Cote n° 57 · pages 1–314 · Lecture modernisée · Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1962-[vers 1968]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et l'ordre des feuillets

Le carton n'est pas un texte : c'est une liasse de chemises, chacune ouverte par une feuille de garde où Grothendieck a écrit un titre, et l'ordre des chemises n'est pas celui de la pensée. Le tapuscrit sur le Picard local, qui ouvre le dossier, cite SGA 6 et les travaux d'Artin, et il est sans doute le plus tardif ; les deux lettres datées sont de juillet 1962 ; le commentaire des pages 70 et 71 suppose les travaux de Kleiman. Voici le fil, et les conventions qui valent pour tout ce qui suit.

Les stations

• Pages 2 à 12 — le tapuscrit « Local Picard schemes » : le groupe de Picard du spectre épointé d'un anneau local complet, vu comme les points d'un schéma en groupes \(Q\) sur le corps résiduel.
• Pages 14 à 40 — carré, cube, rigidité : les calculs du théorème du cube, une lettre non datée à Murre, puis le lemme de rigidité et ses conséquences pour les schémas abéliens.
• Pages 42 à 63 — les groupes rigides (ceux qu'engendre leur torsion première à \(p\)), puis le schéma d'Albanese comme dual de \(\mathrm{Pic}\).
• Pages 65 à 78 — le plan du traité, le théorème de finitude (Matsusaka, Igusa, puis un commentaire sur Kleiman) et la lettre à Murre du 18 juillet 1962, en deux états.
• Pages 80 à 102 — l'extension du dual d'une variété abélienne par les fibrés à connexion ; les critères d'équivalence par section hyperplane.
• Pages 104 à 139 — les outils de l'existence : le théorème de Seshadri, la séparation (unités et diviseurs à support dans les fibres), les théorèmes d'existence relatifs par descente.
• Pages 141 à 182 — les courbes, les plongements projectifs, les pseudo-morphismes, et la définition du foncteur de Picard.
• Pages 184 à 223 — la structure locale : le Picard des cônes et de leurs anneaux locaux, la composante neutre et le sous-groupe \(G^\tau\), la partie constructible, et deux exemples où le schéma de Picard se dégrade.
• Pages 226 à 271 — la lettre à Hironaka du 6 juillet 1962 et le brouillon d'article qui la suit : \(\mathrm{Pic}\) en géométrie formelle et analytique.
• Pages 274 à 314 — schémas de Néron–Severi et polarisations, exemples et contre-exemples, et la liste des questions ouvertes.

La notation

On écrit \(\mathrm{Pic}(X)\) pour le groupe des classes de faisceaux inversibles sur \(X\) et \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) pour le foncteur de Picard relatif, faisceau pour la topologie fidèlement plate, ainsi que pour le schéma qui le représente quand il existe. Les pages soulignent le foncteur une ou deux fois selon les feuillets ; on ne garde pas cette distinction, que l'indice porte déjà. \(\mathrm{Pic}^0_{X/S}\) et \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\) sont la composante neutre et le sous-groupe des éléments dont un multiple est dans \(\mathrm{Pic}^0\) ; \(\mathrm{NS}\) est le groupe de Néron–Severi, que les pages écrivent aussi « NérSév », « N.S. » ou « Nér ».

Le dual d'un schéma abélien \(A\) est noté \(A^\vee\) partout ; les pages écrivent \(\hat{A}\), \(A'\), \(A^*\), selon les feuillets. Pour un schéma en groupes \(G\), on note \(G^0\) la composante neutre, \(\pi_0(G) = G/G^0\) le groupe des composantes, et \(G[n]\) le noyau de la multiplication par \(n\) ; les pages écrivent \(G_0\), \(\Gamma\) ou \(\underline{\Pi}_0\), et \({}_nG\). Le mot « simple » des pages se dit aujourd'hui « lisse » ; leur « préschéma » est notre « schéma », et leur « schéma » notre « schéma séparé ».

Trois rigidités

Le mot « rigide » sert dans le carton à trois choses qui n'ont rien à voir, et les confondre rend les pages 24 à 57 inintelligibles. Le lemme de rigidité (pages 24 à 40) dit qu'un morphisme d'un produit \(X_1 \times X_2\) de variétés complètes vers un groupe se décompose ; c'est l'énoncé dont sortent le théorème du cube et la commutativité des schémas abéliens. Un groupe rigide (pages 42 à 57) est un schéma en groupes commutatif dont la torsion première à la caractéristique est dense ; c'est une propriété d'un groupe, et elle sert à descendre des sous-groupes. Un faisceau inversible rigidifié le long d'une section est un faisceau muni d'une trivialisation sur cette section ; c'est l'outil technique de la définition du foncteur de Picard (pages 125 et 172). On garde les trois mots distincts.

Ce que le dossier annonce et ne fait pas

La lettre à Murre des pages 72 à 78 nomme deux problèmes d'existence, A et B, et ne définit que le premier. Les pages 286 et 287 annoncent quatre familles de contre-exemples et n'en construisent aucune. Le « Lemme f » de la page 216 affirme que le foncteur de Picard d'un exemple n'est pas représentable ; sa démonstration est barrée, et la page 218 montre au contraire qu'il l'est, par un schéma non séparé. Le théorème de la page 123 s'arrête au milieu de son énoncé. Ces absences sont dites à leur place.

Ce qui n'est pas lu ici

Le carton contient des feuillets qui ne sont pas de Grothendieck ou ne portent pas sa main : des tapuscrits d'autres auteurs, des rapports et des projets de rédaction, des épreuves des Éléments, une lettre administrative. Les transcriptions les signalent sans les reproduire, et cette lecture ne les restitue pas davantage. Plusieurs liasses sont écrites au crayon, très vite : les pages 24 à 40, les pages 41 à 60, 161 à 180 et 201 à 220, et la prose de liaison des pages 241 à 271. On n'en restitue que ce que la transcription porte, en disant chaque fois où la lecture est mince.

2–12

Le schéma de Picard local (pages 2 à 12)

Le tapuscrit est en anglais, à la première personne, et annoté à l'encre de sa main.¹ Il pose une question et esquisse une construction.

La question

Soient \(A\) un anneau local noethérien complet, de corps résiduel \(k\), \(S = \operatorname{Spec}(A)\), et \(U = S - \{s\}\) le spectre épointé. On voudrait voir \(\mathrm{Pic}(U)\) comme le groupe \(Q(k)\) des points rationnels d'un schéma en groupes \(Q\) sur \(k\), le schéma de Picard local.

On suppose d'abord \(U\) régulier, et qu'il existe une résolution qui ne touche pas \(U\) : un morphisme propre \(f \colon X \to S\), induisant un isomorphisme \(f^{-1}(U) \simeq U\), avec \(X\) régulier et égal à l'adhérence de \(U\). Soit \(X_0\) la fibre spéciale, de sorte que \(U = X - X_0\). Comme \(X\) est régulier, diviseurs de Weil et de Cartier coïncident, et l'on a une suite exacte \[ D \longrightarrow \mathrm{Pic}(X) \longrightarrow \mathrm{Pic}(U) \longrightarrow 0 , \] où \(D \simeq \mathbf{Z}^I\) est le groupe des diviseurs à support dans \(X_0\), \(I\) l'ensemble des composantes irréductibles de \(X_0\). Comme \(X\) est propre sur l'anneau complet \(A\), le théorème d'existence pour les faisceaux cohérents donne \[ \mathrm{Pic}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim_n \mathrm{Pic}(X_n), \qquad X_n = X \times_S \operatorname{Spec}(A/\mathfrak{m}^{n+1}) . \]

Supposons trouvés des schémas en groupes \(P_n\) sur \(k\), des isomorphismes compatibles \(\mathrm{Pic}(X_n) \simeq P_n(k)\), et des morphismes de transition \(P_m \to P_n\). Le pro-groupe \(P = (P_n)\), ou sa limite si les transitions sont affines, vérifie \(\mathrm{Pic}(X) \simeq P(k)\), et l'application \(D \to \mathrm{Pic}(X)\) définit un morphisme \(D_k \to P\) du groupe constant \(D_k\). Soit \(Q\) son conoyau.² Si \(D'\) désigne l'image de \(D\) dans \(P\), on a \(\mathrm{Pic}(U) = P(k)/D'\), d'où une injection \[ \mathrm{Pic}(U) \hookrightarrow Q(k) \] dont l'obstruction à la surjectivité est dans \(H^1(k, D'_k)\). Elle s'annule si \(k\) est séparablement clos, ou si \(D'\) est sans torsion — par exemple si \(D_k \to P\) est injectif — car un homomorphisme continu d'un groupe profini vers un groupe discret sans torsion est nul. \(Q\) est donc le bon candidat.³

La construction, quand \(A\) a un corps de représentants

Supposons choisi un relèvement \(k \to A\) du corps résiduel. Le candidat naturel, « the only one I could think of, indeed! », est \[ P_n = \mathrm{Pic}_{X_n/k} , \] représentable, d'après Murre, par un schéma localement de type fini sur \(k\). L'injection \(\mathrm{Pic}(X_n) \hookrightarrow P_n(k)\) n'est bijective en général que si \(k\) est séparablement clos : l'obstruction est dans le groupe de Brauer de l'anneau artinien \(B_n = H^0(X_n, \mathcal{O}_{X_n})\), qui est local si \(X\) est connexe, de sorte que \(\mathrm{Br}(B_n) = \mathrm{Br}(k_n)\), \(k_n\) son corps résiduel. Ces obstructions sont compatibles et proviennent du groupe de Brauer du corps résiduel \(k'\) de \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = \varprojlim H^0(X_n, \mathcal{O}_{X_n})\), qui est la normalisée de \(A\) ; si \(A\) est normal, \(k' = k\).

On décrit alors \(Q(k)\) par descente galoisienne : si \(A'\) est le complété du hensélisé strict de \(A\), \(U'\) son spectre épointé, et \(\pi = \mathrm{Gal}(k^s/k)\), \[ Q(k) \simeq \mathrm{Pic}(U')^{\pi} . \] C'est, dit le tapuscrit, la situation familière pour les schémas de Picard globaux. Une correction suit : pour obtenir cette formule quand \(k\) n'est pas séparablement clos, il faut remplacer le groupe constant \(D_k\) par le groupe constant tordu \(\underline{D}\), image directe du faisceau constant \(\mathbf{Z}\) par \(\operatorname{Spec}(\prod_i k_i) \to \operatorname{Spec}(k)\), où \(k_i\) est la clôture séparable de \(k\) dans le corps des fonctions de la composante \(X_0^i\).⁴

Deux réserves sont notées. L'indépendance de \(Q\) vis-à-vis de la résolution devrait suivre de l'existence de résolutions dominant deux résolutions données, ce qu'on a en caractéristique \(0\) (Hironaka) ou en dimension \(2\). Et la structure algébrique dépend essentiellement du relèvement choisi du corps résiduel ; l'exemple à étudier est le cône sur une courbe elliptique, pour lequel le tapuscrit annonce que \(Q\) est la courbe elliptique.⁵

La structure de \(P\) et de \(Q\)

Les transitions \(P_{n+1} \to P_n\) sont affines (SGA 6, XII), donc \(P = \varprojlim P_n\) est un vrai schéma en groupes, d'algèbre de Lie \[ \mathrm{Lie}(P) \simeq \varprojlim H^1(X_n, \mathcal{O}_{X_n}) \simeq H^1(X, \mathcal{O}_X) , \] de dimension finie puisque \(R^1 f_* \mathcal{O}_X\) est cohérent et concentré au point fermé. Quitte à remplacer \(X\) par un modèle qui le domine, on peut espérer un idéal inversible \(J\) de même support que \(X_0\) tel que \(L = J/J^2\) soit ample sur \(Z = V(J)\). Le système \((Z_n = V(J^{n+1}))\) définit le même pro-objet, et pour \(n\) grand les transitions \(\mathrm{Pic}_{Z_{n+1}/k} \to \mathrm{Pic}_{Z_n/k}\) sont des isomorphismes, leurs noyau et obstruction étant contrôlés par \(H^1\) et \(H^2\) de \(L^{\otimes (n+1)}\) sur \(Z\), qui s'annulent par le théorème de Serre. Le pro-groupe est alors essentiellement constant et \(P\) est localement de type fini sur \(k\). C'est certain si \(A\) est normal de dimension \(2\), par la négativité de la matrice d'intersection des composantes de \(X_0\) (Du Val, Mumford).

On voudrait que \(\underline{D} \to P\) soit une immersion fermée, ce qui revient à l'injectivité de \(D \to \mathrm{NS}(X_0)\) (le noyau de \(\mathrm{NS}(Z_n) \to \mathrm{NS}(X_0)\) étant fini). Grothendieck s'y attend toujours ; en dimension \(2\), c'est encore la négativité. Alors \(Q = P/\underline{D}\) est un schéma en groupes localement de type fini sur \(k\), avec \[ P^0 \xrightarrow{\ \sim\ } Q^0, \qquad Q/Q^0 \simeq \mathrm{NS}_{Z_n/k}/\underline{D} \ (n \gg 0), \qquad \mathrm{Lie}(Q) \simeq H^1(X, \mathcal{O}_X) . \] La restriction \(H^1(X, \mathcal{O}_X) \to H^1(U, \mathcal{O}_U) = H^2_{\mathfrak{m}}(A)\) est injective : avec \(i \colon U \to X\), morphisme affine, le faisceau \(i_*\mathcal{O}_U/\mathcal{O}_X\) a une suite de composition de quotients \(L^{\otimes -n}\), \(n \geq 1\), sans sections puisque \(L\) est ample sur \(Z\), de dimension \(\geq 1\). L'algèbre de Lie du schéma de Picard local se plonge donc dans \(H^2_{\mathfrak{m}}(A)\) ; si \(A\) est de Cohen–Macaulay de dimension \(\geq 3\), elle est nulle, \(Q\) est étale, et \(\mathrm{Pic}(U)\) est dénombrable dès que \(k\) l'est.

Le foncteur des points

Reste à décrire \(Q\) comme foncteur sur les \(k\)-algèbres, ce que la construction, liée à une résolution particulière, ne fait pas directement. Pour \(T\) affine sur \(k\), on a \[ P(T) = \varprojlim P_n(T) \hookleftarrow \varprojlim_n \mathrm{Pic}(X_{n,T})/\mathrm{Pic}(T) , \] et \(P\) est le faisceau étale associé au membre de droite, l'obstruction étant dans \(H^2(T_{\text{ét}}, \mathbf{G}_m)\) (pour \(A\) normal).⁶ Comme \(P\) est localement de présentation finie, il suffit de le connaître sur les \(k\)-algèbres de type fini \(B\). Posant \(C = A \hat{\otimes}_k B = \varprojlim A_n \otimes_k B\), anneau adique noethérien, et \(X \hat{\otimes}_k B = X \otimes_A C\), propre sur \(C\), le théorème d'existence donne \(\mathrm{Pic}(X \hat{\otimes}_k B) \simeq \varprojlim \mathrm{Pic}(X_{n,B})\) : sur les arguments noethériens, \(P\) est le faisceau étale associé au préfaisceau séparé \(B \mapsto \mathrm{Pic}(X \hat{\otimes}_k B)/\mathrm{Pic}(B)\), et \(Q\) celui associé à \[ B \longmapsto \mathrm{Pic}(X \hat{\otimes}_k B)/\bigl(\mathrm{Pic}(B) + \underline{D}(B)\bigr) . \] Deux obstructions successives séparent \(Q(B)\) de ce quotient : l'une dans \(H^1(\operatorname{Spec} B, \underline{D})\), nulle si \(\underline{D}\) est constant et \(B\) normal ; l'autre dans \(\mathrm{Br}(B)\), nulle si \(X_0\) porte un zéro-cycle de degré \(1\).

Si les composantes de \(X_0\) sont géométriquement irréductibles et \(B\) géométriquement régulier sur \(k\), alors \(X \hat{\otimes}_k B\) est régulier, et le quotient par \(\underline{D}(B)\) est \(\mathrm{Pic}(U \hat{\otimes}_k B)\), où \(U \hat{\otimes}_k B\) est l'image inverse de \(U\) dans \(\operatorname{Spec}(A \hat{\otimes}_k B)\) — objet qui ne dépend plus de la résolution. Sur ces arguments, \(Q\) est le faisceau étale associé à \(B \mapsto \mathrm{Pic}(U \hat{\otimes}_k B)/\mathrm{Pic}(B)\), à une obstruction de Brauer près : une description de \(Q(B)\) par de vrais groupes de Picard locaux, sous des hypothèses très restrictives sur \(B\).

Sans corps de représentants, sans régularité

En inégales caractéristiques, le corps résiduel \(k\) étant parfait de caractéristique \(p\), tout repose sur le problème suivant : pour \(A\) local artinien de corps résiduel \(k\) et \(X\) propre sur \(A\), construire « naturellement » un schéma en groupes \(P\) localement de type fini sur \(k\) et un plongement \(\mathrm{Pic}(X) \hookrightarrow P(k)\), d'obstruction dans \(\mathrm{Br}\, H^0(X, \mathcal{O}_X)\). Le candidat proposé passe par le schéma en anneaux \(\underline{A}\) sur \(k\) de Greenberg, tel que \(A = \underline{A}(k)\) : on pose \(X_B = X \otimes_A \underline{A}(B)\) et l'on considère le faisceau fppf associé à \(B \mapsto \mathrm{Pic}(X_B)\), dont les critères d'Artin devraient décider la représentabilité.

Enfin, sans supposer \(U\) régulier, Grothendieck conjecture l'existence d'un schéma de Picard local localement de type fini, et propose deux voies : un morphisme propre surjectif \(X \to S\), isomorphe au-dessus de \(U\), tel que \(\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(U)\) soit surjectif ; ou une résolution qui ne soit plus un isomorphisme au-dessus de \(U\), avec des données de descente. Le test proposé : pour \(A\) de Cohen–Macaulay de dimension \(\geq 3\) (plus généralement \(H^2_{\mathfrak{m}}(A) = 0\)), \(\mathrm{Pic}(U)\) devrait être dénombrable et invariant par extension séparable du corps résiduel, ce qui exprimerait que le schéma de Picard local est discret.

14–18

Carré, cube (pages 13 à 18)

La feuille de garde porte « Carré, cube, rigidité… ». Les feuillets qui suivent sont des calculs, sans prose, dont le cadre est celui d'un schéma abélien \(A\) sur \(S\) et d'un faisceau inversible \(L\) sur \(A\). Pour des points \(x, y, \ldots\) de \(A\) à valeurs dans un \(S\)-schéma \(T\), on note \(L_x = x^*L\), faisceau inversible sur \(T\), et \(L_\emptyset = e^*L\) ; les égalités qui suivent sont des isomorphismes canoniques de faisceaux inversibles sur \(T\).

Le théorème du cube en \(n\) variables

Posons \((\delta L)_{x,y} = L_{x+y} \otimes L_x^{-1} \otimes L_y^{-1}\), symétrique en \(x, y\), de sorte que \((\delta L)_{0,0} = L_\emptyset^{-1}\). Le théorème du cube s'écrit \[ L_{x+y+z} \simeq L_{x+y} \otimes L_{y+z} \otimes L_{x+z} \otimes L_x^{-1} \otimes L_y^{-1} \otimes L_z^{-1} \otimes L_\emptyset , \] et la page 18 en tire par récurrence, pour \(n \geq 2\), \[ L_{x_1 + \cdots + x_n} \simeq \Bigl(\bigotimes_{i<j} L_{x_i + x_j}\Bigr) \otimes \Bigl(\bigotimes_i L_{x_i}\Bigr)^{-(n-2)} \otimes L_\emptyset^{\alpha_n}, \qquad \alpha_n = \frac{(n-1)(n-2)}{2} , \] le produit portant sur les paires non ordonnées.⁷ L'exposant se trouve en spécialisant tous les \(x_i\) en \(0\) : on doit avoir \(1 = -\frac{n(n-1)}{2} + n + \alpha_n\) (page 16) ; la page 17 résout la récurrence \(\alpha_{n+1} = 2\alpha_n - \alpha_{n-1} + 1\), essaie d'abord une solution linéaire, la barre, et trouve la quadratique \(\alpha_n = \frac12(n^2 - 3n + 2)\), encadrée ; on vérifie \(\alpha_3 = 1\), \(\alpha_4 = 3\), \(\alpha_5 = 6\), comme dans les formules développées des pages 17 et 18.

La multiplication par \(n\)

En faisant \(x_1 = \cdots = x_n = x\), on obtient, à un faisceau venu de la base près — exactement si \(L\) est rigidifié le long de la section unité —, la formule encadrée de la page 14 : \[ n^*L \simeq L^{\otimes n} \otimes (\delta L)^{\otimes \frac{n(n-1)}{2}}, \qquad \delta L = 2^*L \otimes L^{-2} , \] et, en écrivant \(\delta L = L^{\otimes 2} \otimes \delta' L\) avec \(\delta' L = 2^*L \otimes L^{-4}\), la seconde formule encadrée⁸ \[ n^*L \simeq L^{\otimes n^2} \otimes (\delta' L)^{\otimes \frac{n(n-1)}{2}} . \] Comme \(2^*L \simeq L^{\otimes 3} \otimes (-1)^*L\), on a \(\delta L = L \otimes (-1)^*L\), et l'on retrouve la forme familière \(n^*L \simeq L^{\otimes \frac{n^2+n}{2}} \otimes ((-1)^*L)^{\otimes \frac{n^2-n}{2}}\) ; \(\delta' L = (-1)^*L \otimes L^{-1}\) est nul si \(L\) est symétrique.

