Cote n° 57, pages 161–180

Cote n° 57 · batch 9 · pages 161–180 · Transcription · Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962).
Datation de l’inventaire : 1962-[vers 1968]
Édition de démonstration

161fragment ; le raisonnement commence avant ce feuillet […] en correspondance […] les $\mathcal{P}$ principaux sur $X$ de groupe $GP(N)$, et les […] […]

\[ \mathcal{P} \longrightarrow \mathcal{J} \]

qui sont compatibles avec les opérations de $GP(N)$. ($GP(N)$ opérant sur $\mathcal{J}'$ dont les pts fixes ($= \underline{\mathrm{Aut}}_{S}(X)$ […]) […]).

Donc $\simeq \Gamma(\mathcal{J}/GP(N))$ existe, […] correspond […]

[…] […] morphismes $\mathcal{G} \to \mathcal{J}/GP(N)$ …

[…] […] $(X, P^{N})$ ; $\mathcal{J}' = \underline{\mathrm{Isom}}_{S}$ […] et les […] spéciales

163notes de sa main, à l'encre, sur le verso d'une page dactylographiée sans rapport, qui n'est pas transcrite $Y \subset X$, $X \times \mathrm{Pic}$

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \times \mathrm{Pic} \arrow[d] & \\
\mathrm{Pic} & \mathrm{Div} \arrow[l, "d"]
\end{tikzcd}

$\underline{L}^{Y}$

$\xi \in \underline{H}^{0}_{f}(\underline{L}^{Y})$ […]

\[ \cdot \to \mathrm{Ker} \to \underline{H}^{0}_{f}(\underline{L}^{Y})^{\vee} \to \underline{\mathcal{O}}_{Y} \to 0 \] \[ 0 \to \underline{\mathcal{O}}_{S} \to \underline{H}^{0}_{f}(\underline{L}) \to \underline{H}^{0}_{f}(\underline{L}|Y) \] \[ \underline{J}\,\underline{L} \to \underline{L} \to \underline{L}|Y \to 0 \qquad\qquad \underline{L} = \underline{J}^{-1} \] \[ 0 \to \underline{\mathcal{O}}_{X} \to \underline{L} \to \underline{L}|Y \to 0 \] \[ 0 \to \underline{\mathcal{O}}_{S} \to \underline{H}^{0}_{f}(\underline{L}) \to \underline{H}^{0}_{f}(\underline{L}|Y) \to \underline{H}^{1}_{f}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) \] sous les trois derniers termes : fibré projectif de $\mathrm{Div}/\mathrm{Pic}$ ; fibré tangent $\mathrm{Div}/S$ ; tangent $\mathrm{Pic}/S$.

\[ \to \underline{H}^{1}_{f}(\underline{L}) \longrightarrow \underline{H}^{1}_{f}(\underline{L}|Y) \to \underline{H}^{1}_{f}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) \] sous les deux derniers termes, deux annotations dont on lit seulement des mots : « … obstruction universelle identique pour $\mathrm{Div}/\mathrm{Pic}$ … et […] […] […] » ; « … lisse … $\mathrm{Div}$ … »

165

AK — Pseudomorphismes

« AK » en tête à gauche, « Pseudomorphismes » souligné en tête à droite, au crayon ; feuillet en largeur

$X$ un préschéma. ci-dessus et dans la suite, les retours à la ligne sont ceux du feuillet Ouvert schématiquement […] dense $U$ : si $X$ est le plus petit sous-préschéma fermé […] $X$ dominant $U$, i.e. si $\overline{U} = X$ [lorsque $U \to X$ est quasi-compact […] […] […] $V$, $U \cap V$ est schématiquement dense dans $X$ — aussi […] […] […] mieux […] […] définition : toute fonction ⌜section de $\underline{\mathcal{O}}_{X}$⌝ sur un […] de $X$ […] sur $U \cap V$ est nulle].

[…] Condition locale […] […] section [si $X = \bigcup X_{i}$, les $X_{i}$ […], alors […] les $U \cap X_{i}$ sch. dense dans les $X_{i}$].

$U$ schématiquement dense dans $X \Longleftrightarrow$ […] […] $V$ q.c. $U \subset V \subset X$. $U$ schém. dense dans $X \Rightarrow U$ schém. dense dans […] […]. Si $U, U'$ sont schém. denses, alors $U \cap U'$ l'est.

