Fonds Grothendieck, cote n° 57, pages 41–60 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-10-03)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-10-03
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est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)57
Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962).
Pages 41 à 60 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 3 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.1962-[vers 1968]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/57.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \supplied devient
supplied (restitué par le transcripteur) ;
\add devient add
(ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ;
\struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \drawing devient
note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le
transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils
ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le
fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète
est une restitution (supplied), un ajout
isolé est de l'auteur (add). Certains
add sont donc encore des restitutions du
transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurExport TEI depuis la source LaTeX.Première passe de transcription.
Théorème de rigidité
p. 4 de l'auteur. Le début de l'exposé (pp. 1–3 de l'auteur) précède ce lot.Déf.
Un préschéma en groupes commutatif G de type fini sur S est dit
rigide si pour tout
G est plat sur S ;Pour tout s \in S, et toutnombreentier
premier \ellà la caractéristique distinct de car k(s),
\overline{G}_s est plus petit sous-schéma fermé de
\overline{G}_s l'adhérence des {}_{\ell^k}\overline{G}_s
[où \overline{G}_sk(s)] ;Pour tout ouvert U de S,
des pts de U, le schéma (G|U) est fini sur S.
dans un cadre, à gauche de (ii) : « {}_{\ell^k}(\overline{G}_s) ».
Remarquons qu'on peut prouver que il Il suffit de l'exiger
Prop.
suffit pour (iii) que G_sdans les fibres G_a, G_m, Ab, \mathbb{Z}/\ell,
\mathbb{Z}/p qui G_{s_2} = G, G_a, \mathbb{Z}/p. En effet,(la seule condition
est suffisantePour la nécessité,
qu'une extension de groupes rigides est rigide ; puisque G_m,
Ab sont rigides (classiques), \mathbb{Z}/\ell. la de structure des
groupes commutatifs,
en face des groupes cités : « G_m Ab \mathbb{Z}_\ell / G_a\mathbb{Z}_p » fid. plat
on de la , de
structure, à prouver qu'une extension d'un schéma abélien A par G_a rigide [, quotient d'un rigide est rigide].
On : une extension non triviale de A par
G_a, du moins en car. 0, est rigide.
Proposition. Soit G schéma en groupes commutatif loc. de type
fini sur S, rigide. Soit n un entier premier aux car. des corps
résiduels de S. Alors, G pour tout U de
G, U est le plus petit sous-schéma fermé de U qui majore les
{}_{n^k}G \cap U.
Démonstration donnée plus haut.
Proposition. Soit G un S-préschéma en gr. loc. commutatif, de type fini sur S,
(soit n un entier premier aux car. des
corps résiduels de S. Alors le morphisme G \xrightarrow{n} Gest surjectif, en particulier{}_nG est
non ramifié sur S ; si G est
plat sur S, {}_nG est étale sur S.
p. 5 de l'auteur.
En effet, comme G est plat sur S, on est ramené à la
première assertion endifférentielle d'S = \operatorname{Spec}(k), et k alg.
clos. Alors G = G_{\mathrm{red}} \times G_{\mathrm{inf}}, où G_{\mathrm{inf}}
est G est sur k, donc aux car. que la notiondifférentielle : on est ramené à prouver que la
est partout surjective, ce
qui est immédiat, car elle s'identifie à la multiplication par n [ le foncteur \operatorname{Lie}(G) est additif, et les groupes
commutatifs sur k].
{}_nG = {}_nG_{\mathrm{red}} p.
Lemme. Soient S schéma loc. noeth. connexe, X un
schéma S-préschéma non ramifié,
X_1 et X_2 deux sous-schémas de X étales et finis
sur S. X, X_1 et X_2,
finis sur S Soit s \in S tel que X_{1s} = X_{2s}, alors X_1 = X_2.
Introduisant X_1 \times_X X_2 = X', fini étale sur S, on
est ramené au cas où X_1 \subset X_2, des pts X_{2s}
Supposons d'abord S = \operatorname{Spec}(A), A local. On est ramené
A est complet, donc X fini sur S[comme ]XX_ides
schémas finis sur Set fibres
sur S] X est fini sur S [X_i sans ]
supposer que X est un sous-schéma fermé de S
[en faisant une extension plate de S]. Mais alors X_1 et
X_2 étant finis et étales sur S, et , sont identiques à
X, donc identiques. l'assertion est bien connue.