Le Picard d'un produit

La page 14 encadre encore, pour des \(X_i\) propres et plats sur \(S\) avec \(f_{i*}\mathcal{O}_{X_i} \simeq \mathcal{O}_S\) universellement, la suite exacte de faisceaux (fidèlement plats quasi-compacts) \[ 0 \to \prod_i \mathrm{Pic}_{X_i/S} \longrightarrow \mathrm{Pic}_{(\prod X_i)/S} \longrightarrow \prod_{\{i,j\}} \mathrm{Corr}_S(X_i, X_j) \to 0 , \] \(\{i, j\}\) parcourant les parties à deux éléments de l'ensemble d'indices, scindée si les \(X_i\) ont des sections sur \(S\) : c'est le théorème du cube sous la forme « il n'y a pas de termes triples ». \(\mathrm{Corr}_S(X_i, X_j)\) est le foncteur des classes de correspondances divisorielles. Elle donne \(\mathrm{Pic}^\tau_{(\prod X_i)/S} \simeq \prod \mathrm{Pic}^\tau_{X_i/S}\) lorsque les groupes de correspondances sont sans torsion, condition que la page ajoute en travers, soulignée deux fois.⁹

La page 15 ébauche un foncteur \(\mathrm{Pic}_{\mathrm{sp}}(X/Y)\) de classes de faisceaux inversibles « à sections marquées », à cohomologie supérieure nulle et dont l'image directe est localement libre de rang \(\chi_{X/Y}(L)\) ; le feuillet est surchargé et la définition ne se lit pas au-delà. La page 16 ébauche le même calcul que la page 18 en termes de points, avec un schéma d'incidence des \(X_{[ijkl]}\).

19–22

Une lettre à Murre, non datée (pages 19 à 22)

Lettre dactylographiée en anglais. Murre doit faire un exposé sur les foncteurs non ramifiés, et pose des questions ; Grothendieck répond en trois points.

Le passage au quotient. Soit \(f \colon X \to Y\) un morphisme de \(S\)-schémas, avec \(X\) et \(Y\) localement de présentation finie sur \(S\), ou \(Y\) localement noethérien et \(X\) localement de type fini sur \(Y\). Si la relation d'équivalence \(R = X \times_Y X\) est plate sur \(X\), alors \(f\) se factorise en \(X \to Z \to Y\), avec \(X \to Z\) fidèlement plat localement de présentation finie, \(Z\) localement de présentation finie sur \(Y\), et \(Z \to Y\) un monomorphisme ; autrement dit, le faisceau quotient fpqc \(X/R\) est représentable, et c'est ainsi qu'on le démontre.¹⁰

Il rapporte une application due à Raynaud : sur un anneau de valuation discrète, si \(G\) est un schéma en groupes de type fini et \(H\) un sous-groupe fermé et plat dont le quotient générique \(G_t/H_t\) est quasi-affine, alors \(G/H\) est représentable, quasi-affine et plat, et affine si \(H\) est invariant ; en particulier un schéma en groupes (séparé) plat de type fini à fibre générique affine est affine.¹¹ Raynaud cherche à lever l'hypothèse de quasi-affinité et à construire \(G/H\) quasi-projectif.

Le théorème du cube. Pour la non-ramification du foncteur \(\mathrm{Corr}\), une forme infinitésimale faible du théorème du carré suffit, démontrée dans des notes manuscrites jointes « on correspondance classes » — « I agree the handwriting is wretched and the notes moreover very sketchy ». Le théorème du cube découle formellement de la séparation de \(\mathrm{Corr}_S(X, Y)\) pour deux des trois facteurs, et des propriétés formelles du foncteur de Picard, dont la moins triviale est la commutation aux limites projectives d'anneaux artiniens.

La séparation de \(\mathrm{Corr}_S(X, Y)\). Elle est à peu près triviale dès que le foncteur de Picard d'un des facteurs est séparé, ce qui est le cas si ses fibres géométriques sont intègres. On se ramène au spectre d'un anneau de valuation discrète, d'uniformisante \(t\) : si \(L\) est trivial sur la fibre générique, il est défini par un diviseur de Cartier à support dans la fibre spéciale \(X_0\) ; celle-ci est un diviseur de Cartier (\(t = 0\)), intègre, donc le diviseur est un multiple de \(X_0\) — l'argument suppose les fibres géométriquement normales, donc \(X\) normal — et il est linéairement équivalent à \(0\).

Il est convaincu que \(\mathrm{Corr}\) est toujours séparé (sous les hypothèses habituelles de propreté, de platitude, et \(f_*\mathcal{O} = \mathcal{O}\) pour les deux facteurs). C'est facile par la théorie de la dimension si le foncteur de Picard d'un facteur est représentable, et cela reste vrai s'il est seulement « pré-ét-représentable », quotient d'un schéma localement de type fini par une relation d'équivalence étale (ou quasi-finie et plate) : c'est le cas si \(Y\) est projectif, par la représentation de grands ouverts de \(\mathrm{Pic}_{Y/S}\) comme quotient d'un schéma de plongements de \(Y\) dans un \(\mathbf{P}^r\) par le groupe projectif, qui opère librement — c'est la construction que reprennent les pages 157 à 161. Sans projectivité, le lemme de Chow conserve la platitude sur un anneau de valuation discrète mais perd l'égalité \(H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) \simeq k(s)\). Une approche topologique est proposée : montrer que l'image de la spécialisation du groupe fondamental de la fibre générique géométrique dans celui de la fibre spéciale est d'indice fini, au moins après abélianisation, ce qu'il croit démontrable par le foncteur de Picard pour \(X\) projectif.

La lettre se clôt sur l'envoi de notes contenant une esquisse de la représentabilité des foncteurs non ramifiés, « although I do not think the latter can be of any use to you, as I have a hard time myself to read them » : les notes prises par Murre lors de leur discussion doivent être plus détaillées, « the inverse is more plausible ».

24–40

Rigidité et schémas abéliens (pages 23 à 40)

La chemise porte « Rigidité » et « Groupes V » ; le manuscrit est paginé 1 à 3 par l'auteur aux pages 24, 26 et 28. La main est rapide, et plusieurs démonstrations ne se lisent que par fragments ; les énoncés passent.

Le lemme de rigidité

Théorème (page 24). Soient \(S\) localement noethérien, \(\varphi_i \colon X_i \to S\) (\(i = 1, 2\)) deux \(S\)-schémas de type fini, \(\varepsilon_1\) une section de \(X_1\) sur \(S\), et \(p_1, p_2\) les projections de \(X_1 \times_S X_2\). On suppose que \(X_2\) est propre et plat sur \(S\) avec \(\varphi_{2*}\mathcal{O}_{X_2} \simeq \mathcal{O}_S\) universellement, et que \(X_1\) est plat sur \(S\) à fibres géométriquement connexes. Alors pour tout schéma en groupes \(G\) séparé sur \(S\) et tout \(S\)-morphisme \(f \colon X_1 \times_S X_2 \to G\), on a \[ f = (f_1 \circ p_1)\cdot(f_2 \circ p_2) \] pour des \(S\)-morphismes \(f_i \colon X_i \to G\) uniquement déterminés par \(f_1 \circ \varepsilon_1 = e\), et alors \(f_2 = f \circ (\varepsilon_1 \times \mathrm{id}_{X_2})\).¹²

La démonstration (page 25) considère \(f' = f \cdot (f_2 \circ p_2)^{-1}\), trivial sur \(\varepsilon_1(S) \times_S X_2\). Par le lemme 1 ci-dessous, \(f'\) se factorise par \(p_1\) au-dessus d'un voisinage ouvert \(U_1\) de \(\varepsilon_1(S)\) ; par le lemme 2 et l'ouverture universelle de \(p_1\), l'ensemble des points de \(X_1\) au-dessus desquels \(f'\) est à image finie est aussi fermé ; il rencontre chaque fibre \(X_{1,s}\), connexe, en une partie ouverte et fermée contenant \(\varepsilon_1(s)\), donc c'est tout \(X_1\).¹³

Lemme 1 (page 26). Soient \(f \colon X \to Y\) propre, \(Y\) localement noethérien, \(f_*\mathcal{O}_X \simeq \mathcal{O}_Y\), \(h \colon Z \to Y\) séparé localement de type fini, \(g \colon X \to Z\) un \(Y\)-morphisme, et \(y \in Y\) tel que \(g(X_y)\) soit fini. Il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(y\) et une section \(\sigma\) de \(Z\) sur \(U\), unique, avec \(g = \sigma \circ f\) sur \(f^{-1}(U)\). Démonstration : \(X' = g(X)\) est propre sur \(Y\) et à fibre finie en \(y\), donc fini au-dessus d'un voisinage ; \(g\) se factorise par le \(Z' = \operatorname{Spec}(g_*\mathcal{O}_X)\) fini sur \(Z\), et \(\mathcal{O}_Y \to (h g'')_*\mathcal{O}_{Z'} \subset f_*\mathcal{O}_X \simeq \mathcal{O}_Y\) montre que \(Z' \to Y\) est un isomorphisme ; on prend \(\sigma = g''(hg'')^{-1}\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & Z' \arrow[dr, "g''"] & \\
X \arrow[ur, "g'"] \arrow[rr, "g"] \arrow[d, "f"'] & & Z \arrow[dll, "h"] \\
Y & &
\end{tikzcd}

Corollaire. L'ensemble des \(y\) tels que \(g(X_y)\) soit fini est ouvert, et \(g\) se factorise au-dessus de lui par une section unique.

Lemme 2 (page 27). Si \(f \colon X \to Y\) est de type fini et universellement ouvert, \(h \colon Z \to Y\) localement de type fini et \(g \colon X \to Z\) un \(Y\)-morphisme, l'ensemble des \(y\) tels que \(g(X_y)\) soit fini est fermé.¹⁴

Conséquences pour les schémas abéliens

Corollaire (page 24). Si \(G\) est commutatif et \(X_2\) a aussi une section \(\varepsilon_2\), \(f\) s'écrit de façon unique \(f = f_1 p_1 + f_2 p_2 + \sigma \varphi\), avec \(f_i \circ \varepsilon_i = e\), \(\sigma\) une section de \(G\) et \(\varphi\) la projection sur \(S\).¹⁵

Corollaire 2 (page 28). Soient \(A\) un schéma abélien sur \(S\) localement noethérien et \(G\) un schéma en groupes localement de type fini et séparé sur \(S\). Tout \(S\)-morphisme \(f \colon A \to G\) s'écrit de façon unique \(f = u \cdot c\), avec \(u\) un homomorphisme de groupes et \(c = f \circ \varepsilon_A\) « constant ». En particulier, un morphisme qui respecte les sections unités est un homomorphisme.¹⁶

Corollaire 3. Un schéma abélien est commutatif, et toute loi de composition sur \(A\) admettant \(\varepsilon_A\) pour unité bilatère est la loi donnée. La commutativité vient du corollaire 2 appliqué à \(x \mapsto x^{-1}\) ; pour la seconde assertion, si \(m'\) est une telle loi, \(m'(x, y) - x - y\) est trivial sur les deux axes, donc nul.

La reformulation fonctorielle (pages 29 à 31)

L'énoncé est repris pour un foncteur en groupes \(G\) quelconque sur les \(S\)-schémas, au lieu d'un schéma en groupes, et la page 29 conclut que le foncteur des morphismes pointés \(\mathrm{Hom}^\bullet_S(X, G)\) est non ramifié sur \(S\).¹⁷ La page 30 donne la forme la plus nette.

Théorème (page 30). Soient \(f \colon X \to S\) propre et plat avec \(\mathcal{O}_S \simeq f_*\mathcal{O}_X\) universellement, \(S\) localement noethérien, \(G\) un foncteur sur les \(S\)-schémas formellement représentable, compatible au passage aux complétés et aux limites — conditions vérifiées si \(G\) est représentable localement de type fini — et \(u \in G(X)\). Soit \(U\) l'ensemble des \(s\) tels que \(u_s\) provienne de \(G(k(s))\). Alors \(U\) est ouvert, et il existe un unique \(v \in G(U)\) dont l'image dans \(G(X_U)\) est \(u|_{X_U}\). La page ajoute, d'une autre encre, que \(U\) est aussi fermé sous une condition de type valuatif — c'est le cas si \(G\) est représentable par un schéma séparé — et c'est cette fermeture qu'utilisent les corollaires.¹⁸

Les corollaires en tirent : si \(S\) est connexe et que \(u_s\) se factorise par \(k(s)\) en un point, \(u\) se factorise par \(S\) ; sous des sections unités, la trivialité en une fibre entraîne la trivialité ; et la forme de Weil (corollaire 5), pour \(G\) commutatif : un morphisme \(u \colon X \times_S Y \to G\), \(Y\) à fibres géométriquement connexes muni d'une section, s'écrit de façon unique \(u = u_1\,\mathrm{pr}_1 + u_2\,\mathrm{pr}_2 + v\,p\).

La page 31 pose, avec la mention « Demander Mumford », la question que la lettre à Murre reprend : pour \(X\), \(Y\) propres et plats sur \(S\), à \(H^0\) trivial universellement, munis de sections, un faisceau inversible sur \(X \times_S Y\) trivialisé sur les deux axes et trivial au-dessus d'un ouvert non vide est-il trivial ? Autrement dit, \(\mathrm{Corr}_S(X, Y)\) est-il toujours séparé ? La marge répond qu'il suffit que \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) ou \(\mathrm{Pic}_{Y/S}\) soit pré-ét-représentable, en particulier que \(X\) ou \(Y\) soit projectif.

Variétés à multiplication, et relèvement des lois de groupe

La page 32 énonce, puis barre d'un réseau de traits, un théorème : sur \(S\) normal, un schéma propre et lisse muni d'une section, dont toutes les fibres sont des variétés abéliennes, est un schéma abélien. Il est subsumé par le théorème final de la page 40, qui n'a pas besoin de la normalité. Un théorème 2, barré lui aussi, redonne la décomposition \(u = u_1\,\mathrm{pr}_1 + u_2\,\mathrm{pr}_2\) d'un morphisme \(X_1 \times_S X_2 \to G\) sous des hypothèses de platitude, avec pour corollaire, illustré d'un carré de multiplications, qu'un morphisme \(u \colon X \to G\) d'un schéma en groupes plat et lisse à fibres connexes vers un schéma en groupes, tel que \(u(e) = e\), est un homomorphisme.¹⁹

Lemme 1 (page 34). Soit \(G\) une variété propre et géométriquement intègre sur \(k\), munie d'un point rationnel \(e\), d'une multiplication admettant \(e\) pour unité bilatère, et d'une application \(y \mapsto y^\vee\) telle que \(x y^\vee = e \iff x = y\). Alors la loi est associative et commutative, et \(G\) est une variété abélienne.²⁰ Pour la commutativité, \(f(a, b) = (ab)(ba)^\vee\) vaut \(e\) sur \(\{e\} \times G\), donc partout par rigidité, d'où \(ab = ba\) ; pour l'associativité, de même avec \([(ab)c][a(bc)]^\vee\). L'inverse de \(y\) est \(y^\vee\), puisque \(y y^\vee = e\).

Lemme 3 (page 36). Soient \(S = \operatorname{Spec}(A)\), \(A\) artinien local, \(G\) lisse et propre sur \(S\) muni d'une section \(e\), et \(S_0 \subset S\) défini par un idéal de carré nul \(I\). Si \(G_0 = G \times_S S_0\) est un schéma abélien d'unité \(e_0\), il existe sur \(G\) une unique loi de groupe relevant celle de \(G_0\) et d'unité \(e\) ; \(G\) est un schéma abélien. L'obstruction au relèvement de la multiplication \(\pi_0\) est dans \[ H^1\bigl(G_0 \times G_0, \pi_0^*T_{G_0} \otimes I\bigr) = H^1(G_0 \times G_0, \mathcal{O}) \otimes_k (t \otimes_k I) , \] \(t\) l'espace tangent en l'origine, puisque le fibré tangent d'un schéma abélien est trivial. Par Künneth, elle est déterminée par ses restrictions à \(e \times G_0\) et \(G_0 \times e\), qui sont les obstructions à relever l'identité de \(G_0\) : elles sont nulles. L'indétermination est dans \(H^0(G_0 \times G_0, \mathcal{O}) \otimes t \otimes I = t \otimes I\), et la condition \(e \cdot e = e\) la fixe.²¹ Plus généralement, pour un morphisme \(X \to G\), l'obstruction est dans \(H^1(X_0, \mathcal{O}) \otimes t \otimes I\) et l'indétermination dans \(H^0(X_0, \mathcal{O}) \otimes t \otimes I\), fixée par l'image d'une section si \(H^0(X_0, \mathcal{O}) = k\) ; le même raisonnement montre alors que \(e\) est une unité bilatère et que la loi relevée est commutative et associative.

La page 40 en tire, par unicité, l'existence sur un anneau local noethérien complet, puis local par descente, et enfin sur une base connexe : l'ensemble des points où la fibre est abélienne, déjà ouvert, est aussi fermé, ce qu'on vérifie sur un anneau de valuation discrète.²²

Théorème (page 40). Soient \(S\) localement noethérien connexe et \(G\) lisse et propre sur \(S\) muni d'une section \(e\). Si une fibre est une variété abélienne d'origine \(e\), il existe sur \(G\) une unique loi de groupe d'unité \(e\), et elle fait de \(G\) un schéma abélien.

C'est le théorème qu'on trouve aujourd'hui dans le livre de Mumford sur la théorie géométrique des invariants (1965), au chapitre des schémas abéliens.

42–57

Groupes rigides et descente des sous-groupes (pages 41 à 57)

Manuscrit paginé 4 à 11 par l'auteur ; le début (ses pages 1 à 3) manque. La main est rapide : les énoncés passent, la prose de liaison est souvent perdue, et ce qui suit ne restitue que ce que la transcription porte.

La définition

Un schéma en groupes commutatif \(G\) de type fini sur \(S\) est dit rigide si (i) il est plat sur \(S\) ; (ii) pour tout \(s \in S\) et tout nombre premier \(\ell\) distinct de la caractéristique de \(k(s)\), la fibre géométrique \(\overline{G}_s\) est l'adhérence schématique de ses points de torsion \(\ell\)-primaire ; (iii) une condition de finitude, que la page ne laisse pas lire.²³ L'idée est qu'un groupe rigide est déterminé par sa torsion première aux caractéristiques, qui est étale et ne bouge pas dans une famille. En sont : les tores \(\mathbf{G}_m\), les variétés abéliennes, les groupes \(\mathbf{Z}/\ell\) ; n'en sont pas \(\mathbf{G}_a\) ni \(\mathbf{Z}/p\) en caractéristique \(p\). La page affirme qu'une extension de groupes rigides est rigide, qu'un quotient de rigide est rigide, et qu'une extension non triviale d'une variété abélienne par \(\mathbf{G}_a\) est rigide, du moins en caractéristique \(0\) — ce qu'on vérifie : l'adhérence de la torsion est un sous-groupe qui se surjecte sur la variété abélienne et ne contient pas \(\mathbf{G}_a\), sinon l'extension serait scindée. La page 50 propose de renforcer la notion sur un corps (« très rigide ») en exigeant la propriété de tous les sous-groupes fermés connexes, ce qui revient à une suite de composition à quotients \(\mathbf{Z}/\ell\), \(\mathbf{G}_m\) et variétés abéliennes.

Proposition (page 43). Si \(G\) est rigide et \(n\) premier aux caractéristiques résiduelles, tout ouvert \(U\) de \(G\) est le plus petit sous-schéma fermé de \(U\) qui contienne les \(G[n^k] \cap U\) ; « démonstration donnée plus haut », c'est-à-dire dans les pages manquantes.

Proposition (page 43). Soit \(G\) un schéma en groupes commutatif localement de type fini sur \(S\), et \(n\) un entier inversible sur \(S\). Alors la multiplication par \(n\) est non ramifiée, donc \(G[n]\) est non ramifié sur \(S\) ; si \(G\) est plat, \(n_G\) est étale et \(G[n]\) est étale sur \(S\). On se ramène à un corps algébriquement clos, où l'application tangente de \(n_G\) est la multiplication par \(n\), inversible.²⁴

Le théorème de rigidité

Lemme (page 44). Soient \(S\) localement noethérien connexe, \(X\) non ramifié sur \(S\), \(X_1\) et \(X_2\) deux sous-schémas de \(X\) finis et étales sur \(S\), et \(s \in S\) tel que \(X_{1,s} = X_{2,s}\). Alors \(X_1 = X_2\). On se ramène à \(X_1 \subset X_2\) ; le lieu où ils coïncident est ouvert, et il est fermé parce qu'un point du bord serait spécialisation d'un point où ils coïncident.²⁵

Théorème de rigidité (page 45). Soient \(S\) localement noethérien connexe, \(G\) un schéma en groupes de type fini sur \(S\), \(G_1\) et \(G_2\) deux sous-schémas en groupes fermés rigides, et \(s \in S\) tel que \(G_{1,s} = G_{2,s}\). Alors \(G_1 = G_2\).