[…] […]

[Soit $X$ et $Y$ sur $S$, $X$ ⌜$Y$⌝ séparé sur $S$, $X \to$ $U$ schém. dense dans $X$. Si $f, g : X \to Y$ sont […] $S$-morphismes tels que $f|U = g|U$ […]]

[…] ⌜Pseudo⌝-morphismes : classe d'équivalence d'applications de morphismes définis sur des […] schématiquement denses, équivalents […] $S$-morphismes. Pour un […] $S$-morphisme dans un $S$-préschéma séparé, il y a un ⌜(plus grand ouvert)⌝ domaine de définition. […] $D(f|V) =$ $\mathrm{Dom}(f|V) = \mathrm{Dom}(f) \cap V$

166Ex. Si $X$ est ⌜réduit, alors schématiquement dense $=$ dense⌝ […] […] […] […] […] […] irréductibles pseudo-morphismes $=$ applications rationnelles.

Pour tout ouvert $U$ de $X$, soit $F(U)$ l'ens. des pseudo-$S$-morphismes de $U$ dans $Y$ ($S$-schéma fixé). Applications de restriction $F(U) \to F(V)$ si $U \supset V$. Cela est définit un faisceau [grâce à la relation $\mathrm{Dom}\, f_{i}|U_{ij} = \mathrm{Dom}(f_{i}) \cap U_{ij}$] appelé faisceau des […] pseudo-$S$-morphismes de $X$ dans $Y$.

En particulier, on obtient ainsi le faisceau des pseudo-sections de $\mathcal{O}_{X}$ (faisant $X = S$, $Y = X[t]$) qui est un faisceau d'anneaux […] contenant $\underline{\mathcal{O}}_{X}$, en particulier un faisceau d'algèbres.

Prop. […] […] faisceau est quasi-cohérent […] […] […] […] $X = \mathrm{Spec}(A)$. les deux dernières lignes sont biffées

168Diviseurs de fonctions Soit $X$ une variété irréductible normale déf/$k$ $K = k(X)$ le corps des fonctions rationnelles/$k$ sur $X$. Soit $V$ un […] […] irréductible ⌜diviseur premier déf.⌝ sur $k$ sur $X$.

Alors l'ensemble des $f \in K$ définies en $V$ forment un anneau de valuation discrète, […] $\mathcal{O}_{(V)}$.

En effet, c'est un […] localité normale, dont la dimension de Krull est 1.

Soit $v_{V}$ la valuation ⌜de $K$⌝ attachée à cet […] […] […] valuation de $K$. Appelons diviseur ⌜déf/$k$⌝ de $X$ toute […] […] formelle des diviseurs premiers rat. déf/$k$. Posons, pour tout $f \in K$ \[ \mathrm{div} f = \sum_{\substack{V \text{ div.} \\ \text{pr}/k}} v_{V}(f) \cdot V \] Cette somme a un sens, car pour $f$ donnée, il n'y a qu'un nb fini de termes non nuls ; […] pour le voir, on se ramène au cas […] affine, alors les diviseurs pr. déf/$k$ correspondent aux idéaux premiers […] […] minimaux de l'[…] […] normal noethérien $A = k[X]$, et le résultat est bien connu.

Théorème […] […] […] équivalent $\mathrm{div} f \geqslant 0 \Longleftrightarrow f$ est partout définie

C'est résultat de la théorie des […] […] normaux : $A = \bigcap A_{\mathfrak{p}}$ ($\mathfrak{p}$ premier minimal) si $A$ est normal. En effet, […] […] […] […] […] […] définition, et $\mathrm{div} f \geqslant 0 \Longleftrightarrow f \in \bigcap A_{\mathfrak{p}}$.

169Corollaire 1 Pour que $f$ soit défini en un […] […] sous-variété irréductible $Y$, il faut et il suffit que ⌜L'ens. des points de $X$ où $f$ […] […] défini se⌝ […] le voisinage des […] […] $V$ tels que $v_{V}(f) < 0$. […] […] […] $V$ […] […] […] […] si $f$ est une application rationnelle de $X$ dans une variété […] ($X$ normale) c'est que […] une sous-variété pure de dim $n-1$.

[…] N.B. Les résultats précédents restent […] […] essentiel si […] ⌜l'ens. des pts singuliers de $X$⌝ est de dim $\leqslant n-2$.

