Fonds Grothendieck, cote n° 55, pages 1–17 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-13)Opus 5 (claude-opus-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)55
Espaces analytiques : notes manuscrites (s.d.)
Pages 1 à 17 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[à partir de 1961]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/55.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Espaces de Stein et Modules cohérents
titre de l'édition : les notes ne portent pas de titre, et celui de
l'inventaire, « Espaces analytiques », n'est écrit nulle part dans le dossier
X espace de Stein compact
A = \Gamma(X, \underline{O}_{X})
B \in Alg. de présentation finie
1°) Le foncteur M \mapsto M \otimes_{A_{X}} \underline{O}_{X} de la catégorie
des modules de type présentation finie surXla
lettre est bien un X, là où le sens attendrait A dans la catégorie des
\underline{O}_{X}-Modules coh. est une équivalence de catégories.
En effet, le foncteur est exact (?) pour voir s'il est pl. fid. il suffit
de prouver que \widetilde{M} = 0 \Rightarrow M = 0. Ortrois lignes
encadrées et biffées d'un trait
Soit M de présentation finie,
A^{p} \to A^{q} \to M \to 0
d'où une \underline{O}^{p} \to \underline{O}^{q} \to \widetilde{M} \to 0
d'où prenant les \Gamma, et notant l'exactitude (car X Stein)
\struck{\Gamma(M)} \quad M \xrightarrow{\sim} \Gamma(\widetilde{M})
Donc tout\struck{\widetilde{M} = 0 \Rightarrow \Gamma(\widetilde{M}) = 0 \text{ i.e. } M = 0}
feuillet de tapuscrit paginé « – 111 – », repris à la
main. Il appartient à un exposé sur la dimension et la codimension
dans les préschémas localement noethériens, sans rapport avec les espaces de
Stein de la page 1 ; il est gardé parce qu'il porte sa main. Comme pour les
tapuscrits du dossier 48, on donne les énoncés que porte le feuillet et ses
interventions, et le corps du tapuscrit n'est pas re-composé
propositions laborieuses inutilesen regard des quatre
premières lignes, que ce trait vertical embrasse : la fin d'une démonstration où
l'on se ramène à Y = \mathrm{Spec}(B), B anneau local noethérien,
X = \mathrm{Spec}(A), A algèbre noethérienne sur B — les deux
adjectifs sont portés en interligne de sa main au-dessus d'un mot tapé
biffé — et où l'on montre que \mathrm{rg}(\mathfrak{p}) \leq
\mathrm{rg}(\mathfrak{m}) pour \mathfrak{p} premier minimal associé à
A\mathfrak{m}
Corollaire 1. Soient X etYdeux
préschémas localement noethériens, f : X \to Y un morphisme ,
Y' une partie fermée irréductible de Y, X' une composante irréductible de
f^{-1}(Y'), dont l'image dans Y soit dense dans Y'. Alors
\mathrm{codim}_{X}(X') \leq \mathrm{codim}_{Y}(Y').« X et » et
« deux » sont insérés à la main au-dessus de la ligne, un mot tapé étant biffé
entre eux
Corollaire 2. Soient X un préschéma localement noethérien, f une section de \mathcal{O}_{X} au-dessus de X, qui
n'est identiquement nulle dans aucune composante irréductible de X. Soit
Z_{f} l'ensemble des x \in X tels que f(x) = 0. Alors toute composante
irréductible de Z_{f} est de codimension 1.« localement noethérien »
en interligne, de sa main, au-dessus d'un mot tapé biffé. La démonstration
tapée se ramène au cas affine noethérien et invoque le « Hauptidealsatz » de
Krull (cf. Bourbaki, Alg. comm., la référence restant en blanc)
affirmations inutiles, si on remarque que x \in X2note écrite
de biais, à quelque soixante degrés, dans la marge gauche en regard de la
démonstration du corollaire 2 ; seul son début se laisse lire
Soit N un autre module de prés. finie, on a le diagramme commutatif à lignes
exactes
et comme \beta et \gamma sont bijectives, on a\alpha, donc le foncteur M \mapsto \widetilde{M} est pleinement
fidèle. Prouvons qu'il est essentiellement surjectif : en effet, si F coh. sur X, on sait qu'il est engendré par ses sections, i.e.