Les corollaires (pages 46 à 49) : deux homomorphismes d'un groupe rigide qui coïncident en une fibre sont égaux (on applique le théorème au graphe) ; si \(S' \to S\) est fidèlement plat de type fini à fibres géométriquement connexes, un sous-groupe fermé rigide de \(G \times_S S'\) descend, de façon unique, en un sous-groupe de \(G\), puisque ses deux images inverses sur \(S' \times_S S'\) coïncident sur la diagonale, et que toute composante connexe de \(S' \times_S S'\) la rencontre ; en particulier, pour une extension primaire \(k'/k\), un sous-groupe rigide de \(G \otimes_k k'\) provient d'un unique sous-groupe de \(G\), et le foncteur \(H \mapsto H \otimes_k k'\) est pleinement fidèle sur les groupes commutatifs rigides de type fini.²⁶

Remarque (pages 50 et 51). L'hypothèse de rigidité n'est pas superflue : sur un anneau de valuation discrète de caractéristique résiduelle \(p\), un schéma abélien \(A\) peut avoir deux sous-groupes étales de degré \(p\), isomorphes à \((\mathbf{Z}/p)_S\), de même fibre spéciale et distincts. La page construit l'exemple dans un produit \(C' \times C\) de courbes elliptiques, avec les sous-groupes engendrés par deux sections \((\xi, e)\) et \((\xi, \eta)\) ; la construction elle-même ne se lit pas.

Extensions primaires (pages 52 à 57)

Les pages suivantes traitent le cas où seule la composante neutre est rigide. Proposition (page 52). Si \(k'/k\) est primaire, \(G\) un groupe de type fini sur \(k\), et \(H'\) un sous-groupe fermé de \(G \otimes_k k'\) dont la composante neutre est rigide, il existe une extension radicielle finie \(k_1\) de \(k\) et un sous-groupe fermé \(H_1\) de \(G \otimes_k k_1\) tels que \(H'\) et \(H_1\) deviennent égaux sur \(k' \otimes_k k_1\). La démonstration applique la rigidité à la composante neutre, puis traite un groupe fini, pour lequel \(G \otimes_k k' \to G\) est bijectif. Les corollaires (le cas séparable, le cas parfait, une version relative au-dessus d'un \(S' \to S\) surjectif à fibres irréductibles) ne sont lus qu'en partie.

Lemme (page 57). Soient \(u \colon G \to G_1\) un morphisme surjectif de schémas en groupes de type fini et plats sur \(S\) localement noethérien, donc plat, et \(N\) son noyau. Les sous-schémas fermés \(H\) de \(G\) stables par \(N\) correspondent biunivoquement aux sous-schémas fermés \(H_1\) de \(G_1\), par \(H = u^{-1}(H_1)\) ; \(H\) est plat, resp. un sous-groupe, si et seulement si \(H_1\) l'est. On le démontre par descente. La proposition de la page 55, qui s'appuie sur ce lemme, décrit les familles plates de sous-groupes de \(G\) dont la composante neutre générique est rigide comme images inverses de familles de sous-groupes radiciels d'un quotient fixe \(G/H\) ; elle est lue par fragments.

59–63

Le schéma d'Albanese (pages 58 à 63)

Le foncteur

Soit \(X\) fidèlement plat et quasi-projectif sur \(S\). Pour un \(S\)-groupe \(G\), les données suivantes sont équivalentes (page 59) : un torseur \(P\) sous \(G\) et un \(S\)-morphisme \(X \to P\) ; une donnée de descente sur \(G \times_S X\) relativement à \(X \to S\), compatible à la structure de torseur ; un morphisme \(\varphi \colon X \times_S X \to G\) satisfaisant la condition de cocycle \[ \varphi(x, y)\,\varphi(y, z) = \varphi(x, z) , \] donc \(\varphi(x, x) = e\), avec une condition d'effectivité automatiquement satisfaite si \(G\) est affine sur \(S\) ou si \(X \to S\) admet localement des quasi-sections finies, par exemple s'il est projectif.

Pour \(X\) projectif sur \(S\) avec \(\mathcal{O}_S \simeq f_*\mathcal{O}_X\) universellement, on note \(T_X(P)\) le foncteur qui à un torseur \(P\) sous un schéma abélien associe \(\mathrm{Hom}_S(X, P)\), et l'on cherche à le représenter : un couple universel \((P, \psi)\). La page 60 l'esquisse par un argument de sous-groupe minimal par lequel \(\varphi\) se factorise. Pour \(P = A\) un schéma abélien, en faisant le changement de base \(S' = X\) qui munit \(X\) d'une section, \[ T_X(A) \simeq \mathrm{Hom}_{S'\text{-pointés}}(X_{S'}, A_{S'}) = \mathrm{Hom}_{S'\text{-pointés}}(X_{S'}, \mathrm{Pic}^0_{A^\vee_{S'}/S'}) \simeq \mathrm{Hom}_{S'\text{-gr}}(A^\vee_{S'}, \mathrm{Pic}_{X_{S'}/S'}) , \] la troisième égalité passant par les correspondances divisorielles entre \(X_{S'}\) et \(A^\vee_{S'}\), et l'on redescend sur \(S\) « d'après la platitude et la rigidité ». D'où, encadré²⁷ : \[ T_X(A) \simeq \mathrm{Hom}_{S\text{-gr}}(A^\vee, \mathrm{Pic}_{X/S}) . \]

Albanese, dual de Picard

Si \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) contient un plus grand sous-schéma abélien \(B_{X/S}\), les homomorphismes d'un schéma abélien dans \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) se factorisent par lui, et la dualité des schémas abéliens donne \[ \mathrm{Hom}_{S\text{-gr}}(A^\vee, \mathrm{Pic}_{X/S}) \simeq \mathrm{Hom}_{S\text{-gr}}(\mathrm{Alb}^0_{X/S}, A), \qquad \mathrm{Alb}^0_{X/S} = B_{X/S}^\vee . \] Il y a donc un torseur canonique \(\mathrm{Alb}^1_{X/S}\) sous \(\mathrm{Alb}^0_{X/S}\) et un morphisme \(\psi_{X/S} \colon X \to \mathrm{Alb}^1_{X/S}\) tels que la donnée d'un torseur \(P\) sous \(A\) et d'un morphisme \(X \to P\) équivaille à celle d'un homomorphisme \(u \colon \mathrm{Alb}^0_{X/S} \to A\), par \(P = \mathrm{Alb}^1_{X/S} \times^{\mathrm{Alb}^0_{X/S}} (A, u)\). Ce sont les schémas d'Albanese homogène et inhomogène de \(X/S\) ; le triple \((\mathrm{Alb}^0, \mathrm{Alb}^1, \psi)\) représente \(T_X\) par construction, et sa formation commute à tout changement de base.²⁸

Le N.B. de la page 62 propose de définir axiomatiquement le schéma d'Albanese par la représentabilité de \(T_X\) restreint aux schémas abéliens, stable par changement de base, et juge plausible qu'il existe toujours sur un corps, même quand \(\mathrm{Pic}^0_{X/k}\) n'est pas propre, en prenant le plus grand sous-schéma abélien de \(\mathrm{Pic}_{X/k}\) — dont il faudrait établir une propriété universelle par changement de base.

Questions (page 63)

Si \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) est lisse le long de la section unité, alors \(\mathrm{Pic}^0_{X/S}\) est ouvert dans \(\mathrm{Pic}_{X/S}\), les fibres étant géométriquement localement intègres (la marge renvoie à EGA IV). S'il est de plus propre, c'est un schéma abélien, et alors (a) les fibres de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) sont lisses ; (b) \(\mathcal{O}_X\) est cohomologiquement plat sur \(S\) en dimension \(1\). La réciproque est posée, avec trois points d'interrogation, et Grothendieck conjecture plus généralement qu'un groupe sur une base réduite, à fibres lisses, dont le faisceau \(\omega\) le long de la section unité est localement libre, est lisse le long de cette section. Il demande enfin si, pour \(X/S\) propre et lisse en caractéristique \(0\), la condition de platitude cohomologique est automatique : il en a une démonstration algébrique quand \(S\) est réduit, et ne sait rien quand \(S\) est artinien.²⁹

65–65

Le plan d'un traité (pages 64 et 65)

Sous la chemise « Plan », une page intitulée « Picard » énumère, dans l'ordre où elle les écrit et avec les numéros qu'on y lit en dernier :

• 1. Théorèmes d'existence absolus ;
• 2. Théorèmes d'existence relatifs ;
• 3. Critères d'équivalence et théorèmes de finitude (« Néron–Igusa exclus ?? ») ;
• 4. \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\), équivalence numérique, groupe de Néron–Severi ;
• 5. Critères de séparation, de propreté pour \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) ;
• (sans numéro) Critères de lissité pour \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) ;
• 8. Albanese ;
• (7) Dualité des schémas abéliens, notamment autodualité ;
• 9. Picard des variétés abéliennes (« Torelli ? ») ;
• 5. Variations sur le carré et le cube : correspondances divisorielles, multiplication par un entier dans \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\) ;
• 10. Compléments au-dessus d'un corps : variétés non complètes, diviseurs sur les courbes, critères d'équivalence, cas normal, rappel des résultats spéciaux obtenus dans les pages précédentes ;
• 11. Phénomènes spéciaux en caractéristique \(0\) ;
• 12. (?) Picard locaux et pro-groupes.

Les numéros sont remaniés à l'encre : des flèches en marge reportent les critères de lissité entre 4 et 5, font des variations sur le cube le chapitre 5, et échangent Albanese et la dualité.³⁰ Au bas de la page, un graphe des dépendances, dont la colonne \(2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 5 \Rightarrow 7 \Rightarrow 8 \Rightarrow 9 \to 10\) est sûre, et dont les flèches obliques, venues de 1 et de 4 vers le chapitre 6, le sont moins.

Le dossier fournit des matériaux pour presque tous ces chapitres : les existences relatives (pages 125 à 139), la finitude (pages 67 à 71), les critères d'équivalence (pages 96 à 100), \(\mathrm{Pic}^\tau\) (pages 195 à 211), la séparation (pages 115 à 123 et 312), Albanese (pages 59 à 63), les correspondances et le cube (pages 14 à 31), les courbes (pages 141 à 154), les Picard locaux (pages 2 à 12, 184 à 193, 226 à 271).

67–71

Le théorème de finitude (pages 66 à 71)

La démonstration de Matsusaka (pages 67 et 68)

Soient \(X\) une surface projective lisse sur un corps algébriquement clos \(k\), \(H\) un diviseur ample et \(K\) le diviseur canonique. Riemann–Roch donne \(\chi(D) = \frac12 D\cdot(D - K) + \chi(\mathcal{O}_X)\), et la dualité \(\chi(D) \leq \ell(D) + \ell(K - D)\), où \(\ell = \dim H^0\). Si \[ \text{a)}\ (D - K)\cdot H > 0 \qquad \text{et} \qquad \text{b)}\ \tfrac12 D\cdot(D - K) + \chi(\mathcal{O}_X) > 0 , \] alors \(\ell(K - D) = 0\), puisque \(K - D\) est de degré négatif, et \(\ell(D) \geq \chi(D) > 0\).³¹ Ces conditions ne dépendent que de la classe numérique de \(D\) et sont satisfaites par \(D = nH\), \(n\) grand. Si \(\Delta\) est numériquement équivalent à \(0\), \(D + \Delta\) les satisfait aussi, et est donc équivalent à un diviseur positif.

Proposition. Soient \(D\) satisfaisant a) et b) et \(\mathfrak{M}\) la famille des diviseurs positifs numériquement équivalents à \(D\). Tout diviseur numériquement équivalent à \(0\) est linéairement équivalent à un \(D' - D\) avec \(D' \in \mathfrak{M}\). Par Riemann–Roch, le polynôme de Hilbert des éléments de \(\mathfrak{M}\) est fixé ; par la finitude de Chow appliquée aux schémas de Hilbert, \(\mathfrak{M}\) est quasi-compacte. D'où, en chaîne : \(\mathrm{Pic}^{\equiv 0}_{X/k}\) est quasi-compact ; \(\mathrm{Pic}^{\equiv 0}_{X/k}/\mathrm{Pic}^0_{X/k}\) est fini ; \(\mathrm{Pic}^{\equiv 0}_{X/k} = \mathrm{Pic}^\tau_{X/k}\), et la torsion du groupe de Néron–Severi est finie ; la forme d'intersection sur \(\mathrm{NS}/\text{torsion}\) est non dégénérée.³²

Igusa (page 69)

Le résultat « plus profond » d'Igusa : soient \(b_i\) les nombres de Betti (\(\ell\)-adiques) de \(X\) et \(E(X) = \sum (-1)^i b_i\), qui est aussi \(c_2(X)\), l'auto-intersection de la diagonale dans \(X \times X\). On a \(b_0 = b_4 = 1\) et \(b_1 = b_3 = 2p\), où \(p = \dim \mathrm{Pic}_{X/k}\), d'où \(b_2 = E - 2 + 4p\) numériquement,³³ et l'inégalité \[ \rho \leq b_2, \qquad \rho = \operatorname{rg} \mathrm{NS}(X) . \]

Un commentaire sur Kleiman (pages 70 et 71)

La feuille, plus tardive, commente au crayon les travaux de Kleiman, avec des renvois à une liste de critères numérotés (i) à (viii) que le dossier ne contient pas. Kleiman démontre, pour \(X\) projectif sur un corps, les critères (viii) de \(\tau\)-équivalence à \(0\) sans le « fourbis délicat » (i), (ii), puis le cas propre par le lemme de Chow ; il montre directement que \(\mathrm{Pic}^{\mathrm{num}}_{X/S}\) est quasi-compact. Par le théorème de l'indice sur une surface, il démontre le critère d'équivalence : si \(X\) est projectif, à composantes de dimension \(\geq 3\), et \(Y\) une section hyperplane, l'image inverse de \(\mathrm{Pic}^\tau_{Y/k}\) est \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/k}\). Avec l'intégrité de Picard–Igusa, le théorème de Néron–Severi et la résolution des surfaces d'Abhyankar, cela entraîne que les groupes de Néron–Severi des fibres géométriques d'un \(X/S\) propre de présentation finie sur une base quasi-compacte sont « uniformément » de type fini : torsion d'ordre borné, rang borné.

La page 71 se demande si ces résultats donnent le critère d'équivalence sous la forme (ii) : on se ramène au cas où tout est représentable et plat, et le morphisme induit sur les groupes de Néron–Severi modulo torsion est un monomorphisme ; « il n'est pas du tout clair pourquoi il serait de type fini ». Sa propre démonstration montre que \(\mathrm{Pic}_{X/S} \to \mathrm{Pic}_{Y/S}\) est génériquement quasi-affine sur \(S\), peut-être affine — ce que la lettre à Murre de 1962, reproduite aux pages 72 à 78, annonçait déjà.³⁴

72–78

La lettre à Murre du 18 juillet 1962 (pages 72 à 78)

La lettre existe en deux états dactylographiés : une copie au net (pages 72 à 74) et l'état antérieur, corrigé à la main et à la machine, et signé (pages 75 à 78). On lit le texte au net, et l'on dit en note où l'autre diffère, puisque ces différences sont l'information.

Finitude

Grothendieck a « substantially improved » les résultats de la dernière section de son dernier exposé Bourbaki.³⁵ Le résultat principal — pour un morphisme lisse et projectif à fibres géométriquement connexes, les morceaux \(\mathrm{Pic}^P_{X/S}\) indexés par un polynôme de Hilbert sont de type fini — a été étendu par Mumford au cas plat à fibres géométriquement intègres (au moins normales). Avec ce résultat, « the proof of which is quite simple and beautiful », il se débarrasse de la normalité et ne garde que les deux premiers coefficients non triviaux du polynôme de Hilbert. Les deux clés :

(i) Si \(X\), \(Y\) sont propres sur \(S\) noethérien et \(f \colon X \to Y\) un \(S\)-morphisme surjectif, les schémas de Picard existant, alors \(f^* \colon \mathrm{Pic}_{Y/S} \to \mathrm{Pic}_{X/S}\) est de type fini, et même affine sur un corps : une partie de \(\mathrm{Pic}_{Y/S}\) est quasi-compacte si et seulement si son image l'est.

(ii) De même pour l'immersion d'un diviseur \(X \to Y\), si \(Y/S\) est projectif à fibres dont toutes les composantes sont de dimension \(\geq 3\) et \(X\) le lieu des zéros d'une section d'un faisceau inversible ample relativement à \(S\).

Corollaire : pour \(X/S\) propre et \(n \neq 0\), la multiplication par \(n\) dans le schéma de Picard est de type fini.

Descente non plate

La démonstration de (i) passe par la descente non plate — « the fact that I do not have any good effectivity criterion does not hamper » — et une analyse plus fine donne :

Théorème. Soient \(S\) intègre noethérien, \(X\) et \(X'\) propres sur \(S\), \(f \colon X' \to X\) un \(S\)-morphisme surjectif, et \(f^* \colon \mathrm{Pic}_{X/S} \to \mathrm{Pic}_{X'/S}\). On suppose a) que le problème d'existence A ci-dessous a toujours une solution pour \(X/S\) (c'est le cas si \(X/S\) est projectif) ; b) que \(f\) est, sur la fibre générique, un morphisme de descente : \(\mathcal{O}_{X_\eta} \to f_*\mathcal{O}_{X'_\eta} \rightrightarrows h_*\mathcal{O}_{X''_\eta}\) exacte. Alors, après restriction à un ouvert non vide de \(S\), \(f^*\) est représentable par des morphismes quasi-affines : dans la factorisation \(f^* = v u\) par le foncteur des données de descente, \(u\) est affine, et le monomorphisme \(v\) est représentable par des sommes directes finies d'immersions.³⁶

Corollaires. Sans b), en permettant de remplacer \(X\) par des \(X_1\) finis sur \(X\), la même conclusion vaut ; et, par le lemme de Chow et le théorème d'existence principal, si pour tout \(X'\) fini sur \(X\) le problème A a une solution génériquement sur \(S\) (c'est le cas si \(X\) est projectif), alors au-dessus d'un ouvert non vide de \(S\), \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) existe, est séparé, et ses composantes connexes sont de type fini.

N.B. Rien n'indique qu'on puisse remplacer « quasi-affine » par « affine », sinon sur un corps, où un groupe algébrique quasi-affine est affine. Un contre-exemple sur \(k[t]\), avec \(X\) et \(X'\) projectifs et lisses et \(X' \to X\) birationnel, ou avec \(X\), \(X'\) projectifs normaux et \(f\) fini, serait intéressant ; dans le second cas, il fournirait un contre-exemple au problème d'effectivité pour un morphisme fini posé dans le premier exposé sur la descente.³⁷

Le problème A

Étant donnés \(X/S\) et un Module \(F\) sur \(X\), représenter le foncteur qui, à \(S' \to S\), associe un ensemble à un élément ou vide selon que \(F' = F \otimes_S S'\) sur \(X' = X \times_S S'\) est plat sur \(S'\) ou non. On dit que le problème A a toujours une solution pour \(X/S\) si, pour tout cohérent \(F'\) sur un \(X'/S'\), ce foncteur est représentable par un \(S'\)-schéma de type fini. L'étape principale de l'existence des schémas de Hilbert le donne pour \(X/S\) projectif, comme une somme disjointe de sous-schémas indexée par les polynômes de Hilbert. Grothendieck s'attend à la représentabilité dès que \(X/S\) est propre, propose une réduction au cas projectif par le lemme de Chow et une récurrence sur la dimension relative, et une approche par le cas local complet et la descente fidèlement plate. Hartshorne, « a Harvard student », a rencontré le problème, « but I doubt he will work seriously on it » ; d'où l'appel cité dans le résumé.³⁸

80–93

Fibrés à connexion et extension du dual d'une variété abélienne (pages 79 à 93)

La chemise porte « Extension du dual d'une VA et faisceaux inversibles à connexion ». Soit \(f \colon X \to S\) plat de présentation finie, \(R_{X/S}\) le faisceau des fonctions méromorphes relatives et \(\mathrm{Div}_{X/S} = R^*_{X/S}/\mathcal{O}^*_X\) celui des diviseurs relatifs.

La construction par les diviseurs (pages 80 et 82)

La dérivée logarithmique \(\varphi \mapsto d\varphi/\varphi\) induit \[ \mathrm{Div}_{X/S} \longrightarrow R_{X/S}(\Omega^1_{X/S})/\Omega^1_{X/S} , \] injective si \(S\) est de caractéristique nulle et \(f\) normal. Le produit fibré \(E_{X/S}\) des couples \((D, \omega)\), \(D\) un diviseur et \(\omega\) une forme méromorphe telle que \(d\log D \equiv \omega\) modulo les formes régulières, est une extension \[ 0 \to \Omega^1_{X/S} \to E_{X/S} \to \mathrm{Div}_{X/S} \to 0 . \] En prenant \(f_*\), avec \(\omega_{X/S} = f_*\Omega^1_{X/S}\), on obtient une suite exacte \(0 \to \omega_{X/S} \to f_*E_{X/S} \to f_*\mathrm{Div}_{X/S} \xrightarrow{\partial} R^1 f_*\Omega^1_{X/S}\), où \(\partial\) est l'homomorphisme bien connu déduit de \(\mathrm{Pic}_{X/S} \to R^1 f_*\Omega^1_{X/S}\) — la classe d'un faisceau inversible en cohomologie de Hodge, ce qu'on appelle aujourd'hui sa classe d'Atiyah. On pose \[ \mathrm{Pic}^w_{X/S} = \operatorname{Ker}\bigl(\mathrm{Pic}_{X/S} \to R^1 f_*\Omega^1_{X/S}\bigr) , \] le sous-foncteur des classes qui admettent, localement sur \(S\), une connexion relative. Si \(X \to S\) est quasi-projectif, \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) est le quotient de \(f_*\mathrm{Div}_{X/S}\) par les diviseurs principaux \(P_{X/S} = f_*R^*_{X/S}/f_*\mathcal{O}^*_X\), et \(\mathrm{Pic}^w_{X/S}\) celui du noyau de \(\partial\). Le morphisme \(\varphi \mapsto (\operatorname{div}\varphi, d\varphi/\varphi)\) relève \(P_{X/S}\) dans \(f_*E_{X/S}\) ; il est nul sur \(f_*\mathcal{O}^*_X\) dès que \(f_*\mathcal{O}_X \simeq \mathcal{O}_S\) universellement, ce qu'on suppose,³⁹ et l'on obtient l'extension \[ 0 \to \omega_{X/S} \to \mathcal{M}_{X/S} \to \mathrm{Pic}^w_{X/S} \to 0, \qquad \mathcal{M}_{X/S} = f_*E_{X/S}/P_{X/S} . \] Dans le « cas favorable » où \(\Omega^1_{X/S}\) est cohomologiquement plat en dimension \(0\) — \(f\) lisse et projectif en caractéristique nulle (?), ou \(X\) un schéma abélien — \(\omega_{X/S}\) et \(R^1 f_*\Omega^1_{X/S}\) sont des fibrés vectoriels, et si \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) est représentable, \(\mathrm{Pic}^w_{X/S}\) et \(\mathcal{M}_{X/S}\) le sont aussi.