Th. Soit $X$ une variété […] […] ⌜normale de dim $n$⌝, $Y$ une variété complète, $f : X \to Y$ une application rationnelle. Alors l'ens. des pts où $f$ […] pas définie est de dim $\leqslant n-2$.

[…] […] […] $X$ Deux démonstrations :

a) […] […] […], en regardant le graphe de $f$, que $f$ est inverse d'un morphisme birationnel $g : Y \to X$, et $g$ est […] propre. […] Soit $X'$ l'un des pts […] […] tels que $g^{-1}(x)$ soit de dim $> 0$, alors $X'$ est de dim $\leqslant n-2$, car sinon $g^{-1}(X')$ serait de dim $\geqslant (n-1)+1 = n$, absurde. Donc $g^{-1}(X)$ D'[…] part, il résulte du Main th. que […] dehors de $\complement X'$, $g$ est un isom. biunivoque, donc $g^{-1}$ est défini sur $\complement X'$. O.K.

N.B. Bien entendu, le th. se généralise […] […] au cas où […] l'ens. des pts singuliers de $X$ est de dim $\leqslant n-2$

170le raisonnement commence avant ce feuillet […] […] $X$ irréductible, $f$ domine […], […] précisément […].

b) Soit $V$ un hyperplan irréductible de $X$. […] voir que $f$ est définie en un […] au moins […] de $V$, […] i.e. $f$ « définie en […] localité $\mathcal{O}_{(V)}$ », il faut montrer qu'il existe une localité de $Y$ dominée par $\mathcal{O}_{(V)}$. Or […] résulte de la définition valuative des variétés complètes, et du fait que $\mathcal{O}_{(V)}$ est un anneau de valuation.

172

Le foncteur de Picard

Faits élémentaires sur les classes de diviseurs, faisceaux inversibles, immersions projectives etc.

Soit $X$ un $S$-préschéma, on pose

$\text{Prépic}(X/S) =$ $H^{1}(X, \underline{\mathcal{O}}_{X}^{*})$ $\mathrm{Pic}(X)$ […] $= H^{1}(X, \underline{\mathcal{O}}_{X}^{*})$ \[ \underline{\underline{\text{Prépic}}}_{X/S}(S') = \text{Prépic}(X'/S') = H^{1}(X', \underline{\mathcal{O}}_{X'}^{*}) \qquad \text{où } X' = X \times_{S} S' \] donc $\underline{\underline{\text{Prépic}}}_{X/S}$ est bien un foncteur contravariant en le préschéma $S'$. \[ \text{Prépic}'(X/S) = \Gamma(S, \underline{H}^{1}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*})) \] \[ \underline{\underline{\text{Prépic}}}'_{X/S}(S') = \Gamma(S', \underline{H}^{1}_{X'/S'}(\underline{\mathcal{O}}_{X'}^{*})) \qquad \text{où } X' = X \times_{S} S' \] On passe de $\underline{\underline{\text{Prépic}}}$ à $\underline{\underline{\text{Prépic}}}'$ en remplaçant la […] grossière […] […] recouvrements […].

Proposition 1 Supposons $\underline{H}^{0}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}$. Alors […] un isomorphisme ⌜monomorphisme⌝ canonique \[ \text{Prépic}'(X/S) \leftarrow \text{Prépic}(X/S)/\mathrm{Pic\,abs}(S) \] qui est un isomorphisme si $X/S$ admet une section. la flèche, tracée en gras, va de droite à gauche Résulte de l'interprétation plus précise […]

Corollaire 1 Le foncteur $\underline{F} \to \underline{F} \otimes_{S} X$ des faisceaux loc. libres sur $S$ dans les faisceaux loc. libres sur $X$ définis ⌜est⌝ pleinement fidèle, i.e. […] […] […] est fermée […] […] faisceaux loc. libres sur $X$ qui sont principaux loc. […] […] […] de $Y$, […] foncteur inverse […] […] […] est le foncteur $\underline{H}^{0}_{X/S}$.

expliciter […] […] […] […] […] $\mathrm{Pic}(X/S) \to \text{Prépic}'(X/S)$ ; […] corollaire […] […] d'une suite exacte évidente ; […] […] […] […] préliminaires

