Fonds Grothendieck, cote n° 57, pages 81–100

La page reprend un argument commencé avant ce lot : \underline{E}_{X/S}, \underline{P}_{X/S} et \underline{\omega}_{X/S} sont introduits sur des pages antérieures.

\begin{tikzcd}[column sep=small] & & \underline{P}_{X/S} \arrow[dl, "j"'] \arrow[d] & \\ 0 \arrow[r] & f_*(\underline{E}_{X/S}) \arrow[r] & f_*(\underline{\mathrm{Div}}_{X/S})^{w} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

La ligne commence par 0 \to \underline{\omega}_{X/S} \to f_*(\underline{E}_{X/S}) \to \dots ; le terme \underline{\omega}_{X/S} est omis du diagramme ci-dessus pour la mise en page : la suite écrite est 0 \to \underline{\omega}_{X/S} \to f_*(\underline{E}_{X/S}) \to f_*(\underline{\mathrm{Div}}_{X/S})^{w} \to 0, la flèche j allant de \underline{P}_{X/S} vers f_*(\underline{E}_{X/S}) et une flèche verticale de \underline{P}_{X/S} vers f_*(\underline{\mathrm{Div}}_{X/S})^{w}.

défini par f_*(\underline{R}^{*}_{X/S}) \longrightarrow f_*(\underline{E}_{X/S}) donnée par f \longmapsto (\mathrm{div}\, f, \tfrac{df}{f})

En l'absence de cette hypothèse, on obtient seulement une ext. de \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S} par \underline{\omega}_{X/S}/\mathrm{Im}\, f_*(\mathcal{O}_X^*). Il faut vérifier que c'est sur f_*(\mathcal{O}_X^*), f \mathcal{O}_X est coh. plat en dim. 0 sur S et même si f_*(\mathcal{O}_X) est plat sur S (p. ex. si \mathcal{O}_S \simeq f_*(\mathcal{O}_X) universellement), ce que nous allons supposer. Nous obtenons alors une extension \mathcal{M}_{X/S} = f_*(\underline{E}_{X/S})/\underline{P}_{X/S} 0 \to \underline{\omega}_{X/S} \to \mathcal{M}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}^{w} \to 0 sous \underline{\omega}_{X/S}, relié par un trait : « fibré vectoriel sur S ». Dans la marge gauche, un petit schéma X \to S' \to S.

Cas favorable : \underline{\Omega}^1_{X/S} est coh. plat sur S en dim. 0, i.e. \underline{\omega}_{X/S} est le fibré vectoriel associé à un module loc. libre sur S [C'est le cas si f est lisse et projectif et S de car. nulle (?), ou si X/S est un schéma abélien]. Alors R^1f_*(\underline{\Omega}_{X/S}) est aussi représentable par un fibré vectoriel, donc si \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} est représentable (p. ex. f à fibres géom. intègres) \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S} l'est aussi. Donc par descente \mathcal{M}_{X/S} l'est également.

Définition directe de l'extension \mathcal{M}_{X/S}

titre souligné par lui, en tête de page ; le mot « directe » est souligné.

Soit \mathcal{M}^{\#}_{X/S} le foncteur (\mathrm{Sch})_{/S}^{\circ} \to (\mathrm{Ens}), faisceau (fpqf)lecture du sigle douteuse : « fpqf » ou « fppf ». associé au préfaisceau ~~\mathcal{M}'_{X/S}(T) =~~ \mathcal{Q} : T \longmapsto \text{classes, à isom.\ près, de faisceaux inversibles} sur X \times_S T, munis d'une connexion relativement à T.