La définition directe (pages 84 et 86)

Soit \(\mathcal{M}^\#_{X/S}\) le faisceau associé au préfaisceau qui, à \(T\), associe les classes de faisceaux inversibles sur \(X \times_S T\) munis d'une connexion relative à \(T\). La suite exacte de préfaisceaux \(H^0(\mathcal{O}^*_X) \xrightarrow{d\log} H^0(\Omega^1) \to \mathcal{Q}(T) \to \mathrm{Pic}(X_T) \to H^1(\Omega^1_{X/S})\) donne, par faisceautisation, \[ 0 \to \omega_{X/S}/\operatorname{Im} f_*\mathcal{O}^*_X \to \mathcal{M}^\#_{X/S} \to \mathrm{Pic}^w_{X/S} \to 0 , \] et un morphisme d'extensions \(\alpha \colon f_*E_{X/S} \to \mathcal{M}^\#_{X/S}\). Pour le définir, on interprète \(E_{X/S}\) : sur un ouvert, la donnée d'une connexion \(d_L\) sur \(L = \mathcal{O}_X(D)\), c'est-à-dire d'un scindage de la suite des parties principales \(0 \to L \otimes \Omega^1_{X/S} \to P^1(L) \to L \to 0\), équivaut à celle de la forme méromorphe \(\bar\omega = d_L\varphi_D/\varphi_D\), \(\varphi_D\) la section canonique, et une forme méromorphe provient d'une connexion si et seulement si \(\bar\omega - df/f\) est régulière pour toute équation locale \(f\) de \(D\). Ainsi \(E_{X/S}\) est le faisceau des couples (diviseur, connexion sur le faisceau associé), et \(\alpha\) est évident ; il est un isomorphisme quand \(d\log\) est nul sur \(f_*\mathcal{O}^*_X\).

La page 88 calcule la classe d'extension : une section \(\xi\) de \(\mathrm{Pic}^w_{X/S}\) provenant d'un faisceau inversible \(L\) donne, par image inverse, l'élément de \(H^1(S, \omega_{X/S}) \simeq \operatorname{Ker}\bigl(H^1(X, \Omega^1_{X/S}) \to H^0(S, R^1 f_*\Omega^1_{X/S})\bigr)\) défini par \(L\).⁴⁰

L'extension vectorielle universelle (pages 90 à 93)

Si \(u \colon B \to \mathrm{Pic}_{X/S}\) est un homomorphisme d'un schéma abélien et \(\Omega^1_{X/S}\) est cohomologiquement plat en dimension \(0\), \(u\) se factorise par \(\mathrm{Pic}^w_{X/S}\), puisque le composé vers le fibré vectoriel \(R^1 f_*\Omega^1_{X/S}\) part d'un schéma propre à fibres connexes ; en particulier \(\mathrm{Pic}^{00}_{X/S} \subset \mathrm{Pic}^w_{X/S}\) quand il existe. La donnée de \(u\) équivaut à celle d'un torseur \(A\) sous le dual \(B^\vee\) et d'un morphisme \(X \to A\) (sous réserve d'existence de \(B^\vee\) et de possibilité de descente, par exemple \(B\) projectif) — c'est l'Albanese des pages 59 à 63. Par fonctorialité, on obtient un diagramme d'extensions

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[r] & \omega_{X/S} \arrow[r] & \mathcal{M}_{X/S} \arrow[r] & \mathrm{Pic}^w_{X/S} \arrow[r] & 0 \\
0 \arrow[r] & \omega_{A/S} \arrow[r] \arrow[u] & \mathcal{M}_{A/S} \arrow[r] \arrow[u] & \mathrm{Pic}^w_{A/S} \arrow[r] \arrow[u] & 0 \\
0 \arrow[r] & \omega_{A/S} \arrow[r] \arrow[u, no head, "\Vert" description] & \mathcal{M}^0_{A/S} \arrow[r] \arrow[u] & B \arrow[r] \arrow[u, hook] & 0
\end{tikzcd}

où \(\mathcal{M}^0_{A/S}\) est l'image inverse de \(\mathcal{M}_{A/S}\) par \(B = \mathrm{Pic}^0_{A/S} \hookrightarrow \mathrm{Pic}^w_{A/S}\) : l'extension de \(B\) par le fibré vectoriel \(\omega_{A/S}\) des faisceaux inversibles algébriquement équivalents à \(0\) munis d'une connexion.⁴¹ Les translations de \(A\) par \(B^\vee\) opèrent trivialement sur \(\mathrm{Pic}^0_{A/S}\) et sur \(\omega_{A/S}\), donc sur l'extension, qui descend : \(\mathcal{M}^0_{A/S}\) ne dépend que de \(B\). Grothendieck veut y voir l'extension universelle de \(B\) par un fibré vectoriel. Pour en calculer la classe, il propose de prendre le faisceau de Poincaré sur \(A \times_S B\) et l'obstruction à le munir d'une connexion relative à \(B\), classe dans \(H^1(A \times_S B, \Omega^1_{A \times B/B})\) ; la décomposition de Künneth \[ H^{1,1}(A \times_S B) = H^{1,1}(A) \oplus H^{1,1}(B) \oplus H^{1,0}(A) \otimes H^{0,1}(B) \oplus H^{0,1}(A) \otimes H^{1,0}(B) \] et la fonctorialité par les deux inclusions montrent que la classe n'a de composante que dans les termes mixtes, « ce qui peut se faire … ». Une question barrée sur une connexion absolue canonique sur \(\mathcal{M}_{X/S}\) termine la page 93.

C'est ce qu'on appelle aujourd'hui l'extension vectorielle universelle d'un schéma abélien, réalisée comme espace de modules des fibrés en droites à connexion (Messing, Mazur et Messing, 1972–1974).

96–100

Critères d'équivalence par section hyperplane (pages 95 à 100)

Le tableau (page 96)

Soient \(X\) une variété projective lisse de dimension \(n\), \(Y\) une section hyperplane lisse et \(X_m\) le \(m\)-ième voisinage infinitésimal de \(Y\). La page dresse le tableau suivant⁴² , les conditions de cohomologie portant sur les faisceaux \(\mathcal{O}_Y(-m)\), \(m > 0\), conormaux successifs de \(Y\) dans \(X\).⁴³

• \(\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(Y)\) : injectif si \(n \geq 3\) et \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y(-m)) = 0\) ; surjectif si \(n \geq 4\) et \(H^2(Y, \mathcal{O}_Y(-m)) = 0\) (Lefschetz–Grauert) ; sans condition, de noyau un \(p\)-groupe fini si \(n \geq 3\), nul si \(Y\) est générale, nul si \(n \geq 4\) ;
• \(\mathrm{Pic}^\tau(X) \to \mathrm{Pic}^\tau(Y)\) : injectif à \(p\) près si \(n \geq 2\), bijectif à \(p\) près si \(n \geq 3\), injectif si \(n \geq 2\) et \(Y\) générale (via \(\pi_1\)) ;
• \(\mathrm{Pic}^0(X) \to \mathrm{Pic}^0(Y)\) : injectif à \(p\) près si \(n \geq 2\), surjectif si \(n \geq 3\), bijectif si \(n \geq 2\) et \(Y\) générale ;
• sur la torsion de Néron–Severi : bijectif à \(p\) près si \(n \geq 3\) ; sur Néron–Severi modulo torsion : injectif si \(n \geq 3\) ; sur Néron–Severi : de noyau un \(p\)-groupe fini si \(n \geq 3\), nul si \(n \geq 4\) ou \(Y\) générale ;
• \(\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(X_m)\), \(m\) grand : injectif si \(n \geq 3\), bijectif si \(n \geq 4\).

La question posée : la surjectivité de \(\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(Y)\) pour \(n \geq 4\) sans condition cohomologique — équivalente à celle de \(\mathrm{Pic}(X_m) \to \mathrm{Pic}(Y)\) pour \(m\) grand. Elle est vraie à \(p\) près, les obstructions successives étant tuées par \(p\) ; en caractéristique \(0\) la théorie kählérienne la donne. « Démonstration algébrique ??? » En marge, le corollaire : \(\rho(X) = \rho(Y)\) pour \(n \geq 4\).⁴⁴

La section hyperplane générique (pages 98 à 100)

Théorème. Soient \(k\) algébriquement clos, \(X \subset \mathbf{P}^r_k\) normal intègre de dimension \(\geq 2\) (donc de profondeur \(\geq 2\)), \(G\) un groupe algébrique commutatif affine, fini ou vectoriel, \(K = k(t_1, \ldots, t_r)\), \(\overline{K}\) sa clôture algébrique, et \(Y_{\overline{K}}\) la section hyperplane générique. Alors \(H^1(X, G) \to H^1(Y_{\overline{K}}, G)\) est injectif.⁴⁵

Par la structure des groupes commutatifs finis, on se ramène à \(\mathbf{G}_a\), aux groupes finis étales, à \(\mu_p\) et à \(\alpha_p\), c'est-à-dire aux énoncés : \(H^1(X, \mathcal{O}_X) \to H^1(Y_{\overline{K}}, \mathcal{O})\) injectif (corollaire 1) ; \(\pi_1(Y_{\overline{K}}) \to \pi_1(X)\) surjectif (corollaire 2, Bertini et Lefschetz–Grauert, qui utilisent la profondeur) ; injectivité sur \(H^1(-, \alpha_p)\) et \(H^1(-, \mu_p)\) (corollaires 3 et 4).⁴⁶

En caractéristique \(p\), Frobenius opère sur \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\), qui se décompose en une partie où il est bijectif, égale à \(H^1(X, \mathbf{Z}/p) \otimes k\) par la suite d'Artin–Schreier, et une partie où il est nilpotent. Sur la première, l'injectivité vient du corollaire 2 ; sur la seconde, il suffit de l'injectivité sur le noyau de \(F\), qui est \(H^1(X, \alpha_p)\). Suivant Cartier, pour \(X\) intègre et propre, \[ H^1(X, \alpha_p) \simeq \operatorname{Ker}\bigl(F \mid H^1(X, \mathcal{O}_X)\bigr) \simeq H^0(X, \mathcal{O}_X/\mathcal{O}_X^p) \xrightarrow{\ d\ } H^0(X, \tilde{\Omega}^1_X), \] \[ H^1(X, \mu_p) \simeq \mathrm{Pic}(X)[p] \simeq H^0(X, \mathcal{O}^*_X/\mathcal{O}^{*p}_X) \xrightarrow{\ d\log\ } H^0(X, \tilde{\Omega}^1_X), \] les deux flèches étant injectives si \(X\) est normal ; tout se ramène au lemme « presque trivial » : \(H^0(X, \tilde{\Omega}^1_{X/k}) \to H^0(Y_{\overline{K}}, \tilde{\Omega}^1)\) est injectif — une forme qui s'annule sur toutes les sections hyperplanes passant par un point lisse s'y annule, la dimension étant \(\geq 2\).⁴⁷

Corollaire. Le noyau de \(\mathrm{Pic}^\tau_{X_{\overline{K}}} \to \mathrm{Pic}^\tau_{Y_{\overline{K}}}\) est un \(p\)-groupe fini unipotent. Si \(X\) est normal, \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/k}\) est propre : par des sections hyperplanes générales successives, on se ramène à une courbe normale, où c'est connu.⁴⁸

La page 100 donne enfin une démonstration directe de la propreté de \(\mathrm{Pic}^0_{X/k}\) pour \(X\) normal et projectif : par la structure des groupes commutatifs, il suffit que tout morphisme \(\operatorname{Spec} k[t, t^{-1}] \to \mathrm{Pic}^0_{X/k}\) soit constant, ce qui résulte du lemme : si \(X\) est localement noethérien et normal, \(\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(X[t, t^{-1}])\) est surjectif. Un faisceau inversible sur \(X[t, t^{-1}]\) est défini par un diviseur, dont l'adhérence est localement principale « par raison de stabilité ».⁴⁹

101–102

Picard et profondeur (pages 101 et 102)

Lemme. Soient \(X\) un schéma, \(U\) un ouvert rétrocompact, \(i \colon U \to X\), \(f \colon X' \to X\) fidèlement plat et quasi-compact, \(U' = f^{-1}(U)\), et supposons \(\mathcal{O}_X \xrightarrow{\sim} i_*\mathcal{O}_U\) (ce qui équivaut à la même condition sur \(X'\)).⁵⁰ Notons \(P(-)\) l'ensemble des classes de faisceaux localement libres de type fini. Alors le carré \[ \begin{array}{ccc} P(X) & \longrightarrow & P(X') \\ \downarrow & & \downarrow \\ P(U) & \longrightarrow & P(U') \end{array} \] est cartésien, et de même pour \(\mathrm{Pic}\). L'injectivité vient de ce que la restriction des faisceaux localement libres de \(X\) à \(U\) est pleinement fidèle. Pour la surjectivité, si \(F\) sur \(U\) et \(E'\) sur \(X'\) ont même image sur \(U'\), alors \(E = i_*F\) convient : \(f^*i_*F \simeq i'_*g^*F \simeq i'_*i'^*E' \simeq E'\) par changement de base plat, et l'on descend la locale liberté. D'où le corollaire : si \(\mathrm{Pic}(U) \to \mathrm{Pic}(U')\) est injectif (resp. bijectif), il en est de même de \(\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(X')\). La marge ajoute qu'on peut prendre, plus généralement, les faisceaux de profondeur \(\geq 2\) hors de \(U\).

104–113

Le théorème de Seshadri (pages 103 à 113)

Théorème (Seshadri). Soit \(f \colon X \to S\) propre et plat, à fibres géométriquement intègres et \((S_2)\), avec \(S\) localement noethérien, normal et irréductible de point générique \(\eta\). On suppose que \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) existe et est essentiellement propre — ce qui a lieu si \(f\) est lisse, ou si \(X = S \times_k Y\) avec \(Y\) normal sur un corps \(k\). Soit \(D\) un cycle de codimension \(1\) sur \(X\) tel que a) le support \(Z\) de \(D\) ne contienne aucune composante d'une fibre, et b) \(D_\eta\) soit un diviseur de Cartier. Alors \(D\) est un diviseur de Cartier.⁵¹

La démonstration (pages 104 à 109, \(D \geq 0\)) : \(D_\eta\) définit une section rationnelle de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) ; si \(T\) est l'adhérence de son domaine de définition, \(T \to S\) est birationnel et surjectif par la propreté essentielle, et il suffit, par le théorème principal de Zariski, \(S\) étant normal, de voir que ses fibres sont finies. Le lemme : pour \(t \in T\) au-dessus de \(s\), le faisceau \(L_t\) que \(t\) définit sur une clôture algébrique est défini par un diviseur de Cartier positif contenu dans \(Z\). On le voit sur un anneau de valuation discrète \(V\) dominant \(\mathcal{O}_{T,t}\) : \(Z\) est universellement ouvert sur \(S\) par le théorème de Chevalley, puisqu'aucune de ses composantes ne contient de composante de fibre ; la section rationnelle canonique, multipliée par une puissance convenable de l'uniformisante, devient une pseudo-section régulière de diviseur \(D'\) transversal aux fibres, et \(\operatorname{supp} D'_{s'} \subset (\overline{Z'_{\eta'}})_{s'} = Z'_{s'}\). On construit ensuite un faisceau inversible \(L\) sur \(X\) prolongeant \(L_\eta\), une section de diviseur \(D'\) transversal aux fibres avec \(D'_\eta = D_\eta\) ; la différence \(D - D'\) est nulle sur \(X_\eta\) et ne contient aucune composante de fibre, donc est nulle, puisque ses composantes seraient, au-dessus des points de codimension \(1\) de \(S\), des fibres intègres.⁵²

Deux questions suivent : les conclusions restent-elles vraies si l'on suppose seulement que le foncteur de Picard est essentiellement propre, par exemple pour \(f\) lisse ? Et, pour \(f\) une intersection complète relative de dimension relative \(\geq 3\) sur une base normale irréductible, sans aucune hypothèse sur Picard ? Un corollaire (page 110) applique le théorème à une relation d'équivalence propre et plate \(R \rightrightarrows X\), à fibres intègres et \((S_2)\), sur \(X\) normal intègre : un cycle de codimension \(1\) sur \(X\) dont l'image inverse vérifie a) et b) relativement à \(R \to X\) est un diviseur de Cartier. La démonstration (pages 111 à 113) passe par l'ouvert où les deux projections sont lisses ; la page 111 est barrée de trois traits.

115–123

Séparation : unités et diviseurs à support dans les fibres (pages 114 à 123)

La chemise porte « Séparation de Picard ». Le problème est celui de la lettre à Murre : un faisceau trivial sur la fibre générique est défini par un diviseur à support dans les fibres, et l'on veut que ce diviseur soit un multiple de la fibre.

Lemme 1 (page 115). Soient \(A\) un anneau noethérien réduit, \(f \in A\) non diviseur de zéro, \(\mathfrak{p}_i\) les idéaux premiers associés à \(fA\), et supposons \(A/fA\) réduit, c'est-à-dire \(fA = \bigcap \mathfrak{p}_i\), et la normalisée \(\tilde{A}\) égale à l'intersection des \(A_{\mathfrak{p}}\), \(\mathfrak{p}\) de hauteur \(1\). Alors \[ A^* = A_f^* \cap \bigcap_i A^*_{\mathfrak{p}_i} . \] Démonstration : \(B = A_f \cap \bigcap A_{\mathfrak{p}_i}\) est contenu dans chaque \(A_{\mathfrak{p}}\) de hauteur \(1\) — un tel \(\mathfrak{p}\) contenant \(f\) est un \(\mathfrak{p}_i\) — donc dans \(\tilde{A}\). Si \(x = a/f^k \in B\) avec \(k \geq 1\) minimal, une équation de dépendance intégrale donne \(a^n \in f^kA \subset fA = \bigcap \mathfrak{p}_i\), d'où \(a \in fA\), contre la minimalité : \(B = A\), et les unités suivent.⁵³

Les corollaires (pages 117 et 120) : si \(Z\) est affine sur \(X\) réduit, localement noethérien, à anneaux locaux « bons » (complétés satisfaisant une condition de finitude et la condition des chaînes), \(f\) une fonction non diviseur de zéro avec \(\mathcal{O}_X/f\) réduit, \(Y = V(f)\) de composantes \(Y_i\) de points génériques \(y_i\), alors une section rationnelle de \(Z\) définie sur \(X_f\) et aux \(y_i\) est définie partout ; une fonction rationnelle est inversible si elle l'est sur \(X_f\) et aux \(y_i\) ; et, si une section \(g\) de \(\mathcal{O}_X\) sur \(X_f\) est entière sur \(\mathcal{O}_X\), elle est définie partout (lemme 2) ; enfin l'on a une suite exacte \(0 \to A^* \to A_f^* \to \mathbf{Z}^I\), avec \(A_f^* \simeq A^* \times \mathbf{Z}\), \(t = \varepsilon f^n\), quand \(Y\) est irréductible.⁵⁴

Corollaires 3 et 4 (pages 121 à 123). Sous ces conditions, un diviseur \(D\) sur \(X\) nul sur \(X_f\) et dont le coefficient sur chaque \(Y_i\) est le même entier \(n\) est \(n\,\operatorname{div}(f)\). Si \(Y\) est « connexe par incidence » — deux composantes se joignent par une chaîne de composantes dont les intersections deux à deux contiennent des composantes irréductibles communes —, tout diviseur nul hors de \(Y\) est un multiple de \(\operatorname{div}(f)\). La démonstration écrit localement \(D = \frac1n \operatorname{div} t\) et, sur chaque composante \(X_i\), \(t_i = \varepsilon_i f_i^{n_i}\) ; sur une composante \(Z_{ij}\) de \(X_i \cap X_j\), si \(n_i > n_j\), on aurait \(f_{ij}^{n_i - n_j} = \varepsilon_{ji}/\varepsilon_{ij}\), donc \(f\) inversible sur \(Z_{ij}\), où il s'annule : \(n_i = n_j\).⁵⁵

Théorème (page 123). Soient \(f \colon X \to Y\) propre et séparable, \(Y\) localement noethérien, et \(L\) un faisceau inversible sur \(X\). Il existe un plus grand sous-schéma fermé \(Y'\) de \(Y\) au-dessus duquel \(L\) provient d'un faisceau sur la base, et sa formation commute au changement de base. La page s'arrête sur cette formule, avant les hypothèses précises sur les fibres ; l'énoncé, ainsi tronqué, est celui qui fait de la séparation de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) la fermeture du lieu où un faisceau devient trivial.⁵⁶

125–139

Théorèmes d'existence relatifs (pages 124 à 139)

Le principe : recoller par descente (pages 125 à 128)

Proposition. Soient \(f \colon X \to S\) et \(f' \colon X' \to S'\) se factorisant en \(X \xrightarrow{f_1} \Sigma \xrightarrow{f_2} S\) et \(X' \xrightarrow{f'_1} \Sigma' \to S\), munis de sections \(g\), \(g'\) sur \(\Sigma\), \(\Sigma'\), et \(p \colon X' \to X\) ; soient \(Z = g(\Sigma)\) et \(Z'\), \(Z''\) ses images inverses dans \(X'\) et \(X'' = X' \times_X X'\). On suppose : (i) \(f_1\), \(f'_1\) et \(Z'' \to S\) plats, \(f_1\) et \(p\) propres ; (ii) \(f_{1*}\mathcal{O}_X \simeq \mathcal{O}_\Sigma\) et \(f'_{1*}\mathcal{O}_{X'} \simeq \mathcal{O}_{\Sigma'}\) ; (iii) \(Z' \to Z\) est un morphisme de descente universel pour les Modules inversibles ; (iv) \(p \colon X' \to X\) est un morphisme de descente effective universel pour les Modules inversibles ; (v) \(g'\) est une section sur \(Z'\). Alors \(\mathrm{Pic}_{X/S} \to \prod_{\Sigma'/S}\mathrm{Pic}_{X'/\Sigma'}\) est représentable par des morphismes affines ; si \(\mathrm{Pic}_{X'/\Sigma'}\) existe, \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) aussi, et le morphisme est affine.