173Il en résulte en plus que l'on a une suite exacte ([…] […] […] […] […] […] faisceaux inversibles) \[ 0 \to \mathrm{Pic}(S) \to \mathrm{Pic}(X) \to \text{Prépic}'(X/S) \] l'image ⌜le dernier⌝ étant formé des sections de $\underline{H}^{1}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*})$ qui […] […], l'image de $\underline{H}^{1}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*})$ i.e. dans l'obstruction dans $H^{2}(S, \underline{\mathcal{O}}_{S}^{*})$ est nulle,

[N.B. […] […] […] […] […] […] suite exacte […] […] […] […] […] […] […] […] termes de […] […] […] de Leray \[ 0 \to H^{1}(S, \underline{H}^{0}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*})) \to H^{1}(X, \underline{\mathcal{O}}_{X}^{*}) \to H^{0}(S, \underline{H}^{1}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*})) \to H^{2}(S, \underline{H}^{0}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*})) \] \[ H^{2}(S, \underline{H}^{0}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*})) \to H^{2}(X, \underline{\mathcal{O}}_{X}^{*}) \] la dernière flèche descend verticalement sous $H^{2}(S, \underline{H}^{0}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*}))$ compte tenu […] […] $\underline{H}^{0}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}^{*}$]. S'il existe une section de $X/S$, alors […] […] […] […] […] […] […] résultat plus complet […]

[Interprétation si $X/S$ a une section] ; […] […] […] […] […] […] […] […] l'existence […] […] $\underline{H}^{0}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}$

Corollaire 2 Soit $\underline{C}$ la catégorie des faisceaux […] sur $X$ munis d'un isomorphisme $\underline{\mathcal{O}}_{S} \to s^{*}(\underline{L})$. Alors (i) tout […] automorphisme […] […] […] de $\underline{C}$ est trivial (ii) L'ensemble […] […] de $\text{Prépic}(X/S)$ provient d'un $\underline{L} \in \underline{C}$, déterminé à isom. unique près.

174Pour prouver (ii), on considère un recouvrement de $S$ par des $U_{i}$ tels que $\xi$ soit donné par des $\underline{L}_{i}$ sur $X_{i} = X|U_{i}$, prenant les $U_{i}$ assez petits

[[…] […] […] $S$…] […] […] […] […]

Remplaçons $\underline{L}_{i}$ par $\underline{L}_{i} \otimes_{S} s^{*}(\underline{L}_{i})^{-1}$, on […] supposer […] […] […] isomorphismes $\mathcal{O}_{S}|U_{i} \xrightarrow{\varphi_{i}} s^{*}(\underline{L}_{i})$. Dans $X_{ij} = X|U_{i} \cap U_{j}$, $\underline{L}_{i}$ et $\underline{L}_{j}$ sont $U_{ij}$-équivalents, donc il y a un isomorphisme […] […] […] de $\underline{L}_{i}$ sur $\underline{L}_{j}$ compatible avec les $\varphi_{j}$ et $\varphi_{i}$. […] L'assertion résulte que les […] satisfont la condition de recollement, d'où le résultat. Question : donner une formulation cohomologique du raisonnement.

démontrer […] […] […] il […] […] […] […] […] […] […] ([…] […])

⌜Proposition 2⌝ […] […] […] […] […] $\underline{H}^{0}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}$, et $X$ quasi-compact séparé sur $S$, […] […] […] […] […] […] […] […] extension plate de la base. Soit $S' \to S$ une extension ⌜quasi-compacte⌝ fid. plate de la base. (i) Alors \[ \text{\struck{$\mathrm{Pic}$}}\ \text{Prépic}'(X/S) \to \text{Prépic}'(X'/S') \] est injectif. (ii) Si $X/S$ localement […] […] une section, […] […] […] […]

175\[ \to \text{Prépic}'(X/S) \to \text{Prépic}'(X'/S') \rightrightarrows \text{Prépic}'(X''/S'') \] [où $S'' = S' \times_{S} S'$] est exacte […] […] […]

$\underline{\underline{\text{Prépic}}}_{X/S}$

[…] En effet, le point (ii) est […] […] conséquence immédiate de

Corollaire 1 sous les conditions de prop. 1, $X$ séparé quasi-compact sur $S$

Corollaire 1, soit $S' \to S$ une extension ⌜quasi-compacte⌝ fid. plate de la base. Soit $\underline{E}$ […] ⌜loc. libre⌝ […] sur $X$. Pour qu'il soit isomorphe […] à l'image inverse d'un faisceau loc. libre sur $S$, il faut que $\underline{E}'$ soit isomorphe à l'image inverse d'un faisceau loc. libre sur $S$.

