Cote n° 56 · pages 1–38 · Lecture modernisée · Lefschetz-Hodge - Vanishing cycles : notes manuscrites (s.d.), tiré à part (1962) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1962
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Les notes manuscrites, au dos des feuillets du tapuscrit, se suivent sous deux chemises qui portent leur titre de sa main. Elles font un seul calcul, pris par les deux bouts :

1. 1.La dégénérescence (pages 1 à 6) : la quadrique lisse, sa dégénérée, la suite exacte de spécialisation, le résultat dans les deux parités, puis le même résultat par un « calcul affine » plus direct.
2. 2.Le cône projectif (pages 8 à 16) : la cohomologie du cône, du cône épointé, la cohomologie locale au sommet, le cas d'un cône sur une quadrique, les supports compacts. La fibre singulière du point 1 est un tel cône.
3. 3.La quadrique lisse et sa partie affine (pages 19 et 21) : la partie affine est la fibre lisse du « calcul affine » du point 1.
4. 4.L'anneau de cohomologie des quadriques (pages 23 à 34) : bases, relations, restrictions et Gysin entre quadriques emboîtées, le carré de la page 29 qui relie le cycle évanescent à la classe \(\lambda_{\nu}\), le cup-produit par \(\xi\), et une note au propre sur les groupes de Chow.

Les quatorze feuillets du tapuscrit sont lus à part, après les notes, dans l'ordre de leurs paragraphes ; le tiré à part vient en dernier.

Conventions. Les coefficients sont \(\Lambda = \mathbf{Z}/m\), \(m\) inversible sur la base, et \(\Lambda(i)\) est le tordu de Tate ; pour un \(\Lambda\)-module \(A\), on écrit \(A(i)\).¹ Deux lettres servent deux fois dans les pages, et on les sépare ici. Aux pages 2 à 6, \(X\) est l'espace total de la famille et ses fibres sont de dimension \(n - 1\), comme sur la page. Aux pages 10 à 16, la base du cône, que la page appelle aussi \(X\), est notée \(Y\), et sa dimension, que la page appelle \(n\), est notée \(d\). À partir de la page 19, \(Q^{n}\) est une quadrique lisse de dimension \(n\), \(Q^{n-1}\) une section hyperplane lisse et \(U^{n} = Q^{n} - Q^{n-1}\) la quadrique affine.

Sur une quadrique, \(\xi\) est la classe de la section hyperplane. Pour \(i > n/2\), la classe d'un sous-espace linéaire de codimension \(i\) contenu dans \(Q^{n}\) est notée \(\xi_{i}\) ; on a \(2\xi_{i} = \xi^{i}\), et la page l'écrit \(\tfrac12 \xi^{i}\), notation qui n'est littérale que si \(2\) est inversible. Sur \(Q^{2\nu}\), les \(\nu\)-plans contenus dans la quadrique forment deux familles ; on note \(\alpha_{\nu}\), \(\beta_{\nu}\) leurs classes, \(\lambda_{\nu} = \alpha_{\nu} - \beta_{\nu}\) et \(\varphi_{\nu} = \alpha_{\nu}\), de sorte que \(\xi^{\nu} = \alpha_{\nu} + \beta_{\nu}\) et \(\varphi_{\nu} = \tfrac12(\xi^{\nu} + \lambda_{\nu})\) : ce sont les définitions de la page 29.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : l'égalité encadrée « \(H^{*}_{a}(C) \simeq H^{*}_{c}(C)\) ?? » de la page 16, qui est vraie ; le point e) du programme de la page 21, illisible ; le sens du mot « pur » à la page 4.

1–2

La dégénérescence d'une quadrique (pages 1 à 6)

La situation (page 2)

Soit \(S\) le spectre d'un anneau de valuation discrète strictement hensélien, de point fermé \(s\), de point générique \(\eta\), et \(\bar\eta\) un point géométrique au-dessus de \(\eta\) ; soit \(I\) le groupe d'inertie, qui est ici le groupe de Galois de \(\bar\eta\) sur \(\eta\).² Soit \(X \subset \mathbf{P}^{n}_{S}\) défini par une équation quadratique, \(f : X \to S\) projectif et plat, de fibres de dimension \(n - 1\), tel que la fibre générique géométrique \(X_{\bar\eta}\) soit une quadrique lisse et que la fibre spéciale \(X_{s}\) soit une quadrique avec un seul point singulier \(x\). Une telle quadrique est le cône projectif, de sommet \(x\), sur une quadrique lisse de dimension \(n - 2\), et \(x\) est un point double ordinaire.³

La cohomologie de \(X_{s}\) s'identifie à celle de \(X\) (changement de base propre, \(S\) étant strictement local), et la restriction à \(X_{\bar\eta}\) donne la flèche de cospécialisation \(H^{i}(X_{s}) \to H^{i}(X_{\bar\eta})\), compatible à l'action de \(I\), qui agit trivialement sur la source. La question de la page est de comprendre cette flèche. On l'insère dans la suite exacte \[ \cdots \to H^{i}(X_{s}) \to H^{i}(X_{\bar\eta}) \to H^{i}(X_{s}, R\Phi\Lambda) \to H^{i+1}(X_{s}) \to H^{i+1}(X_{\bar\eta}) \to \cdots \] qui naît du triangle \(\Lambda \to R\Psi\Lambda \to R\Phi\Lambda \to\) des cycles proches et évanescents.⁴ La classe \(\xi \in H^{2}(X, \Lambda(1))\) de \(\mathcal{O}_{X}(1)\) se restreint en les classes hyperplanes des deux fibres : c'est ce qui fera correspondre les puissances de \(\xi\).⁵

Les deux fibres n'ont pas de cohomologie en degré impair (on le verra pour le cône aux pages 10 et 12, et pour la quadrique lisse à la page 21). La suite se coupe donc en morceaux \[ 0 \to H^{2k-1}(X_{s}, R\Phi\Lambda) \to H^{2k}(X_{s}) \to H^{2k}(X_{\bar\eta}) \to H^{2k}(X_{s}, R\Phi\Lambda) \to 0 , \] et les groupes de cycles évanescents sont les noyaux et les conoyaux de la cospécialisation en degré pair.⁶

4–4

Le calcul dans les deux parités (page 4)

La fibre lisse \(X_{\bar\eta}\) est une quadrique de dimension \(n - 1\), la fibre spéciale le cône sur une quadrique de dimension \(n - 2\) ; les bases de leur cohomologie viennent des pages 12, 23 et 27.

