Cote n° 57 · batch 12 · pages 221–240 · Transcription · Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962).
Datation de l’inventaire : 1962-[vers 1968]
Édition de démonstration

221la page s'ouvre sur un exemple déjà en cours ; les notations \(X\), \(S\), \(X^{(n)}\), \(S^{(n)}\) viennent de pages antérieures au lot.

\begin{tikzcd}
X^{(n)}_{a} \arrow[d] & \mathcal{S} \arrow[d] \\
S^{(0)}_{e} = \operatorname{Spec}(\mathbf{Z}[t]) & S \arrow[l]
\end{tikzcd}

\(t \in \Gamma(S, \underline{O}_S)\), \(A[x,y]/xy(x+y+t)\) \[ A[x,y,z]/xy(x+y+tz) = \mathcal{S} \] au-dessus de la flèche verticale de gauche, un symbole entièrement noirci.

\(xy(x+y+tz)\) \[ \begin{array}{ccc} (x) & (y) & (x+y+tz) \\ \mathfrak{p}_1 & \mathfrak{p}_2 & \mathfrak{p}_3 \\ \underline{I}_1 & \underline{I}_2 & \underline{I}_3 \\ X_1 & X_2 & X_3 \end{array} \]

Lemme 1 \(X\) est plat sur \(S\).

Il suffit de prouver que \(X^{(n)}\) est plat sur \(S^{(n)}\), donc à fortiori […] \(k[x,y,z]/xy(x+y+tz)\) est plat sur \(k[t]\), donc sans torsion. On a supposé que \(\varphi \in k[t]\), ⌜\(\varphi \neq 0\)⌝, \(F \in k[x,y,z,t]\) tels que \(\varphi F \in xy(x+y+tz)\), donc \(\varphi F \in (x)\), \(\varphi F \in (y)\), \(\varphi F \in (x+y+tz)\), d'où comme \(k[x,y,z,t]\) les idéaux \((x)\), \((y)\), \((x+y+tz)\) \(\mathfrak{p}_1^{(0)} = (x)\), \(\mathfrak{p}_2^{(0)} = (y)\), \(\mathfrak{p}_3^{(0)} = (x+y+tz)\) sont

Lemme […] premiers, et \(k[t] \to k[x,y,z,t]/\mathfrak{p}_i^{(0)}\) est injectif,

Lemme […] la relation \(F \in\) \((x)\), […] \(\mathfrak{p}_i^{(0)}\) pour \(i = 1,2,3\), d'où \(F \in \mathfrak{p} = xy(x+y+tz)\) […] […]. dans la marge, deux étiquettes « Lemme » surchargées et biffées, dont le numéro ne se lit pas : la numérotation des lemmes est en train de changer.

Lemme 0 On a \(\mathfrak{p}_1 \cap \mathfrak{p}_2 \cap \mathfrak{p}_3 = 0\) i.e. \((x) \cap (y) \cap (x+y+zt) = (xy(x+y+zt))\). la fin de la ligne est coupée par le bord du feuillet ; le membre de droite est lu d'après la page suivante.

223(N.B. Ce dernier lemme est vrai pour \(X/S\).) Soit en effet \(F \in (x) \cap (y) \cap (x+y+zt)\), on a donc \(F = xyG\), et \(F\) devient nul aussi […] \(y\) faisant \(y = -(x+zt)\), d'où \(x(x+zt)\,G(x,-x-zt,z) = 0\), or \(x\) et \(x+zt\) sont non diviseurs de \(0\) dans \(\underline{O}_S[x,y,z] = \underline{O}_S[y,z][x]\) […], d'où \(G(x,-x-zt,z) = 0\) i.e. \(G\) ⌜devient⌝ […] nul pour la substitution \(y = -x-zt\), donc \(G\) est divisible par \(y+x+zt\).

