Schémas de Picard des schémas formels en car. 0, ou des schémas propres sur une algèbre analytique sur
\mathbf{C}
titre écrit de sa main seul sur la page 225, qui sert de chemise à la lettre qui suit.
lettre de Grothendieck à H. Hironaka, dactylographiée en anglais, avec ses corrections à l'encre. La machine n'a pas frappé certains symboles (\to, \in, \ni) ; ils sont restitués entre crochets d'éditeur quand le texte les fixe.
Neuilly July 6 1962
Dear Hironaka,
I had a little thought over our conversation last tuesday, it occured to me
that the type of argument I used yields in fact the following stronger result:
Theorem Let f\colon X \to Y be a proper morphism of
analytic spaces over \underline{C}, let y \in Y,
Y_n = \operatorname{Spec\,an}(\underline{O}_y/\underline{m}_y^{n+1}),
X_n = X \times_Y Y_n,
\begin{align*}
\operatorname{Pic}(X_y) &= R^1 f(\underline{O}_X^{\bullet})_y
= \varinjlim_{U \ni y} \operatorname{Pic}(f^{-1}(U)) ,\\
\operatorname{Pic}(\hat{X}_y) &= \varprojlim \operatorname{Pic}(X_n) ,
\end{align*}
and consider the canonical homomorphisms
\operatorname{Pic}(X_y) \xrightarrow{\ u\ } \operatorname{Pic}(\hat{X}_y)
\xrightarrow{\ v_n\ } \operatorname{Pic}(X_n)
Then the following are true:
(i) The inverse system (\operatorname{Pic}(X_n))_{n \in \underline{N}}
satisfies the condition of Mittag-Leffler (even with Artin-Riesz type of
uniformity).
(ii) \operatorname{Im} v_n = \operatorname{Im} v_n u = (in virtue of (i))
set of universal images of \operatorname{Pic}(X_n) in the inverse system
(\operatorname{Pic}(X_m))_{m \in \underline{N}}.
(iii) In order for u to be an isomorphism, it is nec and suff that
R^1 f_*(\underline{O}_X) has a support not containing y or having y as
an isolated point, i.e. R^1 f_*(\underline{O}_X)_y is a module of finite
length.
In fact (i) can be made more precise:
(i bis) In the inverse system
(\underline{\mathrm{Pic}}_{X_n/\underline{C}})_{n \in \underline{N}} of
analytic groups, the system of the “Néron-Sévéri groups” is constant for n
large, whereas for m \geqslant n and n large, the Kernel and Cokernel of
\underline{\mathrm{Pic}}_{X_m/\underline{C}} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X_n/\underline{C}}
are just vector groups.
dans « m \geqslant n », le « \geqslant » est ajouté à l'encre.
Parts (i) and (ii) yield the
Corollary 1 The following conditions are equivalent:
(i) There exists an open U \ni y such that X
| U is projective over U
(ii) For every n, X_n is a projective analytic space.
For instance, if \dim X_0 \leqslant 1, then (ii) and hence (i) holds.
The proof of the theorem only uses Grauerts analogues of the algebraic
theorems of finiteness and comparison for direct images (of his blue paper) and
the usual exact sequence
0 \to \underline{Z} \to \underline{O} \to \underline{O}^{\bullet} \to 0,
together with some standard use of Mittag-Leffler story and five lemma. It is
valid in fact for any H^i(\underline{O}^{\bullet}), not only i = 1 (which
seems the only one however to have geometric significance).
les flèches de la suite exacte manquent à la frappe et sont restituées.
In the case of a formal scheme proper over a complete noeth. local
ring with residue field of caracteristic 0, the analogon of the
previous theorem (reducing to statements (i), (i bis))
However, using the (as yet unwritten !) Gaga of
Serre-Grauert-Remmert-Grothendieck (cf Grauert-Remmerts paper, complemented
by the method of an old talk of mine in Cartan's Seminar, to recover the case
of proper morphisms of schemes from the projective one, via Chow's lemma …),
the analytic theorem above yiels an interesting intrinsic property of analytic
algebras over \underline{C}, with respect to algebraic geometry
over such a local ring:
Theorem Let A be an analytic algebra over \underline{C} (we can
suppose A to be the ring of convergent power series in n variables),
\hat{A} its completion, Y and \hat{Y} the spectra, X a proper scheme
over Y, \hat{X} = X \times_Y \hat{Y}. Then:
(i) The inverse system (\operatorname{Pic}(X_n)) satisfies MLAR (as stated
above, this depends only on the car. 0 assumption for the residue field).
(ii) \operatorname{Pic}(X) and \operatorname{Pic}(\hat{X}) have same image
in \operatorname{Pic}(X_n), – namely the group of “universal images”.
