Cote n° 55 · batch 1 · pages 1–17 · Transcription · Espaces analytiques : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1961]
Édition de démonstration

Espaces de Stein et Modules cohérents

titre de l'édition : les notes ne portent pas de titre, et celui de l'inventaire, « Espaces analytiques », n'est écrit nulle part dans le dossier

1

\(X\) espace de Stein compact

\(A = \Gamma(X, \underline{O}_{X})\)

\(B \in\) Alg. de présentation finie

1°) Le foncteur \(M \mapsto M \otimes_{A_{X}} \underline{O}_{X}\) de la catégorie des modules de type présentation finie sur \(X\)la lettre est bien un \(X\), là où le sens attendrait \(A\) dans la catégorie des \(\underline{O}_{X}\)-Modules coh. est une équivalence de catégories.

En effet, le foncteur est exact (?) pour voir s'il est pl. fid. il suffit de prouver que \(\widetilde{M} = 0 \Rightarrow M = 0\). Ortrois lignes encadrées et biffées d'un trait

Soit \(M\) de présentation finie, \[ A^{p} \to A^{q} \to M \to 0 \] d'où une […] \[ \underline{O}^{p} \to \underline{O}^{q} \to \widetilde{M} \to 0 \] d'où prenant les \(\Gamma\), et notant l'exactitude (car \(X\) Stein) \[ \struck{\Gamma(M)} \quad M \xrightarrow{\sim} \Gamma(\widetilde{M}) \] Donc […] tout \[ \struck{\widetilde{M} = 0 \Rightarrow \Gamma(\widetilde{M}) = 0 \text{ i.e. } M = 0} \]

2

feuillet de tapuscrit paginé « – 111 – », repris à la main. Il appartient à un exposé sur la dimension et la codimension dans les préschémas localement noethériens, sans rapport avec les espaces de Stein de la page 1 ; il est gardé parce qu'il porte sa main. Comme pour les tapuscrits du dossier 48, on donne les énoncés que porte le feuillet et ses interventions, et le corps du tapuscrit n'est pas re-composé

propositions laborieuses inutilesen regard des quatre premières lignes, que ce trait vertical embrasse : la fin d'une démonstration où l'on se ramène à \(Y = \mathrm{Spec}(B)\), \(B\) anneau local noethérien, \(X = \mathrm{Spec}(A)\), \(A\) algèbre noethérienne sur \(B\) — les deux adjectifs sont portés en interligne de sa main au-dessus d'un mot tapé biffé — et où l'on montre que \(\mathrm{rg}(\mathfrak{p}) \leq \mathrm{rg}(\mathfrak{m})\) pour \(\mathfrak{p}\) premier minimal associé à \(A\mathfrak{m}\)

Corollaire 1. Soient [\(X\) et] \(Y\) […] [deux] préschémas localement noethériens, \(f : X \to Y\) un morphisme […], \(Y'\) une partie fermée irréductible de \(Y\), \(X'\) une composante irréductible de \(f^{-1}(Y')\), dont l'image dans \(Y\) soit dense dans \(Y'\). Alors \(\mathrm{codim}_{X}(X') \leq \mathrm{codim}_{Y}(Y')\).« \(X\) et » et « deux » sont insérés à la main au-dessus de la ligne, un mot tapé étant biffé entre eux

Corollaire 2. Soient \(X\) un préschéma [localement noethérien] […], \(f\) une section de \(\mathcal{O}_{X}\) au-dessus de \(X\), qui n'est identiquement nulle dans aucune composante irréductible de \(X\). Soit \(Z_{f}\) l'ensemble des \(x \in X\) tels que \(f(x) = 0\). Alors toute composante irréductible de \(Z_{f}\) est de codimension \(1\).« localement noethérien » en interligne, de sa main, au-dessus d'un mot tapé biffé. La démonstration tapée se ramène au cas affine noethérien et invoque le « Hauptidealsatz » de Krull (cf. Bourbaki, Alg. comm., la référence restant en blanc)

affirmation[s] inutile[s], si on remarque que […] \(x \in X\) […] […] […] […] […] \(2\) […] […] […]note écrite de biais, à quelque soixante degrés, dans la marge gauche en regard de la démonstration du corollaire 2 ; seul son début se laisse lire

