Cote n° 57 · batch 7 · pages 121–140 · Transcription · Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962).
Datation de l’inventaire : 1962-[vers 1968]
Édition de démonstration

Diviseurs à support dans les fibres

121L'argument vient d'avant le lot : « la Proposition » invoquée ici, ses fermés \(X_i\), \(Y_i\) et la fonction \(f\) sont introduits dans les pages précédentes. Page rapide, très raturée ; la prose de liaison est souvent perdue.

Corollaire 3. Sous les conditions de la proposition, considérons ⌜soit⌝ \(D(X)\) un diviseur \(D\) un diviseur positif sur \(X\), […] satisfaisant les conditions suivantes :

(i) \(D \cap X_f = 0\) ;

(ii) \(D \cap \underline{D}_{X_i} = n(X_i)\) ⌜\(D \cap \underline{D}_{Y_i} = n(Y_i)\)⌝, i.e. le coefficient de \(Y_i\) dans \(D\) est indépendant de \(i\).

Alors \(D = n\,\struck{\ill{}}\,\mathrm{div}(f)\).

Corollaire 4 (Grandes conditions…). Sous les conditions de la Prop., supposons […] les conditions de […] :

(ii) Pour tout \(X_\alpha\), \(Y \cap X_\alpha\) est irréd.

(iii) \(Y\) connexe […] « d'incidence » […] : \(Y_i\) et \(Y_j\) sont reliés […] irréductibles communes à \(Y_i \cap Y_j\) […] la […].

Soit \(D\) un diviseur […] sur \(X\) tel que \(D \cap X_f = 0\) en dehors de \(Y\) […] \(Y\) irréductible dans \(X\) […]. Alors \(D = n\,\mathrm{div}(f)\).

N.B. les hypothèses […] doivent […] : s'il existe une […] \(Z_i\) […] \(Y_i \cap Y_j\) […] \(X \supset Z_i\) […] […] ; alors […] \(Y = \ill{}\) […]. Note marginale de sa main, écrite en biais dans la marge gauche et encadrée d'un trait ; on n'en lit que des fragments.

122Je dis […] […] en cas 3 […] la condition pour \(X_i \cap X_j\) les […] soient irréductibles ⌜irréductibles⌝ […] il suffit […] la condition précédente ([…] la composante \(Y_i = Y \cap X_i\), \(Y_j = Y \cap X_j\)) […] \(Y_i\), \(Y_j\) « irréductibles ». \(P\)[…]

Soit \(X_{ij}\) une composante irréductible de […] le […] \(X_i \cap X_j\) […] \(Z_{ij}\) de […] dans \(X_j\). […] […] \(X = \operatorname{Spec} A\) ; […] avec \(D\) […] de la forme \(\frac{1}{n}\,\ill{}\,\mathrm{div}\,t\), \(t \in\) \(B\) \(A(A)\). Comme \(D \cap X_j = 0\), […] \(t \in A_j^{*}\), \(x \in A\) […] \(t = x f^{n}\), Soit \(X_2(X_i)\), \(f = f(f_i)\).

figure : les composantes \(X_i\), \(X_j\) découpées dans \(X\) par des arcs, \(Y_i\) et \(Y_j\) portés sur elles, \(X_{ij}\) et \(Z_{ij}\) marqués au point d'intersection, avec flèches vers les étiquettes

(iii) En […] restreignant […] \(X_i\), […] ont que \[ t_i = \varepsilon_i f_i^{\,n_i}, \qquad \varepsilon_i \in A_i^{*}, \] […] […] […]. Donc, comme \(Z_{ij} \cap X_j \neq \emptyset\), \(t_i | Z_{ij}\) et \(t_j | Z_{ij}\) […].

Soit \(t_i = t|X_i\), \(f_i = f|X_i\) […] \[ t_i = \varepsilon_i f_i^{\,n_i} \qquad (\varepsilon_i \in A_i^{*},\ n_i \in \mathbb{Z}). \] […] \(Z_{ij} \subset X_{ij}\) \(X_{ij}\) […], \(t_i|X_{ij}\) et \(t_j|X_{ij}\) constants, […] soit \(t_{ij} = t_i|\ill{}\) […] […] […] […] \(t_{ij} = \varepsilon_{ij} f\) \(f_{ij} = f_{i}|\ill{}\) […], \(\varepsilon_{ij} = \varepsilon_i|Z_{ij}\), \(\varepsilon_{ji} = \varepsilon_j|Z_{ij}\). […] […] restrictions sur \(Z_{ij}\) […]

Attention, […] n'est pas […] \(X_i \times_X Y\) réduit ; […] \(V(\ill{})\) […]. — […] \(X_{ij}\).