\(n = 2\nu\) pair. Les fibres sont de dimension impaire \(2\nu - 1\). \[ \begin{array}{ll} H^{*}(X_{s}) : & 1, \xi, \ldots, \xi^{\nu-1}, \ [\xi^{\nu}, \varphi'_{\nu}], \ \xi_{\nu+1}, \ldots, \xi_{2\nu-1} \\[4pt] H^{*}(X_{\bar\eta}) : & 1, \xi, \ldots, \xi^{\nu-1}, \ \xi_{\nu}, \ \xi_{\nu+1}, \ldots, \xi_{2\nu-1} \end{array} \] Dans \(X_{s}\), \(\varphi'_{\nu}\) est la classe d'un \((\nu-1)\)-plan de l'une des deux familles de la quadrique de base, vue dans le cône (c'est \(j_{*}\varphi_{\nu-1}\) avec les notations de la page 10), et \(\lambda'_{\nu} = 2\varphi'_{\nu} - \xi^{\nu} = j_{*}\lambda_{\nu-1}\) la différence de deux tels plans de familles opposées. La cospécialisation envoie \(\xi\) sur \(\xi\), \(\varphi'_{\nu}\) sur la classe \(\xi_{\nu}\) d'un \((\nu-1)\)-plan de \(X_{\bar\eta}\), donc \(\lambda'_{\nu}\) sur \(0\).⁷ Elle est donc bijective en tout degré \(i \neq n\), surjective en degré \(n = 2\nu\), de noyau libre de rang un engendré par \(\lambda'_{\nu}\). D'où :

1. a)\(H^{i}(X_{s}, R\Phi\Lambda) = 0\) pour \(i \neq n - 1\), et \(H^{n-1}(X_{s}, R\Phi\Lambda) \simeq \Lambda(-\nu)\), l'isomorphisme n'étant déterminé qu'au signe près (le choix de l'une des deux familles) ;⁸
2. b)\(R^{i}f_{*}\Lambda\) est constant pour \(i \neq n\), et \(R^{n}f_{*}\Lambda\) est extension d'un faisceau constant par un faisceau concentré au point fermé \(s\), isomorphe à \(\Lambda(-\nu)\) ;⁹
3. c)\(I\) agit trivialement sur \(H^{*}(X_{\bar\eta})\) et sur les cycles évanescents.¹⁰

\(n = 2\nu + 1\) impair. Les fibres sont de dimension paire \(2\nu\). \[ \begin{array}{ll} H^{*}(X_{s}) : & 1, \xi, \ldots, \xi^{\nu}, \ \xi_{\nu+1}, \ldots, \xi_{2\nu} \\[4pt] H^{*}(X_{\bar\eta}) : & 1, \xi, \ldots, \xi^{\nu-1}, \ [\xi^{\nu}, \varphi_{\nu}], \ \xi_{\nu+1}, \ldots, \xi_{2\nu} \end{array} \] La cospécialisation est bijective pour \(i \neq n - 1 = 2\nu\) ; en degré \(2\nu\) elle envoie \(\xi^{\nu}\) sur \(\xi^{\nu} = \alpha_{\nu} + \beta_{\nu}\) : elle est injective, de conoyau libre de rang un engendré par l'image de \(\varphi_{\nu} = \alpha_{\nu}\).¹¹ D'où :

1. a)\(H^{i}(X_{s}, R\Phi\Lambda) = 0\) pour \(i \neq n - 1\), et \(H^{n-1}(X_{s}, R\Phi\Lambda) \simeq \Lambda(-\nu)\) comme groupe ;
2. b)\(R^{i}f_{*}\Lambda\) est constant pour \(i \neq n - 1\), et la cospécialisation de \(R^{n-1}f_{*}\Lambda\) est injective : ce faisceau n'a pas de section non nulle concentrée en \(s\) ;¹²
3. c)\(I\) agit trivialement sur \(H^{i}(X_{\bar\eta})\) pour \(i \neq n - 1\) ; sur \(H^{2\nu}(X_{\bar\eta})\) il permute les deux familles de \(\nu\)-plans, donc agit sur les cycles évanescents par un caractère \(\varepsilon\) d'ordre au plus \(2\), et l'on a \(H^{n-1}(X_{s}, R\Phi\Lambda) \simeq \Lambda(-\nu) \otimes \varepsilon\). Si la caractéristique résiduelle n'est pas \(2\) et si \(X\) est régulier, \(\varepsilon\) n'est pas trivial.¹³

6–6

Le calcul affine (page 6)