3

Soit \(N\) un autre module de prés. finie, on a le diagramme commutatif à lignes exactes

LaTeX source
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & \mathrm{Hom}(M, N) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"] & N^{q} \arrow[r] \arrow[d, "\beta"] & N^{p} \arrow[d, "\gamma"] \\
0 \arrow[r] & \mathrm{Hom}(\widetilde{M}, \widetilde{N}) \arrow[r] & \Gamma\widetilde{N}^{q} \arrow[r] & \Gamma\widetilde{N}^{p}
\end{tikzcd}

et comme \(\beta\) et \(\gamma\) sont bijectives, on a \(\alpha\) […], donc le foncteur \(M \mapsto \widetilde{M}\) est pleinement fidèle. Prouvons qu'il est essentiellement surjectif : en effet, si \(F\) […] coh. sur \(X\), on sait qu'il est engendré par ses sections, i.e. \(\exists\ \underline{O}_{X}^{q} \to F \to 0\) […] exact.le dernier mot est porté en interligne au-dessus d'un mot biffé

Soit \(R\) le noyau, alors il existe de même \(\underline{O}_{X}^{p} \to R \to 0\), d'où une suite exacte \[ \underline{O}_{X}^{p} \xrightarrow{u} \underline{O}_{X}^{q} \to F \to 0 \] et par suite […] […] […] […] or \(u\) définit (grâce aux sections) \[ A^{p} \xrightarrow{u} A^{q} \] […] prenant \(M = \mathrm{Coker}\, u\) […] […] […] par \[ F \simeq \widetilde{M}. \]

4

feuillet du même tapuscrit, paginé « – 110 – » : il précède, dans la pagination du tapuscrit, le feuillet donné en page 2. Il porte la fin de la démonstration de \(\dim(X \times_{k} Y) = \dim(X) + \dim(Y)\) pour des préschémas de type fini sur un corps \(k\) — réduction au cas affine intègre, lemme de normalisation, théorème de Cohen-Seidenberg — puis l'énoncé de la proposition 8

abusifen regard de la première ligne : « \(\dim(X \times_{k} Y) = \dim(X) + \dim(Y)\) ; en particulier, pour tout corps \(K\), extension de \(k\), \(\dim(X \otimes_{k} K) = \dim(X)\) », les mots « en particulier » étant soulignés à la main d'un trait ondulé

[…] […] \(K(z)\) (\(z \in X \times_{k} Y\)) […] […] […] […] calc. […] […] de l'ext. \(K(x)\) et \(K(y)\) (\(x \in X\), \(y \in Y\)) […] […] […] […]note écrite de biais le long de la marge gauche, en regard du lemme de normalisation ; « sur \(k\) » est d'autre part inséré à la main après « le degré de transcendance » du corps des fractions de \(C/\mathfrak{p}\)

Proposition 8. Soient [\(X\),] \(Y\) un [deux] préschémas localement noethériens, \(f : X \to Y\) un morphisme de type fini. Soient \(y \in Y\), et soit \(x\) le point générique d'une composante irréductible de \(f^{-1}(y)\), considéré comme préschéma sur \(\kappa(y)\) (§ 2, n° 7, prop. 17). Alors \(\mathrm{codim}_{X}\overline{\{x\}} \leq \mathrm{codim}_{Y}\overline{\{y\}}\) (ou, ce qui revient au même, \(\dim \mathcal{O}_{x} \leq \dim \mathcal{O}_{y}\)).« \(X\), » et « deux » en interligne, « un » et « de type fini » biffés, de sa main ; « La question est locale en \(x\) et en \(y\) », qui suit, est la première ligne de la démonstration

