AK — Pseudomorphismes

« AK » en tête à gauche, « Pseudomorphismes » souligné en tête à droite, au crayon ; feuillet en largeur

X un préschéma. ci-dessus et dans la suite, les retours à la ligne sont ceux du feuillet Ouvert schématiquement dense U : si X est le plus petit sous-préschéma fermé X dominant U, i.e. si \overline{U} = X [lorsque U \to X est quasi-compact V, U \cap V est schématiquement dense dans X — aussi mieux définition : toute fonction section de \underline{\mathcal{O}}_{X} sur un de X sur U \cap V est nulle].

Condition locale section [si X = \bigcup X_{i}, les X_{i} , alors les U \cap X_{i} sch. dense dans les X_{i}].

U schématiquement dense dans X \Longleftrightarrow V q.c. U \subset V \subset X. U schém. dense dans X \Rightarrow U schém. dense dans . Si U, U' sont schém. denses, alors U \cap U' l'est.

[Soit X et Y sur S, X Y séparé sur S, X \to U schém. dense dans X. Si f, g : X \to Y sont S-morphismes tels que f|U = g|U ]

Pseudo-morphismes : classe d'équivalence d'applications de morphismes définis sur des schématiquement denses, équivalents S-morphismes. Pour un S-morphisme dans un S-préschéma séparé, il y a un (plus grand ouvert) domaine de définition. D(f|V) = \mathrm{Dom}(f|V) = \mathrm{Dom}(f) \cap V

Ex. Si X est réduit, alors schématiquement dense = dense irréductibles pseudo-morphismes = applications rationnelles.

Pour tout ouvert U de X, soit F(U) l'ens. des pseudo-S-morphismes de U dans Y (S-schéma fixé). Applications de restriction F(U) \to F(V) si U \supset V. Cela est définit un faisceau [grâce à la relation \mathrm{Dom}\, f_{i}|U_{ij} = \mathrm{Dom}(f_{i}) \cap U_{ij}] appelé faisceau des pseudo-S-morphismes de X dans Y.

En particulier, on obtient ainsi le faisceau des pseudo-sections de \mathcal{O}_{X} (faisant X = S, Y = X[t]) qui est un faisceau d'anneaux contenant \underline{\mathcal{O}}_{X}, en particulier un faisceau d'algèbres.

Prop. faisceau est quasi-cohérent X = \mathrm{Spec}(A). les deux dernières lignes sont biffées

Diviseurs de fonctions Soit X une variété irréductible normale déf/k K = k(X) le corps des fonctions rationnelles/k sur X. Soit V un irréductible diviseur premier déf. sur k sur X.

Alors l'ensemble des f \in K définies en V forment un anneau de valuation discrète, \mathcal{O}_{(V)}.

En effet, c'est un localité normale, dont la dimension de Krull est 1.

Soit v_{V} la valuation de K attachée à cet valuation de K. Appelons diviseur déf/k de X toute formelle des diviseurs premiers rat. déf/k. Posons, pour tout f \in K \mathrm{div} f = \sum_{\substack{V \text{ div.} \\ \text{pr}/k}} v_{V}(f) \cdot V Cette somme a un sens, car pour f donnée, il n'y a qu'un nb fini de termes non nuls ; pour le voir, on se ramène au cas affine, alors les diviseurs pr. déf/k correspondent aux idéaux premiers minimaux de l' normal noethérien A = k[X], et le résultat est bien connu.

Théorème équivalent \mathrm{div} f \geqslant 0 \Longleftrightarrow f est partout définie

C'est résultat de la théorie des normaux : A = \bigcap A_{\mathfrak{p}} (\mathfrak{p} premier minimal) si A est normal. En effet, définition, et \mathrm{div} f \geqslant 0 \Longleftrightarrow f \in \bigcap A_{\mathfrak{p}}.

Corollaire 1 Pour que f soit défini en un sous-variété irréductible Y, il faut et il suffit que L'ens. des points de X où f défini se le voisinage des V tels que v_{V}(f) < 0. V si f est une application rationnelle de X dans une variété (X normale) c'est que une sous-variété pure de dim n-1.

N.B. Les résultats précédents restent essentiel si l'ens. des pts singuliers de X est de dim \leqslant n-2.

Th. Soit X une variété normale de dim n, Y une variété complète, f : X \to Y une application rationnelle. Alors l'ens. des pts où f pas définie est de dim \leqslant n-2.