Le même résultat s'obtient directement, sans connaître la cohomologie des fibres projectives. Soit \(Z = X \cap H\) une section hyperplane qui ne passe pas par le point singulier \(x\) et qui est lisse sur \(S\), et \(U = X - Z\).¹⁴ La fibre \(U_{s}\) est alors le cône affine sur la quadrique de base, et \(U_{\bar\eta}\) une quadrique affine lisse de dimension \(n - 1\). On a la suite¹⁵ \[ \cdots \to H^{i}(U_{s}) \to H^{i}(U_{\bar\eta}) \to H^{i}(X_{s}, R\Phi\Lambda) \to H^{i+1}(U_{s}) \to H^{i+1}(U_{\bar\eta}) \to \cdots \] et \(H^{i}(U_{s}) = 0\) pour \(i \neq 0\), le cône affine étant acyclique (page 10). D'où \(H^{i}(U_{\bar\eta}) \simeq H^{i}(X_{s}, R\Phi\Lambda)\) pour \(i \geq 1\), et \[ H^{i}(X_{s}, R\Phi\Lambda) = 0 \ \text{pour}\ i \neq n - 1, \qquad H^{n-1}(X_{s}, R\Phi\Lambda) \simeq H^{n-1}(U_{\bar\eta}), \] groupe libre de rang un engendré par le « vanishing cycle ». Sur les nombres complexes, la quadrique affine \(x_{0}^{2} + \cdots + x_{n-1}^{2} = 1\) se rétracte sur la sphère réelle de dimension \(n - 1\), et c'est elle qui s'évanouit dans le sommet du cône : l'image du résumé est ici un théorème.¹⁶ Le twist, \(\Lambda(-\nu)\) dans les deux parités, est celui que la page 19 calcule pour \(H^{n-1}(U^{n-1})\).

8–10

La cohomologie d'un cône projectif (pages 8 à 16)

Le cône et le cône épointé (page 10)

Soit \(Y \subset \mathbf{P}^{N}\) une variété projective sur un corps séparablement clos, \(C\) le cône affine sur \(Y\), de sommet \(a\), et \(\widehat{C}\) le cône projectif, qui contient \(C\) comme ouvert et \(Y\) comme section à l'infini, \(j : Y \to \widehat{C}\).¹⁷ On note \(E = C - a\) et \(\widehat{E} = \widehat{C} - a\). L'éclaté de \(\widehat{C}\) au sommet est un fibré en droites projectives \(\widehat{C}'\) sur \(Y\), qui contient l'éclaté \(C'\) de \(C\), espace total du fibré \(\mathcal{O}_{Y}(-1)\)¹⁸ :

\begin{tikzcd}
C' \arrow[r, hook] \arrow[d] & \widehat{C}' \arrow[d] & Y \arrow[l, hook'] \arrow[d, "\mathrm{id}"] \\
C \arrow[r, hook] & \widehat{C} & Y \arrow[l, hook', "j"']
\end{tikzcd}

La suite de l'éclatement, comparée à celle de \(C' \to C\) où \(H^{i}(C') \to H^{i}(Y)\) est bijectif, donne \[ H^{i}(C) = 0 \quad (i \neq 0) . \] Comme \(\widehat{C} - Y = C\) et que \(\widehat{C}\) est, au voisinage de \(Y\), un fibré en droites sur \(Y\), la suite de Gysin de \(j\) donne \[ j_{*} : H^{i-2}(Y)(-1) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}(\widehat{C}) \qquad (i \neq 0), \] et la structure multiplicative est déterminée par \(j_{*}(u)\, j_{*}(v) = j_{*}(uv\xi)\), qui vient de la formule de projection et de \(j^{*}j_{*}(w) = w\,\xi\), le fibré normal de \(Y\) étant \(\mathcal{O}_{Y}(1)\).¹⁹ La classe hyperplane de \(\widehat{C}\) est \(j_{*}(1)\).

Le cône épointé \(\widehat{E}\) est le fibré en droites \(\mathcal{O}_{Y}(1)\) au-dessus de \(Y\), de section nulle \(Y\), donc \(H^{*}(Y) \xrightarrow{\sim} H^{*}(\widehat{E})\), et \(\widehat{E} - Y = E\). La suite de Gysin de \(Y \subset \widehat{E}\) s'écrit \[ H^{i-2}(Y)(-1) \xrightarrow{\ \xi\ } H^{i}(Y) \to H^{i}(E) \to H^{i-1}(Y)(-1) \xrightarrow{\ \xi\ } H^{i+1}(Y), \] où la première flèche est le cup-produit par \(\xi\), classe d'Euler du fibré normal. Autrement dit \[ 0 \to \mathrm{Coker}\bigl(\xi : H^{i-2}(Y)(-1) \to H^{i}(Y)\bigr) \to H^{i}(E) \to \mathrm{Ker}\bigl(\xi : H^{i-1}(Y)(-1) \to H^{i+1}(Y)\bigr) \to 0 . \]

12–12

Base lisse, et cohomologie locale au sommet (page 12)

Supposons \(Y\) lisse, connexe, de dimension \(d\). Le théorème de Lefschetz difficile dit que \(\xi : H^{j}(Y) \to H^{j+2}(Y)(1)\) est injectif pour \(j \leq d - 1\) et surjectif pour \(j \geq d - 1\), à torsion près ; de la suite précédente on tire, à torsion près, \[ \begin{array}{ll} i \leq d : & H^{i}(E) \simeq P^{i}(Y) = \mathrm{Coker}\bigl(\xi : H^{i-2}(Y)(-1) \to H^{i}(Y)\bigr), \\[4pt] i \geq d + 1 : & H^{i}(E) \simeq \mathrm{Ker}\bigl(\xi : H^{i-1}(Y) \to H^{i+1}(Y)(1)\bigr)(-1) \simeq P^{2d+1-i}(Y)(d-i), \end{array} \] \(P\) désignant la cohomologie primitive.²⁰ Topologiquement, \(E\) se rétracte sur l'entrelacs du sommet, un fibré en cercles au-dessus de \(Y\), et la formule est la suite de Gysin de ce fibré.