Simplifier dans la preuve […] \(\dim \mathcal{O}_{x} \leq \dim \mathcal{O}_{y} + \dim \mathcal{O}_{x}\) […]dans la marge inférieure gauche, avec une flèche qui renvoie à trois lignes serrées écrites sous le dernier alinéa tapé et barrées de longs traits obliques ; on y distingue \(f^{-1}(y)\) et rien de suivi. La dernière inégalité est lue telle quelle, son dernier terme ne portant pas l'argument que le sens demande

donner le cas d'égalité par platitude

5

le lemme A qui ouvre la page est entouré d'un crochet ouvrant et d'un crochet fermant ; il reprend en l'abstrayant l'énoncé 1°) de la page 1

Lemme A \(X\) espace annelé, avec \(\underline{O}_{X}\) cohérentau-dessus du passage biffé, deux mots en interligne que les traits ne laissent pas lire

Alors, posant \(A = \Gamma(X, \underline{O}_{X})\), le foncteur \[ M \mapsto \widetilde{M} = M \otimes_{A_{X}} \underline{O}_{X} \] de la catégorie des \(A\)-modules de présentation finie dans la catégorie des \(\underline{O}_{X}\)-Modules de prés. finie (= cohérents) est une équivalence de catégories.

Variante. Si tout pt de \(X\) a un système fond. de voisinages […] quasi-compacts, si \(X\) étant quasi-compact, et si pour tout […] Module \(F\) […] […] image d'un \(\underline{O}^{p} \to \underline{O}^{q}\), \(H^{1}(X, F) = 0\), alors le foncteur \(M \mapsto M \otimes_{A_{X}} \underline{O}_{X}\) des modules sur \(A\) dans les Modules […] […] […] […] \(\underline{O}^{I} \to \underline{O}^{J}\), […] […] […] équivalence …note écrite verticalement dans la marge gauche, de bas en haut, sur toute la hauteur du lemme A, et qu'une série de traits verticaux sépare du corps ; « de présentation finie », en interligne au-dessus de sa dernière ligne, est biffé. Sous elle, quelques traits et signes isolés qui ne se lisent pas

Corollaire 1 Le foncteur \(M \mapsto \widetilde{M}\) est exact. En particulier, pour tout \(x \in X\), \(\underline{O}_{X,x}\) est plat sur \(A\).

Corollaire 2 L'anneau \(A\) est « cohérent » i.e. pour tout hom \(A^{n} \to A\), le noyau est de type fini.

Corollaire 3 Si \(X\) est « pur », \(\underline{O}_{X}\) […] on a […] […] […] idéaux maximaux de type fini de \(A\), et […] […] maximal de \(\underline{O}_{X,x}\).la ligne suivante, écrite serrée sous l'énoncé et en partie biffée, porte « \((x, \mathfrak{m})\) », « \(\mapsto x\) » et « idéal » et ne se laisse pas lire davantage

Remarque on peut remplacer (ii) (iii) par

6

feuillet du même tapuscrit, paginé « – 109 – ». Il porte la fin d'un contre-exemple, les corollaires 2 et 3 d'une proposition sur la dimension des préschémas algébriques sur un corps, un second contre-exemple et le début de l'énoncé du corollaire 4 ; on donne les deux énoncés et ce qu'il y ajoute

Corollaire 2. Soit \(X\) un préschéma algébrique sur un corps \(k\). Pour tout point \(x \in X\), on a \(\dim_{x}(X) = \sup_{i}(\dim(X_{i}))\), où \(X_{i}\) parcourt l'ensemble des composantes irréductibles de \(X\) contenant \(x\). Si \(\{x\}\) est fermé on a \(\dim_{x} X = \mathrm{codim}_{X} x = \dim(\mathcal{O}_{x})\), [et en tout cas, on a] \(\dim_{x} X = \dim \underline{O}_{X,x} + \dim k(x)/k\).la fin, après la virgule, est ajoutée à la main à la suite de la ligne tapée. Dans la démonstration, il entoure d'un trait « pour tout ouvert \(U\) contenant \(x\) » et insère « si \(\{x\}\) est fermé » après « d'après le cor. 1, \(\dim_{x}(X_{i}) = \dim(X_{i})\) » ; une petite ligne à l'encre surmonte en outre le « \(\sup_{i}\) » de l'énoncé