Démonstration : grâce aux sections, \(\mathrm{Pic}_{X/S}(T)\) est l'ensemble des faisceaux inversibles sur \(X_T\) \(g\)-rigidifiés. Étant donné \(L'\) sur \(X'\) rigidifié, le foncteur des \(L\) rigidifiés sur \(X_T\) tels que \(p^*L \simeq L'\) est représentable par un schéma affine sur \(S\). En effet \(L\) équivaut à une donnée de descente : un isomorphisme \(\varphi \colon q_1^*L' \to q_2^*L'\) sur \(X''_T\) et une rigidification \(\psi \colon \mathcal{O}_{Z'} \to i'^*L'\), soumis à la transitivité \(r_2^*\varphi \circ r_1^*\varphi = r_3^*\varphi\) sur \(X'''\) et à la compatibilité \(\bar q_2^*\psi = i''^*\varphi \circ \bar q_1^*\psi\) sur \(Z''\), avec une troisième condition sur \(\Sigma'\) que le bord de la feuille coupe. Les isomorphismes entre faisceaux inversibles sur des schémas propres et plats sont paramétrés par des schémas affines \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) sur \(S\), et les conditions disent que des couples de morphismes \(K \rightrightarrows M\), \(L \rightrightarrows N\) s'égalisent : le foncteur est représenté par un sous-schéma fermé d'un schéma affine. Les notations sont celles du diagramme de la page 126 :⁵⁷

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X & X' \arrow[l, "p"'] & X'' \arrow[l, "{q_1, q_2}"'] & X''' \arrow[l, "{r_1, r_2, r_3}"'] \\
Z \arrow[u, "i"] & Z' \arrow[u, "{i'}"] \arrow[l, "\bar{p}"] & Z'' \arrow[u, "{i''}"] \arrow[l, "{\bar{q}_1, \bar{q}_2}"'] & \\
\Sigma \arrow[u, "g"] & \Sigma' \arrow[u, "{\bar{g}'}"'] & &
\end{tikzcd}

Corollaire (page 128). Si \(X\) est séparable et complet sur un corps \(k\), de composantes irréductibles réduites \(X_i\), alors \(\mathrm{Pic}_{X/k} \to \prod_i \mathrm{Pic}_{X_i/k}\) est représentable par des morphismes affines ; si les \(\mathrm{Pic}_{X_i/k}\) existent, \(\mathrm{Pic}_{X/k}\) existe. Lemme (page 130). De même pour \(X = X_1 \cup X_2\) avec \(X_1\), \(X_2\) fermés séparables : on se ramène, par changement de base fidèlement plat, au cas où \(X_1 \cap X_2\) a un point rationnel, et l'on applique la proposition à \(X' = X_1 \amalg X_2\).

Le noyau pour un morphisme surjectif (pages 132 et 134)

Théorème. Soit \(f \colon X \to Y\) un morphisme surjectif de schémas propres sur un corps \(k\). Le noyau de \(\mathrm{Pic}_{Y/k} \to \mathrm{Pic}_{X/k}\) est extension d'un groupe fini par un groupe affine ; si les schémas de Picard existent, il est affine. Le morphisme induit sur les groupes de Néron–Severi modulo torsion est injectif, et les parties abéliennes (définies à isogénie près) se correspondent par un morphisme à noyau fini.⁵⁸

La démonstration esquissée : a) on suppose \(k\) algébriquement clos ; b) on se ramène à \(Y\) réduit, \(\mathrm{Pic}_{Y} \to \mathrm{Pic}_{Y_{\mathrm{red}}}\) étant affine ; c) par la factorisation de Stein \(X \to Y' \to Y\), avec \(Y' \to Y\) fini surjectif, produit d'épimorphismes stricts finis, pour lesquels \(\mathrm{Pic}_Y \to \mathrm{Pic}_{Y'}\) est affine « par Seshadri », on se ramène au cas \(f_*\mathcal{O}_X \simeq \mathcal{O}_Y\) ; d) où le morphisme est un monomorphisme. C'est le point (i) de la lettre à Murre du 18 juillet 1962, sur un corps.⁵⁹

\(\mathrm{Pic}\) relatif et suite de Leray (pages 137 à 139)

Soit \(f \colon X \to S\) se factorisant en \(X \xrightarrow{\varphi} \Sigma \xrightarrow{\psi} S\), \(\psi\) fini et \(\varphi_*\mathcal{O}_X \simeq \mathcal{O}_\Sigma\). La suite spectrale de Leray donne une suite exacte \[ 0 \to \mathrm{Pic}(\Sigma) \to \mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}'(X/S) , \] où \(\mathrm{Pic}'(X/S)\) désigne les sections globales du faisceau \(R^1 f_*\mathbf{G}_m\) ; la dernière flèche est surjective si \(X/\Sigma\) a une section \(g\). En effet, les faisceaux \(g\)-rigidifiés n'ont pas d'automorphisme non trivial, et tout \(L\) est équivalent au faisceau rigidifié \(L \otimes \varphi^*g^*L^{-1}\).⁶⁰ Pour \(S' \to S\) fidèlement plat quasi-compact, \(\mathrm{Pic}'(X/S) \to \mathrm{Pic}'(X'/S')\) est injectif, et la suite de descente \(\mathrm{Pic}'(X/S) \to \mathrm{Pic}'(X'/S') \rightrightarrows \mathrm{Pic}'(X''/S'')\) est exacte si \(X/\Sigma\) a localement des sections ; d'où l'injectivité de \(\mathrm{Pic}'\) dans le faisceau associé, bijectif sous la même condition. La page 138, écrite tête-bêche, est un premier essai abandonné.

141–154

Le Picard des schémas en courbes (pages 140 à 154)

Une obstruction pour une courbe épointée (pages 141 à 144)

Soient \(f \colon X \to S\) projectif et lisse à fibres géométriques connexes de dimension \(1\), \(Y \subset X\) un sous-schéma fermé étale sur \(S\) (par exemple une réunion disjointe de sections \(g_i(S)\), \(i \in I\)), \(U = X - Y\), et \(n\) inversible sur \(S\). La suite spectrale de Leray à supports propres \[ E_2^{pq} = H^p(S, R^q_! f_U\, \mu_n) \Longrightarrow H^*_c(U, \mu_n) \] n'a que deux lignes, \(R^1_! f_U\mu_n = E[n]\) et \(R^2_! f_U\mu_n = \mathbf{Z}/n\), et la différentielle \(d_2 \colon E_2^{0,2} = H^0(S, \mathbf{Z}/n) \to E_2^{2,1}\) fournit un élément canonique \(\xi_n \in H^2(S, E[n])\), d'où, pour \(n = \ell^\nu\), une classe \(\xi(\ell) \in H^2(S, T_\ell(E))\) ; elle est nulle si \(U\) a une section sur \(S\).

Ici \(E\) est la jacobienne généralisée de \(X\) relativement au module \(Y\) : on contracte \(Y\) en \(S\), en prenant le conoyau \(Z\) de \(X \amalg (Y \times_S Y) \rightrightarrows X\), et l'on pose \(E = \mathrm{Pic}^0_{Z/S}\). C'est un schéma en groupes lisse à fibres connexes, extension de la jacobienne \(J = \mathrm{Pic}^0_{X/S}\) par le tore \(T = (\prod_{Y/S}\mathbf{G}_m)/\mathbf{G}_m\). Le torseur \(P = \mathrm{Pic}^1_{Z/S}\) sous \(E\), qui reçoit \(U\), a une classe \(\eta \in H^1(S, E)\), et la page écrit \(\xi_n = \partial_n(\eta)\), \(\partial_n\) le cobord de la suite de Kummer \(0 \to E[n] \to E \to E \to 0\), avec en marge « à vérifier …… ». L'image de \(\eta\) dans \(H^1(S, J)\) est la classe du torseur \(\mathrm{Pic}^1_{X/S}\) ; si \(X\) a une section, \(\eta\) vient de \(H^1(S, T)\), et la suite \(0 \to \mathbf{G}_m \to \prod_{Y/S}\mathbf{G}_m \to T \to 0\) donne, quand elle est scindée, \(H^1(S, T) \simeq \mathrm{Pic}(Y)/\operatorname{Im}\mathrm{Pic}(S)\) ; pour \(Y\) réunion de sections, \(\mathrm{Pic}(S)^I/\mathrm{Pic}(S)\). Si \(\mathrm{Pic}(S) = 0\), \(\eta\) et les \(\xi_n\) sont nuls.

Le Picard d'une courbe réduite (pages 146 à 150)

Soit \(C\) une courbe complète, réduite et connexe sur \(k\) algébriquement clos, de composantes \(C_i\) (\(c_0\) d'entre elles), de normalisée \(\tilde{C} = \coprod \tilde{C}_i\), et de points singuliers \(p_\alpha\). La suite \(0 \to \mathcal{O}^*_C \to \tilde{\mathcal{O}}^*_C \to \bigoplus_\alpha \tilde{\mathcal{O}}^*_{p_\alpha}/\mathcal{O}^*_{p_\alpha} \to 0\) donne \[ 0 \to \mathbf{G}_m \to \prod_{C_i}\mathbf{G}_m \to \prod_\alpha A_{p_\alpha} \to \mathrm{Pic}_{C/k} \to \prod_i \mathrm{Pic}_{\tilde{C}_i/k} \to 0 , \] où \(A_{p} = \tilde{\mathcal{O}}^*_{p}/\mathcal{O}^*_{p}\) est un groupe algébrique de dimension \(\delta_p = \dim_k \tilde{\mathcal{O}}_p/\mathcal{O}_p\). La partie linéaire de \(\mathrm{Pic}^0_{C/k}\) est \(G = \prod_\alpha A_{p_\alpha} / (\prod \mathbf{G}_m/\mathbf{G}_m)\), de dimension \(\sum_\alpha \delta_\alpha - c_0 + 1\).⁶¹

Elle se décompose en partie multiplicative et partie additive : \(\delta_\alpha = \delta'_\alpha + \delta''_\alpha\), où \(\delta'_\alpha = r_\alpha - 1\), \(r_\alpha\) le nombre de branches formelles en \(p_\alpha\). Alors \[ \dim G_{\mathrm{mult}} = \sum_\alpha (r_\alpha - 1) - c_0 + 1, \qquad \dim G_{\mathrm{add}} = \sum_\alpha \delta''_\alpha . \] La première est un invariant topologique : c'est le premier nombre de Betti du graphe qui relie les composantes aux points singuliers par les branches, le rang du conoyau de \(\prod \pi_1(\tilde{C}_i) \to \pi_1(C)\), ce que la page appelle « le nombre des cycles combinatoires » ; c'est le rang torique. On a en tout cas \[ g = \dim \mathrm{Pic}_{C/k} = \sum_i g_i + \rho + \sigma , \] \(g_i\) le genre de \(\tilde{C}_i\), \(\rho\) le rang torique et \(\sigma\) la somme des multiplicités additives.⁶²

\(\mathrm{Pic}^0_{C/k}\) n'a pas de partie additive si et seulement si \(\delta_\alpha = r_\alpha - 1\) en chaque point, singularité du type de \(r\) droites concourantes en position générale ; il est abélien si de plus le graphe est un arbre, et alors les \(C_i\) sont lisses, puisque \(\mathrm{Pic}^0_{C_i}\) est un quotient de \(\mathrm{Pic}^0_C\), et deux composantes se coupent en au plus un point.⁶³

Courbes stables (pages 152 et 154)

Les pages 152 et 154 sont couvertes de croquis de courbes à composantes rationnelles et elliptiques se coupant transversalement, et d'un décompte : la somme, sur les composantes, de \(3g_i - 3 + \nu_i\), \(\nu_i\) le nombre de points doubles sur \(C_i\), avec une correction \(\lambda\) pour les composantes rationnelles à deux points doubles. Dans les variables de la page — \(c_0\) composantes, \(c_1\) points doubles, \(\rho\) cycles, \(\sum \nu_i = c_0 - 1 + \rho + c_1\), \(\sum g_i = g - \rho\) — le total s'écrit \[ 3g - 3 - \bigl[2(c_0 + \rho) - c_1 - \lambda - 2\bigr] = 3g - 3 - (c_1 - \lambda) , \] puisque \(\rho = c_1 - c_0 + 1\) pour une courbe à points doubles ordinaires : chaque point double coûte une dimension. C'est le décompte qu'on fait aujourd'hui pour la strate de l'espace des courbes stables de genre \(g\) formée des courbes de graphe dual donné, de codimension le nombre de points doubles ; la page ne nomme ni stabilité ni espace de modules, et rien ne date ce feuillet.⁶⁴

157–163

Plongements projectifs et foncteur de Picard (pages 156 à 163)

La chemise porte « Foncteurs de Picard, Diviseurs… ». Soient \(X\) projectif sur \(S\), \(L\) très ample avec \(E = f_*L\) localement libre de rang \(N + 1\), et \(i \colon X \to \mathbf{P}(E)\).⁶⁵ Les pages 157 et 159 écrivent quatre équivalences de données :

A) une base de \(E\) ; un isomorphisme \(\mathbf{P}^N_S \simeq \mathbf{P}(E)\) et un isomorphisme du faisceau \(\mathcal{O}(1)\) ramené sur \(X\) avec \(L\) ; un morphisme \(g \colon X \to \mathbf{P}^N_S\) et un isomorphisme \(g^*\mathcal{O}(1) \simeq L\), tels que \(H^0\) de \(\mathcal{O}(1)\) s'envoie isomorphiquement sur \(f_*L\) — condition qui ne dépend que de la classe de \(g\) ;

A\('\)) les mêmes données modulo \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S^*)\) : une classe de bases, un isomorphisme \(\mathbf{P}^N_S \simeq \mathbf{P}(E)\), un morphisme \(g\) tel que \(g^*\mathcal{O}(1) \simeq L\) relativement à \(S\) et « spécial », c'est-à-dire induisant un isomorphisme sur les \(H^0\) ;

A\(''\)) et A\('''\)) les mêmes, quand le faisceau n'est donné que comme section du foncteur de Picard : une \(S\)-donnée de faisceau inversible et une trivialisation projective équivalent à un morphisme spécial \(X \to \mathbf{P}^N_S\) ; une donnée de faisceau « morphique et spécial » équivaut à un fibré de Brauer–Severi associé à un fibré principal de groupe \(\mathrm{PGL}(N+1)\) et à un morphisme \(GP(N)\)-équivariant vers lui.

La conclusion, page 159 : \(\mathrm{PGL}(N+1)\) opère sans points fixes sur l'ouvert \(\mathrm{Hom}^{\mathrm{spéc}}_S(X, \mathbf{P}^N)\) du schéma des morphismes, et les données A\('''\)) correspondent aux sections du quotient. C'est la construction, annoncée dans la lettre à Murre des pages 19 à 22, des grands ouverts de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) comme quotients d'un schéma de plongements par le groupe projectif.⁶⁶

Diviseurs et Picard : la suite tangente (page 163)

Pour un diviseur \(Y \subset X\) de faisceau \(L = \mathcal{O}_X(Y)\), la suite \(0 \to \mathcal{O}_X \to L \to L|_Y \to 0\) donne \[ 0 \to \mathcal{O}_S \to f_*L \to f_*(L|_Y) \to R^1 f_*\mathcal{O}_X \to R^1 f_*L \to R^1 f_*(L|_Y) \to R^2 f_*\mathcal{O}_X , \] où la page lit, sous les termes, le fibré projectif de \(\mathrm{Div}\) sur \(\mathrm{Pic}\), l'espace tangent de \(\mathrm{Div}\) en \(Y\) et l'espace tangent de \(\mathrm{Pic}\), puis les obstructions de l'un et de l'autre.⁶⁷

165–170

Pseudo-morphismes et diviseurs (pages 165 à 170)

La feuille porte en tête « AK », que rien ici n'explique, et « Pseudomorphismes ». Un ouvert \(U\) de \(X\) est schématiquement dense si aucune section non nulle de \(\mathcal{O}_X\) sur un ouvert \(V\) ne s'annule sur \(U \cap V\) ; la notion est locale, stable par intersection finie, et coïncide avec la densité si \(X\) est réduit. Si \(Y\) est séparé sur \(S\), deux \(S\)-morphismes \(X \to Y\) qui coïncident sur un ouvert schématiquement dense sont égaux. Un pseudo-morphisme est une classe de morphismes définis sur des ouverts schématiquement denses ; vers un \(Y\) séparé il a un plus grand domaine de définition, avec \(\mathrm{Dom}(f|_V) = \mathrm{Dom}(f) \cap V\), et les pseudo-morphismes forment un faisceau. Pour \(X\) réduit, ce sont les applications rationnelles ; pour \(Y = X[t]\), on obtient le faisceau d'anneaux des pseudo-fonctions, qui contient \(\mathcal{O}_X\).

Pages 168 à 170, sur une variété normale irréductible \(X\) de dimension \(n\), de corps des fonctions \(K\) : l'anneau local d'un diviseur premier \(V\) est de valuation discrète, d'où \(\operatorname{div} f = \sum v_V(f)\,V\), somme finie ; et \(\operatorname{div} f \geq 0\) si et seulement si \(f\) est partout définie, parce qu'un anneau normal noethérien est l'intersection de ses localisés en les premiers de hauteur \(1\). L'ensemble des points où \(f\) n'est pas définie est la réunion des \(V\) où \(v_V(f) < 0\).⁶⁸

Théorème (page 169). Une application rationnelle d'une variété normale de dimension \(n\) vers une variété complète est définie hors d'une partie de dimension \(\leq n - 2\). Deux démonstrations : a) le graphe donne un morphisme birationnel propre \(g\) vers \(X\) ; le lieu \(X'\) des points à fibre de dimension \(> 0\) est de dimension \(\leq n - 2\), sinon \(g^{-1}(X')\) serait de dimension \(n\), et hors de \(X'\), \(g\) est un isomorphisme par le théorème principal de Zariski ; b) en chaque diviseur premier, l'anneau local est de valuation discrète, et le critère valuatif des variétés complètes donne une localité de la variété but dominée par lui. La seconde n'utilise que la régularité en codimension \(1\), et c'est pour elle que la généralisation notée en marge est juste.

172–182

Le foncteur de Picard (pages 172 à 182)

Ces pages définissent l'objet du dossier. Pour \(X\) sur \(S\) et \(X' = X \times_S S'\), on pose \[ \mathrm{Pic}^{\mathrm{pré}}_{X/S}(S') = \mathrm{Pic}(X') = H^1(X', \mathcal{O}^*_{X'}), \qquad \mathrm{Pic}'_{X/S}(S') = \Gamma\bigl(S', R^1 f'_*\mathcal{O}^*_{X'}\bigr) , \] et l'on passe du premier au second en remplaçant la topologie grossière par celle des recouvrements de Zariski.⁶⁹

Proposition 1. Si \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\), il y a un monomorphisme canonique \(\mathrm{Pic}(X)/\mathrm{Pic}(S) \to \mathrm{Pic}'(X/S)\), isomorphisme si \(X/S\) a une section. En effet, le foncteur \(F \mapsto f^*F\) des faisceaux localement libres sur \(S\) vers ceux de \(X\) est pleinement fidèle, d'inverse \(f_*\) sur son image, et la suite exacte des termes de bas degré de Leray s'écrit \[ 0 \to H^1(S, \mathcal{O}^*_S) \to H^1(X, \mathcal{O}^*_X) \to H^0(S, R^1 f_*\mathcal{O}^*_X) \to H^2(S, \mathcal{O}^*_S) \to H^2(X, \mathcal{O}^*_X) . \] Avec une section \(s\), la catégorie des faisceaux inversibles \(L\) munis d'un isomorphisme \(\mathcal{O}_S \simeq s^*L\) n'a pas d'automorphismes non triviaux, et tout élément de \(\mathrm{Pic}'(X/S)\) provient d'un tel \(L\) unique à isomorphisme unique près : on remplace \(L_i\) par \(L_i \otimes f^*s^*L_i^{-1}\) sur les ouverts d'un recouvrement et l'on recolle. « Question : donner une formulation cohomologique du raisonnement. »

Proposition 2. Si de plus \(X\) est quasi-compact et séparé sur \(S\) et \(S' \to S\) fidèlement plat et quasi-compact, alors \(\mathrm{Pic}'(X/S) \to \mathrm{Pic}'(X'/S')\) est injectif, et la suite \(\mathrm{Pic}'(X/S) \to \mathrm{Pic}'(X'/S') \rightrightarrows \mathrm{Pic}'(X''/S'')\) est exacte si \(X/S\) a localement des sections. Le point clé est qu'un faisceau localement libre sur \(X\) provient de \(S\) si et seulement si son image inverse sur \(X'\) provient de \(S'\), puisque \(f_*\) commute au changement de base plat. Si \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\) universellement et que \(X/S\) a localement des sections, \(\mathrm{Pic}'_{X/S}\) est un faisceau pour la topologie fidèlement plate quasi-compacte.