La suite de cohomologie locale au sommet, \[ \cdots \to H^{i-1}(C) \to H^{i-1}(E) \to H^{i}_{a}(C) \to H^{i}(C) \to H^{i}(E) \to \cdots, \] avec \(H^{i}(C) = 0\) pour \(i \neq 0\) et \(H^{0}(C) \to H^{0}(E)\) bijectif (\(Y\) connexe), donne \[ H^{0}_{a}(C) = H^{1}_{a}(C) = 0, \qquad H^{i}_{a}(C) \simeq H^{i-1}(E) \quad (i \geq 2) . \]

Le cas d'une quadrique. Si \(Y = Q^{d}\), le cône projectif \(\widehat{C}\) est une quadrique singulière \(Q'^{\,d+1}\), et \(H^{i}(Q'^{\,d+1}) \simeq H^{i-2}(Q^{d})(-1)\) pour \(i \neq 0\). Avec les bases des pages 23 et 27, et \(\varphi'_{\nu+1} = j_{*}(\varphi_{\nu})\), \(\lambda'_{\nu+1} = j_{*}(\lambda_{\nu})\) : \[ \begin{array}{ll} d + 1 = 2\nu : & 1, \xi, \ldots, \xi^{\nu}, \ \xi_{\nu+1}, \ldots, \xi_{2\nu} \\[6pt] d + 1 = 2\nu + 1 : & 1, \xi, \ldots, \xi^{\nu}, \ [\xi^{\nu+1}, \varphi'_{\nu+1}], \ \xi_{\nu+2}, \ldots, \xi_{2\nu+1} \end{array} \] avec \(\xi\lambda'_{\nu+1} = 0\) et \(\lambda'^{\,2}_{\nu+1} = 0\), par la formule \(j_{*}(u)j_{*}(v) = j_{*}(uv\xi)\) et \(\xi\lambda_{\nu} = 0\) sur \(Q^{d}\).²¹

14–14

Le cône épointé sur une quadrique (page 14)

On applique la suite de la page 10 à \(Y = Q^{d}\), en se servant du cup-produit par \(\xi\) de la page 31. Le résultat est la cohomologie de l'entrelacs d'un point double ordinaire de dimension \(d + 1\).

\(d + 1 = 2\nu\), \(d = 2\nu - 1\). Le seul défaut de \(\xi\) est en degré \(2\nu - 2 \to 2\nu\), où \(\xi^{\nu-1} \mapsto \xi^{\nu} = 2\xi_{\nu}\) ; le défaut en degré \(2d \to 2d + 2\) est la classe du point.²² \[ H^{i}(E) = 0 \ \ (i \neq 0, 2\nu, 4\nu - 1), \qquad H^{0}(E) = \Lambda, \qquad H^{2\nu}(E) \simeq \Lambda/2\Lambda, \qquad H^{4\nu-1}(E) \simeq \Lambda(-2\nu) . \]

\(d + 1 = 2\nu + 1\), \(d = 2\nu\). En degré \(2\nu\), \(\xi : \xi^{\nu-1} \mapsto \alpha_{\nu} + \beta_{\nu}\) a pour conoyau libre l'image de \(\varphi_{\nu}\), et \(\xi : H^{2\nu} \to H^{2\nu+2}\) a pour noyau libre \(\lambda_{\nu}\) (page 31).²³ \[ H^{i}(E) = 0 \ \ (i \neq 0, 2\nu, 2\nu + 1, 4\nu + 1), \qquad H^{0}(E) = \Lambda, \qquad H^{2\nu}(E) \simeq \Lambda(-\nu), \] \[ H^{2\nu+1}(E) \simeq \Lambda(-\nu-1), \qquad H^{4\nu+1}(E) \simeq \Lambda(-2\nu-1) . \]

16–16

Supports compacts (page 16)

Si \(Y\) est lisse, \(E\) et \(\widehat{E}\) sont lisses et leur cohomologie à supports compacts se déduit de l'ordinaire par dualité de Poincaré ; \(\widehat{C}\) étant propre, ses deux cohomologies coïncident. Reste \(C\). La suite de l'ouvert \(C = \widehat{C} - Y\), \[ \cdots \to H^{i}(\widehat{C}) \to H^{i}(Y) \to H^{i+1}_{c}(C) \to H^{i+1}(\widehat{C}) \to H^{i+1}(Y) \to \cdots, \] où \(H^{i}(\widehat{C}) \simeq H^{i-2}(Y)(-1)\) et où la restriction \(j^{*}j_{*}\) est le cup-produit par \(\xi\), donne pour \(i \geq 1\) \[ 0 \to \mathrm{Coker}\bigl(\xi \text{ sur } H^{i-2}(Y)(-1)\bigr) \to H^{i+1}_{c}(C) \to \mathrm{Ker}\bigl(\xi \text{ sur } H^{i-1}(Y)(-1)\bigr) \to 0, \] c'est-à-dire la même suite que pour \(H^{i}(E)\) à la page 10. Les notes en concluent qu'il faut « prévoir », pour \(i \neq 0\), \(H^{i}(E) \simeq H^{i+1}_{c}(C) \simeq H^{i+1}_{a}(C)\), et posent la question encadrée \[ H^{*}_{a}(C) \simeq H^{*}_{c}(C) \ ? \] La réponse est oui. Le cône est muni de l'action de \(\mathbf{G}_{m}\) par homothéties, qui contracte \(C\) sur son sommet, et pour un faisceau constant, ou plus généralement monodromique, la cohomologie à supports compacts de \(C\) est la cohomologie à supports dans le sommet.²⁴

19–19

La quadrique lisse et sa partie affine (pages 19 et 21)