123On aura évidemment […] \[ t_{ij} = \varepsilon_{ij} f_{ij}^{\,n_i} = \varepsilon_{ji} f_{ji}^{\,n_j}, \] \(\varepsilon_{ij} f^{n_i} = \varepsilon_{ji} f^{n_j}\) Supp. Je dis […] Je dis que \(n_i = n_j\). Sinon, […] […], si \(n_i > n_j\), […] on aurait \((\varepsilon_{ij}/\varepsilon_{ji}) f_{ij}^{\,n_i - n_j} = 1\) et […] \[ f_{ij}^{\,(n_i - n_j)} = \varepsilon_{ji}/\varepsilon_{ij}, \] donc \(f_{ij}\) serait une unité, […] puisque […] pas […] […] sur \(Z_{ij}\), puisque […] \(f_{ij}\) s'[…] […] sur \(Z_{ij} \subset X_{ij}\).

Théorème. Soit \(f \colon X \to Y\) un […] morphisme propre ⌜et⌝ séparable, \(Y\) loc. noeth.⌜tel que […] les […] \(f^{-1}(y)\)⌝ […] […] […] composantes irréductibles géométriques de \(f^{-1}(y)\), et […] \(n(y)\) loc. […] sur \(X\). Alors (i) Soit \(\underline{L}\) un faisceau inversible. (ii) Il existe un plus grand […] sous-préschéma […] fermé \(Y'\) de \(Y\) tel que \(\underline{L} \otimes_Y Y'\) soit isomorphe […] à un faisceau venant […] […] sur \(Y\), c'est […] […] \(\mathcal{S}(\underline{L}/X/Y)\).

(ii) […]. \[ \mathcal{S}(\underline{L}_1, X_1, Y_1) \simeq \mathcal{S}(\underline{L}/X/Y) \times_Y Y_1, \] La page s'arrête sur cette formule ; la suite du théorème n'est pas dans le lot. Le sigle \(\mathcal{S}(\underline{L}/X/Y)\) est lu sur une lettre cursive bouclée ; la lecture de la lettre est incertaine.

Th. d'existence relatifs

Intitulé de sa main, seul sur la page 124, qui sert de chemise à ce qui suit.

125(\(p \colon X' \to X\) morphisme […]. ([…] pour \(X'' = X' \times_X X'\), \(X''' = X' \times_X X' \times_X X'\), et […] désigne par \(f''\), \(f'''\) les morphismes […]).

Proposition. Soient \(f \colon X \to S\) et \(f' \colon X' \to S'\) deux morphismes […] supposés […] \(f = (X \xrightarrow{f_1} \Sigma \xrightarrow{f_2} S)\), avec \(f_2\) […] et \(f_1(\mathcal{O}_X) \simeq \mathcal{O}_\Sigma\), et de même \(f' = (X' \xrightarrow{f'_1} \Sigma' \xrightarrow{f'_2} S)\). On suppose donnée une section \(g\) de \(X\) sur \(\Sigma\), une section \(g'\) de \(X'\) sur \(\Sigma'\), et on désigne par \(Z\) le sous-préschéma (fermé) \(g(\Sigma)\) de \(X\), par \(Z'\), \(Z''\) […] […], ⌜\(Z''\)⌝ les images inverses dans \(X'\), \(X''\) ⌜de \(Z'' = Z' \times_Z Z'\)⌝ […], posons (i) \(g(\Sigma') = Z'\). […] \(X'' = X' \times_X X'\), \(X''' = X' \times_X X' \times_X X'\), et […] désigne par ⌜\(f''\), \(f'''\) : \(\Sigma' \to S\), \(Z'' \to S\)⌝.

(i) […] \(f_1\), \(\Sigma\) \(f'_1\), \(\Sigma\) […], \(Z'' \to S\) ⌜sont plats⌝. [[…] \(f, f'\), \(Z'' \to S\), \(Z''' \to S\)] \(f_1\) et \(p\) propres.

(ii) \(f_{1*}(\mathcal{O}_X) \simeq \mathcal{O}_\Sigma\) et \(f'_{1*}(\mathcal{O}_{X'}) \simeq \mathcal{O}_{\Sigma'}\).

universellement […] \(S\).

(iii) \(Z' \to Z\) est un morphisme de descente universel pour les Modules inversibles.