Corollaire du lemme 0 \(\underline{I}_1 \cap \underline{I}_2 \cap \underline{I}_3 = (0)\), donc \[ \bigvee_{1 \leqslant i \leqslant 3} X_i = X . \]

Lemme 2 Si \(i \neq j\), on a \(\mathcal{S}/\mathfrak{p}_i + \mathfrak{p}_j \simeq \underline{O}_S[u]\)

Pour \(i = 1,2,3\), \(\mathcal{S}/\mathfrak{p}_i \simeq \underline{O}_S[u,v]\) donc \(X_i \simeq \mathbf{P}^1_S\) ;

Si \(i \neq j\), \(\mathcal{S}/\mathfrak{p}_i + \mathfrak{p}_j \simeq \underline{O}_S[u]\) et donc \(X_{ij} \simeq S\) ;

Si ⌜Enfin⌝ \(\mathcal{S}/\mathfrak{p}_1 + \mathfrak{p}_2 + \mathfrak{p}_3 \simeq (\underline{O}_S/t\underline{O}_S)[u]\) donc \(X_{123} \simeq (S, \underline{O}_S/t) = t^{-1}(0)\). les trois énoncés sont réunis par une accolade ; « \(\mathbf{P}^1_S\) » et « \(X_{ij} \simeq S\) » sont lus tels qu'écrits.

Corollaire Si \(S\) est affine, on a \[ H^1(X, \underline{O}_X) \simeq H^1(X_1 \sqcup X_2 \sqcup X_3 / X, \underline{G}_a) \simeq \] justification : […] \(X_1 \sqcup X_2 \sqcup X_3 \to X\) est un morphisme de descente stricte pour les schémas la phrase s'arrête sur « \(\simeq\) » en bas de page ; la suite n'est pas dans le lot.

Schémas de Picard des schémas formels en car. 0, ou des schémas propres sur une algèbre analytique sur \(\mathbf{C}\)

titre écrit de sa main seul sur la page 225, qui sert de chemise à la lettre qui suit.

226lettre de Grothendieck à H. Hironaka, dactylographiée en anglais, avec ses corrections à l'encre. La machine n'a pas frappé certains symboles (\(\to\), \(\in\), \(\ni\)) ; ils sont restitués entre crochets d'éditeur quand le texte les fixe.

Neuilly July 6 1962

Dear Hironaka,

I had a little thought over our conversation last tuesday, it occured to me that the type of argument I used yields in fact the following stronger result:

Theorem Let \(f\colon X\) [\(\to\)] \(Y\) be a proper morphism of analytic spaces over \(\underline{C}\), let \(y\) [\(\in\)] \(Y\), \(Y_n = \operatorname{Spec\,an}(\underline{O}_y/\underline{m}_y^{n+1})\), \(X_n = X \times_Y Y_n\), \[\begin{align*} \operatorname{Pic}(X_y) &= R^1 f(\underline{O}_X^{\bullet})_y = \varinjlim_{U \ni y} \operatorname{Pic}(f^{-1}(U)) ,\\ \operatorname{Pic}(\hat{X}_y) &= \varprojlim \operatorname{Pic}(X_n) , \end{align*}\] and consider the canonical homomorphisms \[ \operatorname{Pic}(X_y) \xrightarrow{\ u\ } \operatorname{Pic}(\hat{X}_y) \xrightarrow{\ v_n\ } \operatorname{Pic}(X_n) \] Then the following are true:

(i) The inverse system \((\operatorname{Pic}(X_n))_{n \in \underline{N}}\) satisfies the condition of Mittag-Leffler (even with Artin-Riesz type of uniformity).

(ii) \(\operatorname{Im} v_n = \operatorname{Im} v_n u\) \(=\) (in virtue of (i)) set of universal images of \(\operatorname{Pic}(X_n)\) in the inverse system \((\operatorname{Pic}(X_m))_{m \in \underline{N}}\).

(iii) In order for \(u\) to be an isomorphism, it is nec and suff that \(R^1 f_*(\underline{O}_X)\) has a support not containing \(y\) or having \(y\) as an isolated point, i.e. \(R^1 f_*(\underline{O}_X)_y\) is a module of finite length.

In fact (i) can be made more precise:

(i bis) In the inverse system \((\underline{\mathrm{Pic}}_{X_n/\underline{C}})_{n \in \underline{N}}\) of analytic groups, the system of the “Néron-Sévéri groups” is constant for \(n\) large, whereas for \(m \geqslant n\) and \(n\) large, the Kernel and Cokernel of \[ \underline{\mathrm{Pic}}_{X_m/\underline{C}} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X_n/\underline{C}} \] are just vector groups. dans « \(m \geqslant n\) », le « \(\geqslant\) » est ajouté à l'encre.