N.B. On a une suite exacte de préfaisceaux en T H^0(X, \mathcal{O}_X^*) \xrightarrow{\ \varphi \mapsto d\varphi/\varphi\ } H^0(X, \Omega^1_X) \to \mathcal{Q}(T) \to \mathrm{Pic}(X_T) \to H^1(X, \underline{\Omega}^1_{X/S}) sous H^0(X,\Omega^1_X), un mot biffé (« dlog » ?).

d'où en passant aux faisceaux associés 0 \to f_*(\underline{\Omega}^1_X)/\mathrm{Im}\, f_*(\mathcal{O}_X^*) \to \mathcal{M}^{\#}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S} \to 0 sous \mathrm{Im}\, f_*(\mathcal{O}_X^*) : « par \varphi \mapsto d\varphi/\varphi ».

où on a défini encore \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S} = \mathrm{Ker}\bigl(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to R^1f_*(\underline{\Omega}^1_{X/S})\bigr)

On en déduit un homomorphisme de suites d'ext.

\begin{tikzcd}[column sep=small] 0 \arrow[r] & \underline{\omega}_{X/S} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{can}"] & f_*(\underline{E}_{X/S}) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"] & \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{can}"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \underline{\omega}_{X/S}/\mathrm{Im}\, f_*(\mathcal{O}_X^*) \arrow[r] & \mathcal{M}^{\#}_{X/S} \arrow[r] & \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

devant \underline{\omega}_{X/S} dans la première ligne, un symbole raturé.

Pour ceci, on va interpréter ~~\underline{E}_{X/S}~~ l'extension \underline{E}_{X/S} de \underline{\mathrm{Div}}_{X/S} par \underline{\Omega}^1_{X/S}, en notant que pour un diviseur relatif donné D sur un la phrase se poursuit p. 86 ; la p. 85 est une feuille de calculs sur un autre sujet.

Feuille de brouillon, barrée de longs traits obliques, sans rapport direct avec les pp. 84 et 86 : notations de descente et de torseurs. On en donne les formules lisibles, dans l'ordre de la page, sans en restituer la disposition.

P_i, P_{ij}, P_{ji} ; X_i, X_i \times_X X_j, X ; X' \to X, \mathcal{U} ; X'_\alpha \to X.

Z_\alpha \to X \leftarrow X' ; Z_\alpha ; Z_\alpha \times_S^{G_\alpha} H, Z_\alpha \times_S^{G_\alpha} E.

G, Z \to S ; Z \times^G E \simeq X, Z \times^G E' \simeq X, E \to E' ; Z \times^G E, G. \mathrm{Hom}_{G_\alpha}(E, F) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}_{S}(T(E), T(F)) après \mathrm{Hom}_S, un indice raturé ; à droite, « 3.80 ». (i) Z_\alpha connexe ;

(ii) \mathrm{Hom}(Z_\alpha/H, Z/K) \simeq \mathrm{Hom}_G(G/H, G/K), avec, au-dessous, Z \to Z_\alpha/H et Z \to Z/K ; g \in G/K, gKg^{-1} \supset H. Z \longrightarrow Z/K, \qquad \mathrm{Hom}_S(Z, Z/K) \simeq G/K Z \times^G H est autour de Z \times^G H principal loc. d'un .

Z connexe ; Z/H tout autour de G.

À gauche, en bas : Z_i' \to Z_1 \to Zflèches verticales ; la première en pointillé..

ouvert U de X, la donnée d'une connexion sur \underline{L} = \underline{\mathcal{O}}_X(D), i.e. d'un splitting de 0 \to \underline{L} \otimes \underline{\Omega}^1_{X/S} \to P^1(\underline{L}) \to \underline{L} \to 0, i.e. d'une projection P^1(\underline{L}) \to \underline{L} \otimes \underline{\Omega}^1_{X/S}, ou encore d'un op. 1-différentiel rel/S d_L : \underline{L} \to \underline{L} \otimes \Omega^1_{X/S} satisfaisant d_L(\lambda x) = x \otimes d(\lambda) + \lambda\, d_L(x),

~~équivaut~~ définit, grâce à la section unité canonique \varphi_D de \underline{L} = \underline{\mathcal{O}}_X(D), une élément \overline{\omega} \frac{d_L \varphi_D}{\varphi_D} \in \underline{R}_{U/S}(\underline{L}^{-1} \otimes \underline{L} \otimes \Omega^1_{X/S}) = \underline{R}_{U/S}(\underline{\Omega}^1_{X/S}), dont la connaissance détermine d_L dans le prolongement, car sur U - \mathrm{supp}\, D d_L(\lambda \varphi_D) = \varphi \otimes d(\lambda) + \lambda\, d_L(\varphi) = \varphi \otimes d\lambda + \lambda \varphi \overline{\omega}.