Corollaire 3. Soient \(X\), \(Y\) deux préschémas algébriques sur un corps \(k\). Pour tout \(k\)-morphisme \(f : X \to Y\), on a \(\dim(\overline{f(X)}) \leq \dim(X)\).

a-t-on […] […] […] dans le cas […]en regard de l'énoncé du corollaire 3 ; les derniers mots, en crayon plus pâle, sont barrés un à un et un double trait vertical les borde. Dans la démonstration, « alors » est inséré à la main au-dessus de « telle que »

Corollaire \(\dim_{x} X = \dim \underline{O}_{x} + \dim k(x)/k\) […] […] […]dans la marge inférieure gauche, en regard du second contre-exemple (\(B\) anneau de valuation discrète, \(X = \mathrm{Spec}(K) \to Y = \mathrm{Spec}(B)\) de type fini, \(\dim(Y) = 1\) et \(\dim(X) = 0\)) ; la formule est écrite en deux morceaux reliés par un trait sinueux, et les deux derniers mots, sous un « = » isolé, ne se lisent pas

7

Du lemme on tire […], sans utiliser l'hyp. (\(\alpha\)), […] […] […], les conclusions :

\(B \mapsto B \otimes_{A_{X}} \underline{O}_{X}\) est une équivalence de la catégorie des \(A\)-Alg. de présentation finie […] la catégorie des \(\underline{O}_{X}\)-Alg. de présentation globale finie.

Si \(B\) […] […] \(\mathcal{B}\) la […], alors \[ M \mapsto M \otimes_{B_{X}} \mathcal{B} \] est une […] […] catégorie des \(B\)-Modules de présentation finie, et la catégorie des \(\mathcal{B}\)-Modules de présentation globale finie.

Question Soit \(\mathcal{B}\) [Alg.] de prés. finie sur \(X\), le noyau \(J\) de \(\underline{O}_{X}\) […] \(\to \mathcal{B}\) est-il cohérent ?? i.e. c'est une question de pure algèbre commutative, peut s'énoncer : \(A\) […] un anneau cohérent, \(A\) \(J\) un idéal de type fini dans \(B = A[T]\), […] […] \(I\) […] \(A\) […] de type fini ?? [Plus général, est-il vrai que […] \(I \subset B\) sous-\(A\)-modules de type fini ??]« Alg. » est inscrit en interligne au-dessus du \(\mathcal{B}\) de la question, que suit une courbe

ok. dans le cas « classique » \(X\) […] polycylindre analytique …au pied de la page, à droite, sous le crochet fermant la question

8

feuillet d'un autre tapuscrit que celui des pages 2, 4 et 6, frappé sur une machine sans accents, paginé « 8 » à la main en haut à droite : la fin d'un paragraphe 6 sur les cycles premiers associés d'un Module quasi-cohérent. La machine n'avait ni les flèches ni les signes ensemblistes ; il en a tracé quelques-uns à la plume, et on rétablit les autres, avec les accents, là où le texte les fixe

\[ \mathrm{Ass}\, F = \bigcup_{i} \mathrm{Ass}\, F_{i} \] (iii) \(\mathrm{Ass} \coprod F_{i} = \bigcup_{i} \mathrm{Ass}\, F_{i}\) pour toute famille \((F_{i})\) de modules qu[asi-]c[ohérents].les réunions et la somme sont tracées à la main, la seconde réunion sur un « Ass » tapé qu'elle surcharge ; le bout de ligne est coupé au bord du feuillet. Suit, tapé : « Beweis klaar. »

Proposition 6.7. Supposons \(X\) loc noeth. Pour que la section \(f \in \Gamma(\mathcal{O}_{X})\) définisse une homothétie \(F \to F\) qui est injective, il f et s que \(X_{f} \supset \mathrm{Ass}\, F\), i.e. que \(V(f) \cap \mathrm{Ass}\, F = \emptyset\).le \(\Gamma\), la flèche, l'inclusion et l'intersection manquent au tapuscrit et sont rétablis sur le sens

démontrer directementen regard de « En effet, on est ramené au cas affine (par exemple) où c'est dans Bourbaki », avec un trait qui y renvoie