En effet, il faut exprimer que $f_{*}(\underline{E})$ est loc. libre et […] $f^{*}f_{*}(\underline{E}) \to \underline{E}$ […] isom. Or $f_{*}(\underline{E})' = f_{*}(\underline{E}')$ ⌜(car fid. […] […])⌝ […] […] ramène à des assertions évidentes de stabilité de propriétés par […] fid. plates (Chap. IV).

176Pour prouver (ii), on […] ramené à prouver […] […] […] de $\text{Prépic}'(X'/S')$ dont les images sur les […], provient d'un […] de $\text{Prépic}'(X/S)$. À cause de l'injectivité, on voit que […] […] sur $S$, on […] donc supposer que […] […] une section de $X$ sur $S$. […] […] […] identifier les objets ⌜éléments⌝ de $\text{Prépic}(X/S)$ ⌜(resp. […] […])⌝ […] des faisceaux inversibles sur $X$ à section rigidifiée sur $S$, on peut […] appliquer la théorie de la descente fid. plate.

Corollaire 2 Lorsque combine […] Prop. (ii) […] […] […] ⌜[…] faisceaux sur $X$⌝.

Corollaire 3 Supposons que la relation $\underline{H}^{0}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}$ reste vraie par toute extension de la base (i.e., $X$ est plat sur $S$ […] […], ⌜et $X/S$ a localement une section⌝, et $\underline{H}^{0}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}$), (Alors le foncteur $\underline{\underline{\text{Prépic}}}'_{X/S}$ est compatible [$=$ exact pour] […] la descente fidèlement plate quasi-compacte.

177[…]

$\underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S} =$ enveloppe exacte de $\underline{\underline{\text{Prépic}}}_{X/S}$ (ou $\underline{\underline{\text{Prépic}}}'_{X/S}$) pour la descente fid. plate quasi-compacte.

[Il y a un ennui, car un recouvrement […] […] d'un préschéma […] quasi-compact […] […] […] […] majoré par un morphisme fid. plat qu.-compact. Il faut donc dire […] […] […] fid. plat qu.-compact : fid. plat qu. après localisation morphisme de localisation fidèlement plate]

Donc on a des morphismes fonctoriels \[ \underline{\underline{\text{Prépic}}}_{X/S} \xrightarrow{\alpha} \underline{\underline{\text{Prépic}}}'_{X/S} \xrightarrow{\beta} \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S} \] au-dessus du premier « Pic » de $\text{Prépic}$, une surcharge illisible Le premier morphisme n'est pas injectif en général [noyau […], si $\underline{H}^{0}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}$, et […] […] reste vrai par changement de base] est le foncteur $\underline{\mathrm{Pic}}$ (absolu) ⌜([…] […] […] […] […]…)⌝ en vertu de prop. 1, (i), [Il est surjectif si […] suppose en plus de la condition […] [ ] que $X/S$ a une section. […]

178D'autre part $\beta$ est un monomorphisme, […] l'hypothèse $\underline{H}^{0}_{X/S}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}$ « universelle » ; et il est surjectif dès qu'il l'est si on suppose de plus que […] $X$ a localement une section sur $S$.

Exemple où $\beta$ n'est pas surjectif : variété de Severi-Brauer non triviale […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] distribution : la surjectivité de $\beta$ […] […] […] […] […] $H^{2}(S, \mathbf{G}_{m})$…

Remarques On voit donc que le foncteur $\underline{\underline{\text{Prépic}}}$ n'est ⌜[…] […] […] […]⌝ pas représentable en général, […] […] par […] triviaux […] […] ; $\underline{\underline{\text{Prépic}}}'_{X/S}$ ne […] […] être représentable que si $\beta$ est un isom. et si $\underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S}$ est représentable, ce qui […] [[…] […] […] […] pratique […] […] des conditions, […] […] […] […], […] […] l'existence d'une section de $X$ sur $S$]. Question : $\underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S}$, il est représentable dans des cas suffisamment importants qui seront étudiés par la suite. C'est […] […] […] le plus important pour […] propos.

