Cote n° 57 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962).
Datation de l’inventaire : 1962-[vers 1968]
Édition de démonstration

82La page reprend un argument commencé avant ce lot : \(\underline{E}_{X/S}\), \(\underline{P}_{X/S}\) et \(\underline{\omega}_{X/S}\) sont introduits sur des pages antérieures.

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & & \underline{P}_{X/S} \arrow[dl, "j"'] \arrow[d] & \\
0 \arrow[r] & f_*(\underline{E}_{X/S}) \arrow[r] & f_*(\underline{\mathrm{Div}}_{X/S})^{w} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

La ligne commence par \(0 \to \underline{\omega}_{X/S} \to f_*(\underline{E}_{X/S}) \to \dots\) ; le terme \(\underline{\omega}_{X/S}\) est omis du diagramme ci-dessus pour la mise en page : la suite écrite est \(0 \to \underline{\omega}_{X/S} \to f_*(\underline{E}_{X/S}) \to f_*(\underline{\mathrm{Div}}_{X/S})^{w} \to 0\), la flèche \(j\) allant de \(\underline{P}_{X/S}\) vers \(f_*(\underline{E}_{X/S})\) et une flèche verticale de \(\underline{P}_{X/S}\) vers \(f_*(\underline{\mathrm{Div}}_{X/S})^{w}\).

défini par \[ f_*(\underline{R}^{*}_{X/S}) \longrightarrow f_*(\underline{E}_{X/S}) \] donnée par \[ f \longmapsto (\mathrm{div}\, f, \tfrac{df}{f}) \]

En l'absence de cette hypothèse, on obtient seulement une ext. de \(\underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S}\) par \(\underline{\omega}_{X/S}/\mathrm{Im}\, f_*(\mathcal{O}_X^*)\). Il faut vérifier que c'est […] sur \(f_*(\mathcal{O}_X^*)\), ⌜\(f\) […] \(\mathcal{O}_X\) est coh. plat en dim. \(0\) sur \(S\)⌝ et même si \(f_*(\mathcal{O}_X)\) est plat sur \(S\) (p. ex. si \(\mathcal{O}_S \simeq f_*(\mathcal{O}_X)\) universellement), ce que nous allons supposer. Nous obtenons alors une extension \[ \mathcal{M}_{X/S} = f_*(\underline{E}_{X/S})/\underline{P}_{X/S} \] \[ 0 \to \underline{\omega}_{X/S} \to \mathcal{M}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}^{w} \to 0 \] sous \(\underline{\omega}_{X/S}\), relié par un trait : « fibré vectoriel sur \(S\) ». Dans la marge gauche, un petit schéma \(X \to S' \to S\).

Cas favorable : \(\underline{\Omega}^1_{X/S}\) est coh. plat sur \(S\) en dim. \(0\), i.e. \(\underline{\omega}_{X/S}\) est le fibré vectoriel associé à un module loc. libre sur \(S\) [C'est le cas si \(f\) est lisse et projectif et \(S\) de car. nulle (?), ou si \(X/S\) est un schéma abélien]. Alors \(R^1f_*(\underline{\Omega}_{X/S})\) est aussi représentable par un fibré vectoriel, donc si \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) est représentable (p. ex. \(f\) à fibres géom. intègres) \(\underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S}\) l'est aussi. Donc par descente \(\mathcal{M}_{X/S}\) l'est également.

84

Définition directe de l'extension \(\mathcal{M}_{X/S}\)

titre souligné par lui, en tête de page ; le mot « directe » est souligné.

Soit \(\mathcal{M}^{\#}_{X/S}\) le foncteur \((\mathrm{Sch})_{/S}^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\), faisceau (fpqf)lecture du sigle douteuse : « fpqf » ou « fppf ». associé au préfaisceau \(\mathcal{M}'_{X/S}(T) =\) \[ \mathcal{Q} : T \longmapsto \text{classes, à isom.\ près, de faisceaux inversibles} \] sur \(X \times_S T\), munis d'une connexion relativement à \(T\).