Corollaire 6.8. Soit \(I\) un Idéal cohérent sur \(X\) loc noeth, \(F\) un Module cohérent sur \(X\). Pour que \(I\) soit « non diviseur de \(0\) dans \(F\) » il f et s que \(V(I) \cap \mathrm{Ass}\, F = \emptyset\).

suit, tapé : « On peut mettre ici si on veut IV 2.8.18. et 2.8.19. (bien qu'il soit possible qu'on ne les utilisera plus par la suite …) »

Proposition 6.9. Soient \(X\) préschéma loc noeth, \(U\) un ouvert dense. Pour que \(X\) soit réduit, il f et s que \(U\) le soit, et que \(X\) soit sans « cycles premiers immergés »\(^{*}\), ou encore que \(X\) soit sans cycles premiers imm. et que l'on ait \(\mathrm{long}\, \mathcal{O}_{x} = 1\) pour \(x\) point gén d'une comp irr de \(X\). (Cette notion \(^{*}\) devrait être définie, pour un Module, dans 6.1.)le reste du feuillet, tapé, démontre la proposition et observe : « Il est peut-être préférable d'essayer de donner de telles démonstrations 'intuitives', plutôt que de se réduire toujours à l'énoncé connu dans le cas affine », puis commence la définition d'un Module qu coh réduit

9

[…] que le foncteur \(M \mapsto \widetilde{M}\) des \(\Gamma\mathcal{B}\)- \(\mathcal{M}\) modules de présentation finie dans les \(\mathcal{B}\)-Modules de prés. finie est pl. fidèle. Prouvons […]. Reste à prouver que […]

[\(M\) […] un] \(\mathcal{B}\)-Module de prés. finie, il est engendré par ses sections. […] \(x\) […] […] […]« \(M\) … un » est porté au-dessus de la ligne biffée et relié par un trait vertical au début de la ligne suivante

N.B. \(X\) […] [(Nous supposons \(X\) « pur » !)]. Alors \(\mathcal{M}_{x}\) est un \(\mathcal{B}_{x}\)-Module de présentation finie. Soit \(\mathcal{M}'\) le […] […] engendré par les sections.bloc encadré, ouvert par « N.B. », et annulé par un long trait sinueux qui le traverse d'un bout à l'autre et par deux obliques qui descendent de la ligne précédente

(en utilisant seulement la condition \(\alpha\)) de la « remarque » ci-dessus). Reste à prouver \(\beta\)) [qui est inclus dans le cas […] […] […] !], sur les conditions […]. Il faut prouver que \(\mathcal{B}\) satisfait condition (ii) & (iii), pour […] […] (iii) […] […] […] […] : la limite, […] \[ J = \varinjlim_{m} J_{m} \] il faut prouver que les \(J_{m} = J \cap B_{m}\) sont cohérents …

? histoire d'anneaux cohérents ?dans le coin inférieur gauche, écrit de biais

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feuillet du tapuscrit des pages 2, 4 et 6, paginé « – 101 – » : la dimension des espaces topologiques. Les accolades ensemblistes y sont tracées à la main, la machine ne les ayant pas

codim. […] […] …en regard de la proposition 1, écrit de biais, avec un trait qui y renvoie

Proposition 1. (i) Si \(Y\) est une partie d'un espace topologique \(X\), \(\dim(Y) \leq \dim(X)\).

(ii) Si un espace topologique \(X\) est réunion finie de parties fermées \(X_{i}\), alors \(\dim(X) = \sup_{i}(\dim(X_{i}))\).une troisième assertion (iii), tapée, est biffée à la machine, et avec elle la ligne qui la démontrait. Suit l'exemple d'une application continue \(f\) avec \(\dim(f(X)) > \dim(X)\) : \(X\) discret à deux éléments \(a, b\), \(Y = \{a, b\}\) muni de la topologie dont les fermés sont \(\emptyset\), \(\{a\}\) et \(\{a, b\}\)

Corollaire. Soient \(x \in X\), \(U\) un voisinage de \(x\), \(Y_{i}\) (\(1 \leq i \leq n\)) des parties fermées de \(U\) telles que \(x \in Y_{i}\) pour \(1 \leq i \leq n\) et que \(U\) soit la réunion des \(Y_{i}\). Alors \(\dim_{x} X = \sup_{i}(\dim_{x}(Y_{i}))\).