Soit \(Q^{n}\) une quadrique lisse de dimension \(n \geq 1\) sur un corps \(k\) séparablement clos, \(Q^{n-1}\) une section hyperplane lisse, \(U^{n} = Q^{n} - Q^{n-1}\), et \(A\) un \(\Lambda\)-module.²⁵ Alors \[ H^{i}_{c}(U^{n}, A) \simeq \left\{ \begin{array}{ll} 0 & i \neq n, 2n \\ A \otimes \nu'_{n} & i = n \\ A(-n) & i = 2n \end{array} \right. \qquad H^{i}(U^{n}, A) \simeq \left\{ \begin{array}{ll} 0 & i \neq 0, n \\ A & i = 0 \\ A \otimes \nu_{n} & i = n \end{array} \right. \] avec \[ \nu_{n} = \Lambda(-\tfrac{n}{2}), \ \ \nu'_{n} = \Lambda(-\tfrac{n}{2}) \quad (n \text{ pair}), \qquad \nu_{n} = \Lambda(-\tfrac{n+1}{2}), \ \ \nu'_{n} = \Lambda(-\tfrac{n-1}{2}) \quad (n \text{ impair}), \] les deux étant échangés par la dualité de Poincaré : \(\nu'_{n} = \check\nu_{n} \otimes \Lambda(-n)\).²⁶ Ces formules se déduisent de la suite de Gysin \[ \cdots \to H^{i-1}(U^{n}) \to H^{i-2}(Q^{n-1})(-1) \xrightarrow{\ \alpha_{*}\ } H^{i}(Q^{n}) \to H^{i}(U^{n}) \to H^{i-1}(Q^{n-1})(-1) \to \cdots \] et de la cohomologie des quadriques lisses (pages 23 à 27) : \(\alpha_{*}\) est surjectif pour \(i \neq 0, n\), injectif pour \(i \neq 1, n + 1\), et l'on calcule séparément les degrés restants. Pour \(i = 0, 1\) la source est nulle. Pour \(i = n, n + 1\), il reste \[ 0 \to H^{n-2}(Q^{n-1})(-1) \to H^{n}(Q^{n}) \to H^{n}(U^{n}) \to H^{n-1}(Q^{n-1})(-1) \to H^{n+1}(Q^{n}) \to 0 . \] Si \(n\) est pair, les deux derniers termes sont nuls, et \(H^{n}(U^{n})\) est le quotient de \(H^{n}(Q^{n}) = \Lambda\alpha \oplus \Lambda\beta\) par l'image \(\Lambda(\alpha + \beta)\) de \(\xi^{n/2-1}\) : il est engendré par l'image \(\ell^{n}\) de \(\alpha\), celle de \(\beta\) valant \(-\ell^{n}\). Si \(n\) est impair (page 21), ce sont les deux premiers, et \(H^{n}(U^{n})\) est le noyau de \(H^{n-1}(Q^{n-1})(-1) \to H^{n+1}(Q^{n})\), qui envoie les classes des deux familles de \(Q^{n-1}\) sur la classe d'un même sous-espace linéaire : il est engendré par \(\lambda_{(n-1)/2}\). Dans les deux cas, le générateur dépend du choix d'une famille, et l'isomorphisme n'est déterminé qu'au signe près.²⁷

L'application d'oubli des supports \(H^{i}_{c}(U^{n}, A) \to H^{i}(U^{n}, A)\) se factorise par \(H^{i}(Q^{n}, A)\) ; elle est donc nulle, sauf pour \(n\) pair et \(i = n\). Dans ce cas \(H^{n}_{c}(U^{n})\) est engendré par un élément \(\ell_{n}\) d'image \(\lambda_{n/2}\) dans \(H^{n}(Q^{n})\), et son image dans \(H^{n}(U^{n})\) est \(2\ell^{n}\) ; l'accouplement de Poincaré donne²⁸ \[ \langle \ell_{n}, 2\ell^{n} \rangle = \lambda_{n/2}^{2} = (-1)^{n/2}\, 2 . \]

21–21

Le programme de la page 21

La page résume ce qui précède et ce qui reste à établir, pour \(Q^{n}\) lisse²⁹ :

1. a)la cohomologie de \(Q^{n}\) est nulle en degré impair ;
2. b)\(H^{i}(U^{n})\) est nul pour \(i \neq 0, n\), isomorphe à \(A\) pour \(i = 0\) et à \(A \otimes \nu_{n}\) pour \(i = n\) ; b') l'énoncé dual, pour les supports compacts ;
3. c)la restriction \(H^{i}(Q^{n+1}) \to H^{i}(Q^{n})\) est bijective pour \(i \leq 2n\), sauf en un degré : si \(n\) est pair, elle est injective de conoyau libre de rang un pour \(i = n\) ; si \(n\) est impair, elle est surjective de noyau libre de rang un pour \(i = n + 1\) ;
4. c')dualement, l'application de Gysin \(H^{i}(Q^{n})(-1) \to H^{i+2}(Q^{n+1})\) est bijective pour \(i \geq 0\), sauf en un degré : si \(n\) est pair, elle est surjective de noyau \(\Lambda\lambda_{n/2}\) pour \(i = n\) ; si \(n\) est impair, elle est injective de conoyau libre de rang un pour \(i = n - 1\) ;
5. d)\(H^{2i}(Q^{n})\) est libre de rang \(1\) pour \(0 \leq i \leq n\), sauf pour \(n\) pair et \(2i = n\), où il est de rang \(2\).

Le point e) commence par « si \(n\) pair » et le reste est illisible.³⁰

23–27

L'anneau de cohomologie des quadriques (pages 23 à 34)

Bases (pages 23 et 27)

Pour une quadrique lisse \(Q^{n}\), \(\xi^{i} \in H^{2i}(Q^{n}, \Lambda(i))\), et pour \(n = 2\nu\) la classe supplémentaire \(\lambda_{\nu}\) en degré moyen. Les bases entières de la cohomologie sont³¹ \[ \begin{array}{ll} Q^{2\nu} : & \xi^{0}, \ldots, \xi^{\nu-1}, \ [\xi^{\nu}, \varphi_{\nu}], \ \xi_{\nu+1}, \ldots, \xi_{2\nu} \\[4pt] Q^{2\nu+1} : & \xi^{0}, \ldots, \xi^{\nu}, \ \xi_{\nu+1}, \ldots, \xi_{2\nu+1} \end{array} \] La page 23 dresse le tableau pour \(Q^{0} \subset Q^{1} \subset \cdots \subset Q^{4}\), la page 27, écrite en travers, le prolonge jusqu'à \(Q^{6}\)³² : \[ \begin{array}{ccccccc} Q^{0} & Q^{1} & Q^{2} & Q^{3} & Q^{4} & Q^{5} & Q^{6} \\[4pt] [\lambda_{0}, \xi^{0}] & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & \xi_{1} & [\lambda_{1}, \xi] & \xi & \xi & \xi & \xi \\ & & \xi_{2} & \xi_{2} & [\lambda_{2}, \xi^{2}] & \xi^{2} & \xi^{2} \\ & & & \xi_{3} & \xi_{3} & \xi_{3} & [\lambda_{3}, \xi^{3}] \\ & & & & \xi_{4} & \xi_{4} & \xi_{4} \\ & & & & & \xi_{5} & \xi_{5} \\ & & & & & & \xi_{6} \end{array} \]