(iv) \(p \colon X' \to X\) est un morphisme de descente effective universel pour les Modules inversibles.

(v) \(g\) \(g' \colon \Sigma' \to X'\) est une section […] sur \(Z'\).

Sous ces conditions, \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to \prod_{\Sigma/S} \underline{\mathrm{Pic}}_{X/\Sigma}\) […] […] \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X'/\Sigma'}\) est représentable par des morphismes affines.

Cor. Si \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X'/\Sigma'}\) est représentable ⌜existe⌝, il en est de même de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\), et \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X'/S'}\) est un morphisme affine.

126Comme \(f_1\) est propre et \(\mathcal{O}_\Sigma \simeq f_*(\mathcal{O}_X)\) universellement, il s'ensuit […] que \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}(T)\) s'interprète par les \(\underline{L}\) inversibles sur \(X_T\) \(g_T\)-rigidifiés. Analogue pour \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X'/S'}(T)\). Utilisant […] la théorie de la descente […], […] […] \(f_1\), \(f'_1\) plats (i) ; \(\Sigma \to S\), \(\Sigma' \to S\) plats ; (iii).

L'homomorphisme \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X'/S'}\) s'interprète alors de façon simple grâce aux \(g' \colon \Sigma' \to X'\) qui majorent sur \(Z'\) (v).

revient à ceci : Soit \(\underline{L}'\) sur \(X'\) avec une \(g'\)-rigidification \(\psi'\) Représentable Prouvons que le foncteur \(T \mapsto\) ens. des \(\underline{L}\) \(g\)-rigidifiés sur \(X_T\), tels que \(p^{*}(\underline{L}) \simeq \underline{L}'\) comme \(g\)-rigidifiés, est représentable par un schéma affine sur \(S\).

Or la donnée de \(\underline{L}\) équivaut à :

1°) Un isom. \(q_{1T}^{*}(\underline{L}'_T) \xrightarrow{\ \varphi\ } q_{2T}^{*}(\underline{L}'_T)\), où \(q_{1T}^{*}(\underline{L}'_T) = q_1^{*}(\underline{L}')_T\) et \(q_{2T}^{*}(\underline{L}'_T) = q_2^{*}(\underline{L}')_T\) ;

2°) Un isom. \(\underline{O}_{Z'} \xrightarrow{\ \psi\ } \struck{\ill{}}\, i'^{*}(\underline{L}'_T)\), où \(i'^{*}(\underline{L}'_T) = i'^{*}(\underline{L}')_T\) ;

satisfaisant les conditions suivantes :

a) Transitivité : \(r_{2T}^{*}(\varphi)\, r_{1T}^{*}(\varphi) = r_{3T}^{*}(\varphi)\) ;

b) \(\bar{q}_{2T}^{\,*}(\psi) = i''^{*}_{T}(\varphi)\, \bar{q}_{1T}^{\,*}(\psi)\) ;

c) Condition […] sur \(\bar{g}'^{\,*}_{T}\)[…]. La condition c) est coupée au bord droit de la feuille ; on n'en lit que le début.

On […] de

Le diagramme de ses notations, en bas à gauche de la page :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X & X' \arrow[l, "p"'] & X'' \arrow[l, "{q_1, q_2}"'] & X''' \arrow[l, "{r_1, r_2, r_3}"'] \\
Z \arrow[u, "i"] & Z' \arrow[u, "{i'}"] \arrow[l, "\bar{p}"] & Z'' \arrow[u, "{i''}"] \arrow[l, "{\bar{q}_1, \bar{q}_2}"'] & \\
\Sigma \arrow[u, "g"] & \Sigma' \arrow[u, "{\bar{g}'}"'] & &
\end{tikzcd}

Diagramme recomposé : \(X''\) est relié à \(X'\) par deux flèches \(q_1, q_2\), \(X'''\) à \(X''\) par trois flèches \(r_1, r_2, r_3\), que je réduis chaque fois à une flèche étiquetée ; de même pour \(\bar{q}_1, \bar{q}_2\) de \(Z''\) vers \(Z'\) ; au-dessus, trois arcs étiquetés \(s_1, s_2, s_3\) reviennent de \(X'''\) vers \(X'\) ; un astérisque surmonte \(X''\). Les étiquettes des flèches verticales de la dernière ligne sont en partie raturées.