Proposition 2. (i) Soit \(\Phi\) l'ensemble des parties fermées irréductibles de \(X\). On a \(\dim(X) = \sup_{Y \in \Phi}(\mathrm{codim}_{X}(Y))\).

(ii) On a \(\dim(X) = \sup_{x \in X} \dim_{x}(X)\).

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Corollaire Proposition Corollairele titre est écrit trois fois, souligné chaque fois : « Corollaire », biffé et surchargé de « Proposition », elle-même biffée, puis « Corollaire » au-dessus Supposons que \(X\) satisfasse la condition […] suivante plus forte que (ii) :

Alors la conclusion du Lemme A reste valable en y remplaçant \(\underline{O}_{X}\) par \(\underline{O}_{X}[T_{1}, \ldots, T_{n}]\), plus généralement par n'importe quel faisceau d'Algèbres \(\mathcal{B}\) de présentation finie.

Soit \[ \mathcal{B}^{p} \xrightarrow{u} \mathcal{B}^{q} \to \mathcal{M} \to 0 \qquad (u = (u_{ij}),\ (i, j) \in P \times Q) \] une suite exacte, \(\Sigma\) […] […] de \(\mathcal{B}\)-Modules (\(\mathcal{B} = \underline{O}_{X}[T_{1}, \ldots, T_{n}]\)) […] […] pour tt […] une sous-suite exacte \(\Sigma_{m}\) de \(\underline{O}_{X}\)-Modules cohérents \[ \mathcal{B}_{m}^{p} \to \mathcal{B}_{N+m}^{q} \to \mathcal{M}_{m} \to 0 \] (\(N\) majorant des degrés des \(u_{ij}\)) […] et \(\Sigma\) est limite des \(\Sigma_{m}\). On a donc \[ \Gamma\mathcal{B}_{m}^{p} \to \Gamma\mathcal{B}_{m+N}^{q} \to \Gamma\mathcal{M}_{m} \to 0 \] d'où en passant à la limite \[ \Gamma\mathcal{B}^{p} \to \Gamma\mathcal{B}^{q} \to \Gamma\mathcal{M} \to 0 \] ce qui implique \(\alpha\). […] Ceci prouve …le \(\alpha\) renvoie à la condition (\(\alpha\)) de la remarque de la page 5 ; la page s'arrête sur « Ceci prouve », et le haut de la page 9, « … que le foncteur \(M \mapsto \widetilde{M}\) … est pl. fidèle … (en utilisant seulement la condition \(\alpha\)) », semble en être la suite ; si c'est le cas, l'ordre des archivistes n'est pas ici celui de la rédaction

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feuillet du même tapuscrit, paginé « – 102 – », qui fait suite à la page 10 : fin de la démonstration de la proposition 2, corollaires 1 à 4, proposition 3. Il n'y porte à la main que des signes ensemblistes et un renvoi, et on ne donne que les énoncés

Corollaire 2. Soit \(X\) un espace noethérien vérifiant l'axiome \((T_{0})\) et soit \(F\) l'ensemble des points fermés de \(X\). Alors \(\dim(X) = \sup_{x \in F}(\dim_{x}(X))\).

Corollaire 3. Soit \(Y\) une partie fermée de \(X\). Alors \[ (1) \qquad \dim(Y) + \mathrm{codim}_{X}(Y) \leq \dim(X). \]

Corollaire 4. Soient \(Y, Z, T\) trois parties fermées irréductibles de \(X\) telles que \(Y \subset Z \subset T\). Alors \[ (2) \qquad \mathrm{codim}_{T}(Y) \geq \mathrm{codim}_{Z}(Y) + \mathrm{codim}_{T}(Z). \]

