Cote n° 57, pages 41–60

Cote n° 57 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962).
Datation de l’inventaire : 1962-[vers 1968]
Édition de démonstration

Théorème de rigidité

42p. 4 de l'auteur. Le début de l'exposé (pp. 1–3 de l'auteur) précède ce lot. Déf. Un préschéma en groupes commutatif \(G\) de type fini sur \(S\) est dit rigide si pour tout

(i)\(G\) est plat […] sur \(S\) ;
(ii)Pour tout \(s \in S\), et tout ⌜nombre⌝ entier premier \(\ell\) à la caractéristique distinct de car \(k(s)\), \(\overline{G}_s\) est […] plus petit sous-schéma fermé […] de \(\overline{G}_s\) […] […] l'adhérence des \({}_{\ell^k}\overline{G}_s\) [où \(\overline{G}_s\) […] […] […] \(k(s)\)] ;
(iii)Pour tout […] ouvert \(U\) de \(S\), […] […] […] des pts de \(U\), le schéma […]\((G|U)\) est fini sur \(S\).

dans un cadre, à gauche de (ii) : « \({}_{\ell^k}(\overline{G}_s)\) ».

Remarquons qu'on peut prouver que il […] Il suffit de l'exiger […] […]

Prop. suffit pour […] (iii) que \(G_s\) […] […] ⌜[…]⌝ dans les fibres […] \(G_a\), \(G_m\), Ab, \(\mathbb{Z}/\ell\), \(\mathbb{Z}/p\) qui […] […] \(G_{s_2} = G\), […] […] […] \(G_a\), […] \(\mathbb{Z}/p\). […] En effet, (la seule condition est […] suffisante Pour la nécessité, […] […] […] qu'une extension de groupes rigides […] […] est rigide ; puisque \(G_m\), Ab sont rigides ([…] […] classiques), \(\mathbb{Z}/\ell\) […] […]. […] […] […] la […] de structure des groupes commutatifs, […] ⌜[…]⌝ […]

en face des groupes cités : « \(G_m\) Ab \(\mathbb{Z}_\ell\) / \(G_a\) \(\mathbb{Z}_p\) » […] […] […] […] fid. plat […]

43on […] de […] […] […] la […], […] […] […] de structure, à prouver qu'une extension d'un schéma abélien \(A\) par \(G_a\) […] […] rigide [[…], […] […] quotient d'un rigide est rigide]. On […] […] […] : une extension non triviale de \(A\) par \(G_a\), du moins en car. \(0\), est rigide.

Proposition. Soit \(G\) schéma en groupes commutatif ⌜loc.⌝ de type fini sur \(S\), rigide. Soit \(n\) un entier premier aux car. des corps résiduels de \(S\). Alors, […] […] \(G\) pour tout […] \(U\) de \(G\), \(U\) est le plus petit sous-schéma fermé de \(U\) qui majore les \({}_{n^k}G \cap U\).

Démonstration donnée plus haut.

Proposition. Soit \(G\) un \(S\)-préschéma en gr. […] ⌜loc.⌝ […] commutatif, ⌜[…]⌝ de type fini sur \(S\), (soit […] \(n\) un entier […] premier aux car. des corps résiduels de \(S\). Alors ⌜le morphisme \(G \xrightarrow{n} G\) […]⌝ ⌜est surjectif, en particulier⌝ […] \({}_nG\) est […] non ramifié sur \(S\) ; […] si \(G\) est plat sur \(S\), \({}_nG\) est étale sur \(S\).

44p. 5 de l'auteur. En effet, comme \(G\) est plat sur \(S\), on est ramené […] à la première assertion ⌜en⌝ […] différentielle d'[…] ⌜\(S = \operatorname{Spec}(k)\)⌝, et […] […] […] […] \(k\) alg. clos. Alors \(G = G_{\mathrm{red}} \times G_{\mathrm{inf}}\), où \(G_{\mathrm{inf}}\) est […] […] \(G\) est […] sur \(k\), donc […] […] aux car. […] […] que la notion différentielle : on est ramené à prouver que la […] […] […] […] est partout surjective, ce qui est immédiat, car elle s'identifie à la multiplication par \(n\) [[…] […] le foncteur \(\operatorname{Lie}(G)\) est additif, et […] les groupes […] commutatifs sur \(k\)]. […] \({}_nG = {}_nG_{\mathrm{red}}\) […] […] […] […] p. […] […]