227Parts (i) and (ii) yield the

Corollary 1 The following conditions are equivalent:

(i) There exists an open \(U\) [\(\ni\)] \(y\) such that \(X\) [\(|\)] \(U\) is projective over \(U\)

(ii) For every \(n\), \(X_n\) is a projective analytic space.

For instance, if \(\dim X_0 \leqslant 1\), then (ii) and hence (i) holds.

The proof of the theorem only uses Grauerts analogues of the algebraic theorems of finiteness and comparison for direct images (of his blue paper) and the usual exact sequence \(0 \to \underline{Z} \to \underline{O} \to \underline{O}^{\bullet} \to 0\), together with some standard use of Mittag-Leffler story and five lemma. It is valid in fact for any \(H^i(\underline{O}^{\bullet})\), not only \(i = 1\) (which seems the only one however to have geometric significance). les flèches de la suite exacte manquent à la frappe et sont restituées.

In the case of a formal scheme proper over a complete noeth. local ring with residue field of caracteristic \(0\), the analogon of the previous theorem (reducing to statements (i), (i bis)) […] hold true, and I wrote a purely algebraic proof of this, relying only on the fact that the Kernel and Cokernel of \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X_{n+1}}\) [\(\to\)] \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X_n}\) are without torsion, and Néron's finiteness theorem; in particular, the analogon of corollary 1 holds true in this case. These results break down of course in car. \(> 0\). « formal » est souligné à l'encre ; « \(>\) » est ajouté à l'encre.

However, using the (as yet unwritten !) Gaga of Serre-Grauert-Remmert-Grothendieck (cf Grauert-Remmerts paper, complemented by the method of an old talk of mine in Cartan's Seminar, to recover the case of proper morphisms of schemes from the projective one, via Chow's lemma …), the analytic theorem above yiels an interesting intrinsic property of analytic algebras over \(\underline{C}\), with respect to algebraic geometry

228over such a local ring:

Theorem Let \(A\) be an analytic algebra over \(\underline{C}\) (we can suppose \(A\) to be the ring of convergent power series in \(n\) variables), \(\hat{A}\) its completion, \(Y\) and \(\hat{Y}\) the spectra, \(X\) a proper scheme over \(Y\), \(\hat{X} = X \times_Y \hat{Y}\). Then:

(i) The inverse system \((\operatorname{Pic}(X_n))\) satisfies MLAR (as stated above, this depends only on the car. \(0\) assumption for the residue field).

(ii) \(\operatorname{Pic}(X)\) and \(\operatorname{Pic}(\hat{X})\) have same image in \(\operatorname{Pic}(X_n)\), – namely the group of “universal images”. (NB recall \(\operatorname{Pic}(\hat{X}) \simeq \varprojlim \operatorname{Pic}(X_n)\) ).

(iii) In order for \(\operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(\hat{X})\) to be an isomorphism, it is necessary and sufficient that \(\operatorname{supp} R^1 f_*(\underline{O}_X^{*}) \subset (y)\), i.e. \(H^1(X, \underline{O}_X)\) of finite length over \(A\). (NB It amounts also to the same to ask that the inverse system of the subgroups \(\operatorname{Pic}'(X_n)\) of universal images is constant for large \(n\)).

We get for example:

Corollary 1 The following conditions are equivalent: (i) \(X/Y\) projective (ii) \(\hat{X}/\hat{Y}\) projective (iii) For every \(n\), \(X_n/Y_n\) projective.

This applies for instance if \(\dim X_0 \leqslant 1\).

Now, applying your theorem of resolution of singularities, and Mumford's method of relating the local Picard group of \(A\) to the global Picard group of a regular scheme dominating \(A\) birationnally, one gets from the last statement (iii) of last theorem:

Corollary 2. Let \(A\) be as above, assume […] \(Y' = Y - (y)\) regular, and let \(\hat{Y}' = \hat{Y} - (\hat{y})\). Then \(\operatorname{Pic}(Y') \to \operatorname{Pic}(\hat{Y}')\) is an isomorphism.