Dans le cas général, on veut dire que X_1 et X_2 coïncident un voisinage ouvert de s. Soit U le plus grand
ouvert de S tel que X_1|U = X_2|U, il reste à prouver que U est
fermé. Or si s' \in \overline{U}, s' \in
\overline{s''}, s'' \in U, donc
X_{is'} = \overline{X_{is''}} \cap X_{s'}
[car X_{s'} \to S] donc X_{1s'} = X_{2s'}, donc précède s' \in U, cqfd.
Théorème de rigidité. Soient S un préschéma loc. noeth.
connexe, G un schéma en groupes de type
fini sur S, G_1 et G_2 deux sous-schémas en groupes
fermés rigides, soits \in S tels que G_{1s} = G_{2s}.
s \in S.Alors Alors G_1 = G_2.
p. 6 de l'auteur.Corollaire 1. Soient G, H deux schémas en groupes
comm. de type fini sur S loc. noeth. connexe, Grigide. Soient
u, v \colon G \to H deux hom. de S-groupes, et s \in S tel que
u_s, v_s \colon G_s \rightrightarrows H_s soient égaux. Alors u = v.
On applique le th. de rigidité au graphe.
Corollaire 2. Soient S un schéma loc. noeth.,
S' \to S un morphisme fid. platet de type fini, avec S' loc. noeth., G un S-schéma en groupes
de type fini sur S, H' un sous-schéma en groupes fermé de
G' = G \times_S S'. On suppose
les fibres de S' \to S sont géom. connexes,H' est rigide.
Alors il existe un sous-schéma en groupes ferméH de G
(nécessairement unique, et rigide) tel que H' = H \times_S S'.
On applique le théorème de la descente, pour laquelle il faut seulement
la phrase se poursuit p. 47.
montrer que les deux images inverses de H' dans G'' = G \times_S S''
(où S'' = S' \times_S S') sont les mêmes.
le passage qui suit, de « On peut supposer » à « il suffit pour cela de »,
est encadré puis biffé de trois longs traits obliques ; il est transcrit tel
qu'il se lit.On peut supposer S(= affine), d'anneau A,
et S' affine sur S [en remplaçant S' par ], d'anneau A'. On a A' = \varinjlim A_i, les A_i étant des
sous-algèbres de type fini de A', et A'' = A' \otimes_A A' = \varinjlim
A'_i \otimes_A A'. Comme H' provient d'un H'_i défini sur un A'_i,
également rigide [?], il suffit de que les deux images
inverses de H'_i dans G''_i = G \times_A A''_i, où A''_i = A'_i \otimes
A'_i, sont les mêmes. Comme A''_i est noethérien, il suffit pour cela deO.K. dans le cas de schémas abéliens , additifs
elles coïncident sur la diagonale de S' \times_S S', donc sur toute
composante connexe de S' \times_S S' qui contient la diagonale par
. Comme les fibres de S' \times_S S' sont connexes [car celles de S'
sont géom. connexes] toute composante connexe de S'' contient une fibre, donc
la phrase se poursuit p. 48.
p. 7 de l'auteur.
rencontre la diagonale, cqfd.
Corollaire 3. Soit K' une extension primaire d'un corps
k, G un schéma en groupes comm. de type fini sur k, H' un
sous-schéma en groupes fermé de G' = G \otimes_k k', rigide.
Alors il existe un sous-schéma en groupes fermé H de G, unique,
rigide tel que H' = H \otimes_k k'.
On admettra qu'il existe une sous-algèbre A_1 de K'de type fini sur k, telle que H' provienne d'un sous-schéma
en groupes fermé H'_1 de G_1 = G \otimes_k A_1, qui est
rigide [c'est le cas en tout cas si que H', sur la clôture algébrique de K', une suite de composition dont les
facteurs sont des G_m, Ab, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} …].
précision à prouver
On peut Comme le corps K_1 de A_1 est une extension
primaire de k, on voit que \operatorname{Spec}(A_1) est
géométriquement. On applique alors le
cor. 2.