Lemme. Soient \(S\) schéma […] loc. noeth. connexe, \(X\) un schéma […] \(S\)-préschéma […] ⌜non ramifié⌝, \(X_1\) et \(X_2\) deux sous-schémas […] de \(X\) étales ⌜et finis⌝ sur \(S\). […] […] \(X\), […] […] \(X_1\) et \(X_2\), finis sur \(S\) Soit \(s \in S\) tel que \(X_{1s} = X_{2s}\), alors \(X_1 = X_2\). Introduisant \(X_1 \times_X X_2 = X'\), fini étale sur \(S\), on est ramené au cas où \(X_1 \subset X_2\), […] […] des pts […] […] […] \(X_{2s}\) […] […]

Supposons d'abord \(S = \operatorname{Spec}(A)\), \(A\) […] local. On est ramené […] […] […] \(A\) est complet, donc […] \(X\) […] fini sur \(S\) ⌜[comme […]]⌝ \(X\) […] […] ⌜[…] \(X_i\) […]⌝ des schémas […] finis sur \(S\) et […] […] […] […] fibres […] sur \(S\)] […] […] […] \(X\) est fini sur \(S\) [[…] […] […] \(X_i\) […] […] […] […] sans […]]

45⌜[…] […] […] supposer que \(X\) est un sous-schéma fermé de \(S\) [en faisant une extension […] plate de \(S\)].⌝ Mais alors \(X_1\) et \(X_2\) étant finis ⌜et étales⌝ sur \(S\), et […] […], sont identiques à \(X\), donc identiques. l'assertion est bien connue.

Dans le cas général, on veut dire que \(X_1\) et \(X_2\) coïncident ⌜[…]⌝ […] un voisinage ouvert […] de \(s\). Soit \(U\) le plus grand ouvert […] de \(S\) tel que \(X_1|U = X_2|U\), il reste à prouver que \(U\) est fermé. Or si \(s' \in \overline{U}\), […] […] \(s' \in \overline{s''}\), \(s'' \in U\), donc \[ X_{is'} = \overline{X_{is''}} \cap X_{s'} \] [car \(X_{s'} \to S\) […] […]] donc \(X_{1s'} = X_{2s'}\), donc […] […] […] […] précède \(s' \in U\), cqfd.

[…]

Théorème de rigidité. Soient \(S\) un préschéma ⌜loc.⌝ noeth. connexe, \(G\) un schéma en groupes ⌜[…]⌝ […] de type fini […] sur \(S\), \(G_1\) et \(G_2\) deux sous-schémas en groupes fermés rigides, soit \(s \in S\) tels que \(G_{1s} = G_{2s}\). […] […] \(s \in S\). Alors Alors \(G_1 = G_2\).

46p. 6 de l'auteur. Corollaire 1. Soient \(G\), \(H\) deux […] schémas en groupes comm. de type fini sur \(S\) loc. noeth. connexe, \(G\) rigide. Soient \(u, v \colon G \to H\) deux hom. de \(S\)-groupes, et \(s \in S\) tel que \(u_s, v_s \colon G_s \rightrightarrows H_s\) soient égaux. Alors \(u = v\).

On applique le th. de rigidité au graphe.

Corollaire 2. Soient \(S\) un schéma loc. noeth., \(S' \to S\) un morphisme fid. plat ⌜et de type fini⌝ […], avec \(S'\) loc. noeth., \(G\) un \(S\)-schéma en groupes […] de type fini sur \(S\), \(H'\) un sous-schéma en groupes fermé de \(G' = G \times_S S'\). On suppose

(i)les fibres de \(S' \to S\) sont géom. connexes,
(ii)\(H'\) est rigide.

Alors il existe un sous-schéma en groupes ⌜fermé⌝ \(H\) de \(G\) (nécessairement unique, et rigide) tel que \(H' = H \times_S S'\).

On applique le théorème de la descente, pour laquelle il faut seulement la phrase se poursuit p. 47.