X Deux démonstrations :

a) , en regardant le graphe de f, que f est inverse d'un morphisme birationnel g : Y \to X, et g est propre. Soit X' l'un des pts tels que g^{-1}(x) soit de dim > 0, alors X' est de dim \leqslant n-2, car sinon g^{-1}(X') serait de dim \geqslant (n-1)+1 = n, absurde. Donc g^{-1}(X) D' part, il résulte du Main th. que dehors de \complement X', g est un isom. biunivoque, donc g^{-1} est défini sur \complement X'. O.K.

N.B. Bien entendu, le th. se généralise au cas où l'ens. des pts singuliers de X est de dim \leqslant n-2

le raisonnement commence avant ce feuillet X irréductible, f domine , précisément .

b) Soit V un hyperplan irréductible de X. voir que f est définie en un au moins de V, i.e. f « définie en localité \mathcal{O}_{(V)} », il faut montrer qu'il existe une localité de Y dominée par \mathcal{O}_{(V)}. Or résulte de la définition valuative des variétés complètes, et du fait que \mathcal{O}_{(V)} est un anneau de valuation.

Le foncteur de Picard

Faits élémentaires sur les classes de diviseurs, faisceaux inversibles, immersions projectives etc.

Soit X un S-préschéma, on pose

\text{Prépic}(X/S) = H^{1}(X, \underline{\mathcal{O}}_{X}^{*}) \mathrm{Pic}(X) = H^{1}(X, \underline{\mathcal{O}}_{X}^{*}) \underline{\underline{\text{Prépic}}}_{X/S}(S') = \text{Prépic}(X'/S') = H^{1}(X', \underline{\mathcal{O}}_{X'}^{*}) \qquad \text{où } X' = X \times_{S} S' donc \underline{\underline{\text{Prépic}}}_{X/S} est bien un foncteur contravariant en le préschéma S'. \text{Prépic}'(X/S) = \Gamma(S, \underline{H}^{1}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*})) \underline{\underline{\text{Prépic}}}'_{X/S}(S') = \Gamma(S', \underline{H}^{1}_{X'/S'}(\underline{\mathcal{O}}_{X'}^{*})) \qquad \text{où } X' = X \times_{S} S' On passe de \underline{\underline{\text{Prépic}}} à \underline{\underline{\text{Prépic}}}' en remplaçant la grossière recouvrements .

Proposition 1 Supposons \underline{H}^{0}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}. Alors un isomorphisme monomorphisme canonique \text{Prépic}'(X/S) \leftarrow \text{Prépic}(X/S)/\mathrm{Pic\,abs}(S) qui est un isomorphisme si X/S admet une section. la flèche, tracée en gras, va de droite à gauche Résulte de l'interprétation plus précise

Corollaire 1 Le foncteur \underline{F} \to \underline{F} \otimes_{S} X des faisceaux loc. libres sur S dans les faisceaux loc. libres sur X définis est pleinement fidèle, i.e. est fermée faisceaux loc. libres sur X qui sont principaux loc. de Y, foncteur inverse est le foncteur \underline{H}^{0}_{X/S}.

expliciter \mathrm{Pic}(X/S) \to \text{Prépic}'(X/S) ; corollaire d'une suite exacte évidente ; préliminaires

Il en résulte en plus que l'on a une suite exacte ( faisceaux inversibles) 0 \to \mathrm{Pic}(S) \to \mathrm{Pic}(X) \to \text{Prépic}'(X/S) l'image le dernier étant formé des sections de \underline{H}^{1}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*}) qui , l'image de \underline{H}^{1}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*}) i.e. dans l'obstruction dans H^{2}(S, \underline{\mathcal{O}}_{S}^{*}) est nulle,

[N.B. suite exacte termes de de Leray 0 \to H^{1}(S, \underline{H}^{0}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*})) \to H^{1}(X, \underline{\mathcal{O}}_{X}^{*}) \to H^{0}(S, \underline{H}^{1}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*})) \to H^{2}(S, \underline{H}^{0}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*})) H^{2}(S, \underline{H}^{0}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*})) \to H^{2}(X, \underline{\mathcal{O}}_{X}^{*}) la dernière flèche descend verticalement sous H^{2}(S, \underline{H}^{0}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*})) compte tenu \underline{H}^{0}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}^{*}]. S'il existe une section de X/S, alors résultat plus complet

[Interprétation si X/S a une section] ; l'existence \underline{H}^{0}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}

Corollaire 2 Soit \underline{C} la catégorie des faisceaux sur X munis d'un isomorphisme \underline{\mathcal{O}}_{S} \to s^{*}(\underline{L}). Alors (i) tout automorphisme de \underline{C} est trivial (ii) L'ensemble de \text{Prépic}(X/S) provient d'un \underline{L} \in \underline{C}, déterminé à isom. unique près.

