La page commence au milieu d'un argument entamé avant le lot : il s'agit de la dualité entre \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} et le schéma d'Albanese. Main très rapide ; la prose de liaison n'est souvent lisible qu'en partie. vérifie aisément que pour tout schéma abélien B/S a une bijection \mathrm{Hom}_{S\text{-gr}}(\hat{B}, \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}) \xleftarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}_{S\text{-gr}}(B, \underline{B}_{X/S}) le premier argument, \hat{B}, est écrit sur un A biffé d'où par dualité des V.A. une bijection \begin{cases} \mathrm{Hom}_{S\text{-gr}}(\hat{A}, \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}) \xleftarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}_{S\text{-gr}}(\underline{A}^{0}_{X/S}, A) \\[4pt] \text{où } \underline{A}^{0}_{X/S} = \hat{\underline{B}}_{X/S} \end{cases}

Donc pour un schéma abélien A sur S, la donnée d'un fibré principal hom. P sous A et d'une S-morphisme \psi\colon X \to P équivaut à à S-gr la donnée d'un hom. u\colon \underline{A}^{0}_{X/S} \to A. précis, il y a un fibré principal hom. et un S-morphisme \underline{A}^{1}_{X/S} sous \underline{A}^{0}_{X/S}, canonique, \psi_{X/S}\colon X \to \underline{A}^{1}_{X/S}, et la correspondance explicite dessus , s'obtient en prenant : \text{\struck{$X$}}\quad P \simeq \underline{A}^{1}_{X/S} \times^{\underline{A}^{0}_{X/S}} (A, u)\ \ldots\ldots // On notera Les schémas d'Albanese \underline{A}^{0}_{X/S} et \underline{A}^{1}_{X/S} resp. homogènes et inhomogènes de X/S. Ils sont définis à unique isom. près. Le système triple (\underline{A}^{0}_{X/S}, \underline{A}^{1}_{X/S}, \psi_{X/S}) représente le foncteur T_X(P) par construction.

Picard

utiliser les variétés des schémas en groupes … La numérotation est remaniée à l'encre : des flèches en marge reportent l'ancien 6 (critères de simplicité) entre 4 et 5, l'ancien 6 (variations sur le carré et le cube) devient 5, Albanese passe de 7 à 8, la dualité de 8 à 7. Les numéros biffés sont donnés tels qu'on les lit ; l'ordre définitif n'est pas sûr.

Au bas de la page, un schéma des dépendances entre chapitres :

Redessiné d'après le croquis : de 1 partent une flèche simple vers la gauche et une double vers 3 ; une flèche pointillée descend de la gauche vers 6, marquée d'un « 5 » biffé ; une pointillée va de 4 à 6 ; une double flèche oblique va de 6 vers 7. Après le 9, un mot biffé illisible précède la flèche vers 10. La colonne 2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 5 \Rightarrow 7 \Rightarrow 8 \Rightarrow 9 \to 10 est sûre ; la place exacte des flèches obliques l'est moins.

Finitude de \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} — au crayon (Dém de Matsusaka) — au crayon, encadré Soit X une surface projective non singulière, sur un corps algébriquement clos k. Soit H un diviseur ample. Rappelons la formule de R.-R. faible \chi(D) = \tfrac12 D\cdot(D-K) + c où c est une constante. Soit D' numériquement Comme équivalent à 0, on trouve \chi(D) = \ell(D) + \ell(K-D) - \dim H^1(X, \mathcal{L}(D)) d'où \text{\struck{$\chi(\ell$}}\quad \text{\struck{$\chi(D)$}}\quad \ell(D) + \ell(K-D) \geqslant \tfrac12 D\cdot(D-K) + c Donc on en conclut Supposons p. ex. que \ell(K-D) = 0, ce qui est le cas si H\cdot(K-D) \leqslant 0, i.e. si \text{a)}\quad \text{\struck{\ill{}}}\ (D-K)\cdot H \geqslant 0 Alors on a \ell(D) \geqslant \frac12 D(D-K) + c, donc si et \text{b)}\quad \tfrac12 D(D-K) + c \geqslant 0 implique que \ell(D) > 0. Les conditions a) et b) sont satisfaites p. ex. pour D = nH, n assez grand. Si alors \Delta est un diviseur numériquement équivalent à 0, les conditions a) et b) sont vérifiées par D, donc on a \ell(D + \Delta) > 0 donc D + \Delta est représenté par un diviseur positif. Donc :

Théorème de finitude sur Picard (Commentaires — au crayon

Kleiman prouve, pour X/k projectif, les critères (viii)« viii » cerclé ; de même plus bas (v), (vi), (vii) de \tau-équivalence à 0, sans utiliser le fourbis délicat (i) (ii) …. Pour récupérer le cas X/k propre, il doit utiliser (i) (via lemme de Chow). Avec le même grain de sel, il prouve (v) que \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} est qu.-cpt. sur S. [En fait, il prouve directement que \underline{\mathrm{Pic}}^{\mathrm{num}}_{X/S} est quasi-compact …].