(NB recall \operatorname{Pic}(\hat{X}) \simeq \varprojlim \operatorname{Pic}(X_n) ).
(iii) In order for \operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(\hat{X}) to be
an isomorphism, it is necessary and sufficient that
\operatorname{supp} R^1 f_*(\underline{O}_X^{*}) \subset (y), i.e.
H^1(X, \underline{O}_X) of finite length over A. (NB It amounts also to
the same to ask that the inverse system of the subgroups
\operatorname{Pic}'(X_n) of universal images is constant for large n).
We get for example:
Corollary 1 The following conditions are equivalent: (i) X/Y
projective (ii) \hat{X}/\hat{Y} projective (iii) For every n, X_n/Y_n
projective.
This applies for instance if \dim X_0 \leqslant 1.
Now, applying your theorem of resolution of singularities, and
Mumford's method of relating the local Picard group of A to the global
Picard group of a regular scheme dominating A birationnally, one gets from
the last statement (iii) of last theorem:
Corollary 2. Let A be as above, assume
This explains “à priori” (when A is normal) why Mumford was
able to introduce
I do not know if in the last statement, the hypothesis that Y' is regular
(“y isolated singularity”) is essential; we could dispense with it
really needed.
of course it is
I would not be surprised either if in this statement, Y' can be replaced by
any open subset of Y (replacing of course \hat{Y}' by the inverse image of
the latter). Moreover, I would expect the analoguous statements to hold for
\pi_1, more generally for all “topological” invariants as Weil homology,
homotopy groups etc, that can be defined for schemes. This should be related
to the fact that all these invariants vanish for the geometric fibers of the
morphism \operatorname{Spec}(\hat{A}) \to
\operatorname{Spec}(A). This is easy to check at least for \pi_0 (and is
true in fact for any henselian ring which is a “good” ring); however I do not
know if this is true also for \pi_1.
la note marginale « of course it is », au crayon, est en regard de « really needed », souligné à la main.
Besides, I would not be surprised if most of the previous results (namely
parts (ii) and (iii) of the second theorem, and the two corollaries, as well
as the previous conjectures of the previous section) did hold true for
any “good” ring which is henselian, or at least for the
“henselian closures” of the local rings arising from algebras of finite type
over a field, or over the integers, – although I do not have any result along
these lines (except those stemming from my remark on \pi_0).
Anyhow, one should be able to determine whether or not the analytic
algebras over \underline{C} have any significant intrinsic property which is
not shared by all “good” henselian rings with residu field of car. 0
(I recall that by good I mean – “quotient of a regular local ring B such
that the fibers of \operatorname{Spec}\hat{B} \to \operatorname{Spec}(B) are
universally regular).
Please give my regards to Waka, and also Mireille's ; she just got the parcel
from Waka, and was extremely pleased, in fact, she slipped into her new
bed-shirt on the spot, and is delighted by it in every respect.
Sincerely yours
Pic d'un schéma formel en car. 0
titre encadré en haut à droite de la page 232.
Lemme Soit \varphi\colon G \to H un homomorphisme de type fini de
groupes loc. de type fini sur un corps k. Alors
(i) \underline{\Pi}_0(\varphi)\colon G/G^0 \to H/H^0 est de type fini, en
particulier son noyau est fini.
[Si N = \operatorname{Ker}\varphi est connexe, alors
\underline{\Pi}_0(\varphi) est ]
( si H/H^0 G/G^0)
(ii) Supposons que N = \operatorname{Ker}\varphi soit connexe, soit
H' = \operatorname{Im}\varphi, et i\colon H' \to H l'immersion
canonique. Alors
\operatorname{Ker}\underline{\Pi}_0(\varphi)
\text{\struck{$= \operatorname{Ker}\underline{\Pi}_0(i)$}}
\simeq \bigl(H'/H'^0\bigr) \cap \bigl(H/H^0\bigr)^0 .
et \operatorname{Coker}\underline{\Pi}_0(\varphi), \operatorname{Coker}\varphi
ne changent pas quand on remplace (G, H, \varphi) par (H', H, i)
ou même par (H'/H^0, H/H^0, i') …
la formule pour \operatorname{Ker}\underline{\Pi}_0(\varphi) est barrée d'un trait qui la traverse en entier ; les ajouts interlinéaires la remplacent par l'énoncé d'invariance. Sous « H'/H^0 », une annotation : « discret \subset F ».
Corollaire (iii) Supposons que \operatorname{Ker}\varphi
soit connexe et que \operatorname{Coker}\varphi soit “géométriquement sans
torsion”. Alors \underline{\Pi}_0(\varphi) est injectif et
\operatorname{Coker}\underline{\Pi}_0(\varphi) est sans torsion.