47montrer que les deux images inverses de \(H'\) dans \(G'' = G \times_S S''\) (où \(S'' = S' \times_S S'\)) sont les mêmes. le passage qui suit, de « On peut supposer » à « il suffit pour cela de », est encadré puis biffé de trois longs traits obliques ; il est transcrit tel qu'il se lit. On peut supposer \(S\) […] (= affine), ⌜d'anneau \(A\)⌝, et \(S'\) affine sur \(S\) [en remplaçant \(S'\) par […] […] […] […] […]], d'anneau \(A'\). On a \(A' = \varinjlim A_i\), les \(A_i\) étant des sous-algèbres de type fini de \(A'\), et \(A'' = A' \otimes_A A' = \varinjlim A'_i \otimes_A A'\). Comme \(H'\) provient d'un \(H'_i\) défini sur un \(A'_i\), également rigide [?], il suffit de […] que les deux images inverses de \(H'_i\) dans \(G''_i = G \times_A A''_i\), où \(A''_i = A'_i \otimes A'_i\), sont les mêmes. Comme \(A''_i\) est noethérien, il suffit pour cela de O.K. dans le cas de schémas abéliens […] […], […] […] […] additifs

[…] elles coïncident sur la diagonale de \(S' \times_S S'\), donc sur toute composante connexe de \(S' \times_S S'\) qui contient la diagonale par […]. Comme les fibres de \(S' \times_S S'\) sont connexes [car celles de \(S'\) sont géom. connexes] toute composante connexe de \(S''\) contient […] […] […] une fibre, donc la phrase se poursuit p. 48.

48p. 7 de l'auteur. rencontre la diagonale, cqfd.

Corollaire 3. Soit \(K'\) une extension primaire d'un corps \(k\), \(G\) un schéma en groupes comm. de type fini sur \(k\), \(H'\) un sous-schéma ⌜en groupes fermé⌝ de \(G' = G \otimes_k k'\), rigide. Alors il existe un sous-schéma ⌜en groupes⌝ fermé \(H\) de \(G\), unique, rigide tel que \(H' = H \otimes_k k'\).

On admettra qu'il existe une sous-algèbre \(A_1\) de \(K'\) ⌜de⌝ […] type fini sur \(k\), telle que \(H'\) provienne d'un sous-schéma en groupes fermé \(H'_1\) de \(G_1 = G \otimes_k A_1\), […] qui est rigide [c'est le cas en tout cas si […] […] que \(H'\) […], sur la clôture algébrique de \(K'\), une suite de composition dont les facteurs sont des \(G_m\), Ab, \(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}\) …]. précision à prouver

On peut […] […] Comme le corps \(K_1\) de \(A_1\) est une extension primaire de \(k\), on voit que \(\operatorname{Spec}(A_1)\) est ⌜géométriquement⌝ […] […]. On applique alors le cor. 2.

49Cor. 4. Soit \(S' \xrightarrow{f} S\) un morphisme de préschémas loc. noeth. On suppose que \(f\) est fid. plat et de type fini, et que \(S'\) et \(S\) sont des spectres de corps […] \(k'\), \(k\) (car \(k'/k\) est une extension primaire). Alors la […] Soient \(H\) […] \(H \times_S S'\) \(H\), \(G\) des schémas en groupes ⌜de type fini⌝ commutatifs sur \(S\), \(H\) étant rigide, \(H' = H \times_S S'\), \(G' = G \times_S S'\). Alors l'application canonique \[ \operatorname{Hom}_{S\text{-gr}}(H, G) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{S'\text{-gr}}(H', G') \] est bijective. En particulier, le foncteur \(H \mapsto H'\) de la catégorie des schémas ⌜de type fini⌝ en groupes commutatifs rigides sur \(S\) dans […] […] la catégorie des schémas en groupes commutatifs […] […] […] sur \(S'\) est pleinement fidèle.

50p. 8 de l'auteur. notion : très rigide Je […] […] […], dans la définition de la rigidité ⌜sur un corps⌝, d'exiger que tous les sous-schémas fermés ⌜rel.⌝ connexes de \(G\) aient la propriété de […]. Ceci signifie alors que \(G\) a une suite de composition (sur \(k\) alg. clos) […] dont les facteurs sont \(\mathbb{Z}/\ell\), \(G_m\), Ab, — et […] ⌜extensions⌝ […] très rigides, […] […] […] […], […] […] bien […] […] […], […] […] […] […] […] […] […] […] […] sur \(k\).

la proposition suivante et le début de sa démonstration sont barrés de plusieurs longs traits obliques. Proposition. \(G\) rigide sur \(S\) loc. noeth., \(u \colon G \to H\) un morphisme de \(S\)-groupes, ⌜[…]⌝ où \(H\) est un schéma en groupes de type fini sur \(S\). Soit \(N = \operatorname{Ker} u\). Alors \(N\) est universellement […] sur \(S\).