\exists\ \underline{O}_{X}^{q} \to F \to 0exact.le dernier mot est porté en interligne au-dessus d'un
mot biffé
Soit R le noyau, alors il existe de même \underline{O}_{X}^{p} \to R \to 0,
d'où une suite exacte
\underline{O}_{X}^{p} \xrightarrow{u} \underline{O}_{X}^{q} \to F \to 0et par suite or u définit (grâce aux
sections)
A^{p} \xrightarrow{u} A^{q}prenantM = \mathrm{Coker}\, u par
F \simeq \widetilde{M}.
feuillet du même tapuscrit, paginé « – 110 – » : il précède, dans la pagination du tapuscrit, le feuillet donné en page 2.
Il porte la fin de la démonstration de \dim(X \times_{k} Y) = \dim(X) +
\dim(Y) pour des préschémas de type fini sur un corps k — réduction au cas
affine intègre, lemme de normalisation, théorème de Cohen-Seidenberg — puis
l'énoncé de la proposition 8
abusifen regard de la première ligne : « \dim(X \times_{k} Y)
= \dim(X) + \dim(Y) ; en particulier, pour tout corps K, extension de
k, \dim(X \otimes_{k} K) = \dim(X) », les mots « en particulier » étant
soulignés à la main d'un trait ondulé
K(z) (z \in X \times_{k} Y) calc. de l'ext. K(x) et K(y) (x \in X, y \in Y)
note écrite de biais le long de la marge
gauche, en regard du lemme de normalisation ; « sur k » est d'autre part
inséré à la main après « le degré de transcendance » du corps des fractions de
C/\mathfrak{p}
Proposition 8. Soient X,Yundeux préschémas
localement noethériens, f : X \to Y un morphisme de type fini.
Soient y \in Y, et soit x le point générique d'une composante irréductible
de f^{-1}(y), considéré comme préschéma sur \kappa(y) (§ 2, n° 7, prop. 17).
Alors \mathrm{codim}_{X}\overline{\{x\}} \leq
\mathrm{codim}_{Y}\overline{\{y\}} (ou, ce qui revient au même, \dim
\mathcal{O}_{x} \leq \dim \mathcal{O}_{y}).« X, » et « deux » en
interligne, « un » et « de type fini » biffés, de sa main ; « La question est
locale en x et en y », qui suit, est la première ligne de la démonstration
Simplifier dans la preuve \dim \mathcal{O}_{x} \leq \dim
\mathcal{O}_{y} + \dim \mathcal{O}_{x}dans la marge inférieure
gauche, avec une flèche qui renvoie à trois lignes serrées écrites sous le
dernier alinéa tapé et barrées de longs traits obliques ; on y distingue
f^{-1}(y) et rien de suivi. La dernière inégalité est lue telle quelle, son
dernier terme ne portant pas l'argument que le sens demande
donner le cas d'égalité par platitude
le lemme A qui ouvre la page est entouré d'un crochet ouvrant et d'un
crochet fermant ; il reprend en l'abstrayant l'énoncé 1°) de la page 1
Lemme AX espace annelé, avec \underline{O}_{X}
cohérentau-dessus du passage biffé, deux mots en interligne que les
traits ne laissent pas lire
X quasi-compact\underline{O}_{X} cohérent\underline{O}_{X} cohérent, les \underline{O}_{X,x}
noethériens.Pour tout Module cohérentcohérentF sur X, on a H^{1}(X, F) = 0dans les cas
suivants : loc. de type fini sur « (iii) »
est réécrit dans un cercle en regard d'un premier numéro surchargé ; « tout »
et le second « cohérent » sont portés en interligne
Alors, posant A = \Gamma(X, \underline{O}_{X}), le foncteur
M \mapsto \widetilde{M} = M \otimes_{A_{X}} \underline{O}_{X}
de la catégorie des A-modules de présentation finie dans la catégorie des
\underline{O}_{X}-Modules de prés. finie (= cohérents) est une équivalence
de catégories.
Variante. Si tout pt de X a un système fond. de voisinages
quasi-compacts, si X étant quasi-compact, et si pour tout
Module F image d'un \underline{O}^{p} \to
\underline{O}^{q}, H^{1}(X, F) = 0, alors le foncteur M \mapsto M
\otimes_{A_{X}} \underline{O}_{X} des modules sur A dans les Modules
\underline{O}^{I} \to
\underline{O}^{J}, équivalence …note
écrite verticalement dans la marge gauche, de bas en haut, sur toute la hauteur
du lemme A, et qu'une série de traits verticaux sépare du corps ; « de
présentation finie », en interligne au-dessus de sa dernière ligne, est
biffé. Sous elle, quelques traits et signes isolés qui ne se lisent pas
Corollaire 1 Le foncteur M \mapsto \widetilde{M} est
exact. En particulier, pour tout x \in X, \underline{O}_{X,x} est
plat sur A.