[…] N.B. On a une suite exacte de préfaisceaux en \(T\) \[ H^0(X, \mathcal{O}_X^*) \xrightarrow{\ \varphi \mapsto d\varphi/\varphi\ } H^0(X, \Omega^1_X) \to \mathcal{Q}(T) \to \mathrm{Pic}(X_T) \to H^1(X, \underline{\Omega}^1_{X/S}) \] sous \(H^0(X,\Omega^1_X)\), un mot biffé (« dlog » ?).

d'où en passant aux faisceaux associés \[ 0 \to f_*(\underline{\Omega}^1_X)/\mathrm{Im}\, f_*(\mathcal{O}_X^*) \to \mathcal{M}^{\#}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S} \to 0 \] sous \(\mathrm{Im}\, f_*(\mathcal{O}_X^*)\) : « par \(\varphi \mapsto d\varphi/\varphi\) ».

où on a défini encore \[ \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S} = \mathrm{Ker}\bigl(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to R^1f_*(\underline{\Omega}^1_{X/S})\bigr) \]

On en déduit un homomorphisme de suites d'ext.

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
0 \arrow[r] & \underline{\omega}_{X/S} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{can}"] & f_*(\underline{E}_{X/S}) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"] & \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{can}"] & 0 \\
0 \arrow[r] & \underline{\omega}_{X/S}/\mathrm{Im}\, f_*(\mathcal{O}_X^*) \arrow[r] & \mathcal{M}^{\#}_{X/S} \arrow[r] & \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

devant \(\underline{\omega}_{X/S}\) dans la première ligne, un symbole raturé.

Pour ceci, on va interpréter \(\underline{E}_{X/S}\) l'extension \(\underline{E}_{X/S}\) de \(\underline{\mathrm{Div}}_{X/S}\) par \(\underline{\Omega}^1_{X/S}\), en notant que pour un diviseur relatif donné \(D\) sur un la phrase se poursuit p. 86 ; la p. 85 est une feuille de calculs sur un autre sujet.

85Feuille de brouillon, barrée de longs traits obliques, sans rapport direct avec les pp. 84 et 86 : notations de descente et de torseurs. On en donne les formules lisibles, dans l'ordre de la page, sans en restituer la disposition.

\(P_i\), \(P_{ij}\), \(P_{ji}\) ; \(X_i\), \(X_i \times_X X_j\), \(X\) ; \(X' \to X\), \(\mathcal{U}\) ; \(X'_\alpha \to X\).

\(Z_\alpha \to X \leftarrow X'\) ; \(Z_\alpha\) ; \(Z_\alpha \times_S^{G_\alpha} H\), \(Z_\alpha \times_S^{G_\alpha} E\).

\(G\), \(Z \to S\) ; \(Z \times^G E \simeq X\), \(Z \times^G E' \simeq X\), \(E \to E'\) ; \(Z \times^G E\), \(G\). \[ \mathrm{Hom}_{G_\alpha}(E, F) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}_{S}(T(E), T(F)) \] après \(\mathrm{Hom}_S\), un indice raturé ; à droite, « 3.80 ». (i) \(Z_\alpha\) connexe ;

(ii) \(\mathrm{Hom}(Z_\alpha/H, Z/K) \simeq \mathrm{Hom}_G(G/H, G/K)\), avec, au-dessous, \(Z \to Z_\alpha/H\) et \(Z \to Z/K\) ; \(g \in G/K\), \(gKg^{-1} \supset H\). \[ Z \longrightarrow Z/K, \qquad \mathrm{Hom}_S(Z, Z/K) \simeq G/K \] \(Z \times^G H\) […] est autour de \(Z \times^G H\) principal loc. d'un […].

\(Z\) connexe ; \(Z/H\) tout autour […] de \(G\).

À gauche, en bas : \(Z_i' \to Z_1 \to Z\)flèches verticales ; la première en pointillé..

86ouvert \(U\) de \(X\), la donnée d'une connexion sur \(\underline{L} = \underline{\mathcal{O}}_X(D)\), i.e. d'un splitting de \[ 0 \to \underline{L} \otimes \underline{\Omega}^1_{X/S} \to P^1(\underline{L}) \to \underline{L} \to 0, \] i.e. d'une projection \(P^1(\underline{L}) \to \underline{L} \otimes \underline{\Omega}^1_{X/S}\), ou encore d'un op. \(1\)-différentiel rel/\(S\) \[ d_L : \underline{L} \to \underline{L} \otimes \Omega^1_{X/S} \] satisfaisant \(d_L(\lambda x) =\) […] \(x \otimes d(\lambda) + \lambda\, d_L(x)\),