This explains “à priori” (when \(A\) is normal) why Mumford was

229⌜able⌝ to introduce […] on the group of divisor-classes of \(A\) a structure of an analytic group (which in fact is algebraic…), which from the algebraic point of view should be possible rather for the group of divisor classes of the completion \(\hat{A}\); of course Mumford uses directly the same kind of argument I used.

I do not know if in the last statement, the hypothesis that \(Y'\) is regular (“\(y\) isolated singularity”) is essential; we could dispense with it […] and replace it simply by “\(A\) reduced” if you can prove by your theory of resolution the following: if \(f\colon X \to Y\) is proper “birational”, \(X\) regular, then \(R^1 f_*(\underline{O}_X) = 0\). I understand you proved this if \(Y\) also is regular (which is easily checked by your theory), but I wonder if this is really needed. of course it is I would not be surprised either if in this statement, \(Y'\) can be replaced by any open subset of \(Y\) (replacing of course \(\hat{Y}'\) by the inverse image of the latter). Moreover, I would expect the analoguous statements to hold for \(\pi_1\), more generally for all “topological” invariants as Weil homology, homotopy groups etc, that can be defined for schemes. This should be related to the fact that all these invariants vanish for the geometric fibers of the morphism \(\operatorname{Spec}(\hat{A})\) [\(\to\)] \(\operatorname{Spec}(A)\). This is easy to check at least for \(\pi_0\) (and is true in fact for any henselian ring which is a “good” ring); however I do not know if this is true also for \(\pi_1\). la note marginale « of course it is », au crayon, est en regard de « really needed », souligné à la main.

Besides, I would not be surprised if most of the previous results (namely parts (ii) and (iii) of the second theorem, and the two corollaries, as well as the previous conjectures of the previous section) did hold true for any “good” ring which is henselian, ⌜or⌝ at least for the

230“henselian closures” of the local rings arising from algebras of finite type over a field, or over the integers, – although I do not have any result along these lines (except ⌜those⌝ stemming from my remark on \(\pi_0\)). […] This can be stated of course directly in terms of conjectures for the latter local rings without explicit reference to a henselian closure, for instance corollary 2 would yield the conjectural statement: Let \(A\) be a local […] ring of an algebra of finite type over a field, \(\hat{A}\) its completion, \(Y\) and \(\hat{Y}\) the spectra, \(Y'\) and \(\hat{Y}'\) the complements of the closed points, then any invertible sheaf on \(\hat{Y}'\) can be defined by an invertible sheaf on some \(Y_1'\), where \(Y_1\) is local and \(Y_1\) [\(\to\)] \(Y\) is étale with trivial residue field extension (i.e. inducing an isomorphism for the completions in \(A\) [\(\to\)] \(A_1\)). I wonder what information is given by Mumfords example in his blue paper, p. 16, which I believe yields a case where the invertible sheaf considered does not come from an invertible sheaf on \(Y'\) ? I was not able to understand his construction. « \(\pi_0\) » est écrit à l'encre ; dans « on \(\hat{Y}'\) », le « \(\hat{Y}'\) » est corrigé à la machine sur un « \(\hat{X}\) ».

Anyhow, one should be able to determine whether or not ⌜the⌝ analytic algebras over \(\underline{C}\) have any significant intrinsic property which is not shared by all “good” henselian rings with residu field of car. \(0\) (I recall that by good I mean – “quotient of a regular local ring \(B\) such that the fibers of \(\operatorname{Spec}\hat{B} \to \operatorname{Spec}(B)\) are universally regular).

Please give my regards to Waka, and also Mireille's ; she just got the parcel from Waka, and was extremely pleased, in fact, she slipped into her new bed-shirt on the spot, and is delighted by it in every respect.

Sincerely yours

Pic d'un schéma formel en car. 0

titre encadré en haut à droite de la page 232.

232Lemme Soit \(\varphi\colon G \to H\) un homomorphisme de type fini de groupes loc. de type fini sur un corps \(k\). Alors

(i) \(\underline{\Pi}_0(\varphi)\colon G/G^0 \to H/H^0\) est de type fini, en particulier son noyau est fini.