Corollaire 2 L'anneau A est « cohérent » i.e. pour tout hom
A^{n} \to A, le noyau est de type fini.
Corollaire 3 Si X est « pur », \underline{O}_{X} on a idéaux maximaux de typefini
de A, et maximal de \underline{O}_{X,x}.la ligne
suivante, écrite serrée sous l'énoncé et en partie biffée, porte « (x,
\mathfrak{m}) », « \mapsto x » et « idéal » et ne se laisse pas lire
davantage
Remarque on peut remplacer (ii) (iii) par
Pour toute suite exacte \underline{O}_{X}^{p} \to
\underline{O}_{X}^{q} \to F \to 0, exactitude pour la suite des
\GammaTout F de présentation finie est engendré par ses
sections …
feuillet du même tapuscrit, paginé « – 109 – ».
Il porte la fin d'un contre-exemple, les corollaires 2 et 3 d'une proposition
sur la dimension des préschémas algébriques sur un corps, un second
contre-exemple et le début de l'énoncé du corollaire 4 ; on donne les deux
énoncés et ce qu'il y ajoute
Corollaire 2. Soit X un préschéma algébrique sur un corps k. Pour
tout point x \in X, on a \dim_{x}(X) = \sup_{i}(\dim(X_{i})), où X_{i}
parcourt l'ensemble des composantes irréductibles de X contenant x. Si
\{x\} est fermé on a \dim_{x} X = \mathrm{codim}_{X} x = \dim(\mathcal{O}_{x}),
et en tout cas, on a\dim_{x} X = \dim \underline{O}_{X,x} + \dim
k(x)/k.la fin, après la virgule, est ajoutée à la main à la suite de la
ligne tapée. Dans la démonstration, il entoure d'un trait « pour tout ouvert
U contenant x » et insère « si \{x\} est fermé » après « d'après le
cor. 1, \dim_{x}(X_{i}) = \dim(X_{i}) » ; une petite ligne à l'encre surmonte
en outre le « \sup_{i} » de l'énoncé
Corollaire 3. Soient X, Y deux préschémas algébriques sur un corps
k. Pour tout k-morphisme f : X \to Y, on a \dim(\overline{f(X)}) \leq
\dim(X).
a-t-ondans lecasen regard de l'énoncé du corollaire 3 ; les
derniers mots, en crayon plus pâle, sont barrés un à un et un double trait
vertical les borde. Dans la démonstration, « alors » est inséré à la main
au-dessus de « telle que »
Corollaire \dim_{x} X = \dim \underline{O}_{x} + \dim
k(x)/kdans la marge inférieure gauche, en regard du
second contre-exemple (B anneau de valuation discrète, X = \mathrm{Spec}(K)
\to Y = \mathrm{Spec}(B) de type fini, \dim(Y) = 1 et \dim(X) = 0) ; la
formule est écrite en deux morceaux reliés par un trait sinueux, et les deux
derniers mots, sous un « = » isolé, ne se lisent pas
Du lemme on tire , sans utiliser l'hyp. (\alpha), , les conclusions :
B \mapsto B \otimes_{A_{X}} \underline{O}_{X} est une équivalence de la
catégorie des A-Alg. de présentation finie la catégorie des
\underline{O}_{X}-Alg. de présentation globale finie.
Si B\mathcal{B} la , alors
M \mapsto M \otimes_{B_{X}} \mathcal{B}
est une catégorie des B-Modules de présentation finie, et la
catégorie des \mathcal{B}-Modules de présentation globale
finie.