D'autre part, quand une \overline{\omega} provient-elle d'une connexion ? On voit de suite que c'est ssi \overline{\omega} - \frac{df}{f} \in \Gamma(\underline{\Omega}^1_{V/S}), ~~régulière~~, pour toute ~~intégrale~~ équation f de D sur un ouvert V \subset U. Donc on trouve que \underline{E}_{X/S} s'interprète comme le faisceau des (D, c), D un diviseur, c une connexion sur \underline{\mathcal{O}}_X(D). Le morphisme \alpha est maintenant évident. Si f_*(\mathcal{O}_X^*) \xrightarrow{\ \varphi \mapsto d\varphi/\varphi\ } f_*(\underline{\Omega}_{X/S}) est nulle, i.e. \underline{\omega}_{X/S} \to \underline{\omega}_{X/S}/\mathrm{Im}\, f_*(\mathcal{O}_X^*) un isom., on peut donc interpréter l'ext. f_*(\underline{E}_{X/S}) comme de l'ext. \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S}.

\underline{\mathrm{VI}} B En tête de page, à l'encre, une liste de choses à faire, sans rapport avec les calculs au crayon qui suivent : Demander Raynaud détails travaux SGA 3 ; Prendre SGA 2 / Donner SGA 2 ; Prendre exemplaire SGA 1 ; Donner rabiot de Segal.

Le reste de la page est au crayon, en notes éparses, barré d'un long trait oblique.

\begin{tikzcd} X \arrow[r] \arrow[d, "f"'] & A \arrow[dl] \\ S & \end{tikzcd}

D diviseur relatif sur X. strictement alg. équiv. à 0 ~~sur chaque fibre~~, i.e. définit une section de ~~\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}~~ \underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X/S} ; au-dessous, A^* = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S}, avec une flèche verticale de A^* vers \underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X/S}. \longrightarrow V(R^1\underline{\mathcal{O}}_{A^*}) \longrightarrow E(A^*) \longrightarrow A^* \longrightarrow 0 V(R^1\underline{\mathcal{O}}_{A^*}) = W(R^1\underline{\mathcal{O}}_{A^*}{}^{\vee}) = \omega_A

Pour chaque , on trouve une fibre principale sur \omega_A, d'où dans R^1f_*(\underline{\Omega}^1_{X/S}) (\longleftarrow \omega_A). Interprétation ? deux droites qui se coupent en un point, chacune marquée « 1 » à son extrémité droite.

On aura donc ~~\underline{\Omega}^1_{X/S}(D)~~ \underline{\Omega}^1_{X/S} () ; \omega ; \widehat{\omega} = \frac{df}{f}, \qquad f\omega = \overline{\omega}, \qquad \omega = \frac{\overline{\omega}}{f}, \qquad \mathrm{res}_x\, \omega, \omega_i - \frac{df}{f}, \qquad \omega_i = \frac{df}{f} \ (d \log f) holomorphe au voisinage de . \underline{\mathrm{D}}^{\mathrm{lo}}_{X/S} \hookrightarrow \underline{R}_{X/S}(\underline{\Omega}^1_{X/S})/\underline{\Omega}^1_{X/S} l'exposant de \underline{\mathrm{D}} est de lecture douteuse.