Pour prouver (ii), on considère un recouvrement de S par des U_{i} tels que \xi soit donné par des \underline{L}_{i} sur X_{i} = X|U_{i}, prenant les U_{i} assez petits

[ S…]

Remplaçons \underline{L}_{i} par \underline{L}_{i} \otimes_{S} s^{*}(\underline{L}_{i})^{-1}, on supposer isomorphismes \mathcal{O}_{S}|U_{i} \xrightarrow{\varphi_{i}} s^{*}(\underline{L}_{i}). Dans X_{ij} = X|U_{i} \cap U_{j}, \underline{L}_{i} et \underline{L}_{j} sont U_{ij}-équivalents, donc il y a un isomorphisme de \underline{L}_{i} sur \underline{L}_{j} compatible avec les \varphi_{j} et \varphi_{i}. L'assertion résulte que les satisfont la condition de recollement, d'où le résultat. Question : donner une formulation cohomologique du raisonnement.

démontrer il ( )

Proposition 2 \underline{H}^{0}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}, et X quasi-compact séparé sur S, extension plate de la base. Soit S' \to S une extension quasi-compacte fid. plate de la base. (i) Alors \text{\struck{$\mathrm{Pic}$}}\ \text{Prépic}'(X/S) \to \text{Prépic}'(X'/S') est injectif. (ii) Si X/S localement une section,

\to \text{Prépic}'(X/S) \to \text{Prépic}'(X'/S') \rightrightarrows \text{Prépic}'(X''/S'') [où S'' = S' \times_{S} S'] est exacte

\underline{\underline{\text{Prépic}}}_{X/S}

En effet, le point (ii) est conséquence immédiate de

Corollaire 1 sous les conditions de prop. 1, X séparé quasi-compact sur S

Corollaire 1, soit S' \to S une extension quasi-compacte fid. plate de la base. Soit \underline{E} loc. libre sur X. Pour qu'il soit isomorphe à l'image inverse d'un faisceau loc. libre sur S, il faut que \underline{E}' soit isomorphe à l'image inverse d'un faisceau loc. libre sur S.

En effet, il faut exprimer que f_{*}(\underline{E}) est loc. libre et f^{*}f_{*}(\underline{E}) \to \underline{E} isom. Or f_{*}(\underline{E})' = f_{*}(\underline{E}') (car fid. ) ramène à des assertions évidentes de stabilité de propriétés par fid. plates (Chap. IV).

Pour prouver (ii), on ramené à prouver de \text{Prépic}'(X'/S') dont les images sur les , provient d'un de \text{Prépic}'(X/S). À cause de l'injectivité, on voit que sur S, on donc supposer que une section de X sur S. identifier les objets éléments de \text{Prépic}(X/S) (resp. ) des faisceaux inversibles sur X à section rigidifiée sur S, on peut appliquer la théorie de la descente fid. plate.

Corollaire 2 Lorsque combine Prop. (ii) faisceaux sur X.

Corollaire 3 Supposons que la relation \underline{H}^{0}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S} reste vraie par toute extension de la base (i.e., X est plat sur S , et X/S a localement une section, et \underline{H}^{0}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}), (Alors le foncteur \underline{\underline{\text{Prépic}}}'_{X/S} est compatible [= exact pour] la descente fidèlement plate quasi-compacte.

\underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S} = enveloppe exacte de \underline{\underline{\text{Prépic}}}_{X/S} (ou \underline{\underline{\text{Prépic}}}'_{X/S}) pour la descente fid. plate quasi-compacte.

[Il y a un ennui, car un recouvrement d'un préschéma quasi-compact majoré par un morphisme fid. plat qu.-compact. Il faut donc dire fid. plat qu.-compact : fid. plat qu. après localisation morphisme de localisation fidèlement plate]

Donc on a des morphismes fonctoriels \underline{\underline{\text{Prépic}}}_{X/S} \xrightarrow{\alpha} \underline{\underline{\text{Prépic}}}'_{X/S} \xrightarrow{\beta} \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S} au-dessus du premier « Pic » de \text{Prépic}, une surcharge illisible Le premier morphisme n'est pas injectif en général [noyau , si \underline{H}^{0}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}, et reste vrai par changement de base] est le foncteur \underline{\mathrm{Pic}} (absolu) ( …) en vertu de prop. 1, (i), [Il est surjectif si suppose en plus de la condition [ ] que X/S a une section.