équivaut définit, grâce à la section unité canonique \(\varphi_D\) de \(\underline{L} = \underline{\mathcal{O}}_X(D)\), une élément \(\overline{\omega}\) \[ \frac{d_L \varphi_D}{\varphi_D} \in \underline{R}_{U/S}(\underline{L}^{-1} \otimes \underline{L} \otimes \Omega^1_{X/S}) = \underline{R}_{U/S}(\underline{\Omega}^1_{X/S}), \] dont la connaissance détermine \(d_L\) dans le prolongement, car ⌜sur \(U - \mathrm{supp}\, D\)⌝ \[ d_L(\lambda \varphi_D) = \varphi \otimes d(\lambda) + \lambda\, d_L(\varphi) = \varphi \otimes d\lambda + \lambda \varphi \overline{\omega}. \]

[…] D'autre part, quand une \(\overline{\omega}\) provient-elle d'une connexion ? On voit de suite que c'est ssi \[ \overline{\omega} - \frac{df}{f} \in \Gamma(\underline{\Omega}^1_{V/S}), \] régulière, pour toute intégrale ⌜équation⌝ \(f\) de \(D\) sur un ouvert \(V \subset U\). Donc on trouve que \(\underline{E}_{X/S}\) s'interprète comme le faisceau des \((D, c)\), \(D\) un diviseur, \(c\) une connexion sur \(\underline{\mathcal{O}}_X(D)\). Le morphisme \(\alpha\) est maintenant évident. Si \[ f_*(\mathcal{O}_X^*) \xrightarrow{\ \varphi \mapsto d\varphi/\varphi\ } f_*(\underline{\Omega}_{X/S}) \] est nulle, i.e. \(\underline{\omega}_{X/S} \to \underline{\omega}_{X/S}/\mathrm{Im}\, f_*(\mathcal{O}_X^*)\) un isom., on peut donc interpréter l'ext. \(f_*(\underline{E}_{X/S})\) comme […] de l'ext. \(\underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S}\).

87\(\underline{\mathrm{VI}}\) B En tête de page, à l'encre, une liste de choses à faire, sans rapport avec les calculs au crayon qui suivent : Demander Raynaud détails travaux SGA 3 ; Prendre SGA 2 / Donner SGA 2 ; Prendre exemplaire […] SGA 1 ; Donner […] rabiot de Segal.

Le reste de la page est au crayon, en notes éparses, barré d'un long trait oblique.

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\begin{tikzcd}
X \arrow[r] \arrow[d, "f"'] & A \arrow[dl] \\
S &
\end{tikzcd}

\(D\) diviseur relatif sur \(X\). strict[ement] alg. équiv. à \(0\) sur chaque fibre, i.e. définit une section de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) \(\underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X/S}\) ; au-dessous, \(A^* = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S}\), avec une flèche verticale de \(A^*\) vers \(\underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X/S}\). \[ \longrightarrow V(R^1\underline{\mathcal{O}}_{A^*}) \longrightarrow E(A^*) \longrightarrow A^* \longrightarrow 0 \] \[ V(R^1\underline{\mathcal{O}}_{A^*}) = W(R^1\underline{\mathcal{O}}_{A^*}{}^{\vee}) = \omega_A \]

Pour chaque […], on trouve une fibre principale sur \(\omega_A\), d'où […] dans \(R^1f_*(\underline{\Omega}^1_{X/S})\) (\(\longleftarrow \omega_A\)). Interprétation ? deux droites qui se coupent en un point, chacune marquée « 1 » à son extrémité droite.

On aura donc \(\underline{\Omega}^1_{X/S}(D)\) \(\underline{\Omega}^1_{X/S}\) ([…]) ; \(\omega\) ; \[ \widehat{\omega} = \frac{df}{f}, \qquad f\omega = \overline{\omega}, \qquad \omega = \frac{\overline{\omega}}{f}, \qquad \mathrm{res}_x\, \omega, \] \[ \omega_i - \frac{df}{f}, \qquad \omega_i = \frac{df}{f} \ (d \log f) \] holomorphe au voisinage de […]. \[ \underline{\mathrm{D}}^{\mathrm{lo}}_{X/S} \hookrightarrow \underline{R}_{X/S}(\underline{\Omega}^1_{X/S})/\underline{\Omega}^1_{X/S} \] l'exposant de \(\underline{\mathrm{D}}\) est de lecture douteuse.