Donnons-nous une section \xi de \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S} sur S, d'où par image inverse une classe de H^1(S, \underline{\omega}_{X/S}/\mathrm{Im}\, f_*(\mathcal{O}_X^*)), que nous voulons calculer. Pour simplifier, nous nous supposerons que \xi provient d'un faisceau inversible \underline{L} sur X. Alors on trouve que l'image est l'élément de H^1(S, \underline{\omega}_{X/S}) \simeq \mathrm{Ker}\bigl(H^1(X, \Omega^1_{X/S}) \to H^0(S, R^1f_*(\underline{\Omega}^1_{X/S}))\bigr) défini par \underline{L}.

N.B. Si on a un hom. u : B \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} avec B un schéma abélien, et si \underline{\Omega}^1_{X/S} coh. plat/S en dim. 0, alors il se factorise en B \to \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S}. En particulier, si \underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X/S} existe, alors on a \underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X/S} \subset \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S}.

sous réserve d'existence de B^* et de possibilité de descente (p. ex. si B/S est projectif) Notons que la donnée de u équivaut : à la donnée d'un torseur A sous E le schéma dual B^* de B, et d'un morphisme X \longrightarrow A [d'où B \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S} \subset \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} …]

fonctorialité doit être explicitée avec un peu de soin ! On trouve donc, par fonctorialité, un diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] 0 \arrow[r] & \underline{\omega}^{*}_{X/S} \arrow[r] & \mathcal{M}_{X/S} \arrow[r] & \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S} \arrow[r] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \underline{\omega}_{A/S} \arrow[r] \arrow[u] & \mathcal{M}_{A/S} \arrow[r] \arrow[u] & \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{A/S} \arrow[r] \arrow[u] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \underline{\omega}_{A/S} \arrow[r] \arrow[u, no head, "\Vert" description] & \mathcal{M}^{0}_{A/S} \arrow[r] \arrow[u] & B \arrow[r] \arrow[u, hook] & 0 \end{tikzcd}

sous \underline{\omega}_{A/S} de la dernière ligne : \simeq V(R^1 f_{B^*}(\underline{\mathcal{O}}_B)) ; sous B : = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S}. Devant \mathcal{M}^0_{A/S}, un symbole raturé (« \underline{E} » ?). L'astérisque de \underline{\omega}^{*}_{X/S} est peut-être une rature.

Ici \mathcal{M}^{0}_{A/S} ~~\underline{E}_{B^*/S}~~ est défini comme image inverse de \mathcal{M}_{A/S} [par B \to \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{A/S}] [si \underline{\omega}_{A/S} \simeq \underline{\omega}_{X/S}] [ou aussi de \mathcal{M}_{X/S} par B \to \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S}]. Je vou-

drais l'interpréter comme une extension universelle (de ) de B par un fibré vectoriel.

Notons d'abord que le schéma B^* des translations de A opère trivialement sur l'extension ~~\mathcal{M}^{0}_{A/S} \underline{E}~~ ~~\underline{E}_{A/S}~~ (car ils opèrent trivialement sur \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S} et sur \underline{\omega}_{A/S}), et il en est de même B dans \underline{\omega}_{A/S} est trivial). Donc par descente on déduit que \mathcal{M}^{0}_{A/S} est canon. isomorphe à \mathcal{M}^{0}_{B^*/S}, donc est un invariant qui ne dépend que du schéma abélien B sur S.

A, B au-dessus de S par f_A, f_B ; A \times_S B, et au-dessous « = B^* » (?). Pour calculer la classe de l'extension obtenue comme de B par \underline{\omega}_{A/S} H^0(S, R^1 f_{B*}(\underline{\omega}_{A/S} \otimes_S \underline{\mathcal{O}}_B)) sous la formule, une accolade : R^1 f_{B*}(\underline{\mathcal{O}}_B)^{\vee} \otimes R^1 f_{B*}(\underline{\mathcal{O}}_B). rappelons le faisceau inversible de Poincaré sur P = A \times_S B, et on écrit l'obstruction à mettre dessus une connexion relative à B, i.e. la classe de cohomologie qui lui correspond dans H^1(P, \underline{\Omega}^1_{P/B}) [puis la localiser sur S].