127Or les données 1° et 2° s'expriment par un homomorphisme de \(T\) dans un \(S\)-préschéma affine \(K\), \(L\) sur \(S\) affine sur \(S\). Les morphismes […] isomorphismes de \(s_1^{*}(\underline{L}')_T\) dans \(s_2^{*}(\underline{L}')_T\), […] de \((q_1 i'')^{*}(L')\) \((\ill{})^{*}_{T}\) dans […] […] de \(\underline{O}_{\Sigma}\) dans \((i'\bar{g}')^{*}(\underline{L}')\), et […] \((q_2 i'')(\underline{L}')_T\), s'expriment également […] par des morphismes […] […] […] par […] S-schémas \(M\), \(N\) […] affines sur \(S\), et […] […] […] de \((i'\bar{g}')^{*}(\underline{L}')\) sur \(\Sigma'\) s'expriment par les \(S\)-morphismes […] […] […] \(S\)-préschémas \(M\), \(N\), \(P\) […] affines sur \(S\), au-dessus de \(S\).

\(f''\) et \(Z' \to S\) plats (i) ; \(\Sigma' \to S\), \(f'''\) et \(Z'' \to S\) plats (i).

Les conditions écrites a), b), c) s'expriment par le fait que deux ⌜couples⌝ de morphismes \[ K \rightrightarrows M, \qquad L \rightrightarrows N, \qquad L \rightrightarrows P \] s'égalisent. Donc si \(K\), \(L\) \(U\), \(V\) […] les noyaux des […] \(K \rightrightarrows M\) et \(L \rightrightarrows N \times P\) resp. [qui sont finis sur \(K\), \(L\), donc affines sur \(S\)], le foncteur envisagé est représenté par \(U \times V\), cqfd.

128Page barrée de trois traits obliques, mais lisible ; la rature vaut pour le premier paragraphe, le corollaire qui suit est hors des traits. Or les données 1°, 2° correspondent respectivement à des sections ⌜sections⌝ de préschémas affines ⌜[puisque on suppose que \(Z'\), \(X''\) ⌜propres et⌝ plats sur \(S\)]⌝ \(K\), \(L_T\) sur \(S\), dans 1°, 2° : une section de \(\struck{K} \times \struck{L}\) sur \(S\). […] D'autre part, les isom. de \((L''_1)_T\) sur \((L''_3)_T\) correspondant aux sections d'un \(\ill{}\) sur […] \(M_T\) affine, sur \(S\) […] à ceux de \(\underline{O}_{Z''_T}\) dans \(L''^{*}_{T}(L''_1)\) aux sections d'un \(N_T\) affine [car \(X'''\), \(Z''\) […] propres et plats sur \(S\)] […]. Les conditions a) et b) s'écrivent donc en disant que […] coïncident des morphismes donnés \[ K \rightrightarrows M, \qquad L \rightrightarrows N, \qquad \text{i.e.} \quad K \times M \rightrightarrows L \times N . \] Donc […] donné par un sous-schéma fermé de \(K \times M\). Cela achève la démonstration.

Corollaire. \(X\) séparable et complet sur le corps \(k\). Supposons les \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X_i/k}\) existent. Alors \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/k}\) existe. Soient \(X_i\) les composantes ⌜(réduites)⌝ […] des \(X_i\) irréd. de \(X\), […] irréductibles, alors le […] \[ \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} \longrightarrow \prod_i \underline{\mathrm{Pic}}_{X_i/k} \] […] le noyau […] des […] morphismes est affine est représentable par des morphismes affines. Donc si les \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X_i/k}\) existent, il en est de même de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/k}\).

130Résultats plus élémentaires […] […] […]

Lemme. \(X\) séparable ⌜séparable⌝ propre sur le corps \(k\), et soit \(X_1\) et \(X_2\) deux parties fermées de \(X\), séparables sur \(k\), telles que \(X = X_1 \cup X_2\). Alors \[ \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{X_1/k} \times \underline{\mathrm{Pic}}_{X_2/k} \] est représentable par un morphisme affine.

Si \(X_1 \cap X_2 = \emptyset\), […] […] […] […]. Supposons \(X_1 \cap X_2 \neq \emptyset\).

Comme les foncteurs […] sont compatibles avec passage les descentes fid. plates quasi-compactes, et que les morphismes […] affines sont […] de morphismes […] descente effective des morphismes affines, rien n'est changé pour […] en faisant un changement de base \(k'/k\), […] finissant par […] que \(k'/k\) est une extension de corps. Donc on peut […] […] que […] dans ce cas […] on a \(F\) \(= X_1 \cap X_2\) […] a un […] rat. sur \(k\), i.e. une section […] sur \(\operatorname{Spec}(k)\). On applique alors le théorème avec \(X' = X_1 \amalg X_2\).