On peut supposer \(S = \operatorname{Spec} V\), \(V\) anneau de valuation discrète.

Remarque. Même si \(A\) est un schéma abélien sur un anneau de valuation discrète ⌜[…] […] fini⌝, \(B_1\) et \(B_2\) deux sous-schémas […] de \(A\) ⌜étales⌝ […] sur \(V\), de degré \(p\), ayant […] fibres […] […] […], il est possible que \(B_1 \neq B_2\).

51Pour le voir, on prend une courbe elliptique \(B\) \(C\) sur \(S\), telle que […] […] \(C\) […] […] […] […] de […] […] […] \(C(K)\) […] d'ordre \(p\), […] \(C(k)\) […] […] \(p\), […] […]. […] […] […] […] elliptique \(C'\) sur \(S\) […], […] groupe […] : \((\mathbb{Z}/p)_S\), […] […] section \(\xi\) de \(C'\). On prend \(A = C' \times_V C\), on y considère les sections \(\alpha = (\xi, e)\), \(\beta = (\xi, \eta)\). Les sous-groupes ⌜\(\Gamma_1\), \(\Gamma_2\)⌝ engendrés sont des sous-groupes de \(A\) isomorphes à \((\mathbb{Z}/p)_S\) [[…] […] […] […] […] \((\mathbb{Z}/p)_S \to A\), […] […] […] […] […] […] […] \(\mathrm{pr}_1 \colon A \to C'\) […]]. La […] […] \(=\) […] fibre en \(s\), mais […] […] la fibre générique \(s_1\). Ici, […] […] […] \(A \to A/\Gamma_1 \times A/\Gamma_2\) […] […] […] […] […] sur \(\operatorname{Spec} V\), […] […] […] \({}_s(\mathbb{Z}/p)_{\ker}\) [[…] […] […] […] […] […]] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] de rigidité.

52p. 9 de l'auteur. Proposition. Soient \(k\) un corps, \(k'\) une extension primaire de \(k\), \(G\) un ⌜[…]⌝ groupe de type fini sur \(k\), \(G' = G \otimes_k k'\), \(H'\) un sous-groupe fermé de \(G'\), tel que \(H'_0\) ⌜\(H'^{(0)}_e\)⌝ (la composante connexe […] de \(e\)) […] soit rigide. Alors il existe une sous-groupe extension finie radicielle \(k_1\) de \(k\), telle que et deux sous-groupes ⌜fermés⌝ […] \(H_1\) de \(G_1 = G \otimes_k k_1\), tel que \(H'_1 = H' \otimes_k k_1\) […] ⌜[…]⌝ \(H_1 \otimes_{k_1} k'_1\) (où \(k'_1 = k' \otimes_k k_1\)) […] […] […] […]. Alors \(H'_1 \simeq H_1 \otimes_{k_1} k'_1\). N.B. Si on veut […] \(H'\) […] […] […] […] […] […] […] extension \(K'_1\)

Cor. 0. Si \(K'/k\) est […] primaire séparable, […] \(K'_1\) […]

Corollaire 1. Il existe une […] […] \(k \to k_1\) […] […] […] \(H\) de \(G\) telle que \(|H'| =\) image inverse de \(H\).

Corollaire 2. Si \(k\) est parfait, il existe un sous-groupe \(H\) de \(G\) tel que \(H' \supseteq H \otimes_k k'\) et \(H' =\) […] […] […].

Corollaire 3. Soit \(S'\) de type fini sur \(S\) ⌜\(S' \to S\) de type fini surjectif⌝, ⌜[…]⌝ \(S' \to S\) à fibres rel. […] […] […] irréductibles, […] […] universellement […] […] […] \(G\) […] ⌜schéma en groupes commutatif⌝ de type fini sur \(S\), \(H'\) un sous-schéma en groupes de \(G' = G \times_S S'\), ⌜sur \(S'\)⌝ tel que \(H'\) […] […] sur \(S'\) […] […] […] […] fibre […] […] \(H'\) aux pts génériques des fibres de \(S'\) […] ⌜rigide⌝. hypothèse […] […]