Calculons donc la classe de cohomologie de \underline{L} dans H^1(A \times_S B, \underline{\Omega}^1_{A \times_S B/S}) , localisée sur S.

\underline{H}^{1,1}(A \times_S B) = \underline{H}^{1,1}(A/S) \oplus \underline{H}^{1,1}(B/S) + \underline{H}^{1,0}(A/S) \otimes \underline{H}^{0,1}(B/S) + \underline{H}^{0,1}(A/S) \otimes \underline{H}^{1,0}(B/S)

La classe \xi qu'on veut calculer a, par des raisons de fonctorialité (regardant les inclusions A \to A \times_S B, B \to A \times_S B) des composantes nulles sur les deux premiers facteurs. Il reste à calculer sa classe dans le deuxième, ce qui peut se faire …

La moitié inférieure de la page, séparée par un double trait, est barrée de traits obliques.

~~Connexion (absolue) canonique sur \mathcal{M}_{X/S}~~ \underline{W}_{X'_1/S'} \simeq \underline{W}_{X'_2/S'} \quad \text{canoniquement ??}

X_0 \to X', X'' ; S_0 \subset S'' : S dans le voisinage inf. du premier ordre de S, avec \exists rétraction de S sur S_0. Question équivalente : soit un inversible sur X_0, muni d'une connexion rel. à S_0, dans les prolongements (avec connexion) à X' et à X'' se correspondent biunivoquement.

En bas de page, isolés : \underline{W}_{X/S} (raturé) et S_0 \leftarrow S.

« Critères d'équivalence »

Titre pris sur la p. 95 du fonds, feuille de garde portant ces seuls mots de sa main, entre guillemets ; il est repris, encadré, en tête de la p. 96.

X variété projective non sing. de dim. n

Y section hyperplane non sing.

X_m m-ième voisinage infinitésimal de Y dans X

Suit un tableau : à gauche les homomorphismes, à droite, encadrés, les énoncés ; on le donne ligne par ligne.

\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(Y) : inj si n \geqslant 3, H^1(Y, \mathcal{O}_Y(m)) = 0 pour m > 0, surjectif si n \geqslant 4, H^2(Y, \mathcal{O}_Y(m)) = 0 pour m > 0 par Lef.-Grauert ; noyau un p-groupe fini si n \geqslant 3 (nul si Y général), noyau nul si n \geqslant 4 \leftarrow Pic des schémas X_m ; \mathrm{Pic}^{\tau}(X) \to \mathrm{Pic}^{\tau}(Y) : inj. exc. p si n \geqslant 2, bij. exc. p si n \geqslant 3 ; injectif si n \geqslant 2 et Y général \leftarrow via \pi_1, Lef. Grauert ; \mathrm{Pic}^{0}(X) \to \mathrm{Pic}^{0}(Y) : inj exc. p si n \geqslant 2, surjectif si n \geqslant 3, bijectif si n \geqslant 2 et Y général \leftarrow via \pi_1, Lef. Grauert ; TN(X) \to TN(Y) : bij exc. p si n \geqslant 3 [si n \geqslant 3, le noyau est celui de \mathrm{Pic}^{\tau}(X) \to \mathrm{Pic}^{\tau}(Y)] ; injectif si Y général et n \geqslant 3, si n \geqslant 4 ; LN(X) \to LN(Y) : injectif si n \geqslant 3 ; N(X) \to N(Y) : noyau un p-groupe fini si n \geqslant 3 [contenu exc. p dans l'image des noyaux de \mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(Y), groupe un p-groupe fini] ; nul si on a n \geqslant 4 ou Y générale.

\mathrm{Pic}(X) \longrightarrow \mathrm{Pic}(X_m) \qquad \text{inj si } n \geqslant 3,\ \text{bijectif si } n \geqslant 4, m grand.