Question Soit \mathcal{B}Alg. de prés. finie sur X, le
noyau J de \underline{O}_{X}\to \mathcal{B} est-il cohérent ??
i.e. c'est une question de pure algèbre commutative, peut s'énoncer : A un anneau cohérent, AJ un idéal de type fini dans B =
A[T], IA de type fini ?? [Plus général, est-il
vrai que I \subset B sous-A-modules de type fini ??]« Alg. »
est inscrit en interligne au-dessus du \mathcal{B} de la question, que suit
une courbe
ok. dans le cas « classique » X polycylindre
analytique …au pied de la page, à droite, sous le crochet fermant
la question
feuillet d'un autre tapuscrit que celui des pages 2, 4 et 6, frappé sur
une machine sans accents, paginé « 8 » à la main en haut à droite : la fin
d'un paragraphe 6 sur les cycles premiers associés d'un Module quasi-cohérent.
La machine n'avait ni les flèches ni les signes ensemblistes ; il en a tracé
quelques-uns à la plume, et on rétablit les autres, avec les accents, là où le
texte les fixe
\mathrm{Ass}\, F = \bigcup_{i} \mathrm{Ass}\, F_{i}
(iii) \mathrm{Ass} \coprod F_{i} = \bigcup_{i} \mathrm{Ass}\, F_{i} pour
toute famille (F_{i}) de modules quasi-cohérents.les
réunions et la somme sont tracées à la main, la seconde réunion sur un « Ass »
tapé qu'elle surcharge ; le bout de ligne est coupé au bord du feuillet. Suit,
tapé : « Beweis klaar. »
Proposition 6.7. Supposons X loc noeth. Pour que la section f \in
\Gamma(\mathcal{O}_{X}) définisse une homothétie F \to F qui est
injective, il f et s que X_{f} \supset \mathrm{Ass}\, F, i.e. que V(f)
\cap \mathrm{Ass}\, F = \emptyset.le \Gamma, la flèche, l'inclusion et
l'intersection manquent au tapuscrit et sont rétablis sur le sens
démontrer directementen regard de « En effet, on est ramené au
cas affine (par exemple) où c'est dans Bourbaki », avec un trait qui y renvoie
Corollaire 6.8. Soit I un Idéal cohérent sur X loc noeth, F un
Module cohérent sur X. Pour que I soit « non diviseur de 0 dans F » il f
et s que V(I) \cap \mathrm{Ass}\, F = \emptyset.
suit, tapé : « On peut mettre ici si on veut IV 2.8.18. et 2.8.19. (bien
qu'il soit possible qu'on ne les utilisera plus par la suite …) »
Proposition 6.9. Soient X préschéma loc noeth, U un ouvert dense.
Pour que X soit réduit, il f et s que U le soit, et que X soit sans
« cycles premiers immergés »^{*}, ou encore que X soit sans cycles premiers
imm. et que l'on ait \mathrm{long}\, \mathcal{O}_{x} = 1 pour x point gén
d'une comp irr de X. (Cette notion ^{*} devrait être définie, pour un
Module, dans 6.1.)le reste du feuillet, tapé, démontre la proposition et
observe : « Il est peut-être préférable d'essayer de donner de telles
démonstrations 'intuitives', plutôt que de se réduire toujours à l'énoncé connu
dans le cas affine », puis commence la définition d'un Module qu coh
réduit
que le foncteur M \mapsto \widetilde{M} des \Gamma\mathcal{B}-
\mathcal{M} modules de présentation finie dans les
\mathcal{B}-Modules de prés. finie est pl. fidèle.
Prouvons . Reste à prouver que
M un\mathcal{B}-Module de prés. finie, il est engendré par ses
sections. x« M … un » est
porté au-dessus de la ligne biffée et relié par un trait vertical au début de
la ligne suivante
N.B. X [(Nous supposons X « pur » !)]. Alors
\mathcal{M}_{x} est un \mathcal{B}_{x}-Module de présentation finie. Soit
\mathcal{M}' le engendré par les sections.bloc encadré,
ouvert par « N.B. », et annulé par un long trait sinueux qui le traverse d'un
bout à l'autre et par deux obliques qui descendent de la ligne précédente
(en utilisant seulement la condition \alpha) de la « remarque »
ci-dessus). Reste à prouver \beta) [qui est inclus dans le cas !], sur les conditions . Il faut prouver que \mathcal{B} satisfait
condition (ii) & (iii), pour (iii) : la limite, J = \varinjlim_{m} J_{m}
il faut prouver que les J_{m} = J \cap B_{m}sont cohérents
…
? histoire d'anneaux cohérents ?dans le coin inférieur gauche,
écrit de biais
feuillet du tapuscrit des pages 2, 4 et 6, paginé « – 101 – » : la dimension des espaces topologiques. Les accolades
ensemblistes y sont tracées à la main, la machine ne les ayant pas
codim. …en regard de la proposition 1,
écrit de biais, avec un trait qui y renvoie
Proposition 1. (i) Si Y est une partie d'un espace topologique X,
\dim(Y) \leq \dim(X).