25–25

Relations, restriction et Gysin (pages 23 et 25)

Dans \(Q^{2\nu}\) : \[ 2\xi_{i} = \xi^{i}, \qquad \xi^{i}\xi_{j} = \xi_{i+j}, \qquad \xi\lambda_{\nu} = 0, \qquad \lambda_{\nu}^{2} = (-1)^{\nu}\, 2\xi_{2\nu}, \qquad (\xi^{\nu})^{2} = \xi^{2\nu} = 2\xi_{2\nu}, \] les produits \(\xi_{i}\xi_{j}\) et \(\lambda_{\nu}\xi_{j}\) (\(i, j \geq \nu + 1\)) étant nuls pour des raisons de degré ; \(\xi_{2\nu}\) est la classe du point. En effet \(\xi\alpha_{\nu} = \xi\beta_{\nu} = \xi_{\nu+1}\), et deux \(\nu\)-plans génériques de \(Q^{2\nu}\) se coupent en un point s'ils sont de même famille et \(\nu\) est pair, ou de familles opposées et \(\nu\) est impair, et ne se coupent pas sinon.³³

Pour \(Q^{i} \subset Q^{j}\), \(i \leq j\), section linéaire, la restriction et l'application de Gysin se lisent sur ces bases : \[ \begin{array}{ll} j = 2\nu > i : & \xi^{\alpha} \mapsto \xi^{\alpha}, \ \ \xi_{\alpha} \mapsto \xi_{\alpha}, \ \ \lambda_{\nu} \mapsto 0, \ \ \varphi_{\nu} \mapsto \xi_{\nu} \quad (\text{restriction}) \\[4pt] i = 2\nu < j : & \xi^{\alpha} \mapsto \xi^{\alpha+(j-i)}, \ \ \xi_{\alpha} \mapsto \xi_{\alpha+(j-i)}, \ \ \lambda_{\nu} \mapsto 0, \ \ \varphi_{\nu} \mapsto \xi_{\nu+(j-i)} \quad (\text{Gysin}) \end{array} \] La classe \(\lambda_{\nu}\) est tuée dans les deux sens. Par l'application de Gysin, c'est une classe « évanescente » : par la théorie de Lefschetz, le noyau de Gysin d'une section hyperplane est engendré par les cycles évanescents du pinceau, et \(\lambda_{\nu}\) est la classe, dans la quadrique lisse, du cycle évanescent des pages 4 et 6.³⁴

29–29

Le cycle évanescent et la classe \(\lambda_{\nu}\) (page 29)

Soit \(n = 2\nu\). Deux suites relient la cohomologie moyenne de \(Q^{n}\) aux quadriques affines voisines, \(U^{n} = Q^{n} - Q^{n-1}\) et \(U^{n+1} = Q^{n+1} - Q^{n}\). On note \(\ell^{i}\) un générateur de \(H^{i}(U^{i})\) et \(\ell_{i}\) un générateur de \(H^{i}_{c}(U^{i})\) (page 19). \[ H^{n+1}(U^{n+1})(1) \xrightarrow{\ \partial\ } H^{n}(Q^{n}) \xrightarrow{\ \text{res}\ } H^{n}(U^{n}), \qquad \ell^{2\nu+1} \mapsto \lambda_{\nu} \mapsto 2\ell^{2\nu}, \quad \xi^{\nu} \mapsto 0, \quad \varphi_{\nu} \mapsto \ell^{2\nu} ; \] \[ H^{n}_{c}(U^{n}) \longrightarrow H^{n}(Q^{n}) \xrightarrow{\ \partial\ } H^{n+1}_{c}(U^{n+1}), \qquad \ell_{2\nu} \mapsto \lambda_{\nu} \mapsto 2\ell_{2\nu+1}, \quad \xi^{\nu} \mapsto 0, \quad \varphi_{\nu} \mapsto \ell_{2\nu+1} . \] La première flèche du haut est le résidu de la suite de Gysin de \(Q^{n} \subset Q^{n+1}\), d'image le noyau \(\Lambda\lambda_{\nu}\) de Gysin ; la seconde du bas est le cobord de la suite de \(U^{n+1} \subset Q^{n+1}\), qui identifie \(H^{n+1}_{c}(U^{n+1})\) au conoyau de la restriction \(H^{n}(Q^{n+1}) \to H^{n}(Q^{n})\). Dans les deux suites, le composé est la multiplication par \(2\) entre générateurs : c'est le \(2\) de l'auto-intersection du cycle évanescent.³⁵

N.B. La page note enfin qu'on peut définir \(\varphi_{\nu}\) directement par un sous-espace isotrope maximal : les deux familles de tels sous-espaces donnent les classes \(\alpha_{\nu}\), \(\beta_{\nu}\), avec \(\alpha_{\nu} + \beta_{\nu} = \xi^{\nu}\), \(\alpha_{\nu} - \beta_{\nu} = \lambda_{\nu}\) et \(\varphi_{\nu} = \alpha_{\nu}\). Ce sont les définitions que cette lecture a prises dès le départ.³⁶

31–31

Le cup-produit par \(\xi\) (page 31)

Sur \(Q^{2\nu}\), \(\xi : H^{2i}(Q^{2\nu}) \to H^{2i+2}(Q^{2\nu})(1)\), \(0 \leq i \leq 2\nu - 1\), est bijectif pour \(i \neq \nu - 1, \nu\) ; pour \(i = \nu - 1\) il est injectif, de conoyau libre de base \(\varphi_{\nu}\) ; pour \(i = \nu\) il est surjectif, de noyau libre de base \(\lambda_{\nu}\).