|| Utilisant le th. de l'index pour une surface projective non singulière, Kleiman prouve de plus le « critère d'équivalence » sous la forme suivante : si X est projectif/k, toutes ses composantes de dim \geqslant 3, et Y section hyperplane, d'où f^{*}\colon \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/k}, l'indice de \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} est écrit sur un Y biffé alors f^{*-1}(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y/k}) = \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/k}, i.e. si le hom. des \mathrm{NSL}(X) \to \mathrm{NSL}(Y) est injectif. Ceci Ceci, qui précède, et l'intégrité de Picard-Igusa, et le th. de Néron-Severi pour les surfaces proj. non sing., et résolution des surfaces, de Abhyankar suffit à entraîner (vi) que si X/S est propre et de prés. finie sur k S quasi-compact, les groupes de N.S. des fibres géométriques sont de type fini « uniforme » et (i.e. groupe de torsion d'ordre majoré, et rang majoré). [Dans le cas X/S projectif, cela se tire des démarches de Kleiman, sans utiliser aucun fourbis]. On récupère aussi ainsi (vii).

TSVP

July 18, 1962

My dear Murre,

I recently had some thought on finiteness conditions for Picard preschemes, and substantially improved on the results stated in the last section of my last Bourbaki talk. The main result stated there for a simple projective morphism with connected geometric fibers (namely that the pieces \underline{\mathrm{pic}}^{P}_{X/S} are of finite type over S) has been extended by Mumford to the case where instead of f simple we assume only f flat with integral geometric fibers, (at least if these are normal). Using his result (the proof of which is quite simple and beautiful), I could get rid of the normality assumption, and even (as in theorem 4.1. of my talk) restrict to the consideration of the two first non trivial coefficients of the Hilbert polynomials. The key results for the reduction are the following (the proofs being very technical, and rather different for (i) and (ii), except that (ii) uses (i) to reduce to the normal case; moreover (ii) uses Mumford's result and the equivalence criteria as developped in my last Seminar):

(i) Let X, Y be proper over S noetherian, let f\colon X \to Y be a surjective S-morphism, assume for simplicity of the statement that the Picard preschemes exist, the f^{\cdot}\colon \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} is of finite type (and in fact affine if S is the spectrum of a field), i.e. a subset M of \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} is quasi-compact iff its image in \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} is.

(ii) The same conclusion holds for a canonical immersion X \to Y, if Y/S is projective with fibers all components of which are of dimension \geqslant 3, and if X is the sub-scheme of zeros of a section over Y of an invertible sheaf \underline{L} ample with respect to S.

A connected result is that for any X/S proper, and integer n \neq 0, the n. th power homomorphism in the Picard prescheme is of finite type.

I tell you about this, namely (i), because of the method of proof, involving of course considerations of non flat descent. The fact that I do not have any good effectivity criterion does not hamper, by just recalling what the effectivity of a given descent datum means. Now it turns out that by a slightly more careful analysis of the situation, one can prove the following theorem, of a type very close to the one you have proved recently, and to some you still want to prove as I understand it.

Cette page ouvre une suite qui se poursuit au-delà du lot.

plat de prés. finie — en partie biffé

(*)\qquad \underline{\mathrm{Div}}_{X/S} \simeq \underline{R}^{*}_{X/S} / \underline{O}^{*}_{X} \xrightarrow{\ df/f\ } \underline{R}_{X/S}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) / \underline{\Omega}^{1}_{X/S} d'où une extension [des couples (D, \omega) tels que d\log D \equiv \omega \ (\underline{\Omega}^{1}_{X/S})] 0 \to \underline{\Omega}^{1}_{X/S} \to \underline{E}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Div}}_{X/S} \to 0 N.B. L'hom. (*) est injectif si S de car. nulle et f normal (donc de prés. finie …) et par suite une suite exacte 0 \to f_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) \to f_{*}(\underline{E}_{X/S}) \to f_{*}(\underline{\mathrm{Div}}_{X/S}) \xrightarrow{\ \partial\ } R^{1}f_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) sous f_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}), un signe = vertical renvoie à \underline{\omega}_{X/S} à vérifier que c'est l'homomorphisme bien connu déduit de \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to R^{1}f_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}), c'est trivial ou encore 0 \to \underline{\omega}_{X/S} \to f_{*}(\underline{E}_{X/S}) \to f_{*}(\underline{\mathrm{Div}}_{X/S})^{w} \to 0 où f_{*}(\underline{\mathrm{Div}}_{X/S})^{w} = \mathrm{Ker}\bigl(\partial\colon f_{*}(\underline{\mathrm{Div}}_{X/S}) \to R^{1}f_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S})\bigr)

Considérons \underline{P}_{X/S} = f_{*}(\underline{R}^{*}_{X/S}) / f_{*}(\underline{O}^{*}_{X}) \hookrightarrow f_{*}(\underline{\mathrm{Div}}_{X/S}) On a, du moins si X \to S est quasi-projectif f_{*}(\underline{\mathrm{Div}}_{X/S}) / \underline{P}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} d'autre part, et l'on voit \begin{aligned} f_{*}(\underline{\mathrm{Div}}_{X/S})^{w} / \underline{P}_{X/S} &= \underline{\mathrm{Pic}}^{w}_{X/S} \subset \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \\ &= \mathrm{Ker}\bigl(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to R^{1}f_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S})\bigr) \end{aligned} * On définit la flèche obliquefin de la page ; la phrase se poursuit au-delà du lot