Je dis en cas 3 la condition pour X_i \cap X_j les soient irréductibles irréductibles il suffit la condition précédente ( la composante Y_i = Y \cap X_i, Y_j = Y \cap X_j) Y_i, Y_j « irréductibles ». P

Soit X_{ij} une composante irréductible de le X_i \cap X_j Z_{ij} de dans X_j. X = \operatorname{Spec} A ; avec D de la forme \frac{1}{n}\,\ill{}\,\mathrm{div}\,t, t \in B A(A). Comme D \cap X_j = 0, t \in A_j^{*}, x \in A t = x f^{n}, Soit X_2(X_i), f = f(f_i).

figure : les composantes X_i, X_j découpées dans X par des arcs, Y_i et Y_j portés sur elles, X_{ij} et Z_{ij} marqués au point d'intersection, avec flèches vers les étiquettes

(iii) En restreignant X_i, ont que t_i = \varepsilon_i f_i^{\,n_i}, \qquad \varepsilon_i \in A_i^{*}, . Donc, comme Z_{ij} \cap X_j \neq \emptyset, t_i | Z_{ij} et t_j | Z_{ij} .

Soit t_i = t|X_i, f_i = f|X_i t_i = \varepsilon_i f_i^{\,n_i} \qquad (\varepsilon_i \in A_i^{*},\ n_i \in \mathbb{Z}). Z_{ij} \subset X_{ij} X_{ij} , t_i|X_{ij} et t_j|X_{ij} constants, soit t_{ij} = t_i|\ill{} t_{ij} = \varepsilon_{ij} f f_{ij} = f_{i}|\ill{} , \varepsilon_{ij} = \varepsilon_i|Z_{ij}, \varepsilon_{ji} = \varepsilon_j|Z_{ij}. restrictions sur Z_{ij}

Attention, n'est pas X_i \times_X Y réduit ; V(\ill{}) . — X_{ij}.

Comme f_1 est propre et \mathcal{O}_\Sigma \simeq f_*(\mathcal{O}_X) universellement, il s'ensuit que \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}(T) s'interprète par les \underline{L} inversibles sur X_T g_T-rigidifiés. Analogue pour \underline{\mathrm{Pic}}_{X'/S'}(T). Utilisant la théorie de la descente , f_1, f'_1 plats (i) ; \Sigma \to S, \Sigma' \to S plats ; (iii).

L'homomorphisme \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X'/S'} s'interprète alors de façon simple grâce aux g' \colon \Sigma' \to X' qui majorent sur Z' (v).

revient à ceci : Soit \underline{L}' sur X' avec une g'-rigidification \psi' Représentable Prouvons que le foncteur T \mapsto ens. des \underline{L} g-rigidifiés sur X_T, tels que p^{*}(\underline{L}) \simeq \underline{L}' comme g-rigidifiés, est représentable par un schéma affine sur S.

Or la donnée de \underline{L} équivaut à :

1°) Un isom. q_{1T}^{*}(\underline{L}'_T) \xrightarrow{\ \varphi\ } q_{2T}^{*}(\underline{L}'_T), où q_{1T}^{*}(\underline{L}'_T) = q_1^{*}(\underline{L}')_T et q_{2T}^{*}(\underline{L}'_T) = q_2^{*}(\underline{L}')_T ;

2°) Un isom. \underline{O}_{Z'} \xrightarrow{\ \psi\ } \struck{\ill{}}\, i'^{*}(\underline{L}'_T), où i'^{*}(\underline{L}'_T) = i'^{*}(\underline{L}')_T ;

satisfaisant les conditions suivantes :

a) Transitivité : r_{2T}^{*}(\varphi)\, r_{1T}^{*}(\varphi) = r_{3T}^{*}(\varphi) ;

b) \bar{q}_{2T}^{\,*}(\psi) = i''^{*}_{T}(\varphi)\, \bar{q}_{1T}^{\,*}(\psi) ;

c) Condition sur \bar{g}'^{\,*}_{T}. La condition c) est coupée au bord droit de la feuille ; on n'en lit que le début.

On de

Le diagramme de ses notations, en bas à gauche de la page :

Diagramme recomposé : X'' est relié à X' par deux flèches q_1, q_2, X''' à X'' par trois flèches r_1, r_2, r_3, que je réduis chaque fois à une flèche étiquetée ; de même pour \bar{q}_1, \bar{q}_2 de Z'' vers Z' ; au-dessus, trois arcs étiquetés s_1, s_2, s_3 reviennent de X''' vers X' ; un astérisque surmonte X''. Les étiquettes des flèches verticales de la dernière ligne sont en partie raturées.