Question : Surjectivité (donc bijectivité) de \mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(Y) pour n \geqslant 4 sans conditions cohomologiques, [équivalent à celle de TN(X) \to TN(Y), ou encore celles de TN(X) \to TN(Y) et LN(X) \to LN(Y)]. Équivalent à celle de \mathrm{Pic}(X_m) \to \mathrm{Pic}(Y) pour m grand. N.B. La surjectivité successive, mod p^m (car. p > 0) [requiert les obstructions p …] donc pour n \geqslant 4, \mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(Y) est surjectif exc. p. En car. 0, on peut appliquer la théorie Kählérienne, qui prouve que NS(X) \xrightarrow{\ \sim\ } N(Y), d'où \mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(Y).

Démonstration algébrique ???

Corollaire : \rho(X) = \rho(Y) pour n \geqslant 4 si n \geqslant 3 ; [\rho(X) \leqslant \rho(Y) ; ~~\rho(X) \leqslant \rho(Y) n = 2 et seulement~~] La note marginale du coin inférieur gauche est en partie biffée et encadrée ; la lecture de « \rho » (nombre de Picard) est probable, celle des conditions sur n douteuse. Le sigle de la dernière formule, écrit d'abord « N » puis surchargé, est lu « NS » sous réserve.

Il y a Théorème. X/k, k corps alg. clos, X normal intègre projectif, X \subset \mathbb{P}^r_k, ~~prof X \geqslant~~ dim X \geqslant 2 (dont prof X \geqslant 2).

G groupe algébrique affine sans composantes conn. (gpe ou gpe alg. fini).

K = k(t_1, \dots, t_r), \overline{K} sa clôture algébrique.

Y_{\overline{K}} la section hyperplane générique, définie sur \overline{K}.

Alors H^1(X, G) \longrightarrow H^1(Y_{\overline{K}}, G) \quad \text{est injectif.}

La structure des groupes algébriques commutatifs finis ramène aux cas simples \mathbb{G}_a, groupe fini séparable, \mu_p, \alpha_p\alpha_p cerclé, relié par une flèche à \mu_p.. Donc on est ramené à prouver

N.B. Généralisation au cas d'une immersion X \to \mathbb{P}^r donnée. Corollaire 1. H^1(X, \mathcal{O}_X) \to H^1(Y_{\overline{K}}, \mathcal{O}_{Y_{\overline{K}}}) est injectif.

~~Corollaire 2. \mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(Y_{\overline{K}}) est injectif.~~

Corollaire 2. \pi_1(Y_{\overline{K}}) \to \pi_1(X) est surjectif [Cf. Bertini]

Corollaire 3 3. H^1(X, \alpha_p) \to H^1(X_{\overline{K}}, \alpha_p) injectif

Corollaire 4 4. H^1(X, \mu_p) \to H^1(Y_{\overline{K}}, \mu_p) injectif.

On part du corollaire 2, connu grâce à Bertini, Lefschetz-Grauert [utilisant prof X \geqslant 2]. Les on déduit H^1(X, \mathcal{O}_X)^F \to H^1(X, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \longrightarrow H^1(Y_{\overline{K}}, \mathcal{O}_{Y_{\overline{K}}})^F est injectif, on est donc ramené pour le cor. 1 à prouver que H^1(X, \mathcal{O}_X)^{1-F} \to H^1(Y_{\overline{K}}, \mathcal{O}_{Y_{\overline{K}}})^{1-F} est injectif [N.B. le est stable par F…] i.e. au corollaire 3. Donc on est ramené [sauf car. p > 0] au cas des cor. 3 et 4. En car. p > 0,

~~provenant de H^1(U, G), pourvu que U soit pris assez petit.~~ On utilisera un argument de spécialisation.