88Donnons-nous une section […] \(\xi\) de \(\underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S}\) sur \(S\), d'où par image inverse une classe de \(H^1(S, \underline{\omega}_{X/S}/\mathrm{Im}\, f_*(\mathcal{O}_X^*))\), que nous voulons calculer. Pour simplifier, nous nous supposerons que \(\xi\) provient d'un faisceau inversible \(\underline{L}\) sur \(X\). Alors on trouve que l'image est l'élément de \[ H^1(S, \underline{\omega}_{X/S}) \simeq \mathrm{Ker}\bigl(H^1(X, \Omega^1_{X/S}) \to H^0(S, R^1f_*(\underline{\Omega}^1_{X/S}))\bigr) \] défini par \(\underline{L}\).

90N.B. Si on a un hom. \[ u : B \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \] avec \(B\) un schéma abélien, et si \(\underline{\Omega}^1_{X/S}\) coh. plat\(/S\) en dim. \(0\), alors il se factorise en \(B \to \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S}\). En particulier, si \(\underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X/S}\) existe, alors on a \[ \underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X/S} \subset \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S}. \]

sous réserve d'existence de \(B^*\) et de possibilité de descente (p. ex. si \(B/S\) est projectif) Notons que la donnée de \(u\) équivaut : à la donnée d'un torseur \(A\) sous \(E\) le schéma dual \(B^*\) de \(B\), et d'un morphisme \[ X \longrightarrow A \] [d'où \(B \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S} \subset \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) …]

fonctorialité doit être explicitée avec un peu de soin ! On trouve donc, par fonctorialité, un diagramme

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[r] & \underline{\omega}^{*}_{X/S} \arrow[r] & \mathcal{M}_{X/S} \arrow[r] & \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S} \arrow[r] & 0 \\
0 \arrow[r] & \underline{\omega}_{A/S} \arrow[r] \arrow[u] & \mathcal{M}_{A/S} \arrow[r] \arrow[u] & \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{A/S} \arrow[r] \arrow[u] & 0 \\
0 \arrow[r] & \underline{\omega}_{A/S} \arrow[r] \arrow[u, no head, "\Vert" description] & \mathcal{M}^{0}_{A/S} \arrow[r] \arrow[u] & B \arrow[r] \arrow[u, hook] & 0
\end{tikzcd}

sous \(\underline{\omega}_{A/S}\) de la dernière ligne : \(\simeq V(R^1 f_{B^*}(\underline{\mathcal{O}}_B))\) ; sous \(B\) : \(= \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S}\). Devant \(\mathcal{M}^0_{A/S}\), un symbole raturé (« \(\underline{E}\) » ?). L'astérisque de \(\underline{\omega}^{*}_{X/S}\) est peut-être une rature.

Ici \(\mathcal{M}^{0}_{A/S}\) \(\underline{E}_{B^*/S}\) est défini comme image inverse de \(\mathcal{M}_{A/S}\) [par \(B \to \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{A/S}\)] ⌜[si \(\underline{\omega}_{A/S} \simeq \underline{\omega}_{X/S}\)]⌝ [ou aussi de \(\mathcal{M}_{X/S}\) par \(B \to \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S}\)]. Je vou-

91drais l'interpréter comme une extension universelle (de […]) de \(B\) par un fibré vectoriel.

Notons d'abord que le schéma \(B^*\) des translations de \(A\) opère trivialement sur l'extension \(\mathcal{M}^{0}_{A/S}\) \(\underline{E}\) \(\underline{E}_{A/S}\) (car ils opèrent trivialement sur \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S}\) et sur \(\underline{\omega}_{A/S}\)), et il en est de même […] \(B\) dans \(\underline{\omega}_{A/S}\) est trivial). Donc par descente […] on déduit que \(\mathcal{M}^{0}_{A/S}\) est canon. isomorphe à \(\mathcal{M}^{0}_{B^*/S}\), donc est un invariant qui ne dépend que du […] schéma abélien \(B\) sur \(S\).