On définit alors \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) comme le faisceau associé à \(\mathrm{Pic}^{\mathrm{pré}}_{X/S}\) pour cette topologie, avec des morphismes \[ \mathrm{Pic}^{\mathrm{pré}}_{X/S} \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{Pic}'_{X/S} \xrightarrow{\ \beta\ } \mathrm{Pic}_{X/S} . \] La page signale un « ennui » : un recouvrement de Zariski d'un schéma non quasi-compact n'est pas majoré par un morphisme fidèlement plat quasi-compact, et il faut parler de morphismes de localisation fidèlement plate — c'est la précaution qu'on prend aujourd'hui dans la définition de la topologie fpqc. \(\alpha\) n'est pas injectif en général (son noyau est le Picard de la base), et surjectif si \(X/S\) a une section ; \(\beta\) est un monomorphisme si \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\) universellement, et surjectif si \(X\) a localement des sections. Exemple où \(\beta\) n'est pas surjectif : une variété de Brauer–Severi non triviale, l'obstruction étant dans \(H^2(S, \mathbf{G}_m)\). Ainsi \(\mathrm{Pic}^{\mathrm{pré}}\) n'est jamais représentable sauf cas triviaux, \(\mathrm{Pic}'\) ne peut l'être que si \(\beta\) est un isomorphisme, et \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) l'est « dans des cas suffisamment importants ».

Diviseurs relatifs (pages 179 à 182)

Un sous-schéma divisoriel \(Y\) de \(X\) transversal aux fibres est défini par un faisceau inversible \(L\) et une section de \(L\) non diviseur de zéro sur les fibres. Les \(Y\) dont le faisceau est isomorphe à un \(L\) donné correspondent à ces sections modulo \(\Gamma(S, f_*\mathcal{O}^*_X)\), donc modulo \(\mathcal{O}^*_S\) si \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\) ; à équivalence près sur \(S\), on obtient les sections de \((f_*L)^\circ/\mathcal{O}^*_S\), et de même pour la Picard-équivalence si \(X\) est quasi-compact et séparé et \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\) universellement. Si \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) et \(\mathrm{Div}_{X/S}\) existent, avec \(p \colon \mathrm{Div} \to \mathrm{Pic}\), ces sections sont celles de la fibre \(\mathrm{Div}^L_{X/S} = p^{-1}(\lambda)\) au-dessus de la section \(\lambda\) définie par \(L\) ; et si l'on dispose d'un faisceau de Poincaré \(\Lambda\) sur \(\mathrm{Pic}_{X/S} \times_S X\) (par exemple si \(X/S\) a une section), \(\mathrm{Div}_{X/S} \simeq \mathrm{Div}^{\Lambda}_{\mathrm{Pic}_{X/S} \times_S X / \mathrm{Pic}_{X/S}}\), ce qui permet d'étudier le schéma des diviseurs indépendamment de celui de Picard.

Proposition (page 182). Soit \(X\) propre et plat sur \(S\), à fibres géométriquement intègres, et supposons \(f_*(L \otimes_{\mathcal{O}_S} M) \simeq \mathcal{H}om(Q, M)\) fonctoriellement en \(M\) quasi-cohérent, pour un \(\mathcal{O}_S\)-module cohérent \(Q\) (ce qui est vrai si \(S\) est local et \(X\) projectif). Alors \(\mathrm{Div}^L_{X/S} \simeq \mathbf{P}(Q) = \operatorname{Proj}(\operatorname{Sym} Q)\).⁷⁰ D'où le corollaire : les conditions suivantes sont équivalentes : \(\mathrm{Div}^L_{X/S}\) est plat sur \(S\) en \(s\) ; il est lisse en \(s\) ; \(\operatorname{Sym}^n Q\) est libre en \(s\) pour \(n\) grand ; \(Q\) est libre en \(s\) ; \(L\) est cohomologiquement plat relativement à \(S\) ; \(f_*L \otimes k(s) \to H^0(X_s, L_s)\) est surjectif.

184–193

Le Picard des cônes et de leurs anneaux locaux (pages 183 à 193)

Le cône épointé

Soient \(X \subset \mathbf{P}^r_k\), \(C\) le cône affine de sommet \(a\), et \(C_a = \operatorname{Spec}\mathcal{O}_{C,a}\). \(C - a\) est un \(\mathbf{G}_m\)-torseur sur \(X\) de classe \(\xi\), celle de \(\mathcal{O}_X(1)\) ; donc, si \(X\) est régulier, \(\mathrm{Pic}(C - a) \simeq \mathrm{Pic}(X)/\mathbf{Z}\xi\). Grothendieck affirme que \(\mathrm{Pic}(C - a) \to \mathrm{Pic}(C_a - a) = \varinjlim_{U \ni a}\mathrm{Pic}(U - a)\) est un isomorphisme si \(X\) est régulier ; cela revient à dire qu'un diviseur \(D\) de \(C\) ne passant pas par \(a\) est équivalent à \(0\) sur \(C - a\).

On passe au cône projectif \(\hat{C}\), et à \(E = \hat{C} - a\), l'espace total d'un fibré en droites sur \(X\). Lemme. Si \(X\) est régulier, \(E\) l'espace total d'un fibré en droites sur \(X\) de section nulle \(g\), \(V = E - g(X)\), et \(D\) un diviseur sur \(E\) à support propre sur \(X\), alors \(D|_V \sim 0\). Si \(D\) est irréductible, défini par \(X' \subset E\) régulier, alors \(h \colon X' \to X\) est fini de degré \(d\), le fibré \(E' = E \times_X X'\) a une section tautologique \(q\), et, en calculant dans les groupes de classes de cycles, \[ D = h'_*(q_*1) = h'_*\bigl(f'^*h^*\xi_E\bigr) = h'_*h'^*\bigl(f^*\xi_E\bigr) = d\, f^*\xi_E , \] qui est nul sur \(V\). Le cas où \(X'\) est singulier se traite en retirant l'image de son lieu singulier.⁷¹ D'où, encadré, \[ \mathrm{Pic}(C - a) \simeq \mathrm{Pic}(C_a - a) \simeq \mathrm{Pic}(X)/\mathbf{Z}\xi , \] qui est le groupe des classes de diviseurs \(\mathrm{Cl}(\mathcal{O}_{C,a})\) quand \(C\) est normal.

Comparaison avec le complété

Soient \(S = C_a\) et \(\hat{S}\) le spectre du complété. On se demande si \(\mathrm{Pic}(S - a) \to \mathrm{Pic}(\hat{S} - \hat{a})\) est un isomorphisme. L'éclaté \(\tilde{C}\) de l'origine est le fibré en droites \(E = \mathbb{V}(\mathcal{O}_X(1))\), dont la section nulle \(X\) a pour idéal conormal \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 = \mathcal{O}_X(1)\) ; par le théorème d'existence, l'éclaté de \(\hat{S}\) est le complété formel \(\hat{E}\) de \(E\) le long de \(X\), et l'homomorphisme étudié est induit, modulo les classes du diviseur exceptionnel, par \[ \mathrm{Pic}(X) \simeq \mathrm{Pic}(E) \longrightarrow \mathrm{Pic}(\hat{E}) = \varprojlim_n \mathrm{Pic}(E_n), \] \(E_n\) le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(X\). Le composé avec \(\mathrm{Pic}(\hat{E}) \to \mathrm{Pic}(X)\) est l'identité : l'homomorphisme est injectif, et bijectif si et seulement si \(\mathrm{Pic}(\hat{E}) \to \mathrm{Pic}(X)\) est injectif. Le noyau de \(\mathrm{Pic}(E_n) \to \mathrm{Pic}(E_{n-1})\) est \(H^1(X, \mathcal{J}^n/\mathcal{J}^{n+1}) = H^1(X, \mathcal{O}_X(n))\).⁷²

Proposition (page 191). Pour que \(\mathrm{Pic}(S - a) \to \mathrm{Pic}(\hat{S} - \hat{a})\) soit bijectif, il suffit que \(H^1(X, \mathcal{O}_X(n)) = 0\) pour tout \(n \geq 1\) ; si \(\dim X = 1\), c'est nécessaire, car alors les transitions sont surjectives.

Pour une courbe plane lisse de degré \(d\), de genre \(g = 1 + \frac{d(d-3)}{2}\), \(H^1(X, \mathcal{O}_X(1))\) est dual de \(H^0(X, \mathcal{O}_X(d - 4))\), non nul dès que \(d \geq 4\) : la condition n'est vérifiée que pour \(d \leq 3\) — en particulier pour la cubique, c'est-à-dire le cône sur une courbe elliptique du tapuscrit des pages 2 à 12.⁷³

Remarques (pages 192 et 193). Si \(\dim X = 1\), le noyau de \(\mathrm{Pic}(\hat{E}) \to \mathrm{Pic}(X)\) est connexe et unipotent, et l'homomorphisme induit un isomorphisme sur les groupes des composantes, finis, isomorphes à \(\mathbf{Z}/d\mathbf{Z}\), \(d\) le degré de \(X\). Le résultat devrait valoir en dimension quelconque en caractéristique \(p > 0\) « à pro-isomorphisme près », les obstructions dans les \(H^2(X, \mathcal{O}_X(n))\) s'annulant pour \(n\) grand et étant tuées par \(p\) : le groupe de Néron–Severi local serait le même pour \(S\) et \(\hat{S}\) modulo des \(p\)-groupes, « en accord avec la théorie du groupe fondamental ». Enfin, avec le hensélisé \(S^h\), on a \(\mathrm{Pic}(S - a) \to \mathrm{Pic}(S^h - a) \to \mathrm{Pic}(\hat{S} - \hat{a})\), et la seconde flèche est peut-être toujours un isomorphisme, ce qu'on voit en dimension \(2\) par l'éclatement ; les courbes planes de degré \(\geq 4\) donnent alors des exemples où le groupe de Picard local d'un anneau et celui de son hensélisé diffèrent.⁷⁴

195–197

Structure locale de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) : les constituants de la torsion (pages 194 à 197)

La chemise porte « \(G^\tau\), \(G^0\) etc » et « Structure locale de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) ». Soient \(G\) un schéma en groupes commutatif de type fini sur \(S\) noethérien local, \(s\) le point fermé, \(s_i\) ses générisations immédiates. Pour \(t \in S\), on note \(\sigma(t)\) l'ordre du groupe fini \(G_t/G_t^0\). Les conditions considérées sont : (i) \(G\) est plat et \(G^0\) contient un sous-schéma abélien \(A\) de même ensemble sous-jacent ; (ii) un tel \(A\) existe et \(G/A\), fini, est plat ; (iii) \(\sigma\) est constante ; (iv) \(\sigma(s) = \sigma(s_i)\) pour tout \(i\). On a (i) \(\Leftrightarrow\) (ii) par la théorie des quotients plats (\(G \to G/A\) est fidèlement plat et projectif), et (ii) \(\Rightarrow\) (iii) \(\Rightarrow\) (iv), avec (iii) \(\Leftrightarrow\) (iv) quand les fibres sont toutes de même dimension ; si de plus \(S\) est réduit, toutes sont équivalentes.

Lemme. \(\sigma\) est semi-continue supérieurement. Elle est constructible, et sur un anneau de valuation discrète, si \(N\) est l'adhérence de la composante neutre générique — un sous-groupe plat — et \(Q = G/N\), fini, on a \[ \sigma(s) \geq \operatorname{rg} Q_s \geq \operatorname{rg} Q_{s'} = \sigma(s') , \] la première inégalité étant une égalité si et seulement si \(N\) est un schéma abélien, la seconde si et seulement si \(Q\) est plat. Ceci prouve (iv) \(\Rightarrow\) (ii) sur un anneau de valuation discrète, et, par une note marginale qui passe par le schéma de Hilbert et le critère valuatif, sur une base réduite.⁷⁵

Corollaire (page 197). Si les fibres sont connexes et de même dimension, ces conditions équivalent à l'égalité des rangs des \(G[n]\) dans les fibres, pour \(n\) un multiple fixé convenable des \(\sigma(t)^2\). Un encadré décompose enfin, pour un schéma de Picard en caractéristique \(p\), la longueur de la \(p^n\)-torsion en trois termes, étale, multiplicatif et unipotent, interprétés par \(\mathrm{Hom}(\pi_1(\bar{X}_s), \mathbf{Z}/p^n)\), la \(p^n\)-torsion de \(\mathrm{Pic}(\bar{X}_s)\), et le noyau de \(F^n\) sur \(H^1(\bar{X}_s, W_n)\).⁷⁶

200–211

Composante neutre, sous-groupe \(G^\tau\), partie constructible (pages 200 à 211)

Ces pages, au crayon et très rapides, ne se lisent que partiellement ; on donne les énoncés que la transcription porte.

Sur un corps (pages 200 à 205)

Soit \(G\) un schéma en groupes localement de type fini sur un corps \(k\). Alors : ses composantes connexes sont de type fini et irréductibles ; la composante neutre \(G^0\) est géométriquement irréductible et c'est un sous-groupe distingué ; une composante qui contient un point rationnel \(a\) est \(G^0 a\) ; le quotient \(G/G^0\) existe, étale, et \(G \to G/G^0\) est fidèlement plat ; plus généralement (corollaire de la page 202), \(G/H\) existe pour tout sous-groupe distingué \(H\), et \(G \to G/H\) est fidèlement plat. Démonstration, pour \(k\) algébriquement clos : \(G^0 \times G^0\) est connexe, donc \(G^0\) est un sous-groupe ; pour \(U\) un ouvert dense de \(G^0\) voisinage de \(e\), \(U \cdot U = G^0\), car si \(x \in G^0(k)\) les ouverts non vides \(U\) et \(xU^{-1}\) de l'irréductible \(G^0\) se rencontrent ; donc \(G^0\) est quasi-compact, de type fini ; il est irréductible, sinon tout point fermé serait, par translation, sur deux composantes irréductibles.

Pour \(G\) commutatif, soit \(\Gamma = G/G^0\), groupe discret. Les noyaux \(\Gamma[n]\) sont ouverts et fermés, et leur réunion \(\Gamma^\tau\) est un sous-groupe ouvert, l'ensemble des points dont un multiple est neutre ; sur un \(S\) quelconque, \(\Gamma^\tau(S)\) est la torsion de \(\Gamma(S)\). Elle est la réunion des sous-groupes finis de \(\Gamma\), et le plus petit sous-groupe dont le quotient soit sans torsion.⁷⁷ On définit \(G^\tau\) comme l'image inverse de \(\Gamma^\tau\) : c'est l'ensemble des points dont un multiple est dans \(G^0\), et le plus petit sous-groupe ouvert tel que \(G/G^\tau\) soit discret sans torsion. C'est le sous-groupe de torsion de \(G\) au sens de la théorie de Picard. La page 205 note que la stationnarité locale des \(\Gamma[n]\) vaut pour tout groupe localement fini, séparable ou non, mais que le cas radiciel est moins évident.

Un critère de quasi-compacité (pages 207 et 208)

Proposition. Soient \(f \colon X \to Y\) un morphisme séparé, localement de présentation finie et universellement ouvert, \(Y\) localement noethérien, dont les fibres sont propres. Alors \(f\) est quasi-compact.⁷⁸ On se ramène, par récurrence noethérienne, à trouver un ouvert non vide de \(Y\) au-dessus duquel \(f\) est quasi-compact, \(Y\) intègre de point générique \(\eta\). Soit \(V\) un ouvert quasi-compact contenant la fibre générique \(X_\eta\), propre ; quitte à restreindre \(Y\), \(V\) est propre sur \(Y\), donc fermé dans \(X\), et \(X - V\) est ouvert ; s'il était non vide, il rencontrerait la fibre générique par ouverture, alors que \((X - V)_\eta = \emptyset\). Donc \(X = V\). Le corollaire de la page 208 énonce la même chose pour une partie localement constructible \(Z\) de \(X\) dont chaque point a des générisations dans \(Z\) au-dessus de toute générisation de son image — ce qui remplace l'ouverture — et dont les fibres sont propres.

La partie première à \(p\) de \(\mathrm{Pic}^\tau\) (pages 209 à 211)

Proposition. Soient \(X\) projectif sur \(S\) noethérien, \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\) universellement, à fibres primaires, \(P = \mathrm{Pic}_{X/S}\), et \(P'\) la réunion des \(P'_s\), où \(P'_s\) est l'ensemble des éléments de \(P^\tau_s\) dont la classe dans \(P^\tau_s/P^0_s\) est d'ordre premier à la caractéristique de \(k(s)\). Si l'adhérence de tout point de \(P^\tau\) est quasi-compacte (ou si les \(P^0_s\) sont propres), \(P'\) est une partie constructible et quasi-compacte de \(P\).

Démonstration : par récurrence noethérienne, il suffit de le voir au-dessus d'un ouvert dense d'une base intègre de point générique \(\eta\). \(P'_\eta\) est un sous-groupe ouvert de type fini de \(P_\eta\) ; il s'étend en un sous-groupe ouvert \(H\) de \(P^\tau\) au-dessus d'un voisinage, fermé quitte à restreindre la base. Il reste à voir que \(H = P'\) : comme \(P^0_s\) est divisible par les entiers premiers à la caractéristique, il suffit que \(P_s[n] \subset H\) pour \(n\) inversible. Or \(P_s[n] = H^1(X_s, \mu_n)\), et au-dessus de l'ouvert où \(n\) est inversible, le foncteur \(H^1(X/S, \mu_n)\) est étale sur \(S\) : tout point de sa fibre spéciale est spécialisation d'un point de \(P_\eta[n] \subset H\), fermé.

Corollaires. Si les \(P^0_s\) sont propres et les groupes \(P^\tau_s/P^0_s\) d'ordre premier aux caractéristiques résiduelles, alors \(P^\tau\) est de type fini sur \(S\). Si la réunion \(P^0\) des \(P^0_s\) est fermée, \(P^\tau\) est fermé sous la même condition d'ordre.

213–223

Deux exemples où le schéma de Picard se dégrade (pages 213 à 223)

Une conique qui dégénère en deux droites (pages 213 à 218)

Soient \(S = \operatorname{Spec} k[t]\) et \(X = \operatorname{Proj} k[t][x, y, z]/(xy - tz^2)\), gradué en \(x, y, z\). L'idéal est premier, \(X\) est régulier et plat sur \(S\). Au-dessus de \(U = S - \{0\}\), \(X_U \simeq \mathbf{P}^1_U\) ; la fibre spéciale \(X_0\), \(xy = 0\), est la réunion de deux droites \(Y_1\), \(Y_2\) se coupant en un point. Les fibres ont \(H^i(\mathcal{O}) = 0\) pour \(i > 0\), et pour \(S'\) local sur \(S\), \(\mathrm{Pic}(X') \to \mathrm{Pic}(X'_0)\) est bijectif ; ce groupe vaut \(\mathbf{Z}\) si le point fermé de \(S'\) n'est pas au-dessus de \(0\), et \(\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}\) (les bidegrés) sinon.⁷⁹

Lemme c). Soient \(D_i\) les diviseurs de Cartier \(Y_i\) (\(X\) est régulier) et \(L_i = \mathcal{O}_X(D_i)\). Alors \(L_i|_{Y_i}\) est de degré \(-1\) et \(L_i|_{Y_j}\) de degré \(1\) pour \(i \neq j\) : \(D_1 + D_2 = \operatorname{div}(t) \sim 0\) et \(D_1 \cdot D_2 = 1\), les deux droites se coupant transversalement au point où \(X\) est localement \(xy = t\).⁸⁰

Deux sections \(s_1\), \(s_2\) de \(X/S\), données dans la carte affine \(xy = t\) par \((x, y) = (1, t)\) et \((t, 1)\), rencontrent chacune une seule des deux droites ; leurs diviseurs donnent des faisceaux de bidegrés \((1, 0)\) et \((0, 1)\). D'où une suite exacte \[ 0 \to \mathbf{Z} \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{Pic}(X) \xrightarrow{\ \beta\ } \mathbf{Z} \to 0 , \] \(\beta\) le degré sur la fibre générique et \(\operatorname{Ker}\beta\) engendré par la classe de \(D_1\) (puisque \(\mathrm{Pic}(X_U) = \mathrm{Pic}(\mathbf{P}^1_U) = \mathbf{Z}\), \(k[t, t^{-1}]\) étant principal), et la restriction \(\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(X_0) \simeq \mathbf{Z} \times \mathbf{Z}\) est bijective.