[…]

Attention comme […] dans le corollaire : on se ramène au cas où \(k\) est alg. clos, et \(X\) connexe, […] alors […] […] […] \(X_1\) et \(X_2\) sont connexes et \(X_1 \cap X_2\) a un \(p^t\) rat. \(/k\). Pour […] dans […] les […] La dernière ligne, au bord inférieur roussi de la feuille, se perd ; l'argument continue hors du lot.

\(\underline{\mathrm{Pic}}_X \to \prod \underline{\mathrm{Pic}}_{X_i}\) […] affine \(\to \underline{\mathrm{Pic}}_{X'} \times \underline{\mathrm{Pic}}_{X''}\) dans le cas […].

132Théorème. Soit \(X' \to X''\) ⌜\(f \colon X \to Y\)⌝ un morphisme surjectif de préschémas propres sur un corps \(k\). Alors le noyau \(\underline{N}\) de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{Y/k} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k}\) est contenu extension d'un groupe fini par un groupe affine \(G\) sur \(k\). Un point d'interrogation, de sa main, dans la marge gauche face à l'énoncé.

Corollaire ⌜Donc⌝ si \(\underline{\mathrm{Pic}}_{Y/k}\) et \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/k}\) existent, le noyau de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{Y/k} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k}\) est un groupe quasi-affine.

Corollaire. Sous les conditions précédentes, […] \(\mathrm{NeuSev}_0(Y/k) \to \mathrm{NeuSev}_0(X/k)\) est injectif, et si \(A\) et \(B\) sont les « parties abéliennes » de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{Y/k}\) et \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/k}\) [définies à isogénie près], alors \(A \to B\) a un noyau fini. « NeuSev » : abréviation lue telle quelle (Néron–Severi) ; le sous-indice \(_0\) est incertain.

Dém. \(\underline{\mathrm{Pic}}_X \to \underline{\mathrm{Pic}}\), on peut pour simplifier supposer que tous les \(\underline{\mathrm{Pic}}\) envisagés sont représentables. a) On peut supposer \(k\) alg. clos (ou non ?). b) On a un diagramme de schémas commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} \arrow[d, no head] & \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/k} \arrow[l] \arrow[d, "\text{affine}"] \\
\underline{\mathrm{Pic}}_{X_{\mathrm{red}}} & \underline{\mathrm{Pic}}_{Y_{\mathrm{red}}} \arrow[l, "?"']
\end{tikzcd}

Le carré est fermé à droite par une accolade suivie de « dont » ; la page s'arrête là. Le trait vertical de gauche est tracé sans pointe ; l'étiquette « affine » de la flèche verticale de droite est d'une lecture incertaine.

133Feuillet dactylographié (un exposé sur le complexe de Koszul et la cohomologie de Čech d'un recouvrement ouvert, § 2) qui n'est pas transcrit ; seule l'annotation marginale à la main, face à la Proposition 1 et à son corollaire, l'est. Ajouter un corollaire : les \(f_i\) annulent les \(H_{\cdot}(\underline{f}, M)\), \(H^{\cdot}(\underline{f}, M)\).

134Il convient […] […] factorisation […] […].

\[ X \to Y' \to Y \] Cette factorisation est encadrée et rattachée par un trait à la ligne biffée au-dessus.

Cela nous ramène au cas où \(Y\) est réduit.

c) Prenons la factorisation de Stein \[ X \to Y' \to Y ; \] comme \(Y' \to Y\) est fini surjectif, donc un épimorphisme fini factorisable en produit d'épimorphismes stricts. Par « Seshadri », \(\underline{\mathrm{Pic}}_Y \to \underline{\mathrm{Pic}}_{Y'}\) est affine. On est ramené à prouver que \(\underline{\mathrm{Pic}}_{Y'} \to \underline{\mathrm{Pic}}_X\) […], […] […] au cas où \(f_*(\mathcal{O}_X) \simeq \mathcal{O}_Y\).

d) Mais dans ce cas […] […] […] \(\underline{\mathrm{Pic}}_X \to \underline{\mathrm{Pic}}_Y\) est […] […], […] […] fermeture dans affine.

Attention au fait que \(\underline{\mathrm{Pic}}_X\) ⌜et \(\underline{\mathrm{Pic}}_Y\)⌝ […] […] […] […] […] […] […], […] […] affine réd.!