(ii) Si un espace topologique X est réunion finie de parties fermées X_{i},
alors \dim(X) = \sup_{i}(\dim(X_{i})).une troisième assertion (iii),
tapée, est biffée à la machine, et avec elle la ligne qui la démontrait. Suit
l'exemple d'une application continue f avec \dim(f(X)) > \dim(X) : X
discret à deux éléments a, b, Y = \{a, b\} muni de la topologie dont les
fermés sont \emptyset, \{a\} et \{a, b\}
Corollaire. Soient x \in X, U un voisinage de x, Y_{i} (1 \leq
i \leq n) des parties fermées de U telles que x \in Y_{i} pour 1 \leq i
\leq n et que U soit la réunion des Y_{i}. Alors \dim_{x} X =
\sup_{i}(\dim_{x}(Y_{i})).
Proposition 2. (i) Soit \Phi l'ensemble des parties fermées
irréductibles de X. On a \dim(X) = \sup_{Y \in \Phi}(\mathrm{codim}_{X}(Y)).
(ii) On a \dim(X) = \sup_{x \in X} \dim_{x}(X).
CorollaireProposition Corollairele titre est
écrit trois fois, souligné chaque fois : « Corollaire », biffé et surchargé de
« Proposition », elle-même biffée, puis « Corollaire » au-dessus Supposons que
X satisfasse la condition suivante plus forte que (ii) :
(les \underline{O}_{X,x} noeth., et) Pour tout entier n,
\underline{O}_{X}[T_{1}, \ldots, T_{n}] est un faisceau d'anneaux
cohérent.l'ajout est entouré et renvoyé par un trait au début de la
condition ; un grand point d'interrogation est porté en marge en regardTout x \in X a un syst. fond. de voisinages quasi-compacts
satisfaisant la condition (iii) pour tout faisceau sur
\underline{O}_{X} …la condition est ajoutée en petits caractères
entre les lignes, sa fin sur deux niveaux
Alors la conclusion du Lemme A reste valable en y remplaçant
\underline{O}_{X} par \underline{O}_{X}[T_{1}, \ldots, T_{n}], plus
généralement par n'importe quel faisceau d'Algèbres \mathcal{B} de
présentation finie.
Soit
\mathcal{B}^{p} \xrightarrow{u} \mathcal{B}^{q} \to \mathcal{M} \to 0
\qquad (u = (u_{ij}),\ (i, j) \in P \times Q)
une suite exacte, \Sigma de \mathcal{B}-Modules
(\mathcal{B} = \underline{O}_{X}[T_{1}, \ldots, T_{n}]) pour tt
une sous-suite exacte \Sigma_{m} de \underline{O}_{X}-Modules
cohérents
\mathcal{B}_{m}^{p} \to \mathcal{B}_{N+m}^{q} \to \mathcal{M}_{m} \to 0
(N majorant des degrés des u_{ij}) et \Sigma est limite
des \Sigma_{m}. On a donc\Gamma\mathcal{B}_{m}^{p} \to \Gamma\mathcal{B}_{m+N}^{q} \to \Gamma\mathcal{M}_{m} \to 0
d'où en passant à la limite
\Gamma\mathcal{B}^{p} \to \Gamma\mathcal{B}^{q} \to \Gamma\mathcal{M} \to 0
ce qui implique \alpha. Ceci prouve …le
\alpha renvoie à la condition (\alpha) de la remarque de la page 5 ; la
page s'arrête sur « Ceci prouve », et le haut de la page 9, « … que le
foncteur M \mapsto \widetilde{M} … est pl. fidèle … (en
utilisant seulement la condition \alpha) », semble en être la suite ; si
c'est le cas, l'ordre des archivistes n'est pas ici celui de la rédaction
feuillet du même tapuscrit, paginé « – 102 – », qui
fait suite à la page 10 : fin de la démonstration de la proposition 2,
corollaires 1 à 4, proposition 3. Il n'y porte à la main que des signes
ensemblistes et un renvoi, et on ne donne que les énoncés
Corollaire 2. Soit X un espace noethérien vérifiant l'axiome
(T_{0}) et soit F l'ensemble des points fermés de X. Alors \dim(X) =
\sup_{x \in F}(\dim_{x}(X)).