« (iii) » est cerclé et remplace l'étiquette « Corollaire » biffée.
Dém. de (iii). Grâce à (ii) précédent, on est ramené au cas où
\varphi est une immersion fermée, et où G est discret. Mais
alors \operatorname{Coker}\varphi contient H^0/G \cap H^0 où
G \cap H^0 = \operatorname{Ker}\underline{\Pi}_0(\varphi). Si ce quotient
est sans torsion, il faut que, ou bien
a) car k > 0,
b) car k = 0, H^0 est un groupe vectoriel, et donc le
sous-groupe fini G \cap H^0 = 0. Donc
Corollaire 1 Soit (G_n)_{n \in \mathbf{Z}} un système projectif de
groupes commutatifs a a un noyau connexe, et un
conoyau qui est géométriquement sans sans torsion
b) pour tout n, \underline{\Pi}_0(G_n) est à engendrement fini.
la dernière ligne, serrée en bas de page sous la précédente, porte elle aussi l'étiquette « b) » ; on ne voit pas si elle remplace la condition b) ou si elle commence déjà la conclusion, qui se poursuit page 236.
Sous ces conditions
(i) Le système projectif (\underline{\Pi}_0(G_n))_n est essentiellement
constant.
(ii) Les systèmes (G_n^0)_n [donc aussi le système (G_n)] satisfont
(M.L.).
(iii) noyau et conoyau noyau de
G_n \to G_{n_0} soit un groupe vectoriel en car. = 0, et
sans torsion [dans presque radiciel en car. > 0.
[Si la car. est nulle et si les (G_{n+1} \to G_n)
, alors les noyaux des (G_{n+1} \to G_n) sont des groupes
vectoriels,
( pour n \geqslant n_0 )
Corollaire 2 Supposons que les
\operatorname{Ker}(G_{m+1} \to G_m) soient unipotents connexes,
supposons k parfait et supposons k parfait
[le cas important étant le car. 0]. Alors le système des
(G_n(k))_n satisfait ML.
en tête de page, un brouillon : « G_m P \to Q \to R », avec \operatorname{Im} P \cap \operatorname{Ker} Q remplacé par \operatorname{Im}(P \to Q) \cap \operatorname{Ker}(Q \to R).
Dém. Si , si G_{n,m} = \operatorname{Im}(G_m \to G_n) pour
m \geqslant n, on doit prouver que
G_{n,m}(k) = \operatorname{Im}(G_m(k) \to G_n(k))
Il suffit de voir que H^1(k, N_{m,n}) = 0. Par
suite, , le système des
\operatorname{Im}(G_m(k) \to G_n(k)) sont stationnaires.
N.B. Si les G_n, pour alg.,
unipotent connexe, donc si les
\operatorname{Ker}(G_{n+1} \to G_n) sont des groupes
unipotents, les
\operatorname{Ker}(G_m \to G_n) pour sont des groupes
vectoriels, en particulier .
le N.B. est tenu par un trait vertical dans la marge gauche ; plusieurs mots y sont surchargés.
Th. Soit \mathfrak{X} un schéma formel propre sur un
local noethérien complet A, contenant un
corps de car. 0, tel que k(A) soit fini sur k. Considérons les X_n
comme des schémas propres sur k, considérons le syst. projectif
\bigl(\underline{\mathrm{Pic}}_{X_n/k}\bigr) .
Alors ce syst. satisfait aux conditions
du Cor. 1 précédent, et le système des
\underline{\mathrm{Pic}}_{X_n/k}(k) satisfait à M.L.
N.B. On oublie \Rightarrow M.L.A.R.
N.B. On suppose l'existence des \underline{\mathrm{Pic}}_{X_n/k},
prouvée en général par Murre. Dans le cas
projectif, elle par Grothendieck – Oort.
Le fait que les
\underline{\mathrm{Pic}}_{X_{n+1}/k} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X_n/k}
sont de type fini, et des obstructions [cf ex. de cohomologie].
De plus, on utilise le théorème de
Néron
(Soit \mathfrak{X} propre loc. noeth.
complet résiduel k de car. 0
(\underline{\mathrm{Pic}}(X_n))_{n \in \mathbf{Z}}. Alors .)
note entre parenthèses, écrite serrée sur quatre lignes au-dessus du corollaire, largement illisible.
Corollaire à M.L.
Lorsque
k \subset A, X_0 /k,
les dernières lignes sont barrées de deux traits obliques et ne se lisent qu'en fragments ; l'argument se poursuit au-delà du lot.