Or suivant Cartier, dans les deux cas 0 \to \mathcal{O}_X \xrightarrow{\ F\ } \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/\mathcal{O}_X^p \to 0 1 \to \mathcal{O}_X^* \xrightarrow{\ F\ } \mathcal{O}_X^* \to \mathcal{O}_X^*/\mathcal{O}_X^{*p} \to 1 (X intègre !) donne donc H^1(X, \alpha_p) = H^1(X, \mathcal{O}_X)^{1-F} \simeq H^0(X, \mathcal{O}_X/\mathcal{O}_X^p) \xrightarrow{\ df\ } H^0(X, \widetilde{\underline{\Omega}}^1_X) H^1(X, \mu_p) = H^1(X, \mathcal{O}_X)^{1-F} \simeq H^0(X, \mathcal{O}_X/\mathcal{O}_X^*) \xrightarrow{\ df/f\ } H^0(X, \widetilde{\underline{\Omega}}^1_X) la seconde ligne est recopiée telle qu'écrite, avec H^1(X,\mathcal{O}_X)^{1-F} et \mathcal{O}_X/\mathcal{O}_X^* ; le parallélisme avec la première demanderait \mathcal{O}_X^*/\mathcal{O}_X^{*p}.

et si X est normal les deux flèches écrites sont injectives [ correspondant aux éléments à dérivées nulles, soit aux diviseurs relatifs sur X par F, soit aux diviseurs multiplicatifs multipliés par F].

Donc on est ramené au

Lemme. H^0(X, \widetilde{\Omega}^1_{X/k}) \to H^0(Y_{\overline{K}}, \widetilde{\Omega}^1_{Y_{\overline{K}}/\overline{K}}) est injectif

La vérification est presque triviale …

purement infinitésimal Corollaire. \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X_{\overline{K}}/\overline{K}} \to \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y_{\overline{K}}/\overline{K}} a un noyau qui est un p-groupe fini unipotent, [le fait qu'il soit complet résulte déjà des ~~Bertini~~ Lefschetz-Grauert-Bertini] pour prof X \geqslant 2, grâce au « ». Si X est normal (pas néc. de dim. \geqslant 2), \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} est propre sur k. Le « pas fini » provient de la non-normalité ; elle n'est pas l'injectivité l'homomorphisme fini \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/k} \to \prod_i \underline{\mathrm{Pic}}_{Y_i/k}, les Y_i des sections hyperplanes générales variées. Donc pour prouver

que \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/k} est propre, on est ramené à le prouver pour une courbe normale, où c'est connu. Alors on a les gpes unipotents de noyau fini, ce qui achève de prouver l'assertion ….

Démonstration directe et indépendante de la con. du fait que si X est géomt normal et projectif/k, \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/k} est propre.

On utilise le théorème de structure des groupes algébriques commutatifs, on est ramené à prouver que tout morphisme \mathrm{Spec}(k[t, t^{-1}]) \to \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/k} est constant, ~~et il suffit [ des ] de prouver l'injectivité de est trivial premier de~~ . passage barré d'un trait et entouré ; au-dessous, une insertion entre parenthèses, elle aussi biffée en partie : « en utilisant une partie Y de codim \geqslant 2 tel que U = X - Y soit régulier ».

Certainement inutile, en procédant de façon convenable Lemme. Supposons X géométriquement loc. noethérien normal. Alors \mathrm{Pic}(X) \longrightarrow \mathrm{Pic}\, X[t, t^{-1}] est ~~bijectif~~ surjectif.

~~c'est injectif, car X[t] a une section X' (section )~~ Soit alors \underline{L} un faisceau inversible sur X' = X[t, t^{-1}], ~~soit \mathcal{U} \to~~ prenons \mathcal{U}' = X'(\mathcal{U}) ~~par rejection de X~~ \underline{L} \mid \mathcal{U}' provient d'un faisceau inversible \underline{L}_0 sur \mathcal{U}, qui est défini à l'aide d'un diviseur D_0 sur \mathcal{U}. Son adhérence D_1 = \overline{D_0} est tel que son image inverse sur X' soit loc. principal. Par raison de stabilité, il en est de même de D_1, d'où facilement la conclusion. L'argument s'arrête ici, en bas de la p. 100 ; la suite, s'il y en a une, est au-delà de ce lot.