Corollaire 3. Soit Y une partie fermée de X. Alors
(1) \qquad \dim(Y) + \mathrm{codim}_{X}(Y) \leq \dim(X).
Corollaire 4. Soient Y, Z, T trois parties fermées irréductibles de
X telles que Y \subset Z \subset T. Alors
(2) \qquad \mathrm{codim}_{T}(Y) \geq \mathrm{codim}_{Z}(Y) +
\mathrm{codim}_{T}(Z).
Proposition 3. Soit X un espace noethérien vérifiant l'axiome
(T_{0}). Pour que \dim(X) = 0, il faut et il suffit que X soit fini et
discret. Pour qu'une partie fermée Y de X soit de codimension nulle dans
X, il faut et il suffit que Y contienne une composante irréductible de
X.à la dernière ligne de la démonstration, il insère au-dessus de
« toute composante irréductible de X contient un point fermé » le renvoi
« (§ 4, n° 1, lemme 1) »
Prop. Lemme B Supposons que que X satisfait
les conditions suivantes : (i) (ii) et
Les \underline{O}_{X,x} (x \in X) sont noethériensPour tout Idéal coh. J, posant
Y = (\mathrm{Supp}\, \underline{O}_{X}/J, \underline{O}_{X}/J), et tout
y \in Y tel que \underline{O}_{Y,y} est intègre, il existe un
voisinage ouvert U de ydans Y ayant la propriété suivante : toute
section f de \underline{O}_{Y} sur un voisinageU qui est
nulle au voisinage de y, est nulle sur
U.« dans Y » est en interligne, relié par un trait ; la lettre qui
précède le signe « = » dans la définition de Y est surchargée
Alors pour tout F coh. sur X, et toute suite croissante
(F_{i}) de sous-faisceaux coh. de F est stationnaire …« croissante »
est inscrit en interligne
Corollaire Sous les conditions (i) à (v), A = \Gamma(X,
\underline{O}_{X}) est un anneau noethérien.
Ces conditions sont satisfaites si X est un espace de Steinpolycylindre analytique (compact), sur \mathbb{C}. « » et les communs
…« polycylindre analytique » est écrit au-dessus de « espace de
Stein », biffé ; les mots qui suivent « (compact) » sont surchargés et en
partie encadrés, et la dernière ligne, entre guillemets, est barrée d'un trait
premier espoirentouré, dans la marge inférieure gauche, en
regard du dernier alinéa
feuillet du même tapuscrit, paginé « – 104 – » :
la proposition 5 sur la condition des chaînes, et le début de sa démonstration.
Il y est intervenu plus que sur les autres, en substituant partout la notion
d'espace équidimensionnel à celle de points fermés de même codimension ; les
passages biffés à la machine ne sont pas relevés
Proposition 5. Soit X un espace noethérien, de dimension finie,
vérifiant l'axiome (T_{0}). Les conditions suivantes sont équivalentes :
a) Deux chaînes maximales de parties fermées irréductibles de X ont même
longueur.
b) X est équidimensionnel et, les points fermés de X
ont même codimension, et X satisfait à la condition des chaînes.« X
est équidimensionnel et » est écrit au-dessus de la ligne tapée ; « et
équidimensionnel » est d'autre part porté en marge en regard, avec un renvoi
c) X est équidimensionnel et pour deux parties fermées irréductibles Y
\subset Z de X, on a
(4) \qquad \dim(Z) = \dim(Y) + \mathrm{codim}_{Z}(Y).