[Si \(N = \operatorname{Ker}\varphi\) est connexe, alors \(\underline{\Pi}_0(\varphi)\) est […] […] […]] ([…] si \(H/H^0\) […] […] […] […] \(G/G^0\))

(ii) Supposons que \(N = \operatorname{Ker}\varphi\) soit connexe, soit \(H' = \operatorname{Im}\varphi\), ⌜et \(i\colon H' \to H\) l'immersion canonique.⌝ Alors \[ \operatorname{Ker}\underline{\Pi}_0(\varphi) \text{\struck{$= \operatorname{Ker}\underline{\Pi}_0(i)$}} \simeq \bigl(H'/H'^0\bigr) \cap \bigl(H/H^0\bigr)^0 . \] ⌜et \(\operatorname{Coker}\underline{\Pi}_0(\varphi)\), \(\operatorname{Coker}\varphi\)⌝ ⌜ne changent⌝ pas quand on remplace \((G, H, \varphi)\) par \((H', H, i)\) ou même par \((H'/H^0, H/H^0, i')\) … la formule pour \(\operatorname{Ker}\underline{\Pi}_0(\varphi)\) est barrée d'un trait qui la traverse en entier ; les ajouts interlinéaires la remplacent par l'énoncé d'invariance. Sous « \(H'/H^0\) », une annotation : « discret \(\subset F\) ».

Corollaire ⌜(iii)⌝ Supposons ⌜que \(\operatorname{Ker}\varphi\) soit connexe et⌝ que \(\operatorname{Coker}\varphi\) soit “géométriquement sans torsion”. Alors \(\underline{\Pi}_0(\varphi)\) est injectif et \(\operatorname{Coker}\underline{\Pi}_0(\varphi)\) est sans torsion. « (iii) » est cerclé et remplace l'étiquette « Corollaire » biffée.

Dém. ⌜de (iii)⌝. Grâce à (ii) précédent, on est ramené au cas où \(\varphi\) est une immersion fermée, et où \(G\) est discret. Mais alors \(\operatorname{Coker}\varphi\) contient \(H^0/G \cap H^0\) où \(G \cap H^0 = \operatorname{Ker}\underline{\Pi}_0(\varphi)\). Si ce quotient est sans torsion, il faut que, ou bien

234a) car \(k > 0\), […] ⌜et⌝ \(H^0\) […] réduit : […] […] alors \(G \cap H^0 = \{e\}\) i.e. \(\underline{\Pi}_0(\varphi)\) est injectif, et du point de vue géométrique on a \(\varphi = \underline{\Pi}_0(\varphi)\) donc \(\operatorname{Coker}\underline{\Pi}_0(\varphi)\) est sans torsion

b) car \(k = 0\), \(H^0\) est un groupe vectoriel, et donc le sous-groupe fini \(G \cap H^0 = 0\). Donc […] on a une suite exacte \[ 0 \to H^0 \to H/G \to \operatorname{Coker}\underline{\Pi}_0(\varphi) \to 0 . \] qui splitte du point de vue géométrique [car \(H^0\) est divisible]. Comme \(H/G\) est sans torsion, il en est donc de même de \(\operatorname{Coker}\underline{\Pi}_0(\varphi)\). \(G \subset H\) sous « \(\operatorname{Coker}\underline{\Pi}_0(\varphi)\) », écrit au-dessus d'un mot barré, l'égalité « \(= H/(G \cdot H^0)\) ».

Corollaire 1 Soit \((G_n)_{n \in \mathbf{Z}}\) un système projectif de groupes ⌜commutatifs⌝ […] loc. de type fini sur le corps \(k\). Supposons ⌜a)⌝ […] \(G_0/G_0^0\) est à engendrement fini ⌜b)⌝ pour tout entier \(n\), l'homomorphisme de transition \(G_{n+1} \to G_n\) ⌜est de type fini,⌝ a a un noyau connexe, et un conoyau qui est géométriquement sans sans torsion

⌜b)⌝ pour tout \(n\), \(\underline{\Pi}_0(G_n)\) est à engendrement fini. la dernière ligne, serrée en bas de page sous la précédente, porte elle aussi l'étiquette « b) » ; on ne voit pas si elle remplace la condition b) ou si elle commence déjà la conclusion, qui se poursuit page 236.

236Sous ces conditions

(i) Le système projectif \((\underline{\Pi}_0(G_n))_n\) est essentiellement constant.

(ii) Les systèmes \((G_n^0)_n\) [donc aussi le système \((G_n)\)] satisfont (M.L.).