53Sous ces conditions, il existe une partie fermée \(H\) de \(G\) dont l'image inverse dans \(G'\) soit \(H'\). (Dans […] […] morphisme \(S' \to S\) ⌜ty. surjectif,⌝ […] […] \(S\) […] […] […] […] […] […] propre, […] […] […] \(S\) loc. noeth.) alors \(H\) est une partie fermée de \(G\). En […] cas, c'est « […] […] sous-groupe ». Cor. 4. Sous les conditions […] […] […] cor. 3, […] […] […] […] […] […]. Alors il existe […] sous-groupe […] \(H\) de \(G\) tel que \(H' = H \times_S S'\) […]

Le corollaire 3 résulte facilement du corollaire 2, en […] […] […] […] […] […] […] \(S = \operatorname{Spec}(k)\), et […] […] […] […] […] corps […] […] […] […] […] de \(S'\).

[…] Démonstration de la proposition. […] Appliquons le th. de rigidité à \(H'_0\) ; […] […] […] il existe un sous-groupe \(H_0\) de \(G\) tel que \(H'_0 = H_0 \otimes_k k'\). […] […] […] […] \(H_0\), […] […] […] […] […] […] \(H'\) […] un groupe fini. Il […] […] […] […] […] […] […] […] \(n\), […] […] […] \({}_nG' = ({}_nG) \otimes_k k'\). […] […] […] […] […] […] \(G\) est fini sur \(k\). […]

54p. 10 de l'auteur. utilisé dans la le lemme qui suit est encadré et barré de trois traits obliques. Lemme. Soit \(X\) fini sur un corps \(k\), \(K'\) une extension primaire de \(k\), \(X'\) un sous-schéma ⌜([…] fini)⌝ de \(X' = X \otimes_k k'\). Alors […] application […] […] ⌜et \(G/k\) fini⌝.

Comme \(k'/k\) est primaire, l'application \(G' \to G\) est bijective ([…] […] […]) donc […] […] […] […] \(H'\) est l'image inverse d'un […] […] […] \(H\) de \(G\). ⌜D'ailleurs,⌝ […] […] […] […] […] […] […] une extension radicielle finie convenable \(k_1\) de \(k\), […] ⌜(\(G \otimes_k k'\) […] […] séparable)⌝ […] \(k_1\)([…]) des extensions résiduelles […] de \(G_1 = G \otimes_k k_1\) […] séparables. En Si donc \(H_1\) est l'image inverse de \(H\) […] \(G_1\), […] […] […] […] structure induite réduite, \(H_1\) est un sous-schéma ⌜en groupes⌝ fermé de \(G_1\). De plus, \(H_1 \otimes_{k_1} k'_1\) […] \(=\) […] […] […] […] que \(H'_1 = H' \otimes_k k'_1\). […] […].

55Remarque. L'hyp. sur \(H'\) est certainement vérifiée si \(G_0\) est […] très rigide. (Cf. ex. […] […] […], […] […] […] […])

Sous les conditions du cor. 4, i.e. Cor. 5 ([…] \(H'\) plat sur \(S'\), […])

Proposition. \(S'\) de type fini ⌜[…]⌝ (relativement irréductible) sur \(S\), […] \(G\) schéma en groupes commutatif de type fini sur \(k\), \(G' = G \times_S S'\), \(H'\) un sous-schéma en groupes fermé de \(G'\) qui est […] ⌜([…] […] […])⌝ plat sur \(S'\), et dont la composante connexe \(H'^{(0)}_\eta\) de la fibre générique est rigide ([…] […] […], et […] que \(G\) ⌜très⌝ soit rigide). Alors

(i)il existe un sous-schéma en groupes \(H\) de \(G\), […] sur \(k\), tel que \(H \otimes_k k'\) […] soit majoré par \(H'\) et […] […] […] […]. […] […] […] ⌜[…]⌝ […] […] les conditions […] […] […] […] […] […] \(u \colon G \to G/H = G_1\) et le morphisme correspondant \(G' = G \otimes k' \to\) […] \(u' \colon G \otimes_k k' \to G \otimes_k k' / H \otimes_k k' = G'_1\).
(ii)[…] il

la phrase se poursuit p. 56.