Cor. 4. Soit S' \xrightarrow{f} S un morphisme de préschémas
loc. noeth. On suppose que f est fid. plat et de type fini, et
que S' et S sont des spectres de corps k', k
(car k'/k est une extension primaire). Alors la Soient
HH \times_S S'H, G des schémas en groupes
de type fini commutatifs sur S, H étant rigide,
H' = H \times_S S', G' = G \times_S S'. Alors l'application canonique
\operatorname{Hom}_{S\text{-gr}}(H, G) \longrightarrow
\operatorname{Hom}_{S'\text{-gr}}(H', G')
est bijective. En particulier, le foncteur H \mapsto H' de la catégorie
des schémas de type fini en groupes commutatifs rigides sur Sdans la catégorie des schémas en groupes
commutatifs sur S' est pleinement fidèle.
p. 8 de l'auteur.notion : très rigide
Je , dans la définition de la rigidité sur un corps,
d'exiger que tous les sous-schémas fermés rel. connexes de
G aient la propriété de . Ceci signifie alors que G a une suite de
composition (sur kalg. clos) dont les facteurs sont
\mathbb{Z}/\ell, G_m, Ab, — et extensionstrès rigides, , bien , sur k.
la proposition suivante et le début de sa démonstration sont barrés de
plusieurs longs traits obliques.Proposition.G rigide sur S loc. noeth., u \colon G \to
H un morphisme de S-groupes, où H est un schéma en groupes
de type fini sur S. Soit N = \operatorname{Ker} u. Alors N est
universellement sur S.
On peut supposer S = \operatorname{Spec} V, V anneau de valuation
discrète.
Remarque. Même si A est un schéma abélien sur un anneau de
valuation discrète fini, B_1 et B_2 deux
sous-schémas de Aétales sur V,
de degré p, ayant fibres , il est possible que
B_1 \neq B_2.
Pour le voir, on prend une courbe elliptique BC sur S, telle
que C de C(K) d'ordre p, C(k)p, . elliptique C' sur S, groupe :
(\mathbb{Z}/p)_S, section \xi de C'. On prend
A = C' \times_V C, on y considère les sections \alpha = (\xi, e),
\beta = (\xi, \eta). Les sous-groupes \Gamma_1, \Gamma_2
engendrés sont des sous-groupes de A isomorphes à (\mathbb{Z}/p)_S
[(\mathbb{Z}/p)_S \to A, \mathrm{pr}_1 \colon A \to C']. La
= fibre en s, mais la fibre
générique s_1. Ici, A \to A/\Gamma_1 \times A/\Gamma_2 sur \operatorname{Spec} V, {}_s(\mathbb{Z}/p)_{\ker} []
de
rigidité.
p. 9 de l'auteur.Proposition. Soient k un corps, k' une extension
primaire de k, G un groupe de type fini sur k,
G' = G \otimes_k k', H' un sous-groupe fermé de G', tel que
H'_0H'^{(0)}_e (la composante connexe de e)
soit rigide. Alors il existe une sous-groupe
extension finie radicielle k_1 de k, telle que et deux
sous-groupes fermésH_1 de
G_1 = G \otimes_k k_1, tel que H'_1 = H' \otimes_k k_1H_1 \otimes_{k_1} k'_1 (où
k'_1 = k' \otimes_k k_1) .
Alors H'_1 \simeq H_1 \otimes_{k_1} k'_1.N.B. Si on veut H' extension K'_1
Cor. 0. Si K'/k est primaire séparable, K'_1
Corollaire 1. Il existe une k \to k_1H de G telle que |H'| = image inverse
de H.
Corollaire 2. Si k est parfait, il existe un sous-groupe H de
G tel que H' \supseteq H \otimes_k k' et H' =.
Corollaire 3. Soit S' de type fini sur SS' \to S
de type fini surjectif, S' \to S à fibres rel. irréductibles, universellement
Gschéma en groupes commutatif
de type fini sur S, H' un sous-schéma en groupes de
G' = G \times_S S', sur S' tel que H' sur S' fibre H' aux pts génériques des
fibres de S'rigide.
hypothèse
Sous ces conditions, il existe une partie ferméeH de G dont
l'image inverse dans G' soit H'. (Dans morphisme
S' \to Sty. surjectif,S propre, S loc. noeth.)
alors H est une partie fermée de G. En cas, c'est
« sous-groupe ».