Sur \(Q^{2\nu+1}\), \(\xi : H^{2i}(Q^{2\nu+1}) \to H^{2i+2}(Q^{2\nu+1})(1)\), \(0 \leq i \leq 2\nu\), est bijectif pour \(i \neq \nu\) ; pour \(i = \nu\) il est injectif de conoyau \(\Lambda/2\Lambda\), puisque \(\xi^{\nu} \mapsto \xi^{\nu+1} = 2\xi_{\nu+1}\).³⁷ C'est la forme du théorème de Lefschetz difficile pour les quadriques, et c'est ce qui sert à la page 14 : l'énoncé tient sur les bases entières, au défaut de torsion près en dimension impaire.

34–34

Les groupes de Chow (page 34)

Une feuille de papier bistre, d'une écriture plus posée, donne les mêmes bases pour l'équivalence linéaire des cycles. Sur \(Q^{2n}\) : \[ 1, H, H^{2}, \ldots, H^{n-1}, \ S', S'', \ HS' = HS'', \ \ldots, \ H^{n}S' = H^{n}S'', \qquad H^{n} = S' + S'', \] où \(H\) est la section hyperplane et \(S'\), \(S''\) les classes de deux sous-espaces linéaires de dimension \(n\) contenus dans \(Q^{2n}\), pris dans les deux familles algébriques distinctes de tels sous-espaces. Sur \(Q^{2n+1}\) : \[ 1, H, \ldots, H^{n}, \ \tfrac{H^{n+1}}{2}, \ldots, \tfrac{H^{2n+1}}{2}, \] les classes \(\tfrac{H^{k}}{2}\) (\(k \geq n+1\)) étant celles des sous-variétés linéaires contenues dans \(Q^{2n+1}\).³⁸ C'est l'anneau de Chow des quadriques lisses, et l'application classe de cycles l'envoie isomorphiquement sur la cohomologie paire des pages précédentes.

Les feuillets du tapuscrit de l'exposé XII de SGA 3

Quatorze feuillets portent au recto un état dactylographié, corrigé à l'encre de sa main, de l'exposé « XII Tores maximaux, groupe de Weyl, sous-groupes de Cartan, centre réductif des schémas en groupes lisses et affines », sans rapport avec les notes écrites au verso. Le texte tapé est le sien et publié ; on ne le recompose pas, on en donne la teneur et ses interventions principales, détaillées dans la transcription.³⁹

7–7

Page de titre (page 7, tapuscrit p. 0)

L'exposé annonce qu'il utilisera la théorie de Borel des groupes algébriques lisses sur un corps algébriquement clos, exposée au Séminaire Chevalley 1956-1957 (« BIBLE »), la théorie des schémas n'y apportant pas de simplification notable, pour en tirer des résultats analogues sur une base quelconque. Il y ajoute de sa main un paragraphe : les exposés oraux se limitaient aux préschémas en groupes affines, en s'appuyant sur les théorèmes de représentabilité de l'exposé XI, n° 4 ; les présentes notes (n° 6 à 8) montrent comment éliminer l'hypothèse affine par une méthode plus simple, qui n'utilise pas les résultats les plus délicats de l'exposé XI. En marge : « Il est évident que le contenu des exposés XI, XII, XV, XVI devrait être complètement refondu ».

5–5

Tores maximaux (page 5, tapuscrit p. 1)

Début du n° 1, « Tores maximaux » (il biffe « et groupe de Weyl ») : tores maximaux d'un groupe algébrique \(G\) sur \(k\) algébriquement clos, qui sont ceux de \(G_{\text{réd}}\) ; conjugaison par \(G(k) = G_{\text{réd}}(k)\) (il ajoute l'égalité) ; rang réductif ; l'hypothèse affine est inutile grâce au théorème de Chevalley sur les extensions de variétés abéliennes par des groupes affines (il renvoie au n° 6, et biffe « nous n'aurons pas besoin de cette généralisation ») ; début de la définition du sous-groupe de Cartan, où il remplace « \(G\) sur \(k\) étant comme ci-dessus » par « Soit \(G\) un groupe algébrique lisse sur \(k\) ».

17–17

Les rangs, et l'énoncé du théorème 1.7 (page 17)

Définition 1.5 des rangs réductif, nilpotent et unipotent sur un corps, invariants par extension du corps ; Remarque 1.6, un schéma en groupes affine et lisse sur un trait, de fibre générique \(\mathbf{G}_{m}\) et de fibre spéciale \(\mathbf{G}_{a}\), sans tore maximal, où le rang réductif des fibres n'est pas continu ; énoncé du Théorème 1.7 sur les fonctions \(\rho_{r}\), \(\rho_{n}\), \(\rho_{u} = \rho_{n} - \rho_{r}\). Dans la remarque qui précède, sur les tores contenus dans un tore maximal, il ajoute qu'on verra dans l'exposé XIV que la réciproque est vraie lorsque \(S\) est artinien, ou local avec \(G\) réductif.

3–3

Le théorème 1.7 (page 3)

Suite de 1.7 : a) \(\rho_{r}\) est semi-continue inférieurement, \(\rho_{n}\) et \(\rho_{u}\) supérieurement ; b) \(\rho_{r}\) est localement constante si et seulement si \(G\) admet localement, pour la topologie étale (ou fidèlement plate quasi-compacte), un tore maximal ; c) deux tores maximaux sont localement conjugués pour la topologie étale ; d) sous b), \(\rho_{n}\) et \(\rho_{u}\) sont localement constantes. Il insère « de Zariski » dans la réduction au cas d'un changement de base fidèlement plat.