56p. 11 de l'auteur. existe un unique sous-schéma en groupes ⌜fermé⌝ \(H'_1\) de \(G'_1\), tel que \(H' = u'^{-1}(H'_1)\). […], plat Et \(H'_1\) est ⌜[…]⌝ fini et radiciel sur \(S'\) […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] \(S'\), il […] […] […] […] \(H'\) […] […] […]. \(H'\) […] […] \(H'\) […] […] […] En […] termes, […] […] […] […] […] […] […] de sous-groupes de \(G\), […] […] \(S'\), dont la […] générique soit une comp. connexe rigide (condition inutile si \(G\) est très rigide) est […] […] […] […] […] […] familles plates, […] […] \(S\), de sous-groupes radiciels de […] fixé d'un […] […] \(G/H\). […] […] […] […] (iii) […] Cela […] […] […] […] […] […] […] l'espace […] […] Schéma […] (\(H'_1\) […] […] […]) Si […] […] Corollaire. […] […] […] […] \(H'\) […] fibres […] \(S\) […] \(H' \simeq H \otimes\) […]

Démonstration de la proposition. […] […] […] […] […] cor. 4, ⌜(ii)⌝ […] de la proposition plus générale :

57Proposition ⌜Lemme⌝ \(S\) schéma ⌜préschéma loc. noeth.⌝ […] \(G\), ⌜\(G_1\),⌝ préschémas en groupes ⌜de type fini⌝ sur \(S\), […] ⌜[…] […]⌝ plats sur \(S\), \(u \colon G \to G_1\) un morphisme surjectif, (donc nécessairement plat, surj.), \(N\) son noyau (qui est plat ⌜donc⌝ sur \(S\)). Alors il y a correspondance biunivoque entre les sous-schémas fermés \(H\) de \(G\) qui sont invariants par \(N\), et les sous-schémas fermés ⌜\(H_1\)⌝ de \(G_1\), où \(H_1\) correspondant à \(H = u^{-1}(H_1)\). Pour que \(H\) soit propre plat sur \(S\), il faut et il suffit que \(H_1\) le soit. Pour que \(H\) soit un sous-groupe de \(G\), il faut et il suffit que \(H_1\) soit un sous-groupe de \(G_1\). Pour que ⌜de plus⌝ \(H_1\) soit radiciel surjectif sur \(S\), il faut et il suffit que \(H\) et \(N\) aient ⌜[…]⌝ […] sous-groupes. Alors […] \(N \to S\) ⌜[…] \(H \to S\)⌝ ⌜universellement⌝ ([…]) c'est un morphisme fini radiciel surjectif. […] […] […] […] […] […]

AQT par théorie de descente.

Albanese

titre pris de la p. 58, feuillet par ailleurs blanc portant de sa main le seul mot « Albanese ».

59Schéma d'Albanese.

Soit \(X\) projectif et ⌜fid.⌝ plat ⌜qu.-proj.⌝ sur \(S\), \(\mathcal{O}_S \xrightarrow{\sim} f_*(\mathcal{O}_X)\) universel.

On dit Pour une espèce Données équivalentes :

(i)\(P\) fibré principal homogène [[…] […] […] […] de qu.-proj.] sur \(S\), […] groupe \(G\), et un […] morphisme \(\varphi \colon X \to P\) ;
(i bis)Un \(S\)-groupe \(G\), et une donnée de descente […] sur \(G_X = G \times_S X\) par \(X \to S\), et la structure de fibré pr. homog. sur \(G_X\) ⌜[…]⌝ […] […] \(G_X\) ;
(ii)Un \(S\)-groupe \(G\), et un schéma \(\varphi \colon X \times_S X \to G\) satisfaisant la condition ⌜symétrique⌝ \(\varphi(x,y)\varphi(y,z) = \varphi(x,z)\) [i.e. […] […] […] \(\varphi(x,x) = e\)], et une condition d'effectivité ; [automatiquement satisfaite si \(G\) est affine\(/S\), ou si […] \(X \to\) qu. pr. sur \(S\), […] […] […] […] […] […], et \(X \to S\) admet loc. des quasi-sections finies, p. ex. \(X \to S\) projectif].

en marge gauche, en face de (i bis), un carré :

LaTeX source

\begin{tikzcd}
P \arrow[d] & P_X \arrow[l] \arrow[d] \\
S & X \arrow[l] \arrow[ul, dashed, "\varphi"']
\end{tikzcd}

la flèche \(\varphi\) est figurée par un point et une lettre au centre du carré ; sa direction est une lecture. En marge, en face de (ii) : \(X \leftleftarrows X \times_S X\) […] \(X \times_S X \times_S X\).