\(A\), \(B\) au-dessus de \(S\) par \(f_A\), \(f_B\) ; \(A \times_S B\), et au-dessous « \(= B^*\) » (?). Pour calculer la classe de l'extension obtenue comme […] de \(B\) par \(\underline{\omega}_{A/S}\) […] \[ H^0(S, R^1 f_{B*}(\underline{\omega}_{A/S} \otimes_S \underline{\mathcal{O}}_B)) \] sous la formule, une accolade : \(R^1 f_{B*}(\underline{\mathcal{O}}_B)^{\vee} \otimes R^1 f_{B*}(\underline{\mathcal{O}}_B)\). rappelons le faisceau inversible de Poincaré sur \(P = A \times_S B\), et on écrit l'obstruction à mettre dessus une connexion relative à \(B\), i.e. la classe de cohomologie qui lui correspond dans \(H^1(P, \underline{\Omega}^1_{P/B})\) [puis la localiser sur \(S\)].

Calculons donc la classe de cohomologie de \(\underline{L}\) dans \(H^1(A \times_S B, \underline{\Omega}^1_{A \times_S B/S})\) […], localisée sur \(S\).

93\[ \underline{H}^{1,1}(A \times_S B) = \underline{H}^{1,1}(A/S) \oplus \underline{H}^{1,1}(B/S) \] \[ + \underline{H}^{1,0}(A/S) \otimes \underline{H}^{0,1}(B/S) + \underline{H}^{0,1}(A/S) \otimes \underline{H}^{1,0}(B/S) \]

La classe \(\xi\) qu'on veut calculer a, par des raisons de fonctorialité (regardant les inclusions \(A \to A \times_S B\), \(B \to A \times_S B\)) des composantes nulles sur les deux premiers facteurs. Il reste à calculer sa classe dans le deuxième, ce qui peut se faire …

La moitié inférieure de la page, séparée par un double trait, est barrée de traits obliques.

Connexion ⌜(absolue)⌝ canonique sur \(\mathcal{M}_{X/S}\) \[ \underline{W}_{X'_1/S'} \simeq \underline{W}_{X'_2/S'} \quad \text{canoniquement ??} \]

\(X_0 \to X'\), \(X''\) ; \(S_0 \subset S''\) : \(S\) dans le voisinage inf. du premier ordre de \(S\), avec \(\exists\) rétraction de \(S\) sur \(S_0\). Question équivalente : soit un […] inversible sur \(X_0\), muni d'une connexion rel. à \(S_0\), dans les prolongements (avec connexion) à \(X'\) et à \(X''\) se correspondent biunivoquement.

En bas de page, isolés : \(\underline{W}_{X/S}\) (raturé) et \(S_0 \leftarrow S\).

« Critères d'équivalence »

Titre pris sur la p. 95 du fonds, feuille de garde portant ces seuls mots de sa main, entre guillemets ; il est repris, encadré, en tête de la p. 96.

96\(X\) variété projective […] […] ⌜non sing.⌝ de dim. \(n\)

\(Y\) section hyperplane […] non sing.

\(X_m\) \(m\)-ième voisinage infinitésimal de \(Y\) dans \(X\)

Suit un tableau : à gauche les homomorphismes, à droite, encadrés, les énoncés ; on le donne ligne par ligne.

\[ \mathrm{Pic}(X) \longrightarrow \mathrm{Pic}(X_m) \qquad \text{inj si } n \geqslant 3,\ \text{bijectif si } n \geqslant 4, \] \(m\) grand.

Question : Surjectivité ⌜(donc bijectivité)⌝ de \(\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(Y)\) […] pour \(n \geqslant 4\) sans conditions cohomologiques, [équivalent à celle de \(TN(X) \to TN(Y)\), ou encore celles de \(TN(X) \to TN(Y)\) et \(LN(X) \to LN(Y)\)]. Équivalent à celle de \(\mathrm{Pic}(X_m) \to \mathrm{Pic}(Y)\) pour \(m\) grand. N.B. La surjectivité successive, […] […] mod \(p^m\) (car. \(p > 0\)) ⌜[requiert les obstructions […] \(p\) …]⌝ donc pour \(n \geqslant 4\), \(\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(Y)\) est surjectif exc. \(p\). […] En car. \(0\), on peut appliquer la théorie Kählérienne, qui prouve que […] \(NS(X) \xrightarrow{\ \sim\ } N(Y)\), d'où \(\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(Y)\).