D'autre part \beta est un monomorphisme, l'hypothèse \underline{H}^{0}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S} « universelle » ; et il est surjectif dès qu'il l'est si on suppose de plus que X a localement une section sur S.

Exemple où \beta n'est pas surjectif : variété de Severi-Brauer non triviale distribution : la surjectivité de \beta H^{2}(S, \mathbf{G}_{m})…

Remarques On voit donc que le foncteur \underline{\underline{\text{Prépic}}} n'est pas représentable en général, par triviaux ; \underline{\underline{\text{Prépic}}}'_{X/S} ne être représentable que si \beta est un isom. et si \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S} est représentable, ce qui [ pratique des conditions, , l'existence d'une section de X sur S]. Question : \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S}, il est représentable dans des cas suffisamment importants qui seront étudiés par la suite. C'est le plus important pour propos.

X plat de S

Y sous-schéma divisoriel de X transversal aux fibres est défini par un faisceau inversible \underline{L} sur X et une section s de \underline{L} non diviseur de 0 sur les fibres.

Partons d'un faisceau inversible \underline{L} sur X, et déterminons les faisceaux sous-schémas divisoriels de X transversaux aux fibres qui définissent \underline{L}(Y) qui sont isomorphes [resp. S-équivalents, resp. Y-équivalents] Pic-équivalents rel. à Y] à \underline{L}. // Les premiers sont ceux qui se définissent par les sections de \underline{L} non diviseurs de 0 sur les fibres, sections qu'il faut prendre modulo \Gamma(S, f_{*}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*})) ; si f_{*}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}, les donc modulo \underline{\mathcal{O}}_{S}^{*}, donc on la partie de \underline{H}^{0}_{f}(\underline{L}) convenable d'une

\underline{H}^{0}_{f}(\underline{L})^{*} de \underline{H}^{0}_{f}(\underline{L}) par le groupe

\underline{H}^{0}_{f}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*}) = \underline{H}^{0}_{f}(\underline{\mathcal{O}}_{X})^{*}, donc dans le cas favorable par \underline{\mathcal{O}}_{S}^{*}. — Dans le deuxième cas, on trouve les sections de \underline{H}^{0}_{f}(\underline{L})^{*}/\underline{H}^{0}_{f}(\underline{\mathcal{O}}_{X})^{*} dans le cas le favorable de \underline{H}^{0}_{f}(\underline{L})^{*}/\underline{\mathcal{O}}_{S}^{*}. —

Il en est encore de la troisième, si on suppose que X est quasi-compact séparé sur S et que \underline{H}^{0}_{f}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S} — pas la S-équivalence est identique : la Picard-équivalence rel. à Y

Supposons maintenant que X quasi-compact séparé sur S, \underline{H}^{0}_{f}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S} et Kif-kif par extension de la base

et que \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S} et \underline{\underline{\mathrm{Div}}}_{X/S} existent. Alors l'ensemble précédent H^{0}(S, \underline{H}^{0}_{f}(\underline{L})^{*}/\underline{\mathcal{O}}_{S}^{*}) peut s'interpréter comme l'ensemble des sections \theta de \underline{\underline{\mathrm{Div}}} sur S telles que p\theta = \lambda, où \lambda est la section de \underline{\underline{\mathrm{Pic}}} sur S qui correspond à \underline{L}. Donc, posons \underline{\underline{\mathrm{Div}}}^{(L)} = \varphi^{-1}(\lambda(S)) [sous-préschéma de \underline{\underline{\mathrm{Div}}}] c'est l'ens. des sections de \underline{\underline{\mathrm{Div}}}^{L}_{X/S} sur S. Ceci est compatible extension de la base S', donc le foncteur \underline{\underline{\mathrm{Div}}}^{L}_{X/S}(S') = H^{0}(S', \underline{H}^{0}_{f'}(\underline{L}')^{*}/\underline{\mathcal{O}}_{S'}^{*}) S' est représentable. Ceci dit [La définition condition nécessaire intéressante termes des diviseurs, pour l'existence

la phrase se poursuit au-delà de ce feuillet

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \underline{\underline{\mathrm{Pic}}} \arrow[dr, "\varphi"'] & & \underline{\underline{\mathrm{Div}}} \arrow[ll, "p"'] \arrow[dl, "\psi"] \\ & S & \end{tikzcd}

ce petit diagramme est tracé dans la marge gauche, à hauteur de « p\theta = \lambda »