Supposons enfin que […] \(X\) soit […] projectif sur \(S\) et tel que \(\mathcal{O}_S \xrightarrow{\sim} f_*(\mathcal{O}_X)\) universel ; […] […] […] […] […]

(iii)Un \(S\)-groupe \(G\), et un schéma \(\varphi \colon X \times_S X\) […] satisfaisant \(\varphi(x.x) = e\), et […] […] […]. […] […]\(/S\) et \(X/e\) […] […] […] […] \(X\) projectif […].

définition […] \(G\) […] […] […] \((P, u)\) […] […] […] \(G\) […] […] […] […] […] \(\operatorname{Hom}_{S'}(X_{S'}, G_{S'})\) […] […] \(\operatorname{Pic}(X_{S'}, G_{S'})\) […] […] … et […] […] associé …

Pour simplifier, nous supposons que la suite \(f \colon X \to S\) projectif, et […] \(\mathcal{O}_S \simeq f_*(\mathcal{O}_X)\) universel ! […] […] ⌜[…]⌝ […] […] […] […] \(G\) ⌜proj.⌝ sur \(S\), […] […] […] fibré principal homogène […] \(P\), […] […] […] […] […] […] […] […] \(\operatorname{Hom}_S(X, P)\) comme foncteur […] […] […] \(P\), ⌜[…] […] \(T_X(P)\)⌝. […] […] […], ce foncteur est pro-représentable […] la catégorie des \(P\), […] […] […]. […] […] […] […]

60[…] existent, et que […] […] […] […] représentable : […] […] […] \(T_X\) […] […] : […], […] […] […] […] […] […] […] couple \((P, \varphi \in T_X(P))\) […] […] […] […] donné […] […] […] […] « couple universel ».

Interprétation, en […] […] […] […] […] […] \(\varphi \colon X \times_S X \to G\) satisfaisant \(\varphi(x,x) = e\), alors […] les […] […] […] groupes […] \(G_\alpha\) […] […] tels que \(\varphi\) se factorise par \(G_\alpha\) […] forment un […] filtrant décroissant, et […] […] […] il y a un […] […] minimal, soit \(G'\). Le couple \((G', \varphi')\) correspondant est […] […] cherché.

Montrons que […] […] […] […] qui représente \(T_X\) […] […] […] […] \((G_\alpha, P_\alpha)\) […] […]. […] […]. Mais […] […] […] […] […] […] […] […] \(G\) à être un schéma abélien \(A\), […] \(A = \operatorname{Pic}^\circ_{B/S}\), où \(B = \hat{A} = \operatorname{Pic}^\circ_{A/S}\). En effet, […] […] […] \(S' = X\), […] […] […] soit \(T_X(B)\) […] […] […] \[\begin{align*} T_X(A) &\simeq \operatorname{Hom}_S(X \times_S X, A) \simeq \operatorname{Hom}_{S'\text{-pointés}}(X_{S'}, A_{S'}) \\ &= \operatorname{Hom}_{S'\text{-pointés}}(X_{S'}, \operatorname{Pic}^\circ_{B_{S'}/S'}) \\ &\simeq \mathcal{B}_{S'}(X_{S'}, B_{S'}) \simeq \operatorname{Hom}_{S'\text{-groupes}}(B_{S'}, \operatorname{Pic}_{X_{S'}/S'}) \\ &\simeq \operatorname{Hom}_{S\text{-groupes}}(B, \operatorname{Pic}_{X/S}) \end{align*}\] sous \(\mathcal{B}_{S'}(X_{S'}, B_{S'})\), accolade : « données de corr. divisorielles » ; sous le dernier \(\simeq\) : « d'après la platitude et la rigidité … ». La première ligne se prolonge en marge droite par \(= \operatorname{Hom}_{S'\text{-gr}}(B_{S'}, \operatorname{Pic}_{\ill{}})\), illisible.

Encadré : \[ T_X(A) \simeq \operatorname{Hom}_{S\text{-gr}}(\hat{A}, \operatorname{Pic}_{X/S}) \]

[…] est un résultat du type de « dualité de […] ». ⌜On suppose que \(\operatorname{Pic}_{X/S}\)⌝ contient […] […], […] […] (\(B_{X/S}\) […] […] […] […] \(\operatorname{Pic}^\circ_{X/S}\)), […] […] « […] d'[…] […] » la page s'arrête ici ; la suite est hors du lot.