d) X est équidimensionnelLes codimensions des points fermés de
X sont les mêmes, et pour deux parties fermées irréductibles Y \subset Z
de X, on a
(5) \qquad \mathrm{codim}_{X}(Y) = \mathrm{codim}_{Z}(Y) +
\mathrm{codim}_{X}(Z).la substitution est en marge, avec un renvoi à « d) »
DimCor. Soit X un esp. irréd. de
X, et x un pt fermé de X. \dim X = \mathrm{codim}_{X} x =
\uncertain{\dim_{X} x}écrit de biais dans la marge gauche, en regard de la
démonstration ; les deux derniers membres de l'égalité sont lus sur les
lettres et ne s'accordent pas avec ce qu'on attendrait
Dans la démonstration, il précise « toute chaîne saturée
d'extrémitésY et Z(Y \subset Z) est contenue dans une
chaîne maximale dont les éléments autres que ceux de la chaîne donnée
sont ou bien contenus dans Y ou bien contiennent Z », puis « prouvent aussi
que si a) est vérifiée, pour toute partie fermée irréductible Y de
X, on a
(6) \qquad \dim(Y) + \mathrm{codim}_{X}(Y) = \dim(X) \text{ »,}
formule qu'il entoure, et corrige ensuite les numéros des formules qui s'en
déduisent et ajoute le renvoi « (prop. 4) ».les deux numéros corrigés
sont surchargés et ne se lisent pas avec certitude
Un tore complexe qui n'est pas une variété abélienne
titre de l'édition : les deux feuillets qui suivent, écrits à l'encre
noire d'une main posée, ne portent pas de titre, et rien ne les rattache aux
pages 1 à 14
Il existe un tore complexe, de dim (complexe) 2, fibré sur un tore complexe de
dimension 1, à fibres par un sous-tore complexe de dim 1, qui n'est pas
une variété abélienne. (À fortiori, un fibré analytique à base et fibres des
variétés de Hodge, n'est pas nécessairement une variété de Hodge)
Exemple : On prend le tore T quotient de \mathbb{C}^{2} par le groupe
\Gamma engendré par
e_{1}, \quad ie_{1}, \quad e_{2}, \quad e_{1} + ike_{2}
avec kirrationnel, et le sous-tore T_{0} image de l'axe complexe
V engendré par e_{1} (donc T_{0} = \mathbb{C}/\mathbb{Z}^{2}). Si T
était abélienne, on sait qu'il existerait un supplémentaire (complexe) V' de
V, tel que V soit \Gamma-propre, i.e. V engendré par \Gamma
\cap V.c'est bien V, et non V', qu'il écrit aux deux endroits ; la
suite du raisonnement porte sur V' À fortiori, il existerait x \in
\struck{\Gamma \cap V} V'tel que ix soit de la forme \rho x +
\sigma y, \rho et \sigma réels, y \in \Gamma \cap Vu complexe,
ux \in \Gamma, (prendre x \in \Gamma \cap V non nul). Le
« minimum »le bas de la page est un bloc surchargé : deux
lignes barrées d'un trait, une correction « \rho x + \sigma ux » portée
au-dessus, le tout traversé d'un trait sinueux et fermé à gauche par un trait
vertical. On donne ce qui se lit ; la reprise est au haut de la page suivante
et un nb complexe non réelc = c' + ic'' (c', c'' \in \mathbb{R}) tel
que x et cx \in \Gamma. (resp. x \in V' \cap \Gamma, y \in V' \cap
\Gammalinéairement lin. indép. sur \mathbb{R}) Les composantes de
x seront
\alpha + \delta, \quad \beta, \quad \gamma, \quad k\delta, \qquad (\gamma
\text{ ou } \delta \neq 0 ;\ \alpha\beta\gamma\delta \in \mathbb{Z})
celles \beta\gamma\delta de cx seront
c'(\alpha + \delta) - c''\beta, \quad c''(\alpha + \delta) + c'\beta, \quad
c'\gamma - k\delta c'', \quad c''\gamma + c'k\delta
Il faudrait donc que ces dernières valeurs puissent s'écrire
\alpha' + \delta', \beta', \gamma', k\delta', avec \alpha'\beta'\gamma'\delta'
\in \mathbb{Z}. En particulier, les premières 2 composantes devraient être
entières, d'où on conclut que c' et c'' seraient rationnels. Pour que
les deux dernièrestroisièmes composantes puissent être
rationnelles, il faut donc que k\delta c'' = 0. Comme c''
\neq 0, cela implique \delta = 0. Donc les composantes de cx sont
\alpha c' - \beta c'', \quad \beta c' + \alpha c'', \quad c'\gamma, \quad
c''\gammak\delta' = c''\gamma, ce qui n'est possible que si les deux
valeurs sont nulles, d'où \gamma = 0. Mais, donccomme \gamma =
\delta = 0, x serait dans l'espace engendré par e_{1} et ie_{1},
absurde.« comme \gamma = \delta = 0 » est inscrit au-dessus de « donc »
biffé, et « engendré par » au-dessus de la dernière ligne