Le « Lemme f » de la page 216 affirme que le foncteur de Picard n'est pas représentable par un schéma localement de type fini ; sa démonstration, qui déborde sur la page 217, est barrée de diagonales. La page 218 fait le contraire : soit, pour un ensemble \(I\), le schéma \(S_I\) obtenu en recollant des copies \(S_i\) de \(S\), \(i \in I\), le long de \(U\) — la droite dont l'origine est dédoublée en autant de points qu'il y a d'indices. Pour \(n \in \mathbf{Z}\), soit \(I_n\) l'ensemble des couples \((p, q)\) avec \(p + q = n\), et \[ \mathfrak{P} = \coprod_{n \in \mathbf{Z}} S_{I_n} . \] Sa fibre en \(0\) est \(\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}\), sa fibre ailleurs \(\mathbf{Z}\), et \(\mathfrak{P}\) représente le foncteur de Picard. Le schéma de Picard existe donc, localement de type fini, mais n'est pas séparé, et ses composantes connexes ne sont pas quasi-compactes : un faisceau de degré \(n\) sur la conique générale a pour limites tous les bidegrés \((p, q)\) avec \(p + q = n\).⁸¹

La page 219 (« Autre exemple ») calcule le Picard d'un cône projectif : pour \(X\) projectif sur \(S\) local noethérien, engendré en degré \(1\), avec \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\), et \(\hat{C}\) le cône projectif, l'éclaté \(\hat{C}_X \to \hat{C}\) du sommet vérifie \(g_*\mathcal{O} = \mathcal{O}\), donc \(\mathrm{Pic}(\hat{C}) \to \mathrm{Pic}(\hat{C}_X)\) est injectif ; une classe dans l'image est triviale sur la section nulle, donc de la forme \(\mathcal{O}(n)\),⁸² et \[ \mathrm{Pic}(\hat{C}) \simeq \mathbf{Z}, \quad \text{engendré par } \mathcal{O}_{\hat{C}}(1) . \] La page 220 l'applique à la famille de quadriques \(x^2 + y^2 + z^2 - \lambda t^2 = 0\) sur la droite des \(\lambda\), qui dégénère en un cône quadratique en \(\lambda = 0\) : sur un anneau local où \(\lambda\) n'est pas inversible, le Picard vaut \(\mathbf{Z}\), engendré par \(\mathcal{O}(1)\), grâce à \(H^1(X'_0, \mathcal{O}) = 0\) ; là où \(\lambda\) est inversible, il vaut \(\mathbf{Z}^2\), engendré par les deux systèmes de génératrices (après extension convenable). Le rang du Picard des fibres géométriques saute de \(2\) à \(1\) à la dégénérescence.⁸³

Trois droites (pages 221 à 223)

Sur \(\mathbf{Z}[t]\), la famille de courbes planes \(xy(x + y + tz) = 0\) : trois droites formant un triangle pour \(t\) inversible, concourantes pour \(t = 0\). La famille est plate, ses composantes \(X_i\) sont des \(\mathbf{P}^1_S\), les intersections deux à deux sont des sections, et l'intersection triple est la fibre \(t = 0\). La page entreprend de calculer \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\) par descente le long de \(X_1 \amalg X_2 \amalg X_3 \to X\) et s'arrête là. Avec les formules des pages 146 à 150, la fibre générique a pour \(\mathrm{Pic}^0\) un tore \(\mathbf{G}_m\) (un cycle), la fibre spéciale un groupe additif \(\mathbf{G}_a\) (un point triple plan, \(\delta = 3\), trois branches) : c'est vraisemblablement ce que l'exemple doit montrer.⁸⁴

226–245

Picard formel et analytique : la lettre à Hironaka (pages 225 à 245)

La chemise porte « Schémas de Picard des schémas formels en car. 0, ou des schémas propres sur une algèbre analytique sur \(\mathbf{C}\) ». Elle contient une lettre dactylographiée en anglais, « Neuilly July 6 1962 », corrigée à l'encre, puis des notes.

La lettre

Elle suit une conversation du mardi précédent. Théorème. Soient \(f \colon X \to Y\) un morphisme propre d'espaces analytiques complexes, \(y \in Y\), \(Y_n\) le spectre analytique de \(\mathcal{O}_y/\mathfrak{m}_y^{n+1}\), \(X_n = X \times_Y Y_n\), \(\mathrm{Pic}(X_y) = (R^1 f_*\mathcal{O}^*_X)_y = \varinjlim_{U \ni y}\mathrm{Pic}(f^{-1}(U))\) et \(\mathrm{Pic}(\hat{X}_y) = \varprojlim \mathrm{Pic}(X_n)\), avec \(u \colon \mathrm{Pic}(X_y) \to \mathrm{Pic}(\hat{X}_y)\) et \(v_n \colon \mathrm{Pic}(\hat{X}_y) \to \mathrm{Pic}(X_n)\). Alors (i) le système \((\mathrm{Pic}(X_n))_n\) satisfait la condition de Mittag-Leffler, et même uniformément, au sens d'Artin–Rees ; (ii) \(\operatorname{Im} v_n = \operatorname{Im} v_n u\) est l'ensemble des images universelles de \(\mathrm{Pic}(X_n)\) ; (iii) \(u\) est un isomorphisme si et seulement si \((R^1 f_*\mathcal{O}_X)_y\) est de longueur finie. Plus précisément (i bis), dans le système des groupes analytiques \(\mathrm{Pic}_{X_n/\mathbf{C}}\), les groupes de Néron–Severi sont constants pour \(n\) grand, et noyaux et conoyaux des transitions sont des groupes vectoriels.

Corollaire 1. \(X\) est projectif au-dessus d'un voisinage de \(y\) si et seulement si chaque \(X_n\) est projectif ; c'est le cas si \(\dim X_0 \leq 1\).

La démonstration n'utilise que les théorèmes de Grauert de finitude et de comparaison pour les images directes et la suite exponentielle \(0 \to \mathbf{Z} \to \mathcal{O} \to \mathcal{O}^* \to 0\) ; elle vaut pour tout \(H^i(\mathcal{O}^*)\). Pour un schéma formel propre sur un anneau local complet de corps résiduel de caractéristique \(0\), l'analogue de (i) et (i bis) est vrai, avec une démonstration purement algébrique fondée sur l'absence de torsion des noyaux et conoyaux de \(\mathrm{Pic}_{X_{n+1}} \to \mathrm{Pic}_{X_n}\) et sur le théorème de finitude de Néron ; tout cela tombe en caractéristique \(> 0\).

Par le GAGA de Serre–Grauert–Remmert–Grothendieck, encore non écrit (« as yet unwritten ! »), le théorème donne une propriété intrinsèque des algèbres analytiques. Théorème. Soient \(A\) une algèbre analytique sur \(\mathbf{C}\), \(\hat{A}\) son complété, \(Y\), \(\hat{Y}\) les spectres, \(X\) propre sur \(Y\) et \(\hat{X} = X \times_Y \hat{Y}\). Alors \((\mathrm{Pic}(X_n))\) satisfait Mittag-Leffler–Artin–Rees ; \(\mathrm{Pic}(X)\) et \(\mathrm{Pic}(\hat{X})\) ont même image dans \(\mathrm{Pic}(X_n)\) ; et \(\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(\hat{X})\) est un isomorphisme si et seulement si \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\) est de longueur finie sur \(A\). Corollaire : \(X/Y\) est projectif si et seulement si \(\hat{X}/\hat{Y}\) l'est, si et seulement si chaque \(X_n/Y_n\) l'est.

Corollaire 2. Avec la résolution des singularités de Hironaka et la méthode de Mumford qui relie le groupe de Picard local de \(A\) à celui d'un schéma régulier qui le domine : si \(Y' = Y - \{y\}\) est régulier, alors \(\mathrm{Pic}(Y') \to \mathrm{Pic}(\hat{Y}')\) est un isomorphisme. Cela explique pourquoi Mumford a pu mettre sur le groupe des classes de diviseurs de \(A\) normal une structure de groupe analytique, qui « algébriquement » devrait plutôt exister pour le complété.

La lettre pose ensuite des questions. L'hypothèse de singularité isolée pourrait être remplacée par « \(A\) réduit » si l'on savait que \(R^1 f_*\mathcal{O}_X = 0\) pour toute résolution \(f\) ; Hironaka l'a démontré pour \(Y\) régulier, « but I wonder if this is really needed » — et une main a écrit au crayon en regard : « of course it is ». Grothendieck s'attend à des énoncés analogues pour \(\pi_1\) et les autres invariants topologiques, liés à l'annulation de ces invariants sur les fibres géométriques de \(\operatorname{Spec}\hat{A} \to \operatorname{Spec} A\), ce qui est facile pour \(\pi_0\) et vrai pour tout anneau hensélien « bon ». Il conjecture que la plupart de ces résultats valent pour tout « bon » anneau hensélien, en particulier, pour l'anneau local \(A\) d'une algèbre de type fini, que tout faisceau inversible sur \(\hat{Y}'\) provient d'un faisceau sur un voisinage étale \(Y_1\) de \(Y\) à extension résiduelle triviale — et demande ce que donne l'exemple de Mumford, p. 16 de son article. Un « bon » anneau est un quotient d'un anneau local régulier \(B\) tel que les fibres de \(\operatorname{Spec}\hat{B} \to \operatorname{Spec} B\) soient universellement régulières. La lettre se clôt sur des nouvelles personnelles.⁸⁵

Le Picard d'un schéma formel en caractéristique \(0\) (pages 232 à 244)

Lemme. Soit \(\varphi \colon G \to H\) un homomorphisme de type fini de groupes localement de type fini sur un corps \(k\). (i) Le morphisme induit \(\pi_0(\varphi) \colon G/G^0 \to H/H^0\) est de type fini, de noyau fini. (ii) Si \(\operatorname{Ker}\varphi\) est connexe, le conoyau de \(\pi_0(\varphi)\) et celui de \(\varphi\) ne changent pas quand on remplace \(\varphi\) par l'immersion de son image. (iii) Si de plus \(\operatorname{Coker}\varphi\) est géométriquement sans torsion, \(\pi_0(\varphi)\) est injectif et de conoyau sans torsion. Pour (iii), on se ramène à une immersion fermée d'un \(G\) discret ; alors \(H^0/(G \cap H^0)\) s'injecte dans le conoyau, sans torsion, ce qui force \(H^0\) à être vectoriel en caractéristique \(0\), et réduit à l'élément neutre en caractéristique \(p\) ; le sous-groupe fini \(G \cap H^0\) est donc nul.⁸⁶

Corollaire 1. Soit \((G_n)\) un système projectif de groupes commutatifs localement de type fini sur \(k\), tel que \(G_0/G_0^0\) soit de type fini et que chaque transition \(G_{n+1} \to G_n\) soit de type fini, de noyau connexe et de conoyau géométriquement sans torsion. Alors le système \((\pi_0(G_n))\) est essentiellement constant ; les systèmes \((G_n^0)\) et \((G_n)\) satisfont Mittag-Leffler ; et pour \(n \geq n_0\) le noyau de \(G_n \to G_{n_0}\) est vectoriel en caractéristique \(0\), presque radiciel en caractéristique \(p\). Corollaire 2. Si les noyaux des transitions sont unipotents et \(k\) parfait, le système \((G_n(k))\) satisfait Mittag-Leffler, puisque \(H^1(k, N) = 0\) pour un groupe unipotent connexe \(N\) sur un corps parfait.

Théorème (page 238). Soit \(\mathfrak{X}\) un schéma formel propre sur un anneau local noethérien complet \(A\) contenant un corps de caractéristique \(0\), de corps résiduel fini sur ce corps. Le système des \(\mathrm{Pic}_{X_n/k}\) satisfait les conditions du corollaire 1, et le système des \(\mathrm{Pic}_{X_n/k}(k)\) satisfait Mittag-Leffler. On utilise l'existence des \(\mathrm{Pic}_{X_n/k}\) (Murre ; Grothendieck–Oort dans le cas projectif), la théorie des obstructions d'Oort pour les noyaux et conoyaux des transitions, et le théorème de Néron pour \(\mathrm{Pic}_{X_0/k}\). Pages 242 et 244 : la suite exacte \(0 \to \mathrm{Pic}(X_n) \to \mathrm{Pic}_{X_n/k}(k) \to \check{H}^2(k'/k, M_n)\), \(M_n\) le groupe des unités de \(H^0(X_n, \mathcal{O}_{X_n})\), dont le système satisfait Mittag-Leffler, montre que \((\mathrm{Pic}(X_n))\) satisfait lui aussi Mittag-Leffler–Artin–Rees, et que les images universelles se correspondent. Corollaire. \(\mathfrak{X}/Y\) est projectif si et seulement si chaque \(X_n/Y_n\) l'est.⁸⁷

247–271

Un brouillon d'article : « Un théorème de géométrie analytique » (pages 247 à 271)

Le brouillon met en forme le théorème de la lettre à Hironaka. Il est écrit au verso de tapuscrits étrangers au dossier, et sa prose de liaison est rapide et largement illisible ; les énoncés et les formules passent.

§ 1. Le théorème analytique

Lemme 1.1. Si \(Y\) est une partie fermée d'un espace topologique \(X\) ayant un système fondamental de voisinages paracompacts, et \(F\) un faisceau abélien, \(\varinjlim_U H^*(U, F) \to H^*(Y, F|_Y)\) est un isomorphisme, \(U\) parcourant les voisinages de \(Y\). Corollaire 1.2. Pour \(f \colon X \to Y\) propre, \(Y\) localement compact, \((R^* f_*F)_y \simeq H^*(X_y, F|_{X_y})\).⁸⁸

Lemme 1.3 (Grauert). Pour \(f\) propre entre espaces analytiques complexes et \(F\) cohérent : les \(R^i f_*F\) sont cohérents ; avec \(Y_n\), \(X_n\), \(F_n\) comme plus haut, le système \((H^i(X_n, F_n))_n\) satisfait Mittag-Leffler, et \((R^i f_*F)^\wedge_y \to \varprojlim_n H^i(X_n, F_n)\) est un isomorphisme. Corollaire 1.4. Si \((R^i f_*F)_y\) est artinien, c'est-à-dire si \(y\) est isolé dans le support, \((R^i f_*F)_y \simeq \varprojlim_n H^i(X_n, F_n)\).

La suite exponentielle \(0 \to \mathbf{Z} \to \mathcal{O}_{X_n} \to \mathcal{O}^*_{X_n} \to 0\) donne un système projectif de suites exactes longues, avec \(H^i(X_n, \mathbf{Z}) = H^i(X_0, \mathbf{Z})\) constant et de type fini, et \(H^i(X_n, \mathcal{O}_{X_n})\) satisfaisant Mittag-Leffler ; on en déduit que noyaux et images satisfont Mittag-Leffler, les suites de sous-groupes de type fini d'un groupe de type fini dans un vectoriel complexe étant stationnaires. Proposition 1.5. \((H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n}))_n\) satisfait Mittag-Leffler, et l'on a une suite exacte \[ H^i(X_0, \mathbf{Z}) \to (R^i f_*\mathcal{O}_X)^\wedge_y \to \varprojlim_n H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n}) \to H^{i+1}(X_0, \mathbf{Z}) \to (R^{i+1} f_*\mathcal{O}_X)^\wedge_y . \] La comparaison avec la suite des tiges, par le diagramme (D),

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^i(X_0, \mathbf{Z}) \arrow[r] \arrow[d, no head, "="] & (R^if_*\mathcal{O}_X)_y \arrow[r] \arrow[d, "u^i"] & (R^if_*\mathcal{O}^*_X)_y \arrow[r] \arrow[d, "w^i"] & H^{i+1}(X_0, \mathbf{Z}) \arrow[r] \arrow[d, no head, "="] & (R^{i+1}f_*\mathcal{O}_X)_y \arrow[d, "u^{i+1}"] \\
H^i(X_0, \mathbf{Z}) \arrow[r] & (R^if_*\mathcal{O}_X)^{\wedge}_y \arrow[r] & \varprojlim_n H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n}) \arrow[r] & H^{i+1}(X_0, \mathbf{Z}) \arrow[r] & (R^{i+1}f_*\mathcal{O}_X)^{\wedge}_y
\end{tikzcd}

montre, par le lemme des cinq : a) \(w^i\) est injectif, puisque \(u^i\) et \(u^{i+1}\) le sont (théorème de Krull) ; b) \(w^i\) est un isomorphisme si et seulement si \(u^i\) est surjectif, c'est-à-dire si et seulement si \(y\) est isolé dans le support de \(R^i f_*\mathcal{O}_X\).⁸⁹

Remarque 1.7 (pages 255 et 257) : c'est le théorème de la lettre, pour \(\mathrm{Pic}(X_y) = (R^1 f_*\mathcal{O}^*_X)_y\) et \(\mathrm{Pic}(\hat{X}_y) = \varprojlim \mathrm{Pic}(X_n)\) ; la condition (iii) est vérifiée en particulier si \(f\) est un isomorphisme au-dessus de \(Y - \{y\}\). Corollaire 1.8. \(f\) est projectif au-dessus d'un voisinage de \(y\) si et seulement si chaque \(X_n\) est un espace algébrique projectif. Corollaire 1.9. Si les fibres sont de dimension \(\leq 1\), \(f\) est localement projectif, puisqu'un espace analytique compact de dimension \(\leq 1\) est projectif.⁹⁰ Remarque 1.10 (page 261) : les conditions de 1.8 ne suffisent pas en général à rendre \(f\) projectif ; on construirait des contre-exemples par éclatement au-dessus d'une partie discrète \(T\) de \(Y\), en des points à anneaux locaux factoriels. Remarque 1.11 : une démonstration purement algébrique, par \(\mathrm{Pic}\) et le théorème de Néron, est annoncée.⁹¹

§ 2. Application à la géométrie algébrique (pages 263 à 271)

Théorème 2.1. Soient \(A\) une algèbre analytique sur \(\mathbf{C}\), \(Y = \operatorname{Spec} A\), \(X\) propre sur \(Y\), et \(\hat{X} = X \times_Y \operatorname{Spf}\hat{A}\), de sorte que \(\mathrm{Pic}(\hat{X}) \simeq \varprojlim \mathrm{Pic}(X_n)\). Alors (i) \((\mathrm{Pic}(X_n))\) satisfait Mittag-Leffler ; (ii) \(\mathrm{Pic}(X)\) et \(\mathrm{Pic}(\hat{X})\) ont même image dans \(\mathrm{Pic}(X_n)\), les images universelles ; (iii) \(\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(\hat{X})\) est un isomorphisme dès que \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\) est de longueur finie, c'est-à-dire \(\operatorname{Supp} R^1 f_*\mathcal{O}_X \subset \{y\}\). Il se déduit de 1.7 par GAGA.

Corollaire 2.2. \(X\) est projectif sur \(Y\) si et seulement si \(\hat{X}\) l'est sur \(\operatorname{Spec}\hat{A}\), si et seulement si chaque \(X_n\) l'est sur \(Y_n\). Pour la dernière implication : soit \(n_0\) tel que l'image de \(\mathrm{Pic}(X_{n_0}) \to \mathrm{Pic}(X_0)\) soit universelle, et \(L_{n_0}\) ample sur \(X_{n_0}\) ; sa restriction à \(X_0\) se relève à \(\hat{X}\), donc, par 2.1 (ii), provient d'un \(L\) sur \(X\), ample par EGA III. Corollaire 2.3. Si \(\dim X_0 \leq 1\), \(X\) est projectif sur \(Y\).

Corollaire 2.4. Si \(A\) est réduite, normale, à singularité isolée en \(y\), et \(Y' = Y - \{y\}\), \(\hat{Y}'\) de même pour le complété, \(\mathrm{Pic}(Y') \to \mathrm{Pic}(\hat{Y}')\) est un isomorphisme.⁹² L'injectivité vient d'une réduction au cas de profondeur \(\geq 2\) ; pour la surjectivité, une résolution de Hironaka \(X \to Y\), isomorphe au-dessus de \(Y'\), avec \(X\) régulier, donne \[ \mathrm{Pic}(Y') \simeq \mathrm{Pic}(X)/\langle X_0^i \rangle, \qquad \mathrm{Pic}(\hat{Y}') \simeq \mathrm{Pic}(\hat{X})/\langle X_0^i \rangle , \] \(X_0^i\) les composantes de la fibre exceptionnelle, et 2.1 (iii) donne \(\mathrm{Pic}(X) \simeq \mathrm{Pic}(\hat{X})\), puisque \(R^1 f_*\mathcal{O}_X\) est supporté en \(y\).⁹³

Questions (page 271). Pour \(A\) local noethérien hensélien et « bon », \(X\) propre sur \(A\) : les images universelles dans \(\mathrm{Pic}(X_n)\) de \(\mathrm{Pic}(\hat{X})\) proviennent-elles de \(\mathrm{Pic}(X)\) ? En particulier, \(\hat{X}\) projectif entraîne-t-il \(X\) projectif, par exemple pour le hensélisé d'un anneau local de la géométrie algébrique sur \(\mathbf{C}\) ? Si \(\operatorname{Supp} R^1 f_*\mathcal{O}_X \subset \{y\}\), a-t-on \(\mathrm{Pic}(X) \simeq \mathrm{Pic}(\hat{X})\) ? Si \(Y\) est à singularité isolée, a-t-on \(\mathrm{Pic}(Y - \{y\}) \simeq \mathrm{Pic}(\hat{Y} - \{\hat{y}\})\) ? La deuxième et la résolution donneraient la troisième.⁹⁴

274–280

Schémas de Néron–Severi et polarisations (pages 273 à 280)

Les feuillets sont d'un autre papier et d'une autre encre que les précédents.