N.B. On s'est servi de l'existence de \(\underline{\mathrm{Pic}}_Z\) pour \(Z = Y_{\mathrm{red}}\), \(X_{\mathrm{red}}\), et pour les préschémas finis sur \(Y_{\mathrm{red}}\) ; […] on peut s'en passer sans doute (?) […]]. [cf. \(Z \to G\), \(G = \mathrm{Grass}\) ou VA […]]

137Soit \(f \colon X \to S\) un morphisme se factorisant en \[ X \xrightarrow{\ \varphi\ } \Sigma \xrightarrow{\ \psi\ } S, \] avec \(\psi\) fini, et \(\varphi\) tel que \(\underline{O}_\Sigma \simeq \varphi_*(\mathcal{O}_X)\).

1) Alors on a \[ 0 \to \mathrm{Pic}(\Sigma) \to \mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}'(X/S) \] [suite exacte provenant de la suite spectrale de Leray]. […] Si \(X/\Sigma\) admet une section, le dernier homom. est un épim., i.e. dans ce cas \[ \mathrm{Pic}'(X/S) \simeq \mathrm{Pic}(X)/\mathrm{Pic}(\Sigma). \] Dans la formule, \(X\) et \(\Sigma\) sont récrits par-dessus eux-mêmes.

Ce dernier fait se voit ainsi : Pour Soit \(g \colon \Sigma \to X\) une section de \(X/\Sigma\) ; alors

(i) […] Les Modules inversibles \(g\)-rigidifiés sur \(X\) n'ont pas d'automorphismes non triviaux, (ii) Tout Module inversible \(\underline{L}\) sur \(X\) est […] \(\mathrm{Pic}'(X/S)\)-équivalent à l'image un Module inversible \(g\)-rigidifié [savoir \(\underline{L} \otimes \varphi^{*}(g^{*}(\underline{L}))\)] sic, sans l'inverse qu'on attendrait sur \(g^{*}(\underline{L})\) [définissant : isom. unique près]. [On utilise le fait que \(\mathrm{Pic}'(\Sigma/S) = 0\)].

On le prouve par la suite spectrale de Leray dir. […]

138Feuille écrite tête-bêche ; la partie lisible est barrée par deux grands arcs et un trait horizontal, et abandonnée. Supposons (i) \(Z\) fini sur \(S\), (ii) \(f_*(\mathcal{O}_X) \xrightarrow{\sim} \varphi_*(\underline{O}_S)\). Alors (i) Tout Module inversible sur \(X\) est \(\mathrm{Pic}'(X/S)\)-équivalent à un Module

à gauche, deux petits diagrammes : \(Z \xrightarrow{i} X\), \(Z\) fermé, avec \(f \colon X \to S\) et \(\varphi \colon Z \to S\) ; et le triangle \(X \to \Sigma \to S\), \(X \to S\) ; un troisième croquis du même triangle, isolé au bas de la page

1392) Soit \(S' \to S\) fid. plat et quasi-compact. Alors

(i) \(\mathrm{Pic}'(X/S) \to \mathrm{Pic}'(X'/S')\) est injectif. (ii) Si \(X/\Sigma\) a […] une section […] localement sur \(S\), alors \[ \mathrm{Pic}'(X/S) \to \mathrm{Pic}'(X'/S') \rightrightarrows \mathrm{Pic}'(X''/S'') \] est exact. généralisées à des notions […] de l'exposé […]

La preuve de (i) […] d'un \(\underline{L}\) sur \(X\). ⌜En vertu de 1)⌝ L'hyp. signifie que \(\underline{L}'\) provient de \(\Sigma'\). Or \(\Sigma'\) est fid. plat quasi-compact sur \(\Sigma\). Cela fait que \(\underline{L}\) provient de \(\Sigma\).

Pour (ii), ⌜qui est⌝ la question est locale sur \(S\), on peut donc supposer que \(X\) a une section sur \(\Sigma\). Alors on utilise la théorie de descente comme dans le raisonnement connu.

Corollaire. Sous les conditions précédentes, \[ \mathrm{Pic}'(X/S) \to \mathrm{Pic}^{*}(X/S) \] est injectif, et est bijectif si \(X/\Sigma\) […] a une section loc. sur \(S\). Si \(X/\Sigma\) a une section, on a un isom. \[ \mathrm{Pic}(X/S) \simeq \mathrm{Pic}(X)/\mathrm{Pic}(\Sigma). \]

Picard des schémas en courbes

Intitulé de sa main, seul sur la page 140, qui sert de chemise à la suite du dossier, hors du lot.