13–13

Fin de 1.7, corollaires 1.9 et 1.10 (page 13)

Fin de la preuve de 1.7 ; Corollaire 1.9 (si \(\rho_{u}(s) = 0\), les rangs sont constants au voisinage de \(s\)) ; Corollaire 1.10 (pour \(G\) de rang réductif localement constant, le foncteur \(\mathcal{T}\) des tores maximaux est représentable par un préschéma lisse, séparé, de type fini, isomorphe à \(G/\mathrm{Norm}_{G}(T)\) quand il existe un tore maximal \(T\)). Il ajoute les renvois à l'exposé XI.

11–11

Le préschéma des tores maximaux (page 11)

Remarques 1.11 : \(\mathcal{T}\) est le préschéma des tores maximaux, affine sur \(S\) (n° 5). Il remplace la fin tapée, encadrée et barrée, par : « de façon générale, il est possible (et sans doute avantageux) d'éliminer totalement les résultats de représentabilité de Exp XI N° 4 de la théorie présentée dans le présent exposé et les suivants ».

24–24

Tores centraux (page 24, tapuscrit p. 11)

Lemme 1.14 : un sous-tore qui commute à un tore maximal y est contenu ; Corollaires 1.15 et 1.16 : un groupe commutatif, ou à fibres connexes nilpotentes, lisse et affine, de rang réductif localement constant, a un unique tore maximal, central. Il remplace « affine » par « un \(S\)-préschéma en groupes » dans le lemme et insère l'hypothèse de rang réductif localement constant dans les deux corollaires.

28–28

Le Nullstellensatz, et le début du groupe de Weyl (page 28, tapuscrit p. 12)

Fin de 1.16 : il remplace un renvoi à l'exposé VI par un argument écrit en marge, que \(\mathrm{Centr}_{G}(T)\) est un sous-schéma fermé contenant \(G(k)\), donc égal à \(G\) par le Nullstellensatz, \(G\) étant réduit. Proposition 1.17, qu'il réécrit en équivalence : pour \(G \supset H \supset T\), \(T\) est un tore maximal de \(G\) si et seulement si c'est un tore maximal de \(H\) et si les rangs réductifs des fibres de \(G\) et de \(H\) coïncident. Début du n° 2, « Le groupe de Weyl » : \(W = N/C\), groupe fini étale, indépendant du tore maximal par le théorème de conjugaison de Borel.

20–20

Le groupe de Weyl : lemme 2.2 (page 20)

Lemme 2.2 : \(W\) étale, séparé, quasi-fini sur \(S\) ; la fonction qui associe à \(s\) la classe de la fibre géométrique de \(W\) est semi-continue inférieurement, et constante au voisinage de \(s\) si et seulement si \(W\) est fini au-dessus d'un voisinage ; esquisse de la démonstration.

15–15

Lemme 2.3 (page 15)

Fin de cette démonstration, par le critère valuatif de propreté ; Lemme 2.3 : pour \(R \subset T\) deux sous-tores d'un groupe affine lisse sur \(k\) algébriquement clos, \(W(R)\) est quotient d'un sous-groupe de \(W(T)\). Il précise « fini sur \(S\) » et « monomorphisme », et barre le dernier alinéa.

26–26

Centre réductif (page 26, tapuscrit p. 21)

Critère 4.3 : \(Z\) est un centre réductif de \(G\) si et seulement s'il est de type multiplicatif et si chaque \(Z_{s}\) est un centre réductif de \(G_{s}\) ; Théorème 4.4 : un groupe algébrique affine sur un corps admet un centre réductif. Il ajoute « à fibres affines » et le renvoi à l'exposé XIII pour la décomposition \(G = Z \times U\).

22–22

Le quotient par le centre réductif (page 22, tapuscrit p. 23)

Fin de la preuve que \(G/Z\) n'a pas de sous-groupe de type multiplicatif non trivial, et début de la preuve que \(Z\) est un centre réductif ; il remplace un mot par « implique ».

30–30

Fin de la démonstration (page 30, tapuscrit p. 26)

Démonstration de ce que \(G/Z\) a pour centre réductif le groupe unité ; de sa main, un seul crochet. Le feuillet est gardé pour ne pas rompre la suite.

32–32

Un dernier feuillet (page 32, tapuscrit p. 31)

Démonstration en quatre points d'un énoncé sur le rang réductif, parallèle au Théorème 1.7 : un tore maximal dans une fibre le reste au voisinage si \(\rho_{r}\) est localement constant ; le foncteur des tores maximaux, sous-foncteur ouvert du foncteur \(F\) de l'exposé XI, 4.1, est lisse et séparé et admet des sections localement pour la topologie étale. Il complète les hypothèses (« et séparé », « moyennant (i) ») et les renvois.

35–37

Le tiré à part (pages 35 à 38)

Le dossier se termine sur le tiré à part d'une Note aux Comptes rendus : Antoine Delzant, « Définition des classes de Stiefel-Whitney d'un module quadratique sur un corps de caractéristique différente de 2 », C. R. Acad. Sci. Paris 255 (1962), p. 1366-1368 ; il ne porte rien de sa main. La Note construit, à l'aide de l'anneau filtré \(\widetilde{H}\) que Grothendieck associe à un anneau gradué \(H\) (Bull. SMF 86, 1958), un homomorphisme de l'anneau des classes de formes quadratiques dans \(\widetilde{H}\) pour \(H\) la cohomologie galoisienne à coefficients \(\mathbf{Z}/2\), d'où des classes \(w^{i}(q) \in H^{i}(k, \mathbf{Z}/2)\) vérifiant la formule de Whitney ; \(w^{1}\) est le discriminant, \(w^{2}\) l'invariant de Hasse-Witt. Sur un corps de nombres, une forme est déterminée par son rang et ses classes. La Note se ferme sur deux questions : l'application du gradué de degré \(2\) vers \(H^{2}(k, \mathbf{Z}/2)\) est-elle injective, et tout élément d'ordre \(2\) du groupe de Brauer est-il somme de classes d'algèbres de quaternions ?⁴⁰