179$X$ plat […] […] de $S$

$Y$ sous-schéma divisoriel de $X$ transversal aux fibres est défini par un faisceau inversible $\underline{L}$ sur $X$ et une section $s$ de $\underline{L}$ […] non diviseur de 0 sur les fibres.

Partons d'un faisceau inversible $\underline{L}$ sur $X$, et déterminons les faisceaux sous-schémas divisoriels de $X$ transversaux aux fibres qui définissent […] $\underline{L}(Y)$ […] qui sont […] […] […] […] isomorphes [resp. $S$-équivalents, resp. $Y$-équivalents] […] Pic-équivalents rel. à $Y$] à $\underline{L}$. // Les premiers sont ceux qui se définissent par les sections de $\underline{L}$ non diviseurs de 0 sur les fibres, sections qu'il faut prendre modulo $\Gamma(S, f_{*}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*}))$ ; si $f_{*}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}$, […] les […] donc modulo $\underline{\mathcal{O}}_{S}^{*}$, donc on […] la partie de $\underline{H}^{0}_{f}(\underline{L})$ ⌜convenable⌝ d'une […]

$\underline{H}^{0}_{f}(\underline{L})^{*}$ de $\underline{H}^{0}_{f}(\underline{L})$ par le groupe

$\underline{H}^{0}_{f}(\underline{\mathcal{O}}_{X}^{*}) = \underline{H}^{0}_{f}(\underline{\mathcal{O}}_{X})^{*}$, donc dans le cas favorable par $\underline{\mathcal{O}}_{S}^{*}$. — Dans le deuxième cas, on trouve les […] ⌜sections⌝ de $\underline{H}^{0}_{f}(\underline{L})^{*}/\underline{H}^{0}_{f}(\underline{\mathcal{O}}_{X})^{*}$ dans le cas le favorable de $\underline{H}^{0}_{f}(\underline{L})^{*}/\underline{\mathcal{O}}_{S}^{*}$. —

180Il en est encore de […] […] […] la troisième, si on suppose que $X$ est quasi-compact séparé sur $S$ et que $\underline{H}^{0}_{f}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}$ — […] […] pas la $S$-équivalence est identique : la Picard-équivalence rel. à $Y$

Supposons maintenant que $X$ quasi-compact séparé sur $S$, $\underline{H}^{0}_{f}(\underline{\mathcal{O}}_{X}) = \underline{\mathcal{O}}_{S}$ et Kif-kif par ⌜extension de la base⌝

et que $\underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S}$ et $\underline{\underline{\mathrm{Div}}}_{X/S}$ existent. Alors l'ensemble précédent \[ H^{0}(S, \underline{H}^{0}_{f}(\underline{L})^{*}/\underline{\mathcal{O}}_{S}^{*}) \] peut s'interpréter comme l'ensemble des sections $\theta$ de $\underline{\underline{\mathrm{Div}}}$ sur $S$ telles que $p\theta = \lambda$, où $\lambda$ est la section de $\underline{\underline{\mathrm{Pic}}}$ sur $S$ qui correspond à $\underline{L}$. Donc, posons $\underline{\underline{\mathrm{Div}}}^{(L)} = \varphi^{-1}(\lambda(S))$ [sous-préschéma de $\underline{\underline{\mathrm{Div}}}$] c'est l'ens. des sections de $\underline{\underline{\mathrm{Div}}}^{L}_{X/S}$ sur $S$. […] Ceci est compatible […] extension de la base $S'$, donc le foncteur \[ \underline{\underline{\mathrm{Div}}}^{L}_{X/S}(S') = H^{0}(S', \underline{H}^{0}_{f'}(\underline{L}')^{*}/\underline{\mathcal{O}}_{S'}^{*}) \] […] $S'$ est représentable. Ceci dit [La définition […] […] condition nécessaire intéressante […] termes des diviseurs, pour l'existence

la phrase se poursuit au-delà de ce feuillet

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\underline{\underline{\mathrm{Pic}}} \arrow[dr, "\varphi"'] & & \underline{\underline{\mathrm{Div}}} \arrow[ll, "p"'] \arrow[dl, "\psi"] \\
& S &
\end{tikzcd}

ce petit diagramme est tracé dans la marge gauche, à hauteur de « $p\theta = \lambda$ »