(iii) […] ⌜([…] […] […])⌝ Il existe un \(n_0\) tel que pour \(n \geqslant n_0\), le noyau et conoyau noyau de \(G_n \to G_{n_0}\) soit un groupe vectoriel en car. \(= 0\), et sans torsion [dans presque radiciel en car. \(> 0\). [Si la car. est nulle et si […] les \((G_{n+1} \to G_n)\) […] […], alors les noyaux des \((G_{n+1} \to G_n)\) sont des groupes vectoriels, ([…] pour \(n \geqslant n_0\) […])

Corollaire 2 Supposons que les \(\operatorname{Ker}(G_{m+1} \to G_m)\) soient […] ⌜[…]⌝ ⌜unipotents⌝ […] groupes unipotents connexes, supposons \(k\) parfait et supposons \(k\) parfait [le cas important étant le car. \(0\)]. Alors le système des \((G_n(k))_n\) satisfait ML.

238en tête de page, un brouillon : « \(G_m\) […] \(P \to Q \to R\) », avec \(\operatorname{Im} P \cap \operatorname{Ker} Q\) remplacé par \(\operatorname{Im}(P \to Q) \cap \operatorname{Ker}(Q \to R)\).

Dém. Si […], si \(G_{n,m} = \operatorname{Im}(G_m \to G_n)\) pour \(m \geqslant n\), on doit prouver que \[ G_{n,m}(k) = \operatorname{Im}(G_m(k) \to G_n(k)) \] Il suffit de voir que \(H^1(k, N_{m,n}) = 0\). Par suite, ⌜[…] […],⌝ le système des \(\operatorname{Im}(G_m(k) \to G_n(k))\) sont stationnaires.

N.B. Si les \(G_n\), […] pour alg., […] […] ⌜[…] unipotent connexe⌝, donc si les \(\operatorname{Ker}(G_{n+1} \to G_n)\) sont des groupes unipotents, […] […] les \(\operatorname{Ker}(G_m \to G_n)\) pour […] sont des groupes vectoriels, en particulier […] […]. […] le N.B. est tenu par un trait vertical dans la marge gauche ; plusieurs mots y sont surchargés.

Th. Soit \(\mathfrak{X}\) un schéma formel ⌜propre⌝ sur un […] local noethérien complet \(A\), contenant un corps de car. \(0\), tel que \(k(A)\) soit fini sur \(k\). Considérons les \(X_n\) comme des schémas propres sur \(k\), considérons le syst. projectif \[ \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}_{X_n/k}\bigr) . \] Alors ce syst. satisfait aux conditions

240du Cor. 1 précédent, et le système des \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X_n/k}(k)\) satisfait à M.L.

N.B. On oublie […] \(\Rightarrow\) M.L.A.R.

N.B. On suppose l'existence des \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X_n/k}\), […] prouvée en général par Murre. Dans le cas projectif, elle […] […] par Grothendieck – Oort. Le fait que les \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X_{n+1}/k} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X_n/k}\) sont de type fini, et […] le noyau […] connexe ⌜(dont […] becomes […])⌝ […], le conoyau sans torsion ⌜(becomes […])⌝, se voit sur la théorie de Oort des obstructions [cf […] ex. […] de cohomologie]. De plus, on utilise le ⌜théorème […]⌝ […] de Néron […] pour \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X_0/k}\). passage très surchargé : deux insertions entre parenthèses, en partie en anglais (« becomes »), sont reliées par des accolades ; leur place exacte dans la phrase est incertaine.

(Soit \(\mathfrak{X}\) propre […] loc. noeth. complet […] […] résiduel \(k\) de car. \(0\) […] […] […] […] […] […] […] […] \((\underline{\mathrm{Pic}}(X_n))_{n \in \mathbf{Z}}\). Alors […].) note entre parenthèses, écrite serrée sur quatre lignes au-dessus du corollaire, largement illisible.

Corollaire […] à M.L.

[…] […] Lorsque […] […] […] \(k \subset A\), \(X_0\) […] […] […] […] \(/k\), […] […] […] les dernières lignes sont barrées de deux traits obliques et ne se lisent qu'en fragments ; l'argument se poursuit au-delà du lot.