Définition. Un élément de \(\mathrm{Pic}(X/S)\) est numériquement équivalent à \(0\) si sa restriction à chaque fibre l'est ; la page précise : si un multiple se déforme en \(0\).⁹⁵ On note \(\mathrm{Pic}^\tau(X/S)\) le sous-groupe de ces éléments et \(\mathrm{NS}'(X/S) = \mathrm{Pic}(X/S)/\mathrm{Pic}^\tau(X/S)\). Pour \(S' \to S\) surjectif, \(\mathrm{Pic}^\tau(X/S)\) est l'image inverse de \(\mathrm{Pic}^\tau(X'/S')\), donc \(\mathrm{NS}'(X/S) \to \mathrm{NS}'(X'/S')\) est injectif. En rendant le foncteur \(S' \mapsto \mathrm{NS}'(X'/S')\) exact pour les morphismes fidèlement plats localement de type fini, on obtient \(\mathrm{NS}(X/S)\), l'ensemble des « polarisations » de \(X\) sur \(S\).⁹⁶

Quand \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) existe, avec \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\) ouvert, un élément de \(\mathrm{NS}(X/S)\) est un sous-schéma ouvert de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) qui est, localement pour la topologie fidèlement plate, un torseur trivial sous \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\). Proposition. Si \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) existe et \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\) est fidèlement plat de type fini sur \(S\), le foncteur \(\mathrm{NS}_{X/S}\) est représentable si et seulement si le quotient \(\mathrm{Pic}_{X/S}/\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\) existe, la projection étant fidèlement plate de type fini de noyau \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\) ; il est alors représenté par ce quotient. Corollaire 1. Ce schéma de Néron–Severi est alors non ramifié sur \(S\), et séparé si et seulement si \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\) est fermé dans \(\mathrm{Pic}_{X/S}\). Corollaire 2. Si \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\) est propre et plat et si \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) est réunion croissante d'ouverts quasi-projectifs stables par \(\mathrm{Pic}^\tau\) — ce qui découle, pour \(X\) projectif et plat, de ce que \(\mathrm{Pic}^\tau\) est de type fini —, le schéma de Néron–Severi existe, séparé et non ramifié. Il devrait exister dès que \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\) est plat et fermé, ce qui touche à la caractérisation des foncteurs représentables par des objets non ramifiés ; « au commencement ! », et même l'existence de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) ne semble pas indispensable.

Schémas polarisés (pages 278 à 280)

Soit \(X\) projectif, plat et « steinien » (\(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\)) sur \(S\) localement noethérien, avec \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) existant.⁹⁷ Les classes de faisceaux inversibles modulo \(\tau\)-équivalence sont les néronisations strictes ; en rendant ce foncteur compatible aux descentes fidèlement plates de type fini, on obtient les néronisations : une néronisation est donnée par un faisceau inversible \(L\) sur \(X_T\), \(T \to S\) fidèlement plat de type fini, tel que \(p_1^*L \otimes p_2^*L^{-1}\) soit \(\tau\)-équivalent à \(0\) sur \(X_{T \times_S T}\). Quand le schéma quotient \(\mathrm{Pic}_{X/S}/\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\) existe « raisonnablement », par exemple si \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\) est propre, les néronisations sont ses sections sur \(S\), ce qui justifie le nom.⁹⁸

Les classes de faisceaux relativement amples définissent un sous-foncteur ; ses sections sont les polarisations de \(X/S\). Elles forment un monoïde commutatif sans élément neutre ; deux polarisations \(\xi\), \(\xi'\) sont équivalentes s'il existe des entiers \(n, n' > 0\) avec \(n\xi = n'\xi'\). Les classes de polarisations correspondent aux demi-droites rationnelles d'un cône convexe \(C\) dans le \(\mathbf{Q}\)-espace vectoriel qu'il engendre — le cône ample. Toute polarisation est équivalente à une polarisation très ample.

282–291

Exemples (pages 281 à 291)

Dévissage pour un composé (page 282)

Pour \(X \xrightarrow{g} Y \xrightarrow{f} S\), avec \(g\) quasi-compact séparé et \(g_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\) universellement, on a une suite exacte \[ 0 \to \mathrm{Pic}_{Y/S} \to \mathrm{Pic}_{X/S} \to \textstyle\prod_{Y/S}\mathrm{Pic}_{X/Y} , \] \(\prod_{Y/S}\) désignant la restriction de Weil, exacte à droite et scindée si \(X/Y\) a une section, d'où \(\mathrm{Pic}_{X/S} \simeq \mathrm{Pic}_{Y/S} \times \prod_{Y/S}\mathrm{Pic}_{X/Y}\). Pour \(X = Y \times_S Z\), \(Y\) et \(Z\) munis de sections : \(\mathrm{Pic}_{X/S} \simeq \mathrm{Pic}_{Y/S} \times \mathrm{Pic}_{Z/S} \times \mathrm{Hom}_{\text{pointés}}(Y, \mathrm{Pic}_{Z/S})\).

Les quotients \((A \times_S B)/\Gamma\) et l'exemple d'Igusa (pages 283 à 287)

Soient \(A\) un schéma abélien sur \(S\), \(B\) un \(S\)-schéma, \(\Gamma\) un groupe fini opérant sur \(A\) par automorphismes de groupe et librement sur \(B\), et \(X = (A \times_S B)/\Gamma\), fibré en formes de \(A\) au-dessus de \(Y = B/\Gamma\), avec la section image de \(0 \times B\). Le dévissage donne \(\mathrm{Pic}_{X/S} \simeq \mathrm{Pic}_{Y/S} \times \prod_{Y/S}\mathrm{Pic}_{X/Y}\), et le dernier facteur est \(\mathrm{Hom}_{S,\Gamma}(B, \mathrm{Pic}_{A/S})\). Si \(\Gamma\) opère sur \(B\) par translations et que les coinvariants de \(A\) sont nuls, les homomorphismes \(\Gamma\)-équivariants de \(A\) dans \(\mathrm{Pic}^\tau_{B/S}\), sur lequel \(\Gamma\) opère trivialement, sont nuls, et \[ \mathrm{Pic}_{X/S} \simeq \mathrm{Pic}_{Y/S} \times \mathrm{Pic}_{A/S}^{\Gamma}, \qquad \mathrm{Pic}^\tau_{X/S} \simeq \mathrm{Pic}^\tau_{Y/S} \times (A^\vee)^{\Gamma} . \] Exemple. \(\Gamma = \mathbf{Z}/2\) opérant sur \(A\) par \(x \mapsto -x\), et sur un second schéma abélien \(B\) par translation par une section partout d'ordre exactement \(2\) ; alors \(Y\) est un schéma abélien et \[ \mathrm{Pic}^\tau_{X/S} \simeq Y^\vee \times A^\vee[2] . \] Il est plat sur \(S\), lisse en caractéristique résiduelle \(\neq 2\), et non lisse en un point de caractéristique résiduelle \(2\) : c'est l'exemple d'Igusa, qu'on peut réaliser avec deux courbes elliptiques. En caractéristique \(2\), \(-1\) opère trivialement sur \(H^1(A, \mathcal{O}_A)\), et \(\dim H^1(X, \mathcal{O}_X) = \dim B + \dim A\) alors que \(\dim \mathrm{Pic}_{X/k} = \dim B\).⁹⁹ Le \(H^1\) saute donc avec la caractéristique.

La page 286 calcule \(p_*\Omega^1_{X/S} = \pi_{A*}(\Omega^1_{A/S})^\Gamma \times \pi_{B*}(\Omega^1_{B/S})^\Gamma\), d'où sur un corps, avec \(t_A\) l'espace tangent, \[ \dim H^1(X, \mathcal{O}_X) - \dim H^0(X, \Omega^1_X) = \dim (t_{A^\vee})^\Gamma - \dim (t_A^\vee)^\Gamma , \] et annonce des exemples où cette différence est positive, négative, ou varie dans une famille, où \((A^\vee)^\Gamma\) n'est pas plat, et où il n'y a pas de « bon » sous-schéma abélien. On aurait ainsi : 1° la symétrie de Hodge fausse dans les deux sens ; 2° la semi-continuité « continue » fausse pour \(H^0(X, \Omega^1)\) et \(H^1(X, \mathcal{O})\) ; 3° \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\) non plat ; 4° « la formation du Pic réduit n'est pas compatible avec la spécialisation ». Ces exemples sont annoncés, et ne sont pas construits dans le dossier.

Un homomorphisme divisible par \(p\) sur la fibre spéciale seulement (pages 288 et 289)

Soient \(V\) un anneau de valuation discrète d'inégales caractéristiques, de caractéristique résiduelle \(p\), \(Y = \operatorname{Spec} V\), \(X\) un schéma abélien sur \(Y\) de fibres \(X_0\) (spéciale) et \(X_1\) (générique), et \(F\), \(G\) deux sous-groupes finis et plats de \(X\) tels que (i) \(F_1 \not\subset G_1\) ; (ii) \(F_0 \subset G_0 \neq 0\) ; (iii) \(pF_1 \subset G_1\). Soient \(\alpha \colon X \to A = X/F\) et \(\beta \colon X \to B = X/G\). Alors \(p\beta\) s'annule sur \(F\) et se factorise en \(u \colon A \to B\) avec \(u\alpha = p\beta\). Génériquement, \(u\) n'est pas divisible par \(p\) : si \(u = pv\), alors \(v\alpha = \beta\), les groupes d'homomorphismes étant sans torsion, et \(F_1 \subset G_1\). Sur la fibre spéciale, \(u_0\) est divisible par \(p\), puisque \(F_0 \subset G_0\).¹⁰⁰

Réalisation : prendre \(X_0\) sans point d'ordre \(p\), \(X_1\) avec des points d'ordre \(p\), et \(F_1\), \(G_1\) deux sous-groupes distincts d'ordre \(p\) ; si la \(p\)-torsion de la fibre spéciale n'a qu'un sous-groupe d'ordre \(p\), leurs adhérences coïncident en \(F_0 = G_0\). C'est le cas pour une courbe elliptique supersingulière, et l'on peut prendre \(F\) et \(G\) dans un facteur elliptique supersingulier d'un produit de deux courbes elliptiques.¹⁰¹ Avec \(C = A \times B^\vee\), on a \(\mathrm{NS}_{C/Y} \simeq \mathrm{NS}_{A/Y} \times \mathrm{NS}_{B/Y} \times \mathrm{Hom}_{Y\text{-gr}}(A, B)\), et \(u\) définit une section \(\bar{u}\) de \(\mathrm{NS}_{C/Y}\), divisible par \(p\) sur la fibre spéciale et non globalement : la divisibilité dans le schéma de Néron–Severi ne se propage pas par générisation.

Groupes divisibles (pages 290 et 291)

Les groupes de torsion divisibles sont les sommes directes de \(\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p\) ; un groupe \(p\)-primaire divisible est \((\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)^{(I)}\), \(|I|\) étant la dimension sur \(\mathbf{F}_p\) de \(M[p]\). Sont équivalents : \(M\) est \(p\)-primaire de \(M[p]\) fini ; \(M\) est isomorphe à \(F \oplus (\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)^\rho\), \(F\) un \(p\)-groupe fini, \(\rho\) et \(F\) étant alors déterminés (\(\rho\) est le rang de la \(p\)-torsion du plus grand sous-groupe divisible \(M^0\), et \(F = M/M^0\)). Le foncteur contravariant \(T_p(M) = \mathrm{Hom}(M, \mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)\) est une antiéquivalence avec les \(\mathbf{Z}_p\)-modules de type fini ; le foncteur covariant \(T^p(M) = \varprojlim M[p^n]\) (le module de Tate) vérifie \(T^p(M) = \mathrm{Hom}(T_p(M), \mathbf{Z}_p)\), tue les groupes finis, est exact modulo les groupes finis, et donne une équivalence, modulo les groupes finis, avec les \(\mathbf{Q}_p\)-espaces de dimension finie. Pour un homomorphisme \(M \to N\) entre groupes \((\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)^n\), sont équivalents : \(T_p(N) \to T_p(M)\) injectif de conoyau libre ; le même après réduction modulo \(p\) ; \(T^p(M) \to T^p(N)\) surjectif ; \(M \to N\) surjectif sur un facteur direct ; \(M[p] \to N[p]\) surjectif.¹⁰²

293–303

Notes, et contre-exemples pour le recollement (pages 293 à 303)

Déformations (pages 293 et 296)

Notes au verso ou en travers de feuillets dactylographiés étrangers au dossier. La page 293 relie la platitude de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) en un point à une condition sur les déformations du premier ordre : l'obstruction à prolonger un faisceau inversible \(L\) le long d'une déformation de classe de Kodaira–Spencer \(\kappa \in H^1(X_0, T_{X_0})\) est le produit de \(\kappa\) par la classe \(c(L) \in H^1(X_0, \Omega^1_{X_0})\), à valeurs dans \(H^2(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\) : \(\rho\partial(x) = 0 \iff \rho\, c(x) = 0\). La condition est automatique pour les points de \(\mathrm{Pic}^0\), « mais il est douteux que \(\mathrm{Pic}^0_{X/K}\) soit pour autant plat sur \(S\) ». La page 296 fait les calculs correspondants pour les quotients des pages 283 à 287 : \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\), \(H^1(Y, T_Y)\) et une suite \(0 \to \mu_2 \to \mathrm{Pic}_Y \to \mathrm{Pic}_X^\Gamma \to \mu_2\).¹⁰³

Recoller deux schémas le long d'un fermé (pages 297 à 301)

Soient \(\varphi_i \colon Y \to X_i\) deux immersions, et \(X = X_1 \amalg_Y X_2\) le recollement. Exemple 1.¹⁰⁴ \(X_1 = X_2 = \mathbf{A}^2 - \{0\}\) et \(Y = \mathbf{G}_m = \operatorname{Spec} k[t, t^{-1}]\), plongé par \(x = t, y = 0\) dans le premier et \(x = 1/t, y = 0\) dans le second. Une fonction sur \(X\) est un couple \((f_1, f_2)\) avec \(f_1(t, 0) = f_2(1/t, 0)\), ce qui force la restriction à \(Y\) à être constante : les fonctions ne séparent pas les points de \(Y\), et \(X\) n'est pas affine. La page passe ensuite au quotient par \(\mathbf{Z}/2\) opérant par symétrie, pour lequel \((X_1 \amalg X_2)/(\mathbf{Z}/2) \simeq X_1\) ; elle n'est lue qu'en partie.

Exemple 2 (page 301). \(X_1 = X_2 = \mathbf{P}^2\), \(Y\) une courbe elliptique plongée deux fois, par des faisceaux \(\xi_1 = \varphi_1^*\mathcal{O}(1)\) et \(\xi_2 = \varphi_2^*\mathcal{O}(1)\) linéairement indépendants sur \(\mathbf{Z}\) dans \(\mathrm{Pic}(Y)\). Alors tout faisceau inversible sur \(X_1 \amalg_Y X_2\) est trivial : il est donné par \(\mathcal{O}(n_1)\), \(\mathcal{O}(n_2)\) et un isomorphisme \(n_1\xi_1 \simeq n_2\xi_2\) sur \(Y\), qui force \(n_1 = n_2 = 0\), et l'isomorphisme restant, une constante, se prolonge. Le recollement n'est donc pas projectif, bien que sa normalisée \(\mathbf{P}^2 \amalg \mathbf{P}^2\) le soit.¹⁰⁵

Contracter un sous-schéma fini (page 303)

Soient \(X\) plat et quasi-projectif sur \(S\), \(Y\) un sous-schéma fermé fini et plat sur \(S\), et \(X' = X \amalg_Y S\), obtenu en contractant \(Y\) sur \(S\), avec \(p \colon X \to X'\) et la section \(\varepsilon \colon S \to X'\). Comparant les suites \(0 \to \mathcal{O}^* \to R^* \to \mathcal{D} \to 0\) des unités, des fonctions méromorphes inversibles et des diviseurs sur \(X\) et \(X'\) : \(\mathcal{O}^*_{X'} \to p_*\mathcal{O}^*_X\) est injectif de conoyau \(\varepsilon_*(f_*\mathcal{O}^*_Y/\mathcal{O}^*_S)\), et \(R^*_{X'/S} \to p_*R^*_{X/S}\) est bijectif ; d'où les suites exactes \[ 0 \to f_*\mathcal{O}^*_Y/\mathcal{O}^*_S \to f'_*\mathcal{D}_{X'/S} \to f_*\mathcal{D}_{X/S} \to 0 , \qquad 0 \to f_*\mathcal{O}^*_Y/\mathcal{O}^*_S \to \mathrm{Pic}_{X'/S} \to \mathrm{Pic}_{X/S} , \] la seconde si \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\).¹⁰⁶

305–305

Picard et Albanese des variétés non complètes : Chevalley (pages 304 et 305)

Soient \(X \times Y \to Y\) une action d'un schéma algébrique \(X\) sur \(Y\) (intègres sur \(k\) algébriquement clos) et \(D\) un diviseur sur \(Y\) tel que \(x \cdot D - D\) soit linéairement équivalent à \(0\) pour tout \(x \in X(k)\) — c'est le cas si \(X\) est d'irrégularité nulle et qu'un point opère trivialement. Alors il existe un système linéaire \(P\) contenant \(D\) et un morphisme \(X \times P \to P\) qui, ensemblistement, est \((x, D) \mapsto x \cdot D\).

308–314

Questions ouvertes (pages 307 à 314)

La chemise porte « Questions ouvertes ». Les pages sont un bilan, en plusieurs encres, où des réponses ont été ajoutées après coup.

Sur la structure de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\), \(S\) noethérien (pages 308 à 310)

• \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) est-il somme disjointe de schémas de type fini sur \(S\) ? « Non en général ; mais génériquement sur \(S\). » L'adhérence d'une partie quasi-compacte est-elle quasi-compacte ? \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\) est-il fermé ? (Oui si \(X\) est normal et projectif sur \(S\), par la géométrie formelle.)
• Existence du quotient \(\mathrm{NS}_{X/S} = \mathrm{Pic}_{X/S}/\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\).
• \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\) est-il universellement ouvert, plat ? « Non » pour la platitude : contre-exemple de Mumford ; vrai si les fibres sont normales et la torsion première aux caractéristiques résiduelles.
• \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\) est-il quasi-compact, donc de type fini ? « Oui, toujours. » De type fini équivaut-il à propre ? « Oui. »
• Le rang du groupe de Néron–Severi des fibres reste-t-il borné ? « Oui. »
• La multiplication par \(n\) est-elle universellement ouverte, voire plate, pour \(n\) grand ? Oui pour \(n\) premier aux caractéristiques résiduelles, où elle est étale ; est-elle de type fini ? « Non », avec un croquis de deux droites marquées \(p\).
• Les composantes connexes de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) sont-elles de type fini ? « Non ? » — c'est ce que montre l'exemple des pages 213 à 218.
• Semi-continuité des dimensions et de la lissité des fibres, continuité de la dimension des Picard des fibres (oui si \(X\) est normal sur \(S\), par le groupe fondamental), \(\mathrm{Pic}^\tau\) d'un produit, injectivité sur \(\mathrm{Pic}^\tau\) de la restriction à une section hyperplane, existence de \(\mathrm{Pic}^{00}_{X/S}\) dans le cas artinien, continuité de la torsion de Néron–Severi, multiplicité de \(\mathrm{Pic}^\tau\).¹⁰⁷

Séparation (page 312)

Le Picard est-il séparé si les fibres sont géométriquement intègres ? \(\mathrm{Pic}^\tau\) l'est-il si les fibres sont séparables ? Deux exemples répondent en partie : un exemple de Mumford, par des familles de courbes elliptiques, où \(\mathrm{Pic}^0_{X/S}\) n'est pas séparé (« mais alors il n'est pas représentable ») ; et un exemple, figuré par un croquis, où les fibres sont séparables et \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) non séparé — celui des pages 213 à 218 en est un. Le préschéma \(\mathrm{Corr}_S(X, Y)\) des classes de correspondances, pour \(X\), \(Y\) propres à fibres géométriquement intègres, existe-t-il ? « Oui par Raynaud. » Enfin, la dimension des Picard des fibres s'écrit \(\alpha_s - \mu_s + \lambda_s\), et l'on demande sa constance et le sens de variation des invariants \(\alpha\), \(\lambda\), \(\mu\).¹⁰⁸

\(\mathrm{Pic}^\tau\) est ouvert (pages 313 et 314)

Proposition. Soit \(X\) propre, plat et de présentation finie sur \(S\). Alors \(\mathrm{Pic}^\tau_{X/S}\) est un sous-foncteur ouvert de présentation finie de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) ; si \(X \to S\) est projectif à fibres géométriquement intègres, il est aussi fermé. Corollaire. Pour \(L\) inversible sur \(X\), l'ensemble des \(s\) tels que \(L_s\) soit \(\tau\)-équivalent à \(0\) est ouvert et rétrocompact ; il est ouvert et fermé dans le cas projectif à fibres géométriquement intègres. On se ramène à \(S\) noethérien ; la stabilité par générisation vient d'un critère (viii b\('\)), en se ramenant au cas d'un trait, et la fermeture dans le cas projectif, de la stabilité par spécialisation, d'un critère (viii e) — ces critères étant ceux de la liste qu'invoquait le commentaire des pages 70 et 71, et que le dossier ne contient pas.

Questions. Éliminer l'hypothèse projective. Si \(X \to S\) est normal, \(\mathrm{Pic}^0_{X/S}\) est-il fermé, voire propre sur \(S\) ? Autrement dit, si \(X\) est normal et propre sur un trait, muni d'une section, tout faisceau inversible algébriquement équivalent à \(0\) sur la fibre générique se prolonge-t-il en un faisceau sur \(X\), encore algébriquement équivalent à \(0\) sur la fibre spéciale ? C'est vrai si \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) est représentable, ce qui est le cas si \(X/S\) est projectif ; peut-être est-ce vrai dès que \(X \to S\) est propre et plat à fibres géométriquement normales, voire seulement intègres. Le dossier s'arrête sur ce point d'interrogation.