Démonstration algébrique ???

Corollaire : \(\rho(X) = \rho(Y)\) pour \(n \geqslant 4\) si \(n \geqslant 3\) ; [\(\rho(X) \leqslant \rho(Y)\) […] ; \(\rho(X) \leqslant \rho(Y)\) […] \(n = 2\) et […] seulement] La note marginale du coin inférieur gauche est en partie biffée et encadrée ; la lecture de « \(\rho\) » (nombre de Picard) est probable, celle des conditions sur \(n\) douteuse. Le sigle de la dernière formule, écrit d'abord « \(N\) » puis surchargé, est lu « \(NS\) » sous réserve.

98Il y a Théorème. \(X/k\), \(k\) corps alg. clos, \(X\) […] ⌜normal intègre⌝ projectif, \(X \subset \mathbb{P}^r_k\), prof \(X \geqslant\) […] dim \(X \geqslant 2\) (dont prof \(X \geqslant 2\)).

\(G\) groupe algébrique […] affine sans composantes conn. (gpe […] ou gpe alg. fini).

\(K = k(t_1, \dots, t_r)\), \(\overline{K}\) sa clôture algébrique.

\(Y_{\overline{K}}\) la section hyperplane générique, définie sur \(\overline{K}\).

Alors \[ H^1(X, G) \longrightarrow H^1(Y_{\overline{K}}, G) \quad \text{est injectif.} \]

La structure des groupes algébriques commutatifs finis ramène aux cas simples \(\mathbb{G}_a\), […] groupe fini séparable, \(\mu_p\), \(\alpha_p\)\(\alpha_p\) cerclé, relié par une flèche à \(\mu_p\).. Donc on est ramené à prouver

N.B. Généralisation au cas d'une immersion \(X \to \mathbb{P}^r\) donnée. Corollaire 1. \(H^1(X, \mathcal{O}_X) \to H^1(Y_{\overline{K}}, \mathcal{O}_{Y_{\overline{K}}})\) est injectif.

Corollaire 2. \(\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(Y_{\overline{K}})\) est injectif.

Corollaire 2. \(\pi_1(Y_{\overline{K}}) \to \pi_1(X)\) est surjectif [Cf. Bertini]

Corollaire 3 ⌜3⌝. \(H^1(X, \alpha_p) \to H^1(X_{\overline{K}}, \alpha_p)\) injectif

Corollaire 4 ⌜4⌝. \(H^1(X, \mu_p) \to H^1(Y_{\overline{K}}, \mu_p)\) injectif.

On part du corollaire 2, connu grâce à Bertini, Lefschetz-Grauert [utilisant […] prof \(X \geqslant 2\)]. Les […] on déduit \[ H^1(X, \mathcal{O}_X)^F \to H^1(X, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \longrightarrow H^1(Y_{\overline{K}}, \mathcal{O}_{Y_{\overline{K}}})^F \] est injectif, on est donc ramené pour le cor. 1 à prouver que \(H^1(X, \mathcal{O}_X)^{1-F} \to H^1(Y_{\overline{K}}, \mathcal{O}_{Y_{\overline{K}}})^{1-F}\) est injectif [N.B. […] […] […] le […] est stable par \(F\)…] i.e. au corollaire 3. Donc on est ramené […] ⌜[sauf car. \(p > 0\)]⌝ […] au cas des cor. 3 et 4. En car. \(p > 0\),

99provenant de \(H^1(U, G)\), pourvu que \(U\) soit ⌜pris⌝ assez petit. On utilisera un argument de spécialisation.