Proposition 3. Soit \(X\) un espace noethérien vérifiant l'axiome \((T_{0})\). Pour que \(\dim(X) = 0\), il faut et il suffit que \(X\) soit fini et discret. Pour qu'une partie fermée \(Y\) de \(X\) soit de codimension nulle dans \(X\), il faut et il suffit que \(Y\) contienne une composante irréductible de [\(X\)].à la dernière ligne de la démonstration, il insère au-dessus de « toute composante irréductible de \(X\) contient un point fermé » le renvoi « (§ 4, n° 1, lemme 1) »

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Prop. Lemme B Supposons que que \(X\) satisfait les conditions suivantes : (i) (ii) et

Alors pour tout […] \(F\) coh. sur \(X\), et toute suite croissante \((F_{i})\) de sous-faisceaux coh. de \(F\) est stationnaire …« croissante » est inscrit en interligne

Corollaire Sous les conditions (i) à (v), \(A = \Gamma(X, \underline{O}_{X})\) est un anneau noethérien.

Ces conditions sont satisfaites si \(X\) est un espace de Stein [polycylindre analytique] (compact), […] sur \(\mathbb{C}\) […] […]. « […] […] […] » et les communs …« polycylindre analytique » est écrit au-dessus de « espace de Stein », biffé ; les mots qui suivent « (compact) » sont surchargés et en partie encadrés, et la dernière ligne, entre guillemets, est barrée d'un trait

premier espoirentouré, dans la marge inférieure gauche, en regard du dernier alinéa

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feuillet du même tapuscrit, paginé « – 104 – » : la proposition 5 sur la condition des chaînes, et le début de sa démonstration. Il y est intervenu plus que sur les autres, en substituant partout la notion d'espace équidimensionnel à celle de points fermés de même codimension ; les passages biffés à la machine ne sont pas relevés

Proposition 5. Soit \(X\) un espace noethérien, de dimension finie, vérifiant l'axiome \((T_{0})\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

a) Deux chaînes maximales de parties fermées irréductibles de \(X\) ont même longueur.

b) [\(X\) est équidimensionnel et] […], les points fermés de \(X\) ont même codimension, et \(X\) satisfait à la condition des chaînes.« \(X\) est équidimensionnel et » est écrit au-dessus de la ligne tapée ; « et équidimensionnel » est d'autre part porté en marge en regard, avec un renvoi

c) \(X\) est équidimensionnel et pour deux parties fermées irréductibles \(Y \subset Z\) de \(X\), on a \[ (4) \qquad \dim(Z) = \dim(Y) + \mathrm{codim}_{Z}(Y). \]

d) [\(X\) est équidimensionnel] Les codimensions des points fermés de \(X\) sont les mêmes, et pour deux parties fermées irréductibles \(Y \subset Z\) de \(X\), on a \[ (5) \qquad \mathrm{codim}_{X}(Y) = \mathrm{codim}_{Z}(Y) + \mathrm{codim}_{X}(Z). \] la substitution est en marge, avec un renvoi à « d) »

Dim Cor. Soit \(X\) un esp. […] […] irréd. de \(X\), et \(x\) un pt fermé de \(X\). […] \(\dim X = \mathrm{codim}_{X} x = \uncertain{\dim_{X} x}\) […]écrit de biais dans la marge gauche, en regard de la démonstration ; les deux derniers membres de l'égalité sont lus sur les lettres et ne s'accordent pas avec ce qu'on attendrait

Dans la démonstration, il précise « toute chaîne saturée [d'extrémités] \(Y\) et \(Z\) [\((Y \subset Z)\)] est contenue dans une chaîne maximale dont les éléments [autres que ceux de la chaîne donnée] sont ou bien contenus dans \(Y\) ou bien contiennent \(Z\) », puis « prouvent aussi que [si a) est vérifiée], pour toute partie fermée irréductible \(Y\) de \(X\), on a \[ (6) \qquad \dim(Y) + \mathrm{codim}_{X}(Y) = \dim(X) \text{ »,} \] formule qu'il entoure, et corrige ensuite les numéros des formules qui s'en déduisent et ajoute le renvoi « (prop. 4) ».les deux numéros corrigés sont surchargés et ne se lisent pas avec certitude

