mathrm{Pic}(X) \to \Gamma(S, \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S})$. […] […] […] […] […] $X/S$ les exposants de $\mathrm{Pic}(X)$ sont lus sous réserve : le premier est en partie raturé

Les éléments de $\mathrm{N\acute{e}r}'(X/S)$ s'appellent pseudo- polarisations ⌜néronisations⌝ strictes. Les vraies : c'est un foncteur contravariant en $T$, soit $\mathrm{N\acute{e}r}'_{X/S}$, multiplicatif transformant […] les sommes en produits. Rendons ce foncteur compatible avec les descentes fid. plates de type fini ; on trouve un foncteur $\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}''_{X/S}$. Un élément de la […] [i.e. les morphismes fid. plats de type fini $T' \to T$ sont tels que $\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}'_{X/S}(T) \to \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}'_{X/S}(T')$ soit injectif ; i.e. les morphismes fid. plats de type fini sont de descente stricte pour $\underline{\mathrm{Pic}}'_{X/S}$]

\[ \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}''_{X/S}(S) = \mathrm{N\acute{e}r}''(X/S), \] les éléments de cet ensemble s'appellent les pseudo- prépolarisations ⌜néronisations⌝ de $X$ sur $S$. Donc : \[ \text{(\ill{})}\quad \underline{\mathrm{N\acute{e}r}}''_{X/S}(T) \simeq \mathrm{N\acute{e}r}''(X_T/T) \quad \text{(isom.\ can.)}, \] une polarisation de $X/S$ est définie par la donnée d'une polarisation stricte ⌜i.e. d'un $\underline{L}$ inversible⌝ $\xi$ d'un $X_T/T$, […] sur $X_T/T$, ⌜où $T \to S$ fid. plat de type fini,⌝ tel que les deux images inverses de $\xi$ sur $X_{T \times_S T}/T \times_S T$ soient identiques, i.e. tel que $p_1^{*}(\underline{L})\, p_2^{*}(\underline{L})^{-1}$ soit de torsion ⌜équivalente à $0$⌝ sur $T \times_S T$.

279$\xi$ de $\mathrm{N\acute{e}r}'(X_T/T)$ et $\xi'$ de $\mathrm{N\acute{e}r}'(X_{T'}/T')$ définissent la même pseudopolarisation ssi leurs images inverses sur $\mathrm{N\acute{e}r}'(X_{T \times_S T'}/T \times_S T')$ sont égales, i.e. si $p_1(\underline{L})\, p_2(\underline{L}')^{-1}$ est numériquement équivalent à $0$ rel. à $T \times_S T'$.

Si p. ex. $\underline{\underline{\mathrm{Pic}}}^{\tau}_{X/S}$ est plat sur $S$ et si le quotient $\underline{\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}}_{X/S} = \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S}/\underline{\underline{\mathrm{Pic}}}^{\tau}_{X/S}$ existe « raisonnablement » [i.e. […] que la relation d'équivalence définie par $\underline{\underline{\mathrm{Pic}}}^{\tau}_{X/S}$ soit effective, […] la projection $\underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S} \to \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S}/\underline{\underline{\mathrm{Pic}}}^{\tau}_{X/S}$ fid. plate] — p. ex. si $\underline{\underline{\mathrm{Pic}}}^{\tau}_{X/S}$ est propre sur $S$ — alors […] $\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}''_{X/S}$ s'identifie au foncteur associé à $\underline{\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}}_{X/S}$, les néronisations de $X/S$ sont les sections de $\underline{\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}}_{X/S}$ sur $S$, […] […] justifie la terminologie […] ⌜[…] […]⌝. Deux

Deux néronisations […] […] […] équivalentes

Si On définit un sous-ensemble $\mathrm{N\acute{e}r}'^{+}(X/S)$ de $\mathrm{N\acute{e}r}'(X/S)$ par les classes des faisceaux inversibles sur $X$ relativement amples rel. à $S$, d'où un sous-foncteur $\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}'^{+}_{X/S}$, donnant naissance à un sous-foncteur $\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}^{+\prime\prime}_{X/S}$ de $\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}''_{X/S}$, qui représente explicitement […] les « […] […] » […] « faisceaux […] inversibles amples ». Dans le cas particulier

280envisagé où le schéma de Néron $\underline{\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}}_{X/S}$ existe, le foncteur $\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}^{+\prime\prime}_{X/S}$ est associé au sous-schéma $\underline{\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}}^{+}_{X/S}$ de $\underline{\underline{\mathrm{N\acute{e}r}}}_{X/S}$, image de $\underline{\underline{\mathrm{Pic}}}^{+}_{X/S}$. Un élément […] est appelé une polarisation […] de $X/S$. Elles forment un pseudo-monoïde (sans élément neutre) commutatif. Deux ⌜Deux⌝ polarisations $\xi, \xi'$ sont dites équivalentes s'il existe des entiers $n, n' > 0$ tels que $n\xi = n'\xi'$. Les ⌜classes de⌝ polarisations correspondent aux demi-droites d'un cône convexe $C$ [ouvert] dans un espace vectoriel $V$ sur $\mathbf{Q}$, engendré par $C$, donc les points de $C$ sont « rationnels » […]. […] […] […] […] $\mathrm{N\acute{e}r}''(X/S)$).

Polarisation très ample (pour une polarisation donnée, il en existe toujours une équivalente qui est très ample).

la page 280 s'arrête ici ; l'exposé sur les polarisations continue sans doute au-delà de ce lot