Cor. 4. Sous les conditions cor. 3,
. Alors il existe sous-groupe
H de G tel que H' = H \times_S S'
Le corollaire 3 résulte facilement du corollaire 2, en S = \operatorname{Spec}(k), et corps de S'.
Démonstration de la proposition. Appliquons le th.
de rigidité à H'_0 ; il existe un sous-groupe H_0
de G tel que H'_0 = H_0 \otimes_k k'. H_0,
H' un groupe fini.
Il n, {}_nG' = ({}_nG) \otimes_k k'. G est fini sur k.
p. 10 de l'auteur.utilisé dans lale lemme qui suit est encadré et barré de trois traits obliques.Lemme. Soit X fini sur un corps k, K' une extension
primaire de k, X' un sous-schéma ( fini) de
X' = X \otimes_k k'. Alors application et G/k fini.
Comme k'/k est primaire, l'application G' \to G est bijective () donc H' est l'image
inverse d'un H de G. D'ailleurs, une
extension radicielle finie convenable k_1 de k, (G \otimes_k k' séparable)k_1() des
extensions résiduelles de G_1 = G \otimes_k k_1
séparables. En Si donc H_1 est l'image inverse de HG_1, structure induite réduite, H_1 est un
sous-schéma en groupesfermé de G_1. De plus,
H_1 \otimes_{k_1} k'_1= que
H'_1 = H' \otimes_k k'_1. .
Remarque. L'hyp. sur H' est certainement vérifiée si G_0 est
très rigide. (Cf. ex. ,
)
Sous les conditions du cor. 4, i.e.
Cor. 5 (H' plat sur S', )
Proposition.S' de type fini (relativement
irréductible) sur S, G schéma en groupes
commutatif de type fini sur k, G' = G \times_S S', H' un sous-schéma
en groupes fermé de G' qui est ()
plat sur S', et dont la composante connexe H'^{(0)}_\eta de la fibre
générique est rigide (, et que Gtrès soit rigide). Alors
il existe un sous-schéma en groupes H de G, sur k,
tel que H \otimes_k k' soit majoré par H' et .
les conditions u \colon G \to G/H = G_1 et le morphisme correspondant
G' = G \otimes k' \tou' \colon G \otimes_k k' \to G \otimes_k k' / H \otimes_k k' = G'_1. il
la phrase se poursuit p. 56.
p. 11 de l'auteur.
existe un unique sous-schéma en groupes ferméH'_1 de G'_1, tel
que H' = u'^{-1}(H'_1). , platEtH'_1 est
fini et radiciel sur S'S', il H'. H'H'
En termes, de
sous-groupes de G, S', dont la générique soit une
comp. connexe rigide (condition inutile si G est très rigide) est familles plates, S, de sous-groupes radiciels de fixé d'un G/H.
(iii) Cela l'espace Schéma(H'_1) Si Corollaire.H' fibres SH' \simeq H \otimes
Démonstration de la proposition. cor. 4, (ii) de la proposition plus
générale :
PropositionLemmeSschémapréschéma loc. noeth.G, G_1, préschémas en
groupes de type fini sur S,
plats sur S, u \colon G \to G_1 un morphisme surjectif, (donc
nécessairement plat, surj.), N son noyau (qui est plat
donc sur S). Alors il y a correspondance biunivoque entre les
sous-schémas fermés H de G qui sont invariants par N, et les
sous-schémas fermés H_1 de G_1, où H_1 correspondant à
H = u^{-1}(H_1). Pour que H soit propre plat sur S, il faut
et il suffit que H_1 le soit. Pour que H soit un sous-groupe de G, il
faut et il suffit que H_1 soit un sous-groupe de G_1. Pour que
de plusH_1 soit radiciel surjectif sur S, il faut et
il suffit que H et N aient sous-groupes.
AlorsN \to SH \to Suniversellement
() c'est un morphisme fini radiciel surjectif.
AQT par théorie de descente.
Albanese
titre pris de la p. 58, feuillet par ailleurs blanc portant de sa main
le seul mot « Albanese ».
Schéma d'Albanese.
Soit Xprojectif etfid. plat qu.-proj. sur S,
\mathcal{O}_S \xrightarrow{\sim} f_*(\mathcal{O}_X) universel.