Or […] […] ⌜suivant⌝ Cartier, dans les deux cas \[ 0 \to \mathcal{O}_X \xrightarrow{\ F\ } \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/\mathcal{O}_X^p \to 0 \] \[ 1 \to \mathcal{O}_X^* \xrightarrow{\ F\ } \mathcal{O}_X^* \to \mathcal{O}_X^*/\mathcal{O}_X^{*p} \to 1 \] (\(X\) intègre !) […] donne donc \[ H^1(X, \alpha_p) = H^1(X, \mathcal{O}_X)^{1-F} \simeq H^0(X, \mathcal{O}_X/\mathcal{O}_X^p) \xrightarrow{\ df\ } H^0(X, \widetilde{\underline{\Omega}}^1_X) \] \[ H^1(X, \mu_p) = H^1(X, \mathcal{O}_X)^{1-F} \simeq H^0(X, \mathcal{O}_X/\mathcal{O}_X^*) \xrightarrow{\ df/f\ } H^0(X, \widetilde{\underline{\Omega}}^1_X) \] la seconde ligne est recopiée telle qu'écrite, avec \(H^1(X,\mathcal{O}_X)^{1-F}\) et \(\mathcal{O}_X/\mathcal{O}_X^*\) ; le parallélisme avec la première demanderait \(\mathcal{O}_X^*/\mathcal{O}_X^{*p}\).

et si \(X\) est normal les deux flèches écrites sont injectives [[…] ⌜correspondant⌝ aux éléments à dérivées nulles, soit aux diviseurs relatifs sur \(X\) […] par \(F\), soit aux diviseurs multiplicatifs multipliés par \(F\)].

Donc on est ramené au

Lemme. \(H^0(X, \widetilde{\Omega}^1_{X/k}) \to H^0(Y_{\overline{K}}, \widetilde{\Omega}^1_{Y_{\overline{K}}/\overline{K}})\) est injectif

La vérification est presque triviale …

purement infinitésimal Corollaire. \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X_{\overline{K}}/\overline{K}} \to \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y_{\overline{K}}/\overline{K}}\) a un noyau qui est un \(p\)-groupe fini unipotent, [le fait qu'il soit complet résulte déjà des Bertini Lefschetz-Grauert-Bertini] pour prof \(X \geqslant 2\), grâce au « […] […] […] ». Si \(X\) est normal (pas néc. de dim. \(\geqslant 2\)), ⌜\(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/k}\) est propre sur \(k\).⌝ Le « […] pas fini » provient de la non-normalité ; elle n'est pas […] […] l'injectivité […] l'homomorphisme fini \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/k} \to \prod_i \underline{\mathrm{Pic}}_{Y_i/k}\), les \(Y_i\) des sections hyperplanes générales variées. Donc pour prouver

100que \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/k}\) est propre, on est ramené à le prouver pour une courbe normale, où c'est connu. Alors on a les gpes unipotents de noyau fini, ce qui achève de prouver l'assertion ….

Démonstration directe et indépendante de la con. du fait que si \(X\) est ⌜géomt⌝ normal et projectif\(/k\), […] \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/k}\) est propre.

On utilise le théorème de structure des groupes algébriques commutatifs, on est ramené à prouver que tout morphisme \(\mathrm{Spec}(k[t, t^{-1}]) \to \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/k}\) est constant, et il suffit [[…] des […] […]] de prouver […] l'injectivité ⌜[…]⌝ de […] est trivial […] premier de […]. passage barré d'un trait et entouré ; au-dessous, une insertion entre parenthèses, elle aussi biffée en partie : « en utilisant une partie \(Y\) de codim \(\geqslant 2\) tel que \(U = X - Y\) soit régulier ».

Certainement inutile, en procédant de façon convenable Lemme. Supposons \(X\) géométriquement loc. noethérien normal. Alors […] \[ \mathrm{Pic}(X) \longrightarrow \mathrm{Pic}\, X[t, t^{-1}] \] est bijectif surjectif.

c'est injectif, car \(X[t]\) a une section […] \(X'\) (section […]) Soit alors \(\underline{L}\) un faisceau inversible sur \(X' = X[t, t^{-1}]\), soit \(\mathcal{U} \to\) […] ⌜prenons \(\mathcal{U}' = X'(\mathcal{U})\)⌝ par rejection de \(X\) \(\underline{L} \mid \mathcal{U}'\) […] provient d'un faisceau inversible \(\underline{L}_0\) sur \(\mathcal{U}\), qui est défini à l'aide d'un diviseur \(D_0\) sur \(\mathcal{U}\). Son adhérence \(D_1 = \overline{D_0}\) est tel que son image inverse sur \(X'\) […] […] soit loc. principal. Par raison de stabilité, il en est de même de \(D_1\), d'où facilement la conclusion. L'argument s'arrête ici, en bas de la p. 100 ; la suite, s'il y en a une, est au-delà de ce lot.