Un tore complexe qui n'est pas une variété abélienne

titre de l'édition : les deux feuillets qui suivent, écrits à l'encre noire d'une main posée, ne portent pas de titre, et rien ne les rattache aux pages 1 à 14

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Il existe un tore complexe, de dim (complexe) 2, fibré sur un tore complexe de dimension 1, à fibres par un sous-tore complexe de dim 1, qui n'est pas une variété abélienne. (À fortiori, un fibré analytique à base et fibres des variétés de Hodge, n'est pas nécessairement une variété de Hodge)

Exemple : On prend le tore \(T\) quotient de \(\mathbb{C}^{2}\) par le groupe \(\Gamma\) engendré par \[ e_{1}, \quad ie_{1}, \quad e_{2}, \quad e_{1} + ike_{2} \] avec \(k\) irrationnel, et le sous-tore \(T_{0}\) image de l'axe complexe \(V\) engendré par \(e_{1}\) (donc \(T_{0} = \mathbb{C}/\mathbb{Z}^{2}\)). Si \(T\) était abélienne, on sait qu'il existerait un supplémentaire (complexe) \(V'\) de \(V\), tel que \(V\) soit \(\Gamma\)-propre, i.e. \(V\) engendré par \(\Gamma \cap V\).c'est bien \(V\), et non \(V'\), qu'il écrit aux deux endroits ; la suite du raisonnement porte sur \(V'\) À fortiori, il existerait \(x \in \struck{\Gamma \cap V} V'\) tel que \(ix\) soit de la forme \(\rho x + \sigma y\), \(\rho\) et \(\sigma\) réels, \(y \in \Gamma \cap V\) […] \(u\) complexe, \(ux \in \Gamma\), (prendre \(x \in \Gamma \cap V\) non nul). Le « minimum »le bas de la page est un bloc surchargé : deux lignes barrées d'un trait, une correction « \(\rho x + \sigma ux\) » portée au-dessus, le tout traversé d'un trait sinueux et fermé à gauche par un trait vertical. On donne ce qui se lit ; la reprise est au haut de la page suivante

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et un nb complexe non réel \(c = c' + ic''\) (\(c', c'' \in \mathbb{R}\)) tel que \(x\) et \(cx \in \Gamma\). (resp. \(x \in V' \cap \Gamma\), \(y \in V' \cap \Gamma\) linéairement lin. indép. sur \(\mathbb{R}\)) Les composantes de \(x\) seront \[ \alpha + \delta, \quad \beta, \quad \gamma, \quad k\delta, \qquad (\gamma \text{ ou } \delta \neq 0 ;\ \alpha\beta\gamma\delta \in \mathbb{Z}) \] celles \(\beta\gamma\delta\) de \(cx\) seront \[ c'(\alpha + \delta) - c''\beta, \quad c''(\alpha + \delta) + c'\beta, \quad c'\gamma - k\delta c'', \quad c''\gamma + c'k\delta \] Il faudrait donc que ces dernières valeurs puissent s'écrire \(\alpha' + \delta', \beta', \gamma', k\delta'\), avec \(\alpha'\beta'\gamma'\delta' \in \mathbb{Z}\). En particulier, les premières 2 composantes devraient être entières, d'où on conclut que \(c'\) et \(c''\) seraient rationnels. Pour que les deux dernières troisièmes composantes puissent être rationnelles, il faut donc que \(k\delta c'' = 0\) […]. Comme \(c'' \neq 0\), cela implique \(\delta = 0\). Donc les composantes de \(cx\) sont \[ \alpha c' - \beta c'', \quad \beta c' + \alpha c'', \quad c'\gamma, \quad c''\gamma \] […] […] \(k\delta' = c''\gamma\), ce qui n'est possible que si les deux valeurs sont nulles, d'où \(\gamma = 0\). Mais, donc [comme \(\gamma = \delta = 0\)], \(x\) serait dans l'espace engendré par \(e_{1}\) et \(ie_{1}\), absurde.« comme \(\gamma = \delta = 0\) » est inscrit au-dessus de « donc » biffé, et « engendré par » au-dessus de la dernière ligne