On ditPour une espèceDonnées équivalentes :
P fibré principal homogène [ de
qu.-proj.] sur S, groupe G, et un
morphisme \varphi \colon X \to P ;Un S-groupe G, et une donnée de descente sur
G_X = G \times_S X par X \to S, et la structure de fibré pr. homog.
sur G_XG_X ;Un S-groupe G, et un schéma
\varphi \colon X \times_S X \to G satisfaisant la condition
symétrique\varphi(x,y)\varphi(y,z) = \varphi(x,z) [i.e. \varphi(x,x) = e], et une condition d'effectivité ; [automatiquement
satisfaite si G est affine/S, ou si X \toqu. pr.
sur S, , et X \to S admet loc.
des quasi-sections finies, p. ex. X \to S projectif].
en marge gauche, en face de (i bis), un carré :
\begin{tikzcd}
P \arrow[d] & P_X \arrow[l] \arrow[d] \\
S & X \arrow[l] \arrow[ul, dashed, "\varphi"']
\end{tikzcd}
la flèche \varphi est figurée par un point et une lettre au centre du
carré ; sa direction est une lecture. En marge, en face de (ii) :X \leftleftarrows X \times_S XX \times_S X \times_S X.
Supposons enfin que X soit projectif sur S et tel que
\mathcal{O}_S \xrightarrow{\sim} f_*(\mathcal{O}_X) universel ;
Un S-groupe G, et un schéma
\varphi \colon X \times_S X satisfaisant \varphi(x.x) = e, et
. /S et X/eX projectif .
définition G(P, u)G\operatorname{Hom}_{S'}(X_{S'}, G_{S'})\operatorname{Pic}(X_{S'}, G_{S'}) … et
associé …
Pour simplifier, nous supposons que la suite f \colon X \to Sprojectif, et \mathcal{O}_S \simeq f_*(\mathcal{O}_X)
universel ! Gproj. sur S, fibré principal
homogène P, \operatorname{Hom}_S(X, P) comme foncteur P,
T_X(P). , ce foncteur est
pro-représentable la catégorie des P, .
existent, et que représentable : T_X : , couple (P, \varphi \in T_X(P)) donné « couple universel ».
Interprétation, en \varphi \colon X \times_S X \to G satisfaisant \varphi(x,x) = e, alors
les groupes G_\alpha tels que \varphi se factorise par G_\alpha forment un
filtrant décroissant, et il y a un
minimal, soit G'. Le couple (G', \varphi') correspondant est cherché.
Montrons que qui représente T_X(G_\alpha, P_\alpha)..
Mais G à être un
schéma abélien A, A = \operatorname{Pic}^\circ_{B/S}, où
B = \hat{A} = \operatorname{Pic}^\circ_{A/S}. En effet, S' = X, soit T_X(B)\begin{align*}
T_X(A) &\simeq \operatorname{Hom}_S(X \times_S X, A)
\simeq \operatorname{Hom}_{S'\text{-pointés}}(X_{S'}, A_{S'}) \\
&= \operatorname{Hom}_{S'\text{-pointés}}(X_{S'},
\operatorname{Pic}^\circ_{B_{S'}/S'}) \\
&\simeq \mathcal{B}_{S'}(X_{S'}, B_{S'})
\simeq \operatorname{Hom}_{S'\text{-groupes}}(B_{S'},
\operatorname{Pic}_{X_{S'}/S'}) \\
&\simeq \operatorname{Hom}_{S\text{-groupes}}(B,
\operatorname{Pic}_{X/S})
\end{align*}sous \mathcal{B}_{S'}(X_{S'}, B_{S'}), accolade : « données de corr.
divisorielles » ; sous le dernier \simeq : « d'après la platitude et la
rigidité … ». La première ligne se prolonge en marge droite par
= \operatorname{Hom}_{S'\text{-gr}}(B_{S'}, \operatorname{Pic}_{\ill{}}),
illisible.
est un résultat du type de « dualité de ».
On suppose que \operatorname{Pic}_{X/S} contient ,
(B_{X/S}\operatorname{Pic}^\circ_{X/S}), « d' »
la page s'arrête ici ; la suite est hors du lot.